гэр › Дамжуулах хайрцаг (хурдны хайрцаг) › Шугаман програмчлалын хоёрдмол байдал. Тэнцвэрийн төрлүүд: Нэшийн тэнцвэр, Стекелберг, Парето оновчтой тэнцвэр, давамгайлсан стратегийн тэнцвэр Тэнцвэрийн шийдлийг олох оновчтой механизм юу вэ?

Шугаман програмчлалын хоёрдмол байдал. Тэнцвэрийн төрлүүд: Нэшийн тэнцвэр, Стекелберг, Парето оновчтой тэнцвэр, давамгайлсан стратегийн тэнцвэр Тэнцвэрийн шийдлийг олох оновчтой механизм юу вэ?

Хоёрдмол байдлын онолын үндсэн тодорхойлолтууд.

Шугаман програмчлалын бодлого бүр өөр шугаман програмчлалын бодлоготой холбоотой байж болно. Нэгийг нь шийдчихвэл нөгөө асуудал нь автоматаар шийдэгдэнэ. Ийм ажлуудыг харилцан давхар гэж нэрлэдэг. Өгөгдсөн асуудлыг (бид үүнийг анхны гэж нэрлэх болно) өгөгдсөн тохиолдолд бид түүний хоёр давхаргыг хэрхэн барьж болохыг харуулъя.

Төлөвлөсөн бүтээгдэхүүний асуудлыг авч үзье.

F=3 X 1 + 5X 2 + 4X 3 + 5X 4 → хамгийн их.
5x 1 +0.4x 2 +2x 3 +0.5x 4 ≤400
5x2 +x3 +x4 ≤300
x 1 + x 3 + x 4 ≤100
x 1 ≥0, x 2 ≥0, x 3 ≥0, x 4 ≥0

Давхар бодлогыг эмхэтгэх ерөнхий дүрмүүд:

Чигээрээ	давхар
Зорилтот функц (хамгийн их)	Хязгаарлалтын баруун гар тал
Хязгаарлалтын баруун гар тал	Зорилтот функц (мин)
A - хязгаарлалтын матриц	A T - хязгаарлалтын матриц
i -р хязгаарлалт: ≤ 0, (≥ 0)	Хувьсагч y i ≥ 0, (≤ 0)
i -р хязгаарлалт: = 0	Хувьсагч y i ≠ 0
Хувьсагч x j ≥ 0 (≤ 0)
Хувьсагч x j ≠ 0	j-р хязгаарлалт: = 0

хамгийн их → мин

Чигээрээ	давхар
Зорилтот функц (мин)	Хязгаарлалтын баруун гар тал
Хязгаарлалтын баруун гар тал	Зорилтот функц (хамгийн их)
A - хязгаарлалтын матриц	A T - хязгаарлалтын матриц
i -р хязгаарлалт: ≥ 0, (≤ 0)	Хувьсагч y i ≥ 0, (≤ 0)
i -р хязгаарлалт: = 0	Хувьсагч y i ≠ 0
Хувьсагч x j ≥ 0 (≤ 0)	j -th хязгаарлалт: ≤ 0 (≥ 0)
Хувьсагч x j ≠ 0	j-р хязгаарлалт: = 0

Дараах дүрмийн дагуу түүний давхар бодлогыг байгуулъя.

Хос бодлогын хувьсагчийн тоо нь анхных дахь тэгш бус байдлын тоотой тэнцүү байна.
Хос бодлогын коэффициентийн матрицыг анхных нь коэффициентийн матрицад шилжүүлнэ.
Анхны асуудлын чөлөөт нөхцлийн багана нь давхар зорилгын функцийн коэффициентүүдийн эгнээ юм. Зорилгын функцийг нэг асуудалд хамгийн их болгож, нөгөөд нь багасгасан.
Анхны бодлогын хувьсагчдын сөрөг бус байх нөхцөл нь нөгөө чиглэлд чиглэсэн давхар бодлогын тэгш бус байдал-хязгаарлалттай тохирч байна. Мөн эсрэгээр, эх хувилбар дахь тэгш бус байдал-хязгаарлалт нь давхард сөрөг бус байх нөхцөлтэй тохирч байна.

I даалгаврын матрицын мөрүүд нь II даалгаврын матрицын багана гэдгийг анхаарна уу. Иймд II бодлогын y i хувьсагчдын коэффициентүүд нь I бодлогын i -р тэгш бус байдлын коэффициентүүд юм.
Үүссэн загвар нь шууд бодлоготой давхар бодлогын эдийн засаг, математик загвар юм.

Сумаар холбогдсон тэгш бус байдал нь байх болно коньюгат гэж нэрлэдэг.
Давхар асуудлын утга учиртай томъёолол: нөөцийн нийт өртөг нь хамгийн бага байх Y = (y 1 , y 2 ..., y m) нөөцийн ийм багц үнийг (тооцоо) олох, энэ нь төрөл тус бүрийн үйлдвэрлэлд нөөцийн өртөгийг тооцсон тохиолдолд. Бүтээгдэхүүний ашиг нь ашгаас багагүй байх болно (эдгээр бүтээгдэхүүнийг борлуулснаас олсон орлого).
Хүлээн авсан эдийн засгийн ном зохиолд нөөцийн үнэ y 1 , y 2 ..., y m янз бүрийн гарчиг: нягтлан бодох бүртгэл, далд, сүүдэр. Эдгээр нэрсийн утга нь болзолт, "хуурамч" үнэ юм. "Гадаад" үнээс ялгаатай нь 1 , 2 ... , n -ээс бүтээгдэхүүний хувьд мэдэгдэж байгаа нь дүрэм ёсоор үйлдвэрлэл эхлэхээс өмнө нөөцийн үнэ y 1 , y 2 ..., y m дотоод байна. , учир нь тэдгээр нь гаднаас тогтоогдоогүй, харин асуудлыг шийдсэний үр дүнд шууд тодорхойлогддог тул тэдгээрийг ихэвчлэн нөөцийн тооцоо гэж нэрлэдэг.
Шууд ба давхар асуудлын хоорондын холбоо нь ялангуяа тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдлийг нөгөөгийнхөө шийдлээс шууд олж авах боломжтой байдагт оршино.

Хоёрдмол байдлын теоремууд

Хоёрдмол байдал нь шугаман програмчлалын онолын үндсэн ойлголт юм. Хоёрдмол байдлын онолын үндсэн үр дүн нь хоёрдмол байдлын теорем гэж нэрлэгддэг хоёр теоремд агуулагддаг.

Хоёрдмол байдлын анхны теорем.

Хэрэв I ба II хос бодлогын нэг нь шийдэгдэх боломжтой бол нөгөө нь шийдэгдэх боломжтой бөгөөд оновчтой төлөвлөгөөний зорилгын функцүүдийн утга ижил байна. Ф(x*) = Г(y*), энд x *, y * - I ба II асуудлын оновчтой шийдэл

Хоёрдахь хоёрдмол теорем.

