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기지별로 기록하십시오. 대수 표현식

그래서, 우리는 2의 거듭제곱을 가집니다. 밑줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 거듭제곱을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6제곱을 올려야 합니다. 이것은 테이블에서 볼 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실 로그의 정의는 다음과 같습니다.

인수 x의 밑수 a에 대한 로그는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법 : log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(8의 밑이 2인 로그는 2 3 = 8이기 때문에 3입니다). 2 6 = 64 이므로 2 64 = 6 을 기록할 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 로그를 찾는 연산을 로그라고 합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 216 = 4	로그 2 32 = 5	로그 264 = 6

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, log 2 5 를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 로직은 로그가 세그먼트의 어딘가에 있을 것이라고 지시합니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 반복되지 않습니다. 로그가 무리수로 판명되면 다음과 같이 두는 것이 좋습니다: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

로그는 두 개의 변수(밑과 인수)가 있는 표현식임을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에는 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하려면 사진을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱, 인수를 얻으려면 베이스를 올려야 합니다. 그것은 힘으로 올라간 기초입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 기지는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 번째 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하며 혼란이 없습니다.

우리는 정의를 알아 냈습니다. 대수를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 유의하십시오.

인수와 기준은 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적인 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
어떤 권력에 대한 단위도 여전히 단위이기 때문에 기초는 통일성과는 달라야 합니다. 이 때문에 “둘을 얻으려면 어떤 권세로 높여야 하나”라는 질문은 무의미합니다. 그런 학위가 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

숫자 b(대수의 값)에 대한 제한이 없음에 유의하십시오. 예를 들어 로그는 음수 일 수 있습니다. log 2 · 0.5 \u003d -1 0.5 = 2 -1 .

그러나 이제 우리는 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 수치식만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 대수 방정식과 부등식이 작용하면 DHS 요구 사항이 의무 사항이 됩니다. 사실, 근거와 주장에는 위의 제한 사항에 반드시 일치하지 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 고려 일반 계획대수 계산. 세 단계로 구성됩니다.

밑수 a와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현하십시오. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
변수 b에 대한 방정식을 풉니다: x = a b ;
결과 숫자 b가 답이 됩니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이것은 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 기준이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수의 경우도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 줄어듭니다.

이 체계가 구체적인 예와 함께 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 대수 계산: log 5 25

밑과 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
log 525 = b ⇒ (5 1) b = 52 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 대수 계산: log 4 64

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
방정식을 만들고 풀자:
로그 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
답변을 받았습니다: 3.

일. 대수 계산: log 16 1

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
방정식을 만들고 풀자:
로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
응답을 받았습니다: 0.

일. 대수 계산: log 7 14

밑과 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 나타내지 않습니다.< 14 < 7 2 ;
로그가 고려되지 않는다는 것은 이전 단락에서 이어집니다.
정답은 변화가 없다는 것입니다: log 7 14.

작은 메모 마지막 예. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하면 됩니다. 전개에 적어도 두 개의 구별되는 요인이 있는 경우 그 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 -정확한 정도 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 인수가 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 -정확한 정도;
35 = 7 5 - 정확한 정도는 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도는 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 정확한 거듭제곱이라는 점에 유의하십시오.

십진수 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 십진수 로그는 밑이 10인 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 올리는 데 필요한 거듭제곱입니다. 명칭: lg x .

예를 들어, log 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

이제부터 교과서에 "lg 0.01을 찾아라" 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두세요. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 그것은 관하여자연로그에 대해.

x의 자연 로그는 밑 e 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱입니다. 명칭: ln x .

많은 사람들이 물을 것입니다 : 숫자 e는 또 무엇입니까? 이것은 무리수입니다 정확한 값찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459...

이 번호가 무엇이며 왜 필요한지는 조사하지 않겠습니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1 ; log e2 = 2 ; ln 전자 16 = 16 - 등 반면에 ln 2는 무리수입니다. 일반적으로 모든 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

을 위한 자연 로그일반 로그에 대해 참인 모든 규칙이 유효합니다.

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이러한 규칙을 알아야 합니다. 이러한 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그를 고려하십시오. ㅏ 엑스그리고 로그 ㅏ 와이. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

통나무 ㅏ 엑스+로그 ㅏ 와이= 로그 ㅏ (엑스 · 와이);
통나무 ㅏ 엑스-로그 ㅏ 와이= 로그 ㅏ (엑스 : 와이).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 3 135 − log 3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3135 - log35 = log3(135:5) = log327 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

쉽게 볼 수 있습니다 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 로그가 관찰되는 경우 의미가 있습니다. ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 엑스> 0. 그리고 한 가지 더: 모든 공식을 왼쪽에서 오른쪽으로 뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배웁니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.
[그림설명]

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그임을 유의하십시오: 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는:

[그림설명]

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다. 그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 log 2 7과 같은 숫자를 갖습니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 동일한 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

그것이 주어 지도록하십시오 대수 로그 ㅏ 엑스. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 씨그렇게 씨> 0 및 씨≠ 1, 등식은 참입니다.
[그림설명]
특히, 넣으면 씨 = 엑스, 우리는 얻는다:
[그림설명]

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

[그림설명]

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

[그림설명]

이제 없애자 십진 로그, 새 기지로 이동:

[그림설명]

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우, 번호 N인수의 지수가 됩니다. 숫자 N로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 이것은 기본 대수 항등식(basic logarithmic identity)이라고 불립니다.

실제로 숫자가 있으면 어떻게됩니까? 비힘을 키우다 비이 정도로 숫자를 제공합니다 ㅏ? 맞습니다. 이것은 같은 숫자입니다 ㅏ. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.
[그림설명]

log 25 64 = log 5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

[그림설명]

모르는 사람이 있다면 이것은 시험의 실제 과제였습니다 :)

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

통나무 ㅏ ㅏ= 1은 로그 단위입니다. 한 번만 기억하십시오: 임의의 밑수에 대한 로그 ㅏ이 기본 자체에서 1과 같습니다.
통나무 ㅏ 1 = 0은 대수 0입니다. 베이스 ㅏ무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 왜냐하면 ㅏ 0 = 1은 정의의 직접적인 결과입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

사회의 발전, 생산의 복잡성과 함께 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 이동. 덧셈과 뺄셈의 일반적인 회계 방법에서 반복되는 반복으로 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈 반복 연산의 감소는 지수화의 개념이 되었습니다. 기본에 대한 숫자의 의존성과 지수의 수에 대한 첫 번째 테이블은 8 세기에 인도 수학자 Varasena에 의해 편집되었습니다. 그들로부터 대수 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 개요

16세기 유럽의 부흥 역시 역학의 발전을 자극했습니다. 티 많은 양의 계산이 필요함여러 자리 숫자의 곱셈 및 나눗셈과 관련이 있습니다. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 복잡한 연산을 덧셈과 뺄셈과 같은 더 간단한 연산으로 대체할 수 있게 만들었습니다. 큰 진전은 1544년에 출판된 수학자 Michael Stiefel의 작업으로 많은 수학자들의 아이디어를 실현했습니다. 이것은 형식의 학위뿐만 아니라 테이블을 사용할 수 있게 했습니다. 소수, 뿐만 아니라 임의의 합리적인 것들에 대해서도 마찬가지입니다.

1614년 스코틀랜드인 존 네이피어는 이러한 아이디어를 발전시키면서 "숫자의 대수"라는 새로운 용어를 처음 도입했습니다. 탄젠트뿐만 아니라 사인과 코사인의 로그를 계산하기 위해 새로운 복합 테이블이 작성되었습니다. 이것은 천문학자들의 작업을 크게 줄였습니다.

과학자들이 성공적으로 사용한 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 삼세기. 전에는 시간이 오래 걸렸습니다. 새로운 작전대수학에서 완성된 형태를 얻었습니다. 로그를 정의하고 그 속성을 연구했습니다.

20세기가 되어서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸다.

오늘날 우리는 a의 거듭제곱인 숫자 x를 밑으로 하는 b의 로그를 호출하여 숫자 b를 얻습니다. 이것은 공식으로 쓰여집니다: x = log a(b).

예를 들어, log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따른다면 이는 명백합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의는 숫자 a와 b가 실수여야 한다는 한 가지 제한만 둡니다.

로그의 종류

고전적인 정의는 실수 로그라고 하며 실제로 방정식 a x = b에 대한 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선이며 관심이 없습니다. 참고: 1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

로그의 실제 값기준과 인수가 0보다 크고 기준이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 값에 따라 이름이 지정되는 대수를 재생합니다.

