Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Sistem persamaan dengan dua pembolehubah, penyelesaian

Mari kita ingat dahulu definisi penyelesaian kepada sistem persamaan dalam dua pembolehubah.

Definisi 1

Sepasang nombor dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan dengan dua pembolehubah jika, apabila ia digantikan ke dalam persamaan, kesamaan yang betul diperolehi.

Dalam perkara berikut, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah.

wujud empat cara asas untuk menyelesaikan sistem persamaan: kaedah penggantian, kaedah penambahan, kaedah grafik, kaedah pengurusan pembolehubah baharu. Mari kita lihat kaedah ini contoh konkrit. Untuk menerangkan prinsip menggunakan tiga kaedah pertama, kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:

Kaedah penggantian

Kaedah penggantian adalah seperti berikut: mana-mana persamaan ini diambil dan $y$ dinyatakan dalam sebutan $x$, kemudian $y$ digantikan ke dalam persamaan sistem, dari mana pembolehubah $x.$ ditemui. Selepas itu, kita boleh mengira pembolehubah $y.$ dengan mudah

Contoh 1

Mari kita nyatakan daripada persamaan kedua $y$ dalam sebutan $x$:

Gantikan dalam persamaan pertama, cari $x$:

\ \ \

Cari $y$:

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Kaedah penambahan.

Pertimbangkan kaedah ini dengan contoh:

Contoh 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Darabkan persamaan kedua dengan 3, kita dapat:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Sekarang mari kita tambah kedua-dua persamaan bersama-sama:

\ \ \

Cari $y$ daripada persamaan kedua:

\[-6-y=-9\] \

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Catatan 1

Perhatikan bahawa dalam kaedah ini adalah perlu untuk mendarab satu atau kedua-dua persamaan dengan nombor sedemikian yang apabila menambah salah satu pembolehubah "hilang".

Cara grafik

Kaedah grafik adalah seperti berikut: kedua-dua persamaan sistem dipaparkan pada satah koordinat dan titik persilangannya ditemui.

Contoh 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Mari kita nyatakan $y$ daripada kedua-dua persamaan dalam sebutan $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Mari kita lukis kedua-dua graf pada satah yang sama:

Gambar 1.

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Bagaimana untuk memperkenalkan pembolehubah baharu

Kami akan mempertimbangkan kaedah ini dalam contoh berikut:

Contoh 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Penyelesaian.

Sistem ini setara dengan sistem

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ betul.\]

Biarkan $2^x=u\ (u>0)$ dan $3^y=v\ (v>0)$, kita dapat:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Kami menyelesaikan sistem yang terhasil dengan kaedah penambahan. Mari tambah persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita dapat itu

Berbalik kepada penggantian, kita dapat sistem baru persamaan eksponen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Kita mendapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Arahan

Kaedah penambahan.
Anda perlu menulis dua dengan ketat di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan sistem persamaan ini: x=116, y=11.

Cara grafik.
Ia terdiri daripada penemuan praktikal koordinat titik di mana garis ditulis secara matematik dalam sistem persamaan. Anda harus melukis graf kedua-dua garisan secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Paparan umum: - y \u003d kx + b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberikan: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Garis lurus dibina mengikut yang pertama, untuk kemudahan ia perlu ditulis: y \u003d 2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, cari y. Dua mata diperolehi, di mana garis lurus dibina. (lihat gambar.)
x 0 1

y -4 -2
Garis lurus dibina mengikut persamaan kedua: y \u003d -3x + 1.
Juga membina garisan. (lihat gambar.)

1-5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai - jadi).

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• Algebra Darjah 8
• selesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan ialah koleksi rekod matematik, setiap satunya mengandungi bilangan pembolehubah tertentu. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda perlu

• -Pembaris dan pensel;
• -kalkulator.

Arahan

Pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri daripada persamaan linear yang mempunyai bentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Di mana x dan y adalah pembolehubah tidak diketahui dan b,c ialah ahli bebas. Apabila menggunakan kaedah ini, setiap sistem adalah koordinat titik-titik yang sepadan dengan setiap persamaan. Pertama, dalam setiap kes, nyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Kemudian tetapkan pembolehubah x kepada sebarang bilangan nilai. Dua dah cukup. Palamkan ke dalam persamaan dan cari y. Bina sistem koordinat, tandakan titik yang diterima di atasnya dan lukis garis lurus melaluinya. Pengiraan yang sama mesti dilakukan untuk bahagian lain sistem.

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik jika garisan yang dibina bersilang dan satu titik biasa. Adalah tidak konsisten jika mereka selari antara satu sama lain. Dan ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga apabila garisan bergabung antara satu sama lain.

Kaedah ini dianggap sangat jelas. Kelemahan utama adalah bahawa tidak diketahui yang dikira mempunyai nilai anggaran. Keputusan yang lebih tepat diberikan oleh kaedah algebra yang dipanggil.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan patut diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperoleh dan bukannya pembolehubah. Anda juga boleh mencari penyelesaiannya dalam beberapa cara. Jika penyelesaian sistem adalah betul, maka semua orang harus menjadi sama.

Selalunya terdapat persamaan di mana salah satu istilah tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu mengingati dan melakukan set tindakan tertentu dengan nombor ini.

Anda perlu

• - kertas;
• - Pen atau pensel.

Arahan

Bayangkan anda mempunyai 8 arnab di hadapan anda, dan anda hanya mempunyai 5 lobak merah. Fikirkan anda perlu membeli lebih banyak lobak merah supaya setiap arnab mendapat lobak merah.

Mari kita wakili masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan nombor 3 dengan x. Sesungguhnya, 5 + 3 = 8.

Apabila anda menggantikan nombor untuk x, anda melakukan operasi yang sama seperti menolak 5 daripada 8. Oleh itu, untuk mencari tidak diketahui istilah, tolak istilah yang diketahui daripada jumlah.

Katakan anda mempunyai 20 ekor arnab dan hanya 5 lobak merah. Jom mengarang. Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang nilainya ingin anda cari dipanggil. Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, panggilnya x. Apabila menyelesaikan masalah kami tentang arnab, persamaan berikut diperolehi: 5 + x = 20.

