Trapecijos plotas su kampo sinusu. Kaip rasti lygiašonės trapecijos plotą

IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime pasitaiko labai retai, tačiau kartais paaiškėja, kad reikia, pavyzdžiui, rasti kambario plotą trapecijos pavidalu, kuris vis dažniau naudojamas statant šiuolaikinius butus, arba renovacijos projektavimo projektuose.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudarytas iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos šonais. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecija turi tam tikrų tipų lygiašonę (lygiašonę) trapeciją, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampę trapeciją, kurios viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurio linija yra pusė pagrindų sumos ir lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonis trapecijos turi vienodas kraštines ir kampus, kuriuos jos sudaro su pagrindais.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija įbrėžta į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per pagrindų vidurio taškus lygiašonė trapecija bus statmena jo pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus pusė jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės pavidalu tai parašyta kaip išraiška:

kur S yra trapecijos plotas, a, b yra kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h yra trapecijos aukštis.

Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš toliau pateikto paveikslo, trapecija, naudojant vidurinę liniją, gali būti paversta stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.

Taip pat galite išskaidyti bet kurią trapeciją į daugiau paprastos figūros: stačiakampis ir vienas ar du trikampiai, o jei jums lengviau, raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar vienas paprasta formule apskaičiuoti jo plotą. Pagal jį trapecijos plotas yra lygus jos vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai ir rašomas taip: S \u003d m * h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematiniams, o ne kasdieniams uždaviniams, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kur S – plotas, a,b – pagrindai, c,d – trapecijos kraštinės.

Yra dar keletas būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.

Prieš surandant trapecijos plotą, būtina nustatyti žinomus trapecijos elementus. Trapecija yra geometrinis objektas, būtent: keturkampis, turintis dvi lygiagrečias kraštines (du pagrindus). Kitos dvi pusės yra šoninės. Jei šios dvi keturkampio kraštinės taip pat yra lygiagrečios, tai jau bus ne trapecija, o lygiagretainis. Jei bent vienas trapecijos kampas yra 90 laipsnių, tai tokia trapecija vadinama stačiakampe trapecija. Kaip rasti stačiakampio trapecijos plotą, mes apsvarstysime vėliau. Taip pat yra lygiašonė trapecija, kurios pavadinimas kalba pats už save: tokios trapecijos kraštinės yra lygios. Atstumas tarp trapecijos pagrindų vadinamas aukščiu, aukštis labai dažnai naudojamas plotui surasti. Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus.

Pagrindinės trapecijos ploto nustatymo formulės

• S=h*(a+b)/2
  Kur h yra trapecijos aukštis, a, b yra pagrindai. Dažniausiai naudojama trapecijos ploto nustatymo formulė yra pusė bazių sumos, padaugintos iš aukščio.
• S=m*h
  Kur m yra trapecijos vidurio linija, h yra aukštis. Trapecijos plotas taip pat lygus trapecijos vidurio linijos ir jos aukščio sandaugai.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Kur d1, d2 yra trapecijos įstrižainės, sin(d1^d2) yra kampo tarp trapecijos įstrižainių sinusas.

Taip pat yra įvairių formulių, gautų iš pagrindinių, taip pat trapecijos ploto apskaičiavimo formulė, kai žinomos visos jos kraštinės. Tačiau ši formulė yra gana sudėtinga ir retai naudojama, nes, žinant visas trapecijos puses, galite tiesiog nustatyti aukštį arba jos vidurio liniją. Taip pat galite įbrėžti apskritimą į lygiašonę trapeciją. Tokiu atveju trapecijos plotas bus apskaičiuojamas pagal formulę: 8 * kvadrato apskritimo spindulys.

Kaip rasti stačiakampės trapecijos plotą

Kaip minėta anksčiau, trapecija vadinama stačiakampe, jei ji turi bent vieną stačią kampą. Tokios trapecijos plotą rasti labai lengva. Iš esmės, norint rasti stačiakampės trapecijos plotą, naudojamos tos pačios formulės kaip ir įprastai trapecijai. Tačiau verta atsiminti, kad viena iš tokios trapecijos pusių bus aukštis. Taip pat dažnai stačiakampio trapecijos ploto radimo problemų sprendimas sumažinamas iki stačiakampio ir trikampio, suformuoto sumažinto aukščio, ploto suradimo. Tokios užduotys yra gana paprastos.

Instrukcija

Kad abu metodai būtų suprantamesni, galima pateikti keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys: trapecijos vidurio linijos ilgis 10 cm, plotas 100 cm². Norėdami sužinoti šios trapecijos aukštį, turite atlikti šiuos veiksmus:

h = 100/10 = 10 cm

Atsakymas: šios trapecijos aukštis yra 10 cm

2 pavyzdys: trapecijos plotas 100 cm², pagrindų ilgiai 8 cm ir 12 cm. Norėdami rasti šios trapecijos aukštį, turite atlikti veiksmą:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 cm

Atsakymas: šios trapecijos aukštis yra 20 cm

pastaba

Yra keletas trapecijos tipų:
Lygiašonė trapecija yra trapecija, kurios kraštinės yra lygios viena kitai.
Dešinioji trapecija yra trapecija, kurios vienas iš vidinių kampų yra lygus 90 laipsnių.
Verta paminėti, kad stačiakampėje trapecijoje aukštis sutampa su kraštinės ilgiu stačiu kampu.
Apskritimas gali būti apibūdintas aplink trapeciją arba gali būti įrašytas nurodytoje figūroje. Apskritimas gali būti įrašytas tik tada, kai jo pagrindų suma yra lygi priešingų kraštinių sumai. Apskritimas gali būti aprašytas tik aplink lygiašonę trapeciją.

Naudingas patarimas

Lygiagretainis yra ypatingas trapecijos atvejis, nes trapecijos apibrėžimas neprieštarauja lygiagretainio apibrėžimui. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai. Trapecijos apibrėžime kalbame tik apie jos kraštinių porą. Todėl bet kuris lygiagretainis taip pat yra trapecija. Atvirkščiai netiesa.

Šaltiniai:

• kaip rasti trapecijos formulės plotą

2 patarimas: kaip rasti trapecijos aukštį, jei žinote plotą

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi iš keturių kraštinių yra lygiagrečios viena kitai. Lygiagrečios pusės yra šio pagrindai, kitos dvi yra duotosios pusės trapecija. Rasti aukščio trapecija jei žinoma kvadratas, bus labai lengva.

Instrukcija

Turime išsiaiškinti, kaip apskaičiuoti kvadratas pradinė trapecija. Tam naudojamos kelios formulės, priklausomai nuo pradinių duomenų: S = ((a + b) * h) / 2, kur a ir b yra bazės trapecija, o h yra jo aukštis (Height trapecija- statmenas, numestas iš vieno pagrindo trapecija kitam);
S = m*h, kur m yra linija trapecija(Vidurinė linija - segmentas, pagrindai trapecija ir jungiantis jos kraštinių vidurio taškus).

Kad būtų aiškiau, galima apsvarstyti tokias užduotis: 1 pavyzdys: Pateikiama trapecija, kurioje kvadratas 68 cm², kurio vidutinė linija yra 8 cm, reikia rasti aukščio duota trapecija. Norėdami išspręsti šią problemą, turite naudoti anksčiau gautą formulę:
h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Atsakymas: šio aukštis trapecija yra 8,5 cm 2 pavyzdys: Tegu y trapecija kvadratas lygus 120 cm², šio pagrindo ilgiai trapecija Jums reikia rasti atitinkamai 8 cm ir 12 cm aukščio tai trapecija. Norėdami tai padaryti, naudokite vieną iš išvestinių formulių:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Atsakymas: duoto aukštis trapecija lygus 12 cm

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Bet kuri trapecija turi keletą savybių:

Trapecijos vidurinė linija yra pusė jos pagrindų sumos;

Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižaines, yra lygi pusei jos pagrindų skirtumo;

Jei per pagrindų vidurio taškus nubrėžta tiesė, tai ji susikirs su trapecijos įstrižainių susikirtimo tašku;

Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei šios trapecijos pagrindų suma lygi jos kraštinių sumai.

Naudokite šias savybes spręsdami problemas.

3 patarimas: kaip rasti trapecijos plotą, jei žinomi pagrindai

Pagal geometrinį apibrėžimą trapecija yra keturkampis, kurio tik viena lygiagrečių kraštinių pora. Šios pusės yra ji pagrindu. Atstumas tarp pagrindu vadinamas aukščiu trapecija. Rasti kvadratas trapecija galima atlikti naudojant geometrines formules.

Instrukcija

Išmatuokite pagrindus ir trapecija ABSD. Paprastai jos pateikiamos kaip užduotys. Įleisti šis pavyzdys problemų bazė AD (a) trapecija bus lygus 10 cm, pagrindas BC (b) - 6 cm, aukštis trapecija BK (h) - 8 cm Taikykite geometrinį, kad surastumėte plotą trapecija, jei žinomi jo pagrindų ilgiai ir aukščiai - S= 1/2 (a+b)*h, kur: - a - AD bazės reikšmė trapecija ABCD, - b - pagrindo BC reikšmė, - h - aukščio BK reikšmė.

Skyriuje pateikiamos geometrijos (pjūvio planimetrijos) problemos apie trapecijas. Jei neradote problemos sprendimo - parašykite apie tai forume. Kursas tikrai bus atnaujintas.

Trapecija. Apibrėžimas, formulės ir savybės

Trapecija (iš kitos graikų kalbos τραπέζιον - „stalas“; τράπεζα - „stalas, maistas“) yra keturkampis, kurio lygiagreti yra lygiai viena pora priešingų kraštinių.

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios.

Pastaba. Šiuo atveju lygiagretainis yra ypatingas trapecijos atvejis.

Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, o kitos dvi – kraštinėmis.

Trapecijos yra:

- universalus ;

- lygiašoniai;

- stačiakampio formos

.
raudona ir rudos gėlės nurodytos šoninės pusės, žalia ir mėlyna yra trapecijos pagrindas.

A – lygiašonis (lygiašonis, lygiašonis) trapecija
B - stačiakampė trapecija
C - universali trapecija

Universalios trapecijos visos kraštinės yra skirtingo ilgio, o pagrindai yra lygiagretūs.

Kraštinės lygios, o pagrindai lygiagretūs.

Jos yra lygiagrečios prie pagrindo, viena pusė statmena pagrindams, o antroji pusė pasvirusi į pagrindus.

Trapecijos savybės

• Trapecijos vidurinė linija lygiagrečios bazėms ir lygios pusei jų sumos
• Linijos atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, yra lygus pusei bazių skirtumo ir yra ant vidurinės linijos. Jo ilgis
• Lygiagrečios tiesės, kertančios bet kurio trapecijos kampo kraštines, atskiria proporcingas atkarpas nuo kampo kraštinių (žr. Thaleso teoremą)
• Trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas, jo šoninių kraštinių plėtinių ir pagrindų vidurio taškas yra vienoje tiesėje (taip pat žr. keturkampio savybes)
• Trikampiai ant pagrindų trapecijos, kurių viršūnės yra jų įstrižainių susikirtimo taškas, yra panašios. Tokių trikampių plotų santykis lygus trapecijos pagrindų santykio kvadratui
• Trikampiai šonuose trapecijos, kurių viršūnės yra jos įstrižainių susikirtimo taškas, yra vienodo ploto (vienodo ploto)
• į trapeciją galite įrašyti apskritimą jeigu trapecijos pagrindų ilgių suma lygi jos kraštinių ilgių sumai. Vidutinė linija šiuo atveju yra lygi kraštinių sumai, padalytai iš 2 (nes trapecijos vidurio linija yra lygi pusei bazių sumos)
• Atkarpa, lygiagreti pagrindams ir einantis per įstrižainių susikirtimo tašką, yra padalintas iš pastarosios per pusę ir yra lygus dvigubai bazių sandaugai, padalytai iš jų sumos 2ab / (a ​​+ b) (Burakovo formulė)

Trapecijos kampai

Trapecijos kampai yra aštrūs, tiesūs ir buki.
Yra tik du statūs kampai.

Stačiakampė trapecija turi du stačius kampus, o kiti du yra aštrūs ir buki. Kitų tipų trapecijos turi: dvi aštrūs kampai ir du kvaili.

Trapecijos bukieji kampai priklauso mažiausiems išilgai pagrindo ilgio ir aštrus – daugiau pagrindu.

Galima laikyti bet kokią trapeciją kaip nupjautas trikampis, kurios pjūvio linija lygiagreti trikampio pagrindui.
Svarbu. Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu (papildomai statant trapeciją į trikampį) galima išspręsti kai kurias trapecijos problemas ir įrodyti kai kurias teoremas.

Kaip rasti trapecijos kraštines ir įstrižaines

Trapecijos kraštinės ir įstrižainės randamos naudojant toliau pateiktas formules:

Šiose formulėse naudojamas žymėjimas, kaip parodyta paveikslėlyje.

a – mažiausias iš trapecijos pagrindų
b – didžiausias iš trapecijos pagrindų
c,d - šonai
h 1 h 2 - įstrižainės

Trapecijos įstrižainių kvadratų suma lygi dvigubai trapecijos pagrindų sandaugai ir kraštinių kvadratų sumai (2 formulė)

Trapecija vadinamas keturkampiu tik du kraštinės lygiagrečios viena kitai.

Jie vadinami figūros pagrindais, likusieji – šonais. Lygiagretainis laikomas ypatingu figūros atveju. Taip pat yra kreivinė trapecija, kurioje yra funkcijų grafikas. Trapecijos ploto formulės apima beveik visus jos elementus, o geriausias sprendimas parenkamas atsižvelgiant į pateiktas vertes.
Pagrindiniai vaidmenys trapecijoje priskiriami aukščiui ir vidurio linijai. vidurinė linija- tai linija, jungianti kraštinių vidurio taškus. Aukštis trapecija laikoma stačiu kampu nuo viršutiniame kampeį bazę.
Trapecijos plotas per aukštį yra lygus pusės pagrindų ilgių sumos sandaugai, padaugintam iš aukščio:

Jei mediana yra žinoma pagal sąlygas, ši formulė yra labai supaprastinta, nes ji yra lygi pusei bazių ilgių sumos:

Jei pagal sąlygas pateikiami visų kraštinių ilgiai, galime apsvarstyti pavyzdį, kaip apskaičiuoti trapecijos plotą pagal šiuos duomenis:

Tarkime, kad trapecija duota, kurios pagrindai a = 3 cm, b = 7 cm, o kraštinės c = 5 cm, d = 4 cm. Raskite figūros plotą:

Lygiašonės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra lygiašonis arba, kaip dar vadinamas, lygiašonis trapecija.
Ypatingas atvejis taip pat yra lygiašonės (lygiašonės) trapecijos ploto radimas. Išvestinė formulė Skirtingi keliai- per įstrižaines, per kampus, esančius greta pagrindo, ir įbrėžto apskritimo spindulį.
Jei įstrižainių ilgis nurodytas pagal sąlygas ir žinomas kampas tarp jų, galite naudoti šią formulę:

Atminkite, kad lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios viena kitai!

Tai yra, žinodami vieną iš jų pagrindų, šoną ir kampą, galite lengvai apskaičiuoti plotą.

Kreivinės trapecijos plotas

Atskiras atvejis yra kreivinė trapecija. Jis yra koordinačių ašyje ir apsiriboja nuolatinės teigiamos funkcijos grafiku.

Jo pagrindas yra X ašyje ir yra apribotas dviem taškais:
Integralai padeda apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.
Formulė parašyta taip:

Apsvarstykite kreivinės trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį. Norint dirbti su formule, reikia tam tikrų žinių apibrėžtieji integralai. Pirmiausia išanalizuokime apibrėžtojo integralo reikšmę:

Čia F(a) yra antidarinės funkcijos f(x) reikšmė taške a, F(b) – tos pačios funkcijos f(x) reikšmė taške b.

Dabar išspręskime problemą. Paveiksle pavaizduota kreivinė trapecija, funkcija ribota. Funkcija
Turime rasti pasirinktos figūros plotą, kuris yra kreivinė trapecija, kurią viršuje riboja grafikas, dešinėje yra tiesė x = (-8), kairėje yra tiesė x = (- 10), o ašis OX yra žemiau.
Šios figūros plotą apskaičiuosime pagal formulę:

Funkciją mums suteikia problemos sąlygos. Naudodami jį kiekviename iš mūsų taškų rasime antidarinio vertes:


Dabar
Atsakymas: tam tikros kreivinės trapecijos plotas yra 4.

Apskaičiuojant šią vertę nėra nieko sudėtingo. Svarbu tik didžiausias atidumas atliekant skaičiavimus.