гэр › Төрөл бүрийн › Онгоцны дүрсийн талбайг ол. Тодорхой интеграл

Онгоцны дүрсийн талбайг ол. Тодорхой интеграл

Одоо бид интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзэх болно. Энэ хичээл дээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно. тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлдэг бүх хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функц бүхий зуслангийн байшинг ойртуулж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Дулаан шахах найрсаг харилцаатодорхой интегралтай нь хуудаснаас олж болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг, тиймээс таны мэдлэг, зурах чадвар нь бас яаралтай асуудал байх болно. Наад зах нь шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх ёстой.

Муруй шугаман трапецаар эхэлцгээе. Муруйн трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБид тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо өөр зүйл хэлэх цаг болжээ ашигтай баримт. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд зарим дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол ердийн ажлын мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн хамгийн чухал цэг бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг төслийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. хамгийн эхэндбүх мөрийг (хэрэв байгаа бол) зөвхөн барих нь дээр Дараа нь- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Цэгэн чиглэлд барих техникийг эндээс олж болно лавлах материал График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Тэнд та манай хичээлтэй холбоотой маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зураг зурцгаая (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй шугаман трапецийг гаргахгүй, энд ямар газар байгаа нь тодорхой байна асуултанд нь. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Интервал дээр [-2; 1] функцийн график y = x 2+2 байрлалтай тэнхлэг дээгүүрҮХЭР, Тийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэхэд хүндрэлтэй байгаа хүмүүс

лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. IN Энэ тохиолдолд"Нүдээр" бид зургийн нүднүүдийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэж хариулсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь ойлгомжтой, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруйн трапец байгаа бол яах вэ тэнхлэгийн доорҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн тэнхлэгийн доор ҮХЭР , дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлуудаас бид илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг ол y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Интеграцийн хязгаарыг "өөрөөсөө" олж мэдэхийн зэрэгцээ шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан байдаг. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй бол хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай байдаг (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно). Бид даалгавар руугаа буцаж байна: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн барилгад интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг бид давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв интервал дээр [ а; б] зарим нэг тасралтгүй функц е(x) түүнээс их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц g(x), харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд зураг хаана байрлаж байгааг бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ ДЭЭШ аль график байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2 хасах ёстой - x.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоороос.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томьёо (3-р жишээг үз) онцгой тохиолдолтомъёо

Тэнхлэгээс хойш ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр

Одоо бие даасан шийдвэр гаргах хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэх явцад заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв хийгдсэн боловч анхаарал болгоомжгүйн улмаас ... буруу зургийн талбайг олсон.

Жишээ 7

Эхлээд зурцгаая:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна.(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал вэ!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж тэд ихэвчлэн сүүдэрлэсэн дүрсний хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг. ногоон өнгөтэй!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход тустай. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик шулуун байна y = x+1;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулъя

мөн шугамын зургийг хий:

Бидний дээд хязгаар "сайн" байгааг зурагнаас харж болно. б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ? Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикаа огт зөв гаргаж чадаагүй бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд хүн нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар интеграцийн хязгаарыг сайжруулах шаардлагатай болдог.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг ол

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Тиймээс, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн хялбар биш юм. Сегмент дээр

, ,

холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийн төгсгөлд бид хоёр илүү хэцүү ажлыг авч үзэх болно.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ зургийг зураг дээр зур.

Цэг цэгээр зурахын тулд та мэдэх хэрэгтэй Гадаад төрхсинусоидууд. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн графикууд, мөн синусын зарим утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг утгын хүснэгтээс олж болно тригонометрийн функцууд . Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) график, интеграцийн хязгаарыг зарчмын хувьд зөв харуулах ёстой бүдүүвч зураг зурахыг зөвшөөрдөг.

Энд интеграцийн хязгаарлалттай холбоотой ямар ч асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаарна.

