이차방정식의 의미. 이차방정식의 해, 근의 공식, 예

이차 방정식의 근에 대한 공식. 실제, 다중 및 복소수 근의 경우가 고려됩니다. 제곱 삼항식의 인수분해. 기하학적 해석. 근 결정과 인수분해의 예.

기본 공식

이차 방정식을 고려하십시오.
(1) .
이차 방정식의 근(1) 다음 공식에 의해 결정됩니다.
; .
이러한 수식은 다음과 같이 조합할 수 있습니다.
.
2차 방정식의 근을 알면 2차 다항식을 인수의 곱(인수분해)으로 나타낼 수 있습니다.
.

또한 실수라고 가정합니다.
고려하다 이차 방정식의 판별식:
.
판별식이 양수이면 이차 방정식(1)은 두 개의 서로 다른 실근을 갖습니다.
; .
그런 다음 제곱 삼항식의 인수분해는 다음 형식을 갖습니다.
.
판별식이 0이면 이차 방정식(1)은 두 개의 다중(동일한) 실근을 갖습니다.
.
채권 차압 통고:
.
판별식이 음수이면 이차 방정식(1)에는 두 개의 복소수 켤레 근이 있습니다.
;
.
다음은 허수 단위입니다.
뿌리의 실제 부분과 허수 부분입니다.
; .
그 다음에

.

그래픽 해석

빌드하는 경우 함수 그래프
,
포물선이면 그래프와 축의 교차점이 방정식의 근이 됩니다.
.
이면 그래프는 두 점에서 가로축(축)과 교차합니다.
이면 그래프가 한 지점에서 x축에 닿습니다.
이면 그래프가 x축과 교차하지 않습니다.

다음은 그러한 그래프의 예입니다.

이차 방정식과 관련된 유용한 공식

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

이차 방정식의 근에 대한 공식 유도

변환을 수행하고 공식 (f.1) 및 (f.3)을 적용합니다.




,
어디
; .

그래서 우리는 2차 다항식에 대한 공식을 다음과 같은 형식으로 얻었습니다.
.
이것으로부터 방정식이

수행
그리고 .
즉, 및 는 이차 방정식의 근입니다.
.

이차 방정식의 근을 결정하는 예

예 1

(1.1) .

해결책

.
방정식 (1.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실근이 있습니다.
;
;
.

여기에서 제곱 삼항식을 인수로 분해합니다.

.

함수 y =의 그래프 2×2+7×+3두 지점에서 x축과 교차합니다.

함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 두 지점에서 x축(축)과 교차합니다.
그리고 .
이 점은 원래 방정식(1.1)의 근입니다.

답변

;
;
.

예 2

이차 방정식의 근을 찾으십시오.
(2.1) .

해결책

우리는 이차 방정식을 다음과 같이 씁니다. 일반적인 견해:
.
원래 방정식(2.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식이 0이므로 방정식에는 두 개의 다중(동일한) 근이 있습니다.
;
.

그런 다음 삼항식의 인수분해는 다음 형식을 갖습니다.
.

함수 y = x의 그래프 2 - 4 x + 4한 지점에서 x 축에 닿습니다.

함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 한 지점에서 x축(축)에 닿습니다.
.
이 점이 원래 방정식(2.1)의 근입니다. 이 근은 두 번 인수분해되기 때문에:
,
그런 다음 그러한 근을 배수라고 합니다. 즉, 그들은 두 개의 동일한 근이 있다고 생각합니다.
.

답변

;
.

예 3

이차 방정식의 근을 찾으십시오.
(3.1) .

해결책

우리는 이차방정식을 일반적인 형태로 씁니다:
(1) .
원래 방정식(3.1)을 다시 작성해 보겠습니다.
.
(1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식은 음수, . 따라서 실제 뿌리가 없습니다.

복잡한 근을 찾을 수 있습니다.
;
;
.

그 다음에


.

함수의 그래프는 x축과 교차하지 않습니다. 진짜 뿌리가 없습니다.

함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 가로 좌표(축)를 교차하지 않습니다. 따라서 실제 뿌리가 없습니다.

답변

진짜 뿌리가 없습니다. 복잡한 뿌리:
;
;
.

비디오 강의 2: 이차방정식 풀기

강의: 이차방정식

방정식

방정식- 이것은 변수가 있는 표현에서 일종의 평등입니다.

방정식을 풀다- 올바른 평등으로 이끄는 변수 대신 그러한 숫자를 찾는 것을 의미합니다.

방정식에는 하나의 해가 있을 수도 있고 여러 개가 있을 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다.

방정식을 풀려면 가능한 한 다음 형식으로 단순화해야 합니다.

선의: a*x = b;

정사각형: a*x 2 + b*x + c = 0.

즉, 풀기 전에 방정식을 표준 형식으로 변환해야 합니다.

모든 방정식은 분석 및 그래픽의 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다.

그래프에서 방정식의 해는 그래프가 x축과 교차하는 지점으로 간주됩니다.

이차방정식

방정식을 단순화하면 다음과 같은 형식을 취하면 방정식을 2차 방정식이라고 할 수 있습니다.

a*x 2 + b*x + c = 0.