I ба II бодлогод x * ба у * төлөвлөгөөнүүд нь I ба II бодлогын хязгаарлалтын системд орлуулсны дараа аль нэг хос тэгш бус байдлын аль нэг нь тэгш байдал болох тохиолдолд л оновчтой болно.
Энэ үндсэн хоёрдмол теорем. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв x * ба у * нь анхдагч ба хос бодлогын хэрэгжих боломжтой шийдэл бөгөөд хэрэв c T x*=b T y* бол x * ба у * хос хос бодлогын оновчтой шийдэл болно.

Гурав дахь хоёрдмол теорем. Давхар асуудлын оновчтой шийдэл дэх y i хувьсагчдын утгууд нь хязгаарлалтын системийн чөлөөт гишүүдийн b i нөлөөллийн тооцоо юм - энэ асуудлын зорилгын функцийн утгад шууд асуудлын тэгш бус байдал.
Δf(x) = b i y i

LLP-ийг симплекс аргаар шийдэж, бид давхар ХХК-ийг нэгэн зэрэг шийддэг. Оновчтой төлөвлөгөөнд байгаа y i давхар асуудлын хувьсагчдын утгыг объектив тодорхойлсон буюу давхар тооцоо гэж нэрлэдэг. Хэрэглэсэн асуудлуудад давхар тооцооллыг y i ихэвчлэн далд, далд үнэ эсвэл ахиу нөөцийн тооцоо гэж нэрлэдэг.

Харилцан давхар асуудлын өмч

Нэг бодлогод шугаман функцийн хамгийн ихийг, нөгөөд хамгийн бага утгыг эрэлхийлнэ.
Нэг бодлогын шугаман функц дэх хувьсагчдын коэффициентүүд нь нөгөө асуудлын хязгаарлалтын системийн чөлөөт гишүүд юм.
Бодлого бүрийг стандарт хэлбэрээр өгөгдсөн бөгөөд максимумжуулах бодлогод ≤ хэлбэрийн бүх тэгш бус байдлыг, харин багасгах бодлогод ≥ хэлбэрийн бүх тэгш бус байдлыг тусгана.
Хоёр асуудлын хязгаарлалтын систем дэх хувьсагчдын коэффициент матрицуудыг бие биендээ шилжүүлнэ.
Нэг бодлогын хязгаарлалтын систем дэх тэгш бус байдлын тоо нь нөгөө бодлогын хувьсагчийн тоотой ижил байна.
Хувьсагчийн сөрөг бус байх нөхцөл нь хоёр асуудалд байдаг.

Тэнцвэрийн теорем

Даалгавар 2
Бодлого 1. Давхар бодлого зохио тэнцвэрийн теоремоор шийднэ.
3x1 +x2 ≥12
x1 +2x2 ≥14
4x1 +11x2 ≥68

Тэнцвэрийн теорем . X*=(x 1 *,...,x n *) ба Y*=(y 1 *,...,y n *) тэгш хэмтэй хос бодлогын хос бодлогын зөвшөөрөгдөх загвар гэж үзье. Дараах нэмэлт сул нөхцөл хангагдсан тохиолдолд эдгээр төлөвлөгөө нь оновчтой болно.

Теорем 4 нь хос бодлогын аль нэгийг нь нөгөөг нь шийдэж оновчтой шийдлийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Нэг бодлогын хязгаарлалт нь оновчтой шийдийг орлуулах үед хатуу тэгш бус байдал болж хувирвал хос бодлогын оновчтой шийдэлд харгалзах хос хувьсагч 0-тэй тэнцүү байна. Хэрэв нэг бодлогын оновчтой төлөвлөгөөнд аль нэг хувьсагч эерэг байвал хос бодлогын харгалзах хязгаарлалт нь тэгшитгэл юм.
Нэмэлт сул дорой байдлын нөхцлийн эдийн засгийн тайлбарыг өгье. Хэрэв оновчтой шийдэлд зарим түүхий эд 0-ээс өөр тооцоотой байвал тэр нь бүрэн дуусна (нөөц хомс). Хэрэв түүхий эд бүрэн ашиглагдаагүй бол (илүү их байвал) түүний үнэлгээ 0-тэй тэнцүү байна. Иймээс бид давхар үнэлгээ нь түүхий эдийн хомсдлын хэмжүүр болохыг олж мэдэв. Тооцоолол нь харгалзах түүхий эдийн нөөц 1 нэгжээр нэмэгдэхэд зорилгын функцын утга хэр нэмэгдэхийг харуулж байна. Хэрэв тодорхой төрлийн бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэлийн төлөвлөгөөнд тусгасан бол түүнийг үйлдвэрлэх өртөг нь үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний өртөгтэй давхцдаг. Бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх зардал нь тухайн бүтээгдэхүүний өртгөөс их байвал бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэгдээгүй болно.
Хос бодлогын аль нэг нь хоёр хувьсагчтай бол түүнийг графикаар шийдэж, дараа нь 3 ба 4-р теоремуудыг ашиглан давхар асуудлын шийдлийг олох боломжтой. Энэ тохиолдолд 3 тохиолдол гарч болно: хоёуланд нь боломжит шийдэл байдаг. нэг нь боломжтой шийдлийн асуудалтай, аль алинд нь боломжит шийдэл байхгүй.

Жишээ 2
Давхар бодлого зохиож, тэнцвэрийн теоремыг ашиглан шийдийг ол
x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5 ≤4
-2x 1 -2x 2 +2x 3 +2x 4 +x 5 ≥2
x i ≥0, i=1.5
Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max, хэрэв анхны бодлогын шийдэл нь тодорхой бол: Zmax=(3;4;0;0;0;0).
Давхар бодлого байгуулъя. Бид тэгш бус байдлын шинж тэмдгүүдийг анхны асуудлын зорилготой хүлээн зөвшөөрч байна.

Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max
Давхар даалгавар:

W=4y 1 -2y 2 → мин
Хос бодлогын оновчтой шийдийг тэнцвэрийн теорем ашиглан олъё. Нэмэлт сул дорой байдлын нөхцөлүүдийг бичье.
y 1 (4-(x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5))=0
y 2 (-2-(2х 1 -2х 2 -2х 3 -2х 4 -х 5))=0
x 1 (-2y 2 -10)=0
x 2 (y 1 -2y 2 +9)=0
x 3 (-2y 1 -2y 2 +19)=0
x 4 (2y 1 -2y 2 +13)=0
x 5 (-2y 1 -y 2 +11)=0
Анхны бодлогын оновчтой шийдийг эмхэтгэсэн системд орлуулж үзье: x 1 =3, x 2 =4, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =0.
y 1 (4-(4-2 0+2 0-2 0))=0
y 2 (-2-(2 3-2 4-2 0-2 0-0))=0 W(y 1 , y 2 , y 3)=12y 1 +31y 2 +18y 3 → max . Теорем 3-аар Zmax=Wmin=100000.
Эцэст нь Wmin=W(0; 4000/7; 32000/21) = 100000

Антагонист тоглолтын хувьд аль ч тоглогч түүнээс хазайх нь ашиггүй үр дүнг оновчтой гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм. Ийм үр дүнг (х*,у*) тэнцвэрийн нөхцөл гэж нэрлэдэг ба тэнцвэрт байдлыг олоход үндэслэсэн оновчтой байх зарчмыг тэнцвэрийн зарчим гэнэ.

Тодорхойлолт. Хэмжээний матрицтай матрицын тоглоомд үр дүн нь гардаг тэнцвэрт байдалэсвэл эмээлийн цэг бол

Эмээлийн цэг дээр матрицын элемент нь эгнээн дэх хамгийн бага ба баганын хамгийн их утга юм. Тоглоомын жишээн дээрх 2-р элемент а 33эмээлийн цэг юм. Энэ тоглоомын хамгийн оновчтой нь хоёр тоглогчийн гурав дахь стратеги юм. Хэрэв эхний тоглогч гурав дахь стратегиасаа хазайвал түүнээс бага хожиж эхэлнэ а 33. Хэрэв хоёр дахь тоглогч гурав дахь стратегиас хазайвал тэр илүү ихийг алдаж эхэлдэг а 33. Тиймээс хоёр тоглогчийн хувьд гурав дахь стратегийг тууштай баримтлахаас илүү сайн зүйл байхгүй.

Оновчтой зан үйлийн зарчим: хэрэв матрицын тоглоомонд эмээлийн цэг байгаа бол хамгийн оновчтой стратеги нь эмээлийн цэгт тохирох сонголт юм. Тоглоомонд нэгээс олон эмээлийн цэг байвал яах вэ?

Теорем. Болъё матрицын тоглоомд дурын хоёр эмээлийн оноо. Дараа нь:

Баталгаа. Тэнцвэрийн нөхцөл байдлын тодорхойлолтоос бид дараах байдалтай байна.

Тэгш бус байдлын зүүн талд (2.8) , баруун талд - , тэгш бус байдлын зүүн талд (2.9) - , баруун талд - гэж орлуулъя. Дараа нь бид:

Тэгш байдал хаанаас гардаг вэ:

Тэнцвэрийн бүх нөхцөл байдалд төлбөрийн функц нь ижил утгыг авдаг гэсэн теоремоос гарч байна. Тийм учраас энэ дугаарыг дуудаж байна тоглоомын зардлаар. Мөн эмээлийн цэгүүдийн аль нэгэнд тохирсон стратеги гэж нэрлэдэг оновчтой стратегиуд 1 ба 2-р тоглогчид. (2.7)-ын дагуу тоглогчийн бүх оновчтой стратегийг сольж болно.

Тоглолтын стратегийн багц хэвээр үлдэж, өгөөжийн функцийг эерэг тогтмол тоогоор үржүүлбэл (эсвэл түүнд тогтмол тоог нэмбэл) тоглогчдын зан үйлийн оновчтой байдал өөрчлөгдөхгүй.

Теорем. Матрицын тоглоомд эмээлийн цэг (i*,j*) байхын тулд максимин нь минимакстай тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

(2.10)

Баталгаа. Хэрэгцээ.Хэрэв (i*,j*) нь эмээлийн цэг бол (2.6)-ын дагуу:

(2.11)

Гэсэн хэдий ч бидэнд байна:

(2.12)

(2.11) ба (2.12) -аас бид дараахь зүйлийг авна.

(2.13)

Үүнтэй адил маргаж, бид тэгш байдалд хүрнэ:

Тиймээс,

Нөгөө талаас урвуу тэгш бус байдал (2.5) үргэлж хангагдсан тул (2.10) үнэн байна.

Хангалттай байдал. (2.10) үнэн байг. Эмээлийн цэг байдгийг нотолцгооё. Бидэнд байгаа:

Тэгш байдлын дагуу (2.10) тэгш бус байдал (2.15) ба (2.16) тэнцүү болж хувирдаг. Үүний дараа бидэнд:

Теорем нь батлагдсан. Энэ нь ч батлагдсан ерөнхий утгамаксимин ба минимакс нь тоглоомын үнэтэй тэнцүү байна.

Холимог тоглоомын өргөтгөл

Матрицын G тоглоомыг авч үзье. Хэрэв түүнд тэнцвэрт байдал байгаа бол минимакс нь максиминтай тэнцүү байна. Түүнчлэн, тоглогч бүр өөр тоглогчдоо өөрийн оновчтой стратегийн талаарх мэдээллийг хэлж чадна. Түүний өрсөлдөгч нь энэ мэдээллээс нэмэлт ашиг олж чадахгүй. Одоо G тоглоомонд тэнцвэрт байдал байхгүй гэж бодъё. Дараа нь:

Энэ тохиолдолд минимакс ба максимин стратеги тогтвортой биш байна. Тоглогчид илүү их ашиг хүртэх боломжтой холбоотой ухаалаг стратегиасаа хазайх урамшуулалтай байж болох ч алдах эрсдэлтэй, өөрөөр хэлбэл ухаалаг стратеги ашиглахаас бага ашиг хүртэх эрсдэлтэй байж болно. Эрсдэлтэй стратегиудыг ашиглах үед тэдгээрийн талаарх мэдээллийг өрсөлдөгчдөө шилжүүлэх нь хортой үр дагаварт хүргэдэг: тоглогч болгоомжтой стратеги ашиглахаас хамаагүй бага ашиг авдаг.

Жишээ 3. Тоглоомын матрицыг дараах байдлаар харцгаая.

Ийм матрицын хувьд, i.e. тэнцвэр байхгүй. Тоглогчдын болгоомжтой стратеги нь i*=1, j*=2. 2-р тоглогч j*=2 стратегийг дагаж, 1-р тоглогч i=2 стратегийг сонго. Дараа нь сүүлийнх нь 3-ын ашиг авах бөгөөд энэ нь максиминаас хоёр нэгжээр илүү юм. Гэсэн хэдий ч 2-р тоглогч 1-р тоглогчийн төлөвлөгөөний талаар таамаглавал тэрээр стратегиа j=1 болгож өөрчлөх бөгөөд дараа нь эхнийх нь 0-ийн ашиг авах болно, өөрөөр хэлбэл түүний дээд хэмжээнээс бага. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг хоёр дахь тоглогчийн хувьд хийж болно. Ерөнхийдөө тоглоомын тусдаа тоглоомд адал явдалт стратегийг ашиглах нь баталгаатай үр дүнгээс илүү үр дүнд хүргэж болзошгүй гэж бид дүгнэж болно, гэхдээ үүнийг ашиглах нь эрсдэлтэй холбоотой юм. Асуулт гарч ирнэ, найдвартай болгоомжтой стратегийг адал явдалт стратегитай хослуулж, дундаж ашгаа нэмэгдүүлэх боломжтой юу? Үндсэндээ асуулт бол тоглогчдын хооронд ашиг (2.17) хэрхэн хуваах вэ?

Холимог стратеги, өөрөөр хэлбэл цэвэр стратегиудыг санамсаргүй байдлаар сонгох нь боломжийн шийдэл болох нь харагдаж байна. Үүнийг эргэн сана 1-р тоглогчийн стратегийг холимог гэж нэрлэдэг, хэрэв i-р эгнээний сонголтыг тэр ямар нэг магадлалаар хийсэн бол p i .Ийм стратегийг магадлалын хуваарилалтаар тодорхойлж болно олон мөрөнд. Эхний тоглогч m цэвэр стратегитэй, хоёр дахь тоглогч n цэвэр стратегитэй гэж бодъё. Дараа нь тэдгээрийн холимог стратеги нь магадлалын векторууд юм.

(2.18)

Жишээ 3-т эхний тоглогчийн хоёр боломжит холимог стратегийг авч үзье. . Эдгээр стратеги нь цэвэр стратегиудын хоорондох магадлалын хуваарилалтаар ялгаатай байдаг. Хэрэв эхний тохиолдолд матрицын мөрүүдийг тоглогч тэнцүү магадлалтайгаар сонгосон бол хоёр дахь тохиолдолд өөр өөр байна. Холимог стратегийн тухай ярихдаа бид үүнийг хэлдэг санамсаргүй сонголт"санамсаргүй байдлаар" сонголт биш, харин бидэнд хэрэгтэй магадлалын хуваарилалтыг хангадаг санамсаргүй механизмын ажилд суурилсан сонголт. Тиймээс эхний холимог стратегийг хэрэгжүүлэхийн тулд зоос шидэх нь маш тохиромжтой. Тоглогч зоос хэрхэн унахаас хамааран эхний эсвэл хоёр дахь мөрийг сонгоно. Дунджаар тоглогч эхний эгнээ болон хоёр дахь эгнээ хоёуланг нь адилхан сонгох боловч тоглоомын тодорхой давталт дахь сонголт нь ямар ч тогтсон дүрэмд хамаарахгүй бөгөөд нууцлалын дээд зэрэгтэй байдаг: санамсаргүй механизмыг хэрэгжүүлэхээс өмнө. , энэ нь хамгийн анхны тоглогчид ч мэдэгддэггүй. Хоёрдахь холимог стратегийг хэрэгжүүлэхийн тулд сугалах механизм нь маш тохиромжтой. Тоглогч долоон ижил цаас авч, гурвыг нь загалмайгаар тэмдэглээд малгай руу шиддэг. Тэгээд санамсаргүй байдлаар тэр нэгийг нь гаргаж авдаг. Сонгодог магадлалын онолоор тэрээр 3/7 магадлалтай загалмайтай цаас, 4/7 магадлалтай цэвэрхэн цаас гаргаж ирнэ. Ийм татах механизм нь аливаа оновчтой магадлалыг хэрэгжүүлэх чадвартай.

Тоглогчид холимог стратегийг дагаж мөрдөөрэй (2.18). Дараа нь тоглоомын нэг давталт дахь эхний тоглогчийн өгөөж нь санамсаргүй хувьсагч болно. v(X,Y). Тоглогчид стратегийг бие биенээсээ хамааралгүйгээр сонгодог тул магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу ялалт бүхий үр дүнг (i, j) сонгох магадлал нь магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль v(X,Y)дараах хүснэгтээр өгөгдсөн

Одоо тоглоомыг тодорхойгүй хугацаагаар явуулъя. Дараа нь ийм тоглоомын дундаж ашиг нь үнэ цэнийн математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна v(X,Y).

(2.19)

Эцсийн үед гэхдээ хангалттай их тооТоглоомын давталтуудын дундаж ашиг нь үнэ цэнээс (2.19) бага зэрэг ялгаатай байх болно.

Жишээ 4. Тоглогчид дараах стратегийг ашиглах үед 3-р жишээн дээрх тоглоомын дундаж үр өгөөжийг (2.19) тооцоол. . Төлбөрийн матриц ба магадлалын матриц нь дараах байдалтай байна.

Дундажийг олъё:

Тиймээс дундаж ашиг (2.20) нь максимин ба минимаксын хооронд завсрын байна.

X ба Y холимог стратегийн аль ч хосын хувьд тоглоомын дундаж утгыг тооцоолох боломжтой тул оновчтой стратегийг олох асуудал гарч ирдэг. Болгоомжтой стратеги судлахаас эхлэх нь зүйн хэрэг. Эхний тоглогчийн болгоомжтой стратеги нь түүнийг дээд зэргээр хангадаг. Хоёрдахь тоглогчийн болгоомжтой стратеги нь эхнийх нь минимаксаас илүү хожих боломжийг олгодоггүй. Эсрэг сонирхол бүхий тоглоомын онолын хамгийн чухал үр дүнг дараахь байдлаар авч үзэж болно.

Теорем. Матрицын тоглоом бүр холимог стратеги дахь тэнцвэрийн нөхцөл байдалтай байдаг. Энэ теоремыг батлах нь тийм ч хялбар биш юм. Энэ хичээлд үүнийг орхигдуулсан.

Үр дагавар: Тэнцвэрийн нөхцөл байгаа нь максимин нь минимакстай тэнцүү байх тул аливаа матрицын тоглоом үнэтэй байдаг. Эхний тоглогчийн хувьд оновчтой стратеги бол максимин стратеги юм. Хоёр дахь хамгийн оновчтой стратеги бол минимакс юм. Оновчтой стратеги олох асуудал шийдэгдсэн тул бид ямар ч матриц тоглоом гэж хэлдэг шийдвэрлэх боломжтойхолимог стратегийн багц дээр.

Тоглоомын шийдэл 2х2

Жишээ 5. Тоглоомыг шийд. Эмээлийн цэг байхгүй эсэхийг шалгах нь тийм ч хэцүү биш юм. Эхний тоглогчийн оновчтой стратегийг тэмдэглэ (x, 1-x)нь баганын вектор боловч ая тухтай байлгах үүднээс бид үүнийг мөр болгон бичдэг. Хоёр дахь тоглогчийн оновчтой стратегийг тэмдэглэ (y,1-y).