Mari cari beza antara 20 dan 5. Apabila menolak, nombor yang ditolaknya dikurangkan. Nombor yang ditolak dipanggil , dan hasil akhir dipanggil perbezaan. Jadi, x = 20 - 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 lobak merah untuk arnab.

Buat semak: 5 + 15 = 20. Persamaan itu betul. Sudah tentu, apabila kita bercakap tentang yang mudah seperti itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan dengan tiga digit, empat digit, dan seterusnya, adalah penting untuk menyemak untuk benar-benar pasti hasil kerja anda.

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, adalah perlu untuk menolak perbezaan daripada minuend.

Petua 4: Bagaimana untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, walaupun bilangan persamaan mencukupi. Anda boleh cuba menyelesaikannya menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer, sebagai tambahan kepada menyelesaikan sistem, membolehkan seseorang menilai sama ada sistem itu boleh diselesaikan sebelum mencari nilai yang tidak diketahui.

Arahan

Kaedah penggantian terdiri daripada satu yang tidak diketahui secara berurutan melalui dua yang lain dan menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam bentuk umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ungkapkan x daripada persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, kemudian nyatakan y daripada persamaan kedua dan gantikan kepada persamaan ketiga. Anda akan mendapat ungkapan linear untuk z melalui pekali persamaan sistem. Sekarang pergi "kembali": palamkan z ke dalam persamaan kedua dan cari y, kemudian palamkan z dan y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Proses ini biasanya ditunjukkan dalam rajah sehingga z ditemui. Selanjutnya, rekod dalam bentuk umum akan menjadi terlalu rumit, dalam amalan, menggantikan , anda boleh mencari ketiga-tiga yang tidak diketahui dengan mudah.

Kaedah Cramer terdiri daripada menyusun matriks sistem dan mengira penentu matriks ini, serta tiga lagi matriks tambahan. Matriks sistem terdiri daripada pekali pada sebutan persamaan yang tidak diketahui. Lajur yang mengandungi nombor di sebelah kanan persamaan, lajur sebelah kanan. Ia tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan semasa menyelesaikan sistem.

Video-video yang berkaitan

Nota

Semua persamaan dalam sistem mesti membekalkan maklumat tambahan bebas daripada persamaan lain. Jika tidak, sistem akan menjadi kurang jelas dan tidak akan dapat mencari penyelesaian yang jelas.

Nasihat yang berguna

Selepas menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemui ke dalam sistem asal dan pastikan ia memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan pasangkannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dengan ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan yang tidak diketahui. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat sama ada mungkin untuk mendarab satu daripada dengan atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dikurangkan sekaligus. Sekiranya ada peluang sedemikian, gunakannya, kemungkinan besar, keputusan seterusnya tidak akan sukar. Jangan lupa bahawa apabila mendarab dengan nombor, anda mesti mendarab kedua-dua belah kiri dan sebelah kanan. Begitu juga, apabila menolak persamaan, ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika kaedah sebelumnya tidak membantu, gunakan kaedah umum untuk menyelesaikan sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sekarang buat satu matriks pekali pada x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Beri perhatian, mendarabkan matriks pekali dengan matriks yang tidak diketahui, anda akan mendapat matriks, matriks ahli bebas, iaitu, A * X \u003d B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) selepas mencari , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas itu, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan mendapat matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian persamaan dengan tiga tidak diketahui

Bermula untuk menyelesaikan sistem persamaan, fikirkan apakah persamaan ini. Kaedah penyelesaian persamaan linear dikaji dengan baik. Persamaan tak linear selalunya tidak dapat diselesaikan. Terdapat hanya satu kes khas, setiap satunya boleh dikatakan individu. Oleh itu, kajian kaedah penyelesaian harus dimulakan dengan persamaan linear. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan walaupun secara algoritma semata-mata.

penyebut bagi yang tidak diketahui yang ditemui adalah betul-betul sama. Ya, dan pengangka kelihatan beberapa corak pembinaannya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar daripada dua, maka kaedah penyingkiran akan membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Untuk mengelakkannya, penyelesaian algoritma semata-mata telah dibangunkan. Yang paling mudah ialah algoritma Cramer (formula Cramer). Untuk anda patut tahu sistem umum persamaan daripada n persamaan.

Sistem n persamaan algebra linear dengan n tidak diketahui mempunyai bentuk (lihat Rajah 1a). Di dalamnya, aij ialah pekali sistem,
хj – tidak diketahui, bi – ahli bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem sedemikian boleh ditulis padat dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, X ialah matriks lajur yang tidak diketahui, B ialah matriks lajur bagi sebutan bebas (lihat Rajah 1b). Mengikut kaedah Cramer, setiap xi =∆i/∆ tidak diketahui (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks pekali dipanggil penentu utama, dan ∆i dipanggil tambahan. Bagi setiap yang tidak diketahui, penentu tambahan ditemui dengan menggantikan lajur ke-i penentu utama dengan lajur sebutan bebas. Kaedah Cramer untuk kes sistem urutan kedua dan ketiga dibentangkan secara terperinci dalam Rajah. 2.

Sistem ialah gabungan dua atau lebih persamaan, setiap satunya mempunyai dua atau lebih yang tidak diketahui. Terdapat dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan dalam rangka kerja kurikulum sekolah. Salah satunya dipanggil kaedah, satu lagi kaedah penambahan.

Bentuk piawai sistem dua persamaan

Pada bentuk piawai persamaan pertama ialah a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua ialah a2*x+b2*y=c2, dan seterusnya. Sebagai contoh, dalam kes dua bahagian sistem dalam kedua-dua diberi a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa pekali berangka yang dibentangkan dalam persamaan khusus. Sebaliknya, x dan y adalah tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang dikehendaki menukar kedua-dua persamaan secara serentak kepada kesamaan sebenar.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penambahan

Untuk menyelesaikan sistem, iaitu, untuk mencari nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, anda perlu mengambil beberapa langkah mudah. Yang pertama adalah untuk mengubah mana-mana persamaan dengan cara yang pekali berangka untuk pembolehubah x atau y dalam kedua-dua persamaan bertepatan dengan nilai mutlak, tetapi berbeza dalam tanda.

