대수를 곱하는 공식. 로그의 정의, 기본 로그 항등식

이제 고려 일반 계획대수 계산. 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑수 a와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현하십시오. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다: x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 됩니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이것은 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 기준이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수의 경우도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 줄어듭니다.

이 체계가 구체적인 예와 함께 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 대수 계산: log 5 25

1. 밑과 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. 답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 대수 계산: log 4 64

1. 밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. 답변을 받았습니다: 3.

일. 대수 계산: log 16 1

1. 밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. 응답을 받았습니다: 0.

일. 대수 계산: log 7 14

1. 밑과 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 나타내지 않습니다.< 14 < 7 2 ;
2. 로그가 고려되지 않는다는 것은 이전 단락에서 이어집니다.
3. 정답은 변화가 없다는 것입니다: log 7 14.

작은 메모 마지막 예. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하면 됩니다. 전개에 적어도 두 개의 구별되는 요인이 있는 경우 그 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 -정확한 정도 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 인수가 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 -정확한 정도;
35 = 7 5 - 정확한 정도는 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도는 아닙니다.

우리는 또한 우리가 소수항상 자신의 정확한 힘입니다.

십진수 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 밑이 10인 로그, 즉 x를 얻기 위해 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lgx.

예를 들어, log 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

이제부터 교과서에 "lg 0.01을 찾아라" 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두세요. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 그것은 관하여자연로그에 대해.

x 인수의 밑수 e에 대한 로그, 즉 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱입니다. 명칭: lnx.

많은 사람들이 묻습니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이것은 무리수입니다 정확한 값찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459…

이 번호가 무엇이며 왜 필요한지는 조사하지 않겠습니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; log e 2 = 2; ln 전자 16 = 16 - 등 반면에 ln 2는 무리수입니다. 일반적으로 모든 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 적용되는 모든 규칙이 유효합니다.

또한보십시오:

로그. 로그의 속성(로그의 거듭제곱).

숫자를 로그로 나타내는 방법은 무엇입니까?

로그의 정의를 사용합니다.

로그는 로그 기호 아래의 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱의 지표입니다.

따라서 어떤 수 c를 밑수 a에 대한 로그로 나타내기 위해서는 로그의 밑이 같은 밑수를 가지는 정도를 로그의 부호 아래에 넣고 이 숫자 c를 지수에 쓰면 됩니다.

로그의 형태로 양수, 음수, 정수, 분수, 합리적, 비합리적인 모든 숫자를 절대적으로 나타낼 수 있습니다.

시험이나 시험의 스트레스가 많은 조건에서 a와 c를 혼동하지 않으려면 다음 규칙을 사용하여 기억할 수 있습니다.

아래에 있는 것은 내려가고 위에 있는 것은 올라간다.

예를 들어, 숫자 2를 밑이 3인 로그로 나타내려고 합니다.

2와 3이라는 두 개의 숫자가 있습니다. 이 숫자는 밑수와 지수이며 로그 기호 아래에 쓸 것입니다. 이 숫자 중 어느 것을 지수의 기준으로, 어떤 숫자를 위로 써야 하는지 결정해야 합니다.

로그의 기록에서 밑이 3은 맨 아래에 있습니다. 즉, 밑이 3인 데 듀스를 로그로 표시할 때 밑이 3이기도 합니다.

2는 3보다 높습니다. 그리고 정도의 표기법에서 우리는 셋 위에 2를 씁니다. 즉, 지수에:

로그. 첫 번째 수준.

대수

로그정수 비이유에 의해 ㅏ, 어디 a > 0, a ≠ 1, 숫자를 올려야 하는 지수입니다. ㅏ, 얻기 위해 비.

로그의 정의다음과 같이 간단히 작성할 수 있습니다.

이 평등은 다음에 유효합니다. b > 0, a > 0, a ≠ 1.그는 보통 로그 아이덴티티.
숫자의 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 로그.

대수의 속성:

곱의 로그:

나눗셈에서 얻은 몫의 로그:

대수의 밑을 바꾸기:

도 로그:

루트 로그:

밑이 멱인 로그:

십진수 및 자연 로그.

십진수 로그숫자는 해당 숫자의 밑이 10인 로그를 호출하고   lg라고 씁니다. 비
자연 로그숫자는 밑수에 대한 이 숫자의 로그를 호출합니다. 이자형, 어디 이자형는 대략 2.7과 같은 무리수입니다. 동시에 그들은 ln을 씁니다. 비.

대수학 및 기하학에 대한 기타 참고 사항

로그의 기본 속성

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이러한 규칙을 알아야 합니다. 이러한 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(log a x 및 log a y)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이 공식은 계산에 도움이 됩니다. 대수식개별 부분이 고려되지 않은 경우에도 마찬가지입니다("대수란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 3 135 − log 3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3135 - log35 = log3(135:5) = log327 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

쉽게 볼 수 있습니다 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그임을 유의하십시오: 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다. 그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 log 2 7과 같은 숫자를 갖습니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 같은 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

그것이 주어 지도록하십시오 대수 로그도끼. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑으로 이동하여 십진수 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다.

이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

실제로, 이 정도의 숫자 b가 숫자 a를 제공하는 정도로 숫자 b를 올리면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log 25 64 = log 5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

1. log a a = 1 입니다. 한 번만 기억하세요: 어떤 밑수 a에 대한 로그 자체는 1과 같습니다.
2. 로그 a 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

쉽게 설명해보자. 예를 들어 \(\log_(2)(8)\)은 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명하다.

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준으로 작성되며 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽힙니다. "25의 밑이 5인 로그."

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻기 위해 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻기 위해 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻기 위해 \(\sqrt(5)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 숫자를 단위로 만드는 정도는 얼마입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)을 얻기 위해 \(\sqrt(7)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 정도의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻기 위해 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 즉, 제곱근정도 \(\frac(1)(2)\) 입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었을까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\). x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 약간 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 쓰여질까요? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기에 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

\(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 10진수로 나타내면 다음과 같을 것입니다. \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 풀기 \(4^(5x-4)=10\)

해결책 :

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

십진수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이, 그 밑은 임의일 수 있습니다. 정수단, \((a>0, a\neq1)\) 단위는 예외입니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서, 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 그들과 함께 로그에 대해 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다:

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 같음)인 로그이고 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 같습니다.

십진수 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 씁니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 같습니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 대수 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 대수 항등식"이라고 하며 다음과 같습니다.

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 정확히 어떻게 나타나는지 봅시다.

기억하자 짧은 메모로그 정의:

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉 \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그런 다음 공식 \(a^(b)=c\) 에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. 그것은 \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 대수 항등식으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 숫자는 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 \(\log_(2)(4)\)가 2라는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 2개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 이라고 쓸 수도 있습니다. 마찬가지로 \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등이 있습니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 임의의 밑을 사용하여 둘을 로그로 작성할 수 있습니다(방정식, 표현식, 부등식에서도). 우리는 단지 제곱 밑을 인수로 씁니다.

삼중도 마찬가지입니다. \(\log_(2)(8)\) 또는 \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기서 우리는 큐브의 밑을 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 1/3로:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)