Эхний тоглогчийн ашиг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дараах тархалттай байна.

v(x,y)	2	-1	-4	7
х	xy	x(1-y)	(1х) ж	(1-х)(1-ж)

Бид эхний тоглогчийн давталтын дундаж үр өгөөжийг олдог - санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт. v(x,y):

Энэ илэрхийлэлийг өөрчилье:

Энэхүү математикийн хүлээлт нь тогтмол (5/7) ба хувьсах хэсгээс бүрдэнэ. 14(x-11/14)(y-8/14). Хэрэв үнэ цэнэ y 8/14-ээс ялгаатай бол эхний тоглогч үргэлж сонгож болно Xхувьсах хэсгийг эерэг болгох замаар хожлынхоо хэмжээг нэмэгдүүлнэ. Хэрэв үнэ цэнэ X 11/14-ээс ялгаатай бол хоёр дахь тоглогч үргэлж сонгох боломжтой yхувьсах хэсгийг сөрөг болгохын тулд эхний тоглогчийн өгөөжийг бууруулна. Тиймээс эмээлийн цэгийг x*=11/14, y*=8/14 гэсэн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

2.5 Тоглоомын шийдэл

Ийм тоглоомыг хэрхэн шийдэхийг жишээгээр харуулах болно.

Жишээ 6. Тоглоомыг шийд . Бид эмээлийн цэг байхгүй эсэхийг шалгадаг. Эхний тоглогчийн холимог стратегийг тэмдэглэ X=(x, 1-x)нь баганын вектор боловч ая тухтай байлгах үүднээс бид үүнийг мөр болгон бичдэг.

Эхний тоглогч X стратегийг, хоёр дахь нь түүнийх j-р цэвэрстратеги. Энэ нөхцөлд эхний тоглогчийн дундаж цалинг . Бидэнд байгаа:

(2.21) функцын графикийг сегмент дээр зуръя.

Шугамын аль ч хэсэгт байрлах цэгийн ординат нь холимог стратеги ашигладаг анхны тоглогчийн өгөөжтэй тохирч байна. (x,(1-x)), хоёр дахь тоглогч харгалзах цэвэр стратеги. Эхний тоглогчийн баталгаатай үр дүн нь гэр бүлийн шугамын доод дугтуй (эвдэрсэн ABC) юм. хамгийн өндөр цэгэнэ тасархай шугам (B цэг) нь 1-р тоглогчийн хамгийн их баталгаатай үр дүн юм. В цэгийн абсцисса нь эхний тоглогчийн оновчтой стратегитай тохирч байна.

Хүссэн B цэг нь шугамуудын огтлолцол бөгөөд түүний абсциссыг тэгшитгэлийн шийдэл болгон олж болно.

Тиймээс эхний тоглогчийн оновчтой холимог стратеги нь (5/9, 4/9) юм. В цэгийн ординат нь тоглоомын үнэ юм. Энэ нь тэнцүү байна:

(2.22)

Хоёрдахь тоглогчийн хоёрдахь стратегид тохирох шугам нь В цэгийн дээгүүр өнгөрч байгааг анхаарна уу. Энэ нь хэрэв эхний тоглогч өөрийн оновчтой стратегийг хэрэглэж, 2-р тоглогч хоёр дахь стратегийг ашиглавал хоёр дахь тоглогчийн алдагдал стратеги хэрэглэхтэй харьцуулахад нэмэгдэнэ гэсэн үг юм. 1 эсвэл 3. Тиймээс хоёр дахь стратеги нь хоёр дахь тоглогчийн оновчтой стратегид оролцох ёсгүй. 2-р тоглогчийн оновчтой стратеги нь: . Оновчтой стратегид тэгээс бусад бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй хоёр дахь тоглогчийн 1 ба 3-р цэвэр стратеги гэж нэрлэдэг. чухал ач холбогдолтой. Стратеги 2 гэж нэрлэдэг ач холбогдолгүй. Дээрх зураг, мөн тэгш байдал (2.22)-аас харахад эхний тоглогч оновчтой стратегиа ашиглах үед хоёр дахь тоглогчийн ашиг нь түүний үндсэн стратегиудын алийг нь ашиглахаас хамаарахгүй болохыг харж болно. Тэрээр мөн чухал (ялангуяа оновчтой) стратегиас бүрдэх аливаа холимог стратегийг хэрэглэж болно, энэ тохиолдолд ашиг нь өөрчлөгдөхгүй. Бүрэн ижил төстэй мэдэгдэл нь эсрэг тохиолдолд үнэн юм. Хэрэв хоёр дахь тоглогч оновчтой стратегиа ашигладаг бол эхний тоглогчийн ашиг нь түүний аль стратегийг ашиглахаас хамаарахгүй бөгөөд тоглоомын өртөгтэй тэнцүү байна. Энэ мэдэгдлийг ашиглан бид хоёр дахь тоглогчийн оновчтой стратегийг олдог.

Мөргөлдөөний онолын оновчтой стратеги нь тоглогчдыг тогтвортой тэнцвэрт байдалд хүргэдэг стратегиуд юм. бүх тоглогчдын сэтгэлд нийцсэн зарим нөхцөл байдал.

Тоглоомын онол дахь шийдлийн оновчтой байдал нь үзэл баримтлалд суурилдаг тэнцвэрт байдал:

1) Хэрэв бусад тоглогчид тэнцвэрт байдалд байгаа бол тоглогчдын аль нэг нь тэнцвэрт байдлаас хазайх нь ашиггүй;

2) тэнцвэрийн утга - тоглоомыг олон удаа давтах замаар тоглогчид тэнцвэрт байдалд хүрч, аливаа стратегийн нөхцөл байдалд тоглоомыг эхлүүлнэ.

Харилцан үйлчлэл бүрт дараахь төрлийн тэнцвэрт байдал байж болно.

1. тэнцвэр болгоомжтой стратегиудад . Тоглогчдыг хангах стратегиар тодорхойлогддог баталгаатай үр дүн;

2. тэнцвэр давамгайлсан стратегиудад .

Давамгайлсан стратегиЭнэ нь нөгөө оролцогчийн үйлдлээс үл хамааран оролцогчдод хамгийн их ашиг өгдөг ийм үйл ажиллагааны төлөвлөгөө юм. Тиймээс давамгайлсан стратегийн тэнцвэр нь тоглоомын оролцогчдын аль алиных нь давамгайлсан стратегийн огтлолцол байх болно.

Хэрэв тоглогчдын оновчтой стратеги нь бусад бүх стратегид давамгайлж байвал тоглоом давамгайлсан стратегиудад тэнцвэртэй байна. Хоригдлуудын дилемма тоглоомд Нэшийн тэнцвэрийн багц стратеги ("хүлээн зөвшөөрөх - хүлээн зөвшөөрөх") байх болно. Түүнчлэн, А болон В тоглогчийн аль алиных нь хувьд "таних" нь давамгайлсан стратеги, харин "танихгүй" нь давамгайлж байгааг анхаарах нь чухал;

3. тэнцвэр Нэш . Нэшийн тэнцвэргэдэг нь хоёр ба түүнээс дээш тоглогчийн оролцоотой, бусад оролцогчид шийдвэрээ өөрчлөөгүй тохиолдолд нэг талын шийдвэрээ өөрчилснөөр өгөөжөө нэмэгдүүлэх боломжгүй гэсэн хоёр ба түүнээс дээш тоглогчийн нэг төрлийн шийдвэр юм.

Тоглоомыг хэлье nнүүр царай нь хэвийн хэлбэр, энд нь цэвэр стратегийн багц ба өгөөжийн багц юм.

Тоглогч бүр стратегийн профайл дээр стратеги сонгоход тоглогч ашиг хүртэх болно. Түүгээр ч барахгүй ашиг нь стратегийн бүх дүр төрхөөс хамаарна: зөвхөн тоглогч өөрөө сонгосон стратегиас гадна бусад хүмүүсийн стратегиас хамаарна. Стратегийн профайл нь стратегийн өөрчлөлт нь аль ч тоглогч, өөрөөр хэлбэл хэн нэгэнд ашиггүй бол Нэшийн тэнцвэрт байдал юм.

Тоглоом нь цэвэр болон холимог стратегийн аль алинд нь Нэшийн тэнцвэртэй байж болно.

Хэрэв зөвшөөрвөл Нэш үүнийг нотолсон холимог стратеги, дараа нь тоглолт бүрт nтоглогчид дор хаяж нэг Нэшийн тэнцвэртэй байх болно.

Нэшийн тэнцвэрт байдалд тоглогч бүрийн стратеги нь бусад тоглогчдын стратегид хамгийн сайн хариу үйлдэл үзүүлэх боломжийг олгодог;

4. Тэнцвэр Стекельберг. Stackelberg загвар– Мэдээллийн тэгш бус байдал байгаа тохиолдолд олигополийн зах зээлийн тоглоомын онолын загвар. Энэхүү загварт пүүсүүдийн зан төлөвийг бүрэн төгс мэдээлэл бүхий динамик тоглоомоор дүрсэлсэн бөгөөд үүнд пүүсүүдийн зан үйлийг загварчлах боломжтой. статик-тай тоглоомууд бүрэн мэдээлэл. Гол онцлогТоглоом гэдэг нь барааны үйлдвэрлэлийн хэмжээг хамгийн түрүүнд тогтоодог тэргүүлэгч пүүс байгаа бөгөөд бусад пүүсүүд тооцоололдоо үүнийг удирдан чиглүүлдэг. Тоглоомын үндсэн урьдчилсан нөхцөл:

Аж үйлдвэр нь нэгэн төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг: өөр өөр пүүсүүдийн бүтээгдэхүүний ялгаа бага байдаг бөгөөд энэ нь худалдан авагч аль пүүсээс худалдан авахаа сонгохдоо зөвхөн үнэд анхаарлаа хандуулдаг гэсэн үг юм;

Энэ салбарт цөөн тооны пүүсүүд байдаг.

пүүсүүд үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг тогтоож, түүний үнийг эрэлтээс хамааран тогтоодог;

Үйлдвэрлэлийн хэмжээгээр бусад пүүсүүд удирддаг тэргүүлэгч пүүс гэж нэрлэгддэг пүүс байдаг.

Тиймээс Stackelberg загварыг динамик тоглоомуудад оновчтой шийдлийг олоход ашигладаг бөгөөд нэг буюу хэд хэдэн тоглогчийн аль хэдийн хийсэн сонголтын дараа үүссэн нөхцөл байдалд үндэслэн тоглогчдын хамгийн их ашигт нийцдэг. Стекельбергийн тэнцвэр.- тоглогчдын хэн нь ч дангаараа ялалтаа нэмэгдүүлэх боломжгүй, шийдвэрийг нэг тоглогч эхлээд гаргаж, хоёр дахь нь мэддэгтоглогч. Хоригдлуудын дилемма тоглоомд Stackelberg тэнцвэрт байдалд хүрэх болно (1; 1) - гэмт хэрэгтэн хоёулаа "гэм буруугаа хүлээн зөвшөөрөх";

5. Паретогийн оновчтой байдал- системийн төлөв байдлыг тодорхойлсон шалгуур бүрийн үнэ цэнийг бусад тоглогчдын байр суурийг дордуулахгүйгээр сайжруулах боломжгүй системийн төлөв байдал.

Паретогийн зарчимд: "Алдагдал үүсгэдэггүй, гэхдээ зарим хүмүүст ашиг тустай (өөрсдийнх нь тооцоогоор) аливаа өөрчлөлт нь сайжруулалт юм." Тиймээс хэн нэгэнд нэмэлт хор хөнөөл учруулахгүй бүх өөрчлөлтийн эрхийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Парето оновчтой байх системийн төлөвүүдийн багцыг "Парето олонлог", "Паретогийн утгаараа оновчтой хувилбаруудын багц" эсвэл "Онтой хувилбаруудын багц" гэж нэрлэдэг.

Паретогийн үр ашигт хүрсэн нөхцөл байдал нь солилцооны бүх ашиг тус дууссан нөхцөл байдал юм.

Паретогийн үр ашиг нь орчин үеийн эдийн засгийн гол ойлголтуудын нэг юм. Энэхүү үзэл баримтлалд үндэслэн халамжийн нэг ба хоёр дахь үндсэн теоремуудыг бий болгосон.

Паретогийн оновчтой байдлын хэрэглээний нэг бол олон улсын эдийн засгийн интеграцид нөөцийг (хөдөлмөр, капитал) Парето хуваарилах явдал юм. хоёр ба түүнээс дээш улсын эдийн засгийн нэгдэл. Сонирхолтой нь олон улсын эдийн засгийн интеграцчлалын өмнөх болон дараах Паретогийн тархалтыг математикийн хувьд хангалттай тайлбарласан байдаг (Далимов Р.Т., 2008). Шинжилгээгээр салбаруудын нэмүү өртөг, хөдөлмөрийн нөөцийн орлого нь сансар огторгуй дахь хий эсвэл шингэнтэй төстэй дулаан дамжуулах тэгшитгэлийн дагуу эсрэг чиглэлд шилжиж байгааг харуулсан бөгөөд энэ нь ашигласан шинжилгээний аргыг ашиглах боломжийг олгодог. эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн шилжилт хөдөлгөөний эдийн засгийн асуудлуудтай холбоотой физикийн хувьд.

Парето оновчтойНийгмийн сайн сайхан байдал дээд цэгтээ хүрч, энэхүү хуваарилалтад гарсан аливаа өөрчлөлт нь эдийн засгийн тогтолцооны нэг субьектийн сайн сайхан байдлыг дордуулсан тохиолдолд нөөцийн хуваарилалт оновчтой болно гэж заасан.

Парето-зах зээлийн оновчтой байдал- эдийн засгийн үйл явцад оролцогчдын аль нэгнийх нь сайн сайхан байдлыг нэгэн зэрэг бууруулахгүйгээр тэдний байр суурийг сайжруулах боломжгүй нөхцөл байдал.

Паретогийн шалгуурын дагуу (нийгмийн сайн сайхан байдлын өсөлтийн шалгуур) хамгийн оновчтой руу шилжих нь зөвхөн нэг хүний сайн сайхан байдлыг хэн нэгэнд хохирол учруулахгүйгээр нэмэгдүүлэх нөөцийн хуваарилалтаар л боломжтой юм.

S* нөхцөл байдлыг Парето давамгайлсан нөхцөл S гэж хэлнэ, хэрэв:

ямар ч тоглогчийн хувьд түүний ашиг S<=S*

· S*>S нөхцөл байдалд түүний үр шимийг хүртэх ядаж нэг тоглогч байдаг

"Хоригдлуудын дилемма" асуудалд Паретогийн тэнцвэрт байдал нь нөгөө тоглогчийн байрлалыг дордуулахгүйгээр аль нэг тоглогчийн байрлалыг сайжруулах боломжгүй тохиолдолд талбайн нөхцөлтэй тохирч байна (2; 2).

Санаж үз жишээ 1.

Тоглоомын онол дахь шийдлийн оновчтой байдал нь үзэл баримтлалд суурилдаг тэнцвэрт байдал:

Харилцан үйлчлэл бүрт дараахь төрлийн тэнцвэрт байдал байж болно.

1. тэнцвэр болгоомжтой стратегиудад . Тоглогчдод баталгаатай үр дүнг өгдөг стратегиар тодорхойлогддог;

2. тэнцвэр давамгайлсан стратегиудад .

Тоглоомыг хэлье nнүүр царай нь хэвийн хэлбэр, энд нь цэвэр стратегийн багц ба өгөөжийн багц юм.

Тоглоом нь цэвэр болон холимог стратегийн аль алинд нь Нэшийн тэнцвэртэй байж болно.

4. Тэнцвэр Стекельберг. Stackelberg загвар– Мэдээллийн тэгш бус байдал байгаа тохиолдолд олигополийн зах зээлийн тоглоомын онолын загвар. Энэхүү загварт пүүсүүдийн зан төлөвийг бүрэн төгс мэдээлэл бүхий динамик тоглоомоор дүрсэлсэн бөгөөд үүнд пүүсүүдийн зан үйлийг загварчлах боломжтой. статикбүрэн мэдээлэл бүхий тоглоомууд. Тоглоомын гол онцлог нь барааны гарцын хэмжээг эхлээд тогтоодог тэргүүлэгч пүүс байдаг бөгөөд бусад пүүсүүд тооцоололдоо түүгээр удирддаг. Тоглоомын үндсэн урьдчилсан нөхцөл:

Энэ салбарт цөөн тооны пүүсүүд байдаг.

пүүсүүд үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг тогтоож, түүний үнийг эрэлтээс хамааран тогтоодог;

Үйлдвэрлэлийн хэмжээгээр бусад пүүсүүд удирддаг тэргүүлэгч пүүс гэж нэрлэгддэг пүүс байдаг.

Тиймээс Stackelberg загварыг динамик тоглоомуудад оновчтой шийдлийг олоход ашигладаг бөгөөд нэг буюу хэд хэдэн тоглогчийн аль хэдийн хийсэн сонголтын дараа үүссэн нөхцөл байдалд үндэслэн тоглогчдын хамгийн их ашигт нийцдэг. Стекельбергийн тэнцвэр.- тоглогчдын хэн нь ч дангаараа ялалтаа нэмэгдүүлэх боломжгүй, шийдвэрийг эхлээд нэг тоглогч гаргаж, хоёр дахь тоглогчид мэдэгддэг нөхцөл байдал. Хоригдлуудын дилемма тоглоомд Stackelberg тэнцвэрт байдалд хүрэх болно (1; 1) - гэмт хэрэгтэн хоёулаа "гэм буруугаа хүлээн зөвшөөрөх";

Паретогийн үр ашигт хүрсэн нөхцөл байдал нь солилцооны бүх ашиг тус дууссан нөхцөл байдал юм.

S* нөхцөл байдлыг Парето давамгайлсан нөхцөл S гэж хэлнэ, хэрэв:

ямар ч тоглогчийн хувьд түүний ашиг S<=S*

· S*>S нөхцөл байдалд түүний үр шимийг хүртэх ядаж нэг тоглогч байдаг

Санаж үз жишээ 1:

Давамгайлсан стратеги дахь тэнцвэрт байдалҮгүй

Нэшийн тэнцвэр. (5.5) ба (4.4). Тоглогчдын аль нэг нь сонгосон стратегиасаа хазайх нь ашиггүй тул.

Парето оновчтой. (5.5). Эдгээр стратегийг сонгохдоо тоглогчдын өгөөжөөс хойш илүү ялалтбусад стратегийг сонгохдоо.

Стекельбергийн тэнцвэр:

А тоглогч эхний нүүдлийг хийдэг.

Анхны стратегиа сонгодог. Б эхний стратегийг сонгодог. А 5 авдаг.

Хоёрдахь стратегиа сонгодог. Б хоёр дахьийг нь сонгоно. A 4 авдаг.

5 > 4 =>

Б эхний алхамыг хийдэг.

Анхны стратегиа сонгодог. А эхний стратегийг сонгодог. Б 5 авдаг.

Хоёрдахь стратегиа сонгодог. Тэгээд тэр хоёр дахьийг нь сонгодог. Б 4 авдаг.

5 > 4 => Стекельбергийн тэнцвэр (5, 5)

Жишээ 2дуополь загварчлал.

Энэ загварын мөн чанарыг авч үзье.

Нэг нь “тэргүүлэгч пүүс”, нөгөө нь “дагагч пүүс” гэсэн хоёр пүүстэй салбар байг. Бүтээгдэхүүний үнэ хэвээр байг шугаман функцнийт нийлүүлэлт Q:

П(Q) = а − bQ.

Мөн пүүсүүдийн нэгж бүтээгдэхүүнд ногдох зардал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна гэж үзье -тай 1 ба -тай 2 тус тус. Дараа нь эхний пүүсийн ашгийг тодорхойлно томъёо

Π 1 = П(Q 1 + Q 2) * Q 1 − в 1 Q 1 ,

болон хоёр дахь ашиг тус тус

Π 2 = П(Q 1 + Q 2) * Q 2 − в 2 Q 2 .

Stackelberg загварын дагуу эхний фирм - тэргүүлэгч пүүс эхний шатанд бүтээгдэхүүнээ хуваарилдаг Q 1 . Үүний дараа хоёр дахь пүүс - дагалдагч пүүс тэргүүлэгч пүүсийн үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийснээр түүний гарцыг тодорхойлдог. Q 2. Хоёр пүүсийн зорилго бол төлбөрийн үүргээ дээд зэргээр нэмэгдүүлэх явдал юм.

Энэ тоглоомын Нэшийн тэнцвэрийг буцаах индукцээр тодорхойлно. Тоглоомын эцсийн шатыг авч үзье - хоёр дахь пүүсийн нүүдэл. Энэ үе шатанд 2-р пүүс 1-р пүүсийн оновчтой гарцыг мэддэг Q 1 *. Дараа нь оновчтой гарцыг тодорхойлох асуудал Q 2 * нь хоёр дахь пүүсийн төлбөрийн функцийн хамгийн их цэгийг олох асуудлыг шийдэхэд буурдаг. Хувьсагчийн хувьд Π 2 функцийг хамгийн их болгох Q 2 тоолох QӨгөгдсөн 1-д бид хоёр дахь пүүсийн хамгийн оновчтой гарц болохыг олж мэдэв

Энэ бол дагалдагч пүүсийн гаргасан тэргүүлэгч пүүсийн сонголтод өгсөн хамгийн сайн хариулт юм Q 1 *. Тэргүүлэгч пүүс нь функцийн хэлбэрийг харгалзан өөрийн ашгийн функцийг нэмэгдүүлэх боломжтой Q 2*. Хувьсагч дахь Π 1 функцийн хамгийн их цэг Qорлуулах үед 1 Q 2 * болно

Үүнийг илэрхийлэлд орлуулж байна Q 2 *, бид авдаг

Тиймээс тэнцвэрт байдалд тэргүүлэгч пүүс дагалдагч пүүсийнхээс хоёр дахин их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг.

Эрэлт, нийлүүлэлтийн шугамыг нэг диаграммд нэгтгэснээр бид олж авна график дүрскоординат дахь тэнцвэрт байдал П, К(Зураг 2.6). Шугамануудын огтлолцох цэг нь координаттай байдаг (P * , Q *),Хаана R* -тэнцвэрт үнэ, Q*- үйлдвэрлэл, хэрэглээний тэнцвэрт хэмжээ.

Зах зээлийн тэнцвэр- энэ нь үнийн өгөгдсөн түвшинд эрэлтийн тоо хэмжээ нь нийлүүлсэн хэмжээтэй тэнцүү байх зах зээлийн төлөв байдал юм.

Зөвхөн тэнцвэрийн цэг дээр Эзах зээл тэнцвэртэй, зах зээлийн төлөөлөгчдийн аль нь ч нөхцөл байдлыг өөрчлөх хөшүүрэг байдаггүй. Энэ нь зах зээлийн тэнцвэрт байдал нь өмчтэй гэсэн үг юм тогтвортой байдал -тэнцвэрт бус төлөв байдлын үед зах зээлийн агентууд зах зээлийг тэнцвэрт байдалд буцаах хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг. Тогтвортой байдлыг батлахын тулд ихэвчлэн Л.Волрас эсвэл А.Маршаллын логикийг ашигладаг.

Л.Волрасын хэлснээр хэт өндөр үнээр илүүдэл нийлүүлэлт буюу хэт үйлдвэрлэл (сег А-БЗураг дээр. 2.6i), ийм зах зээлийг нэрлэдэг худалдан авагчийн зах зээлхудалдан авагч нь хэлцэл хийхдээ үнийг бууруулахыг шаардах боломжтой байдаг. Ийм нөхцөлд юуны түрүүнд худалдагч нь үнийг бууруулж, үйлдвэрлэлийн хэмжээг бууруулахаас өөр аргагүйд хүрч байгаа нь сонирхолгүй байдаг. Үнэ буурах тусам эрэлтийн хэмжээ нэмэгддэг А-Бтэнцвэрийн цэг болох хүртэл багасна Э.

At хямд үнээрэлт илүүдэл байна - хомсдол (сегмент CFna Зураг 2.6a), хөгждөг худалдагчийн зах зээл.Худалдан авагчийг албаддаг

Хэрэв хэрэглэгч хэрэглээгээ багасгаж, хомс барааны илүү төлдөг бол үнэ өсөхийн хэрээр нийлүүлэлтийн тоо хэмжээ нэмэгдэж, зах зээл тэнцвэржих хүртэл хомсдол багасдаг.

А.Маршаллын хэлснээр (Зураг. 2.66), бага хэмжээний үйлдвэрлэлийн хувьд эрэлтийн үнэ нь худалдагчийн үнээс давж, их хэмжээний хувьд эсрэгээр. Ямар ч тохиолдолд тэнцвэргүй байдал нь үнэ эсвэл эрэлт нийлүүлэлтийн хэмжээг тэнцвэрт байдалд шилжүүлэхийг өдөөдөг. Тэнцвэр (A)Вальрасын хэлснээр үнэ нь эрэлт нийлүүлэлтийн тэнцвэргүй байдлыг зохицуулдаг. (б)Маршаллын хэлснээр - худалдан авагч ба худалдагчийн үнийг эзлэхүүний өөрчлөлтөөр тэнцвэржүүлдэг.

Цагаан будаа. 2.6. Зах зээлийн тэнцвэрийг бий болгох: в) Л.Волрасын хэлснээр; б) А.Маршаллын хэлснээр

Зах зээлийн эрэлт буюу нийлүүлэлтийн өөрчлөлт нь тэнцвэрт байдал өөрчлөгдөхөд хүргэдэг (Зураг 2.7). Жишээлбэл, зах зээлийн эрэлт өсөх юм бол эрэлтийн шугам баруун тийш шилжиж, тэнцвэрт үнэ, хэмжээ нэмэгддэг. Хэрэв зах зээлийн нийлүүлэлт багасвал нийлүүлэлтийн шугам зүүн тийш шилжиж, үнэ өсөж, хэмжээ буурна.

Энэ загварЗах зээл нь тогтворгүй байдаг, учир нь үүнд цаг хугацаа байдаггүй.

"Аалз" загвар

Зах зээлийн тэнцвэрийн динамик загварын жишээ болгон бид хамгийн энгийн "аалзны тор" загварыг танилцуулж байна. Эрэлтийн хэмжээ нь тухайн үеийн үнийн түвшингээс хамаарна гэж бодъё т,ба нийлүүлэлтийн хэмжээ - өмнөх үеийн үнээс t-1:

Q d i = Q d i (P t) , Q s i = Q s i (P t -1) ,

Энд t = 0.1….T нь хугацааны салангид утга юм.

Цагаан будаа. 2.7. Зах зээлийн тэнцвэрт байдлын өөрчлөлт:

а) эрэлт нэмэгдсэнтэй холбоотой; б)буурсантай холбоотой

санал болгож байна

Зах зээлийн үнэ П ттэнцвэрт үнэд тохирохгүй байж болно R*,мөн гурван боломжит динамик байдаг П т(Зураг 2.8).

Энэхүү загвар дахь хөгжлийн чиглэлийн хувилбар нь эрэлт, нийлүүлэлтийн шугамын налуугийн харьцаанаас хамаарна.

Цагаан будаа. 2.8. Зах зээлийн тэнцвэрийн "аалз" загвар:

a) тэнцвэрт байдлаас хазайлт буурах; 5) хазайлт

тэнцвэрт байдлаас өсдөг ("сүйрэл" загвар); в) зах зээл

тэнцвэрийн цэгийн эргэн тойронд мөчлөгөөр хэлбэлздэг боловч тэнцвэрт

Ангилалд алдартай: