വീട് › വിവിധ › ഫ്രാക്റ്റൽ ഘടകങ്ങൾ. ബഹിരാകാശ ഗവേഷണ ലബോറട്ടറി

ഫ്രാക്റ്റൽ ഘടകങ്ങൾ. ബഹിരാകാശ ഗവേഷണ ലബോറട്ടറി

70-കളുടെ അവസാനത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട ഫ്രാക്റ്റൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ആശയങ്ങൾ 80-കളുടെ മധ്യം മുതൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും പ്രോഗ്രാമർമാരുടെയും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഉറച്ചുനിന്നു. ഫ്രാക്റ്റൽ എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിൻ ഫ്രാക്റ്റസിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, വിവർത്തനത്തിൽ ശകലങ്ങൾ അടങ്ങിയതാണ്. 1975-ൽ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് താൻ പഠിച്ച ക്രമരഹിതവും എന്നാൽ സ്വയം സമാനമായതുമായ ഘടനകളെ പരാമർശിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചു. ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ജനനം സാധാരണയായി 1977-ൽ മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ 'ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ' എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ പ്രസിദ്ധീകരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കൃതികൾ 1875-1925 കാലഘട്ടത്തിൽ ഇതേ മേഖലയിൽ പ്രവർത്തിച്ച മറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശാസ്ത്രീയ ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു (Poincaré, Fatou, ജൂലിയ, കാന്റർ, ഹൗസ്ഡോർഫ് എന്നാൽ നമ്മുടെ കാലത്ത് മാത്രമേ അവരുടെ സൃഷ്ടികളെ ഒരൊറ്റ സംവിധാനത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിഞ്ഞുള്ളൂ.
ഇന്ന് കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ പങ്ക് വളരെ വലുതാണ്. അവർ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ആവശ്യമുള്ളപ്പോൾ, നിരവധി ഗുണകങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ആകൃതിയിലുള്ള വരകളും ഉപരിതലങ്ങളും നിർവചിക്കാൻ. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്‌സിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, കൃത്രിമ മേഘങ്ങൾ, പർവതങ്ങൾ, കടലിന്റെ ഉപരിതലം എന്നിവയുടെ ഉത്പാദനത്തിന് ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ കണ്ടെത്തി ശ്വാസകോശ വഴിസങ്കീർണ്ണമായ നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ വസ്തുക്കളുടെ പ്രതിനിധാനം, അവയുടെ ചിത്രങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായവയുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്.
ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളിലൊന്ന് സ്വയം സമാനതയാണ്. വളരെ ലളിതമായ കേസ്ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം മുഴുവൻ ഫ്രാക്റ്റലിനെയും കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. Mandelbrot നൽകിയ ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ നിർവചനം ഇപ്രകാരമാണ്: "ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ എന്നത് ഏതെങ്കിലും അർത്ഥത്തിൽ മൊത്തത്തിൽ സമാനമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഘടനയാണ്."

നിലവിലുണ്ട് വലിയ സംഖ്യഫ്രാക്റ്റലുകൾ (സിയർപിൻസ്കി ട്രയാംഗിൾ, കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്ക്, പീനോ കർവ്, മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ്, ലോറന്റ്സ് അട്രാക്ടറുകൾ) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ. യഥാർത്ഥ ലോകത്തിലെ പല ഭൗതിക പ്രതിഭാസങ്ങളെയും രൂപങ്ങളെയും ഫ്രാക്റ്റലുകൾ വളരെ കൃത്യതയോടെ വിവരിക്കുന്നു: പർവതങ്ങൾ, മേഘങ്ങൾ, പ്രക്ഷുബ്ധമായ (ചുഴലി) പ്രവാഹങ്ങൾ, വേരുകൾ, ശാഖകൾ, മരങ്ങളുടെ ഇലകൾ, രക്തക്കുഴലുകൾ, ഇത് ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് ആദ്യമായി നമ്മുടെ ലോകത്തിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് തന്റെ "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന കൃതിയിൽ സംസാരിച്ചു.
ഫ്രാക്റ്റൽ എന്ന പദം 1977-ൽ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് തന്റെ "ഫ്രാക്റ്റൽസ്, ഫോം, ചാവോസ് ആൻഡ് ഡൈമെൻഷൻ" എന്ന അടിസ്ഥാന കൃതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിൻ പദമായ ഫ്രാക്റ്റസ് - ഫ്രാക്ഷണൽ, ഫ്രാങ്കേർ - ടു ബ്രേക്ക് എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, ഇത് ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ സത്തയെ "തകർന്ന", ക്രമരഹിതമായ സെറ്റായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം.

വിവിധതരം ഫ്രാക്റ്റലുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട വർഗ്ഗീകരണം അവലംബിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ മൂന്ന് ക്ലാസുകളുണ്ട്.

1. ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ.

ഈ ക്ലാസിലെ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഏറ്റവും വ്യക്തമാണ്. ദ്വിമാന കേസിൽ, ജനറേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പോളിലൈൻ (അല്ലെങ്കിൽ ത്രിമാന കേസിൽ ഉപരിതലം) ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ ലഭിക്കുന്നത്. അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ, തകർന്ന ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്ന ഓരോ സെഗ്മെന്റുകളും ഉചിതമായ സ്കെയിലിൽ തകർന്ന ലൈൻ ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ നടപടിക്രമത്തിന്റെ അനന്തമായ ആവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമായി, ഒരു ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റൽ ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരം ഫ്രാക്റ്റൽ വസ്തുക്കളിൽ ഒന്ന് പരിഗണിക്കുക - കോച്ച് ട്രയാഡിക് കർവ്.

ട്രയാഡിക് കോച്ച് വളവിന്റെ നിർമ്മാണം.

1 നീളമുള്ള ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെന്റ് എടുക്കുക. നമുക്ക് അതിനെ വിളിക്കാം വിത്ത്. നമുക്ക് വിത്തിനെ 1/3 നീളമുള്ള മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം, മധ്യഭാഗം ഉപേക്ഷിച്ച് 1/3 നീളമുള്ള രണ്ട് ലിങ്കുകളുടെ തകർന്ന വര ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

മൊത്തം 4/3 നീളമുള്ള 4 ലിങ്കുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു തകർന്ന ലൈൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും, - വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ആദ്യ തലമുറ.

കോച്ച് വക്രത്തിന്റെ അടുത്ത തലമുറയിലേക്ക് പോകുന്നതിന്, ഓരോ ലിങ്കിന്റെയും മധ്യഭാഗം ഉപേക്ഷിക്കുകയും പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതനുസരിച്ച്, രണ്ടാം തലമുറയുടെ ദൈർഘ്യം 16/9 ആയിരിക്കും, മൂന്നാമത്തേത് - 64/27. നിങ്ങൾ ഈ പ്രക്രിയ അനന്തതയിലേക്ക് തുടരുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം ഒരു ട്രയാഡിക് കോച്ച് കർവ് ആയിരിക്കും.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ വിശുദ്ധ ട്രയാഡിക് കോച്ച് കർവ് പരിഗണിക്കാം, ഫ്രാക്റ്റലുകളെ "രാക്ഷസന്മാർ" എന്ന് വിളിച്ചത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് കണ്ടെത്താം.

ഒന്നാമതായി, ഈ വക്രത്തിന് നീളമില്ല - നമ്മൾ കണ്ടതുപോലെ, തലമുറകളുടെ എണ്ണത്തിൽ, അതിന്റെ നീളം അനന്തതയിലേക്കാണ് നീങ്ങുന്നത്.

രണ്ടാമതായി, ഈ വക്രത്തിലേക്ക് ഒരു സ്പർശനം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ് - അതിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്ത ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റാണ് - ഈ വക്രം മിനുസമാർന്നതല്ല.

നീളവും സുഗമവുമാണ് വക്രങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ, ഇവയെ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയും ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെയും റീമാനിന്റെയും ജ്യാമിതിയും പഠിക്കുന്നു. ട്രയാഡിക് കോച്ച് കർവ് പരമ്പരാഗത രീതികളിലേക്ക് ജ്യാമിതീയ വിശകലനംഇത് ബാധകമല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞു, അതിനാൽ കോച്ച് കർവ് ഒരു രാക്ഷസനായി മാറി - പരമ്പരാഗത ജ്യാമിതികളിലെ സുഗമമായ നിവാസികൾക്കിടയിൽ ഒരു "രാക്ഷസൻ".

"ഡ്രാഗൺ" ഹാർട്ടർ-ഹേറ്റ്വേയുടെ നിർമ്മാണം.

മറ്റൊരു ഫ്രാക്റ്റൽ ഒബ്ജക്റ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ നിർമ്മാണ നിയമങ്ങൾ മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകം വലത് കോണിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ ആയിരിക്കട്ടെ. സീറോ ജനറേഷനിൽ, യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റിനെ ഈ ജനറേറ്റിംഗ് എലമെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ആംഗിൾ മുകളിലായിരിക്കും. അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ലിങ്കിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഒരു ഷിഫ്റ്റ് സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. പണിയുമ്പോൾ അടുത്ത തലമുറകൾനിയമം നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു: ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ ലിങ്ക് ഒരു ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ലിങ്കിന്റെ മധ്യഭാഗം ചലനത്തിന്റെ ദിശയുടെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അടുത്ത ലിങ്കുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, മധ്യ പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ ദിശകൾ സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഒന്നിടവിട്ടിരിക്കണം. മുകളിൽ വിവരിച്ച തത്വമനുസരിച്ച് നിർമ്മിച്ച വക്രത്തിന്റെ ആദ്യ കുറച്ച് തലമുറകളും 11-ാം തലമുറയും ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. അനന്തതയിലേക്കുള്ള n ഉള്ള വക്രത്തെ ഹാർട്ടർ-ഹേറ്റ്‌വേ ഡ്രാഗൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ, മരങ്ങളുടെയും കുറ്റിക്കാടുകളുടെയും ചിത്രങ്ങൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ്. ത്രിമാന ടെക്സ്ചറുകൾ (ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ പാറ്റേണുകൾ) സൃഷ്ടിക്കാൻ ദ്വിമാന ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

2. ബീജഗണിത ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഗ്രൂപ്പാണിത്. എൻ-ഡൈമൻഷണൽ സ്പെയ്സുകളിൽ നോൺ-ലീനിയർ പ്രോസസ്സുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ ലഭിക്കുന്നത്. ദ്വിമാന പ്രക്രിയകളാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ പഠിച്ചത്. ഒരു നോൺ-ലീനിയർ ആവർത്തന പ്രക്രിയയെ ഒരു വ്യതിരിക്ത ചലനാത്മക സംവിധാനമായി വ്യാഖ്യാനിക്കുമ്പോൾ, ഈ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പദാവലി ഒരാൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം: ഘട്ടം പോർട്രെയ്റ്റ്, സ്റ്റേഡി സ്റ്റേറ്റ് പ്രോസസ്, ആകർഷണം മുതലായവ.
നോൺലീനിയർ ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരതയുള്ള നിരവധി അവസ്ഥകളുണ്ടെന്ന് അറിയാം. ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ചലനാത്മക സിസ്റ്റം സ്വയം കണ്ടെത്തുന്ന അവസ്ഥ അതിന്റെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോ സ്ഥിരതയുള്ള അവസ്ഥയ്ക്കും (അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു ആകർഷണം) പ്രാരംഭ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ ഒരു പ്രത്യേക മേഖലയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അന്തിമ അവസ്ഥകളിലേക്ക് വീഴും. അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഫേസ് സ്പേസ് ആകർഷിക്കുന്നവരുടെ ആകർഷണ മേഖലകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫേസ് സ്പേസ് ദ്വിമാനമാണെങ്കിൽ, വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളുള്ള ആകർഷണ പ്രദേശങ്ങളെ വർണ്ണിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ (ആവർത്തന പ്രക്രിയ) ഒരു കളർ ഫേസ് പോർട്രെയ്റ്റ് ലഭിക്കും. കളർ സെലക്ഷൻ അൽഗോരിതം മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ഫാൻസി മൾട്ടി കളർ പാറ്റേണുകളുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റൽ പാറ്റേണുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. പ്രാകൃത അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ നോൺ-ട്രിവിയൽ ഘടനകൾ സൃഷ്ടിക്കാനുള്ള കഴിവ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തി.

മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ്.

ഉദാഹരണമായി, Mandelbrot സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക. ഇതിന്റെ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള അൽഗോരിതം വളരെ ലളിതവും ലളിതമായ ഒരു ആവർത്തന പദപ്രയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതുമാണ്: Z = Z[i] * Z[i] + C, എവിടെ സിഒപ്പം സിസങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളാണ്. ചതുരാകൃതിയിലോ ചതുരാകൃതിയിലോ ഉള്ള ഓരോ ആരംഭ പോയിന്റിനും ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു - സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിന്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗം. വരെ ആവർത്തന പ്രക്രിയ തുടരുന്നു Z[i]ആരം 2 ന്റെ വൃത്തത്തിന് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകില്ല, അതിന്റെ കേന്ദ്രം പോയിന്റിൽ (0,0) സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, (ഇതിനർത്ഥം ചലനാത്മക സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആകർഷണം അനന്തതയിലാണെന്നാണ്), അല്ലെങ്കിൽ ആവശ്യത്തിന് വലിയ ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം (ഉദാഹരണത്തിന് , 200-500) Z[i]സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു. ഏത് സമയത്തെ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു Z[i]സർക്കിളിനുള്ളിൽ തുടർന്നു, നിങ്ങൾക്ക് പോയിന്റിന്റെ നിറം സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും സി(എങ്കിൽ Z[i]ആവശ്യത്തിന് ധാരാളം ആവർത്തനങ്ങൾക്കായി സർക്കിളിനുള്ളിൽ അവശേഷിക്കുന്നു, ആവർത്തന പ്രക്രിയ നിർത്തുന്നു, ഈ റാസ്റ്റർ പോയിന്റ് കറുപ്പ് നിറത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു).

3. സ്ഥായിയായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ മറ്റൊരു പ്രസിദ്ധമായ ക്ലാസ് സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകളാണ്, ഒരു ആവർത്തന പ്രക്രിയയിൽ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും പാരാമീറ്ററുകൾ ക്രമരഹിതമായി മാറ്റിയാൽ അവ ലഭിക്കും. ഇത് പ്രകൃതിദത്തമായ വസ്തുക്കൾക്ക് സമാനമാണ് - അസമമായ മരങ്ങൾ, ഇൻഡന്റ് ചെയ്ത തീരപ്രദേശങ്ങൾ മുതലായവ. ഭൂപ്രദേശവും കടൽ ഉപരിതലവും മാതൃകയാക്കാൻ ദ്വിമാന സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ മറ്റ് വർഗ്ഗീകരണങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫ്രാക്റ്റലുകളെ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് (ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയവും) നോൺ-ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് (സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക്) ആയി വിഭജിക്കുന്നത്.

