namai › Važiuoklė › Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotoje uždaroje srityje? Funkcijos grafiko tyrimas.

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotoje uždaroje srityje? Funkcijos grafiko tyrimas.

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie tai, kaip gebėjimą rasti pritaikyti funkcijos tyrimui: rasti jos didžiausią arba mažiausia vertė. Ir tada mes išspręsime kai kurias užduotis iš užduoties B15 nuo atviras bankas užduotys .

Kaip įprasta, pirmiausia pradėkime nuo teorijos.

Bet kurio funkcijos tyrimo pradžioje mes ją randame

Norint rasti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę, reikia ištirti, kokiais intervalais funkcija didėja, o kuriais mažėja.

Norėdami tai padaryti, turite rasti funkcijos išvestinę ir ištirti jos pastovaus ženklo intervalus, tai yra intervalus, kuriuose išvestinė išlaiko savo ženklą.

Intervalai, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama, yra didėjančios funkcijos intervalai.

Intervalai, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, yra mažėjančios funkcijos intervalai.

1 . Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245184)

Norėdami tai išspręsti, vadovausimės tokiu algoritmu:

a) Raskite funkcijos sritį

b) Raskite funkcijos išvestinę .

c) Nustatykite lygų nuliui.

d) Raskime funkcijos pastovaus ženklo intervalus.

e) Raskite tašką, kuriame funkcija įgyja didžiausią reikšmę.

f) Raskite funkcijos reikšmę šiame taške.

Išsamų šios užduoties sprendimą papasakoju VIDEO PAMOKĖJE:

Tikriausiai jūsų naršyklė nepalaikoma. Jei norite naudoti „Vieningo valstybinio egzamino valandos“ simuliatorių, pabandykite atsisiųsti
Firefox

2. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 282862)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente

Akivaizdu, kad funkcija įgauna didžiausią atkarpos reikšmę didžiausiame taške, kai x=2. Raskite funkcijos reikšmę šiame taške:

Atsakymas: 5

3 . Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245180):

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Kadangi pradinės funkcijos title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Skaitiklis lygus nuliui ties . Patikrinkime, ar ODZ priklauso funkcijai. Norėdami tai padaryti, patikrinkite, ar sąlyga title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

taigi taškas priklauso funkcijos ODZ

Nagrinėjame išvestinės ženklą taško dešinėje ir kairėje:

Matome, kad funkcija taške turi didžiausią reikšmę. Dabar suraskime funkcijos reikšmę:

Pastaba 1. Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje neradome funkcijos srities: tik fiksavome apribojimus ir patikrinome, ar taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui, priklauso funkcijos sričiai. Šioje problemoje to pakanka. Tačiau taip būna ne visada. Tai priklauso nuo užduoties.

2 pastaba. Tiriant sudėtingos funkcijos elgseną, galima naudoti tokią taisyklę:

jei sudėtinės funkcijos išorinė funkcija didėja, tada funkcija įgyja didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija įgyja didžiausią reikšmę. Tai išplaukia iš didėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija didėja intervale I, jei didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
jei kompleksinės funkcijos išorinė funkcija mažėja, tada funkcija įgauna didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija įgauna mažiausią reikšmę . Tai išplaukia iš mažėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija mažėja intervale I, jei didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę

Mūsų pavyzdyje išorinė funkcija - didėja visoje apibrėžimo srityje. Po logaritmo ženklu yra išraiška - kvadratinis trinaris, kuris su neigiamu vyresniuoju koeficientu taške įgyja didžiausią reikšmę . Toliau šią x reikšmę pakeičiame funkcijos lygtimi ir rasti didžiausią jo vertę.

Tegul funkcija $z=f(x,y)$ yra apibrėžta ir tęstinė tam tikrame ribotame uždarame domene $D$. Įsileiskite į šią sritį suteikta funkcija turi baigtinių pirmos eilės dalinių išvestinių (išskyrus galimą baigtinį taškų skaičių). Norint rasti didžiausią ir mažiausią dviejų kintamųjų funkcijos reikšmes tam tikrame uždarame regione, reikia atlikti tris paprasto algoritmo veiksmus.

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos $z=f(x,y)$ reikšmės uždarame domene $D$.

Raskite funkcijos $z=f(x,y)$ kritinius taškus, priklausančius sričiai $D$. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes kritiniuose taškuose.
Ištirkite funkcijos $z=f(x,y)$ elgseną ant srities $D$ ribos, surasdami galimų didžiausių ir mažiausių reikšmių taškus. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes gautuose taškuose.
Iš ankstesnėse dviejose pastraipose gautų funkcijų reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Kas yra kritiniai taškai? Rodyti Slėpti

Pagal kritinius taškus reiškia taškus, kuriuose abi pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui (t. y. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ir $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) arba bent vienos dalinės išvestinės nėra.

Dažnai vadinami taškai, kuriuose pirmosios eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui stacionarūs taškai. Taigi stacionarūs taškai yra kritinių taškų poaibis.

1 pavyzdys

Raskite maksimalią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+2xy-y^2-4x$ reikšmes uždaroje srityje, kurią riboja linijos $x=3$, $y=0$ ir $y=x +1$.

Mes vadovausimės tuo, kas išdėstyta aukščiau, bet pirmiausia užsiimsime tam tikros srities brėžiniu, kurią pažymėsime raide $D$. Pateikiamos trijų tiesių lygtys, kurios riboja šią sritį. Tiesė $x=3$ eina per tašką $(3;0)$ lygiagrečiai y ašiai (axis Oy). Tiesi linija $y=0$ yra abscisių ašies (Ox ašies) lygtis. Na, norėdami sukurti tiesę $y=x+1$, raskime du taškus, per kuriuos brėžiame šią tiesę. Žinoma, vietoj $x$ galite pakeisti keletą savavališkų verčių. Pavyzdžiui, pakeitę $x=10$, gauname: $y=x+1=10+1=11$. Mes radome tašką $(10;11)$, esantį tiesėje $y=x+1$. Tačiau geriau rasti tuos taškus, kur tiesė $y=x+1$ susikerta su tiesėmis $x=3$ ir $y=0$. Kodėl geriau? Nes vienu akmeniu paguldysime porą paukščių: gausime du taškus už tiesės $y=x+1$ statymą ir tuo pačiu išsiaiškinsime, kuriuose taškuose ši tiesė kerta kitas tieses, kurios riboja duotąją plotas. Tiesė $y=x+1$ kerta tiesę $x=3$ taške $(3;4)$, o tiesę $y=0$ - taške $(-1;0)$. Kad sprendimo eiga nebūtų užgriozdinta pagalbiniais paaiškinimais, šių dviejų taškų gavimo klausimą pateiksiu pastaboje.

Kaip buvo gauti taškai $(3;4)$ ir $(-1;0)$? Rodyti Slėpti

Pradėkime nuo tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taško. Norimo taško koordinatės priklauso ir pirmai, ir antrai eilutei, todėl norint rasti nežinomas koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & x=3. \end (lygiuotas) \right. $$

Tokios sistemos sprendimas yra trivialus: pirmoje lygtyje pakeitę $x=3$ gausime: $y=3+1=4$. Taškas $(3;4)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taškas.

Dabar suraskime tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ susikirtimo tašką. Vėlgi, sudarome ir išsprendžiame lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & y=0. \end (lygiuotas) \right. $$

Pirmoje lygtyje pakeitę $y=0$, gauname: $0=x+1$, $x=-1$. Taškas $(-1;0)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ susikirtimo taškas (abscisių ašis).

Viskas paruošta sukurti piešinį, kuris atrodys taip:

Klausimas dėl užrašo atrodo akivaizdus, nes iš paveikslo viskas matyti. Tačiau verta atsiminti, kad piešinys negali būti įrodymas. Paveikslas yra tik iliustracija aiškumo dėlei.

Mūsų sritis buvo nustatyta naudojant ją ribojančių linijų lygtis. Akivaizdu, kad šios linijos apibrėžia trikampį, ar ne? Arba ne visai akivaizdu? O gal mums suteikiama kita sritis, kurią riboja tos pačios linijos:

Žinoma, sąlyga sako, kad teritorija uždara, todėl parodytas paveikslėlis klaidingas. Tačiau norint išvengti tokių dviprasmybių, geriau regionus apibrėžti pagal nelygybę. Mus domina plokštumos dalis, esanti po linija $y=x+1$? Gerai, taigi $y ≤ x+1$. Mūsų sritis turėtų būti virš linijos $y=0$? Puiku, taigi $y ≥ 0$. Beje, paskutinės dvi nelygybės lengvai sujungiamos į vieną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. $$

Šios nelygybės apibrėžia domeną $D$ ir apibrėžia jį vienareikšmiškai, be jokių dviprasmybių. Bet kaip tai mums padeda atsakyti į klausimą išnašos pradžioje? Taip pat padės :) Reikia patikrinti ar taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$. Pakeiskime $x=1$ ir $y=1$ į nelygybių sistemą, kuri apibrėžia šią sritį. Jei tenkinamos abi nelygybės, tada taškas yra regiono viduje. Jei bent viena iš nelygybių netenkinama, tai taškas nepriklauso regionui. Taigi:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (sulygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right.$$

Abi nelygybės yra teisingos. Taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$.

Dabar atėjo eilė tirti funkcijos elgseną ant domeno ribos, t.y. eiti į. Pradėkime nuo tiesės $y=0$.

Tiesi linija $y=0$ (abscisių ašis) riboja sritį $D$ esant sąlygai $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeiskite $y=0$ duotoje funkcijoje $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Gauta vieno kintamojo $x$ pakeitimo funkcija bus pažymėta kaip $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Dabar funkcijai $f_1(x)$ turime rasti didžiausias ir mažiausias reikšmes intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Raskite šios funkcijos išvestinę ir prilyginkite ją nuliui:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Reikšmė $x=2$ priklauso segmentui $-1 ≤ x ≤ 3$, todėl prie taškų sąrašo pridedame ir $M_2(2;0)$. Be to, atkarpos $-1 ≤ x ≤ 3$ galuose apskaičiuojame funkcijos $z$ reikšmes, t.y. taškuose $M_3(-1;0)$ ir $M_4(3;0)$. Beje, jei taškas $M_2$ nepriklausytų nagrinėjamam segmentui, tai, žinoma, nereikėtų skaičiuoti funkcijos $z$ reikšmės jame.

Taigi, apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_2$, $M_3$, $M_4$. Žinoma, galite pakeisti šių taškų koordinates pradinėje išraiškoje $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Pavyzdžiui, taškui $M_2$ gauname:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tačiau skaičiavimus galima šiek tiek supaprastinti. Norėdami tai padaryti, verta atsiminti, kad segmente $M_3M_4$ turime $z(x,y)=f_1(x)$. Išsamiai papasakosiu:

\begin (sulygiuotas) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\ctaškas 3=-3. \pabaiga (sulygiuota)

Žinoma, tokių detalių įrašų paprastai nereikia, o ateityje visus skaičiavimus pradėsime užrašyti trumpiau:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Dabar pasukkime į tiesę $x=3$. Ši linija riboja domeną $D$ pagal sąlygą $0 ≤ y ≤ 4$. Pakeiskite $x=3$ duotoje funkcijoje $z$. Dėl tokio pakeitimo gauname funkciją $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijai $f_2(y)$ reikia rasti didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Raskite šios funkcijos išvestinę ir prilyginkite ją nuliui:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Reikšmė $y=3$ priklauso segmentui $0 ≤ y ≤ 4$, todėl prie anksčiau rastų taškų pridedame $M_5(3;3)$. Be to, atkarpos $0 ≤ y ≤ 4$ galuose esančiuose taškuose reikia apskaičiuoti funkcijos $z$ reikšmę, t.y. taškuose $M_4(3;0)$ ir $M_6(3;4)$. Taške $M_4(3;0)$ jau apskaičiavome $z$ reikšmę. Apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmę taškuose $M_5$ ir $M_6$. Leiskite jums priminti, kad segmente $M_4M_6$ turime $z(x,y)=f_2(y)$, todėl:

\begin(lygiuotas) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \pabaiga (sulygiuota)

Ir, galiausiai, apsvarstykite paskutinę $D$ ribą, t.y. eilutė $y=x+1$. Ši linija riboja sritį $D$ pagal sąlygą $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeitę $y=x+1$ į funkciją $z$, turėsime:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Dar kartą turime vieno kintamojo $x$ funkciją. Ir vėl, jums reikia rasti didžiausią ir mažiausią šios funkcijos reikšmes segmente $-1 ≤ x ≤ 3 $. Raskite funkcijos $f_(3)(x)$ išvestinę ir prilyginkite ją nuliui:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Reikšmė $x=1$ priklauso intervalui $-1 ≤ x ≤ 3$. Jei $x=1$, tai $y=x+1=2$. Į taškų sąrašą įtraukime $M_7(1;2)$ ir išsiaiškinkime, kokia yra funkcijos $z$ reikšmė šiuo metu. Taškai atkarpos galuose $-1 ≤ x ≤ 3$, t.y. taškai $M_3(-1;0)$ ir $M_6(3;4)$ buvo svarstomi anksčiau, juose jau radome funkcijos reikšmę.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Antrasis sprendimo žingsnis baigtas. Gavome septynias vertes:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Kreipkimės į. Pasirinkę didžiausias ir mažiausias reikšmes iš tų skaičių, kurie buvo gauti trečioje pastraipoje, turėsime:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6.$$

Problema išspręsta, belieka tik užrašyti atsakymą.

Atsakymas: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+y^2-12x+16y$ reikšmes srityje $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pirmiausia sukurkime piešinį. Lygtis $x^2+y^2=25$ (tai yra nurodytos srities ribinė linija) apibrėžia apskritimą, kurio centras yra ištakoje (t. y. taške $(0;0)$) ir spindulys 5. Nelygybė $x^2 +y^2 ≤ 25$ tenkina visus taškus minėto apskritimo viduje ir ant jo.

Veiksime toliau. Raskime dalines išvestines ir išsiaiškinkime kritinius taškus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nėra taškų, kuriuose rastos dalinės išvestinės neegzistuotų. Išsiaiškinkime, kuriuose taškuose abi dalinės išvestinės vienu metu yra lygios nuliui, t.y. rasti stacionarius taškus.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x =6;\\ & y=-8.\end(sulygiuotas) \right.$$

Gavome stacionarų tašką $(6;-8)$. Tačiau rastas taškas nepriklauso regionui $D$. Tai lengva parodyti net nesiimant piešimo. Patikrinkime, ar galioja nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$, kuri apibrėžia mūsų domeną $D$. Jei $x=6$, $y=-8$, tai $x^2+y^2=36+64=100$, t.y. nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$ netenkinama. Išvada: taškas $(6;-8)$ nepriklauso regionui $D$.

Taigi $D$ viduje nėra kritinių taškų. Eikime toliau, prie. Turime ištirti funkcijos elgseną tam tikros srities ribose, t.y. apskritime $x^2+y^2=25$. Žinoma, galite išreikšti $y$ kaip $x$, o tada gautą išraišką pakeisti mūsų funkcija $z$. Iš apskritimo lygties gauname: $y=\sqrt(25-x^2)$ arba $y=-\sqrt(25-x^2)$. Pakeisdami, pavyzdžiui, $y=\sqrt(25-x^2)$ į nurodytą funkciją, turėsime:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tolesnis sprendimas bus visiškai identiškas funkcijos elgsenos prie regiono ribos tyrimui ankstesniame pavyzdyje Nr. Tačiau šioje situacijoje man atrodo protingiau taikyti Lagranžo metodą. Mus domina tik pirmoji šio metodo dalis. Pritaikę pirmąją Lagranžo metodo dalį, gausime taškus, kuriuose ir išnagrinėsime funkciją $z$ minimalioms ir maksimalioms reikšmėms.

Mes sudarome Lagrange funkciją:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Randame dalines Lagranžo funkcijos išvestines ir sudarome atitinkamą lygčių sistemą:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sulygiuotas) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end (sulygiuotas) \ dešinėn. \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sulygiuotas)\right.$$

Norėdami išspręsti šią sistemą, iš karto nurodykime, kad $\lambda\neq -1$. Kodėl $\lambda\neq -1$? Pabandykime pirmoje lygtyje pakeisti $\lambda=-1$:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Gautas prieštaravimas $0=6$ sako, kad reikšmė $\lambda=-1$ yra neteisinga. Išvestis: $\lambda\neq -1$. Išreikškime $x$ ir $y$ kaip $\lambda$:

\begin(lygiuotas) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \pabaiga (sulygiuota)

Manau, kad čia tampa akivaizdu, kodėl mes konkrečiai nustatėme $\lambda\neq -1$ sąlygą. Tai buvo padaryta, kad išraiška $1+\lambda$ tilptų į vardiklius be trukdžių. Tai yra, įsitikinkite, kad vardiklis yra $1+\lambda\neq 0$.

Gautas $x$ ir $y$ išraiškas pakeisime trečiąja sistemos lygtimi, t.y. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iš gautos lygybės išplaukia, kad $1+\lambda=2$ arba $1+\lambda=-2$. Taigi turime dvi parametro $\lambda$ reikšmes, būtent: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Atitinkamai, gauname dvi reikšmių poras $x$ ir $y$:

\begin(lygiuotas) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \pabaiga (sulygiuota)

Taigi, gavome du galimo sąlyginio ekstremumo taškus, t.y. $M_1(3;-4)$ ir $M_2(-3;4)$. Raskite funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_1$ ir $M_2$:

\begin (sulygiuotas) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \pabaiga (sulygiuota)

Turėtume pasirinkti didžiausias ir mažiausias vertes iš tų, kurias gavome pirmame ir antrame žingsnyje. Bet į Ši byla pasirinkimas mažas :) Turime:

$$z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atsakymas: $z_(min) = -75; \; z_(maks.) = 125 $.

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcija, minimalūs ir didžiausi taškai.

Iš teorijos mums tikrai prireiks išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje lentoje:

Algoritmas ieškant didžiausių ir mažiausių verčių.

Man lengviau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis Ekstremalumo taškų paieška.

ekstremalus taškasįvardijame tokius taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norint rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę reikia prilyginti nuliui (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar mes išsprendžiame šią bikvadratinę lygtį ir rastos šaknys yra mūsų kraštutiniai taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkite lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ± sqrt(-13) (neįtraukiame, po šaknimi negali būti neigiamų skaičių, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Tačiau be taško x=-1, mes taip pat turime atsižvelgti į kairiąją ir dešiniąją mūsų atkarpos ribas, tai yra, taškus -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie pradeda keisti išvestine...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad maksimali funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taškuose [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad skaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sudėtinga? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per pastovumo intervalus.

Šios spragos randamos funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau tokiu būdu. Nubrėžiu kryptinę liniją. Aš nustatau taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad taške 100 funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Eidama per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai aišku, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat radome vietinį minimalų tašką, kuris yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė intervale, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi tikroji (pasaulinė) minimumo funkcija pasieks kažkur ten, į -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis aritmetinių veiksmų atžvilgiu, bet daug sunkesnis teorijos požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir iš tiesų gali susipainioti su šiomis lokalinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors planuojant vis tiek teks gerai ją įvaldyti. įstoti į technikos universitetą (o už ką dar duoti profilio egzaminas ir išspręsti šią problemą). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų arba kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu, pakeisiu, papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Pažiūrėkime, kaip ištirti funkciją naudojant grafiką. Pasirodo, pažiūrėję į grafiką galite sužinoti viską, kas mus domina, būtent:

funkcijos apimtis
funkcijų diapazonas
funkcijos nuliai
didėjimo ir mažėjimo laikotarpiai
aukšti ir žemi taškai
didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė intervale.

Paaiškinkime terminologiją:

Abscisė yra taško horizontalioji koordinatė.
Ordinatė- vertikali koordinatė.
abscisė- horizontalioji ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.

Argumentas yra nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, mes patys pasirenkame , pakeičiame funkcijos formulę ir gauname .

Domenas funkcijos - tų (ir tik tų) argumento, kuriam funkcija egzistuoja, reikšmių rinkinys.
Žymima: arba.

Mūsų paveiksle funkcijos sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente nubraižytas funkcijos grafikas. Tik čia ši funkcija egzistuoja.

Funkcijų diapazonas yra reikšmių rinkinys, kurį įgauna kintamasis. Mūsų paveiksle tai segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.

Funkcijos nuliai- taškai, kuriuose funkcijos reikšmė lygi nuliui, t.y. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir .

Funkcijų reikšmės yra teigiamos kur . Mūsų paveiksle tai yra intervalai ir .
Funkcijų reikšmės yra neigiamos kur . Turime šį intervalą (arba intervalą) nuo iki.

Svarbiausios sąvokos - didina ir mažina funkciją kažkokiame rinkinyje. Kaip rinkinį galite paimti atkarpą, intervalą, intervalų sąjungą arba visą skaičių eilutę.

Funkcija dideja

Kitaip tariant, kuo daugiau , tuo daugiau , tai yra, grafikas eina į dešinę ir į viršų.

Funkcija mažėja aibėje jei kuri nors ir priklausanti aibei nelygybė reiškia nelygybę .

Mažėjančiai funkcijai didesnė reikšmė atitinka mažesnę reikšmę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.

Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir .

Apibrėžkime, kas yra maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

Maksimalus taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra didesnė nei visuose pakankamai arti jos taškuose.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra toks taškas, funkcijos reikšmė, kurioje daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinė „kalva“ diagramoje.

Mūsų paveiksle - maksimalus taškas.

Žemas taškas- vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos reikšmė jame yra mažesnė nei kaimyninėse. Diagramoje tai yra vietinė „skylė“.

Mūsų paveiksle - minimalus taškas.

Esmė yra riba. Tai nėra vidinis apibrėžimo srities taškas ir todėl netinka maksimalaus taško apibrėžimui. Juk kairėje kaimynų ji neturi. Lygiai taip pat mūsų diagramoje negali būti minimalaus taško.

Didžiausias ir minimalus taškai vadinami bendrai funkcijos ekstremalūs taškai. Mūsų atveju tai yra ir .

Bet ką daryti, jei reikia rasti, pvz. funkcijos minimumas ant pjūvio? Šiuo atveju atsakymas yra toks: Nes funkcijos minimumas yra jo vertė minimaliame taške.

Panašiai mūsų funkcijos maksimumas yra . Jis pasiekiamas taške.

Galime sakyti, kad funkcijos ekstremumai yra lygūs ir .

Kartais užduotyse reikia rasti didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.

Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė intervale yra lygus funkcijos minimumui ir sutampa su juo. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi . Jis pasiekiamas kairiajame segmento gale.

Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios ištisinės funkcijos reikšmės segmente pasiekiamos ekstremaliuose taškuose arba atkarpos galuose.

Miniatiūrinė ir gana paprasta užduotis, kuri tarnauja kaip išsigelbėjimas plaukiojančiam studentui. Gamtoje – mieguista liepos vidurio karalystė, tad pats laikas su nešiojamu kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Žaidė anksti ryte saulės spindulys teoriją, kad netrukus sutelktų dėmesį į praktiką, kurioje, nepaisant tariamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu aš rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti keletą šio puslapio pavyzdžių. Norint išspręsti praktines užduotis, reikia mokėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Funkcijos monotoniškumo ir ekstremumo intervalai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo apibrėžimą taške ir tęstinumą intervale. Suformuluotas pavyzdinis funkcijos elgesys segmente panašiai. Funkcija yra ištisinė atkarpoje, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbama apie vadinamuosius vienašalis tęstinumas veikia taške. Yra keletas požiūrių į jo apibrėžimą, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra ištisinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške, o jo kairioji riba yra lygi to taško reikšmei:

Įsivaizduokite, kad žali taškai yra nagai, ant kurių pritvirtinta stebuklinga guma:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas- gyvatvorė aukščiau, gyvatvorė apačioje, o mūsų produktas ganosi aptvaroje. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi atkarpoje, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas Pirmoji Weierstrasso teorema.... Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, tačiau yra svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Iš tiesų, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tikslus viršutinis kraštas ir jo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir žymimas , o skaičius - mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Grubiai tariant, didžiausia vertybė yra ten, kur daugiausia aukstas taskas grafika, o mažiausias – kur žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo nurodyta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos reikšmė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir funkcijos minimumas. Taigi, šiame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis, nagrinėjamos problemos kontekste, mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis, todėl piešti nereikia!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijų reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną gėrį: nereikia tikrinti, ar ekstremumas yra pakankamas, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuotas kokia yra mažiausia arba didžiausia vertė. Demonstracinė funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia tiek pat yra didžiausia vertė funkcijos intervale . Bet, žinoma, toks sutapimas įvyksta ne visada.

Taigi, pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar jie turi ekstremalų, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Tarp 1 ir 2 pastraipose rastų funkcijos reikšmių pasirenkame mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Sėdime ant žydros jūros kranto ir daužome kulnus sekliame vandenyje:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Sprendimas:
1) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Funkcijos reikšmę apskaičiuojame antroje kritinis taškas:

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai buvo gauti naudojant eksponentus ir logaritmus, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluosime skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuosime apytiksles reikšmes, nepamiršdami, kad: