선형 방정식 시스템을 푸는 방법. 두 개의 변수가 있는 연립방정식, 솔루션

먼저 두 변수의 방정식 시스템에 대한 솔루션의 정의를 상기해 보겠습니다.

정의 1

한 쌍의 숫자를 방정식에 대입할 때 올바른 평등이 얻어지면 두 개의 변수가 있는 방정식 시스템에 대한 솔루션이라고 합니다.

다음에서는 두 개의 변수가 있는 두 방정식의 시스템을 고려할 것입니다.

존재하다 연립방정식을 푸는 네 가지 기본 방법: 대입법, 덧셈법, 그래픽법, 새로운 변수관리법. 이 방법들을 살펴보자 구체적인 예. 처음 세 가지 방법을 사용하는 원리를 설명하기 위해 두 가지 시스템을 고려할 것입니다. 선형 방정식두 개의 미지수:

대체 방법

대체 방법은 다음과 같습니다. 이러한 방정식 중 하나를 취하고 $y$를 $x$로 표현한 다음 $y$를 시스템의 방정식으로 대체합니다. 여기에서 변수 $x.$가 발견됩니다. 그 후 변수 $y를 쉽게 계산할 수 있습니다.$

예 1

두 번째 등식 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

첫 번째 방정식을 대입하고 $x$를 찾습니다.

\ \ \

$y$ 찾기:

답변: $(-2,\ 3)$

추가 방법.

예를 들어 이 방법을 고려하십시오.

예 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

두 번째 방정식에 3을 곱하면 다음을 얻습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

이제 두 방정식을 함께 추가해 보겠습니다.

\ \ \

두 번째 방정식에서 $y$를 찾습니다.

\[-6-y=-9\] \

답변: $(-2,\ 3)$

비고 1

이 방법에서는 변수 중 하나를 추가할 때 "사라지는" 숫자로 하나 또는 두 방정식을 곱해야 합니다.

그래픽 방식

그래픽 방법은 다음과 같습니다. 시스템의 두 방정식이 좌표 평면에 표시되고 교차점이 발견됩니다.

예 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

두 방정식에서 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

동일한 평면에 두 그래프를 그려 봅시다.

그림 1.

답변: $(-2,\ 3)$

새로운 변수를 도입하는 방법

다음 예에서 이 방법을 고려할 것입니다.

예 4

\[\left\( \begin(배열)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(배열) \right .\]

해결책.

이 시스템은 시스템과 동일합니다.

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ 오른쪽.\]

$2^x=u\ (u>0)$ 및 $3^y=v\ (v>0)$라고 하면 다음을 얻습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

추가 방법으로 결과 시스템을 해결합니다. 방정식을 추가해 보겠습니다.

\ \

그런 다음 두 번째 방정식에서 다음을 얻습니다.

대체로 돌아가서, 우리는 새로운 시스템지수 방정식:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

우리는 다음을 얻습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

지침

추가 방법.
서로 아래에 두 개를 엄격하게 작성해야 합니다.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
임의로 선택한 (시스템에서) 방정식에 이미 찾은 "게임" 대신 숫자 11을 삽입하고 두 번째 미지수를 계산합니다.

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
이 연립방정식의 답은 x=116, y=11입니다.

그래픽 방식.
그것은 방정식 시스템에서 선이 수학적으로 쓰여지는 점의 좌표를 실제로 찾는 것으로 구성됩니다. 동일한 좌표계에서 두 선의 그래프를 개별적으로 그려야 합니다. 일반 보기: - y \u003d kx + b. 직선을 그리려면 두 점의 좌표를 찾는 것으로 충분하며 x는 임의로 선택됩니다.
시스템을 제공하자: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
직선은 첫 번째에 따라 작성되며 편의를 위해 y \u003d 2x-4로 작성해야 합니다. x에 대한 (더 쉬운) 값을 찾아 방정식에 대입하고 해결하고 y를 찾으십시오. 직선이 만들어지는 두 점이 얻어집니다. (그림 참조)
x 0 1

y -4 -2
직선은 두 번째 방정식 y \u003d -3x + 1에 따라 구성됩니다.
또한 라인을 구축합니다. (그림 참조)

1-5
그래프에서 두 개의 구성된 선의 교차점 좌표를 찾으십시오 (선이 교차하지 않으면 방정식 시스템에 없습니다).

관련 동영상

유용한 조언

같은 연립방정식이 3개로 풀린다면 다른 방법들, 대답은 동일합니다(솔루션이 올바른 경우).

출처:

• 대수 8학년
• 온라인에서 두 개의 미지수로 방정식 풀기
• 두 개의 선형 방정식 풀이 시스템의 예

체계 방정식각각 특정 수의 변수를 포함하는 수학적 레코드 모음입니다. 이를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

필요할 것이예요

• -자 및 연필;
• -계산자.

지침

a1x + b1y = c1 및 a2x + b2y = c2 형식의 선형 방정식으로 구성된 시스템 해결 순서를 고려하십시오. 여기서 x와 y는 알 수 없는 변수이고 b,c는 자유 멤버입니다. 이 방법을 적용할 때 각 시스템은 각 방정식에 해당하는 점의 좌표입니다. 첫째, 각각의 경우에 하나의 변수를 다른 변수로 표현하십시오. 그런 다음 x 변수를 임의 개수의 값으로 설정합니다. 2개면 충분합니다. 방정식에 연결하고 y를 찾으십시오. 좌표계를 만들고 그 위에 얻은 점을 표시하고 직선을 그립니다. 시스템의 다른 부분에 대해서도 유사한 계산을 수행해야 합니다.

구성된 선이 교차하고 하나가 있으면 시스템에 고유한 솔루션이 있습니다. 공통점. 서로 평행하면 일관성이 없습니다. 그리고 선이 서로 병합되면 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

이 방법은 매우 명확한 것으로 간주됩니다. 주요 단점은 계산된 미지수가 근사값을 갖는다는 것입니다. 보다 정확한 결과는 소위 대수적 방법에 의해 제공됩니다.

방정식 시스템에 대한 모든 솔루션은 확인할 가치가 있습니다. 이렇게하려면 변수 대신 얻은 값을 대체하십시오. 여러 가지 방법으로 솔루션을 찾을 수도 있습니다. 시스템의 솔루션이 올바르다면 모든 사람이 같은 결과를 얻어야 합니다.

종종 용어 중 하나를 알 수 없는 방정식이 있습니다. 방정식을 풀려면 이 숫자를 사용하여 일련의 특정 작업을 기억하고 수행해야 합니다.

필요할 것이예요

• - 종이;
• - 펜 또는 연필.

지침

당신 앞에 8마리의 토끼가 있고 5개의 당근만 있다고 상상해보세요. 각 토끼가 당근을 받을 수 있도록 당근을 더 사야 한다고 생각하세요.

이 문제를 방정식의 형태로 표현해 봅시다: 5 + x = 8. x를 숫자 3으로 대체합시다. 실제로 5 + 3 = 8입니다.

x에 숫자를 대입하면 8에서 5를 빼는 것과 같은 연산을 수행한 것입니다. 따라서 찾기 위해 알려지지 않은항, 합계에서 알려진 항을 뺍니다.

토끼 20마리와 당근 5개만 있다고 가정해 봅시다. 작곡하자 . 방정식은 포함 된 문자의 특정 값에 대해서만 유지되는 평등입니다. 찾으려는 값의 문자가 호출됩니다. 미지수가 하나인 방정식을 작성하고 이를 x라고 합니다. 토끼에 대한 우리의 문제를 풀 때, 다음 방정식이 얻어집니다: 5 + x = 20.

20과 5의 차이를 찾아봅시다. 뺄셈을 할 때 빼는 숫자가 줄어듭니다. 빼는 숫자를 이라고 하고 최종 결과를 차이라고 합니다. 그래서, x = 20 - 5; x = 15. 토끼를 위해 당근 15개를 사야 합니다.

확인하세요: 5 + 15 = 20. 등식이 맞습니다. 물론 언제 우리 대화하는 중이 야이러한 간단한 것들은 점검할 필요가 없습니다. 그러나 3자리, 4자리 등의 방정식에 관해서는 작업 결과를 절대적으로 확신할 수 있도록 확인하는 것이 필수적입니다.

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유용한 조언

알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 더해야 합니다.

미지수를 구하려면 피감수에서 차를 빼야 합니다.

팁 4: 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 푸는 방법

3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템은 충분한 수의 방정식에도 불구하고 해를 갖지 못할 수 있습니다. 대체 방법이나 Cramer 방법을 사용하여 해결을 시도할 수 있습니다. Cramer의 방법은 시스템을 푸는 것 외에도 미지의 값을 찾기 전에 시스템이 풀 수 있는지 여부를 평가할 수 있습니다.

지침

대체 방법은 미지수 1개에서 다른 2개를 순차적으로 입력하고 얻은 결과를 시스템의 방정식에 대입하는 방식입니다. 3개의 연립방정식이 일반적인 형태로 주어진다고 하자:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - 첫 번째 방정식에서 x를 표현하고 두 번째 및 세 번째 방정식에 대입하고 두 번째 방정식에서 y를 표현하고 세 번째 방정식에 대입합니다. 시스템 방정식의 계수를 통해 z에 대한 선형 표현을 얻을 수 있습니다. 이제 "뒤로" 이동: z를 두 번째 방정식에 연결하고 y를 찾은 다음 z와 y를 첫 번째 방정식에 연결하고 x를 찾습니다. 프로세스는 일반적으로 z를 찾을 때까지 그림에 표시됩니다. 또한 일반적인 형식의 레코드는 너무 번거로울 것입니다. 실제로 대체하면 세 가지 미지수를 모두 쉽게 찾을 수 있습니다.

Cramer의 방법은 시스템의 행렬을 컴파일하고 이 행렬의 행렬식과 세 개의 추가 행렬을 계산하는 것으로 구성됩니다. 시스템의 행렬은 방정식의 미지 항에 있는 계수로 구성됩니다. 방정식의 오른쪽에 있는 숫자를 포함하는 열, 오른쪽의 열. 시스템에서는 사용하지 않지만 시스템을 풀 때 사용합니다.

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메모

시스템의 모든 방정식은 다른 방정식과 독립적인 추가 정보를 제공해야 합니다. 그렇지 않으면 시스템이 미달 결정되고 명확한 솔루션을 찾을 수 없습니다.

유용한 조언

연립방정식을 푼 후 찾은 값을 원래의 연립방정식에 대입하여 모든 방정식을 만족하는지 확인한다.

저절로 방정식셋으로 알려지지 않은솔루션이 많기 때문에 대부분 두 가지 방정식 또는 조건으로 보완됩니다. 초기 데이터가 무엇인지에 따라 결정 과정이 크게 달라집니다.

필요할 것이예요

• - 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템.

지침

3개 시스템 중 2개 시스템에 3개 미지수 중 2개만 있는 경우 일부 변수를 다른 시스템으로 표현하고 방정식셋으로 알려지지 않은. 이것으로 당신의 목표는 그것을 정상으로 바꾸는 것입니다 방정식미지와 함께. 이것이 이면 추가 솔루션은 매우 간단합니다. 찾은 값을 다른 방정식으로 대체하고 다른 모든 미지수를 찾으십시오.

일부 방정식 시스템은 한 방정식에서 다른 방정식으로 뺄 수 있습니다. 두 개의 미지수가 한 번에 줄어들도록 by 또는 변수 중 하나를 곱하는 것이 가능한지 확인하십시오. 그러한 기회가 있다면 그것을 사용하십시오. 아마도 후속 결정은 어렵지 않을 것입니다. 숫자를 곱할 때 좌변과 우변을 모두 곱해야 한다는 점을 잊지 마십시오. 마찬가지로 방정식을 뺄 때 우변도 빼야 한다는 점을 기억하십시오.

만약에 이전 방법도움이 되지 않았습니다. 3개의 방정식을 푸는 일반적인 방법을 사용하십시오. 알려지지 않은. 이렇게하려면 a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 형식으로 방정식을 다시 작성하십시오. 이제 x에서 계수 행렬(A), 미지 행렬(X) 및 자유 행렬(B)을 만듭니다. 계수 행렬에 미지수 행렬을 곱하면 행렬, 자유 멤버 행렬, 즉 A * X \u003d B를 얻을 수 있습니다.

를 찾은 후 행렬 A의 거듭제곱(-1)을 찾습니다. 0이 아니어야 합니다. 그런 다음 결과 행렬에 행렬 B를 곱하면 결과적으로 모든 값을 나타내는 원하는 행렬 X를 얻을 수 있습니다.

또한 Cramer 방법을 사용하여 세 방정식의 시스템에 대한 솔루션을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 시스템의 행렬에 해당하는 3차 결정자 ∆를 찾으십시오. 그런 다음 해당 열의 값 대신 자유 항의 값을 대체하여 세 개의 결정 요인 Δ1, Δ2 및 Δ3을 연속적으로 찾습니다. 이제 x를 찾습니다: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

출처:

• 미지수가 3개인 방정식의 해

방정식 시스템을 풀기 시작하면서 이 방정식이 무엇인지 알아내십시오. 선형 방정식을 푸는 방법은 잘 연구되어 있습니다. 비선형 방정식은 대부분 해결되지 않습니다. 특별한 경우는 하나 뿐이며 각 사례는 실질적으로 개별적입니다. 따라서 해결 방법에 대한 연구는 선형 방정식으로 시작해야 합니다. 이러한 방정식은 순전히 알고리즘으로도 풀 수 있습니다.

발견된 미지수의 분모는 정확히 동일합니다. 예, 분자는 구성의 일부 패턴을 볼 수 있습니다. 연립방정식의 차원이 2보다 큰 경우 소거 방법은 매우 번거로운 계산으로 이어집니다. 이를 방지하기 위해 순전히 알고리즘 솔루션이 개발되었습니다. 가장 간단한 것은 Cramer의 알고리즘(Cramer의 공식)입니다. 당신이 알아야 할 일반 시스템 n 방정식의 방정식.

n개의 미지수가 있는 n개의 선형 대수 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다(그림 1a 참조). 그것에서, aij는 시스템의 계수이고,
хj – 미지수, bi – 자유 구성원(i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). 이러한 시스템은 행렬 형식 AX=B로 간단하게 작성할 수 있습니다. 여기서 A는 시스템의 계수 행렬, X는 미지수의 열 행렬, B는 자유 항의 열 행렬입니다(그림 1b 참조). Cramer의 방법에 따르면 각각의 미지수 xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)입니다. 계수 행렬의 행렬식 ∆를 주 행렬식이라고 하고 ∆i를 보조 행렬이라고 합니다. 각각의 미지수에 대해 주 결정자의 i번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 보조 결정자를 찾습니다. 2차 및 3차 시스템의 경우에 대한 Cramer의 방법은 그림 1에 자세히 나와 있습니다. 2.

시스템은 각각 두 개 이상의 미지수를 갖는 두 개 이상의 등식의 합집합입니다. 프레임워크에서 사용되는 선형 방정식 시스템을 푸는 두 가지 주요 방법이 있습니다. 학교 커리큘럼. 그 중 하나는 메서드라고 하고 다른 하나는 추가 메서드입니다.

2방정식의 표준형

~에 표준 양식첫 번째 방정식은 a1*x+b1*y=c1이고, 두 번째 방정식은 a2*x+b2*y=c2입니다. 예를 들어, 주어진 a1, a2, b1, b2, c1, c2 모두에서 시스템의 두 부분의 경우 특정 방정식으로 표시되는 일부 수치 계수입니다. 차례로 x와 y는 값을 결정해야 하는 미지수입니다. 원하는 값은 두 방정식을 동시에 진정한 평등으로 바꿉니다.

추가 방법에 의한 시스템 솔루션

시스템을 해결하기 위해, 즉 x와 y를 진정한 평등으로 바꿀 값을 찾으려면 몇 가지 간단한 단계를 수행해야 합니다. 이들 중 첫 번째는 두 방정식에서 변수 x 또는 y에 대한 수치 계수가 절대값에서 일치하지만 부호에서 다른 방식으로 방정식을 변환하는 것입니다.

예를 들어 두 개의 방정식으로 구성된 시스템이 있다고 가정합니다. 첫 번째는 2x+4y=8 형식이고 두 번째는 6x+2y=6 형식입니다. 작업을 완료하기 위한 옵션 중 하나는 두 번째 방정식에 인수 -2를 곱하여 -12x-4y=-12 형식이 되도록 하는 것입니다. 계수의 올바른 선택은 미지수를 찾는 절차의 전체 추가 과정을 결정하기 때문에 추가 방법으로 시스템을 해결하는 과정에서 핵심 작업 중 하나입니다.

이제 시스템의 두 방정식을 추가해야 합니다. 분명히, 값은 같지만 부호 계수가 반대인 변수의 상호 소멸은 -10x=-4 형식으로 이어집니다. 그 후, x=0.4를 명확하게 따르는 이 간단한 방정식을 풀어야 합니다.

마지막 단계해결 과정에서 시스템에서 사용할 수 있는 초기 평등에서 변수 중 하나의 발견된 값을 대체합니다. 예를 들어 x=0.4를 첫 번째 방정식에 대입하면 y=1.8에서 2*0.4+4y=8이라는 표현식을 얻을 수 있습니다. 따라서 x=0.4 및 y=1.8은 예제에 표시된 시스템의 근입니다.

근을 제대로 찾았는지 확인하려면 찾은 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 확인하는 것이 좋습니다. 예를 들어, 이 경우 0.4*6+1.8*2=6 형식의 등식을 얻습니다. 이는 정확합니다.

관련 동영상

선형 대수 방정식(SLAE)의 해결 시스템은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정의 가장 중요한 주제입니다. 모든 수학 분야의 수많은 문제가 선형 방정식 시스템으로 축소됩니다. 이러한 요소들이 이 문서를 작성하게 된 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성됩니다.

• 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
• 선택한 방법의 이론을 연구하고,
• 일반적인 예와 문제의 솔루션을 자세히 고려하여 선형 방정식 시스템을 해결하십시오.

기사의 자료에 대한 간략한 설명.

먼저 필요한 모든 정의와 개념을 제공하고 몇 가지 표기법을 소개합니다.

다음으로 방정식의 수가 미지 변수의 수와 같고 고유한 솔루션을 갖는 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 방법을 고려합니다. 먼저 Cramer 방법에 초점을 맞추고 두 번째로 이러한 방정식 시스템을 풀기 위한 매트릭스 방법을 보여주고 세 번째로 Gauss 방법(미지 변수를 연속적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 다양한 방법으로 여러 SLAE를 확실히 해결할 것입니다.

그런 다음 선형 대수 방정식의 풀이 시스템으로 전환합니다. 일반적인 견해, 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 퇴화됩니다. SLAE의 호환성을 설정할 수 있는 Kronecker - Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 행렬의 기본 마이너 개념을 사용하여 시스템 솔루션(호환성의 경우)을 분석해 보겠습니다. 또한 가우스 방법을 고려하고 예제의 솔루션을 자세히 설명합니다.

선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션 구조에 대해 숙지하십시오. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제공하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션을 작성하는 방법을 보여줍니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 SLAE가 발생하는 솔루션에서 다양한 문제뿐만 아니라 선형으로 축소된 방정식 시스템을 고려합니다.

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정의, 개념, 명칭.

다음 형식의 n개의 미지 변수(p는 n과 같을 수 있음)가 있는 p개의 선형 대수 방정식 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수, - 계수(일부 실수 또는 복소수), - 자유 구성원(또한 실수 또는 복소수).

이 형태의 SLAE를 동등 어구.

안에 행렬 형태이 방정식 시스템의 형식은 ,
어디 - 시스템의 주 행렬 - 미지 변수의 행렬 열 - 자유 구성원의 행렬 열

자유 항의 행렬 열을 (n + 1) 번째 열로 행렬 A에 추가하면 소위 확장 행렬선형 방정식 시스템. 일반적으로 증가 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 항의 열은 다음과 같이 구분됩니다. 수직선나머지 열에서, 즉

선형 대수 방정식 시스템을 풀면시스템의 모든 방정식을 신원으로 바꾸는 미지 변수 값 세트라고합니다. 미지수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식이 됩니다.

연립방정식에 적어도 하나의 해가 있으면 연립방정식이라고 합니다. 관절.

연립방정식에 해가 없으면 연립방정식이라고 합니다. 호환되지 않는.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 호출합니다. 확실한; 둘 이상의 솔루션이 있는 경우 - 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유항이 0인 경우 , 그러면 시스템이 호출됩니다. 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템 솔루션.

시스템 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 같고 주 행렬의 결정자가 0이 아닌 경우 이러한 SLAE를 호출합니다. 초등학교. 이러한 방정식 시스템은 고유한 솔루션을 가지며 동차 시스템의 경우 모든 미지 변수는 0과 같습니다.

우리는 이러한 SLAE를 다음에서 연구하기 시작했습니다. 고등학교. 그것들을 풀 때 우리는 하나의 방정식을 취하고, 하나의 미지 변수를 다른 방정식으로 표현하고 나머지 방정식에 대입하고, 그 다음 방정식을 취하고, 다음 미지 변수를 표현하고 다른 방정식에 대입하는 식으로 진행했습니다. 또는 덧셈 방법을 사용했습니다. 즉, 일부 알려지지 않은 변수를 제거하기 위해 두 개 이상의 방정식을 추가했습니다. 이러한 방법은 기본적으로 Gauss 방법을 수정한 것이기 때문에 자세히 설명하지 않겠습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법은 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법입니다. 그것들을 분류합시다.

Cramer의 방법으로 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주행렬의 행렬식은 0이 아닌, 즉 .

를 시스템의 주행렬의 행렬식으로 하고, 대체하여 A에서 얻은 행렬의 결정자입니다. 1차, 2차, …, n차자유 회원의 열에 각각 열:

이러한 표기법을 사용하면 미지 변수는 다음과 같은 Cramer 방법의 공식으로 계산됩니다. . 이것이 Cramer 방법으로 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 찾는 방법입니다.

예.

크래머 방식 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 결정 요인을 계산합니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주행렬의 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

필요한 결정 요인을 구성하고 계산합니다. (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다. 결정자는 두 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하고, 행렬 A의 세 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 얻습니다. ):

수식을 사용하여 미지 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템 방정식의 수가 3개 이상인 경우 결정 요인을 계산하는 복잡성입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)으로 선형 대수 방정식의 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식의 시스템을 행렬 형식으로 지정합니다. 여기서 행렬 A는 차원 n x n을 가지며 행렬식은 0이 아닙니다.

이므로 행렬 A는 가역적입니다. 즉 역행렬이 있습니다. 평등의 두 부분에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 열 행렬을 찾는 공식을 얻습니다. 그래서 우리는 행렬 방법으로 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 얻었습니다.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 매트릭스 방법.

해결책.

연립방정식을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그런 다음 SLAE는 매트릭스 방법으로 해결할 수 있습니다. 역행렬을 사용하면 이 시스템의 솔루션을 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A 요소의 대수 보수 행렬을 사용하여 역행렬을 만들어 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

역행렬을 곱하여 알 수 없는 변수의 행렬을 계산해야 합니다. 자유 멤버의 매트릭스 열에서(필요한 경우 문서 참조):

답변:

또는 다른 표기법에서 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법으로 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 데 있어 주요 문제는 특히 3차보다 높은 정사각 행렬의 경우 역행렬을 찾는 복잡성입니다.

가우스 방법으로 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

n개의 미지 변수를 가진 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾아야 한다고 가정합니다.
주행렬의 행렬식은 0이 아닙니다.

가우스법의 본질알 수 없는 변수의 연속적인 제외로 구성됩니다. 첫째, x 1은 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 제외된 다음 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다. xn은 마지막 방정식에 남아 있습니다. 이와 같이 미지변수를 연속적으로 소거하기 위하여 연립방정식을 변형시키는 과정을 직접 가우스 방법. Gaussian method의 forward run이 끝나면 마지막 식에서 xn을 구하고, 이 값을 이용하여 끝에서 두 번째 식에서 xn-1을 구하는 식으로 첫 번째 식에서 x1을 구한다. 시스템의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지 변수를 계산하는 과정을 호출합니다. 역 가우스 방법.

알 수 없는 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

시스템의 방정식을 재정렬하여 항상 이것을 달성할 수 있기 때문에 우리는 가정할 것입니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 알려지지 않은 변수 x 1을 제외합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 곱한 방정식을 시스템의 두 번째 방정식에 추가하고 첫 번째 곱한 것을 세 번째 방정식에 추가하는 식으로 첫 번째 곱한 것을 n 번째 방정식에 추가합니다. 이러한 변환 후 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서 , .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지 변수로 표현하고 그 결과 식을 다른 모든 방정식에 대입하면 동일한 결과가 나타납니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 유사하게 작동하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이렇게 하려면 시스템의 세 번째 방정식에 두 번째 곱하기 를 추가하고 네 번째 방정식에 두 번째 곱하기 를 추가하는 식으로 두 번째 곱하기 를 n 번째 방정식에 추가합니다. 이러한 변환 후 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서 , . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동하면서 미지 x 3의 제거를 진행합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접 과정을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 반대 과정을 시작합니다. 우리는 마지막 방정식에서 xn을 다음과 같이 계산하고, 얻은 값 xn을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. 방정식.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우시안 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지 변수 x 1을 제외합시다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 두 부분에 각각 및 를 곱한 첫 번째 방정식의 해당 부분을 추가합니다.

이제 우리는 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 왼쪽과 오른쪽 부분에 추가하고 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제외합니다.

이것으로 가우스 방식의 순방향 과정이 완료되고 역방향 과정을 시작합니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식에서 우리는 .

첫 번째 방정식에서 나머지 미지 변수를 찾으면 가우스 방법의 반대 과정이 완료됩니다.

답변:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

일반 형식의 선형 대수 방정식의 풀이 시스템.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나 단일 솔루션이 있거나 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 제곱 및 축퇴 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾기 전에 호환성을 확립해야 합니다. SLAE가 호환될 때와 호환되지 않을 때의 질문에 대한 답은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 같을 수 있음)가 있는 p개의 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 랭크가 확장 행렬의 랭크, 즉 Rank( A)=순위(T) .

선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위한 Kronecker-Cappelli 정리의 적용을 예로 들어 보겠습니다.

예.

선형 방정식 시스템이 있는지 알아보십시오. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 사용합시다. 두 번째 주문의 마이너 제로와는 다릅니다. 이를 둘러싼 3차 마이너를 살펴보겠습니다.

경계에 있는 모든 3차 마이너는 0이므로 기본 행렬의 순위는 2입니다.

차례로, 증가된 매트릭스의 랭크 세 번째 순서의 마이너이므로 3과 같습니다.

제로와는 다릅니다.

따라서, Rang(A) , 따라서 Kronecker-Capelli 정리에 따르면 원래의 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

솔루션 시스템이 없습니다.

따라서 우리는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 설정하는 방법을 배웠습니다.

그러나 호환성이 확립된 경우 SLAE 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기저 마이너 개념과 행렬의 랭크 정리가 필요하다.

0이 아닌 행렬 A의 최상위 마이너를 다음이라고 합니다. 기초적인.

그 차수가 행렬의 랭크와 같다는 것은 기본 마이너의 정의에서 따릅니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 여러 개의 기본 마이너가 있을 수 있으며 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어 행렬을 고려하십시오. .

이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다. 이 행렬의 세 번째 행 요소는 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이기 때문입니다.

다음 2차 마이너는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 그들은 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차수 행렬의 랭크가 r인 경우 선택된 기저 마이너를 형성하지 않는 행렬의 행(및 열)의 모든 요소는 행(및 열)의 해당 요소로 선형으로 표현됩니다. ) 기본 미성년자를 형성합니다.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?

Kronecker-Capelli 정리에 의해 시스템의 호환성을 확립한 경우 시스템의 주 행렬의 기본 마이너를 선택하고(그 차수는 r과 같음) 시스템에서 그렇지 않은 모든 방정식을 제외합니다. 선택한 기본 마이너를 형성합니다. 이 방법으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합임) 원래 SLAE와 동일합니다.

결과적으로 시스템의 과도한 방정식을 버리고 나면 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템의 방정식 r의 개수가 미지 변수의 개수와 같으면 한정적이며 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 유일한 솔루션을 찾을 수 있습니다.

예.

.

해결책.

시스템의 메인 매트릭스 순위 두 번째 주문의 마이너이므로 2와 같습니다. 제로와는 다릅니다. 확장 행렬 순위 세 번째 오더의 유일한 마이너가 0과 같기 때문에 2도 같습니다.

위에서 고려한 두 번째 순서의 마이너는 0이 아닙니다. Kronecker-Capelli 정리를 기반으로 Rank(A)=Rank(T)=2 이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기본 미성년자로, 우리는 . 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.


시스템의 세 번째 방정식은 기본 마이너의 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위 정리에 따라 시스템에서 제외합니다.


따라서 우리는 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻었습니다. Cramer의 방법으로 해결해 보겠습니다.


답변:

엑스 1 \u003d 1, 엑스 2 \u003d 2.

결과 SLAE에서 방정식의 수가 r인 경우 숫자보다 작음알 수 없는 변수 n, 그런 다음 방정식의 왼쪽에서 기본 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다.

방정식의 왼쪽에 남아 있는 미지의 변수(그 중 r개가 있음)를 다음이라고 합니다. 기본.

오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(n - r개 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 자유 미지 변수는 임의의 값을 가질 수 있는 반면 r 주요 미지 변수는 고유한 방식으로 자유 미지 변수로 표현될 것이라고 가정합니다. Cramer 방법, Matrix 방법 또는 Gauss 방법으로 결과 SLAE를 풀면 식을 찾을 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다.

예.

선형 대수 방정식 풀이 시스템 .

해결책.

시스템의 메인 매트릭스의 랭크 찾기 경계 미성년자 방법으로. 1 1 = 1을 0이 아닌 1차 마이너로 간주해 보겠습니다. 이 마이너를 둘러싼 0이 아닌 2차 마이너 검색을 시작하겠습니다.


그래서 우리는 2차의 0이 아닌 마이너를 찾았습니다. 세 번째 오더의 0이 아닌 보더링 마이너 검색을 시작하겠습니다.


따라서 메인 매트릭스의 랭크는 3이다. 증가 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관성이 있습니다.

발견된 0이 아닌 3차 마이너가 기본 마이너로 간주됩니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 형성하는 요소를 보여줍니다.


우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기본 미성년자에 참여하는 용어를 남겨두고 반대 부호가있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.


우리는 무료 미지 변수 x 2 및 x 5 임의의 값을 제공합니다. , 여기서 임의의 숫자입니다. 이 경우 SLAE는 다음 형식을 취합니다.


Cramer 방법으로 얻은 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 풉니다.


따라서, .

답변에서 무료로 알 수 없는 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 찾습니다. 기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 일관성이 없다고 결론을 내립니다.

주 행렬의 랭크가 확장 행렬의 랭크와 같으면 기본 마이너를 선택하고 선택된 기본 마이너의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 버립니다.

베이시스 마이너의 차수가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기저 마이너의 차수가 미지 변수의 수보다 적으면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 미지 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 할당합니다. 자유 미지 변수에. 선형 방정식의 결과 시스템에서 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법을 사용하면 호환성에 대한 예비 조사 없이 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 알 수 없는 변수를 연속적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 불일치에 대한 결론을 도출할 수 있으며 솔루션이 존재하는 경우 이를 찾을 수 있습니다.

계산 작업의 관점에서 가우시안 방법이 바람직합니다.

조심해 상세 설명일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 Gauss 방법 문서의 예제를 분석했습니다.

기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 균질 및 비균질 선형 대수 시스템의 일반 솔루션을 기록합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 솔루션이 있는 선형 대수 방정식의 공동 동차 및 비동차 시스템에 중점을 둘 것입니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

기본 의사결정 시스템 n개의 미지 변수를 갖는 p개의 선형 대수 방정식의 균질 시스템은 이 시스템의 (n – r) 선형 독립 솔루션의 집합입니다. 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기본 마이너의 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 솔루션을 X(1) , X(2) , … , X(n-r)로 지정하면 (X(1) , X(2) , … , X(n-r)은 차원 n의 행렬 열입니다. 1 ) , 이 균질 시스템의 일반 솔루션은 임의의 상수 계수 С 1 , С 2 , …, С (n-r), 즉 .

선형 대수 방정식(oroslau)의 균일 시스템의 일반 솔루션이라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식이 모든 것을 설정합니다. 가능한 해결책원래 SLAE, 즉 임의의 상수 С 1 , С 2 , … , С (n-r) 의 값 집합을 취하는 공식에 따라 원래 균질 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻습니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 .

균일한 SLAE를 위한 솔루션의 기본 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 선형 방정식의 원래 시스템의 기본 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 무료 미지 변수를 포함하는 모든 용어를 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 미지수를 무료로 제공하자 변수 값 1,0,0,… 따라서 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)을 얻을 수 있습니다. 무료 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 부여하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등등. 자유 미지 변수에 0,0,…,0,1 값을 부여하고 주요 미지수를 계산하면 X(n-r) . 이것은 동종 SLAE의 솔루션의 기본 시스템이 구성되는 방법이며 일반적인 솔루션은 형식으로 작성될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 비균질 시스템의 경우 일반 솔루션은 다음과 같이 표현됩니다.

예를 살펴보겠습니다.

예.

해의 기본 시스템과 선형 대수 방정식의 균질 시스템의 일반 솔루션 찾기 .

해결책.

동차 선형 방정식 시스템의 주 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 마이너를 프린징하는 방법으로 메인 매트릭스의 랭크를 찾아봅시다. 1차의 0이 아닌 마이너로서 시스템의 기본 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 취합니다. 두 번째 순서의 경계가 0이 아닌 마이너를 찾습니다.

0이 아닌 2차 마이너가 발견되었습니다. 0이 아닌 1을 찾기 위해 경계에 있는 3차 마이너를 살펴보겠습니다.

세 번째 순서의 모든 경계 마이너는 0과 같으므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2입니다. 기본 미성년자를 보자. 명확성을 위해 이를 구성하는 시스템 요소에 주목합니다.

원래 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 마이너 형성에 참여하지 않으므로 제외할 수 있습니다.

방정식의 우변에 주요 미지수를 포함하는 항을 남겨두고 자유 미지수가 있는 항을 우변으로 옮깁니다.

선형 방정식의 원래 균질 시스템에 대한 기본 솔루션 시스템을 구성해 보겠습니다. 이 SLAE의 기본 솔루션 시스템은 원래 SLAE에 4개의 미지 변수가 포함되어 있고 기본 마이너의 차수가 2이기 때문에 두 개의 솔루션으로 구성됩니다. X (1)을 찾으려면 무료 미지 변수에 x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 값을 지정한 다음 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

1. 대체 방법: 시스템의 모든 방정식에서 미지수를 다른 것으로 표현하고 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

일.연립방정식 풀기:

해결책.시스템의 첫 번째 방정식에서 우리는 다음을 표현합니다. ~에~을 통해 엑스시스템의 두 번째 방정식에 대입하십시오. 시스템을 잡자 원본과 동일합니다.

이러한 용어를 가져온 후 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

두 번째 방정식에서 다음을 찾습니다. 이 값을 방정식에 대입 ~에 = 2 - 2엑스, 우리는 얻는다 ~에= 3. 따라서 이 시스템의 솔루션은 한 쌍의 숫자 입니다.

2. 대수적 덧셈 방법: 두 개의 방정식을 더하여 하나의 변수를 갖는 방정식을 얻습니다.

일.시스템 방정식을 풉니다.

해결책.두 번째 방정식의 양변에 2를 곱하면 시스템을 얻습니다. 원본과 동일합니다. 이 시스템의 두 방정식을 추가하면 시스템에 도달합니다.

유사한 용어를 줄인 후 이 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 두 번째 방정식에서 우리는 . 이 값을 방정식 3에 대입 엑스 + 4~에= 5, 우리는 얻는다 , 어디 . 따라서 이 시스템의 솔루션은 한 쌍의 숫자 입니다.

3. 새로운 변수를 도입하는 방법: 우리는 시스템에서 반복되는 표현을 찾고 있으며, 이를 새로운 변수로 표시하여 시스템의 형태를 단순화합니다.

일.연립방정식 풀기:

해결책.이 시스템을 다르게 작성해 보겠습니다.

허락하다 엑스 + 와이 = 유, 후 = V.그런 다음 시스템을 얻습니다.

대입법으로 풀어보자. 시스템의 첫 번째 방정식에서 우리는 다음을 표현합니다. 유~을 통해 V시스템의 두 번째 방정식에 대입하십시오. 시스템을 잡자 저것들.

우리가 찾은 시스템의 두 번째 방정식에서 V 1 = 2, V 2 = 3.

이 값을 방정식에 대입 유 = 5 - V, 우리는 얻는다 유 1 = 3,
유 2 = 2. 그러면 두 개의 시스템이 있습니다.

첫 번째 시스템을 풀면 두 쌍의 숫자 (1; 2), (2; 1)을 얻습니다. 두 번째 시스템에는 솔루션이 없습니다.

독립 작업을 위한 연습

1. 대입법을 사용하여 연립방정식을 풉니다.

수업 내용

변수가 두 개인 선형 방정식

학생은 학교에서 점심을 먹을 수 있는 200루블이 있습니다. 케이크는 25루블, 커피 한 잔은 10루블입니다. 200루블에 케이크와 커피를 몇 잔이나 살 수 있나요?

통해 케이크의 수를 나타냅니다 엑스, 커피 잔 수 와이. 그런 다음 케이크 비용은 식 25로 표시됩니다. 엑스, 그리고 10의 커피 컵 비용 와이 .

25엑스-가격 엑스케이크
10와이-가격 와이커피 한잔

총 금액은 200 루블이어야합니다. 그런 다음 두 개의 변수가 있는 방정식을 얻습니다. 엑스그리고 와이

25엑스+ 10와이= 200

이 방정식의 근은 몇 개입니까?

그것은 모두 학생의 식욕에 달려 있습니다. 그가 케이크 6개와 커피 5잔을 산다면 방정식의 근은 숫자 6과 5가 될 것입니다.

값 6과 5의 쌍을 수학식 25의 근이라 한다. 엑스+ 10와이= 200 . (6; 5) 로 작성되며 첫 번째 숫자는 변수의 값입니다. 엑스, 두 번째 - 변수의 값 와이 .

6과 5는 방정식 25를 뒤집는 유일한 근이 아닙니다. 엑스+ 10와이= 200에서 동일성. 원하는 경우 동일한 200 루블에 대해 학생은 케이크 4 개와 커피 10 잔을 살 수 있습니다.

이 경우 방정식 25의 근 엑스+ 10와이= 200은 값 쌍입니다. (4; 10) .

또한 학생은 커피를 전혀 사지 않고 200 루블 모두에 케이크를 살 수 있습니다. 그런 다음 방정식 25의 근 엑스+ 10와이= 200은 값 8과 0이 됩니다.

또는 그 반대의 경우 케이크를 사지 말고 200 루블 모두에 대해 커피를 사십시오. 그런 다음 방정식 25의 근 엑스+ 10와이= 200은 0과 20의 값이 됩니다.

방정식 25의 가능한 근을 모두 나열해 봅시다. 엑스+ 10와이= 200 . 가치에 동의합시다. 엑스그리고 와이정수 집합에 속합니다. 이 값을 0보다 크거나 같게하십시오.

엑스∈지, 와이∈ 지;
엑스 ≥ 0, y ≥ 0

따라서 학생 자신에게 편리합니다. 케이크는 예를 들어 전체 케이크 몇 개와 케이크 반 개보다 전체를 사는 것이 더 편리합니다. 커피는 또한 예를 들어 여러 컵과 반 컵보다 전체 컵에 마시는 것이 더 편리합니다.

홀수의 경우 엑스어떤 상황에서도 평등을 달성하는 것은 불가능합니다. 와이. 그런 다음 값 엑스다음과 같은 숫자 0, 2, 4, 6, 8이 있을 것입니다. 엑스쉽게 결정할 수 있다 와이

따라서 다음과 같은 값 쌍을 얻었습니다. (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). 이 쌍은 방정식 25의 해 또는 근입니다. 엑스+ 10와이= 200. 그들은 이 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

유형 방정식 도끼 + 기준 = c~라고 불리는 변수가 두 개인 선형 방정식. 이 방정식의 해 또는 근은 한 쌍의 값( 엑스; 와이), 이를 ID로 바꿉니다.

두 개의 변수가 있는 선형 방정식이 다음과 같이 작성되는 경우에도 유의하십시오. ax + b y = c ,그런 다음 그들은 그것이 쓰여졌다 고 말합니다 정식(정상) 형태.

두 변수의 일부 선형 방정식은 정식 형식으로 줄일 수 있습니다.

예를 들어, 방정식 2(16엑스+ 3와이- 4) = 2(12 + 8엑스 − 와이) 떠올릴 수 있다 도끼 + 기준 = c. 이 방정식의 두 부분에서 괄호를 열면 다음을 얻습니다. 32엑스 + 6와이 − 8 = 24 + 16엑스 − 2와이 . 미지수를 포함하는 항은 방정식의 왼쪽에 그룹화되고 미지수가 없는 항은 오른쪽에 그룹화됩니다. 그럼 우리는 얻을 32엑스 - 16엑스+ 6와이+ 2와이 = 24 + 8 . 우리는 두 부분에서 비슷한 용어를 가져오고 방정식 16을 얻습니다. 엑스+ 8와이= 32. 이 방정식은 다음 형식으로 축소됩니다. 도끼 + 기준 = c정식입니다.

앞에서 고려한 방정식 25 엑스+ 10와이= 200은 정식 형식의 변수가 두 개인 선형 방정식이기도 합니다. 이 방정식에서 매개변수 ㅏ , 비그리고 씨값은 각각 25, 10 및 200과 같습니다.

실제로 방정식 도끼 + 기준 = c무한한 수의 솔루션이 있습니다. 방정식 풀기 25엑스+ 10와이= 200, 정수 집합에서만 근을 찾았습니다. 결과적으로 우리는 이 방정식을 항등식으로 바꾸는 여러 쌍의 값을 얻었습니다. 그러나 유리수 방정식 25의 집합에서 엑스+ 10와이= 200에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

새로운 값 쌍을 얻으려면 다음에 대한 임의의 값을 가져와야 합니다. 엑스, 다음 익스프레스 와이. 예를 들어 변수가 있다고 하자 엑스값 7. 그런 다음 하나의 변수가 있는 방정식을 얻습니다. 25×7 + 10와이= 200 표현하는 것 와이

허락하다 엑스= 15 . 그런 다음 방정식 25엑스+ 10와이= 200은 25 × 15가 됩니다. + 10와이= 200. 여기에서 우리는 와이 = −17,5

허락하다 엑스= -3 . 그런 다음 방정식 25엑스+ 10와이= 200은 25 × (-3)이 됩니다. + 10와이= 200. 여기에서 우리는 와이 = −27,5

두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템

방정식의 경우 도끼 + 기준 = c당신은 여러 번 임의의 값을 취할 수 있습니다 엑스에 대한 값을 찾습니다. 와이. 별도로 취하면 이러한 방정식에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

그러나 변수가 엑스그리고 와이하나가 아니라 두 개의 방정식으로 연결됩니다. 이 경우 소위를 형성합니다. 변수가 두 개인 선형 방정식 시스템. 이러한 방정식 시스템은 한 쌍의 값(즉, "하나의 솔루션")을 가질 수 있습니다.

시스템에 솔루션이 전혀 없을 수도 있습니다. 선형 방정식 시스템은 드물고 예외적인 경우에 무한한 수의 솔루션을 가질 수 있습니다.

두 개의 선형 방정식은 값이 다음과 같을 때 시스템을 형성합니다. 엑스그리고 와이이 방정식 각각에 포함됩니다.

처음 방정식 25로 돌아가 봅시다. 엑스+ 10와이= 200 . 이 방정식의 값 쌍 중 하나는 (6; 5) 쌍이었습니다. 200 루블로 케이크 6개와 커피 5잔을 살 수 있는 경우입니다.

쌍 (6; 5)이 되도록 문제를 구성해 봅시다. 유일한 해결책방정식 25 엑스+ 10와이= 200 . 이를 위해 동일한 것을 연결하는 다른 방정식을 구성합니다. 엑스케이크와 와이커피 한잔.

작업 텍스트를 다음과 같이 입력해 보겠습니다.

“한 남학생이 케이크 몇 개와 커피 몇 잔을 200루블에 샀습니다. 케이크는 25루블, 커피 한 잔은 10루블입니다. 케이크의 개수가 커피 잔의 개수보다 하나 더 많은 것으로 알려진 경우 학생은 몇 개의 케이크와 커피 잔을 샀습니까?

우리는 이미 첫 번째 방정식을 가지고 있습니다. 이것은 방정식 25입니다. 엑스+ 10와이= 200 . 이제 조건에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. "케이크의 수는 커피의 수보다 한 단위 더 많다" .

케이크 개수는 엑스이고, 커피 잔의 수는 와이. 방정식을 사용하여 이 구문을 작성할 수 있습니다. x - y= 1. 이 방정식은 케이크와 커피의 차이가 1임을 의미합니다.

x=y+ 1 . 이 방정식은 케이크의 수가 커피 잔의 수보다 하나 더 많다는 것을 의미합니다. 따라서 평등을 얻기 위해 커피 잔 수에 1을 더합니다. 가장 간단한 문제를 연구할 때 고려한 가중치 모델을 사용하면 쉽게 이해할 수 있습니다.

2개의 방정식을 얻었습니다: 25 엑스+ 10와이= 200 및 x=y+ 1. 가치 이후 엑스그리고 와이, 즉 6과 5가 이러한 각 방정식에 포함된 다음 함께 시스템을 형성합니다. 이 시스템을 적어 봅시다. 방정식이 시스템을 형성하는 경우 시스템의 부호로 구성됩니다. 시스템 기호는 중괄호입니다.

이 시스템을 해결해 봅시다. 이를 통해 값 6과 5에 도달하는 방법을 확인할 수 있습니다. 이러한 시스템을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 인기있는 것을 고려하십시오.

대체 방법

이 방법의 이름은 그 자체로 말합니다. 그 본질은 이전에 변수 중 하나를 표현한 한 방정식을 다른 방정식으로 대체하는 것입니다.

우리 시스템에서는 아무 것도 표현할 필요가 없습니다. 두 번째 방정식에서 엑스 = 와이+ 1 변수 엑스이미 표현했습니다. 이 변수는 표현식과 같습니다. 와이+ 1 . 그런 다음 변수 대신 첫 번째 방정식에서 이 식을 대체할 수 있습니다. 엑스

표현을 바꾼 후 와이대신 첫 번째 방정식에 + 1 엑스, 우리는 방정식을 얻습니다 25(와이+ 1) + 10와이= 200 . 이것은 변수가 하나인 선형 방정식입니다. 이 방정식은 풀기가 매우 쉽습니다.

변수 값을 찾았습니다. 와이. 이제 이 값을 방정식 중 하나로 대체하고 값을 찾습니다. 엑스. 이를 위해 두 번째 방정식을 사용하는 것이 편리합니다. 엑스 = 와이+ 1 . 값을 넣어보자 와이

따라서 쌍 (6; 5)는 우리가 의도한 대로 연립방정식의 해입니다. 쌍 (6; 5)이 시스템을 만족하는지 확인하고 확인합니다.

예 2

첫 번째 방정식을 대입하십시오. 엑스= 2 + 와이두 번째 방정식 3에 엑스 - 2와이= 9 . 첫 번째 방정식에서 변수 엑스식 2 + 와이. 대신 이 식을 두 번째 방정식으로 대체합니다. 엑스

이제 값을 찾아보자 엑스. 이렇게 하려면 값을 대체하십시오. 와이첫 번째 방정식으로 엑스= 2 + 와이

따라서 시스템의 솔루션은 쌍 값(5; 3)입니다.

예 3. 대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

여기서는 이전 예제와 달리 변수 중 하나를 명시적으로 표현하지 않습니다.

한 방정식을 다른 방정식으로 대체하려면 먼저 .

계수가 1인 변수를 표현하는 것이 바람직하다. 계수 단위에는 변수가 있습니다. 엑스, 첫 번째 방정식에 포함 엑스+ 2와이= 11 . 이 변수를 표현해 봅시다.

변수 표현식 이후 엑스, 우리 시스템은 다음과 같습니다.

이제 첫 번째 방정식을 두 번째 방정식으로 대체하고 값을 찾습니다. 와이

대리자 와이 엑스

따라서 시스템의 솔루션은 한 쌍의 값(3; 4)

물론 변수를 표현할 수도 있습니다. 와이. 뿌리는 변하지 않습니다. 하지만 표현하면 와이,결과는 매우 간단한 방정식이 아니며 솔루션에 더 많은 시간이 걸립니다. 다음과 같이 표시됩니다.

우리는 이 예표현 엑스표현보다 훨씬 편하다 와이 .

예 4. 대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

첫 번째 방정식으로 표현 엑스. 그런 다음 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

와이

대리자 와이첫 번째 방정식에 넣고 찾기 엑스. 원래 방정식 7을 사용할 수 있습니다. 엑스+ 9와이= 8 , 또는 변수가 표현되는 방정식을 사용하십시오. 엑스. 편리하기 때문에 다음 방정식을 사용합니다.

따라서 시스템의 솔루션은 값 쌍입니다. (5; -3)

추가 방법

덧셈 방법은 시스템에 포함된 방정식을 항별로 더하는 것입니다. 이 추가로 인해 새로운 변수가 하나인 방정식이 생성됩니다. 그리고 이 방정식을 푸는 것은 꽤 쉽습니다.

다음 연립방정식을 풀어봅시다.

첫 번째 방정식의 좌변을 두 번째 방정식의 좌변에 더합니다. 그리고 첫 번째 방정식의 우변은 두 번째 방정식의 우변과 같습니다. 우리는 다음과 같은 평등을 얻습니다.

비슷한 용어는 다음과 같습니다.

그 결과 가장 간단한 식 3을 얻었다. 엑스= 27 그의 루트는 9. 값을 알고 엑스값을 찾을 수 있습니다 와이. 값을 대체 엑스두 번째 방정식으로 x - y= 3 . 우리는 9 − 와이= 3 . 여기에서 와이= 6 .

따라서 시스템의 솔루션은 한 쌍의 값(9; 6)

예 2

첫 번째 방정식의 좌변을 두 번째 방정식의 좌변에 더합니다. 그리고 첫 번째 방정식의 우변은 두 번째 방정식의 우변과 같습니다. 결과 평등에서 다음과 같은 용어를 제시합니다.

결과적으로 가장 간단한 방정식 5를 얻었습니다. 엑스= 20, 그 근은 4입니다. 값 알기 엑스값을 찾을 수 있습니다 와이. 값을 대체 엑스첫 번째 방정식 2에 x+y= 11 . 8 +를 얻자 와이= 11 . 여기에서 와이= 3 .

따라서 시스템의 솔루션은 값 쌍(4;3)

추가 프로세스는 자세히 설명하지 않습니다. 마음으로 해야 합니다. 추가할 때 두 방정식을 정식 형식으로 줄여야 합니다. 즉 마음에 ac+by=c .

고려한 예에서 방정식을 추가하는 주요 목표는 변수 중 하나를 제거하는 것임을 알 수 있습니다. 그러나 덧셈법으로 연립방정식을 즉시 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 대부분의 경우 시스템은 이 시스템에 포함된 방정식을 추가할 수 있는 형태로 예비적으로 가져옵니다.

예를 들어, 시스템 추가 방법으로 직접 해결할 수 있습니다. 두 방정식을 더할 때 항은 와이그리고 -y합계가 0이기 때문에 사라집니다. 결과적으로 가장 간단한 방정식이 형성됩니다. 11 엑스= 22 , 루트는 2입니다. 그러면 다음을 결정할 수 있습니다. 와이 5와 같습니다.

그리고 연립방정식 추가 방법은 변수 중 하나가 사라지지 않기 때문에 즉시 해결할 수 없습니다. 추가하면 방정식 8이 됩니다. 엑스+ 와이= 28 , 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

방정식의 두 부분을 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나누면 주어진 방정식과 동등한 방정식을 얻을 수 있습니다. 이 규칙은 변수가 두 개인 선형 방정식 시스템에도 유효합니다. 방정식 중 하나(또는 두 방정식 모두)에 숫자를 곱할 수 있습니다. 결과는 동등한 시스템이며 그 뿌리는 이전 시스템과 일치합니다.

학생이 구입한 케이크와 커피 잔 수를 설명하는 첫 번째 시스템으로 돌아가 봅시다. 이 시스템의 솔루션은 한 쌍의 값(6; 5)이었습니다.

이 시스템에 포함된 두 방정식에 몇 가지 숫자를 곱합니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱한다고 가정해 보겠습니다.

결과는 시스템
이 시스템에 대한 솔루션은 여전히 ​​값 쌍(6; 5)입니다.

이는 시스템에 포함된 방정식을 더하기 방법을 적용하기에 적합한 형태로 줄일 수 있음을 의미합니다.

시스템으로 돌아가기 , 더하기 방법으로는 해결할 수 없었습니다.

첫 번째 방정식에 6을 곱하고 두 번째 방정식에 -2를 곱하십시오.

그런 다음 다음 시스템을 얻습니다.

이 시스템에 포함된 방정식을 추가합니다. 구성 요소 추가 12 엑스및 -12 엑스결과는 0, 더하기 18 와이그리고 4 와이 22 줄 것이다 와이, 그리고 108과 -20을 더하면 88이 됩니다. 그러면 방정식 22를 얻습니다. 와이= 88 따라서 와이 = 4 .

처음에 마음속으로 방정식을 더하기 어렵다면 첫 번째 방정식의 왼쪽을 두 번째 방정식의 왼쪽에 어떻게 더하고 첫 번째 방정식의 오른쪽을 오른쪽에 어떻게 더할지 적어보세요 두 번째 방정식:

변수의 값을 알고 와이 4이면 값을 찾을 수 있습니다. 엑스. 대리자 와이방정식 중 하나에, 예를 들어 첫 번째 방정식 2에 엑스+ 3와이= 18 . 그런 다음 하나의 변수 2를 갖는 방정식을 얻습니다. 엑스+ 12 = 18 . 우리는 12를 오른쪽으로 옮기고 부호를 변경하면 2를 얻습니다. 엑스= 6 이므로 엑스 = 3 .

예 4. 덧셈 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

두 번째 방정식에 -1을 곱합니다. 그런 다음 시스템은 다음 형식을 취합니다.

두 방정식을 더해 봅시다. 구성 요소 추가 엑스그리고 -x결과는 0, 더하기 5 와이그리고 3 와이 8 줄 것이다 와이, 7과 1을 더하면 8이 됩니다. 결과는 방정식 8입니다. 와이= 8 , 루트는 1입니다. 값이 와이 1이면 값을 찾을 수 있습니다. 엑스 .

대리자 와이첫 번째 방정식으로, 우리는 엑스+ 5 = 7 이므로 엑스= 2

실시예 5. 덧셈 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

동일한 변수를 포함하는 용어가 서로 아래에 위치하는 것이 바람직합니다. 따라서 두 번째 방정식에서 항 5 와이및 -2 엑스장소를 바꾸십시오. 결과적으로 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

두 번째 방정식에 3을 곱합니다. 그러면 시스템은 다음 형식을 취합니다.

이제 두 방정식을 더해 봅시다. 덧셈의 ​​결과로 방정식 8을 얻습니다. 와이= 16 , 루트는 2입니다.

대리자 와이첫 번째 방정식에 6을 얻습니다. 엑스− 14 = 40 . 용어 -14를 오른쪽으로 옮기고 부호를 변경하면 6을 얻습니다. 엑스= 54 . 여기에서 엑스= 9.

실시예 6. 덧셈 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

분수를 없애자. 첫 번째 방정식에 36을 곱하고 두 번째 방정식에 12를 곱하십시오.

결과 시스템에서 첫 번째 방정식에 −5를 곱하고 두 번째 방정식에 8을 곱할 수 있습니다.

결과 시스템에 방정식을 추가해 보겠습니다. 그런 다음 가장 간단한 방정식 -13을 얻습니다. 와이= -156 . 여기에서 와이= 12 . 대리자 와이첫 번째 방정식에 넣고 찾기 엑스

실시예 7. 덧셈 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

우리는 두 방정식을 정규 형식으로 가져옵니다. 여기에서 두 방정식 모두에 비례 규칙을 적용하는 것이 편리합니다. 첫 번째 방정식에서 오른쪽이 로 표시되고 두 번째 방정식의 오른쪽이 로 표시되면 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

비율이 있습니다. 극단 항과 중간 항을 곱합니다. 그런 다음 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

첫 번째 방정식에 −3을 곱하고 두 번째 방정식에서 괄호를 엽니다.

이제 두 방정식을 더해 봅시다. 이 방정식을 추가한 결과 두 부분 모두 0이 되는 평등을 얻습니다.

시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있음이 밝혀졌습니다.

그러나 우리는 단순히 하늘에서 임의의 값을 취할 수 없습니다. 엑스그리고 와이. 값 중 하나를 지정할 수 있으며 다른 값은 지정한 값에 따라 결정됩니다. 예를 들어 엑스= 2 . 이 값을 시스템에 대체하십시오.

방정식 중 하나를 풀면 에 대한 값이 와이, 두 방정식을 모두 충족합니다.

결과 값 쌍 (2; -2)은 시스템을 만족시킵니다.

다른 값 쌍을 찾아봅시다. 허락하다 엑스= 4. 이 값을 시스템에 대체합니다.

눈으로 판단할 수 있다 와이 0과 같습니다. 그런 다음 시스템을 만족시키는 한 쌍의 값(4; 0)을 얻습니다.

실시예 8. 덧셈 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

첫 번째 방정식에 6을 곱하고 두 번째 방정식에 12를 곱하십시오.

남은 내용을 다시 작성해 보겠습니다.

첫 번째 방정식에 -1을 곱합니다. 그런 다음 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 두 방정식을 더해 봅시다. 덧셈의 ​​결과 수학식 6이 형성된다. 비= 48 , 루트는 8입니다. 비첫 번째 방정식에 넣고 찾기 ㅏ

3개의 변수가 있는 선형 방정식 시스템

3개의 변수가 있는 선형 방정식에는 계수가 있는 3개의 변수와 절편이 포함됩니다. 정식 형식으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

도끼 + 기준 + cz = d

이 방정식에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 두 가지 변수 제공 다양한 의미, 세 번째 값을 찾을 수 있습니다. 이 경우의 해결책은 세 가지 값( 엑스; 와이; 지) 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

변수인 경우 엑스, 와이, 지 3개의 방정식으로 상호 연결되면 3개의 변수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템이 형성됩니다. 이러한 시스템을 풀기 위해 두 개의 변수가 있는 선형 방정식에 적용되는 것과 동일한 방법인 대체 방법과 추가 방법을 적용할 수 있습니다.

예 1. 대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.

우리는 세 번째 방정식으로 표현합니다 엑스. 그런 다음 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 치환을 해봅시다. 변하기 쉬운 엑스식과 같다 3 − 2와이 − 2지 . 이 식을 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식으로 대체하십시오.

두 방정식에서 괄호를 열고 같은 용어를 지정해 보겠습니다.

우리는 두 개의 변수가 있는 선형 방정식 시스템에 도달했습니다. 이 경우 덧셈 방식을 적용하면 편리하다. 결과적으로 변수 와이사라지고 변수의 값을 찾을 수 있습니다. 지

이제 값을 찾아보자 와이. 이를 위해 다음 방정식을 사용하는 것이 편리합니다. 와이+ 지= 4. 값을 대체 지

이제 값을 찾아보자 엑스. 이를 위해 방정식을 사용하는 것이 편리합니다. 엑스= 3 − 2와이 − 2지 . 값을 대체하십시오. 와이그리고 지

따라서 세 가지 값(3; -2; 2)이 우리 시스템의 솔루션입니다. 확인을 통해 다음 값이 시스템을 만족하는지 확인합니다.

예 2. 더하기 방법으로 시스템 풀기

두 번째 방정식에 −2를 곱한 첫 번째 방정식을 더해 봅시다.

두 번째 방정식에 -2를 곱하면 다음 형식을 취합니다. −6엑스+ 6와이- 4지 = −4 . 이제 첫 번째 방정식에 추가하십시오.

기본 변환의 결과로 변수의 값이 결정되었음을 알 수 있습니다. 엑스. 1과 같습니다.

돌아가다 메인 시스템. 세 번째 방정식에 −1을 곱한 두 번째 방정식을 추가해 봅시다. 세 번째 방정식에 -1을 곱하면 다음 형식을 취합니다. −4엑스 + 5와이 − 2지 = −1 . 이제 두 번째 방정식에 추가하십시오.

방정식을 얻었다 엑스 - 2와이= -1 . 그 값으로 대체 엑스이전에 찾았습니다. 그런 다음 값을 결정할 수 있습니다. 와이

우리는 이제 가치를 알고 있습니다 엑스그리고 와이. 이를 통해 값을 결정할 수 있습니다. 지. 시스템에 포함된 방정식 중 하나를 사용합니다.

따라서 세 가지 값(1; 1; 1)이 우리 시스템의 솔루션입니다. 확인을 통해 다음 값이 시스템을 만족하는지 확인합니다.

선형 방정식 시스템을 컴파일하는 작업

방정식 시스템을 컴파일하는 작업은 여러 변수를 도입하여 해결됩니다. 다음으로 방정식은 문제의 조건에 따라 컴파일됩니다. 컴파일된 방정식에서 시스템을 형성하고 해결합니다. 시스템을 푼 후에는 그 솔루션이 문제의 조건을 만족하는지 확인해야 합니다.

작업 1. 볼가 자동차가 집단 농장으로 도시를 떠났습니다. 그녀는 첫 번째 길보다 5km 더 짧은 다른 길을 따라 돌아왔다. 전체적으로 자동차는 양방향으로 35km를 운전했습니다. 각 도로의 길이는 몇 킬로미터입니까?

해결책

허락하다 엑스-첫 번째 도로의 길이, 와이- 두 번째 길이. 자동차가 양방향으로 35km를 운전했다면 첫 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 엑스+ 와이= 35. 이 방정식은 두 도로 길이의 합을 나타냅니다.

차가 처음보다 5km 더 짧은 길을 따라 다시 돌아오고 있었다고 한다. 그러면 두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 엑스− 와이= 5. 이 방정식은 도로 길이의 차이가 5km임을 보여줍니다.

또는 두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 엑스= 와이+ 5 . 우리는 이 방정식을 사용할 것입니다.

이후 변수 엑스그리고 와이두 방정식에서 같은 숫자를 나타내면 그로부터 시스템을 구성할 수 있습니다.

이전에 연구한 방법 중 하나를 사용하여 이 시스템을 해결해 보겠습니다. 이 경우 대체 방법을 사용하는 것이 편리합니다. 엑스이미 표현했습니다.

두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에 대입하고 찾기 와이

찾은 값을 대체 와이두 번째 방정식으로 엑스= 와이+ 5 및 찾기 엑스

첫 번째 도로의 길이는 변수로 표시되었습니다. 엑스. 이제 우리는 그 의미를 찾았습니다. 변하기 쉬운 엑스는 20입니다. 따라서 첫 번째 도로의 길이는 20km입니다.

그리고 두 번째 도로의 길이는 와이. 이 변수의 값은 15입니다. 따라서 두 번째 도로의 길이는 15km입니다.

확인해보자. 먼저 시스템이 올바르게 해결되었는지 확인합니다.

이제 해(20, 15)가 문제의 조건을 만족하는지 확인해보자.

차는 총 35km를 양방향으로 운전했다고합니다. 두 도로의 길이를 더하고 해(20, 15)가 다음을 만족하는지 확인합니다. 이 조건: 20km + 15km = 35km

다음 조건: 차는 첫 번째보다 5km 짧은 다른 도로를 따라 다시 돌아 왔습니다. . 15km가 20km x 5km보다 짧기 때문에 솔루션 (20; 15)도 이 조건을 만족함을 알 수 있습니다. 20km - 15km = 5km

시스템을 컴파일할 때 변수가 이 시스템에 포함된 모든 방정식에서 동일한 숫자를 나타내는 것이 중요합니다.

그래서 우리 시스템에는 두 개의 방정식이 있습니다. 이 방정식에는 다음 변수가 포함됩니다. 엑스그리고 와이, 두 방정식에서 동일한 숫자, 즉 20km 및 15km와 같은 도로 길이를 나타냅니다.

작업 2. 참나무 침목과 소나무 침목 총 300개를 플랫폼에 실었습니다. 모든 참나무 침목은 모든 소나무 침목보다 무게가 1톤 적은 것으로 알려져 있습니다. 각각의 참나무 침목의 무게가 46kg이고 각 소나무 침목의 무게가 28kg인 경우 각각의 참나무 침목과 소나무 침목의 수를 결정하십시오.

해결책

허락하다 엑스참나무와 와이소나무 침목을 플랫폼에 실었습니다. 총 300명의 침목이 있는 경우 첫 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. x+y = 300 .

모든 참나무 침목의 무게는 46입니다. 엑스 kg, 소나무의 무게는 28 와이킬로그램. 참나무 침목은 소나무 침목보다 무게가 1톤 적기 때문에 두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 28와이- 46엑스= 1000 . 이 방정식은 참나무 침목과 소나무 침목 사이의 질량 차이가 1000kg임을 보여줍니다.

참나무 침목과 소나무 침목의 질량은 킬로그램으로 측정되기 때문에 톤은 킬로그램으로 변환되었습니다.

결과적으로 시스템을 구성하는 두 개의 방정식을 얻습니다.

이 시스템을 해결해 봅시다. 첫 번째 방정식으로 표현 엑스. 그런 다음 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

첫 번째 방정식을 두 번째 방정식으로 대체하고 다음을 찾으십시오. 와이

대리자 와이방정식으로 엑스= 300 − 와이그리고 무엇을 알아보십시오 엑스

이는 참나무 침목 100개와 소나무 침목 200개가 플랫폼에 적재되었음을 의미합니다.

솔루션(100; 200)이 문제의 조건을 만족하는지 확인해 봅시다. 먼저 시스템이 올바르게 해결되었는지 확인합니다.

총 300명이 잠을 잤다고 한다. 참나무 침목과 소나무 침목의 수를 더하고 솔루션(100, 200)이 다음 조건을 충족하는지 확인합니다. 100 + 200 = 300.

다음 조건: 모든 참나무 침목의 무게는 모든 소나무보다 1톤 적었습니다. . 46 × 100kg의 참나무 침목이 28 × 200kg의 소나무 침목보다 가볍기 때문에 솔루션(100; 200)도 이 조건을 만족함을 알 수 있습니다. 5600kg - 4600kg = 1000kg.

작업 3. 우리는 무게로 2:1, 3:1, 5:1의 비율로 구리와 니켈의 합금 3개를 취했습니다. 이 중 무게 12kg의 조각이 구리와 니켈 함량 비율이 4:1로 융합되었습니다. 첫 번째 조각의 질량이 두 번째 조각의 질량의 두 배이면 각 원본 조각의 질량을 구하십시오.