여기서 아, 나, 다 0과 다른 방정식의 계수입니다. ㅏ "엑스"- 방정식의 근. 이차방정식은 근이 2개이거나 해가 전혀 없을 수 있다고 믿어집니다. 결과 뿌리는 동일할 수 있습니다.

"ㅏ"- 제곱근 앞에 있는 계수.

"비"- 1급 미지의 것 앞에 선다.

"와 함께"- 방정식의 자유 항.

예를 들어 다음 형식의 방정식이 있는 경우:

2x 2 -5x+3=0

여기서 "2"는 방정식의 최상위 항에 있는 계수이고 "-5"는 두 번째 계수이며 "3"은 자유항입니다.

이차방정식 풀기

이차 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그러나 학교 수학 과정에서는 판별식을 사용할 뿐만 아니라 비에타 정리를 사용하여 솔루션을 연구합니다.

판별 솔루션:

로 해결할 때 이 방법다음 공식에 따라 판별식을 계산해야 합니다.

계산하는 동안 판별식이 0보다 작은 경우 이 방정식에 해가 없음을 의미합니다.

판별식이 0이면 방정식에는 두 개의 동일한 솔루션이 있습니다. 이 경우 약식 곱셈 공식에 따라 다항식을 합 또는 차의 제곱으로 축소할 수 있습니다. 그런 다음 선형 방정식처럼 해결하십시오. 또는 공식을 사용하십시오.

판별식이 0보다 크면 다음 방법을 사용해야 합니다.

비에타의 정리

방정식이 감소하면, 즉 가장 높은 항의 계수가 1이면 다음을 사용할 수 있습니다. 비에타의 정리.

방정식이 다음과 같다고 합시다.

방정식의 근은 다음과 같이 구합니다.

불완전한 이차 방정식

불완전한 이차 방정식을 얻기 위한 몇 가지 옵션이 있으며 그 형식은 계수의 존재에 따라 다릅니다.

1. 두 번째와 세 번째 계수가 0인 경우 (b=0, c=0), 이차 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식은 유일한 결정. 평등은 방정식의 해가 0인 경우에만 참입니다.

"방정식 풀기" 주제의 연속으로 이 문서의 자료는 2차 방정식을 소개합니다.

이차 방정식의 본질과 표기법, 관련 용어 설정, 불완전하고 완전한 방정식을 풀기 위한 체계 분석, 근과 판별식에 익숙해지기, 근과 계수 사이의 연결 설정 등 모든 것을 자세히 살펴보겠습니다. 실용적인 예의 시각적 솔루션을 제공합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

이차 방정식, 유형

정의 1

이차 방정식는 다음과 같이 쓰여진 방정식입니다. x 2 + b x + c = 0, 어디 엑스– 변수, a , b 및 씨몇 가지 숫자가 있는 반면 ㅏ 0이 아닙니다.

종종 2차 방정식은 2차 방정식이라고도 합니다. 사실 2차 방정식은 2차 대수 방정식이기 때문입니다.

주어진 정의를 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 등 이차 방정식입니다.

정의 2

숫자 a , b 및 씨이차 방정식의 계수입니다. x 2 + b x + c = 0, 계수 동안 ㅏ x 2에서 첫 번째 또는 선배 또는 계수, b - 두 번째 계수 또는 계수 엑스, ㅏ 씨무료회원이라고 합니다.

예를 들어, 이차 방정식에서 6 x 2 - 2 x - 11 = 0가장 높은 계수는 6이고 두 번째 계수는 − 2 , 무료 기간은 다음과 같습니다. − 11 . 계수가 비및/또는 c가 음수인 경우 짧은 형식형식의 기록 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, 하지만 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

또한 이 측면을 명확히 합시다. 계수가 ㅏ및/또는 비동일한 1 또는 − 1 , 그들은 표시된 수치 계수를 쓰는 특성으로 설명되는 이차 방정식을 쓰는 데 명시적인 부분을 차지하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식에서 y 2 − y + 7 = 0상위 계수는 1이고 두 번째 계수는 − 1 .

축소 및 축소되지 않은 이차 방정식

첫 번째 계수의 값에 따라 이차방정식은 환산식과 비환원식으로 나뉩니다.

정의 3

축소 이차 방정식는 선행 계수가 1인 이차 방정식입니다. 선행 계수의 다른 값의 경우 이차 방정식이 감소하지 않습니다.

다음은 몇 가지 예입니다. 2차 방정식 x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0은 각 방정식에서 선행 계수가 1인 감소됩니다.

9 x 2 - x - 2 = 0- 환원되지 않은 2차 방정식, 여기서 첫 번째 계수는 다음과 다릅니다. 1 .

축소되지 않은 이차 방정식은 두 부분을 첫 번째 계수로 나누어 축소된 방정식으로 변환할 수 있습니다(등가 변환). 변환된 방정식은 주어진 축소되지 않은 방정식과 동일한 근을 가지거나 근이 전혀 없을 것입니다.

고려 사항 사례 연구축소되지 않은 2차 방정식에서 축소된 2차 방정식으로의 전환을 시각적으로 보여줄 수 있습니다.

예 1

주어진 방정식 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . 원래 방정식을 축소된 형식으로 변환해야 합니다.

해결책

위의 체계에 따라 원래 방정식의 두 부분을 선행 계수 6으로 나눕니다. 그런 다음 다음을 얻습니다. (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, 이는 다음과 동일합니다. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0그리고 더: (6:6)×2+(18:6)×−7:6=0 .여기에서: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 . 따라서 주어진 것과 동등한 방정식이 얻어진다.