Sebagai contoh, biarkan sistem yang terdiri daripada dua persamaan diberikan. Yang pertama mempunyai bentuk 2x+4y=8, yang kedua mempunyai bentuk 6x+2y=6. Salah satu pilihan untuk menyelesaikan tugas adalah untuk mendarabkan persamaan kedua dengan faktor -2, yang akan membawanya ke bentuk -12x-4y=-12. Pilihan pekali yang betul adalah salah satu tugas utama dalam proses menyelesaikan sistem dengan kaedah penambahan, kerana ia menentukan keseluruhan proses selanjutnya prosedur untuk mencari yang tidak diketahui.

Sekarang adalah perlu untuk menambah dua persamaan sistem. Jelas sekali, pemusnahan bersama pembolehubah dengan nilai yang sama tetapi bertentangan dalam pekali tanda akan membawanya ke bentuk -10x=-4. Selepas itu, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan mudah ini, dari mana ia dengan jelas mengikuti bahawa x=0.4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian ialah penggantian nilai yang ditemui bagi salah satu pembolehubah dalam mana-mana kesamaan awal yang terdapat dalam sistem. Sebagai contoh, menggantikan x=0.4 ke dalam persamaan pertama, anda boleh mendapatkan ungkapan 2*0.4+4y=8, dari mana y=1.8. Oleh itu, x=0.4 dan y=1.8 ialah punca-punca sistem yang ditunjukkan dalam contoh.

Untuk memastikan bahawa akar ditemui dengan betul, adalah berguna untuk menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua sistem. Contohnya, dalam kes ini kesamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6 diperolehi, iaitu benar.

Video-video yang berkaitan

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE) sudah pasti topik paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah daripada semua cabang matematik dikurangkan kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor ini menerangkan sebab untuk mencipta artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

• pilih kaedah optimum untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear anda,
• mengkaji teori kaedah yang dipilih,
• selesaikan sistem persamaan linear anda, setelah mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan beberapa notasi.

Seterusnya, kami mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian unik. Pertama, mari kita fokus pada kaedah Cramer, kedua, kita akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dalam pelbagai cara.

Selepas itu, kita beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear Pandangan umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem merosot. Kami merumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kami mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (dalam kes keserasian mereka) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian contoh.

Pastikan anda memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah, dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - ahli bebas (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk SLAE ini dipanggil menyelaras.

DALAM bentuk matriks sistem persamaan ini mempunyai bentuk ,
di mana - matriks utama sistem, - matriks-lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks-lajur ahli bebas.

Jika kita menambah pada matriks A sebagai lajur (n + 1)-ke-matriks-lajur sebutan bebas, maka kita mendapat apa yang dipanggil matriks yang diperluaskan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks tambahan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak daripada lajur yang lain, iaitu,

Dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui, yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai yang diberikan bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga bertukar menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil tidak serasi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka - tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Penyelesaian sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka kita akan memanggil SLAE tersebut rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula mengkaji SLAE tersebut dalam sekolah Menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Mari kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan adalah penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan menggantikan 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda sedemikian, pembolehubah yang tidak diketahui dikira dengan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian sistem persamaan algebra linear ditemui dengan kaedah Cramer.

Contoh.

Kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Kira penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Karang dan hitung penentu yang diperlukan (penentu diperoleh dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur ahli bebas, penentu - dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur ahli bebas, - dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur ahli bebas ):

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan sistem lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , maka matriks A adalah boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua bahagian kesamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapat formula untuk mencari matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui. Jadi kami mendapat penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan dengan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks pelengkap algebra bagi unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira - matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang pada lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua yang lebih tinggi daripada yang ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri dalam pengecualian berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah yang tidak diketahui. x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil kaedah Gauss langsung. Selepas selesai larian hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, x n-1 dikira daripada persamaan kedua terakhir menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Kami mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua. Untuk melakukan ini, tambahkan persamaan pertama yang didarab dengan persamaan kedua sistem, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a .

Kita akan mendapat keputusan yang sama jika kita menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami bertindak sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, tambahkan kedua didarab dengan persamaan ketiga sistem, tambah kedua didarab dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambah kedua didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan ke penghapusan x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Oleh itu, kami meneruskan kursus terus kaedah Gauss sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini, kita memulakan laluan terbalik kaedah Gauss: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada yang pertama persamaan.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kaedah Gaussian.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua bahagian persamaan kedua dan ketiga, kami menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita mengecualikan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah bahagian kiri dan kanannya bahagian kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Mengenai ini, kursus ke hadapan kaedah Gauss selesai, kita memulakan kursus terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil, kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang selebihnya dan ini melengkapkan laluan terbalik kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Dalam kes umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga terpakai kepada sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan merosot.

Teorem Kronecker-Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi, dan apabila ia tidak serasi, memberikan Teorem Kronecker–Capelli:
untuk sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p boleh sama dengan n ) untuk serasi adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu, Pangkat( A)=Pangkat(T) .

Mari kita pertimbangkan aplikasi teorem Kronecker-Cappelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear sebagai contoh.

Contoh.

Ketahui jika sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Marilah kita menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari kita bincangkan golongan bawah umur peringkat ketiga yang mengelilinginya:

Oleh kerana semua kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama ialah dua.

Sebaliknya, pangkat matriks tambahan adalah bersamaan dengan tiga, sejak yang kecil bagi urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Oleh itu, Rang(A) , oleh itu, mengikut teorem Kronecker-Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Tiada sistem penyelesaian.

Jadi, kami telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker-Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep asas minor bagi matriks dan teorem pada pangkat matriks.

Orde minor tertinggi bagi matriks A, selain sifar, dipanggil asas.

Ia mengikuti daripada takrif asas minor bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A, boleh terdapat beberapa minor asas; sentiasa ada satu minor asas.

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Anak bawah umur berikut bagi urutan kedua adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n ialah r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen sepadan baris (dan lajur). ) yang membentuk asas minor.

Apakah yang diberikan oleh teorem pangkat matriks kepada kita?

Jika, dengan teorem Kronecker-Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana minor asas matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor asas yang dipilih. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan berlebihan sistem, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana minor bagi urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan matriks lanjutan juga bersamaan dengan dua, kerana satu-satunya kecil bagi susunan ketiga adalah sama dengan sifar

dan minor bagi susunan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker-Capelli, seseorang boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2 .

Sebagai asas minor, kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:


Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pangkat matriks:


Oleh itu kita telah memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan dengan kaedah Cramer:


Jawapan:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil kurang daripada bilangan pembolehubah tidak diketahui n, kemudian di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan memindahkan sebutan yang tinggal ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda bertentangan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (terdapat r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r daripadanya) yang berakhir di sebelah kanan dipanggil percuma.

Sekarang kita menganggap bahawa pembolehubah bebas yang tidak diketahui boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah tidak diketahui utama r akan dinyatakan dari segi pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil dengan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.

Mari kita ambil contoh.

Contoh.

Selesaikan Sistem Persamaan Algebra Linear .

Penyelesaian.

Cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah sempadan bawah umur. Marilah kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor pesanan pertama bukan sifar. Mari mulakan mencari kanak-kanak bawah perintah bukan sifar kedua yang mengelilingi kanak-kanak bawah umur ini:


Oleh itu, kami menjumpai anak bawah umur bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:


Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks tambahan juga sama dengan tiga, iaitu, sistemnya konsisten.

Yang didapati bukan sifar bawah perintah ketiga akan diambil sebagai yang asas.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:


Kami meninggalkan istilah yang mengambil bahagian dalam minor asas di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan:


Kami memberikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kami ambil , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE mengambil borang


Kami menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang diperoleh dengan kaedah Cramer:


Oleh itu, .

Dalam jawapan, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah tidak diketahui percuma.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

rumuskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bagi bentuk am, kita mula-mula mengetahui keserasiannya menggunakan teorem Kronecker-Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih minor asas dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas yang dipilih.

Jika susunan asas minor adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah tidak diketahui utama di sebelah kiri persamaan sistem, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan tetapkan nilai arbitrari ​kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menggunakan kaedah Gauss, seseorang boleh menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa penyiasatan awal mereka untuk keserasian. Proses penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakkonsistenan SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pandangan kerja pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Menonton Penerangan terperinci dan menganalisis contoh dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Merekod penyelesaian umum sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini, kita akan menumpukan pada sistem homogen dan tak homogen bersama persamaan algebra linear yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Mari kita berurusan dengan sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem keputusan asas Sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah set (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menetapkan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ialah lajur matriks dimensi n dengan 1 ), maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), iaitu, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menetapkan segala-galanya penyelesaian yang mungkin SLAE asal, dengan kata lain, mengambil mana-mana set nilai pemalar sewenang-wenang С 1 , С 2 , …, С (n-r) , mengikut formula kita mendapat salah satu daripada penyelesaian SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem penyelesaian asas, maka kita boleh menetapkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian untuk SLAE homogen.

Kami memilih minor asas bagi sistem persamaan linear asal, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem, dan memindahkan ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda bertentangan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Mari beri percuma yang tidak diketahui nilai pembolehubah 1,0,0,…,0 dan hitung yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, dengan kaedah Cramer. Oleh itu, X (1) akan diperolehi - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, maka kita mendapat X (2) . Dan sebagainya. Jika kita memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai 0,0,…,0,1 dan mengira yang tidak diketahui utama, maka kita mendapat X (n-r) . Ini adalah bagaimana sistem asas penyelesaian SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk.

Untuk sistem persamaan algebra linear yang tidak homogen, penyelesaian umum diwakili sebagai

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari kita cari pangkat matriks utama dengan kaedah pinggir bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

A minor daripada urutan kedua, berbeza daripada sifar, ditemui. Mari kita lihat di bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan ialah dua. Mari ambil bahagian bawah umur asas. Untuk kejelasan, kami perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui bebas ke sebelah kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya ialah dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan
.

1. Kaedah penggantian: daripada mana-mana persamaan sistem kita menyatakan satu yang tidak diketahui dalam sebutan yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua sistem.

Tugasan. Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian. Daripada persamaan pertama sistem, kami nyatakan di melalui X dan gantikan ke dalam persamaan kedua sistem. Jom dapatkan sistem setaraf dengan yang asal.

Selepas membawa syarat sedemikian, sistem akan mengambil bentuk:

Daripada persamaan kedua kita dapati: . Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan di = 2 - 2X, kita mendapatkan di= 3. Oleh itu, penyelesaian sistem ini ialah sepasang nombor .

2. Kaedah penambahan algebra: dengan menambah dua persamaan, dapatkan persamaan dengan satu pembolehubah.

Tugasan. Selesaikan persamaan sistem:

Penyelesaian. Mendarab kedua-dua belah persamaan kedua dengan 2, kita mendapat sistem setaraf dengan yang asal. Menambah dua persamaan sistem ini, kita tiba di sistem

Selepas mengurangkan istilah yang sama, sistem ini akan mengambil bentuk: Daripada persamaan kedua kita dapati . Menggantikan nilai ini ke dalam Persamaan 3 X + 4di= 5, kita dapat , dimana . Oleh itu, penyelesaian sistem ini ialah sepasang nombor .

3. Kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru: kami sedang mencari beberapa ungkapan berulang dalam sistem, yang akan kami nyatakan dengan pembolehubah baru, dengan itu memudahkan bentuk sistem.

Tugasan. Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian. Mari kita tulis sistem ini secara berbeza:

biarlah x + y = awak, hu = v. Kemudian kami mendapat sistem

Mari selesaikan dengan kaedah penggantian. Daripada persamaan pertama sistem, kami nyatakan u melalui v dan gantikan ke dalam persamaan kedua sistem. Jom dapatkan sistem mereka.

Daripada persamaan kedua sistem kita dapati v 1 = 2, v 2 = 3.

Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan u = 5 - v, kita mendapatkan u 1 = 3,
u 2 = 2. Kemudian kita mempunyai dua sistem

Menyelesaikan sistem pertama, kita mendapat dua pasangan nombor (1; 2), (2; 1). Sistem kedua tidak mempunyai penyelesaian.

Latihan untuk kerja bebas

1. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian.

Isi pelajaran

Persamaan Linear dengan Dua Pembolehubah

Pelajar mempunyai 200 rubel untuk makan tengah hari di sekolah. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kek dan cawan kopi yang boleh anda beli untuk 200 rubel?

Nyatakan bilangan kek melalui x, dan bilangan cawan kopi melalui y. Kemudian kos kek akan dilambangkan dengan ungkapan 25 x, dan kos cawan kopi dalam 10 y .

25x- harga x kuih muih
10y- harga y cawan kopi

Jumlah keseluruhan hendaklah 200 rubel. Kemudian kita mendapat persamaan dengan dua pembolehubah x Dan y

25x+ 10y= 200

Berapakah bilangan punca persamaan ini?

Semuanya bergantung kepada selera pelajar. Jika dia membeli 6 kek dan 5 cawan kopi, maka punca persamaan itu ialah nombor 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai punca Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Ditulis sebagai (6; 5) , dengan nombor pertama ialah nilai pembolehubah x, dan yang kedua - nilai pembolehubah y .

6 dan 5 bukan satu-satunya punca yang membalikkan Persamaan 25 x+ 10y= 200 kepada identiti. Jika dikehendaki, untuk 200 rubel yang sama, seorang pelajar boleh membeli 4 kek dan 10 cawan kopi:

Dalam kes ini, punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 ialah pasangan nilai (4; 10) .

Lebih-lebih lagi, pelajar tidak boleh membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kek untuk semua 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan beli kek, tetapi beli kopi untuk semua 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 akan menjadi nilai 0 dan 20

Mari cuba senaraikan semua kemungkinan punca persamaan 25 x+ 10y= 200 . Marilah kita bersetuju bahawa nilai x Dan y tergolong dalam set integer. Dan biarkan nilai ini lebih besar daripada atau sama dengan sifar:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi ia akan memudahkan pelajar itu sendiri. Kek lebih mudah untuk dibeli secara keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa kek keseluruhan dan separuh kek. Kopi juga lebih mudah untuk diambil dalam cawan keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa cawan keseluruhan dan setengah cawan.

Perhatikan bahawa untuk ganjil x adalah mustahil untuk mencapai kesaksamaan di bawah mana-mana y. Kemudian nilai x akan ada nombor berikut 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui x boleh ditentukan dengan mudah y

Oleh itu, kami mendapat pasangan nilai berikut (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini adalah penyelesaian atau punca Persamaan 25 x+ 10y= 200. Mereka menjadikan persamaan ini sebagai identiti.

Taip persamaan ax + by = c dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah. Penyelesaian atau punca persamaan ini ialah sepasang nilai ( x; y), yang mengubahnya menjadi identiti.

Perhatikan juga bahawa jika persamaan linear dengan dua pembolehubah ditulis sebagai ax + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahawa ia telah tertulis dalam berkanun bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linear dalam dua pembolehubah boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik.

Sebagai contoh, persamaan 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) boleh diingatkan ax + by = c. Mari kita buka kurungan dalam kedua-dua bahagian persamaan ini, kita dapat 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Istilah yang mengandungi tidak diketahui dikumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui dikumpulkan di sebelah kanan. Kemudian kita dapat 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Kami membawa istilah yang sama dalam kedua-dua bahagian, kami mendapat persamaan 16 x+ 8y= 32. Persamaan ini diturunkan kepada bentuk ax + by = c dan bersifat kanonik.

Persamaan 25 dipertimbangkan sebelum ini x+ 10y= 200 juga merupakan persamaan linear dua pembolehubah dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini, parameter a , b Dan c adalah sama dengan nilai 25, 10 dan 200, masing-masing.

Sebenarnya persamaan ax + by = c mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Menyelesaikan Persamaan 25x+ 10y= 200, kami mencari puncanya hanya pada set integer. Akibatnya, kami memperoleh beberapa pasangan nilai yang menjadikan persamaan ini sebagai identiti. Tetapi pada set nombor rasional persamaan 25 x+ 10y= 200 akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baharu, anda perlu mengambil nilai arbitrari untuk x, kemudian nyatakan y. Sebagai contoh, mari kita ambil pembolehubah x nilai 7. Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 25×7 + 10y= 200 di mana untuk menyatakan y

biarlah x= 15 . Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × 15 + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −17,5

biarlah x= −3 . Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × (−3) + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −27,5

Sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah

Untuk persamaan ax + by = c anda boleh mengambil beberapa kali nilai sewenang-wenangnya untuk x dan cari nilai untuk y. Diambil secara berasingan, persamaan sedemikian akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Tetapi ia juga berlaku bahawa pembolehubah x Dan y dihubungkan bukan oleh satu, tetapi oleh dua persamaan. Dalam kes ini, mereka membentuk apa yang dipanggil sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Sistem persamaan sedemikian boleh mempunyai sepasang nilai (atau dengan kata lain: "satu penyelesaian").

Ia juga mungkin berlaku bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sistem persamaan linear boleh mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga dalam kes yang jarang berlaku dan luar biasa.

Dua persamaan linear membentuk sistem apabila nilai x Dan y dimasukkan dalam setiap persamaan ini.

Mari kita kembali kepada persamaan pertama 25 x+ 10y= 200 . Salah satu pasangan nilai untuk persamaan ini ialah pasangan (6; 5). Ini adalah kes apabila 200 rubel boleh membeli 6 kek dan 5 cawan kopi.

Mari kita susun masalah supaya pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya penyelesaian untuk Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Untuk melakukan ini, kami mengarang persamaan lain yang akan menghubungkan perkara yang sama x kek dan y cawan kopi.

Mari letakkan teks tugasan seperti berikut:

“Seorang budak sekolah membeli beberapa kek dan beberapa cawan kopi dengan harga 200 rubel. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapakah bilangan kek dan cawan kopi yang dibeli oleh pelajar itu jika diketahui bilangan kek adalah lebih satu daripada bilangan cawan kopi?

Kami sudah mempunyai persamaan pertama. Ini adalah Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Sekarang mari kita tulis persamaan untuk keadaan "bilangan kek adalah satu unit lebih daripada bilangan cawan kopi" .

Bilangan kek ialah x, dan bilangan cawan kopi ialah y. Anda boleh menulis frasa ini menggunakan persamaan x − y= 1. Persamaan ini bermakna perbezaan antara kek dan kopi ialah 1.

x=y+ 1 . Persamaan ini bermakna bilangan kek adalah lebih satu daripada bilangan cawan kopi. Oleh itu, untuk mendapatkan kesaksamaan, satu ditambah kepada bilangan cawan kopi. Ini boleh difahami dengan mudah jika kita menggunakan model berat yang kita pertimbangkan semasa mengkaji masalah paling mudah:

Mendapat dua persamaan: 25 x+ 10y= 200 dan x=y+ 1. Oleh kerana nilai x Dan y, iaitu 6 dan 5 dimasukkan dalam setiap persamaan ini, kemudian bersama-sama membentuk satu sistem. Mari kita catatkan sistem ini. Jika persamaan membentuk sistem, maka ia dibingkai oleh tanda sistem. Tanda sistem ialah pendakap kerinting:

Jom selesaikan sistem ini. Ini akan membolehkan kita melihat bagaimana kita mencapai nilai 6 dan 5. Terdapat banyak kaedah untuk menyelesaikan sistem sedemikian. Pertimbangkan yang paling popular di antara mereka.

Kaedah penggantian

Nama kaedah ini bercakap untuk dirinya sendiri. Intipatinya adalah untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan yang lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu pembolehubah.

Dalam sistem kami, tiada apa yang perlu dinyatakan. Dalam persamaan kedua x = y+ 1 pembolehubah x sudah diluahkan. Pembolehubah ini sama dengan ungkapan y+ 1 . Kemudian anda boleh menggantikan ungkapan ini dalam persamaan pertama dan bukannya pembolehubah x

Selepas menggantikan ungkapan y+ 1 ke dalam persamaan pertama sebaliknya x, kita mendapat persamaan 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ini adalah persamaan linear dengan satu pembolehubah. Persamaan ini agak mudah untuk diselesaikan:

Kami mendapati nilai pembolehubah y. Sekarang kita menggantikan nilai ini ke dalam salah satu persamaan dan mencari nilainya x. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan kedua x = y+ 1 . Mari letakkan nilainya y

Jadi pasangan (6; 5) ialah penyelesaian kepada sistem persamaan, seperti yang kita maksudkan. Kami menyemak dan memastikan pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Gantikan persamaan pertama x= 2 + y ke dalam persamaan kedua 3 x - 2y= 9 . Dalam persamaan pertama, pembolehubah x adalah sama dengan ungkapan 2 + y. Kami menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua dan bukannya x

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk melakukan ini, gantikan nilai y ke dalam persamaan pertama x= 2 + y

Jadi penyelesaian sistem ialah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, salah satu pembolehubah tidak dinyatakan secara eksplisit.

Untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan yang lain, anda perlu .

Adalah wajar untuk menyatakan pembolehubah yang mempunyai pekali satu. Unit pekali mempunyai pembolehubah x, yang terkandung dalam persamaan pertama x+ 2y= 11 . Mari kita nyatakan pembolehubah ini.

Selepas ungkapan berubah-ubah x, sistem kami akan kelihatan seperti ini:

Sekarang kita gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari nilainya y

Pengganti y x

Jadi penyelesaian sistem adalah sepasang nilai (3; 4)

Sudah tentu, anda juga boleh menyatakan pembolehubah y. Akar tidak akan berubah. Tetapi jika anda meluahkan y, hasilnya bukanlah persamaan yang sangat mudah, penyelesaiannya akan mengambil lebih banyak masa. Ia akan kelihatan seperti ini:

Kita lihat dalam contoh ini untuk menyatakan x lebih mudah daripada meluahkan y .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Ungkapkan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

y

Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Anda boleh menggunakan persamaan asal 7 x+ 9y= 8 , atau gunakan persamaan di mana pembolehubah dinyatakan x. Kami akan menggunakan persamaan ini, kerana ia mudah:

Jadi penyelesaian sistem ialah pasangan nilai (5; -3)

Kaedah penambahan

Kaedah penambahan ialah menambah sebutan demi sebutan persamaan yang disertakan dalam sistem. Penambahan ini menghasilkan persamaan satu pembolehubah baharu. Dan agak mudah untuk menyelesaikan persamaan ini.

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut:

Tambah bahagian kiri persamaan pertama ke bahagian kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Kami mendapat persamaan berikut:

Berikut adalah istilah yang serupa:

Hasilnya, kami memperoleh persamaan termudah 3 x= 27 yang puncanya ialah 9. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Gantikan nilai x ke dalam persamaan kedua x − y= 3 . Kami mendapat 9 − y= 3 . Dari sini y= 6 .

Jadi penyelesaian sistem adalah sepasang nilai (9; 6)

Contoh 2

Tambah bahagian kiri persamaan pertama ke bahagian kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Dalam kesamaan yang terhasil, kami membentangkan seperti istilah:

Hasilnya, kami mendapat persamaan termudah 5 x= 20, puncanya ialah 4. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Gantikan nilai x ke dalam persamaan pertama 2 x+y= 11 . Jom dapatkan 8+ y= 11 . Dari sini y= 3 .

Jadi penyelesaian sistem ialah pasangan nilai (4;3)

Proses penambahan tidak diterangkan secara terperinci. Ia perlu dilakukan dalam fikiran. Apabila menambah, kedua-dua persamaan mesti dikurangkan kepada bentuk kanonik. Iaitu, kepada fikiran ac+by=c .

Daripada contoh yang dipertimbangkan, dapat dilihat bahawa matlamat utama penambahan persamaan adalah untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah. Tetapi tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penambahan. Selalunya, sistem dibawa ke bentuk awal di mana ia boleh menambah persamaan yang disertakan dalam sistem ini.

Sebagai contoh, sistem boleh diselesaikan secara langsung dengan kaedah penambahan. Apabila menambah kedua-dua persamaan, istilah y Dan −y lenyap kerana jumlah mereka adalah sifar. Akibatnya, persamaan termudah terbentuk 11 x= 22 , yang puncanya ialah 2. Maka akan dapat ditentukan y sama dengan 5.

Dan sistem persamaan kaedah penambahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, kerana ini tidak akan membawa kepada kehilangan salah satu pembolehubah. Penambahan akan menghasilkan Persamaan 8 x+ y= 28 , yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Jika kedua-dua bahagian persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama yang tidak sama dengan sifar, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperolehi. Peraturan ini juga sah untuk sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Salah satu persamaan (atau kedua-dua persamaan) boleh didarab dengan beberapa nombor. Hasilnya adalah sistem yang setara, yang akarnya akan bertepatan dengan yang sebelumnya.

