Логарифмын томъёо. Бүртгэлийн томъёо

\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)

Үүнийг илүү хялбар тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) нь \(8\)-ийг авахын тулд \(2\)-ыг өсгөх шаардлагатай тэнцүү байна. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.

Жишээ нь:		\(\log_(5)(25)=2\)		учир нь \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		учир нь \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		учир нь \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Логарифмын аргумент ба суурь

Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.

Логарифмын аргументыг ихэвчлэн өөрийн түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичвэрт бичигддэг. Мөн энэ оруулгыг дараах байдлаар уншина: "Хорин таваас тавын суурь хүртэлх логарифм".

Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хэмжээгээр өсгөх ёстой вэ?

Жишээлбэл, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Мөн ямар зэрэг нь аливаа тоог нэгж болгодог вэ? Мэдээж тэг!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Эхнийх нь - эхний зэрэглэлийн аль ч тоо нь өөртэйгөө тэнцүү байна.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Энэ нь бутархай хүч гэдгийг бид мэднэ Квадрат язгуурзэрэг нь \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Шийдэл :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Логарифмын утгыг олох хэрэгтэй, үүнийг x гэж тэмдэглэе. Одоо логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Зүүн баруун сум\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) болон \(8\) ямар холбоосууд вэ? Хоёр, учир нь хоёуланг нь хоёроор илэрхийлж болно: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Зүүн талд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашигладаг: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) болон \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Суурь нь тэнцүү, бид шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдал руу шилждэг
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Тэгшитгэлийн хоёр талыг \(\frac(2)(5)\)-аар үржүүл.
		Үүссэн үндэс нь логарифмын утга юм

Хариулт : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?

Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгш байдлыг хангахын тулд \(x\)-г тааруулна уу. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).

Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\) x хэдтэй тэнцүү вэ? Гол нь энэ.

Хамгийн овсгоотой нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд тэд логарифмыг гаргаж ирэв. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.

\(\log_(3)(8)\), мөн гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь хэрэв бид үүнийг аравтын бутархайгаар бичихийг хүсвэл дараах байдалтай харагдана: \(1.892789260714.....\)

Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) болон \(10\)-г ижил суурь болгон бууруулах боломжгүй. Тиймээс энд та логарифмгүйгээр хийж чадахгүй. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Тэгшитгэлийг эргүүлээрэй, ингэснээр x зүүн талд байна
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Бидний өмнө. \(4\) баруун тийш шилжүүлнэ үү. Мөн логарифмаас бүү ай, үүнийг ердийн тоо мэт хар.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Тэгшитгэлийг 5-д хуваа
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Энэ бол бидний үндэс юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ хариулт нь сонгогдоогүй байна.

Хариулт : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Аравтын болон натурал логарифм

Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь нэг \((a>0, a\neq1)\)-аас бусад эерэг тоо байж болно. Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.

Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичдэг логарифм.

Тэр бол, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна

Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.

Тэр бол, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдний нэг нь "Үндсэн логарифмын ижилсэл' мөн иймэрхүү харагдаж байна:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж гарч ирснийг харцгаая.

Санаж үзье богино тэмдэглэлЛогарифмын тодорхойлолтууд:

хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)

Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь бид \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.

Та логарифмын бусад шинж чанаруудыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.

Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл :

Хариулт : \(25\)

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь та хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.

Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү тул \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно. Үүнтэй адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна

\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Тиймээс, хэрэв бидэнд хэрэгтэй бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр (тэгшитгэлд ч, бүр илэрхийлэлд ч, бүр тэгш бус байдалд ч) бичиж болно - бид зүгээр л квадрат суурийг аргумент болгон бичдэг.

Гурвалсантай адилхан - үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \) ... Энд бид шоо дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.

\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Мөн дөрөвтэй:

\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Мөн хасах нэгээр:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Мөн гуравны нэг нь:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Жишээ : Илэрхийллийн утгыг ол \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)

Шийдэл :

Хариулт : \(1\)

Өнөөдөр бид ярих болно логарифмын томьёомөн жагсаал хийх шийдлийн жишээнүүд.

Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Шийдвэрт логарифмын томьёог хэрэглэхээс өмнө бид юуны түрүүнд бүх шинж чанаруудыг танд сануулж байна.

Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулж байна Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Логарифм эерэг тоо b-ийг суурь болгох (логийг a b гэж тэмдэглэсэн) нь b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тодорхойлолтын дагуу log a b = x, энэ нь a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x.

Логарифм, жишээнүүд:

бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8

бүртгэл 7 49 = 2 учир нь 7 2 = 49

бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5

Аравтын логарифмнь энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. lg гэж тэмдэглэнэ.

бүртгэл 10 100 = 2 учир нь 10 2 = 100

байгалийн логарифм- мөн ердийн логарифм логарифм, гэхдээ e суурьтай (e \u003d 2.71828 ... - иррационал тоо). ln гэж нэрлэдэг.

Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг санах нь зүйтэй, учир нь логарифм, логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрэгтэй болно. Томъёо бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.

• Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81

• Логарифм болох тооны зэрэг ба логарифмын суурийн шинж чанарууд

  Логарифмын тооны илтгэгч log a b m = mlog a b

  Үндсэн экспонент логарифмын бүртгэл a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Шинэ суурь руу шилжих
  log a b = log c b / log c a,

  хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно

  дараа нь log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Таны харж байгаагаар логарифмын томъёонууд нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзээд бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Битгий алдаарай!

Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.

Жич: Сонголтоор гадаадад өөр ангид суралцахаар шийдсэн.

Энэ нийтлэлийн гол зүйл бол логарифм. Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг өгч, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг үзүүлж, логарифмын жишээг өгч, натурал ба аравтын логарифмын тухай ярих болно. Үүний дараа үндсэн логарифмын таних тэмдгийг анхаарч үзээрэй.

Хуудасны навигаци.

Логарифмын тодорхойлолт

Логарифмын тухай ойлголт нь асуудлыг шийдвэрлэх үед үүсдэг тодорхой утгаарааурвуу, та зэрэг болон мэдэгдэж буй суурийн мэдэгдэж буй утгаас илтгэгчийг олох шаардлагатай үед.

Гэхдээ хангалттай оршил, "логарифм гэж юу вэ" гэсэн асуултанд хариулах цаг болсон уу? Тохиромжтой тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

b-ийн логарифм нь a суурь, энд a>0 , a≠1 ба b>0 нь үр дүнд нь b авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.

Энэ үе шатанд "логарифм" гэсэн үг нь "ямар тоо" ба "ямар үндэслэлээр" гэсэн хоёр асуултыг нэн даруй гаргах ёстой гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, зүгээр л логарифм гэж байдаггүй, харин зарим суурь дээр зөвхөн тооны логарифм байдаг.

Бид даруй танилцуулах болно логарифмын тэмдэглэгээ: b тооны а суурийн логарифмыг ихэвчлэн log a b гэж тэмдэглэдэг. b тооны е суурьтай логарифм ба 10 суурьтай логарифм нь lnb ба lgb гэсэн тусгай тэмдэглэгээтэй, өөрөөр хэлбэл log e b биш, харин lnb, log 10 b биш, харин lgb гэж бичдэг.

Одоо та авчрах боломжтой: .
Мөн бичлэгүүд утгагүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёр дахь нь суурь дахь сөрөг тоо, гурав дахь нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо ба суурь дахь нэгж.

Одоо ярилцъя логарифм унших дүрэм. a b оруулгын бүртгэлийг "а суурьтай b-ийн логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, log 2 3 нь 3-ын 2-ын суурьтай логарифм бөгөөд тавын квадрат язгуурын 2/3 суурьтай хоёр бүхэл тооны логарифм юм. e суурийн логарифм гэж нэрлэдэг байгалийн логарифм, мөн lnb оруулга нь " байгалийн логарифмб'. Жишээлбэл, ln7 нь долоон тооны натурал логарифм бөгөөд бид үүнийг pi-ийн натурал логарифм гэж унших болно. 10-р суурийн логарифм нь мөн тусгай нэртэй байдаг - аравтын логарифм, мөн lgb тэмдэглэгээг "аравтын логарифм b" гэж уншина. Жишээлбэл, lg1 нь нэгийн аравтын логарифм, lg2.75 нь хоёр цэгийн далан таван зуутын аравтын логарифм юм.

Логарифмын тодорхойлолтыг өгсөн a>0, a≠1 ба b>0 нөхцлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. Эдгээр хязгаарлалтууд хаанаас ирснийг тайлбарлая. Үүнийг хийхийн тулд дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарах хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд туслах болно.

a≠1 -ээр эхэлцгээе. Аль ч хүчинд нэг нь нэгтэй тэнцүү тул тэгш байдал нь зөвхөн b=1-д үнэн байх боловч log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийхийн тулд a≠1-ийг хүлээн авна.

a>0 нөхцлийн зохистой байдлыг баталъя. a=0 байхад логарифмын тодорхойлолтоор бид тэгш эрхтэй байх ба энэ нь зөвхөн b=0 байхад л боломжтой. Харин тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг байх тул log 0 0 нь тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас a≠0 нөхцөлөөр зайлсхийж болно. Мөн а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Эцэст нь b>0 нөхцөл нь a>0 , учир нь тэгш бус байдлаас гарах ба эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга үргэлж эерэг байна.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бид логарифмын дуут тодорхойлолт нь логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь тодорхой хэмжээний суурь байх үед логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг олгодог гэж бид хэлж байна. Үнэн хэрэгтээ, логарифмын тодорхойлолт нь b=a p бол b тооны логарифм нь a суурьтай тэнцүү гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. Өөрөөр хэлбэл log a a p =p тэгш байдал үнэн байна. Жишээлбэл, бид 2 3 =8, дараа нь log 2 8=3 гэдгийг мэднэ. Энэ талаар бид нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоонууд бшалтгаанаар а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, Мөн б= а в, өөрөөр хэлбэл log α б=вТэгээд b=aвтэнцүү байна. Хэрэв a > 0, a ≠ 1, b > 0 байвал логарифм утга учиртай болно.

Өөрөөр хэлбэл логарифмтоо бшалтгаанаар Атоог өсгөх ёстой илтгэгч болгон томъёолсон адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).

Энэ томьёоллоос харахад x= log α гэсэн тооцоо гарч байна б, a x =b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл:

log 2 8 = 3 учир нь 8=2 3 .

Логарифмын заасан томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг бид тэмдэглэж байна логарифмын утгалогарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой хүч байх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бшалтгаанаар атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны зэрэг.

Логарифмын тооцоололд дурдсан болно логарифм. Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг гишүүний нийлбэр болгон хувиргадаг.

Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциаци хийх үед өгөгдсөн суурийг потенциацийг хийж буй илэрхийллийн хэмжээнд хүртэл нэмэгдүүлнэ. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэрийг хүчин зүйлийн үржвэр болгон хувиргадаг.

Ихэнх тохиолдолд 2 (хоёртын тоо), Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 (натурал логарифм) ба 10 (аравтын тоо) суурьтай бодит логарифмуудыг ашигладаг.

Энэ үе шатанд үүнийг анхаарч үзэх нь зүйтэй юм логарифмын жишээбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Мөн lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёр дахь нь сөрөг тоог байрлуулсан байна. суурь, гурав дахь нь - логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо ба суурь дахь нэгж.

Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авч байгааг авч үзье. Энэ нь бидэнд x = log α хэлбэрийн тэгш байдлыг хангахад тусална б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлийг ав a≠1. Аль ч хүчинд нэг нь нэгтэй тэнцүү тул x=log α тэнцүү байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b=1, гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a≠1.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг баталцгаая a>0. At a=0логарифмын томъёоллын дагуу зөвхөн үед л оршин тогтнох боломжтой b=0. Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг учраас тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд нөхцөл a≠0. Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррациональ илтгэгч нь зөвхөн сөрөг бус суурийн хувьд тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгуудын шинжилгээнээс татгалзах хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөл байдал үүссэн a>0.

БА сүүлчийн нөхцөл b>0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a>0, учир нь x=log α б, эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.

Логарифмын онцлог.

Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь шаргуу тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжихэд үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, зэрэгт өсгөх, үндэс авах нь үржүүлэх, хуваах зэрэгт тус тус хувирдаг.

Логарифмын томъёолол ба тэдгээрийн утгын хүснэгт (нь тригонометрийн функцууд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Напиер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглаж эхлэх хүртэл хамааралтай хэвээр байв.

үндсэн шинж чанарууд.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

ижил үндэслэл

log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та мэдэх болно яг үнэ цэнэүзэсгэлэнд оролцогчид, мөн Лев Толстойн төрсөн он сар өдөр.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - үүнгүйгээр ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон тестийн цаас. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Үүнийг харахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

гэж бодож байна сүүлчийн жишээтодруулах шаардлагатай. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томьёо. Логарифм бол шийдлийн жишээ юм.

Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоологч ба хуваагч нь ижил тоотой: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид тайвнаар дөрөв ба хоёрыг үржүүлээд дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо салцгаая аравтын логарифм, шинэ суурь руу шилжих:

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

b тооны суурь а хүртэлх логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолно гэдэг нь тэгш байдал үнэн байх ийм x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Дээр дурдсан шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай, учир нь тэдгээрийн үндсэн дээр бараг бүх асуудал, жишээг логарифм дээр үндэслэн шийддэг. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авч болно

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог тооцоолохдоо (3.4) ихэвчлэн тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр талтай байдаг.
Аравтын суурь логарифмыг ихэвчлэн арван суурь логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бүртгэлд үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь суурь нь экспонент (ln(x) гэж тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Өөр нэг чухал суурь нь хоёр логарифм юм

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Дээрх материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын бодлогыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгохын тулд би зөвхөн цөөн хэдэн нийтлэг жишээг өгөх болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөрболон их дээд сургуулиуд.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгавартай шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Хэд хэдэн дүрмийг ашиглан төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэлбэрт хялбаршуулсан болно

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид 5 ба 13-р шинж чанаруудыг сүүлийн үе хүртэл хэрэглэнэ

Тэмдэглэлд орлуулж, эмгэнэл илэрхийл

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Нөхцөлүүдийн нийлбэрээр логарифм бичих хувьсагчийн логарифмыг авна

Энэ бол логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг танд удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаархи мэдлэгийг өргөжүүлэх болно ...

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - үүнгүйгээр ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоологч ба хуваагч нь ижил тоотой: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид тайвнаар дөрөв ба хоёрыг үржүүлээд дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.