답변: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 .

완전하고 불완전한 이차방정식

이차 방정식의 정의를 살펴보겠습니다. 그 안에 우리는 ≠ 0. 방정식에도 비슷한 조건이 필요합니다. x 2 + b x + c = 0정확히 정사각형이었기 때문에 a = 0본질적으로 선형 방정식으로 변환됩니다. bx + c = 0.

계수가 비그리고 씨 0과 같으면(개별적으로나 공동으로 가능함) 이차 방정식을 불완전하다고 합니다.

정의 4

불완전한 이차 방정식이차방정식 x 2 + b x + c \u003d 0,계수 중 적어도 하나는 비그리고 씨(또는 둘 다)는 0입니다.

완전한 이차 방정식모든 수치 계수가 0이 아닌 이차 방정식입니다.

2차방정식의 유형에 정확히 그러한 이름이 부여된 이유에 대해 논의해 봅시다.

b = 0인 경우 이차 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 + 0 x + c = 0, 이는 다음과 동일합니다. x 2 + c = 0. ~에 씨 = 0이차 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. x 2 + b x + 0 = 0, 이는 동등합니다 x 2 + b x = 0. ~에 b = 0그리고 씨 = 0방정식은 형식을 취할 것입니다 × 2 = 0. 우리가 얻은 방정식은 왼편에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다를 동시에 포함하지 않는다는 점에서 완전 이차 방정식과 다릅니다. 실제로, 이 사실은 이러한 유형의 방정식에 이름을 부여했습니다. 불완전합니다.

예를 들어, x 2 + 3 x + 4 = 0 및 − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0은 완전 이차 방정식입니다. x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 은 불완전한 이차방정식입니다.

불완전한 이차방정식 풀기

위에 주어진 정의는 다음 유형의 불완전한 이차 방정식을 구별할 수 있게 합니다.

• × 2 = 0, 계수는 이러한 방정식에 해당합니다. b = 0및 c = 0;
• b \u003d 0의 경우 a x 2 + c \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 for c = 0 .

불완전한 이차방정식의 각 유형의 해를 순차적으로 고려하십시오.

방정식 a x 2 \u003d 0의 해

위에서 이미 언급했듯이 이러한 방정식은 계수에 해당합니다. 비그리고 씨, 0과 같습니다. 방정식 × 2 = 0등가 방정식으로 변환할 수 있습니다. x2 = 0, 원래 방정식의 양변을 숫자로 나누어 얻습니다. ㅏ, 0이 아닙니다. 명백한 사실은 방정식의 근 x2 = 0 0이기 때문에 0 2 = 0 . 이 방정식에는 정도의 속성으로 설명되는 다른 근이 없습니다. 피, 0이 아닌 경우 부등식은 참입니다. p2 > 0, 그 때부터 p ≠ 0평등 p2 = 0결코 도달하지 못할 것입니다.

정의 5

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 = 0에 대해 단일 근이 있습니다. x=0.

예 2

예를 들어 불완전한 이차방정식을 풀자. - 3×2 = 0. 방정식과 동일합니다. x2 = 0, 유일한 루트는 x=0, 원래 방정식은 단일 근 - 0을 갖습니다.

솔루션은 다음과 같이 요약됩니다.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

방정식 a x 2 + c \u003d 0의 해

다음 줄은 불완전한 이차 방정식의 솔루션입니다. 여기서 b \u003d 0, c ≠ 0, 즉 다음 형식의 방정식입니다. x 2 + c = 0. 방정식의 한 쪽에서 다른 쪽으로 용어를 옮기고 부호를 반대쪽으로 변경하고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누어 이 방정식을 변환해 보겠습니다.

• 견디다 씨방정식을 제공하는 오른쪽으로 x 2 = − c;
• 방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다. ㅏ, 결과는 x = - c a 입니다.

우리의 변환은 각각 동일하며 결과 방정식도 원래 방정식과 동일하며 이 사실을 통해 방정식의 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 가치는 무엇입니까 ㅏ그리고 씨식의 값에 따라 달라집니다. - c a: 빼기 기호를 가질 수 있습니다(예: a = 1그리고 씨 = 2, - c a = - 2 1 = - 2) 또는 더하기 기호(예: if a = -2그리고 c=6, 그러면 - ca = - 6 - 2 = 3); 0이 아니기 때문에 c ≠ 0. - c a 상황에 대해 더 자세히 살펴 보겠습니다.< 0 и - c a > 0 .

- c a의 경우< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피등식 p 2 = - c a는 참일 수 없습니다.

- c a > 0 일 때 모든 것이 다릅니다. 제곱근을 기억하면 - c a 2 \u003d - c a이기 때문에 방정식 x 2 \u003d - c a의 근은 숫자 - c a가 될 것입니다. 숫자 - - c a -가 방정식 x 2 = - c a의 근이기도 함을 이해하기 쉽습니다. 실제로 - - c a 2 = - c a .

방정식에는 다른 근이 없습니다. 반대 방법을 사용하여 이를 증명할 수 있습니다. 먼저 위에서 찾은 근의 표기법을 다음과 같이 설정하겠습니다. × 1그리고 − × 1. 방정식 x 2 = - c a에도 근이 있다고 가정해 봅시다. x2, 뿌리와는 다른 × 1그리고 − × 1. 대신 방정식에 대입하면 엑스그것의 뿌리, 우리는 방정식을 공정한 수치 평등으로 변환합니다.

을 위한 × 1그리고 − × 1쓰다: x 1 2 = - c a , 그리고 x2-x 2 2 \u003d-c a. 수치 평등의 속성에 따라 용어별로 다른 용어에서 하나의 진정한 평등을 빼서 다음을 제공합니다. x 1 2 − x 2 2 = 0. 숫자 연산의 속성을 사용하여 마지막 등식을 다음과 같이 다시 작성합니다. (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. 두 숫자의 곱은 숫자 중 적어도 하나가 0인 경우에만 0인 것으로 알려져 있습니다. 말한 것에서 다음과 같습니다. x1 - x2 = 0및/또는 x1 + x2 = 0, 같은 x2 = x1및/또는 엑스 2 = - 엑스 1. 명백한 모순이 발생했는데, 처음에는 방정식의 근이 다음과 같다는 데 동의했기 때문입니다. x2~와 다르다 × 1그리고 − × 1. 따라서 우리는 방정식에 x = - c a 및 x = - - c a 외에 다른 근이 없음을 증명했습니다.

위의 모든 주장을 요약합니다.

정의 6

불완전한 이차 방정식 x 2 + c = 0방정식 x 2 = - c a 와 동등합니다.

• - c a에 뿌리가 없습니다.< 0 ;
• -ca > 0일 때 두 근 x = - c a 및 x = - - c a를 갖습니다.

방정식을 푸는 예를 들어 보겠습니다. x 2 + c = 0.

예 3

주어진 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0 .해결책을 찾는 것이 필요합니다.

해결책

자유 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 9 x 2 \u003d-7.
결과 방정식의 양쪽을 다음과 같이 나눕니다. 9 , 우리는 x 2 = - 7 9 에 도달합니다. 오른쪽에는 빼기 기호가 있는 숫자가 표시됩니다. 이는 주어진 방정식에 근이 없음을 의미합니다. 그런 다음 원래 불완전한 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없을 것입니다.

답변:방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없습니다.

예 4

방정식을 푸는 데 필요합니다. − x2 + 36 = 0.

해결책

36을 오른쪽으로 옮깁니다. − x 2 = − 36.
두 부분을 나누어 보자 − 1 , 우리는 얻는다 x2 = 36. 오른쪽에 - 정수, 따라서 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다. x = 36 또는 x = - 36 .
우리는 근을 추출하고 최종 결과를 작성합니다: 불완전한 이차 방정식 − x2 + 36 = 0뿌리가 두 개 x=6또는 x = -6.

답변: x=6또는 x = -6.

방정식의 해 a x 2 +b x=0

세 번째 종류의 불완전한 이차 방정식을 분석해 보겠습니다. 씨 = 0. 불완전한 이차방정식의 해를 구하려면 x 2 + b x = 0, 우리는 인수 분해 방법을 사용합니다. 방정식의 왼쪽에 있는 다항식을 괄호 안의 공약수를 취하여 인수분해합시다. 엑스. 이 단계를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식을 등가 방정식으로 변환할 수 있습니다. x(a x + b) = 0. 그리고 이 방정식은 다음 방정식 세트와 동일합니다. x=0그리고 x + b = 0. 방정식 x + b = 0선형 및 루트: x = − b a.

정의 7

따라서 불완전한 이차방정식은 x 2 + b x = 0두 개의 뿌리를 가질 것입니다 x=0그리고 x = − b a.

예를 들어 자료를 통합합시다.

실시예 5

방정식 2 3 · x 2-2 2 7 · x = 0 의 해를 구해야 합니다.

해결책

테이크 아웃하자 엑스괄호 밖에 있고 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 방정식을 얻습니다. 이 방정식은 방정식과 동일합니다. x=0그리고 2 3 x - 2 2 7 = 0 입니다. 이제 결과 선형 방정식을 풀어야 합니다: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

간단히 말해서 방정식의 해를 다음과 같이 작성합니다.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 x = 3 3 7

답변: x = 0 , x = 3 3 7 .

판별식, 이차방정식 근의 공식

이차방정식의 해를 찾기 위해 근 공식이 있습니다.

정의 8

x = - b ± D 2 a, 여기서 D = b2-4ac소위 2차 방정식의 판별식입니다.

x \u003d - b ± D 2 a라고 쓰면 본질적으로 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a를 의미합니다.

표시된 공식이 어떻게 도출되었고 어떻게 적용되는지 이해하는 것이 유용할 것입니다.

이차방정식의 근의 공식 유도

우리가 이차방정식을 푸는 과제에 직면했다고 가정해 봅시다. x 2 + b x + c = 0. 여러 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 방정식의 양변을 숫자로 나눕니다. ㅏ, 0이 아닌 경우 감소 된 이차 방정식을 얻습니다. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• 발탁하다 풀 스퀘어결과 방정식의 왼쪽에:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  그 후 방정식은 x + b 2 a 2-b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• 이제 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮기고 부호를 반대 방향으로 바꿀 수 있습니다. x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• 마지막으로 마지막 평등의 오른쪽에 쓰여진 표현식을 변환합니다.
  b 2 a 2-ca \u003d b 2 4 a 2-ca \u003d b 2 4 a 2-4 a c 4 a 2 \u003d b 2-4 a c 4 a 2.

따라서 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 에 도달했습니다. 이는 원래 방정식과 동일합니다. x 2 + b x + c = 0.

이전 단락에서 그러한 방정식의 해(불완전한 이차 방정식의 해)에 대해 논의했습니다. 이미 얻은 경험을 통해 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2의 근에 관한 결론을 도출할 수 있습니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2의 경우< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0의 경우 방정식의 형식은 x + b 2 · a 2 = 0이고 x + b 2 · a = 0입니다.

여기에서 유일한 루트 x = - b 2 · a는 명백합니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0의 경우 올바른 것은 x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 입니다. x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 와 같습니다. 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2(따라서 원래 방정식)의 근의 존재 또는 부재는 표현 b 2 - 4 a c의 부호에 따라 달라진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 4 · 오른쪽에 적힌 a 2. 그리고 이 표현의 부호는 분자의 부호(분모 4시 2분항상 긍정적일 것입니다), 즉 표현의 부호 ㄴ 2 - 4 ㄷ. 이 표현 ㄴ 2 - 4 ㄷ이름이 주어집니다 - 이차 방정식의 판별식과 문자 D가 지정으로 정의됩니다. 여기에서 판별의 본질을 쓸 수 있습니다. 값과 부호로 이차 방정식에 실제 근이 있는지, 그렇다면 근이 몇 개인지 (1 또는 2) 결론을 내립니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 로 돌아가 봅시다. 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

결론을 요약하자면 다음과 같습니다.

정의 9

• ~에 디< 0 방정식에는 실근이 없습니다.
• ~에 D=0방정식은 단일 루트를 가집니다. x = - b 2 · a ;
• ~에 D > 0방정식에는 x \u003d-b 2 a + D 4 a 2 또는 x \u003d-b 2 a-D 4 a 2의 두 가지 근이 있습니다. 라디칼의 속성에 따라 이러한 근은 x \u003d - b 2 a + D 2 a 또는 - b 2 a - D 2 a로 쓸 수 있습니다. 그리고 모듈을 열고 분수를 공통 분모로 줄이면 x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a를 얻습니다.

따라서 추론의 결과는 이차 방정식의 근에 대한 공식의 유도였습니다.

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , 판별식 디공식으로 계산 D = b2-4ac.

이러한 공식은 판별식이 0보다 클 때 두 실근을 결정하는 것을 가능하게 합니다. 판별식이 0일 때 두 공식을 모두 적용하면 이차 방정식의 유일한 해로서 동일한 근이 제공됩니다. 판별식이 음수인 경우 이차 근 공식을 사용하려고 하면 다음을 추출해야 합니다. 제곱근음수에서 실수를 넘어 우리를 데려 갈 것입니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에 실수 근이 없지만 우리가 얻은 동일한 근 공식에 의해 결정되는 복소수 켤레 근 쌍이 가능합니다.

근 공식을 사용하여 이차방정식을 푸는 알고리즘

근식을 이용하여 바로 이차방정식을 푸는 것도 가능하지만 기본적으로 복소근을 구해야 하는 경우에 한다.

대부분의 경우 검색은 일반적으로 복소수에 대한 것이 아니라 이차 방정식의 실근에 대한 것입니다. 그런 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 결정하고 음수가 아닌지 확인하는 것이 최적입니다(그렇지 않으면 방정식에 실근이 없다고 결론을 내릴 것입니다). 뿌리의 가치

위의 추론을 통해 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화할 수 있습니다.

정의 10

이차 방정식을 풀려면 x 2 + b x + c = 0, 필요한:

• 공식에 따르면 D = b2-4ac판별식의 값을 찾으십시오.
• D에서< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0의 경우 공식 x = - b 2 · a로 방정식의 유일한 근을 찾으십시오.
• D > 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a로 이차 방정식의 두 실근을 결정합니다.

판별식이 0일 때 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용할 수 있으며 공식 x = - b 2 · a와 동일한 결과를 제공합니다.

예를 고려하십시오.

이차 방정식 풀이의 예

에 대한 예시 솔루션을 제공합니다. 다른 값판별.

실시예 6

방정식의 근을 찾는 것이 필요합니다 x 2 + 2 x - 6 = 0.

해결책

우리는 이차 방정식의 수치 계수를 씁니다 : a \u003d 1, b \u003d 2 및 c = - 6. 다음으로 알고리즘에 따라 행동합니다. 계수를 대체하는 판별식 계산을 시작하겠습니다 a , b 그리고 씨판별 공식으로: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

따라서 우리는 D > 0을 얻었습니다. 즉, 원래 방정식은 두 개의 실근을 갖게 됩니다.
이를 찾기 위해 루트 공식 x \u003d - b ± D 2 · a를 사용하고 적절한 값을 대체하면 x \u003d - 2 ± 28 2 · 1을 얻습니다. 우리는 근의 부호에서 인수를 취한 다음 분수를 줄임으로써 결과 표현식을 단순화합니다.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 또는 x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 또는 x = - 1 - 7

답변: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

실시예 7

이차방정식을 푸는데 필요하다 − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

해결책

판별식을 정의해 봅시다: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. 이 판별식 값을 사용하면 원래 방정식은 공식 x = - b 2 · a에 의해 결정되는 단 하나의 근만 갖게 됩니다.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

답변: 엑스 = 3, 5.