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ച്

ഒന്നാമതായി, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ അതിശയകരമായ ഗണിതശാസ്ത്ര കലയുടെ ഒരു മേഖലയാണ്, ലളിതമായ ഫോർമുലകളുടെയും അൽഗോരിതങ്ങളുടെയും സഹായത്തോടെ, അസാധാരണമായ സൗന്ദര്യത്തിന്റെയും സങ്കീർണ്ണതയുടെയും ചിത്രങ്ങൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ! നിർമ്മിച്ച ചിത്രങ്ങളുടെ രൂപരേഖകളിൽ, ഇലകൾ, മരങ്ങൾ, പൂക്കൾ എന്നിവ പലപ്പോഴും ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു.

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഏറ്റവും ശക്തമായ ചില പ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ട് കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്. ഒന്നാമതായി, ഇത് ചിത്രങ്ങളുടെ ഫ്രാക്റ്റൽ കംപ്രഷൻ ആണ്, രണ്ടാമതായി, ലാൻഡ്സ്കേപ്പുകൾ, മരങ്ങൾ, സസ്യങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർമ്മാണം, ഫ്രാക്റ്റൽ ടെക്സ്ചറുകളുടെ ഉത്പാദനം. ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രവും മെക്കാനിക്സും ഫ്രാക്റ്റൽ വസ്തുക്കളുടെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഗണിതത്തിൽ തന്നെ നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നു.
ഫ്രാക്റ്റൽ ഇമേജ് കംപ്രഷൻ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ പായ്ക്ക് ചെയ്ത ഫയലിന്റെ വളരെ ചെറിയ വലിപ്പവും ചെറിയ ഇമേജ് വീണ്ടെടുക്കൽ സമയവുമാണ്. ഫ്രാക്റ്റലി പായ്ക്ക് ചെയ്ത ചിത്രങ്ങൾ പിക്സലേഷൻ ഇല്ലാതെ സ്കെയിൽ ചെയ്യാം. എന്നാൽ കംപ്രഷൻ പ്രക്രിയ വളരെ സമയമെടുക്കും, ചിലപ്പോൾ മണിക്കൂറുകളോളം നീണ്ടുനിൽക്കും. ലോസി ഫ്രാക്റ്റൽ പാക്കിംഗ് അൽഗോരിതം, jpeg ഫോർമാറ്റിന് സമാനമായി കംപ്രഷൻ ലെവൽ സജ്ജമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ചില ചെറിയ കഷണങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ചിത്രത്തിന്റെ വലിയ ഭാഗങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയലിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് അൽഗോരിതം. ഔട്ട്‌പുട്ട് ഫയലിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഏത് ഭാഗത്തിന് സമാനമാണ്. കംപ്രസ്സുചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു ചതുര ഗ്രിഡ് സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു (കഷണങ്ങൾ ചതുരങ്ങളാണ്), ഇത് ചിത്രം പുനഃസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഒരു ചെറിയ കോണീയതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഒരു ഷഡ്ഭുജ ഗ്രിഡ് അത്തരമൊരു ദോഷത്തിൽ നിന്ന് മുക്തമാണ്.
ഫ്രാക്റ്റലും "വേവ്" (ജെപിഇജി പോലുള്ളവ) നഷ്ടരഹിതമായ കംപ്രഷനും സംയോജിപ്പിച്ച് "സ്റ്റിംഗ്" എന്ന പുതിയ ഇമേജ് ഫോർമാറ്റ് ഇറ്ററേറ്റഡ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. തുടർന്നുള്ള ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ള സ്കെയിലിംഗിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ചിത്രങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ പുതിയ ഫോർമാറ്റ് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഗ്രാഫിക് ഫയലുകളുടെ അളവ് കംപ്രസ് ചെയ്യാത്ത ചിത്രങ്ങളുടെ വോളിയത്തിന്റെ 15-20% ആണ്.
പർവതങ്ങളും പൂക്കളും മരങ്ങളും പോലെ കാണപ്പെടുന്ന ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ പ്രവണത ചിലർ ചൂഷണം ചെയ്യുന്നു ഗ്രാഫിക് എഡിറ്റർമാർ, 3D സ്റ്റുഡിയോ MAX-ൽ നിന്നുള്ള ഫ്രാക്റ്റൽ മേഘങ്ങൾ, വേൾഡ് ബിൽഡറിലെ ഫ്രാക്റ്റൽ മലനിരകൾ. ഫ്രാക്റ്റൽ മരങ്ങൾ, പർവതങ്ങൾ, മുഴുവൻ ഭൂപ്രകൃതികളും നൽകിയിരിക്കുന്നു ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, പ്രോഗ്രാം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്, അടുക്കുമ്പോൾ പ്രത്യേക ത്രികോണങ്ങളും സമചതുരകളും ആയി വിഭജിക്കരുത്.
ഗണിതത്തിൽ തന്നെ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഉപയോഗം നിങ്ങൾക്ക് അവഗണിക്കാനാവില്ല. സെറ്റ് തിയറിയിൽ, കാന്റർ സെറ്റ് പെർഫെക്റ്റ് നോവെർ ഡെൻസ് സെറ്റുകളുടെ അസ്തിത്വം തെളിയിക്കുന്നു; അളവുകോൽ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, സെൽഫ്-അഫിൻ "കാന്റോർ ലാഡർ" ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഏകവചന അളവുകോൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മികച്ച ഉദാഹരണമാണ്.
മെക്കാനിക്സിലും ഫിസിക്സിലും, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ കാരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു അതുല്യമായ സ്വത്ത്പ്രകൃതിയിലെ പല വസ്തുക്കളുടെയും രൂപരേഖ ആവർത്തിക്കുക. ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പോളിഗോണുകൾ (സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന അതേ അളവിൽ) ഉള്ള ഏകദേശ കണക്കുകളേക്കാൾ ഉയർന്ന കൃത്യതയോടെ മരങ്ങൾ, പർവത പ്രതലങ്ങൾ, വിള്ളലുകൾ എന്നിവയെ ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക വസ്തുക്കളെപ്പോലെ ഫ്രാക്റ്റൽ മോഡലുകൾക്കും "പരുക്കൻ" ഉണ്ട്, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി മോഡലിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ വലിയ വർദ്ധനവിൽ സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഒരു ഏകീകൃത അളവിന്റെ സാന്നിധ്യം, ഇതിനകം പഠിച്ച സമവാക്യങ്ങളിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾക്ക് പകരം സംയോജനം, സാധ്യതയുള്ള സിദ്ധാന്തം എന്നിവ പ്രയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.
ഫ്രാക്റ്റൽ സമീപനത്തോടെ, അരാജകത്വം നീല ഡിസോർഡറായി മാറുകയും മികച്ച ഘടന നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫ്രാക്റ്റൽ സയൻസ് ഇപ്പോഴും വളരെ ചെറുപ്പമാണ്, അതിന് ഒരു മികച്ച ഭാവിയുണ്ട്. ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ സൗന്ദര്യം തളർന്നുപോകുന്നതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്, ഇനിയും നമുക്ക് നിരവധി മാസ്റ്റർപീസുകൾ നൽകും - കണ്ണിനെ ആനന്ദിപ്പിക്കുന്നവയും മനസ്സിന് യഥാർത്ഥ ആനന്ദം നൽകുന്നവയും.

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്

തുടർച്ചയായ ഏകദേശ രീതി

ഈ ചിത്രം നോക്കുമ്പോൾ, സ്വയം സമാനമായ ഫ്രാക്റ്റൽ (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിയർപിൻസ്കി പിരമിഡ്) എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ പിരമിഡ് (ടെട്രാഹെഡ്രോൺ) എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് അതിന്റെ മധ്യഭാഗം (ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ) മുറിക്കുക, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് നാല് ചെറിയ പിരമിഡുകൾ ലഭിക്കും. അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഞങ്ങൾ ഒരേ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു, മുതലായവ. ഇത് കുറച്ച് നിഷ്കളങ്കവും എന്നാൽ ചിത്രീകരണാത്മകവുമായ വിശദീകരണമാണ്.

രീതിയുടെ സാരാംശം കൂടുതൽ കർശനമായി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. കുറച്ച് ഐഎഫ്എസ് സംവിധാനം ഉണ്ടാകട്ടെ, അതായത്. സങ്കോച മാപ്പിംഗ് സിസ്റ്റം എസ്=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ പിരമിഡിന്, മാപ്പിംഗുകൾ S i (x)=1/2*x+o i പോലെയാണ്, o i എവിടെയാണ് ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ ലംബങ്ങൾ, i=1,..,4). അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ R n-ൽ ചില കോംപാക്റ്റ് സെറ്റ് A 1 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോൺ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു). കൂടാതെ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) സെറ്റുകളുടെ ക്രമം ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന k ഉള്ള A k സെറ്റുകൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആവശ്യമായ ആകർഷണത്തെ ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നതായി അറിയാം എസ്.

ഈ ആവർത്തനങ്ങൾ ഓരോന്നും ഒരു ആകർഷണമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആവർത്തന സംവിധാനം(ഇംഗ്ലീഷ് പദം DigraphIFS, RIFSകൂടാതെ ഗ്രാഫ് സംവിധാനം ചെയ്ത ഐ.എഫ്.എസ്) അതിനാൽ ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് അവ നിർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

പോയിന്റ് അല്ലെങ്കിൽ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് രീതി വഴിയുള്ള നിർമ്മാണം

കമ്പ്യൂട്ടറിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗ്ഗമാണിത്. ലാളിത്യത്തിനായി, ഒരു ഫ്ലാറ്റ് സെൽഫ്-അഫിൻ സെറ്റിന്റെ കാര്യം പരിഗണിക്കുക. അതിനാൽ അനുവദിക്കുക (എസ്

) അഫൈൻ സങ്കോചങ്ങളുടെ ചില സംവിധാനമാണ്. മാപ്പിംഗ് എസ്

പ്രതിനിധീകരിക്കാവുന്നത്: എസ്

2x2, ഒ എന്നിവയുടെ ഫിക്സഡ് മാട്രിക്സ്

ദ്വിമാന വെക്റ്റർ കോളം.

ആദ്യ മാപ്പിംഗ് S 1 ന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റ് ഒരു ആരംഭ പോയിന്റായി എടുക്കാം:
x:=o1;
എല്ലാ നിശ്ചിത സങ്കോച പോയിന്റുകളും S 1 ,..,S m ഫ്രാക്റ്റലിൽ പെടുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് ഒരു ആരംഭ പോയിന്റായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അത് സൃഷ്ടിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ക്രമം ഒരു ഫ്രാക്റ്റലായി ചുരുങ്ങും, എന്നാൽ കുറച്ച് അധിക പോയിന്റുകൾ സ്ക്രീനിൽ ദൃശ്യമാകും.
സ്ക്രീനിൽ നിലവിലുള്ള പോയിന്റ് x=(x 1 ,x 2) ശ്രദ്ധിക്കുക:
പുട്ട്പിക്സൽ(x 1 ,x 2 ,15);
ഞങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി 1 മുതൽ m വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ j തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും പോയിന്റ് x ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
j:=റാൻഡം(m)+1;
x:=S j (x);
ഞങ്ങൾ ഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ആവശ്യത്തിന് ധാരാളം ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ നിർത്തുന്നു.

കുറിപ്പ്.മാപ്പിംഗുകൾ എസ് ഐയുടെ കംപ്രഷൻ ഗുണകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ പോയിന്റുകൾ അസമമായി നിറയും. മാപ്പിംഗുകൾ S i സമാനതകളാണെങ്കിൽ, അൽഗോരിതം ചെറുതായി സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് ഒഴിവാക്കാനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അൽഗോരിതത്തിന്റെ മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ, 1 മുതൽ m വരെയുള്ള സംഖ്യ p 1 =r 1 s,..,p m =r m s എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, ഇവിടെ r i എന്നത് മാപ്പിംഗുകളുടെ സങ്കോച ഗുണകങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. , കൂടാതെ r 1 s +...+r m s =1 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യകൾ (സാമ്യത അളവ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) കണ്ടെത്തി. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ന്യൂട്ടന്റെ രീതി.

ഫ്രാക്റ്റലുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ അൽഗോരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചും

ഫ്രാക്റ്റൽ എന്നത് ലാറ്റിൻ നാമവിശേഷണമായ "ഫ്രാക്റ്റസ്" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, വിവർത്തനത്തിൽ ശകലങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അനുബന്ധ ലാറ്റിൻ ക്രിയ "ഫ്രാംഗേർ" എന്നാൽ തകർക്കുക, അതായത് ക്രമരഹിതമായ ശകലങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. 70-കളുടെ അവസാനത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട ഫ്രാക്റ്റൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ആശയങ്ങൾ 80-കളുടെ മധ്യം മുതൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും പ്രോഗ്രാമർമാരുടെയും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഉറച്ചുനിന്നു. 1975-ൽ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ടാണ് ഈ പദം നിർദ്ദേശിച്ചത്, താൻ പഠിച്ച ക്രമരഹിതവും എന്നാൽ സ്വയം സമാനമായതുമായ ഘടനകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ. ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ജനനം സാധാരണയായി 1977-ൽ മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" - "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ പ്രസിദ്ധീകരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. 1875-1925 കാലഘട്ടത്തിൽ ഇതേ മേഖലയിൽ പ്രവർത്തിച്ച മറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) ശാസ്ത്രീയ ഫലങ്ങൾ അദ്ദേഹത്തിന്റെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചു.

ക്രമീകരണങ്ങൾ

H.-O യുടെ പുസ്തകത്തിൽ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്ന അൽഗരിതങ്ങളിൽ ചില മാറ്റങ്ങൾ വരുത്താം. Paytgen, P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, അക്ഷരത്തെറ്റുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനും പ്രക്രിയകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിനും വേണ്ടി മാത്രമായിരുന്നു, കാരണം അവ പഠിച്ചതിനുശേഷവും എനിക്ക് ഒരു നിഗൂഢതയായി തുടർന്നു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഈ "മനസിലാക്കാവുന്ന", "ലളിതമായ" അൽഗോരിതങ്ങൾ ഒരു കുലുങ്ങുന്ന ജീവിതശൈലി നയിക്കുന്നു.

z, c എന്നിവ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളായതിനാൽ, z \u003d z 2 + c ഫീഡ്‌ബാക്ക് ഉള്ള ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രക്രിയയുടെ ഒരു നിശ്ചിത രേഖീയമല്ലാത്ത പ്രവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ നിർമ്മാണം, തുടർന്ന് z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, ഇത് ആവശ്യമാണ് കൂടുതൽ യാഥാർത്ഥ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിന് അതിനെ x, y എന്നിവയിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുക സാധാരണ മനുഷ്യൻവിമാനം:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

എല്ലാ ജോഡികളും (x, y) അടങ്ങുന്ന തലം നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങളുള്ളതായി കണക്കാക്കാം പി, ക്യു, അതുപോലെ ചലനാത്മകമായവയ്ക്ക്. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, നിയമമനുസരിച്ച് വിമാനത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലൂടെയും (x, y) തരംതിരിക്കുകയും ആവർത്തന പ്രക്രിയയിൽ നിന്ന് പുറത്തുകടക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഫംഗ്ഷന്റെ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച് അവയെ കളറിംഗ് ചെയ്യുക അല്ലെങ്കിൽ അനുവദനീയമായ പരമാവധി വരുമ്പോൾ (കറുപ്പ്) കളറിംഗ് ചെയ്യരുത്. ആവർത്തനങ്ങൾ വർദ്ധിച്ചു, ഞങ്ങൾക്ക് ജൂലിയ സെറ്റിന്റെ പ്രദർശനം ലഭിക്കും. നേരെമറിച്ച്, ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ (x, y) നിർണ്ണയിക്കുകയും p, q പാരാമീറ്ററുകളുടെ ചലനാത്മകമായി മാറുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ വർണ്ണാഭമായ വിധി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് Mandelbrot സെറ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ഫ്രാക്റ്റൽ കളറിംഗ് അൽഗോരിതം എന്ന ചോദ്യത്തിൽ.