규칙 및 제한

로그의 기본 속성은 다음과 같은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합과 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 진술의 변형으로 log c (b / p) \u003d log c (b)-log c (p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

앞의 두 가지 규칙에서 쉽게 알 수 있습니다: log a(bp) = p * log a(b).

다른 속성은 다음과 같습니다.

논평. 일반적인 실수를 저 지르지 마십시오. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 수학자들은 다항식으로의 로그 확장 이론의 잘 알려진 공식을 사용했습니다.

ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), 여기서 n은 계산의 정확도를 결정하는 1보다 큰 자연수입니다.

다른 밑을 가진 로그는 한 밑에서 다른 밑으로의 전이에 대한 정리와 곱의 로그 속성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 힘들고 번거롭기 때문에 실전 문제를 풀 때구현하기 어려운 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 전체 작업을 크게 가속화했습니다.

어떤 경우에는 특별히 컴파일된 대수 그래프가 사용되어 정확도는 떨어졌지만 원하는 값을 찾는 속도는 크게 향상되었습니다. 함수 y = 로그 a(x)의 곡선은 여러 지점에 구축되어 일반 눈금자를 사용하여 다른 지점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 엔지니어 장기이를 위해 소위 그래프 용지가 사용되었습니다.

17세기에 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 나타났습니다. XIX 세기완성된 모습을 얻었다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 룰이라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관은 모든 엔지니어링 계산 프로세스를 크게 가속화했으며 이는 과대 평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 익숙한 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 다른 장치를 사용하는 것이 무의미해졌습니다.

방정식과 부등식

다음 공식은 로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 푸는 데 사용됩니다.

한 염기에서 다른 염기로 전이: log a(b) = log c(b) / log c(a);
이전 버전의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음을 아는 것이 유용합니다.

로그 값은 밑과 인수가 둘 다 1보다 크거나 작은 경우에만 양수입니다. 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
부등식의 오른쪽과 왼쪽에 로그 함수를 적용하고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 보존됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

작업 예시

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려하십시오. 방정식 풀이의 예:

정도에 로그를 배치하는 옵션을 고려하십시오.

작업 3. 25^log 5(3)을 계산합니다. 솔루션: 문제의 조건에서 표기법은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 써봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 식은 3^2입니다. 대답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실용

순전히 수학적 도구이기 때문에 실생활로그가 갑자기 획득한 큰 중요성객체를 설명하기 위해 현실 세계. 사용되지 않는 과학을 찾기가 어렵습니다. 이것은 자연뿐만 아니라 지식의 인문학 분야에도 완전히 적용됩니다.

로그 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학과 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 다음을 사용하여 발전해 왔습니다. 수학적 방법연구와 동시에 대수를 포함한 수학 발전에 대한 인센티브 역할을했습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성됩니다. 우리는 대수를 사용하여 물리적 법칙을 설명하는 두 가지 예만 제공합니다.

우주 탐사 이론의 토대를 마련한 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제를 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서

V는 항공기의 최종 속도입니다.
I는 엔진의 특정 임펄스입니다.
M 1은 로켓의 초기 질량입니다.
M 2 - 최종 질량.

또 다른 중요한 예- 이것은 열역학에서 평형 상태를 평가하는 또 다른 위대한 과학자 Max Planck의 공식에서 사용됩니다.

S = k * ln(Ω), 여기서

S는 열역학적 특성입니다.
k는 볼츠만 상수입니다.
Ω은 다른 상태의 통계적 가중치입니다.

화학

덜 분명한 것은 로그의 비율을 포함하는 화학 공식의 사용입니다. 다음은 두 가지 예입니다.

Nernst 방정식, 물질의 활성도 및 평형 상수와 관련된 매질의 산화환원 전위 조건.
autoprolysis 지수 및 용액의 산도와 같은 상수 계산도 우리 기능 없이는 완전하지 않습니다.

심리학 및 생물학

그리고 심리학이 그것과 무슨 관련이 있는지는 완전히 이해할 수 없습니다. 감각의 강도는 이 함수에 의해 자극 강도 값과 낮은 강도 값의 역비로 잘 설명된다는 것이 밝혀졌습니다.

위의 예 이후에 로그라는 주제가 생물학에서도 널리 사용된다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 로그 나선에 해당하는 생물학적 형태에 대해 전체 볼륨을 작성할 수 있습니다.

다른 지역들

이 기능과 연결되지 않고는 세상의 존재가 불가능한 것처럼 보이며 모든 법칙을 지배합니다. 특히 자연의 법칙이 기하 진행. MatProfi 웹 사이트를 참조할 가치가 있으며 다음 활동 영역에 그러한 예가 많이 있습니다.

목록은 끝이 없을 수 있습니다. 이 기능의 기본 법칙을 마스터하면 무한한 지혜의 세계로 뛰어들 수 있습니다.

대수란 무엇입니까?

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강력하게 "별로..."가 아닌 분들을 위해
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

대수란 무엇입니까? 대수를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그의 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주됩니다. 특히 - 대수 방정식.

이것은 사실이 아닙니다. 전적으로! 믿을 수 없습니까? 괜찮은. 이제 약 10~20분 동안 다음을 수행합니다.

1. 이해 대수란 무엇인가.

2. 학급 전체를 푸는 방법 배우기 지수 방정식. 당신이 그들에 대해 들어 본 적이 없더라도.

3. 간단한 로그를 계산하는 방법을 배웁니다.

또한 이를 위해서는 구구단과 숫자의 거듭제곱 방법만 알면 됩니다.

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함수와 도함수에 대해 알 수 있습니다.

아시다시피 식에 거듭제곱을 곱하면 지수가 항상 더해집니다(a b * a c = a b + c). 이 수학적 법칙은 아르키메데스에 의해 유도되었으며, 나중에 8세기에 수학자 Virasen이 정수 지표 표를 만들었습니다. 대수의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 번거로운 곱셈을 간단한 덧셈으로 단순화하는 데 필요한 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 기사를 읽는 데 10분을 할애하면 로그가 무엇이며 로그를 사용하는 방법을 설명합니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어.

수학의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉 임의의 로그 음수가 아닌 숫자(즉, 임의의 양수) "b"의 밑수 "a"는 최종적으로 값 "b"를 얻기 위해 밑수 "a"를 올려야 하는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 봅시다. log 2 8이라는 표현이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다. 2에서 필요한 정도까지 8을 얻는 정도를 찾아야합니다. 마음 속으로 몇 가지 계산을하면 숫자 3을 얻습니다! 그리고 2의 3제곱이 답에서 숫자 8을 제공하기 때문에 당연히 그렇습니다.

로그의 종류

많은 학생과 학생들에게이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않으며 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 특정 유형대수 표현식:

밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a입니다.
밑이 10인 십진법 a.
임의의 숫자 b의 밑수 a>1의 로그.

그들 각각은 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 후속 로그 축소를 포함하여 표준 방식으로 해결됩니다. 로그의 올바른 값을 얻으려면 결정의 속성과 작업 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 받아 들여지는 몇 가지 규칙 제한이 있습니다. 즉, 토론의 대상이 아니며 사실입니다. 예를 들어 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며 음수에서 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 고유한 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현식으로도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

기본 "a"는 항상 0보다 커야 하며 동시에 1과 같지 않아야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 항상 해당 값과 같기 때문에 표현식의 의미가 손실됩니다.
a > 0이면 a b > 0이면 "c"는 0보다 커야 합니다.

대수를 푸는 방법?

예를 들어 방정식 10 x \u003d 100에 대한 답을 찾는 작업이 주어졌습니다. 매우 쉽습니다. 그러한 힘을 선택하여 100을 얻는 숫자 10을 올려야합니다. 물론 이것은 10입니다. 2 \u003d 100.

이제 이 식을 대수 식으로 표현해 봅시다. 우리는 log 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 작업은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑이 입력되어야 하는 정도를 찾는 것으로 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 가치를 정확하게 결정하려면 학위 표로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 기술적 사고 방식과 구구단에 대한 지식이 있으면 일부 지수를 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위표가 필요합니다. 복잡한 수학적 주제에 대해 전혀 이해하지 못하는 사람들도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(밑수 a)가 포함되어 있고 숫자의 맨 위 행은 숫자 a가 올라간 c의 거듭제곱 값입니다. 셀의 교차점에서 답인 숫자 값이 결정됩니다 (a c =b). 예를 들어 숫자가 10인 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 가장 진정한 인본주의자도 이해할 수 있도록 모든 것이 너무 간단하고 쉽습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 밑이 3인 81의 로그로 쓸 수 있습니다(log 3 81 = 4). 음의 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 로그로 쓰면 log 2(1/32) = -5가 됩니다. 수학에서 가장 매력적인 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구 한 직후 방정식의 예와 솔루션을 조금 더 낮게 고려할 것입니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 방정식과 어떻게 구별하는지 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현이 제공됩니다. log 2 (x-1) > 3 - 대수 부등식, 알 수 없는 값 "x"가 로그의 부호 아래에 있기 때문입니다. 그리고 또한 표현에서 두 개의 양이 비교됩니다: 밑이 2인 원하는 숫자의 로그는 숫자 3보다 큽니다.

대수 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그가 있는 방정식(예: 2 x = √9의 로그)은 답에 하나 이상의 특정 수치를 의미하는 반면, 부등식을 풀 때 두 범위는 허용 가능한 값과 이 기능을 깨는 지점. 결과적으로 답은 방정식의 답에서와 같이 개별 숫자의 단순한 집합이 아니라 연속적인 시리즈 또는 숫자 집합입니다.

로그에 대한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 그 속성을 알 수 없습니다. 그러나 대수 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예에 대해 알게 될 것입니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 분석해 보겠습니다.

기본 항등식은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 전제 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. ≠1. 이 로그 공식에 대한 증명을 예제와 솔루션과 함께 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2 라고 하면 a f1 = s 1 , a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(도 속성 ), 정의에 따르면 log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, 이는 증명되어야 합니다.
몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
공식 형식의 정리는 다음 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "대수 정도의 속성"이라고 합니다. 그것은 보통 정도의 속성과 비슷하며 모든 수학이 규칙적인 가정에 의존하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보자.

log a b \u003d t라고 하면 a t \u003d b가 됩니다. 두 부분을 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = b n ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = b n 이므로 log a q b n = (n*t)/t이면 log a q b n = n/q log a b입니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그 문제의 가장 일반적인 유형은 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에서 찾을 수 있으며 수학 시험의 필수 부분에도 포함됩니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야 합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 풀고 결정하기 위한 단일한 계획이나 체계는 없지만, 각각의 수학적 부등식이나 로그 방정식에 일정한 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현을 단순화할 수 있는지 또는 다음과 같이 줄일 수 있는지 확인해야 합니다. 일반적인 견해. 속성을 올바르게 사용하면 긴 대수식을 단순화할 수 있습니다. 곧 그들을 알게합시다.

로그 방정식을 풀 때 우리 앞에 어떤 종류의 로그가 있는지 결정해야 합니다. 표현식의 예에는 자연 로그 또는 십진수가 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 정도를 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 자연 로그 솔루션의 경우 다음을 적용해야 합니다. 로그 아이덴티티또는 그들의 속성. 다양한 유형의 대수 문제를 푸는 예를 살펴보겠습니다.

대수 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

따라서 대수에 주요 정리를 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

곱의 대수 속성은 숫자 b의 큰 값을 더 간단한 요인으로 분해해야 하는 작업에 사용할 수 있습니다. 예를 들어, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512입니다. 답은 9입니다.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 대수 정도의 네 번째 속성을 사용하여 복잡하고 풀 수 없는 표현을 한 눈에 풀었습니다. 밑을 인수 분해 한 다음 로그 부호에서 지수 값을 취하면됩니다.

시험에서 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 위한 상태 시험)에서 많은 로그 문제가 발생합니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(가장 쉬운 테스트 부품시험)뿐만 아니라 파트 C(가장 어렵고 방대한 작업)에서도 마찬가지입니다. 시험은 "자연 로그" 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식을 의미합니다.

예 및 문제 해결 방법은 공식에서 가져옵니다. 사용 옵션. 그러한 작업이 어떻게 해결되는지 봅시다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 솔루션:
식을 다시 작성하여 조금 단순화합니다. x = 8.5.

솔루션이 번거롭거나 혼란스럽지 않도록 모든 로그는 동일한 밑으로 가장 잘 축소됩니다.
로그 부호 아래의 모든 식은 양수로 나타내므로, 로그 부호 아래에 있는 식의 지수의 지수를 빼서 밑으로 할 때, 로그 아래에 남은 식이 양수여야 한다.