실시예 8

방정식을 푸는 데 필요합니다. 5y 2 + 6y + 2 = 0

해결책

이 방정식의 수치 계수는 a = 5 , b = 6 및 c = 2 입니다. 이 값을 사용하여 판별식을 찾습니다. D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . 계산된 판별식이 음수이므로 원래 이차 방정식에는 실근이 없습니다.

작업이 복소수 근을 표시하는 경우 복소수로 연산을 수행하여 근 공식을 적용합니다.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 나는 10 또는 x \u003d - 6 - 2 나는 10,

x = - 3 5 + 1 5 i 또는 x = - 3 5 - 1 5 i .

답변:실제 뿌리가 없습니다. 복소수 근은 - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i 입니다.

안에 학교 커리큘럼기본적으로 복소근을 찾을 필요가 없으므로 해를 구하는 동안 판별식이 음수로 결정되면 실제 근이 없다는 대답이 즉시 기록됩니다.

두 번째 계수의 근 공식

루트 공식 x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c)를 사용하면 더 간단한 다른 공식을 얻을 수 있으므로 x에서 짝수 계수가 있는(또는 계수가 있는) 이차 방정식의 해를 찾을 수 있습니다. 형식 2 an, 예를 들어 2 3 또는 14 ln 5 = 2 7 ln 5). 이 공식이 어떻게 유도되는지 보여드리겠습니다.

우리가 이차방정식 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0에 대한 해를 찾는 과제에 직면했다고 가정합니다. 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 판별자를 결정합니다. D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , 다음 루트 공식을 사용합니다.

x \u003d-2n ± D 2a, x \u003d-2n ± 4n 2-ac 2a, x \u003d-2n ± 2n 2-ac 2a, x = -n ± n 2-a · 가.

표현 n 2 − a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 사용하여 고려되는 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

x \u003d-n ± D 1a, 여기서 D1 \u003d n 2-a c.

D = 4 · D 1 또는 D 1 = D 4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 판별식의 1/4입니다. 분명히, D 1의 부호는 D의 부호와 동일하며, 이는 D 1의 부호가 이차 방정식의 근의 존재 또는 부재를 나타내는 지표로도 작용할 수 있음을 의미합니다.

정의 11

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식의 해를 찾으려면 다음이 필요합니다.

• 찾기 D 1 = n 2 − ac ;
• D 1에서< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0의 경우 공식 x = - n a 로 방정식의 유일한 근을 결정합니다.
• D 1 > 0의 경우 공식 x = - n ± D 1 a를 사용하여 두 개의 실근을 결정합니다.

실시예 9

이차방정식 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0을 풀어야 합니다.

해결책

주어진 방정식의 두 번째 계수는 2 · (− 3) 으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 주어진 이차 방정식을 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 으로 다시 씁니다. 여기서 a = 5 , n = − 3 및 c = − 32 입니다.

판별식의 네 번째 부분을 계산해 봅시다: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . 결과 값은 양수이며 방정식에 두 개의 실근이 있음을 의미합니다. 우리는 근의 해당 공식으로 정의합니다.

x = - n ± D 1a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 또는 x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 또는 x = - 2

이차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하여 계산을 수행하는 것이 가능하지만 이 경우 솔루션이 더 번거로울 것입니다.

답변: x = 31 5 또는 x = - 2 .

이차방정식 형태의 단순화

때로는 원래 방정식의 형태를 최적화하여 근을 계산하는 과정을 단순화하는 것이 가능합니다.

예를 들어, 이차 방정식 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0은 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0보다 풀기에 분명히 더 편리합니다.

더 자주, 이차 방정식 형태의 단순화는 두 부분을 특정 숫자로 곱하거나 나누어서 수행됩니다. 예를 들어 위에서 두 부분을 모두 100으로 나누어 얻은 방정식 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0의 단순화된 표현을 보여주었습니다.

이러한 변환은 이차방정식의 계수가 서로 맞지 않을 때 가능하다. 소수. 그런 다음 방정식의 양쪽을 가장 큰 값으로 나누는 것이 일반적입니다. 공약수계수의 절대 값.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 42 x + 48 = 0을 사용합니다. 계수의 절대 값의 gcd를 정의합시다 : gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 모두 6으로 나누고 등가 이차 방정식 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0을 구해 봅시다.

이차방정식의 양변을 곱하면 일반적으로 분수 계수가 제거됩니다. 이 경우 계수 분모의 최소 공배수를 곱하십시오. 예를 들어, 이차 방정식 1 6 x 2 + 2 3 x-3 \u003d 0의 각 부분에 LCM (6, 3, 1) \u003d 6을 곱하면 더 많이 쓰여집니다. 간단한 양식엑스 2 + 4 엑스 - 18 = 0 .

마지막으로, 거의 항상 이차 방정식의 첫 번째 계수에서 마이너스를 제거하여 두 부분을 -1로 곱(또는 나누기)하여 방정식의 각 항의 부호를 변경합니다. 예를 들어 이차 방정식-2 x 2-3 x + 7 \u003d 0에서 단순화 된 버전 2 x 2 + 3 x-7 \u003d 0으로 이동할 수 있습니다.