- "x" нь тэгээс "pi" болж өөрчлөгддөг. Бид нэмэлт шийдвэр гаргадаг:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

(1) Та хичээлээс синус болон косинусууд сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэгдэж байгааг харж болно Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй хэлбэрийг ашигладаг

(3) Хувьсагчийг өөрчилье т= cos x, дараа нь: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:

Жич:шоо дахь шүргэгчийн интегралыг хэрхэн авч байгааг анхаарна уу, энд үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дагаврыг ашигласан болно.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхой бус, тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг шаардагддаггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү хамааралтай асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын санах ойг сэргээж, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, гиперболыг барьж чаддаг байх нь ашигтай байдаг.

Муруйн трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугам, энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээрх тасралтгүй функцын графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага бишабсцисс:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн хувьд тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) нь геометрийн хувьд зарим зургийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгээс дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зургийг дуусгах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол ердийн ажлын мэдэгдэл юм. Эхлээд ба шийдвэрлэх мөчшийдэл - зураг зурах. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зураг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэг дээгүүр, Тийм учраас:

Хариулт:

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэж хариулсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй, хамгийн ихдээ хэдэн арван байна. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруйн трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгийг хамгийн их сонирхдог. Парабол ба шулууны огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар, интеграцийн дээд хязгаар.

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Интеграцийн хил хязгаарыг "өөрөө" гэж тодорхойлж байхад шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан юм. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Бид даалгавар руугаа буцаж байна: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв интервал дээр ямар нэгэн тасралтгүй функц байгаа бол түүнээс их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц, дараа нь зургийн талбай, графикаар хязгаарлагдсанЭдгээр функц ба шулуун шугамуудын , , -ийг дараах томъёогоор олж болно.

Энд зураг хаана байрлаж байгааг бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, ДЭЭШ аль график байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Хүссэн дүрс нь дээрээс парабол, доороос шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Сегмент дээр харгалзах томъёоны дагуу:

Хариулт:

Жишээ 4

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна.(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал вэ!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гажиг" ихэвчлэн гарч ирдэг бөгөөд та ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй болдог!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход тустай.

Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Сайт дээр математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг эсвэл хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томьёог Вольфрам Альфа автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ энэ нь ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томъёог байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математикийн тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн сайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ байршуулж, сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд таны сайтын хуудсуудыг ачаалах ажлыг хурдасгах боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв эцэг эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би эхний аргыг сонгосон, учир нь энэ нь илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй. Миний жишээг дагаж, 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг вэбсайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг үндсэн MathJax вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан алсын серверээс холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд оруулах шаардлагатай. Тэгээдэсвэл шошгоны дараа . Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар дагаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээрх ачаалах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойролцоо байрлуулна уу. загварын эхлэл (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та математикийн томьёог вэб хуудсандаа оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу баригдсан бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Энэ нь үлдсэн 20 жижиг шоо дөрвөлжин иж бүрдэл болж хувирав. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг хязгааргүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөнг авдаг.

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Давхар интеграл нь хавтгай дүрсийн талбайтай (интегралын бүс) тоон хувьд тэнцүү байна. Энэ хамгийн энгийн хэлбэрхоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интеграл: .

Эхлээд асуудлыг авч үзье ерөнхий үзэл. Энэ нь үнэхээр энгийн болохыг та одоо гайхах болно! Шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид интервал дээр гэж үздэг. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Талбайг тойрч гарах эхний аргыг сонгоцгооё.

Тиймээс:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн заль мэх: давтагдсан интегралуудыг тусад нь авч үзэж болно. Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргыг цайны аяганд эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) "y" хувьсагч дээр интеграл хийх үед дотоод интегралыг тооцоол.

Энд тодорхойгүй интеграл нь хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь энгийн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь: Интеграцийн хязгаар нь тоо биш, харин функцууд юм. Эхлээд бид дээд хязгаарыг "y" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг орлуулсан.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулах ёстой:

Бүх шийдлийн илүү нягт тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна.

Үр дүнгийн томъёо - энэ бол "ердийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ажлын томъёо юм! Хичээл үзнэ үү Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох, тэр эргэлт бүрт байдаг!

Тэр бол, давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох бодлого арай өөртодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!Үнэндээ тэд нэг бөгөөд адилхан!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та энэ асуудалтай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ авч үзэхгүй.

Жишээ 9

Шийдэл:Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөр нь маш нарийн байсан тул энд болон доор би талбайг хэрхэн туулах талаар ярихгүй.

Тиймээс:

Өмнө дурьдсанчлан, эхлэгчдэд давтагдсан интегралуудыг тусад нь тооцоолох нь дээр, би ижил аргыг баримтлах болно.

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энд ийм тэнэг, гэнэн даалгавар байна.

Бие даасан шийдлийн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 10

Давхар интегралыг ашиглан , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Жишээ дээжХичээлийн төгсгөлд шийдлийг эцэслэх.

Жишээ 9-10-д талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг тул сониуч уншигчид тойрч гарах дарааллыг өөрчилж, талбайг хоёр дахь аргаар тооцоолох боломжтой. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг ижил талбайн утгыг олж авах болно.

Гэхдээ зарим тохиолдолд энэ газрыг тойрч гарах хоёр дахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу нердийн сургалтын төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 11

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Бид хажуу талд нь сэвшээ салхитай хоёр параболыг тэсэн ядан хүлээж байна. Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон интеграл дахь ижил төстэй зүйлүүд ихэвчлэн тулгардаг.

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Параболыг хоёр функцээр илэрхийлье.
- дээд салбар ба - доод салбар.

Үүний нэгэн адил параболыг дээд ба доод гэж төсөөлөөд үз дээ салбарууд.

Дараа нь хөтчүүдийг цэг болгон зурж, ийм хачирхалтай дүрс гарч ирнэ:

Зургийн талбайг дараах томъёоны дагуу давхар интеграл ашиглан тооцоолно.

Хэрэв бид энэ газрыг тойрч гарах эхний аргыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, энэ талбайг хоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай болно. Хоёрдугаарт, бид энэ гунигтай дүр зургийг ажиглах болно. . Мэдээжийн хэрэг интегралууд нь хэт нийлмэл төвшинд хамаарахгүй, гэхдээ ... эртний математикийн үг байдаг: үндэстэй нөхөрсөг хэнд ч гэсэн цэг тавих шаардлагагүй.

Тиймээс, нөхцөл байдалд өгөгдсөн буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Урвуу функцуудВ энэ жишээТэд параболыг бүхэлд нь ямар ч навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр шууд тогтоодог давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу талбайн шилжилт нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Бид дотоод интегралтай харьцдаг:

Бид үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулна.

"y" хувьсагч дээр интеграци хийх нь ичмээр зүйл биш байх ёстой, хэрэв "zyu" үсэг байсан бол үүн дээр интеграци хийх нь гайхалтай байх болно. Хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг хэн уншсан ч гэсэн Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэрээр "y"-ээс илүү интеграцид өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникхичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн Үр дүнтэй аргуудтодорхой интегралын тооцоо.

Юу нэмэх вэ... Бүгд!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно . Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хэрэв та талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зураг хоёр хуваагдахаа больсон, харин гурван хэсэгт хуваагдана гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм! Үүний дагуу бид гурван хос давтагдсан интеграл авдаг. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг боллоо. Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ. Хоёрдахь нийтлэлдээ тийм маник байхгvйг хичээх болноо =)

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбай зурах зураг дээр:

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Тиймээс:
Урвуу функцууд руу шилжье:

Тиймээс:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:

Зургийг гүйцэтгье:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

Шийдэл.

Шийдвэр гаргах эхний бөгөөд хамгийн чухал мөч бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 x тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2 Тэгээд x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y \u003d x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU мөн тохирохыг нь шийдэх квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та шугам зурж, цэг болгон зурж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэг дээгүүр Үхэр , Тийм учраас:

Хариулт: С \u003d 9 квадрат нэгж

Хэрэв муруйн трапец байгаа бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн тэнхлэгийн доор Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Шийдэл.

Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг ол ба шууд Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Бид өгөгдсөн шугамуудыг байгуулна: 1. Парабола - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо(0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв интервал дээр [ а;б] зарим нэг тасралтгүй функц f(x)зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү g(x), дараа нь харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно. .

Зураг нь хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль диаграм нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Интеграцийн хил хязгаарыг "өөрөө" гэж тодорхойлж байхад цэг тус бүрээр шугам барих боломжтой. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй бол хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай байдаг (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно).