Өнцгийн синус бүхий трапецын талбай. Хоёр талт трапецын талбайг хэрхэн олох вэ

БА . Одоо бид трапецын талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэж болно. Өдөр тутмын амьдралд энэ ажил маш ховор тохиолддог боловч заримдаа орчин үеийн орон сууц барихад улам бүр ашиглагдаж байгаа трапец хэлбэрийн өрөөний талбайг олох шаардлагатай болдог. эсвэл засварын зураг төслийн төслүүдэд.

Трапец байна геометрийн дүрс, огтлолцсон дөрвөн сегментээс үүссэн бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь хоорондоо параллель бөгөөд трапецын суурь гэж нэрлэгддэг. Нөгөө хоёр сегментийг трапецын талууд гэж нэрлэдэг. Үүнээс гадна бидэнд дараа нь өөр тодорхойлолт хэрэгтэй болно. Энэ нь трапецын дунд шугам бөгөөд талуудын дунд цэгүүд ба трапецын өндрийг холбосон сегмент бөгөөд суурийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.
Гурвалжингийн нэгэн адил трапецын тал нь ижил тэгш өнцөгт хэлбэртэй, талуудын аль нэг нь суурьтай тэгш өнцөг үүсгэдэг тэгш өнцөгт трапец хэлбэртэй байдаг.

Трапецууд нь зарим сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

1. Трапецын дунд шугам нь суурийн нийлбэрийн хагас ба тэдгээртэй параллель байна.
   
2. Isosceles трапецууд нь суурьтай тэнцүү талууд ба өнцөгтэй байдаг.
   
3. Трапецын диагональуудын дунд цэг ба диагональуудын огтлолцох цэг нь нэг шулуун дээр байна.
   
4. Хэрэв трапецын талуудын нийлбэр нь суурийн нийлбэртэй тэнцүү бол түүнд тойрог бичиж болно.
   
5. Хэрэв трапецын аль нэг сууринд талуудын үүсгэсэн өнцгийн нийлбэр нь 90 байвал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийн урт нь тэдгээрийн хагасын зөрүүтэй тэнцүү байна.
   
6. Хоёр талт трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно. Мөн эсрэгээр. Хэрэв трапецийг тойрог дотор бичсэн бол энэ нь ижил өнцөгт байна.
   
7. Суурийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх сегмент тэгш өнцөгт трапецтүүний суурьтай перпендикуляр байх ба тэгш хэмийн тэнхлэгийг илэрхийлнэ.
   

Трапецын талбайг хэрхэн олох вэ.

Трапецын талбай нь түүний суурийн нийлбэрийг өндрөөр нь үржүүлсэний тал хувь болно. Томъёоны хэлбэрээр үүнийг илэрхийлэл болгон бичнэ:

Энд S нь трапецын талбай, a,b нь трапецын суурь тус бүрийн урт, h нь трапецын өндөр юм.

Та энэ томъёог дараах байдлаар ойлгож, санаж болно. Доорх зургаас харахад дунд шугамыг ашиглан трапецийг тэгш өнцөгт болгон хувиргаж болох бөгөөд урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх болно.

Та ямар ч трапецийг илүү олон болгон задалж болно энгийн тоонууд: тэгш өнцөгт ба нэг эсвэл хоёр гурвалжин, хэрэв энэ нь танд илүү хялбар бол трапецын талбайг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн талбайн нийлбэрээр ол.

Бас нэг байна энгийн томъёотүүний талбайг тооцоолох. Үүний дагуу трапецын талбай нь түүний дунд шугам ба трапецын өндрийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах байдлаар бичнэ: S \u003d m * h, S нь талбай, m нь урт юм. дунд шугам, h нь трапецын өндөр. Энэ томъёо нь өдөр тутмын бодлогоос илүү математикийн асуудалд илүү тохиромжтой, учир нь бодит нөхцөлд та урьдчилсан тооцоогүйгээр дундын шугамын уртыг мэдэхгүй болно. Мөн та зөвхөн суурь ба хажуугийн уртыг мэдэх болно.

Энэ тохиолдолд трапецын талбайг дараах томъёогоор олж болно.

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

Энд S - талбай, a,b - суурь, c,d - трапецын талууд.

Трапецын талбайг олох өөр хэд хэдэн арга бий. Гэхдээ эдгээр нь сүүлчийн томъёо шиг тохиромжгүй тул тэдгээрийн талаар ярих нь утгагүй болно. Тиймээс бид өгүүллийн эхний томъёог ашиглахыг зөвлөж, үргэлж үнэн зөв үр дүнд хүрэхийг хүсч байна.

Трапецын талбайг олохын өмнө трапецын мэдэгдэж буй элементүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Трапец бол геометрийн объект, тухайлбал: хоёр зэрэгцээ талтай (хоёр суурь) дөрвөн өнцөгт юм. Нөгөө хоёр тал нь хажуу тал юм. Хэрэв дөрвөлжингийн эдгээр хоёр тал нь зэрэгцээ байвал трапец биш, параллелограмм болно. Хэрэв трапецын дор хаяж нэг өнцөг 90 градус байвал ийм трапецийг тэгш өнцөгт трапец гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт трапецын талбайг хэрхэн олох талаар бид дараа нь авч үзэх болно. Мөн адил тэгш өнцөгт трапец байдаг бөгөөд түүний нэр нь өөрөө ярьдаг: ийм трапецын талууд тэнцүү байна. Трапецын суурийн хоорондох зайг өндөр гэж нэрлэдэг бөгөөд өндрийг талбайг олоход ихэвчлэн ашигладаг. Трапецын дунд шугам нь талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Трапецын талбайг олох үндсэн томъёо

• S=h*(a+b)/2
  Энд h нь трапецын өндөр, a,b нь суурь юм. Трапецын талбайг олоход хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг томьёо бол суурийн нийлбэрийг өндрөөр үржүүлсэн хагас юм.
• S=m*h
  Энд m нь трапецын дунд шугам, h нь өндөр. Трапецын талбай нь трапецын дунд шугам ба түүний өндөртэй тэнцүү байна.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Энд d1, d2 нь трапецын диагональууд, sin(d1^d2) нь трапецын диагональуудын хоорондох өнцгийн синус юм.

Мөн үндсэн томъёоноос гаргаж авсан янз бүрийн томьёо, түүнчлэн трапецын бүх талууд нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд түүний талбайг тооцоолох томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ томъёо нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд ховор хэрэглэгддэг, учир нь трапецын бүх талыг мэддэг тул та өндрийг эсвэл түүний дунд шугамыг тодорхойлох боломжтой. Та мөн адил тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр тойрог бичиж болно. Энэ тохиолдолд трапецын талбайг томъёогоор тооцоолно: 8 * тойргийн радиус квадрат.

Тэгш өнцөгт трапецын талбайг хэрхэн олох вэ

Өмнө дурьдсанчлан, трапецийг дор хаяж нэг зөв өнцөгтэй бол тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Ийм трапецын талбайг олох нь маш хялбар байдаг. Үндсэндээ тэгш өнцөгт трапецын талбайг олохын тулд ердийн трапецын адил томъёог ашигладаг. Гэсэн хэдий ч ийм трапецын талуудын нэг нь өндөр байх болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Түүнчлэн тэгш өнцөгт трапецын талбайг олох асуудлыг шийдэх нь ихэвчлэн тэгш өнцөгт ба доошилсон өндрөөр үүссэн гурвалжны талбайг олоход багасдаг. Ийм даалгавар нь маш энгийн.

Заавар

Хоёр аргыг илүү ойлгомжтой болгохын тулд хэд хэдэн жишээг өгч болно.

Жишээ 1: трапецын дунд шугамын урт 10 см, талбай нь 100 см². Энэ трапецын өндрийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

h = 100/10 = 10 см

Хариулт: Энэ трапецын өндөр нь 10 см

Жишээ 2: трапецын талбай 100 см², суурийн урт нь 8 см ба 12 см. Энэ трапецын өндрийг олохын тулд та дараах үйлдлийг хийх хэрэгтэй.

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 см

Хариулт: Энэ трапецын өндөр нь 20 см

тэмдэглэл

Трапецын хэд хэдэн төрөл байдаг:
Талууд нь хоорондоо тэнцүү байх трапецийг ижил хажуу талт трапец гэнэ.
Зөв трапец гэдэг нь дотоод өнцгүүдийн аль нэг нь 90 градустай тэнцэх трапец юм.
Тэгш өнцөгт трапецын хувьд өндөр нь зөв өнцгөөр хажуугийн урттай давхцаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Тойрог трапецын эргэн тойронд дүрсэлж болно, эсвэл өгөгдсөн дүрс дотор бичнэ. Тойрог суурийнх нь нийлбэр нь эсрэг талынх нь нийлбэртэй тэнцэх тохиолдолд л бичнэ. Дугуйг зөвхөн ижил өнцөгт трапецын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Трапецын тодорхойлолт нь параллелограммын тодорхойлолттой зөрчилддөггүй тул параллелограмм нь трапецын онцгой тохиолдол юм. Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Трапецын тодорхойлолтод бид зөвхөн түүний хос талуудын тухай ярьж байна. Тиймээс аливаа параллелограмм нь мөн трапец хэлбэртэй байдаг. Эсрэг заалт нь үнэн биш юм.

Эх сурвалжууд:

• трапецын томъёоны талбайг хэрхэн олох вэ

Зөвлөгөө 2: Хэрэв та талбайг мэддэг бол трапецын өндрийг хэрхэн олох вэ

Трапец гэдэг нь дөрвөн талын хоёр нь хоорондоо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Зэрэгцээ талууд нь үүний суурь, нөгөө хоёр нь өгөгдсөн талууд юм трапец. Хай өндөр трапецмэдэгдэж байгаа бол дөрвөлжин, маш хялбар байх болно.

Заавар

Хэрхэн тооцоолохыг бид олох хэрэгтэй дөрвөлжинэх трапец. Үүний тулд анхны өгөгдлөөс хамааран хэд хэдэн томъёо: S = ((a + b) * h) / 2, энд a ба b нь суурь юм. трапец, ба h нь түүний өндөр (Өндөр трапец- нэг сууринаас унасан перпендикуляр трапецнөгөө рүү);
S = m*h, энд m нь шугам юм трапец(Дунд шугам - сегмент, суурь трапецба түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбох).

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд дараах ажлуудыг авч үзэж болно: Жишээ 1: Трапецийг өгөгдсөн бөгөөд үүнд дөрвөлжин 68 см², дундаж шугам нь 8 см, та олох хэрэгтэй өндөрөгсөн трапец. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та өмнө нь гаргаж авсан томъёог ашиглах хэрэгтэй.
h \u003d 68/8 \u003d 8.5 см Хариулт: түүний өндөр трапецнь 8.5 см Жишээ 2: У гэж үзье трапец дөрвөлжин 120 см², үүний суурийн урт трапец 8 см ба 12 см тус тус олох хэрэгтэй өндөрэнэ трапец. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн томъёоны аль нэгийг ашиглана уу:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 см Хариулт: өгөгдсөн өндөр трапец 12 см-тэй тэнцүү

Холбоотой видеонууд

тэмдэглэл

Аливаа трапец нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

Трапецын дундаж шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн тал хувь;

Трапецын диагональуудыг холбосон сегмент нь түүний суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна;

Хэрэв суурийн дунд цэгүүдээр шулуун шугам татвал трапецын диагональуудын огтлолцох цэгийг огтолно;

Хэрэв энэ трапецын суурийн нийлбэр нь талуудын нийлбэртэй тэнцүү бол дугуйг трапец хэлбэрээр бичиж болно.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр шинж чанаруудыг ашигла.

Зөвлөгөө 3: Хэрэв суурь нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын талбайг хэрхэн олох вэ

Геометрийн тодорхойлолтоор трапец нь зөвхөн нэг хос тал нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Эдгээр талууд нь түүнийх үндэслэл. хоорондын зай үндэслэлөндөр гэж нэрлэдэг трапец. Хай дөрвөлжин трапецгеометрийн томъёог ашиглан хийж болно.

Заавар

Суурийг хэмжих ба трапец ABSD. Ихэвчлэн тэдгээрийг даалгавар болгон өгдөг. Оруул энэ жишээасуудлын суурь AD (a) трапец 10 см, суурь BC (b) - 6 см, өндөртэй тэнцүү байх болно трапец BK (h) - 8 см Талбайг олохын тулд геометрийг хэрэглэнэ трапец, түүний суурийн урт ба өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол - S= 1/2 (a+b)*h, Үүнд: - a - AD суурийн утга. трапец ABCD, - b - BC суурийн утга, - h - BK өндрийн утга.

Энэ хэсэгт трапецын тухай геометрийн (хэсгийн планиметрийн) асуудлууд багтсан болно. Хэрэв та асуудлын шийдлийг олж чадаагүй бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Хичээл шинэчлэгдэх болно.

Трапец. Тодорхойлолт, томъёо, шинж чанар

Трапец (бусад Грек хэлнээс τραπέζιον - "ширээ"; τράπεζα - "ширээ, хоол") нь яг нэг хос эсрэг тал нь зэрэгцээ байрладаг дөрвөн өнцөгт юм.

Трапец гэдэг нь эсрэг талын хоёр тал нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.

Анхаарна уу. Энэ тохиолдолд параллелограмм нь трапецын онцгой тохиолдол юм.

Зэрэгцээ эсрэг талын талуудыг трапецын суурь, нөгөө хоёрыг талууд гэж нэрлэдэг.

Трапецууд нь:

- олон талт ;

- тэгш өнцөгт;

- тэгш өнцөгт

.
улаан ба бор цэцэгхажуу талуудыг зааж өгсөн, ногоон, хөх нь трапецын суурь юм.

A - isosceles (isosceles, isosceles) трапец
B - тэгш өнцөгт трапец
C - олон талын трапец

Олон талт трапецын бүх талууд нь өөр өөр урттай, суурь нь зэрэгцээ байна.

Талууд нь тэнцүү, суурь нь зэрэгцээ байна.

Тэдгээр нь суурь дээр параллель, нэг тал нь суурийн перпендикуляр, хоёр дахь тал нь суурь руу налуу байна.

Трапецын шинж чанарууд

• Трапецын гол шугамсуурьтай параллель ба тэдгээрийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна
• Диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон шугамын хэсэг, суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү бөгөөд дунд шугам дээр байрладаг. Түүний урт
• Трапецын аль ч өнцгийн талуудыг огтолж буй параллель шугамууд нь өнцгийн талуудаас пропорциональ сегментүүдийг таслав (Талесийн теоремыг үзнэ үү)
• Трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг, түүний хажуу талуудын өргөтгөлүүдийн огтлолцлын цэг ба суурийн дунд цэгүүд нь нэг шулуун дээр байрладаг (мөн дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарыг харна уу)
• Суурь дээрх гурвалжингуудОройнууд нь диагональуудын огтлолцох цэг болох трапецууд нь ижил төстэй байдаг. Ийм гурвалжны талбайн харьцаа нь трапецын суурийн харьцааны квадраттай тэнцүү байна.
• Хажуу талын гурвалжинОрой нь диагональуудын огтлолцлын цэг болох трапецын талбайн хувьд тэнцүү (талбайн хувьд тэнцүү)
• трапец руу та тойрог бичиж болнохэрэв трапецын суурийн уртын нийлбэр нь түүний талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү бол. Энэ тохиолдолд дундаж шугам нь талуудын нийлбэрийг 2-т хуваасантай тэнцүү байна (трапецын дундаж шугам нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү тул)
• Суурьтай параллель сегментба диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх нь хоёр дахин хуваагдах ба суурийн үржвэрийг тэдгээрийн нийлбэр 2ab / (a ​​+ b) -д хуваасан хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна (Бураковын томъёо)

Трапецын өнцөг

Трапецын өнцөг хурц, шулуун, мохоо байдаг.
Зөвхөн хоёр зөв өнцөг байна.

Тэгш өнцөгт трапец нь хоёр тэгш өнцөгтэй, нөгөө хоёр нь хурц ба мохоо. Бусад төрлийн трапецууд нь: хоёр хурц булангуудбас хоёр тэнэг.

Трапецын мохоо өнцөг нь хамгийн жижиг хэсэгт хамаарнасуурийн уртын дагуу, ба хурц - илүүсуурь.

Аливаа трапецийг авч үзэж болно тайрсан гурвалжин шиг, түүний огтлолын шугам нь гурвалжны суурьтай параллель байна.
Чухал. Ийм байдлаар (гурвалжин руу трапецыг нэмэлт байдлаар барих замаар) трапецын талаархи зарим асуудлыг шийдэж, зарим теоремуудыг баталж болохыг анхаарна уу.

Трапецын тал ба диагональуудыг хэрхэн олох вэ

Трапецын тал ба диагональуудыг олохын тулд дараах томъёог ашиглана.

Эдгээр томъёонд зураг дээрх шиг тэмдэглэгээг ашигладаг.

a - трапецын суурийн хамгийн жижиг нь
b - трапецын суурийн хамгийн том нь
c,d - талууд
h 1 цаг 2 - диагональ

Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь трапецын суурийн хоёр дахин үржвэрийг нэмсэн талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна (Формула 2)

Трапецдөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг ердөө хоёрталууд хоорондоо параллель байна.

Тэдгээрийг зургийн суурь, үлдсэн хэсэг нь талууд гэж нэрлэдэг. Параллелограммыг дүрсийн онцгой тохиолдол гэж үздэг. Функцийн графикийг багтаасан муруй шугаман трапец байна. Трапецын талбайн томъёо нь түүний бараг бүх элементүүдийг агуулдаг бөгөөд өгөгдсөн утгуудаас хамааран хамгийн сайн шийдлийг сонгоно.
Трапецын гол үүргийг өндөр ба дунд шугамд хуваарилдаг. дунд шугам- энэ бол талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шугам юм. Өндөртрапецийг зөв өнцгөөр барьж байна дээд булансуурь руу.
Трапецын өндрөөр дамжин өнгөрөх талбай нь суурийн уртын нийлбэрийн хагасыг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Хэрэв дундаж шугам нь нөхцлийн дагуу мэдэгдэж байгаа бол энэ томъёо нь суурийн уртын нийлбэрийн хагастай тэнцүү тул маш хялбаршуулсан болно.

Хэрэв нөхцлийн дагуу бүх талуудын уртыг өгсөн бол эдгээр өгөгдлөөр дамжуулан трапецын талбайг тооцоолох жишээг авч үзэж болно.

Трапецийг суурь нь a = 3 см, b = 7 см, хажуу тал нь c = 5 см, d = 4 см өгөгдсөн гэж бодъё. Зургийн талбайг ол.

Хоёр талт трапецын талбай

Тусдаа тохиолдол бол тэгш өнцөгт буюу ижил өнцөгт трапец гэж нэрлэдэг.
Онцгой тохиолдол бол ижил тэгш өнцөгт трапецын талбайг олох явдал юм. Гаргасан томъёо янз бүрийн арга замууд- диагональуудаар, суурьтай зэргэлдээх өнцгөөр ба бичээстэй тойргийн радиусаар.
Хэрэв диагональуудын уртыг нөхцлөөр зааж өгсөн бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байвал та дараах томъёог ашиглаж болно.

Хоёр талт трапецын диагональууд хоорондоо тэнцүү гэдгийг санаарай!

Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн суурь, тал, өнцгийн аль нэгийг нь мэдсэнээр та талбайг хялбархан тооцоолж болно.

Муруй шугаман трапецын талбай

Тусдаа хэрэг муруй шугаман трапец. Энэ нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг бөгөөд тасралтгүй эерэг функцийн графикаар хязгаарлагддаг.

Түүний суурь нь X тэнхлэгт байрладаг бөгөөд хоёр цэгээр хязгаарлагддаг.
Интеграл нь муруйн трапецын талбайг тооцоолоход тусалдаг.
Томьёог дараах байдлаар бичнэ.

Муруй шугаман трапецын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Томъёо нь ажиллахын тулд тодорхой мэдлэг шаарддаг тодорхой интеграл. Эхлээд тодорхой интегралын утгыг задлан шинжилье.

Энд F(a) нь a цэг дэх f(x)-ын эсрэг үүсмэл функцийн утга, F(b) нь b цэг дээрх ижил f(x) функцийн утга юм.

Одоо асуудлаа шийдье. Зураг нь муруй шугаман трапецийг харуулж байна. функц хязгаарлагдмал. Чиг үүрэг
Сонгосон зургийн талбайг олох хэрэгтэй, энэ нь дээрээс нь графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапец, баруун талд x = (-8) шулуун шугам, зүүн талд x = (-) шулуун шугам байна. 10) ба OX тэнхлэг нь доор байна.
Бид энэ зургийн талбайг томъёогоор тооцоолно.

Бидэнд асуудлын нөхцөлөөр функц өгөгдсөн. Үүнийг ашигласнаар бид цэг бүрт эсрэг деривативын утгыг олох болно.


Одоо
Хариулт:өгөгдсөн муруй шугаман трапецын талбай нь 4.

Энэ утгыг тооцоолоход хэцүү зүйл байхгүй. Зөвхөн тооцоололд хамгийн их анхаарал тавих нь чухал юм.