근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대해 이미 알려진 공식 x = - b ± D 2 · a는 수치 계수로 방정식의 근을 표현합니다. 이 공식을 기반으로 근과 계수 사이에 다른 종속성을 설정할 수 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 것은 Vieta 정리의 공식입니다.

x 1 + x 2 \u003d-b a 및 x 2 \u003d c a.

특히 주어진 이차방정식에서 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수이고 근의 곱은 자유항과 같다. 예를 들어, 이차 방정식 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0의 형태로 근의 합이 7 3이고 근의 곱이 22 3임을 즉시 결정할 수 있습니다.

또한 이차 방정식의 근과 계수 사이에 다른 많은 관계를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식의 근의 제곱의 합은 계수로 표현될 수 있습니다.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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이 주제는 많은 문제로 인해 처음에는 어려워 보일 수 있습니다. 간단한 공식. 이차방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 판별식을 통해 근도 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 해결 후에만 가능합니다. 그러면 모든 수식이 저절로 기억됩니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기서 가장 큰 정도가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 분리되는 상황이 있습니다. 그런 다음 변수의 차수가 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수락하면 모든 이차 방정식이 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1로 표시하십시오.

방정식이 주어지면 답에 몇 개의 근이 있는지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 대답은 하나의 숫자입니다.
• 방정식에는 근이 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 떨어질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 기록 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 결과가 나타납니다. 이러한 레코드는 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.

또한 계수 "b" 및 "c"가 사라질 수 있는 항만 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 상황에서도 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 수식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 수식을 숫자 2로 하고 두 번째 수식을 3으로 합니다.

판별식과 그 값에 대한 뿌리 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 관계없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 합니다. 그러면 숫자 4가 됩니다.

계수의 값을 이 공식에 대입하면 다음과 같이 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 답이 '예'이면 방정식의 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0과 같으면 답은 1이 됩니다.

완전한 이차방정식은 어떻게 풀까요?

사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 있으면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 이러한 공식을 적용해야 합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식을 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차방정식은 어떻게 풀까?

여기서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 공식이 필요하지 않습니다. 판별식과 미지식에 대해 이미 작성된 항목은 필요하지 않습니다.

먼저 불완전한 방정식 2를 고려하십시오. 이 등식에서는 괄호에서 알 수 없는 값을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

세 번째의 불완전한 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮기면 해결됩니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 적어 두는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 등식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 학생이 부주의로 인한 실수를 피하도록 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "Quadric Equations (Grade 8)"을 공부할 때 낮은 성적을 받는 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생기기 때문입니다.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 차수가 가장 큰 항, 차수가 없는 항, 마지막 항은 그냥 숫자입니다.

• 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 공부하는 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 용어가 반대 부호로 변경됨을 의미합니다.

• 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2-7x \u003d 0;

15-2x-x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식 : x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2 번에 설명 된대로 해결됩니다.

브라케팅 후 x (x-7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 근은 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 다음에서 찾을 수 있습니다. 일차 방정식: x - 7 = 0. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 등식: 5x2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로 해결됩니다.

방정식의 오른쪽으로 30을 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 대답은 x 1 = √6, x 2 = - √입니다. 6.

세 번째 방정식 : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 해는 다음과 같이 다시 작성하여 시작됩니다. 표준 보기: - x 2 - 2x + 15 = 0. 이제 두 번째를 사용할 시간입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x-15 \u003d 0으로 밝혀졌습니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d -5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 다음과 같이 변환됩니다. x 2 + 3x + 8 \u003d 0. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 답은 "루트가 없습니다."입니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6을 갖게 됨을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 유사한 용어를 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 대신 x 2 + 2x + 1과 같은 표현이 있습니다. 등식 후에는 x 2 + 3x + 2 항목이 나타납니다. 유사한 용어를 세면 방정식은 x 2 형식을 취합니다. -x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이 수학 프로그램을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 이차방정식을 풀다.

이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라 두 가지 방법으로 해결 프로세스를 표시합니다.
- 판별식 사용
- Vieta 정리를 사용합니다(가능한 경우).

또한 답은 대략적이지 않고 정확하게 표시됩니다.
예를 들어 방정식 \(81x^2-16x-1=0\)의 경우 답은 다음 형식으로 표시됩니다.

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) 다음 대신 $$: \(x_1 = 0.247; \ 쿼드 x_2 = -0.05 \)

이 프로그램은 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 일반 교육 학교준비 중 제어 작업및 시험, 시험 전에 지식을 테스트할 때 부모는 수학 및 대수학의 많은 문제의 솔루션을 제어합니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하기에는 너무 비쌀까요? 아니면 가능한 한 빨리 끝내고 싶습니까? 숙제수학 또는 대수학? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

따라서, 당신은 당신의 자신의 훈련해결해야 할 과제 분야의 교육 수준이 높아지는 동안 남동생의 훈련 및 / 또는 훈련.

제곱 다항식을 입력하는 규칙에 익숙하지 않은 경우 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.

제곱 다항식 입력 규칙

모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) 등

숫자는 정수 또는 분수로 입력할 수 있습니다.
또한, 분수는 소수의 형태뿐만 아니라 일반 분수의 형태로도 입력할 수 있습니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분에서 정수의 소수 부분은 점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같이 소수를 입력할 수 있습니다. 2.5x - 3.5x^2

일반 분수 입력 규칙.
정수만 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.

분모는 음수가 될 수 없습니다.

분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
정수 부분은 앰퍼샌드로 분수와 구분됩니다. &
입력: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
결과: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

표현식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 이차방정식을 풀 때 도입한 식을 먼저 단순화한다.
예: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

결정하다

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약간의 이론.

이차방정식과 그 근. 불완전한 이차 방정식

각 방정식
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
형태를 갖는다
\(ax^2+bx+c=0, \)
여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 숫자입니다.
첫 번째 방정식에서 a = -1, b = 6 및 c = 1.4, 두 번째 방정식에서 a = 8, b = -7 및 c = 0, 세 번째 방정식에서 a = 1, b = 0 및 c = 4/9입니다. 이러한 방정식을 이차방정식.

정의.
이차 방정식 ax 2 +bx+c=0 형식의 방정식이 호출됩니다. 여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자이고 \(a \neq 0 \)입니다.

숫자 a, b 및 c는 이차 방정식의 계수입니다. 숫자 a는 첫 번째 계수, 숫자 b는 두 번째 계수, 숫자 c는 절편입니다.

형식 ax 2 +bx+c=0(여기서 \(a \neq 0 \))의 각 방정식에서 변수 x의 최대 거듭제곱은 제곱입니다. 따라서 이름: 이차 방정식.

이차방정식은 좌변이 2차 다항식이므로 2차방정식이라고도 합니다.

x 2에서의 계수가 1인 이차방정식을 감소된 이차 방정식. 예를 들어, 주어진 이차 방정식은 다음 방정식입니다.
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

이차 방정식에서 ax 2 +bx+c=0 계수 b 또는 c 중 적어도 하나가 0이면 이러한 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식. 따라서 방정식 -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0은 불완전한 이차 방정식입니다. 첫 번째는 b=0, 두 번째는 c=0, 세 번째는 b=0, c=0입니다.

불완전한 이차 방정식은 세 가지 유형이 있습니다.
1) ax 2 +c=0, 여기서 \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, 여기서 \(b \neq 0 \);
3) x2=0.

이러한 각 유형의 방정식 솔루션을 고려하십시오.

\(c \neq 0 \)에 대해 ax 2 +c=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 자유항을 오른쪽으로 옮기고 방정식의 두 부분을 모두 a로 나눕니다.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \오른쪽 화살표 x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \)이므로 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0 \)이면 방정식에 두 개의 근이 있습니다.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \)에 대해 형식 ax 2 +bx=0의 불완전한 이차 방정식을 풀려면 좌변을 인수분해하여 다음 방정식을 얻습니다.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (배열)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

따라서 \(b \neq 0 \)에 대해 ax 2 +bx=0 형식의 불완전한 이차 방정식은 항상 두 개의 근을 가집니다.

ax 2 \u003d 0 형식의 불완전한 이차 방정식은 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하므로 단일 루트 0을 갖습니다.

이차 방정식의 근에 대한 공식

이제 미지수와 자유 항의 계수가 모두 0이 아닌 2차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

우리는 일반적인 형태로 이차방정식을 풀고 그 결과 근의 공식을 얻습니다. 그런 다음 이 공식을 적용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다.

이차방정식 풀기 ax 2 +bx+c=0

두 부분을 a로 나누면 등가 축소 이차 방정식을 얻습니다.
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

이항식의 제곱을 강조 표시하여 이 방정식을 변환합니다.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \오른쪽 화살표 \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \오른쪽 화살표 \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \오른쪽 화살표 x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \오른쪽 화살표 \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

루트 표현은 이차 방정식의 판별식 ax 2 +bx+c=0 (라틴어로 "판별" - 구분자). 문자 D로 표시됩니다.
\(D = b^2-4ac\)

이제 판별식 표기법을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 다시 작성합니다.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), 여기서 \(D= b^2-4ac \)

그것은 명백하다:
1) D>0이면 이차 방정식은 두 개의 근을 가집니다.
2) D=0이면 이차방정식은 하나의 근 \(x=-\frac(b)(2a)\)을 가집니다.
3) D이면 판별식의 값에 따라 이차방정식은 두 개의 근(D > 0의 경우), 하나의 근(D = 0의 경우) 또는 근이 없을 수 있습니다(D의 경우 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 때 , 다음과 같은 방법을 수행하는 것이 좋습니다.
1) 판별식을 계산하고 0과 비교합니다.
2) 판별식이 양수이거나 0이면 근 공식을 사용하고 판별식이 음수이면 근이 없다고 기록하십시오.

비에타의 정리

주어진 이차 방정식 ax 2 -7x+10=0은 근 2와 5를 가집니다. 근의 합은 7이고 곱은 10입니다. 근의 합은 두 번째 계수와 같습니다. 부호가 반대이고 근의 곱은 자유 항과 같습니다. 근이 있는 축소된 이차 방정식은 이 속성을 가집니다.

주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.

저것들. Vieta의 정리는 축소된 이차 방정식 x 2 +px+q=0의 근 x 1 및 x 2가 다음 속성을 갖는다고 말합니다.
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)