Mari kita kembali kepada sistem pertama, yang menerangkan berapa banyak kek dan cawan kopi yang dibeli oleh pelajar itu. Penyelesaian sistem ini ialah sepasang nilai (6; 5).

Kami mendarab kedua-dua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa nombor. Katakan kita darabkan persamaan pertama dengan 2 dan yang kedua dengan 3

Hasilnya adalah sistem
Penyelesaian kepada sistem ini masih merupakan pasangan nilai (6; 5)

Ini bermakna persamaan yang termasuk dalam sistem boleh dikurangkan kepada bentuk yang sesuai untuk menggunakan kaedah penambahan.

Kembali kepada sistem , yang tidak dapat kami selesaikan dengan kaedah penambahan.

Darabkan persamaan pertama dengan 6 dan yang kedua dengan −2

Kemudian kami mendapat sistem berikut:

Kami menambah persamaan yang disertakan dalam sistem ini. Penambahan komponen 12 x dan -12 x akan menghasilkan 0, penambahan 18 y dan 4 y akan memberi 22 y, dan menambah 108 dan −20 memberikan 88. Kemudian anda mendapat persamaan 22 y= 88 , oleh itu y = 4 .

Jika pada mulanya sukar untuk menambah persamaan dalam fikiran anda, maka anda boleh menulis bagaimana bahagian kiri persamaan pertama ditambah ke bahagian kiri persamaan kedua, dan bahagian kanan persamaan pertama ke bahagian kanan persamaan kedua:

Mengetahui bahawa nilai pembolehubah y ialah 4, anda boleh mencari nilainya x. Pengganti y ke dalam salah satu persamaan, contohnya ke dalam persamaan pertama 2 x+ 3y= 18 . Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 2 x+ 12 = 18 . Kami memindahkan 12 ke sebelah kanan, menukar tanda, kami mendapat 2 x= 6 , oleh itu x = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Darabkan persamaan kedua dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari tambah kedua-dua persamaan. Penambahan komponen x Dan −x akan menghasilkan 0, penambahan 5 y dan 3 y akan memberi 8 y, dan menambah 7 dan 1 memberikan 8. Hasilnya ialah persamaan 8 y= 8 , yang puncanya ialah 1. Mengetahui bahawa nilai y ialah 1, anda boleh mencari nilainya x .

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita dapat x+ 5 = 7 , oleh itu x= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Adalah wajar bahawa istilah yang mengandungi pembolehubah yang sama terletak satu di bawah yang lain. Oleh itu, dalam persamaan kedua, sebutan 5 y dan −2 x tukar tempat. Akibatnya, sistem akan mengambil bentuk:

Darabkan persamaan kedua dengan 3. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan, kita mendapat persamaan 8 y= 16 , yang puncanya ialah 2.

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita mendapat 6 x− 14 = 40 . Kami memindahkan istilah −14 ke sebelah kanan, menukar tanda, kami mendapat 6 x= 54 . Dari sini x= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Mari kita hapuskan pecahan. Darabkan persamaan pertama dengan 36 dan kedua dengan 12

Dalam sistem yang terhasil persamaan pertama boleh didarabkan dengan −5 dan yang kedua dengan 8

Mari tambahkan persamaan dalam sistem yang terhasil. Kemudian kita mendapat persamaan termudah −13 y= −156 . Dari sini y= 12 . Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Kami membawa kedua-dua persamaan kepada bentuk normal. Di sini adalah mudah untuk menggunakan peraturan perkadaran dalam kedua-dua persamaan. Jika dalam persamaan pertama bahagian kanan diwakili sebagai , dan bahagian kanan persamaan kedua sebagai , maka sistem akan mengambil bentuk:

Kami mempunyai perkadaran. Kami mendarabkan istilah ekstrem dan pertengahannya. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Kami mendarabkan persamaan pertama dengan −3, dan membuka kurungan dalam yang kedua:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada menambah persamaan ini, kita mendapat kesamaan, di kedua-dua bahagian yang akan ada sifar:

Ternyata sistem itu mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Tetapi kita tidak boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya dari langit untuk x Dan y. Kami boleh menentukan salah satu nilai, dan satu lagi akan ditentukan bergantung pada nilai yang kami tentukan. Sebagai contoh, biarkan x= 2 . Gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Hasil daripada menyelesaikan salah satu persamaan, nilai untuk y, yang akan memenuhi kedua-dua persamaan:

Pasangan nilai (2; −2) yang terhasil akan memenuhi sistem:

Mari cari pasangan nilai yang lain. biarlah x= 4. Gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Ia boleh ditentukan oleh mata itu y sama dengan sifar. Kemudian kami mendapat sepasang nilai (4; 0), yang memenuhi sistem kami:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Darabkan persamaan pertama dengan 6 dan yang kedua dengan 12

Mari kita tulis semula apa yang tinggal:

Darabkan persamaan pertama dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan, persamaan 6 terbentuk b= 48 , yang puncanya ialah 8. Gantikan b ke dalam persamaan pertama dan cari a

Sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah

Persamaan linear dengan tiga pembolehubah termasuk tiga pembolehubah dengan pekali, serta pintasan. Dalam bentuk kanonik, ia boleh ditulis seperti berikut:

ax + by + cz = d

Persamaan ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Memberi dua pembolehubah pelbagai maksud, anda boleh mencari nilai ketiga. Penyelesaian dalam kes ini ialah tiga kali ganda nilai ( x; y; z) yang menukarkan persamaan menjadi identiti.

Jika pembolehubah x, y, z disambungkan oleh tiga persamaan, maka sistem tiga persamaan linear dengan tiga pembolehubah dibentuk. Untuk menyelesaikan sistem sedemikian, anda boleh menggunakan kaedah yang sama yang digunakan untuk persamaan linear dengan dua pembolehubah: kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Kami menyatakan dalam persamaan ketiga x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita lakukan penggantian. Pembolehubah x adalah sama dengan ungkapan 3 − 2y − 2z . Gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka kurungan dalam kedua-dua persamaan dan berikan istilah seperti:

Kami telah sampai kepada sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penambahan. Akibatnya, pembolehubah y akan hilang dan kita boleh mencari nilai pembolehubah z

Sekarang mari kita cari nilainya y. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan − y+ z= 4. Gantikan nilai z

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan x= 3 − 2y − 2z . Gantikan nilai ke dalamnya y Dan z

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (3; -2; 2) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak, kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem dengan kaedah tambah

Mari tambahkan persamaan pertama dengan kedua didarab dengan −2.

Jika persamaan kedua didarabkan dengan −2, maka ia akan menjadi bentuk −6x+ 6y- 4z = −4 . Sekarang tambahkannya pada persamaan pertama:

Kami melihat bahawa sebagai hasil daripada transformasi asas, nilai pembolehubah ditentukan x. Ia sama dengan satu.

Kembali kepada sistem utama. Mari tambahkan persamaan kedua dengan yang ketiga didarab dengan −1. Jika persamaan ketiga didarab dengan −1, maka ia akan menjadi bentuk −4x + 5y − 2z = −1 . Sekarang tambahkannya ke persamaan kedua:

Mendapat persamaan x - 2y= −1 . Gantikan nilai ke dalamnya x yang kami temui sebelum ini. Kemudian kita boleh menentukan nilainya y

Sekarang kita tahu nilainya x Dan y. Ini membolehkan anda menentukan nilai z. Kami menggunakan salah satu persamaan yang disertakan dalam sistem:

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (1; 1; 1) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak, kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Tugas untuk menyusun sistem persamaan linear

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memperkenalkan beberapa pembolehubah. Seterusnya, persamaan disusun berdasarkan keadaan masalah. Daripada persamaan yang disusun, mereka membentuk sistem dan menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan sistem, adalah perlu untuk memeriksa sama ada penyelesaiannya memenuhi syarat masalah.

Tugasan 1. Sebuah kereta Volga meninggalkan bandar untuk ladang kolektif. Dia kembali semula melalui jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama. Secara keseluruhan, kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua hala. Berapa kilometer panjang setiap jalan?

Penyelesaian

biarlah x- panjang jalan pertama, y- panjang kedua. Jika kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua arah, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+ y= 35. Persamaan ini menerangkan jumlah panjang kedua-dua jalan.

Dikatakan bahawa kereta itu kembali semula di sepanjang jalan, yang lebih pendek daripada yang pertama sebanyak 5 km. Kemudian persamaan kedua boleh ditulis sebagai x− y= 5. Persamaan ini menunjukkan bahawa beza antara panjang jalan raya ialah 5 km.

Atau persamaan kedua boleh ditulis sebagai x= y+ 5 . Kami akan menggunakan persamaan ini.

Sejak pembolehubah x Dan y dalam kedua-dua persamaan menunjukkan nombor yang sama, maka kita boleh membentuk sistem daripadanya:

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan salah satu kaedah yang telah dikaji sebelum ini. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penggantian, kerana dalam persamaan kedua pembolehubah x sudah diluahkan.

Gantikan persamaan kedua ke dalam yang pertama dan cari y

Gantikan nilai yang ditemui y ke dalam persamaan kedua x= y+ 5 dan cari x

Panjang jalan pertama dilambangkan dengan pembolehubah x. Sekarang kita telah menemui maknanya. Pembolehubah x ialah 20. Jadi panjang jalan pertama ialah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan oleh y. Nilai pembolehubah ini ialah 15. Jadi panjang jalan kedua ialah 15 km.

Jom buat pemeriksaan. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian (20; 15) memenuhi syarat masalah.

Dikatakan bahawa secara keseluruhan kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua hala. Kami menambah panjang kedua-dua jalan dan memastikan bahawa penyelesaian (20; 15) memuaskan syarat ini: 20 km + 15 km = 35 km

Syarat seterusnya: kereta itu kembali semula di sepanjang jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama . Kami melihat bahawa penyelesaian (20; 15) juga memenuhi syarat ini, kerana 15 km adalah lebih pendek daripada 20 km dengan 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Apabila menyusun sistem, adalah penting bahawa pembolehubah menunjukkan nombor yang sama dalam semua persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Jadi sistem kami mengandungi dua persamaan. Persamaan ini pula mengandungi pembolehubah x Dan y, yang menunjukkan nombor yang sama dalam kedua-dua persamaan, iaitu panjang jalan yang sama dengan 20 km dan 15 km.

Tugasan 2. Tempat tidur kayu oak dan pain telah dimuatkan ke atas pelantar, sejumlah 300 tempat tidur. Adalah diketahui bahawa semua tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua tidur pain. Tentukan berapa banyak tempat tidur kayu oak dan pain secara berasingan, jika setiap tidur kayu oak mempunyai berat 46 kg, dan setiap tidur kayu pain 28 kg.

Penyelesaian

biarlah x oak dan y tempat tidur pain telah dimuatkan ke platform. Jika terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+y = 300 .

Semua tidur kayu oak mempunyai berat 46 x kg, dan pain seberat 28 y kg. Oleh kerana alat tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada tidur kayu pain, persamaan kedua boleh ditulis sebagai 28y- 46x= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahawa perbezaan jisim antara tidur oak dan pain ialah 1000 kg.

Tan telah ditukar kepada kilogram kerana jisim tidur kayu oak dan pain diukur dalam kilogram.

Akibatnya, kita memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Jom selesaikan sistem ini. Ungkapkan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari y

Pengganti y ke dalam persamaan x= 300 − y dan ketahui apa x

Ini bermakna bahawa 100 oak dan 200 pain sleepers telah dimuatkan ke platform.

Mari kita semak sama ada penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat masalah. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Dikatakan bahawa terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan. Kami menjumlahkan bilangan tidur kayu oak dan pain dan memastikan bahawa penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat ini: 100 + 200 = 300.

Syarat seterusnya: semua tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua pain . Kami melihat bahawa penyelesaian (100; 200) juga memenuhi syarat ini, kerana 46 × 100 kg tidur oak lebih ringan daripada 28 × 200 kg tidur pain: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tugasan 3. Kami mengambil tiga keping aloi tembaga dan nikel dalam nisbah 2: 1, 3: 1 dan 5: 1 mengikut berat. Daripada jumlah ini, sekeping seberat 12 kg telah dicantumkan dengan nisbah kandungan kuprum dan nikel 4: 1. Cari jisim setiap kepingan asal jika jisim yang pertama daripadanya ialah dua kali ganda jisim kedua.