Kaip rasti trapecijos plotą, jei. Kaip rasti lygiašonės trapecijos plotą

IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime pasitaiko labai retai, tačiau kartais paaiškėja, kad reikia, pavyzdžiui, rasti kambario plotą trapecijos pavidalu, kuris vis dažniau naudojamas statant šiuolaikinius butus, arba renovacijos projektavimo projektuose.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudarytas iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos šonais. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecija turi tam tikrų tipų lygiašonę (lygiašonę) trapeciją, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampę trapeciją, kurios viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurio linija yra pusė pagrindų sumos ir lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonis trapecijos turi vienodas kraštines ir kampus, kuriuos jos sudaro su pagrindais.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija įbrėžta į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per pagrindų vidurio taškus lygiašonė trapecija bus statmena jo pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus pusė jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės pavidalu tai parašyta kaip išraiška:

kur S yra trapecijos plotas, a, b yra kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h yra trapecijos aukštis.

Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš toliau pateikto paveikslo, trapecija, naudojant vidurinę liniją, gali būti paversta stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.

Taip pat galite išskaidyti bet kurią trapeciją į daugiau paprastos figūros: stačiakampis ir vienas ar du trikampiai, o jei jums lengviau, raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar vienas paprasta formule apskaičiuoti jo plotą. Pagal jį trapecijos plotas yra lygus jos vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai ir rašomas taip: S \u003d m * h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematiniams, o ne kasdieniams uždaviniams, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kur S – plotas, a,b – pagrindai, c,d – trapecijos kraštinės.

Yra dar keletas būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.

Matematikoje žinomi keli keturkampių tipai: kvadratas, stačiakampis, rombas, lygiagretainis. Tarp jų yra ir trapecija – savotiškas išgaubtas keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi – ne. Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos pagrindais, o kitos dvi – trapecijos kraštinėmis. Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurio linija. Yra keletas trapecijos tipų: lygiašonių, stačiakampių, kreivių. Kiekvienam trapecijos tipui yra formulės, kaip rasti plotą.

Trapecijos plotas

Norėdami rasti trapecijos plotą, turite žinoti jos pagrindų ilgį ir aukštį. Trapecijos aukštis yra atkarpa, statmena pagrindams. Viršutinė bazė bus a, apatinė b, o aukštis h. Tada galite apskaičiuoti plotą S pagal formulę:

S = ½ * (a + b) * h

tie. paimkite pusę bazių sumos, padauginto iš aukščio.

Taip pat galite apskaičiuoti trapecijos plotą, jei žinote aukščio ir vidurio linijos reikšmę. Pažymime vidurinę liniją – m. Tada

Išspręskime problemą sudėtingiau: žinome keturių trapecijos kraštinių – a, b, c, d – ilgius. Tada plotas randamas pagal formulę:

Jei žinomi įstrižainių ilgiai ir kampas tarp jų, tada plotas ieškomas taip:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

kur d su indeksais 1 ir 2 yra įstrižainės. Šioje formulėje skaičiuojant pateikiamas kampo sinusas.

Kai žinomi pagrindo ilgiai a ir b ir du kampai apatiniame pagrinde, plotas apskaičiuojamas taip:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Lygiašonės trapecijos plotas

Lygiašonė trapecija yra ypatinga byla trapecijos formos. Jo skirtumas yra tas, kad tokia trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio simetrijos ašis eina per dviejų priešingų kraštinių vidurio taškus. Jo pusės yra lygios.

Yra keletas būdų, kaip rasti lygiašonės trapecijos plotą.

• Per trijų pusių ilgius. Šiuo atveju šonų ilgiai sutaps, todėl jie žymimi viena reikšme - c, a ir b - pagrindų ilgiais:

• Jei žinomas viršutinio pagrindo ilgis, šoninė pusė ir kampas ties apatiniu pagrindu, tada plotas apskaičiuojamas taip:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kur a yra viršutinė bazė, c yra pusė.

• Jei vietoj viršutinio pagrindo žinomas apatinio pagrindo ilgis - b, plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

• Jei žinomi du pagrindai ir kampas prie apatinio pagrindo, plotas apskaičiuojamas naudojant kampo liestinę:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• Taip pat plotas skaičiuojamas per įstrižaines ir kampą tarp jų. Šiuo atveju įstrižainės yra vienodo ilgio, todėl kiekviena žymima raide d be indeksų:

S = ½ * d2 * sinα

• Apskaičiuokite trapecijos plotą, žinodami šoninės kraštinės ilgį, vidurinę liniją ir kampą prie apatinio pagrindo.

Tegul kraštinė - c, vidurinė linija - m, kampas - a, tada:

S = m * c * sinα

Kartais į lygiakraštę trapeciją galima įrašyti apskritimą, kurio spindulys bus – r.

Žinoma, kad į bet kurią trapeciją galima įbrėžti apskritimą, jei pagrindų ilgių suma lygi jo kraštinių ilgių sumai. Tada plotas randamas per įbrėžto apskritimo spindulį ir kampą prie apatinio pagrindo:

S = 4r2 / sinα

Tas pats skaičiavimas atliekamas per įbrėžto apskritimo skersmenį D (beje, jis sutampa su trapecijos aukščiu):

Žinant pagrindus ir kampą, lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip:

S = a*b/sinα

(ši ir tolesnės formulės galioja tik trapecijoms su įbrėžtu apskritimu).

Per pagrindus ir apskritimo spindulį plotas ieškomas taip:

Jei žinomos tik bazės, tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

Per pamatus ir šoninę liniją trapecijos plotas su įbrėžtu apskritimu ir per pagrindus bei vidurio liniją - m apskaičiuojamas taip:

Stačiakampės trapecijos plotas

Trapecija vadinama stačiakampe, kurios viena iš kraštinių yra statmena pagrindams. Šiuo atveju kraštinės ilgis sutampa su trapecijos aukščiu.

Stačiakampė trapecija yra kvadratas ir trikampis. Suradę kiekvienos figūros plotą, sudėkite rezultatus ir gaukite bendrą figūros plotą.

Taip pat stačiakampės trapecijos plotui apskaičiuoti tinka bendrosios trapecijos ploto skaičiavimo formulės.

• Jei žinomi pagrindų ilgiai ir aukštis (arba statmena kraštinė), tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = (a + b) * h / 2

Kaip h (aukštis) gali būti pusė su. Tada formulė atrodo taip:

S = (a + b) * c / 2

• Kitas būdas apskaičiuoti plotą yra padauginti vidurio linijos ilgį iš aukščio:

arba pagal šoninės statmenos kraštinės ilgį:

• Kitas skaičiavimo metodas yra per pusę įstrižainių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

Jei įstrižainės yra statmenos, formulė supaprastinama taip:

S = ½ * d1 * d2

• Kitas būdas apskaičiuoti yra per pusperimetrą (dviejų priešingų kraštinių ilgių sumą) ir įbrėžto apskritimo spindulį.

Ši formulė galioja bazėms. Jei imsime kraštinių ilgius, tada vienas iš jų bus lygus dvigubam spinduliui. Formulė atrodys taip:

S = (2r + c) * r

• Jei į trapeciją įrašytas apskritimas, tada plotas apskaičiuojamas taip pat:

kur m yra vidurio linijos ilgis.

Kreivinės trapecijos plotas

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, apribota neneigiamos tolydžios funkcijos y = f(x) grafiku, apibrėžtu atkarpoje , x ašyje ir tiesėse x = a, x = b. Tiesą sakant, dvi jo kraštinės yra lygiagrečios viena kitai (bazės), trečioji yra statmena pagrindams, o ketvirtoji yra kreivė, atitinkanti funkcijos grafiką.

Kreivinės trapecijos plotas ieškomas per integralą, naudojant Niutono-Leibnizo formulę:

Kaip skaičiuojami plotai Įvairios rūšys trapecija. Tačiau, be šonų savybių, trapecijos turi tas pačias kampų savybes. Kaip ir visų esamų keturkampių, trapecijos vidinių kampų suma yra 360 laipsnių. O kampų, esančių šalia šono, suma yra 180 laipsnių.

Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje mes apsvarstysime šią formulę. Kodėl taip yra ir kaip tai suprasti? Jei yra supratimas, tai nereikia jo mokytis. Jei norite tiesiog pamatyti šią formulę ir tai, kas skubu, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))

Dabar išsamiai ir tvarkingai.

Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.

Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.

Klasikine forma trapecija vaizduojama taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia to vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:

Kita svarbi koncepcija.

Trapecijos vidurinė linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija yra lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.

Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl būtent?

Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:

* Viršūnių ir kitų taškų raidiniai žymėjimai neįvedami sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.

Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos atitinkamai pažymėtos mėlyna ir raudona spalva).

Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada turėsime segmentą (tai yra stačiakampio kraštinė), lygų vidurinei linijai. Be to, jei nupjautus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime segmentą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygų trapecijos vidurio linijai.

Supratau? Pasirodo, bazių suma bus lygi dviems trapecijos viduriams:

Žiūrėkite kitą paaiškinimą

Darykime taip – ​​nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:

Gauname trikampius 1 ir 2, jų šoniniai ir gretimieji kampai yra lygūs (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutiniam trapecijos pagrindui.

Dabar apsvarstykite trikampį:

*Šios trapecijos vidurinė linija ir trikampio vidurinė linija sutampa.

Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei pagrindo, lygiagrečios jam, tai yra:

Gerai, supratau. Dabar apie trapecijos plotą.

Trapecijos ploto formulė:

Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.

Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir padėsime juos atitinkamai ant 1 ir 3 trikampių:

Tada gauname stačiakampį, kurio plotas lygus mūsų trapecijos plotui. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:

Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.

Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.

Skyriuje pateikiamos geometrijos (pjūvio planimetrijos) problemos apie trapecijas. Jei neradote problemos sprendimo - parašykite apie tai forume. Kursas tikrai bus atnaujintas.

Trapecija. Apibrėžimas, formulės ir savybės

Trapecija (iš kitos graikų kalbos τραπέζιον - „stalas“; τράπεζα - „stalas, maistas“) yra keturkampis, kurio lygiagreti yra lygiai viena pora priešingų kraštinių.

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios.

Pastaba. Šiuo atveju lygiagretainis yra ypatingas trapecijos atvejis.

Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o kitos dvi – kraštinėmis.

Trapecijos yra:

- universalus ;

- lygiašoniai;

- stačiakampis

.
raudona ir rudos gėlės nurodytos šoninės pusės, žalia ir mėlyna yra trapecijos pagrindas.

A – lygiašonis (lygiašonis, lygiašonis) trapecija
B - stačiakampė trapecija
C - universali trapecija

Universalios trapecijos visos kraštinės yra skirtingo ilgio, o pagrindai yra lygiagretūs.

Kraštinės lygios, o pagrindai lygiagretūs.

Jie yra lygiagrečiai prie pagrindo, viena pusė yra statmena pagrindams, o antroji pusė yra pasvirusi į pagrindus.

Trapecijos savybės

• Trapecijos vidurinė linija lygiagrečios bazėms ir lygios pusei jų sumos
• Linijos atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, yra lygus pusei bazių skirtumo ir yra ant vidurinės linijos. Jo ilgis
• Lygiagrečios tiesės, kertančios bet kurio trapecijos kampo kraštines, atskiria proporcingas atkarpas nuo kampo kraštinių (žr. Thaleso teoremą)
• Trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas, jo šoninių kraštinių plėtinių ir pagrindų vidurio taškas yra vienoje tiesėje (taip pat žr. keturkampio savybes)
• Trikampiai ant pagrindo trapecijos, kurių viršūnės yra jų įstrižainių susikirtimo taškas, yra panašios. Tokių trikampių plotų santykis lygus trapecijos pagrindų santykio kvadratui
• Trikampiai šonuose trapecijos, kurių viršūnės yra jos įstrižainių susikirtimo taškas, yra vienodo ploto (vienodo ploto)
• į trapeciją galite įrašyti apskritimą jeigu trapecijos pagrindų ilgių suma lygi jos kraštinių ilgių sumai. Vidutinė linija šiuo atveju yra lygi kraštinių sumai, padalytai iš 2 (nes trapecijos vidurio linija yra lygi pusei bazių sumos)
• Atkarpa, lygiagreti pagrindams ir einantis per įstrižainių susikirtimo tašką, yra padalintas iš pastarosios per pusę ir yra lygus dvigubai bazių sandaugai, padalytai iš jų sumos 2ab / (a ​​+ b) (Burakovo formulė)

Trapecijos kampai

Trapecijos kampai yra aštrūs, tiesūs ir buki.
Yra tik du statūs kampai.

Stačiakampė trapecija turi du stačius kampus, o kiti du yra aštrūs ir buki. Kitų tipų trapecijos turi: dvi aštrūs kampai ir du kvaili.

Trapecijos bukieji kampai priklauso mažiausiems išilgai pagrindo ilgio ir aštrus – daugiau pagrindu.

Galima laikyti bet kokią trapeciją kaip nupjautas trikampis, kurios pjūvio linija lygiagreti trikampio pagrindui.
Svarbu. Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu (papildomai statant trapeciją į trikampį) galima išspręsti kai kurias trapecijos problemas ir įrodyti kai kurias teoremas.

Kaip rasti trapecijos kraštines ir įstrižaines

Trapecijos kraštinės ir įstrižainės randamos naudojant toliau pateiktas formules:

Šiose formulėse naudojamas žymėjimas, kaip parodyta paveikslėlyje.

a – mažiausias iš trapecijos pagrindų
b – didžiausias iš trapecijos pagrindų
c,d - šonai
h 1 h 2 - įstrižainės

Trapecijos įstrižainių kvadratų suma lygi dvigubai trapecijos pagrindų sandaugai ir kraštinių kvadratų sumai (2 formulė)

Trapecija vadinamas keturkampiu tik du kraštinės lygiagrečios viena kitai.

Jie vadinami figūros pagrindais, likusieji – šonais. Lygiagretainis laikomas ypatingu figūros atveju. Taip pat yra kreivinė trapecija, kurioje yra funkcijų grafikas. Trapecijos ploto formulės apima beveik visus jos elementus, o geriausias sprendimas parenkamas atsižvelgiant į pateiktas vertes.
Pagrindiniai vaidmenys trapecijoje priskiriami aukščiui ir vidurio linijai. vidurinė linija- tai linija, jungianti kraštinių vidurio taškus. Aukštis trapecija laikoma stačiu kampu nuo viršutiniame kampeį bazę.
Trapecijos plotas per aukštį yra lygus pusės pagrindų ilgių sumos sandaugai, padaugintam iš aukščio:

Jei mediana yra žinoma pagal sąlygas, ši formulė yra labai supaprastinta, nes ji yra lygi pusei bazių ilgių sumos:

Jei pagal sąlygas pateikiami visų kraštinių ilgiai, galime apsvarstyti pavyzdį, kaip apskaičiuoti trapecijos plotą pagal šiuos duomenis:

Tarkime, kad trapecija duota, kurios pagrindai a = 3 cm, b = 7 cm, o kraštinės c = 5 cm, d = 4 cm. Raskite figūros plotą:

Lygiašonės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra lygiašonis arba, kaip dar vadinamas, lygiašonis trapecija.
Ypatingas atvejis taip pat yra lygiašonės (lygiašonės) trapecijos ploto radimas. Išvestinė formulė Skirtingi keliai- per įstrižaines, per kampus, esančius greta pagrindo, ir įbrėžto apskritimo spindulį.
Jei įstrižainių ilgis nurodytas pagal sąlygas ir žinomas kampas tarp jų, galite naudoti šią formulę:

Atminkite, kad lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios viena kitai!

Tai yra, žinodami vieną iš jų pagrindų, šoną ir kampą, galite lengvai apskaičiuoti plotą.

Kreivinės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra kreivinė trapecija. Jis yra koordinačių ašyje ir apsiriboja nuolatinės teigiamos funkcijos grafiku.

Jo pagrindas yra X ašyje ir yra apribotas dviem taškais:
Integralai padeda apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.
Formulė parašyta taip:

Apsvarstykite kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį. Norint dirbti su formule, reikia tam tikrų žinių apibrėžtieji integralai. Pirmiausia išanalizuokime apibrėžtojo integralo reikšmę:

Čia F(a) yra antidarinės funkcijos f(x) reikšmė taške a, F(b) – tos pačios funkcijos f(x) reikšmė taške b.

Dabar išspręskime problemą. Paveiksle pavaizduota kreivinė trapecija, funkcija ribota. Funkcija
Turime rasti pasirinktos figūros plotą, kuris yra kreivinė trapecija, kurią viršuje riboja grafikas, dešinėje yra tiesė x = (-8), kairėje yra tiesė x = (- 10), o ašis OX yra žemiau.
Šios figūros plotą apskaičiuosime pagal formulę:

Funkciją mums suteikia problemos sąlygos. Naudodami jį kiekviename iš mūsų taškų rasime antidarinio vertes:


Dabar
Atsakymas: tam tikros kreivinės trapecijos plotas yra 4.

Apskaičiuojant šią vertę nėra nieko sudėtingo. Svarbu tik didžiausias atidumas atliekant skaičiavimus.