സാധാരണയായി സെറ്റിന്റെ ബോഡി ഒരു കറുത്ത ഫീൽഡായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും കറുപ്പ് നിറം മറ്റെന്തെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് വ്യക്തമാണെങ്കിലും, ഇത് താൽപ്പര്യമില്ലാത്ത ഫലം കൂടിയാണ്. എല്ലാ നിറങ്ങളിലും ചായം പൂശിയ ഒരു സെറ്റിന്റെ ചിത്രം നേടുക എന്നത് ചാക്രിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ജോലിയാണ്. സെറ്റിന്റെ ബോഡി രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം പരമാവധി സാധ്യമായതിന് തുല്യവും എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനവുമാണ്. സെറ്റ് ഇൻ കളർ ചെയ്യുക വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങൾലൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള എക്സിറ്റ് അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം (z_magnitude) കളർ നമ്പറായി അല്ലെങ്കിൽ അതിന് സമാനമായത്, എന്നാൽ മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്.

"ഫ്രാക്ടൽ മൈക്രോസ്കോപ്പിന്റെ" പ്രയോഗം

അതിർത്തി പ്രതിഭാസങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ.

വിമാനത്തിൽ ആധിപത്യത്തിനായുള്ള പോരാട്ടത്തിന് നേതൃത്വം നൽകുന്ന കേന്ദ്രങ്ങളാണ് അട്രാക്ടറുകൾ. ആകർഷിക്കുന്നവയ്‌ക്കിടയിൽ കറങ്ങുന്ന പാറ്റേണിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ബോർഡർ ഉണ്ട്. സെറ്റിന്റെ അതിരുകൾക്കുള്ളിൽ പരിഗണനയുടെ അളവ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, പ്രകൃതിദത്ത ലോകത്തിലെ ഒരു സാധാരണ പ്രതിഭാസമായ - നിർണ്ണായക കുഴപ്പത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന നിസ്സാരമല്ലാത്ത പാറ്റേണുകൾ ഒരാൾക്ക് ലഭിക്കും.

ഭൂമിശാസ്ത്രജ്ഞർ പഠിച്ച വസ്തുക്കൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ സംഘടിത അതിരുകളുള്ള ഒരു സംവിധാനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അവ നടപ്പിലാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു പ്രായോഗിക ജോലിയായി മാറുന്നു. പ്രകൃതി സമുച്ചയങ്ങൾക്ക് ആകർഷണീയതയായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, അത് നീങ്ങുമ്പോൾ പ്രദേശത്തിന്റെ സ്വാധീനശക്തി നഷ്ടപ്പെടും.

Mandelbrot, Julia സെറ്റുകൾക്കായി ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ മൈക്രോസ്കോപ്പ് ഉപയോഗിച്ച്, പരിഗണനയുടെ തോത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ ഒരുപോലെ സങ്കീർണ്ണമായ അതിർത്തി പ്രക്രിയകളെയും പ്രതിഭാസങ്ങളെയും കുറിച്ച് ഒരു ആശയം രൂപപ്പെടുത്താനും അങ്ങനെ ചലനാത്മകവും കുഴപ്പമില്ലാത്തതുമായ ഒരു മീറ്റിംഗിനായി ഒരു സ്പെഷ്യലിസ്റ്റിന്റെ ധാരണ തയ്യാറാക്കാനും കഴിയും. ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കാൻ സ്ഥലത്തും സമയത്തും പ്രകൃതിദത്തമായ വസ്തുവിൽ. ബഹുവർണ്ണ നിറങ്ങളും ഫ്രാക്റ്റൽ സംഗീതവും തീർച്ചയായും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മനസ്സിൽ ആഴത്തിലുള്ള മുദ്ര പതിപ്പിക്കും.

ആയിരക്കണക്കിന് പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളും വലിയ ഇന്റർനെറ്റ് ഉറവിടങ്ങളും ഫ്രാക്റ്റലുകൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയുള്ള പല സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾക്കും ഈ പദം പൂർണ്ണമായും പുതിയതായി തോന്നുന്നു. വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിലെ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള വസ്തുക്കൾ എന്ന നിലയിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകൾക്ക് കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ കോഴ്സിൽ ഉചിതമായ സ്ഥാനം ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

സിയർപിൻസ്കി ഗ്രിഡ്

ഫ്രാക്റ്റൽ അളവുകളുടെയും ആവർത്തനങ്ങളുടെയും ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ മണ്ടൽബ്രോട്ട് പരീക്ഷിച്ച ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഒന്നാണിത്. വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ പ്രധാന ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ച് കൂടുതൽ ദ്വാരങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനീഷ്യേറ്റർ ഒരു വലിയ ത്രികോണമാണ്, ടെംപ്ലേറ്റ് എന്നത് വലിയ ഒന്നിന് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ മുറിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്. ഒരു സാധാരണ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ഉപയോഗിച്ചും ചെറിയ ടെട്രാഹെഡ്ര മുറിച്ചുമാറ്റിയും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ 3D പതിപ്പ് ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ അളവ് ln3/ln2 = 1.584962501 ആണ്.

ലഭിക്കാൻ സിയർപിൻസ്കി പരവതാനി, ഒരു ചതുരം എടുക്കുക, അതിനെ ഒമ്പത് സമചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കുക, മധ്യഭാഗം മുറിക്കുക. ബാക്കിയുള്ള ചെറിയ സ്ക്വയറുകളിലും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യും. അവസാനം, ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫ്രാക്റ്റൽ ഗ്രിഡ് രൂപം കൊള്ളുന്നു, അതിന് ഒരു പ്രദേശവുമില്ല, എന്നാൽ അനന്തമായ കണക്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. അതിന്റെ സ്പേഷ്യൽ രൂപത്തിൽ, സിയർപിൻസ്കി സ്പോഞ്ച് ത്രൂ ഫോമുകളുടെ ഒരു സംവിധാനമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു, അതിൽ ഓരോ മൂലകവും അതിന്റേതായ തരത്തിൽ നിരന്തരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ ഘടന അസ്ഥി ടിഷ്യുവിന്റെ ഒരു വിഭാഗവുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഒരിക്കൽ അത്തരം ആവർത്തന ഘടനകൾ കെട്ടിട ഘടനകളുടെ ഒരു ഘടകമായി മാറും. അവരുടെ സ്റ്റാറ്റിക്സും ഡൈനാമിക്സും, മണ്ടൽബ്രോട്ട് വിശ്വസിക്കുന്നു, അടുത്ത പഠനം അർഹിക്കുന്നു.

കൊച്ച് കർവ്

കോച്ച് കർവ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഒന്നാണ്. പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഹെൽജ് വോൺ കോച്ച് എന്ന ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഇത് കണ്ടുപിടിച്ചത്, ജോർജ്ജ് കോണ്ടോറിന്റെയും കാൾ വെയർസ്ട്രാസിന്റെയും കൃതികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ അസാധാരണമായ പെരുമാറ്റമുള്ള ചില വിചിത്രമായ വക്രങ്ങളുടെ വിവരണങ്ങൾ അദ്ദേഹം കണ്ടു. ഇനീഷ്യേറ്റർ - ഡയറക്ട് ലൈൻ. ജനറേറ്റർ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമാണ്, അതിന്റെ വശങ്ങൾ വലിയ സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് തുല്യമാണ്. ഈ ത്രികോണങ്ങൾ ഓരോ സെഗ്‌മെന്റിന്റെയും മധ്യത്തിൽ വീണ്ടും വീണ്ടും ചേർക്കുന്നു. തന്റെ ഗവേഷണത്തിൽ, മണ്ടൽബ്രോട്ട് കോച്ച് വളവുകളിൽ ധാരാളം പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി, കോച്ച് ദ്വീപുകൾ, കോച്ച് ക്രോസുകൾ, കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കുകൾ, കൂടാതെ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ഓരോ മുഖത്തും ചെറിയ ടെട്രാഹെഡ്രകൾ ചേർത്ത് കോച്ച് വക്രത്തിന്റെ ത്രിമാന പ്രതിനിധാനങ്ങൾ പോലും നേടി. കോച്ച് കർവിന് ln4/ln3 = 1.261859507 എന്ന അളവുണ്ട്.

ഫ്രാക്റ്റൽ മണ്ടൽബ്രോട്ട്

നിങ്ങൾ പതിവായി കാണുന്ന Mandelbrot സെറ്റ് അല്ല ഇത്. മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് നോൺ-ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതും സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റൽ ആണ്. ഈ വസ്തു ഇതുപോലെ കാണുന്നില്ലെങ്കിലും, ഇത് കൊച്ച് വക്രത്തിന്റെ ഒരു വകഭേദമാണ്. കോച്ച് കർവിന്റെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഫ്രാക്റ്റലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഇനീഷ്യേറ്ററും ജനറേറ്ററും വ്യത്യസ്തമാണ്, പക്ഷേ ആശയം അതേപടി തുടരുന്നു. ഒരു കർവ് സെഗ്‌മെന്റിൽ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുപകരം, ചതുരങ്ങൾ ഒരു ചതുരത്തിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഫ്രാക്റ്റൽ ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും അനുവദിച്ച സ്ഥലത്തിന്റെ പകുതിയോളം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന വസ്തുത കാരണം, ഇതിന് 3/2 = 1.5 എന്ന ലളിതമായ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് ഉണ്ട്.

ഡാരേഴ്‌സ് പെന്റഗൺ

ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ഒരു കൂട്ടം പെന്റഗണുകൾ ഒരുമിച്ച് ഞെക്കിയതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു പെന്റഗണിനെ ഒരു ഇനീഷ്യേറ്ററും ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് രൂപപ്പെടുന്നത്, ഏറ്റവും വലിയ വശവും ഏറ്റവും ചെറുതും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം, അതിൽ സുവർണ്ണ അനുപാതം (1.618033989 അല്ലെങ്കിൽ 1/(2cos72)) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ജനറേറ്ററിന് തുല്യമാണ്. . ഈ ത്രികോണങ്ങൾ ഓരോ പെന്റഗണിന്റെയും മധ്യത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ചതാണ്, അതിന്റെ ഫലമായി 5 ചെറിയ പെന്റഗണുകൾ ഒരു വലിയ ഒന്നിൽ ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

ഇനീഷ്യേറ്ററായി ഒരു ഷഡ്ഭുജം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ ഒരു വകഭേദം ലഭിക്കും. ഈ ഫ്രാക്റ്റലിനെ ഡേവിഡിന്റെ നക്ഷത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് കോച്ചിന്റെ സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ ഷഡ്ഭുജ പതിപ്പിനോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഡാരർ പെന്റഗണിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ ഡൈമൻഷൻ ln6/ln(1+g) ആണ്, ഇവിടെ g എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ വലിയ വശത്തിന്റെ നീളവും ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, g എന്നത് സുവർണ്ണ അനുപാതമാണ്, അതിനാൽ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് ഏകദേശം 1.86171596 ആണ്. ഡേവിഡ് നക്ഷത്രത്തിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് ln6/ln3 അല്ലെങ്കിൽ 1.630929754 ആണ്.

സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ ഒരു ചെറിയ പ്രദേശത്ത് സൂം ഇൻ ചെയ്‌ത് ആ പ്രദേശത്തിന്റെ ഒരു ചെറിയ പ്രദേശത്ത് ഇത് ചെയ്‌താൽ, രണ്ട് മാഗ്‌നിഫിക്കേഷനുകളും പരസ്പരം ഗണ്യമായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും. രണ്ട് ചിത്രങ്ങളും വിശദമായി സമാനമായിരിക്കും, എന്നാൽ അവ പൂർണ്ണമായും സമാനമാകില്ല.

ചിത്രം 1. Mandelbrot സെറ്റിന്റെ ഏകദേശ കണക്ക്

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവിടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റിന്റെ ചിത്രങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക, അവയിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ കുറച്ച് വിസ്തീർണ്ണം വർദ്ധിപ്പിച്ചാണ് ലഭിച്ചത്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അവ തികച്ചും സമാനമല്ല, രണ്ടിലും ഞങ്ങൾ ഒരു കറുത്ത വൃത്തം കാണുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ജ്വലിക്കുന്ന കൂടാരങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് പോകുന്നു. ഈ ഘടകങ്ങൾ കുറയുന്ന അനുപാതത്തിൽ മണ്ടൽബ്രോട്ടിൽ അനിശ്ചിതമായി ആവർത്തിക്കുന്നു.

ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകൾ രേഖീയമാണ്, അതേസമയം സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ അല്ല. നോൺ-ലീനിയർ ആയതിനാൽ, മണ്ടൽബ്രോട്ട് നോൺ-ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിച്ചതാണ് ഈ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. നല്ല ഉദാഹരണം Zn+1=ZnІ + C എന്ന പ്രക്രിയയാണ്, ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയിലെ മണ്ടൽബ്രോട്ട്, ജൂലിയ സെറ്റുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമവാക്യമാണ്. ഈ ഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ സങ്കീർണ്ണവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി വ്യാഖ്യാനിക്കുമ്പോൾ, ഫലം ഒരു വിചിത്രമായ രൂപമാണ്, അതിൽ നേർരേഖകൾ വളവുകളായി മാറുന്നു, സ്വയം-സാമ്യത ഇഫക്റ്റുകൾ വിവിധ സ്കെയിൽ തലങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും രൂപഭേദം കൂടാതെ. അതേ സമയം, മുഴുവൻ ചിത്രവും പ്രവചനാതീതവും വളരെ കുഴപ്പവുമാണ്.

ചിത്രങ്ങൾ നോക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണവും കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായമില്ലാതെ സൃഷ്ടിക്കാൻ അസാധ്യവുമാണ്. വർണ്ണാഭമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഈ കമ്പ്യൂട്ടറിന് ശക്തമായ ഒരു ഗണിത കോപ്രൊസസറും ഉയർന്ന മിഴിവുള്ള മോണിറ്ററും ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ 5-10 ആവർത്തനങ്ങളിൽ കണക്കാക്കില്ല. കമ്പ്യൂട്ടർ സ്ക്രീനിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ ഡോട്ടുകളും ഒരു പ്രത്യേക ഫ്രാക്റ്റൽ പോലെയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രോസസ്സിംഗ് സമയത്ത്, ഓരോ പോയിന്റും ഒരു പ്രത്യേക പാറ്റേണായി കണക്കാക്കുന്നു. ഓരോ പോയിന്റും ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഓരോ പോയിന്റിനും സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുകയും നിർവ്വഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 1000 ആവർത്തനങ്ങൾ. ഹോം കമ്പ്യൂട്ടറുകൾക്ക് സ്വീകാര്യമായ സമയ ഇടവേളയിൽ താരതമ്യേന വളച്ചൊടിക്കാത്ത ഇമേജ് ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു പോയിന്റിനായി 250 ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും.

ഇന്ന് നാം കാണുന്ന ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഭൂരിഭാഗവും മനോഹരമായി നിറമുള്ളവയാണ്. ഒരുപക്ഷേ ഫ്രാക്റ്റൽ ഇമേജുകൾ വളരെ വലുതായി സൗന്ദര്യാത്മക മൂല്യംകൃത്യമായി അവരുടെ വർണ്ണ സ്കീമുകൾ കാരണം. സമവാക്യം കണക്കാക്കിയ ശേഷം, കമ്പ്യൂട്ടർ ഫലങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു. ഫലങ്ങൾ സ്ഥിരമായി തുടരുകയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിന് ചുറ്റും ചാഞ്ചാടുകയോ ആണെങ്കിൽ, ഡോട്ട് സാധാരണയായി കറുത്തതായി മാറും. ഒരു ഘട്ടത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിലെ മൂല്യം അനന്തതയിലേക്കാണ് പോകുന്നതെങ്കിൽ, പോയിന്റ് മറ്റൊരു നിറത്തിലാണ് വരച്ചിരിക്കുന്നത്, ഒരുപക്ഷേ നീലയോ ചുവപ്പോ ആകാം. ഈ പ്രക്രിയയിൽ, കമ്പ്യൂട്ടർ എല്ലാ ചലന വേഗതകൾക്കും നിറങ്ങൾ നൽകുന്നു.

സാധാരണയായി, വേഗത്തിൽ ചലിക്കുന്ന ഡോട്ടുകൾ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വരയ്ക്കുന്നു, അതേസമയം വേഗത കുറഞ്ഞവ മഞ്ഞയും മറ്റും. ഇരുണ്ട ഡോട്ടുകൾഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും സ്ഥിരതയുള്ളവയാണ്.

സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ നിർണ്ണായക ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവ അനന്തമായ സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നിരുന്നാലും വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങളോ സമവാക്യങ്ങളോ ആവശ്യമില്ല. കുറച്ച് ഡ്രോയിംഗ് പേപ്പർ എടുക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ 3 അല്ലെങ്കിൽ 4 ആവർത്തനങ്ങൾ വരെ ഒരു സിയർപിൻസ്കി അരിപ്പ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ധാരാളം ജൂലിയയുമായി ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക! ഇംഗ്ലണ്ടിന്റെ തീരപ്രദേശത്തിന്റെ നീളം അളക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്!

മണ്ടർബ്രോട്ട് സെറ്റ്

ചിത്രം 2. Mandelbrot സെറ്റ്

സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായ രണ്ടെണ്ണമാണ് മണ്ടൽബ്രോട്ടും ജൂലിയയും. അവ പലരിലും കാണാം ശാസ്ത്ര ജേണലുകൾ, പുസ്തക കവറുകൾ, പോസ്റ്റ്കാർഡുകൾ, കമ്പ്യൂട്ടർ സ്ക്രീൻ സേവറുകൾ. ഫ്രാക്റ്റൽ എന്ന വാക്ക് കേൾക്കുമ്പോൾ ആളുകൾക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന ആദ്യത്തെ അസോസിയേഷനായിരിക്കാം ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് നിർമ്മിച്ച മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ്. തിളങ്ങുന്ന ട്രീയും സർക്കിൾ ഏരിയകളും ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു കാർഡിനോട് സാമ്യമുള്ള ഈ ഫ്രാക്റ്റൽ, Zn+1=Zna+C എന്ന ലളിതമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് സൃഷ്ടിക്കുന്നത്, ഇവിടെ Z, C എന്നിവ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളും a എന്നത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമാണ്.

ഏറ്റവും സാധാരണയായി കാണുന്ന മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് രണ്ടാം ഡിഗ്രി മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റാണ്, അതായത് a=2. മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് Zn+1=ZnІ+C മാത്രമല്ല, ഫോർമുലയിലെ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും ആയ ഫ്രാക്റ്റൽ ആണ് എന്നത് പലരെയും തെറ്റിദ്ധരിപ്പിച്ചു. ഈ പേജിൽ നിങ്ങൾ ഘാതകത്തിന്റെ വിവിധ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള Mandelbrot സെറ്റിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം കാണുന്നു.
ചിത്രം 3. a=3.5-ൽ കുമിളകളുടെ രൂപം

Z=Z*tg(Z+C) എന്ന പ്രക്രിയയും ജനപ്രിയമാണ്. ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്ഷൻ ഉൾപ്പെടുത്തിയതിന് നന്ദി, ആപ്പിളിനോട് സാമ്യമുള്ള ഒരു പ്രദേശത്താൽ ചുറ്റപ്പെട്ട മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് ലഭിക്കുന്നു. കോസൈൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, എയർ ബബിൾ ഇഫക്റ്റുകൾ ലഭിക്കും. ചുരുക്കത്തിൽ, വിവിധ മനോഹരമായ ചിത്രങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ Mandelbrot സെറ്റ് മാറ്റാൻ അനന്തമായ വഴികളുണ്ട്.

മൾട്ടിപ്പിൾ ജൂലിയ

അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, ജൂലിയ സെറ്റുകൾ മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റിന്റെ അതേ ഫോർമുല അനുസരിച്ചാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്. ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗാസ്റ്റൺ ജൂലിയയാണ് ജൂലിയ സെറ്റ് കണ്ടുപിടിച്ചത്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരിലാണ് ഈ സെറ്റിന്റെ പേര്. Mandelbrot, Julia സെറ്റുകളുമായുള്ള ഒരു ദൃശ്യപരിചയത്തിന് ശേഷം ഉയരുന്ന ആദ്യത്തെ ചോദ്യം "രണ്ട് ഫ്രാക്റ്റലുകളും ഒരേ ഫോർമുലയാൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടതാണെങ്കിൽ, എന്തുകൊണ്ട് അവ വളരെ വ്യത്യസ്തമാണ്?" ജൂലിയ സെറ്റിന്റെ ചിത്രങ്ങൾ ആദ്യം നോക്കൂ. വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, വ്യത്യസ്ത തരം ജൂലിയ സെറ്റുകൾ ഉണ്ട്. വ്യത്യസ്ത ആരംഭ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ വരയ്ക്കുമ്പോൾ (ആവർത്തന പ്രക്രിയ ആരംഭിക്കുന്നതിന്), വിവിധ ചിത്രങ്ങൾ. ഇത് ജൂലിയ സെറ്റിന് മാത്രം ബാധകമാണ്.

ചിത്രം 4. ജൂലിയ സെറ്റ്

ചിത്രത്തിൽ കാണാൻ കഴിയില്ലെങ്കിലും, ഒരു മണ്ടൽബ്രോട്ട് ഫ്രാക്റ്റൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ ജൂലിയ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. Mandelbrot സെറ്റിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും (അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ്) ഒരു ജൂലിയ ഫ്രാക്റ്റലുമായി യോജിക്കുന്നു. Z=ZI+C എന്ന സമവാക്യത്തിലെ പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങളായി ഈ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ജൂലിയ സെറ്റുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ Mandelbrot ഫ്രാക്റ്റലിൽ ഒരു പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അത് വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ജൂലിയ ഫ്രാക്റ്റൽ ലഭിക്കുമെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഈ രണ്ട് പോയിന്റുകളും സമാനമാണ്, പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥത്തിൽ മാത്രം. ഈ പോയിന്റ് എടുത്ത് ഈ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കിയാൽ, Mandelbrot ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൂലിയ ഫ്രാക്റ്റൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

വിവിധതരം ഫ്രാക്റ്റലുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട വർഗ്ഗീകരണം അവലംബിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

2.1 ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ഈ ക്ലാസിലെ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഏറ്റവും വ്യക്തമാണ്. ദ്വിമാന കേസിൽ, ചില പോളിലൈൻ (അല്ലെങ്കിൽ ത്രിമാന കേസിൽ ഉപരിതലം) ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ ലഭിക്കുന്നത്. ജനറേറ്റർ. അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ, തകർന്ന ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്ന ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും ഉചിതമായ സ്കെയിലിൽ തകർന്ന ലൈൻ-ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ നടപടിക്രമത്തിന്റെ അനന്തമായ ആവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമായി, ഒരു ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റൽ ലഭിക്കും.

ചിത്രം 1. ട്രയാഡിക് കോച്ച് വക്രത്തിന്റെ നിർമ്മാണം.

ഈ ഫ്രാക്റ്റൽ ഒബ്‌ജക്റ്റുകളിൽ ഒന്ന് പരിഗണിക്കുക - ട്രയാഡിക് കോച്ച് കർവ്. വക്രത്തിന്റെ നിർമ്മാണം ആരംഭിക്കുന്നത് യൂണിറ്റ് ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഒരു സെഗ്മെന്റിലാണ് (ചിത്രം 1) - ഇത് കോച്ച് കർവിന്റെ 0-ആം തലമുറയാണ്. കൂടാതെ, ഓരോ ലിങ്കും (സീറോ ജനറേഷനിലെ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ്) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ജനറട്രിക്സ്, ചിത്രം 1 ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു n=1. അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിന്റെ ഫലമായി, കോച്ച് കർവിന്റെ അടുത്ത തലമുറ ലഭിക്കുന്നു. ഒന്നാം തലമുറയിൽ, ഇത് നാല് നേർ ലിങ്കുകളുടെ ഒരു വക്രമാണ്, ഓരോന്നിനും നീളമുണ്ട് 1/3 . മൂന്നാം തലമുറ ലഭിക്കുന്നതിന്, സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു - ഓരോ ലിങ്കും ഒരു കുറച്ച രൂപീകരണ ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോ തുടർന്നുള്ള തലമുറയും ലഭിക്കുന്നതിന്, മുൻ തലമുറയുടെ എല്ലാ ലിങ്കുകളും ഒരു കുറച്ച രൂപീകരണ ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വക്രം എൻഏതെങ്കിലും പരിമിതികളിലേക്കുള്ള തലമുറ എൻവിളിച്ചു പ്രീഫ്രാക്ടൽ. വക്രത്തിന്റെ അഞ്ച് തലമുറകൾ ചിത്രം 1 കാണിക്കുന്നു. ചെയ്തത് എൻഅനന്തതയിലേക്കുള്ള പ്രവണത, കോച്ച് കർവ് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ വസ്തുവായി മാറുന്നു.

ചിത്രം 2. ഹാർട്ടർ-ഹേറ്റ്‌വേയുടെ "ഡ്രാഗൺ" നിർമ്മാണം.

മറ്റൊരു ഫ്രാക്റ്റൽ ഒബ്ജക്റ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ നിർമ്മാണ നിയമങ്ങൾ മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകം വലത് കോണിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ ആയിരിക്കട്ടെ. സീറോ ജനറേഷനിൽ, യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റിനെ ഈ ജനറേറ്റിംഗ് എലമെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ആംഗിൾ മുകളിലായിരിക്കും. അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ലിങ്കിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഒരു ഷിഫ്റ്റ് സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അടുത്ത തലമുറകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നിയമം നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു: ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യത്തെ ലിങ്ക് ഒരു ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ലിങ്കിന്റെ മധ്യഭാഗം ചലനത്തിന്റെ ദിശയുടെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അടുത്ത ലിങ്കുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ ദിശകൾ ഒന്നിടവിട്ട് മാറണം. മുകളിൽ വിവരിച്ച തത്വമനുസരിച്ച് നിർമ്മിച്ച വക്രത്തിന്റെ ആദ്യ കുറച്ച് തലമുറകളും 11-ാം തലമുറയും ചിത്രം 2 കാണിക്കുന്നു. ഫ്രാക്റ്റൽ കർവ് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു (അറ്റ് എൻഅനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഹാർട്ടർ-ഹേറ്റ്‌വേ ഡ്രാഗൺ .

കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ, മരങ്ങൾ, കുറ്റിക്കാടുകൾ, തീരപ്രദേശങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ചിത്രങ്ങൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ്. വോള്യൂമെട്രിക് ടെക്സ്ചറുകൾ (ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ പാറ്റേണുകൾ) സൃഷ്ടിക്കാൻ ദ്വിമാന ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

2.2 ബീജഗണിത ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഗ്രൂപ്പാണിത്. നോൺ-ലീനിയർ പ്രക്രിയകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ ലഭിക്കുന്നത് എൻ- ഡൈമൻഷണൽ ഇടങ്ങൾ. ദ്വിമാന പ്രക്രിയകളാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ പഠിച്ചത്. ഒരു നോൺ-ലീനിയർ ആവർത്തന പ്രക്രിയയെ ഒരു വ്യതിരിക്ത ചലനാത്മക സംവിധാനമായി വ്യാഖ്യാനിക്കുമ്പോൾ, ഈ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പദാവലി ഒരാൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം: ഘട്ടം ഛായാചിത്രം, സ്ഥിരതയുള്ള അവസ്ഥ, ആകർഷിക്കുന്നവൻതുടങ്ങിയവ.

നോൺലീനിയർ ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരതയുള്ള നിരവധി അവസ്ഥകളുണ്ടെന്ന് അറിയാം. ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ചലനാത്മക സിസ്റ്റം സ്വയം കണ്ടെത്തുന്ന അവസ്ഥ അതിന്റെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോ സ്ഥിരതയുള്ള അവസ്ഥയ്ക്കും (അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു ആകർഷണം) പ്രാരംഭ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ ഒരു പ്രത്യേക മേഖലയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അന്തിമ അവസ്ഥകളിലേക്ക് വീഴും. അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഘട്ടം ഇടം തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ആകർഷണീയമായ മേഖലകൾആകർഷിക്കുന്നവർ. ഫേസ് സ്പേസ് ദ്വിമാനമാണെങ്കിൽ, ആകർഷണ പ്രദേശങ്ങളെ വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളാൽ വർണ്ണിക്കുന്നതിലൂടെ, ഒരാൾക്ക് ലഭിക്കും വർണ്ണ ഘട്ട ഛായാചിത്രംഈ സംവിധാനം (ആവർത്തന പ്രക്രിയ). കളർ സെലക്ഷൻ അൽഗോരിതം മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ഫാൻസി മൾട്ടി കളർ പാറ്റേണുകളുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ഫ്രാക്റ്റൽ പാറ്റേണുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. പ്രാകൃത അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ നോൺ-ട്രിവിയൽ ഘടനകൾ സൃഷ്ടിക്കാനുള്ള കഴിവ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തി.

ചിത്രം 3. Mandelbrot സെറ്റ്.

ഉദാഹരണമായി, Mandelbrot സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക (Fig.3, Fig.4 കാണുക). ഇതിന്റെ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള അൽഗോരിതം വളരെ ലളിതവും ലളിതമായ ഒരു ആവർത്തന പദപ്രയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതുമാണ്:

Z = Z[ഞാൻ] * Z[i] + സി,

എവിടെ Zഞാൻ ഒപ്പം സിസങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളാണ്. ഓരോ ആരംഭ പോയിന്റിനും ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു സിചതുരാകൃതിയിലുള്ള അല്ലെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശം - സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിന്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗം. വരെ ആവർത്തന പ്രക്രിയ തുടരുന്നു Z[i] ആരം 2 ന്റെ വൃത്തത്തിന് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകില്ല, അതിന്റെ കേന്ദ്രം പോയിന്റിൽ (0,0) സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, (ഇതിനർത്ഥം ചലനാത്മക സംവിധാനത്തിന്റെ ആകർഷണം അനന്തതയിലാണെന്നാണ്) അല്ലെങ്കിൽ ആവശ്യത്തിന് വലിയ ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം (ഉദാഹരണത്തിന്, 200-500) Z[i] സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു. ഏത് സമയത്തെ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു Z[i] സർക്കിളിനുള്ളിൽ തുടർന്നു, നിങ്ങൾക്ക് ഡോട്ടിന്റെ നിറം സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും സി(എങ്കിൽ Z[i] ആവശ്യത്തിന് ധാരാളം ആവർത്തനങ്ങൾക്കായി സർക്കിളിനുള്ളിൽ തുടരുന്നു, ആവർത്തന പ്രക്രിയ നിർത്തുന്നു, ഈ റാസ്റ്റർ പോയിന്റ് കറുത്ത പെയിന്റ് ചെയ്യുന്നു).

ചിത്രം 4. മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റിന്റെ അതിർത്തിയുടെ ഭാഗം, 200 മടങ്ങ് വലുതാക്കി.

മുകളിലെ അൽഗോരിതം, Mandelbrot സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ഏകദേശ കണക്ക് നൽകുന്നു. Mandelbrot സെറ്റിൽ ആ സമയത്ത് പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു അനന്തമായആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നില്ല (പോയിന്റുകൾ കറുപ്പാണ്). സെറ്റിന്റെ അതിർത്തിയിൽ പെടുന്ന പോയിന്റുകൾ (ഇവിടെയാണ് സങ്കീർണ്ണമായ ഘടനകൾ ഉണ്ടാകുന്നത്) പരിമിതമായ ആവർത്തനങ്ങളിൽ അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നു, കൂടാതെ സെറ്റിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ നിരവധി ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം (വെളുത്ത പശ്ചാത്തലം) അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നു.

2.3 സ്ഥായിയായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ മറ്റ് വർഗ്ഗീകരണങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫ്രാക്റ്റലുകളെ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് (ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയവും) നോൺ-ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് (സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക്) ആയി വിഭജിക്കുന്നത്.

ഫ്രാക്റ്റൽ

ഫ്രാക്റ്റൽ (lat. ഫ്രാക്റ്റസ്- ചതഞ്ഞത്, തകർന്നത്, തകർന്നത്) - സ്വയം സാമ്യതയുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപം, അതായത്, ഇത് നിരവധി ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നും മൊത്തത്തിൽ മൊത്തത്തിലുള്ള രൂപത്തിന് സമാനമാണ്. ഗണിതത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റലുകളെ ഇങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കുന്നു ഫ്രാക്ഷണൽ മെട്രിക് ഡൈമൻഷൻ (മിങ്കോവ്സ്കി അല്ലെങ്കിൽ ഹൗസ്ഡോർഫ് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ടോപ്പോളജിക്കൽ അല്ലാത്ത ഒരു മെട്രിക് മാനം ഉള്ള യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടങ്ങൾ. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ പഠിക്കുന്നതിനും കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള ഒരു സ്വതന്ത്ര കൃത്യമായ ശാസ്ത്രമാണ് ഫ്രാക്റ്റാസം.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഡൈമൻഷനുള്ള ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വരിയുടെ അളവ് 1 ആണ്, ഒരു ഏരിയ 2 ആണ്, ഒരു വോളിയം 3 ആണ്. ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിന്, അളവ് മൂല്യം 1 നും 2 നും ഇടയിലോ 2 നും 3 നും ഇടയിലോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, തകർന്ന പേപ്പറിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് പന്ത് ഏകദേശം 2.5 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിന് ഒരു പ്രത്യേക സങ്കീർണ്ണ ഫോർമുലയുണ്ട്. ശ്വാസനാളത്തിന്റെ ട്യൂബുകൾ, മരങ്ങളിലെ ഇലകൾ, കൈകളിലെ സിരകൾ, നദികൾ എന്നിവ ഫ്രാക്റ്റലുകളാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്, അതിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക ഭാഗം വീണ്ടും വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു, വലുപ്പത്തിൽ മാറുന്നു - ഇതാണ് സ്വയം സമാനതയുടെ തത്വം. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ തങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്, അവ എല്ലാ തലങ്ങളിലും (അതായത്, ഏത് സ്കെയിലിലും) തങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്. പല തരത്തിലുള്ള ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉണ്ട്. തത്വത്തിൽ, യഥാർത്ഥ ലോകത്ത് നിലനിൽക്കുന്നതെല്ലാം ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ആണെന്ന് വാദിക്കാം, അത് ഒരു മേഘമായാലും ഓക്സിജൻ തന്മാത്രയായാലും.

"കുഴപ്പം" എന്ന വാക്ക് പ്രവചനാതീതമായ ഒന്നിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, കുഴപ്പങ്ങൾ തികച്ചും ക്രമപ്പെടുത്തുകയും ചില നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ പ്രവചനാതീതവും പൂർണ്ണമായും അരാജകത്വവും തോന്നിയേക്കാവുന്ന പാറ്റേണുകൾ പ്രവചിക്കുക എന്നതാണ് കുഴപ്പങ്ങളും ഫ്രാക്റ്റലുകളും പഠിക്കുന്നതിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം.

ഈ വൈജ്ഞാനിക രംഗത്തെ മുൻനിരക്കാരൻ ഫ്രഞ്ച്-അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പ്രൊഫസർ ബെനോയിറ്റ് ബി. മണ്ടൽബ്രോട്ടാണ്. 1960-കളുടെ മധ്യത്തിൽ അദ്ദേഹം ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, അതിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം തകർന്നതും ചുളിവുകളുള്ളതും അവ്യക്തവുമായ രൂപങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നതായിരുന്നു. "ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന വാക്ക് കേൾക്കുമ്പോൾ ഒരു വ്യക്തിക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന ആദ്യത്തെ കൂട്ടുകെട്ടാണ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്). വഴിയിൽ, ഇംഗ്ലണ്ടിന്റെ തീരപ്രദേശത്തിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് 1.25 ആണെന്ന് മണ്ടൽബ്രോട്ട് നിർണ്ണയിച്ചു.

ശാസ്ത്രത്തിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ കൂടുതലായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവർ വിവരിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ ലോകംപരമ്പരാഗത ഭൗതികശാസ്ത്രത്തേക്കാളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തേക്കാളും മികച്ചത്. ഉദാഹരണത്തിന്, വെള്ളത്തിൽ സസ്പെൻഡ് ചെയ്ത പൊടിപടലങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതവും ക്രമരഹിതവുമായ ചലനമാണ് ബ്രൗണിയൻ ചലനം. ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ഏറ്റവും പ്രായോഗികമായ വശമാണ് ഇത്തരത്തിലുള്ള ചലനം. റാൻഡം ബ്രൗണിയൻ ചലനത്തിന് ഒരു ഫ്രീക്വൻസി പ്രതികരണമുണ്ട്, അത് വലിയ അളവിലുള്ള ഡാറ്റയും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങൾ പ്രവചിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ബ്രൗണിയൻ ചലനം ഉപയോഗിച്ച് കമ്പിളിയുടെ വിലയിലെ മാറ്റങ്ങൾ മണ്ടൽബ്രോട്ട് പ്രവചിച്ചു.

"ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന വാക്ക് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പദമായി മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. പത്രങ്ങളിലെയും ജനപ്രിയ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിലെയും ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഏതെങ്കിലും ഗുണങ്ങളുള്ള കണക്കുകൾ എന്ന് വിളിക്കാം:

എല്ലാ സ്കെയിലുകളിലും നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഒരു ഘടനയുണ്ട്. സാധാരണ രൂപങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം ഇതാണ് (വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, സുഗമമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ്): ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ചെറിയ ശകലം വളരെ വലിയ അളവിൽ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു ശകലം പോലെ കാണപ്പെടും. . ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സൂം ഇൻ ചെയ്യുന്നത് ഘടനയുടെ ലളിതവൽക്കരണത്തിലേക്ക് നയിക്കില്ല, എല്ലാ സ്കെയിലുകളിലും നമ്മൾ തുല്യ സങ്കീർണ്ണമായ ചിത്രം കാണും.

ഇത് സ്വയം സമാനമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം സ്വയം സമാനമാണ്.

ഇതിന് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ മെട്രിക് ഡയമെൻഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഒന്നിനെക്കാൾ മികച്ച ഒരു മെട്രിക് ഡയമെൻഷൻ ഉണ്ട്.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഏറ്റവും ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപയോഗം ഫ്രാക്റ്റൽ ഡാറ്റ കംപ്രഷൻ ആണ്. അതേ സമയം, പരമ്പരാഗത രീതികളാൽ ചെയ്യുന്നതിനേക്കാൾ മികച്ച രീതിയിൽ ചിത്രങ്ങൾ കംപ്രസ്സുചെയ്യുന്നു - 600: 1 വരെ. ഫ്രാക്റ്റൽ കംപ്രഷന്റെ മറ്റൊരു ഗുണം, നിങ്ങൾ സൂം ഇൻ ചെയ്യുമ്പോൾ, ചിത്രത്തെ വഷളാക്കുന്ന പിക്സലേഷൻ ഇഫക്റ്റ് ഇല്ല എന്നതാണ്. മാത്രമല്ല, മാഗ്നിഫിക്കേഷനുശേഷം ഫ്രാക്റ്റലി കംപ്രസ് ചെയ്ത ചിത്രം പലപ്പോഴും മുമ്പത്തേക്കാൾ മികച്ചതായി കാണപ്പെടുന്നു. ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അനന്തമായ സങ്കീർണ്ണതയുടെയും സൗന്ദര്യത്തിന്റെയും ഫ്രാക്റ്റലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും അറിയാം. റിയലിസ്റ്റിക് ലാൻഡ്‌സ്‌കേപ്പ് ഘടകങ്ങൾ (മേഘങ്ങൾ, പാറകൾ, നിഴലുകൾ) സൃഷ്‌ടിക്കുന്നതിന് സിനിമാ വ്യവസായം ഫ്രാക്റ്റൽ ഗ്രാഫിക്‌സ് സാങ്കേതികവിദ്യ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പ്രവാഹങ്ങളിലെ പ്രക്ഷുബ്ധതയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഫ്രാക്റ്റലുകളുമായി നന്നായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവാഹങ്ങളുടെ ചലനാത്മകതയെക്കുറിച്ച് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് അനുവദിക്കുന്നു. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തീജ്വാലകളെ മാതൃകയാക്കാനും കഴിയും. വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ജ്യാമിതി ഉള്ളതിനാൽ പോറസ് മെറ്റീരിയലുകൾ ഫ്രാക്റ്റൽ രൂപത്തിൽ നന്നായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ദൂരത്തേക്ക് ഡാറ്റ കൈമാറാൻ, ഫ്രാക്റ്റൽ ആകൃതിയിലുള്ള ആന്റിനകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് അവയുടെ വലുപ്പവും ഭാരവും വളരെയധികം കുറയ്ക്കുന്നു. പ്രതലങ്ങളുടെ വക്രത വിവരിക്കാൻ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ സംയോജനമാണ് അസമമായ ഉപരിതലത്തിന്റെ സവിശേഷത.

പ്രകൃതിയിലെ പല വസ്തുക്കൾക്കും തീരങ്ങൾ, മേഘങ്ങൾ, വൃക്ഷ കിരീടങ്ങൾ, സ്നോഫ്ലേക്കുകൾ, രക്തചംക്രമണവ്യൂഹം, മനുഷ്യരുടെയോ മൃഗങ്ങളുടെയോ ആൽവിയോളാർ സിസ്റ്റം എന്നിങ്ങനെ ഫ്രാക്റ്റൽ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച് വിമാനത്തിൽ, അവയുടെ സൗന്ദര്യവും ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണ എളുപ്പവും കൊണ്ട് ജനപ്രിയമാണ്.

അസാധാരണമായ ഗുണങ്ങളുള്ള സ്വയം സമാനമായ സെറ്റുകളുടെ ആദ്യ ഉദാഹരണങ്ങൾ 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു (ഉദാഹരണത്തിന്, ബോൾസാനോ ഫംഗ്ഷൻ, വെയർസ്ട്രാസ് ഫംഗ്ഷൻ, കാന്റർ സെറ്റ്). "ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന പദം 1975-ൽ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ടാണ് അവതരിപ്പിച്ചത്, 1977-ൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന പുസ്തകം പുറത്തിറങ്ങിയതോടെ വലിയ ജനപ്രീതി നേടി.

ഇടതുവശത്തുള്ള ചിത്രം ലളിതമായ ഉദാഹരണമായി ഒരു ഡാരർ പെന്റഗൺ ഫ്രാക്റ്റൽ കാണിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു കൂട്ടം പെന്റഗണുകൾ ഒരുമിച്ച് ഞെക്കിയതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഒരു പെന്റഗണിനെ ഒരു ഇനീഷ്യേറ്ററും ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് രൂപപ്പെടുന്നത്, ഏറ്റവും വലിയ വശവും ഏറ്റവും ചെറുതും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സുവർണ്ണ അനുപാതം (1.618033989 അല്ലെങ്കിൽ 1/(2cos72°)) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ജനറേറ്റർ. ഈ ത്രികോണങ്ങൾ ഓരോ പെന്റഗണിന്റെയും മധ്യത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ചതാണ്, അതിന്റെ ഫലമായി 5 ചെറിയ പെന്റഗണുകൾ ഒരു വലിയ ഒന്നിൽ ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ നോൺ-ലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങൾ പാരമ്പര്യമായി പ്രവചനാതീതമാണെന്ന് ചാവോസ് സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, എന്നാൽ അതേ സമയം അത്തരം പ്രവചനാതീതമായ സംവിധാനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന രീതി ശരിയായ തുല്യതയിലല്ല, മറിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിലാണ് ശരിയെന്ന് അത് അവകാശപ്പെടുന്നു - വിചിത്രമായ ആകർഷണങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളിൽ. ഫ്രാക്റ്റലുകൾ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ പലരും പ്രവചനാതീതമായി കരുതുന്ന അരാജക സിദ്ധാന്തം ഏറ്റവും അസ്ഥിരമായ സംവിധാനങ്ങളിൽ പോലും പ്രവചനാതീതതയുടെ ശാസ്ത്രമായി മാറുന്നു. ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം അരാജക സ്വഭാവം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം കാണിക്കുന്നു, അതിൽ സിസ്റ്റം ഒരിക്കലും സ്ഥിരതയുള്ള അവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നില്ല, ഒരേ സമയം ക്രമം ദൃശ്യമാകില്ല. പലപ്പോഴും അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങൾ ഒരു കീ പാരാമീറ്ററിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം വരെ സാധാരണമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, തുടർന്ന് കൂടുതൽ വികസനത്തിന് രണ്ട് സാധ്യതകളുള്ള ഒരു പരിവർത്തനം അനുഭവിക്കുക, തുടർന്ന് നാലെണ്ണം, ഒടുവിൽ ക്രമരഹിതമായ ഒരു കൂട്ടം സാധ്യതകൾ.

സാങ്കേതിക വസ്തുക്കളിൽ സംഭവിക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുടെ സ്കീമുകൾക്ക് വ്യക്തമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഫ്രാക്റ്റൽ ഘടനയുണ്ട്. മിനിമം സാങ്കേതിക സംവിധാനത്തിന്റെ (ടിഎസ്) ഘടന രണ്ട് തരം പ്രക്രിയകളുടെ ടിഎസിനുള്ളിലെ ഒഴുക്കിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - പ്രധാനവും പിന്തുണയ്ക്കുന്നവയും, ഈ വിഭജനം സോപാധികവും ആപേക്ഷികവുമാണ്. പിന്തുണയ്ക്കുന്നവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏത് പ്രക്രിയയും പ്രധാനമാകാം, കൂടാതെ "അവരുടെ" പിന്തുണയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏതെങ്കിലും പിന്തുണയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയകൾ പ്രധാനമായി കണക്കാക്കാം. ഡയഗ്രാമിലെ സർക്കിളുകൾ ആ പ്രക്രിയകളുടെ ഒഴുക്ക് ഉറപ്പാക്കുന്ന ശാരീരിക ഇഫക്റ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇതിനായി പ്രത്യേകം "സ്വന്തം" TS സൃഷ്ടിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പദാർത്ഥങ്ങൾ, ഫീൽഡുകൾ, പദാർത്ഥങ്ങൾ, ഫീൽഡുകൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമാണ് ഈ പ്രക്രിയകൾ. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഭൗതിക പ്രഭാവം ഒരു വാഹനമാണ്, അതിന്റെ തത്വം നമുക്ക് സ്വാധീനിക്കാൻ കഴിയില്ല, മാത്രമല്ല അതിന്റെ ഘടനയിൽ ഇടപെടാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ അവസരമില്ല.

ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രധാന പ്രക്രിയയുടെ ഒഴുക്ക്, അവയെ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ടിഎസിനുള്ള പ്രധാനമായ മൂന്ന് പിന്തുണാ പ്രക്രിയകളുടെ അസ്തിത്വം ഉറപ്പാക്കുന്നു. നീതിക്കുവേണ്ടി, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ TS ന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് പോലും, മൂന്ന് പ്രക്രിയകൾ പര്യാപ്തമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്. പദ്ധതി വളരെ വളരെ അതിശയോക്തിപരമാണ്.

ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ എല്ലാം ലളിതമല്ല. ഉപയോഗപ്രദമായ ( ഒരു വ്യക്തിക്ക് ആവശ്യമാണ്) പ്രക്രിയ 100% കാര്യക്ഷമതയോടെ നടത്താൻ കഴിയില്ല. ചിതറിപ്പോയ ഊർജ്ജം ദോഷകരമായ പ്രക്രിയകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനാണ് ചെലവഴിക്കുന്നത് - ചൂടാക്കൽ, വൈബ്രേഷൻ മുതലായവ. തൽഫലമായി, പ്രയോജനകരമായ പ്രക്രിയയ്ക്ക് സമാന്തരമായി, ദോഷകരമായവ ഉയർന്നുവരുന്നു. "മോശം" പ്രക്രിയയെ "നല്ലത്" ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല, അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന് ഹാനികരമായ അനന്തരഫലങ്ങൾ നികത്താൻ പുതിയ പ്രക്രിയകൾ സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഘർഷണത്തെ ചെറുക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയാണ് ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം, ഇത് സമർത്ഥമായ ലൂബ്രിക്കേഷൻ സ്കീമുകൾ സംഘടിപ്പിക്കാനും വിലകൂടിയ ഘർഷണ വിരുദ്ധ വസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിക്കാനും അല്ലെങ്കിൽ ഘടകങ്ങളും ഭാഗങ്ങളും ലൂബ്രിക്കേറ്റുചെയ്യുന്നതിനോ ഇടയ്ക്കിടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനോ സമയം ചെലവഴിക്കുന്നു.

മാറ്റാവുന്ന ഒരു പരിസ്ഥിതിയുടെ അനിവാര്യമായ സ്വാധീനത്തിന്റെ അസ്തിത്വവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു പ്രക്രിയ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതായി വന്നേക്കാം. ഓട്ടോമാറ്റിക് ഉപകരണങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയും ഒരു വ്യക്തി നേരിട്ടും മാനേജ്മെന്റ് നടത്താം. പ്രോസസ് ഡയഗ്രം യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രത്യേക കമാൻഡുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അതായത്. അൽഗോരിതം. ഓരോ കമാൻഡിന്റെയും സാരാംശം (വിവരണം) ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരൊറ്റ പ്രക്രിയ, ദോഷകരമായ പ്രക്രിയകൾ, ആവശ്യമായ നിയന്ത്രണ പ്രക്രിയകൾ എന്നിവയുടെ സംയോജനമാണ്. അത്തരമൊരു അൽഗോരിതത്തിൽ, പിന്തുണയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഒരു സാധാരണ സബ്റൂട്ടീൻ ആണ് - ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരു ഫ്രാക്റ്റലും കണ്ടെത്തുന്നു. കാൽ നൂറ്റാണ്ട് മുമ്പ് സൃഷ്ടിച്ച R. കോളറിന്റെ രീതി, 12 ജോഡി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ (പ്രക്രിയകൾ) പരിമിതമായ സെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അസാധാരണ ഗുണങ്ങളുള്ള സ്വയം സമാനമായ സെറ്റുകൾ

തുടങ്ങി അവസാനം XIXനൂറ്റാണ്ട്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ക്ലാസിക്കൽ വിശകലനത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പാത്തോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളുള്ള സ്വയം സമാനമായ വസ്തുക്കളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

കാന്റർ സെറ്റ് ഒരിടത്തും ഇടതൂർന്ന എണ്ണമറ്റ പെർഫെക്റ്റ് സെറ്റാണ്. നടപടിക്രമം പരിഷ്‌ക്കരിക്കുന്നതിലൂടെ, പോസിറ്റീവ് ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഒരിടത്തും ഇടതൂർന്ന സെറ്റ് നേടാനും കഴിയും.

സിയർപിൻസ്കി ത്രികോണവും ("ടേബിൾക്ലോത്ത്") സിയർപിൻസ്കി പരവതാനിയും വിമാനത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന കാന്ററിന്റെ അനലോഗ് ആണ്.

മെംഗറുടെ സ്പോഞ്ച് - ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന കാന്ററിന്റെ ഒരു അനലോഗ്;

വെയർസ്ട്രാസിന്റെയും വാൻ ഡെർ വേർഡന്റെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ എവിടെയും വ്യത്യസ്തമായ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

കോച്ച് കർവ് - ഒരു ഘട്ടത്തിലും സ്പർശനമില്ലാത്ത അനന്തമായ ദൈർഘ്യമുള്ള സ്വയം വിഭജിക്കപ്പെടാത്ത തുടർച്ചയായ വക്രം;

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ എല്ലാ ബിന്ദുകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന തുടർച്ചയായ വക്രമാണ് പീനോ കർവ്.

ഒരു ബ്രൗണിയൻ കണത്തിന്റെ പാതയും പ്രോബബിലിറ്റി 1 കൊണ്ട് എവിടെയും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതിന്റെ Hausdorff അളവ് രണ്ടാണ്

ഫ്രാക്റ്റൽ കർവുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള ആവർത്തന നടപടിക്രമം

കൊച്ച് വളവിന്റെ നിർമ്മാണം

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഫ്രാക്റ്റൽ കർവുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന് ലളിതമായ ഒരു ആവർത്തന നടപടിക്രമമുണ്ട്. ജനറേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പരിമിതമായ ലിങ്കുകളുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ തകർന്ന വരി ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അതിലെ ഓരോ സെഗ്മെന്റും ഒരു ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ജനറേറ്ററിന് സമാനമായ ഒരു തകർന്ന ലൈൻ). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തകർന്ന ലൈനിൽ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഓരോ സെഗ്മെന്റും ഒരു ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അനന്തതയിലേക്ക് തുടരുമ്പോൾ, പരിധിയിൽ നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ കർവ് ലഭിക്കും. വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രം കോച്ച് കർവിനായുള്ള ഈ നടപടിക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ നാല് ഘട്ടങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

അത്തരം വളവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാണ്:

ഡ്രാഗൺ കർവ്,

കോച്ച് കർവ് (കൊച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക്),

ലെവി കർവ്,

മിങ്കോവ്സ്കി കർവ്,

ഹിൽബർട്ട് കർവ്,

ബ്രോക്കൺ (കർവ്) ഡ്രാഗൺ (ഫ്രാക്ടൽ ഹാർട്ടർ-ഹേറ്റ്‌വേ),

പീനോ വളവ്.

സമാനമായ ഒരു നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു പൈതഗോറിയൻ വൃക്ഷം ലഭിക്കും.

സങ്കോച മാപ്പിംഗുകളുടെ ഫിക്സഡ് പോയിന്റുകളായി ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

സ്വയം സാമ്യതയുള്ള സ്വത്ത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കർശനമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. വിമാനത്തിന്റെ സങ്കോച ഭൂപടങ്ങളാകട്ടെ. വിമാനത്തിന്റെ എല്ലാ കോം‌പാക്റ്റ് (അടച്ചതും അതിരുകളുള്ളതുമായ) ഉപവിഭാഗങ്ങളുടെ സെറ്റിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന മാപ്പിംഗ് പരിഗണിക്കുക:

ഹൗസ്‌ഡോർഫ് മെട്രിക് ഉപയോഗിച്ച് കോം‌പാക്റ്റ് സെറ്റുകളുടെ സെറ്റിലെ ഒരു സങ്കോച മാപ്പിംഗ് ആണ് മാപ്പിംഗ് എന്ന് കാണിക്കാം. അതിനാൽ, ബനാച്ചിന്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ മാപ്പിംഗിന് സവിശേഷമായ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുണ്ട്. ഈ നിശ്ചിത പോയിന്റ് നമ്മുടെ ഫ്രാക്റ്റൽ ആയിരിക്കും.

മുകളിൽ വിവരിച്ച ഫ്രാക്റ്റൽ കർവുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള ആവർത്തന നടപടിക്രമം ഈ നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്. അതിൽ, എല്ലാ മാപ്പിംഗുകളും സമാന മാപ്പിംഗുകളാണ്, ജനറേറ്റർ ലിങ്കുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

സിയർപിൻസ്കി ത്രികോണത്തിനും മാപ്പിംഗിനും, , ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷകങ്ങളിൽ കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള ഹോമോതെറ്റികളും 1/2 ഗുണകവുമാണ്. മാപ്പിംഗിന് കീഴിൽ സിയർപിൻസ്കി ത്രികോണം സ്വയം രൂപാന്തരപ്പെടുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

മാപ്പിംഗുകൾ ഗുണകങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളാണെങ്കിൽ, ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ അളവ് (ചില അധിക സാങ്കേതിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ) സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമായി കണക്കാക്കാം. അതിനാൽ, സിയർപിൻസ്കി ത്രികോണത്തിന് നമുക്ക് ലഭിക്കും .

അതേ ബനാച്ച് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഏതെങ്കിലും കോം‌പാക്റ്റ് സെറ്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് അതിൽ ഭൂപടത്തിന്റെ ആവർത്തനങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, കോം‌പാക്റ്റ് സെറ്റുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നമ്മുടെ ഫ്രാക്റ്റലിലേക്ക് (ഹൗസ്‌ഡോർഫ് മെട്രിക് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ) ഒത്തുചേരുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ ചലനാത്മകതയിലെ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ജൂലിയ സെറ്റ്

ജൂലിയയുടെ മറ്റൊരു കൂട്ടം

രേഖീയമല്ലാത്ത ചലനാത്മക സംവിധാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ സ്വാഭാവികമായും ഉണ്ടാകുന്നു. വിമാനത്തിലെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പോളിനോമിയൽ അല്ലെങ്കിൽ ഹോളോമോർഫിക് ഫംഗ്‌ഷൻ ആവർത്തിച്ച് ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റത്തെ നിർവചിക്കുമ്പോഴാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ പഠിക്കപ്പെട്ട കേസ്. ഈ മേഖലയിലെ ആദ്യ പഠനങ്ങൾ ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആരംഭം മുതൽ ഫാറ്റൂ, ജൂലിയ എന്നിവരുടെ പേരുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

അനുവദിക്കുക എഫ്(z) - ബഹുപദം, z 0 ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം പരിഗണിക്കുക: z 0 , z 1 =എഫ്(z 0), z 2 =എഫ്(എഫ്(z 0)) = എഫ്(z 1),z 3 =എഫ്(എഫ്(എഫ്(z 0)))=എഫ്(z 2), …

ഞങ്ങൾ പ്രവണത കാണിക്കുന്നതുപോലെ ഈ ശ്രേണിയുടെ പെരുമാറ്റത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് എൻഅനന്തതയിലേയ്ക്ക്. ഈ ശ്രേണിക്ക് കഴിയും:

അനന്തതയ്ക്കായി പരിശ്രമിക്കുക

ആത്യന്തികമായി പരിശ്രമിക്കുക

പരിധിയിൽ ചാക്രിക സ്വഭാവം പ്രകടിപ്പിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

അരാജകമായി പെരുമാറുക, അതായത്, പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്ന മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള പെരുമാറ്റങ്ങളിലൊന്നും പ്രകടിപ്പിക്കരുത്.

മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം z 0 , അതിനായി ക്രമം ഒരു പ്രത്യേക തരം പെരുമാറ്റം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ വ്യത്യസ്ത തരങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള വിഭജന പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റുകൾക്ക് പലപ്പോഴും ഫ്രാക്റ്റൽ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

അങ്ങനെ, ജൂലിയ സെറ്റ് എന്നത് ബഹുപദത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകളുടെ ഗണമാണ് എഫ്(z)=z 2 +സി(അല്ലെങ്കിൽ സമാനമായ മറ്റ് പ്രവർത്തനം), അതായത്, ആ മൂല്യങ്ങൾ z 0 , അതിനായി ക്രമത്തിന്റെ സ്വഭാവം ( z എൻ) അനിയന്ത്രിതമായ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നാടകീയമായി മാറാൻ കഴിയും z 0 .

ഫ്രാക്റ്റൽ സെറ്റുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ പോളിനോമിയലിൽ ഒരു പരാമീറ്റർ അവതരിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് എഫ്(z) കൂടാതെ ആ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റ് പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ( z എൻ) സ്ഥിരതയ്ക്കായി ഒരു നിശ്ചിത സ്വഭാവം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു z 0 . അതിനാൽ, മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് എല്ലാറ്റിന്റെയും കൂട്ടമാണ് ( z എൻ) വേണ്ടി എഫ്(z)=z 2 +സിഒപ്പം z 0 അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നില്ല.

മറ്റൊന്ന് പ്രശസ്തമായ ഉദാഹരണംഇത്തരത്തിലുള്ളവ ന്യൂട്ടന്റെ കുളങ്ങളാണ്.

അനുബന്ധ ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് പ്ലെയിൻ പോയിന്റുകൾ കളറിംഗ് ചെയ്തുകൊണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ ചലനാത്മകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മനോഹരമായ ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് ജനപ്രിയമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, Mandelbrot സെറ്റിനെ പൂരകമാക്കുന്നതിന്, പരിശ്രമത്തിന്റെ വേഗതയെ ആശ്രയിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പോയിന്റുകൾക്ക് നിറം നൽകാം ( z എൻ) അനന്തതയിലേക്ക് (നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, പറയുക, ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയായി എൻ, എവിടെ | z എൻ| ഒരു നിശ്ചിത വലിയ മൂല്യം കവിയുന്നു എ.

സങ്കീർണ്ണമായ ചലനാത്മകതയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർമ്മിച്ചതും ജീവജാലങ്ങളോട് സാമ്യമുള്ളതുമായ ഫ്രാക്റ്റലുകളാണ് ബയോമോർഫുകൾ.

സ്ഥായിയായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ

ജൂലിയ സെറ്റിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്രമരഹിതമായ ഫ്രാക്റ്റൽ

സ്വാഭാവിക വസ്തുക്കൾക്ക് പലപ്പോഴും ഫ്രാക്റ്റൽ ആകൃതിയുണ്ട്. അവയുടെ മോഡലിംഗിനായി, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് (റാൻഡം) ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

വിമാനത്തിലും ബഹിരാകാശത്തും ബ്രൗണിയൻ ചലനത്തിന്റെ പാത;

വിമാനത്തിലെ ബ്രൗണിയൻ ചലനത്തിന്റെ പാതയുടെ അതിർത്തി. 2001-ൽ, ലോലർ, ഷ്റാം, വെർണർ എന്നിവർ മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ അനുമാനം 4/3 ആണെന്ന് തെളിയിച്ചു.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മെക്കാനിക്സിന്റെ നിർണായക ദ്വിമാന മോഡലുകളിൽ ഉദിക്കുന്ന അനുരൂപമായ മാറ്റമില്ലാത്ത ഫ്രാക്റ്റൽ കർവുകളാണ് ഷ്റാം-ലോണർ പരിണാമങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഐസിംഗ് മോഡലിലും പെർകോലേഷനിലും.

വിവിധ തരം ക്രമരഹിതമായ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ, അതായത്, ഒരു ആവർത്തന നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഫ്രാക്റ്റലുകൾ, അതിൽ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ക്രമരഹിതമായ പാരാമീറ്റർ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ അത്തരമൊരു ഫ്രാക്റ്റൽ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണമാണ് പ്ലാസ്മ.

പ്രകൃതിയിൽ

ശ്വാസനാളത്തിന്റെയും ബ്രോങ്കിയുടെയും മുൻ കാഴ്ച

ബ്രോങ്കിയൽ മരം

രക്തക്കുഴലുകളുടെ ശൃംഖല

അപേക്ഷ

പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, പ്രക്ഷുബ്ധമായ ദ്രാവക പ്രവാഹം, സങ്കീർണ്ണമായ വ്യാപനം-അഡ്സോർപ്ഷൻ പ്രക്രിയകൾ, തീജ്വാലകൾ, മേഘങ്ങൾ മുതലായവ പോലെയുള്ള രേഖീയമല്ലാത്ത പ്രക്രിയകളെ മാതൃകയാക്കുമ്പോൾ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ സ്വാഭാവികമായും ഉണ്ടാകുന്നു. സുഷിര പദാർത്ഥങ്ങൾ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പെട്രോകെമിസ്ട്രിയിൽ. ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ, ജനസംഖ്യയെ മാതൃകയാക്കാനും ആന്തരിക അവയവങ്ങളുടെ (രക്തക്കുഴലുകളുടെ സംവിധാനം) സംവിധാനങ്ങൾ വിവരിക്കാനും അവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റേഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗ്

ഫ്രാക്റ്റൽ ആന്റിനകൾ

ആന്റിന ഉപകരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെ ഉപയോഗം ആദ്യം പ്രയോഗിച്ചത് അമേരിക്കൻ എഞ്ചിനീയർ നഥാൻ കോഹനാണ്, അദ്ദേഹം പിന്നീട് ബോസ്റ്റൺ നഗരത്തിൽ താമസിച്ചിരുന്നു, അവിടെ കെട്ടിടങ്ങളിൽ ബാഹ്യ ആന്റിനകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചിരുന്നു. നാഥൻ അലുമിനിയം ഫോയിലിൽ നിന്ന് ഒരു കോച്ച് കർവിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു രൂപം മുറിച്ച് ഒരു കടലാസിൽ ഒട്ടിച്ചു, തുടർന്ന് അത് റിസീവറിൽ ഘടിപ്പിച്ചു. കോഹൻ സ്വന്തം കമ്പനി സ്ഥാപിക്കുകയും അവരുടെ സീരിയൽ നിർമ്മാണം ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്തു.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്

ഇമേജ് കംപ്രഷൻ

പ്രധാന ലേഖനം: ഫ്രാക്റ്റൽ കംപ്രഷൻ അൽഗോരിതം

ഫ്രാക്റ്റൽ മരം

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇമേജ് കംപ്രഷൻ അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉണ്ട്. ചിത്രത്തിനുപകരം, ഈ ചിത്രം (അല്ലെങ്കിൽ അതിനടുത്തുള്ള ചിലത്) ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റായ ഒരു സങ്കോച മാപ്പ് നിങ്ങൾക്ക് സംഭരിക്കാൻ കഴിയും എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് അവ. ഈ അൽഗോരിതത്തിന്റെ വകഭേദങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ചു [ ഉറവിടം വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല 895 ദിവസം] മൈക്രോസോഫ്റ്റ് അതിന്റെ വിജ്ഞാനകോശം പ്രസിദ്ധീകരിക്കുമ്പോൾ, എന്നാൽ ഈ അൽഗോരിതങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല.

കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്

മറ്റൊരു ഫ്രാക്റ്റൽ മരം

മരങ്ങൾ, കുറ്റിക്കാടുകൾ, പർവത ഭൂപ്രകൃതികൾ, കടൽ പ്രതലങ്ങൾ തുടങ്ങിയ പ്രകൃതിദത്ത വസ്തുക്കളുടെ ചിത്രങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫ്രാക്റ്റൽ ഇമേജുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ ധാരാളം പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഫ്രാക്റ്റൽ ജനറേറ്റർ (പ്രോഗ്രാം) കാണുക.

വികേന്ദ്രീകൃത നെറ്റ്‌വർക്കുകൾ

നെറ്റ്‌സുകുക്കുവിന്റെ ഐപി അഡ്രസ് അസൈൻമെന്റ് സിസ്റ്റം നെറ്റ്‌വർക്ക് നോഡുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ സംഭരിക്കാൻ ഫ്രാക്റ്റൽ ഇൻഫർമേഷൻ കംപ്രഷൻ തത്വം ഉപയോഗിക്കുന്നു. Netsukuku നെറ്റ്‌വർക്കിലെ ഓരോ നോഡും അയൽ നോഡുകളുടെ നിലയെക്കുറിച്ചുള്ള 4 KB വിവരങ്ങൾ മാത്രമേ സംഭരിക്കുന്നുള്ളൂ, അതേസമയം ഏതൊരു പുതിയ നോഡും IP വിലാസങ്ങളുടെ വിതരണത്തിന്റെ കേന്ദ്ര നിയന്ത്രണത്തിന്റെ ആവശ്യമില്ലാതെ തന്നെ പൊതു നെറ്റ്‌വർക്കിലേക്ക് കണക്റ്റുചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് സാധാരണമാണ്. ഇന്റർനെറ്റ്. അതിനാൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ ഇൻഫർമേഷൻ കംപ്രഷൻ തത്വം പൂർണ്ണമായും വികേന്ദ്രീകൃതവും അതിനാൽ മുഴുവൻ നെറ്റ്‌വർക്കിന്റെയും ഏറ്റവും സ്ഥിരതയുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന് ഉറപ്പ് നൽകുന്നു.

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ഏകദേശം ഒരു നൂറ്റാണ്ടായി അറിയപ്പെടുന്നു, നന്നായി പഠിക്കുകയും ജീവിതത്തിൽ നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഈ പ്രതിഭാസം വളരെ ലളിതമായ ഒരു ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് താരതമ്യേന ലളിതമായ ഘടനകളിൽ നിന്ന് സൗന്ദര്യത്തിലും വൈവിധ്യത്തിലും അനന്തമായ കണക്കുകൾ ലഭിക്കും - പകർത്തലും സ്കെയിലിംഗും.

ഈ ആശയത്തിന് കർശനമായ നിർവചനം ഇല്ല. അതിനാൽ, "ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന വാക്ക് ഒരു ഗണിത പദമല്ല. സാധാരണയായി വിളിക്കാറുണ്ട് ജ്യാമിതീയ രൂപം, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ഗുണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:

ഏത് മാഗ്നിഫിക്കേഷനിലും സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഘടനയുണ്ട്;
(ഏകദേശം) സ്വയം സമാനമാണ്;
ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഹൗസ്ഡോർഫ് (ഫ്രാക്റ്റൽ) അളവ് ഉണ്ട്, അത് ടോപ്പോളജിക്കൽ ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാണ്;
ആവർത്തന നടപടിക്രമങ്ങൾ വഴി നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

19-ഉം 20-ഉം നൂറ്റാണ്ടുകളുടെ തുടക്കത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ചിട്ടയായതിനേക്കാൾ എപ്പിസോഡിക് ആയിരുന്നു, കാരണം മുൻകാല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രധാനമായും പഠിച്ചത് "നല്ല" വസ്തുക്കളെ ഉപയോഗിച്ചാണ്. സാധാരണ രീതികൾസിദ്ധാന്തങ്ങളും. 1872-ൽ, ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ കാൾ വെയർസ്ട്രാസ് ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നിർമ്മിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, അതിന്റെ നിർമ്മാണം പൂർണ്ണമായും അമൂർത്തവും മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതുമായിരുന്നു. അതിനാൽ, 1904-ൽ, സ്വീഡൻ ഹെൽജ് വോൺ കോച്ച് ഒരു തുടർച്ചയായ വക്രം കൊണ്ടുവന്നു, അത് എവിടെയും സ്പർശനമില്ല, അത് വരയ്ക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഇതിന് ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിന്റെ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറി. ഈ വക്രതയുടെ ഒരു വ്യതിയാനത്തെ കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ബിനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ ഭാവി ഉപദേഷ്ടാവായ ഫ്രഞ്ചുകാരനായ പോൾ പിയറി ലെവിയാണ് രൂപങ്ങളുടെ സ്വയം സമാനതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തത്. 1938-ൽ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ലേഖനം "പ്ലെയ്ൻ ആൻഡ് സ്പേഷ്യൽ കർവുകളും ഉപരിതലങ്ങളും മൊത്തത്തിൽ സമാനമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു" എന്ന ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിൽ മറ്റൊരു ഫ്രാക്റ്റൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു - ലെവി സി-കർവ്. മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഫ്രാക്റ്റലുകളും ഒരു ക്ലാസ് കൺസ്ട്രക്റ്റീവ് (ജ്യാമിതീയ) ഫ്രാക്റ്റലുകളിലേക്ക് സോപാധികമായി ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാം.

മറ്റൊരു ക്ലാസ് ഡൈനാമിക് (ബീജഗണിതം) ഫ്രാക്റ്റലുകളാണ്, അതിൽ മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റ് ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ ദിശയിലുള്ള ആദ്യ പഠനങ്ങൾ 20-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആരംഭം മുതൽ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ഗാസ്റ്റൺ ജൂലിയ, പിയറി ഫാറ്റൂ എന്നിവരുടെ പേരുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. 1918-ൽ, ജൂലിയയുടെ കൃതിയുടെ ഇരുനൂറോളം പേജുകൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, സങ്കീർണ്ണമായ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആവർത്തനങ്ങൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ജൂലിയ സെറ്റുകൾ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു - മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ഒരു കുടുംബം. ഈ കൃതിക്ക് ഫ്രഞ്ച് അക്കാദമിയുടെ സമ്മാനം ലഭിച്ചു, പക്ഷേ അതിൽ ഒരു ചിത്രവും അടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതിനാൽ കണ്ടെത്തിയ വസ്തുക്കളുടെ സൗന്ദര്യത്തെ വിലമതിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ കൃതി ജൂലിയയെ അക്കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കിടയിൽ പ്രശസ്തനാക്കി എന്ന വസ്തുത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത് പെട്ടെന്ന് മറന്നുപോയി.

അരനൂറ്റാണ്ടിനുശേഷം, കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ ആവിർഭാവത്തോടെ, ജൂലിയയുടെയും ഫാറ്റൂവിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ തിരിയുന്നു: ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ലോകത്തിന്റെ സമൃദ്ധിയും സൗന്ദര്യവും ദൃശ്യമാക്കിയത് അവരാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, Mandelbrot സെറ്റിന്റെ ചിത്രങ്ങളായി നമ്മൾ ഇപ്പോൾ അറിയുന്ന ചിത്രങ്ങൾ ഫാറ്റൂവിന് ഒരിക്കലും കാണാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വമേധയാ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഇതിനായി ആദ്യമായി കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിച്ചത് ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ടാണ്.

1982-ൽ, മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ "ദി ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി ഓഫ് നേച്ചർ" എന്ന പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിൽ അക്കാലത്ത് ലഭ്യമായ ഫ്രാക്റ്റലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള മിക്കവാറും എല്ലാ വിവരങ്ങളും രചയിതാവ് ശേഖരിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും എളുപ്പത്തിലും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന രീതിയിലും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. മണ്ടൽബ്രോട്ട് തന്റെ അവതരണത്തിൽ പ്രധാന ഊന്നൽ നൽകിയത് അതിശയകരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും ഗണിത ഘടനയിലുമല്ല, മറിച്ച് വായനക്കാരുടെ ജ്യാമിതീയ അവബോധത്തിലാണ്. കമ്പ്യൂട്ടർ സൃഷ്ടിച്ച ചിത്രീകരണങ്ങൾക്കും ചരിത്രപരമായ കഥകൾക്കും നന്ദി, രചയിതാവ് മോണോഗ്രാഫിന്റെ ശാസ്ത്രീയ ഘടകത്തെ സമർത്ഥമായി നേർപ്പിച്ചതിനാൽ, പുസ്തകം ബെസ്റ്റ് സെല്ലറായി മാറി, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ പൊതുജനങ്ങൾക്ക് അറിയപ്പെട്ടു. ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് പോലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന വളരെ ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും സഹായത്തോടെ, അതിശയകരമായ സങ്കീർണ്ണതയുടെയും സൗന്ദര്യത്തിന്റെയും ചിത്രങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരല്ലാത്തവർക്കിടയിൽ അവരുടെ വിജയത്തിന് പ്രധാന കാരണം. പേഴ്സണൽ കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ വേണ്ടത്ര ശക്തമാകുമ്പോൾ, കലയിൽ ഒരു മുഴുവൻ പ്രവണത പോലും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു - ഫ്രാക്റ്റൽ പെയിന്റിംഗ്, മിക്കവാറും ഏത് കമ്പ്യൂട്ടർ ഉടമയ്ക്കും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഇപ്പോൾ ഇന്റർനെറ്റിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ വിഷയത്തിനായി സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന നിരവധി സൈറ്റുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

NNN ന്റെ എഡിറ്റർമാർ ആകസ്മികമായി വളരെ ഇടറിപ്പോയി രസകരമായ കാര്യങ്ങൾ, xtsarx എന്ന ഉപയോക്താവിന്റെ ബ്ലോഗിൽ അവതരിപ്പിച്ചു, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾക്കായി സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഫ്രാക്റ്റലുകൾഅതിന്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗവും. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, നാനോസിസ്റ്റംസിന്റെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും രസതന്ത്രത്തിലും ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ സിദ്ധാന്തം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഈ സോളിഡ് മെറ്റീരിയലിലേക്ക് ഞങ്ങളുടെ സംഭാവനകൾ നൽകി, വിശാലമായ വായനക്കാർക്ക് ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന ഭാഷയിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ധാരാളം ഗ്രാഫിക്, വീഡിയോ മെറ്റീരിയലുകൾ പിന്തുണയ്ക്കുകയും ചെയ്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇത് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെടുത്തുന്നു. NNN വായനക്കാർക്ക് ഈ മെറ്റീരിയൽ രസകരമായി തോന്നുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

പ്രകൃതി വളരെ നിഗൂഢമാണ്, നിങ്ങൾ അത് പഠിക്കുന്തോറും കൂടുതൽ ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു ... രാത്രി മിന്നൽ - ശാഖിതമായ ഡിസ്ചാർജുകളുടെ നീല "അരുവികൾ", ജാലകത്തിലെ തണുത്തുറഞ്ഞ പാറ്റേണുകൾ, സ്നോഫ്ലേക്കുകൾ, പർവതങ്ങൾ, മേഘങ്ങൾ, മരത്തിന്റെ പുറംതൊലി - ഇതെല്ലാം പതിവിലും കവിയുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി. വരകളും വൃത്തങ്ങളും ത്രികോണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ദ്വീപിന്റെ കല്ലുകളോ അതിരുകളോ വിവരിക്കാനാവില്ല. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു ഫ്രാക്റ്റലുകൾ. എന്താണ് ഈ പരിചിത അപരിചിതർ?

“ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ, അവൻ അത് ഒരു ചെള്ളിൽ കണ്ടെത്തി
കടിക്കുന്ന ചെള്ള് ഒരു ചെള്ളിൽ വസിക്കുന്നു;
ആ ചെള്ളിൽ ഒരു ചെറിയ ചെള്ളുണ്ട്,
ദേഷ്യത്തോടെ ഒരു ചെള്ളിൽ പല്ല് ഒട്ടിക്കുന്നു
ചെള്ള്, അങ്ങനെ അനന്തമായി. ഡി സ്വിഫ്റ്റ്.

അൽപ്പം ചരിത്രം

ആദ്യ ആശയങ്ങൾ ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഉത്ഭവിച്ചു. കാന്റർ, ഒരു ലളിതമായ ആവർത്തന (ആവർത്തന) നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച്, വരിയെ ബന്ധിപ്പിക്കാത്ത പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാക്കി മാറ്റി (കാൻറ്റർ ഡസ്റ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ). അവൻ ലൈൻ എടുത്ത് സെൻട്രൽ മൂന്നാമത്തേത് നീക്കംചെയ്‌തു, തുടർന്ന് ശേഷിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റുകളിലും അത് ആവർത്തിച്ചു.

അരി. 1. പീനോ കർവ് 1.2-5 ആവർത്തനങ്ങൾ.

പീനോ വരച്ചു പ്രത്യേക തരംലൈനുകൾ. പീനോ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്തു: ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, അദ്ദേഹം ഒരു നേർരേഖ എടുത്ത് യഥാർത്ഥ വരിയുടെ നീളത്തേക്കാൾ 3 മടങ്ങ് കുറവുള്ള 9 സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വരിയുടെ ഓരോ സെഗ്‌മെന്റിലും അദ്ദേഹം അത് ചെയ്തു. അങ്ങനെ പരസ്യ അനന്തമായി. വിമാനം മുഴുവൻ നിറയുന്നു എന്നതാണ് ഇതിന്റെ പ്രത്യേകത. വിമാനത്തിലെ ഓരോ പോയിന്റിനും പിയാനോ രേഖയിൽ പെട്ട ഒരു പോയിന്റ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. പീനോയുടെ വക്രവും കാന്ററിന്റെ പൊടിയും സാധാരണ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോയി. അവയുടെ വലിപ്പം വ്യക്തമായിരുന്നില്ല.. കാന്ററിന്റെ പൊടി ഒരു ഏകമാന നേർരേഖയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, പക്ഷേ പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയതാണ് (മാനം 0). പിയാനോ കർവ് ഒരു ഏകമാന രേഖയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചത്, ഫലം ഒരു വിമാനമായിരുന്നു. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റ് പല മേഖലകളിലും, മുകളിൽ വിവരിച്ച (ബ്രൗണിയൻ ചലനം, ഓഹരി വിലകൾ) പോലുള്ള വിചിത്രമായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ച പ്രശ്നങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. നമുക്ക് ഓരോരുത്തർക്കും ഈ നടപടിക്രമം ചെയ്യാൻ കഴിയും ...

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ പിതാവ്

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ട് വരെ, അത്തരം വിചിത്ര വസ്തുക്കളെ ചിട്ടപ്പെടുത്താനുള്ള ഒരു ശ്രമവും കൂടാതെ ഡാറ്റയുടെ ഒരു ശേഖരണം ഉണ്ടായിരുന്നു. അവർ എടുക്കുന്നത് വരെ അങ്ങനെ ആയിരുന്നു ബിനോയി മണ്ടൽബ്രോട്ട് – ആധുനിക ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയുടെയും ഫ്രാക്റ്റൽ എന്ന വാക്കിന്റെയും പിതാവ്.

അരി. 2. ബിനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട്.

ഐബിഎമ്മിൽ മാത്തമാറ്റിക്കൽ അനലിസ്റ്റായി ജോലി ചെയ്യുന്നതിനിടെ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഇലക്ട്രോണിക് സർക്യൂട്ടുകളിലെ ശബ്ദത്തെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹം പഠിച്ചു. ക്രമേണ വസ്തുതകൾ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പുതിയ ദിശയുടെ കണ്ടെത്തലിലേക്ക് അദ്ദേഹം എത്തി - ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതി.

"ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന പദം 1975-ൽ ബി. മണ്ടൽബ്രോട്ടാണ് അവതരിപ്പിച്ചത്. മണ്ടൽബ്രോട്ടിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റൽ(ലാറ്റിൻ "ഫ്രാക്റ്റസ്" ൽ നിന്ന് - ഫ്രാക്ഷണൽ, ബ്രോക്കൺ, ബ്രേക്ക്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു മൊത്തത്തിലുള്ള ഭാഗങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു ഘടന. സ്വയം സാമ്യതയുടെ സ്വത്ത് ക്ലാസിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ വസ്തുക്കളിൽ നിന്ന് ഫ്രാക്റ്റലുകളെ കുത്തനെ വേർതിരിക്കുന്നു. കാലാവധി സ്വയം സമാനതഅർത്ഥമാക്കുന്നത് വസ്തുവിന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ സ്കെയിലുകളിലും മാക്രോസ്കെയിലിലും മികച്ചതും ആവർത്തിക്കുന്നതുമായ ഘടനയുടെ സാന്നിധ്യം.

അരി. 3. "ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന ആശയത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക്.

സ്വയം സമാനതയുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്: കോച്ച്, ലെവി, മിങ്കോവ്സ്കി വളവുകൾ, സിയർപിൻസ്കി ത്രികോണം, മെംഗർ സ്പോഞ്ച്, പൈതഗോറിയൻ മരം മുതലായവ.

ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഫ്രാക്റ്റൽആണ്, ഒന്നാമതായി, ഫ്രാക്ഷണൽ (ഇന്റർമീഡിയറ്റ്, "പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല") അളവ് ഉപയോഗിച്ച് സജ്ജമാക്കുക. ഒരു മിനുസമാർന്ന യൂക്ലിഡിയൻ രേഖ കൃത്യമായി ഏകമാനമായ ഇടം നിറയ്ക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ വക്രം ഏകമാന സ്ഥലത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നു, അതിരുകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് ദ്വിമാന സ്ഥലത്തേക്ക് നുഴഞ്ഞുകയറുന്നു. അങ്ങനെ, കോച്ച് വക്രത്തിന്റെ ഫ്രാക്റ്റൽ അളവ് 1 നും 2 നും ഇടയിലായിരിക്കും. ഒന്നാമതായി, ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ഒബ്ജക്റ്റിന് അതിന്റെ നീളം കൃത്യമായി അളക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്! ഈ ജ്യാമിതീയ ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ആദ്യത്തേത് വളരെ രസകരവും പ്രസിദ്ധവുമാണ് - കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക്.

അരി. 4. "ഫ്രാക്റ്റൽ" എന്ന ആശയത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക്.

അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഇത് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് സമഭുജത്രികോണം. ഓരോ വരിയും യഥാർത്ഥ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ 1/3 വീതം 4 വരികൾ കൊണ്ട് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും, വക്രത്തിന്റെ നീളം മൂന്നിലൊന്ന് വർദ്ധിക്കുന്നു. നമ്മൾ അനന്തമായ ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയാൽ, നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ ലഭിക്കും - അനന്തമായ നീളമുള്ള ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലെക്ക്. നമ്മുടെ അനന്തമായ വളവ് ഒരു പരിമിതമായ പ്രദേശത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ നിന്നുള്ള രീതികളും കണക്കുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക.
ഒരു കോച്ച് സ്നോഫ്ലേക്കിന്റെ അളവ്(ഒരു സ്നോഫ്ലെക്ക് 3 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ നീളം 4 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നു) D=log(4)/log(3)=1.2619.

ഫ്രാക്റ്റലിനെ കുറിച്ച്

ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ശാസ്ത്രത്തിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും കൂടുതൽ കൂടുതൽ പ്രയോഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. പരമ്പരാഗത ഭൗതികശാസ്ത്രത്തേക്കാളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തേക്കാളും ചിലപ്പോൾ അവർ യഥാർത്ഥ ലോകത്തെ വിവരിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഇതിന്റെ പ്രധാന കാരണം. പ്രകൃതിയിലെ ഫ്രാക്റ്റൽ വസ്തുക്കളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായി നൽകാം - ഇവ മേഘങ്ങൾ, മഞ്ഞ് അടരുകൾ, പർവതങ്ങൾ, മിന്നലിന്റെ ഒരു മിന്നൽ, ഒടുവിൽ കോളിഫ്ളവർ എന്നിവയാണ്. ഒരു സ്വാഭാവിക വസ്തുവെന്ന നിലയിൽ ഫ്രാക്റ്റൽ ഒരു ശാശ്വതമായ തുടർച്ചയായ ചലനമാണ്, ഒരു പുതിയ രൂപീകരണവും വികാസവുമാണ്.

അരി. 5. സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ.

കൂടാതെ, വികേന്ദ്രീകൃത കമ്പ്യൂട്ടർ നെറ്റ്‌വർക്കുകളിൽ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ ആപ്ലിക്കേഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു ഒപ്പം "ഫ്രാക്റ്റൽ ആന്റിനകൾ" . "ബ്രൗണിയൻ ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന വിവിധ സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് (നിർണ്ണായകമല്ലാത്ത) "റാൻഡം" പ്രക്രിയകൾ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിന് വളരെ രസകരവും വാഗ്ദാനവുമാണ്. നാനോ ടെക്നോളജിയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഫ്രാക്റ്റലുകളും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. , മുതൽ, അവരുടെ ശ്രേണിപരമായ സ്വയം-സംഘടന കാരണം, പലരും നാനോസിസ്റ്റമുകൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലാത്ത മാനമുണ്ട്, അതായത്, അവ അവയുടെ ജ്യാമിതീയ, ഭൗതിക-രാസ അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തന സ്വഭാവത്തിലുള്ള ഫ്രാക്റ്റലുകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കെമിക്കൽ ഫ്രാക്റ്റൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണം "ഡെൻഡ്രിമറുകളുടെ" തന്മാത്രകളാണ്. . കൂടാതെ, ഫ്രാക്റ്റാലിറ്റിയുടെ തത്വം (സ്വയം-സമാനമായ, സ്കെയിലിംഗ് ഘടന) സിസ്റ്റത്തിന്റെ ശ്രേണിപരമായ ഘടനയുടെ പ്രതിഫലനമാണ്, അതിനാൽ, നാനോസിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഘടനയും ഗുണങ്ങളും വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് സമീപനങ്ങളേക്കാൾ പൊതുവായതും സാർവത്രികവുമാണ്.

അരി. 6. "ഡെൻഡ്രിമറുകൾ" എന്ന തന്മാത്രകൾ.

അരി. 7. വാസ്തുവിദ്യയിലും നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയിലും ആശയവിനിമയത്തിന്റെ ഗ്രാഫിക് മോഡൽ. മൈക്രോപ്രോസസുകളുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യ തലത്തിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനം.

അരി. 8. വാസ്തുവിദ്യയിലും നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയിലും ആശയവിനിമയത്തിന്റെ ഗ്രാഫിക് മോഡൽ. മാക്രോപ്രോസസുകളുടെ സ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ആശയവിനിമയത്തിന്റെ രണ്ടാം തലം (മോഡലിന്റെ ഒരു ഭാഗം).

അരി. 9. വാസ്തുവിദ്യയിലും നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയിലും ആശയവിനിമയത്തിന്റെ ഗ്രാഫിക് മോഡൽ. മാക്രോപ്രോസസുകളുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്നുള്ള രണ്ടാമത്തെ ലെവൽ ഇന്ററാക്ഷൻ (മുഴു മോഡലും)

അരി. 10. ഗ്രാഫിക് മോഡലിന്റെ പ്ലാനർ വികസനം. ആദ്യത്തെ ഹോമിയോസ്റ്റാറ്റിക് അവസ്ഥ.

ഫ്രാക്റ്റലുകളും സുവർണ്ണ അനുപാതം "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" ഭാഗം 1 "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" ഭാഗം 2 "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" ഭാഗം 3 "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" ഭാഗം 4 "ഫ്രാക്റ്റലുകൾ" ഭാഗം 5