Entries tagged "eksempler på egenskapene til en grad med en naturlig eksponent". Potens eller eksponentialligninger

Maktformler brukes i prosessen med å redusere og forenkle komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.

Antall c er n-te potens av et tall en Når:

Operasjoner med fullmakter.

1. Ved å multiplisere grader med samme base, summerer indikatorene deres:

en ma n = a m + n .

2. I delingen av grader med samme base trekkes indikatorene deres:

3. Graden av produktet av 2 eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene:

(abc...) n = a n b n c n …

4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er riktig i retningene fra venstre til høyre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasjoner med røtter.

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av forholdet er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:

3. Når du hever en rot til en potens, er det nok å heve rottallet til denne potensen:

4. Hvis vi øker graden av roten i n en gang og samtidig heve til n potensen er et rottall, så endres ikke verdien av roten:

5. Hvis vi reduserer graden av roten i n rot på samme tid n grad fra det radikale tallet, vil verdien av roten ikke endres:

Grad med negativ eksponent. Graden av et tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en delt på graden av samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den ikke-positive eksponenten:

Formel en m:a n = a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n ble rettferdig kl m=n, trenger du tilstedeværelsen av nullgraden.

Grad med null eksponent. Potensen til ethvert tall som ikke er null med en nulleksponent er lik én.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall EN til en grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m potens av dette tallet EN.

Tydeligvis kan tall med potenser legges til som andre mengder , ved å legge dem til en etter en med skiltene deres.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2 .
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds samme potenser av de samme variablene kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er 5a 2 .

Det er også åpenbart at hvis vi tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må legges til ved å legge dem til skiltene deres.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3 .

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahend må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 - 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potensmultiplikasjon

Tall med potenser kan multipliseres som andre størrelser ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegnet mellom dem.

Så resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultere i siste eksempel kan bestilles ved å legge til like variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3 .

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik sum grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til resultatet av multiplikasjonen, lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n er;

Og a m , tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til eksponentene.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er - negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall er lik summen eller differansen av kvadratene deres.

Hvis summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grad.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall ved å trekke fra divisoren, eller ved å sette dem i form av en brøk.

Så a 3 b 2 delt på b 2 er a 3 .

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler potenser med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vil si $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ gradsverdier.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2 .
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene i $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduser eksponentene i $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er en -2 første teller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Del (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/t.

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor trenger du å bruke tid på å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil det å kjenne gradene bringe deg nærmere vellykket levering OGE eller USE og for å gå inn på universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser vrøvl i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er den samme matematiske operasjonen som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk på et veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksempler er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Hver har to flasker cola. Hvor mye cola? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives på en annen måte: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange flasker cola og kom opp med en teknikk som kalles multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt saktere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, penere en:

Og hvilke andre vanskelige telletriks fant late matematikere på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, sier matematikere at du må heve dette tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er. Og de løser slike problemer i tankene deres - raskere, enklere og uten feil.

For å gjøre dette trenger du bare husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, det vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor kalles andre grad torget tall, og den tredje kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med en kvadrat eller andre potens av et tall.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler meter for meter. Bassenget er i hagen din. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men ... et basseng uten bunn! Det er nødvendig å dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne området til bunnen av bassenget.

Du kan ganske enkelt telle ved å stikke med fingeren at bunnen av bassenget består av kuber meter for meter. Hvis flisene dine er meter for meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor så du en slik flis? Flisen blir heller cm for cm. Og da blir du plaget av å "telle med fingeren". Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliserer du med, får du fliser ().

La du merke til at vi multipliserte det samme tallet med seg selv for å bestemme arealet av bunnen av bassenget? Hva betyr det? Siden det samme tallet multipliseres, kan vi bruke eksponentieringsteknikken. (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve til en potens, og det er også færre feil i beregningene Til eksamen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre grad vil være (). Eller du kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg, tell hvor mange ruter som er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet ... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å telle tallet deres må du gange åtte med åtte, eller ... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du rute åtte. Få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som er en meter stor og en meter dyp og prøv å regne ut hvor mange kuber som måler en meter på en meter som vil komme inn i din basseng.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mye ble det? Har du ikke gått deg vill? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet av bassenget være lik kuber ... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de gjør det for enkelt. Redusert alt til en handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at det samme tallet multipliseres med seg selv ... Og hva betyr dette? Det betyr at du kan bruke graden. Så det du en gang telte med en finger, gjør de i én handling: tre i en kube er lik. Det er skrevet slik:

Bare gjenstår huske tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av loafers og listige mennesker for å løse deres livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begynnelsen av hvert år tjener du ytterligere en million for hver million. Det vil si at hver av dine millioner ved begynnelsen av hvert år dobles. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du nå sitter og "teller med fingeren", så er du en veldig arbeidsom person og .. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to ganger to ... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året ... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv én gang. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som regner raskere vil få disse millionene ... Er det verdt å huske tallenes grader, hva tror du?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du to til for hver million. Det er flott ikke sant? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med en annen ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så den fjerde potensen er en million. Du trenger bare å huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt, vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper ... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er eksponent? Det er veldig enkelt - dette er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske ...

Vel, på samme tid, hva en slik gradsbasis? Enda enklere er tallet som er nederst, ved basen.

Her er et bilde for å være sikker.

Vel og inn generelt synå generalisere og huske bedre ... En grad med base "" og en eksponent "" leses som "til den grad" og skrives som følger:

Kraften til et tall med naturlig indikator

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de som brukes til å telle når du legger opp elementer: en, to, tre ... Når vi teller elementer, sier vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi sier ikke «en tredjedel» eller «null komma fem tideler» heller. Dette er ikke naturlige tall. Hva tror du disse tallene er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og et tall. Null er lett å forstå - dette er når det ikke er noe. Og hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å betegne gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan ble de til, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de ikke hadde nok naturlige tall til å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall… Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere begrepet grad, hvis eksponent er et naturlig tall (det vil si heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall er å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall er å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens er å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Gradsegenskaper

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se hva som er Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la faktorer til faktorene, og resultatet er faktorer.

Men per definisjon er dette graden av et tall med en eksponent, det vil si: , som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis må være av samme grunn!
Derfor kombinerer vi gradene med basen, men forblir en egen faktor:

kun for produkter av krefter!

Du bør ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det vil si -te potens av et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av graden:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv en gang, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

Faktisk kan dette kalles "braketing av indikatoren". Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske formlene for forkortet multiplikasjon: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men det er ikke sant, egentlig.

Grad med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I grader fra naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn (" " eller "") vil ha grader av positive og negative tall?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? EN? ? Med det første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Tross alt husker vi en enkel regel fra 6. klasse: "et minus ganger et minus gir et pluss." Det vil si eller. Men ganger vi med, viser det seg.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten, og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: det spiller ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Basen er vel ikke den samme? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 praksiseksempler

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ikke tar hensyn til åttende grad, hva ser vi her? La oss ta en titt på programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er den forkortede multiplikasjonsformelen, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble byttet, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

hel vi navngir de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet "") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid spør vi oss selv: hvorfor er det slik?

Tenk på litt kraft med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og fikk det samme som det var -. Hvilket tall må multipliseres med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, får du fortsatt null, dette er klart. Men på den annen side, som ethvert tall til null grad, må det være likt. Så hva er sannheten i dette? Matematikere bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre det samme som forrige gang: vi multipliserer et normalt tall med det samme i en negativ grad:

Herfra er det allerede lett å uttrykke ønsket:

Nå utvider vi den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere regelen:

Et tall i negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens. Men samtidig base kan ikke være null:(fordi det er umulig å dele).

La oss oppsummere:

I. Uttrykk er ikke definert i kasus. Hvis da.

II. Ethvert tall i null potens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler for en uavhengig løsning:

Analyse av oppgaver for selvstendig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på eksamen må du være klar for hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningen deres hvis du ikke kunne løse den, og du vil lære hvordan du enkelt kan håndtere dem i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

Vurder nå rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er dessuten heltall.

For å forstå hva som er "brøkdel grad" La oss vurdere en brøkdel:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

Husk nå regelen "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th grad er den inverse operasjonen av eksponentiering: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan forlenges: .

Legg nå til telleren: hva er det? Svaret er lett å få med makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

Husk regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut røtter av jevn grad fra negative tall!

Og dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykk?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres som andre, reduserte brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, og dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men så snart vi skriver indikatoren på en annen måte, får vi igjen problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurder bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• er et heltall;

Eksempler:

Potenser med en rasjonell eksponent er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 praksiseksempler

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå - det vanskeligste. Nå skal vi analysere grad med en irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for grader med en rasjonell eksponent, med unntak av

Faktisk, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...null kraft- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tallblankt" , nemlig nummeret;

...negativ heltallseksponent- det er som om en viss "omvendt prosess" har funnet sted, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer hvordan du løser slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den allerede vanlige regelen for å heve en grad til en grad:

Se nå på poengsummen. Minner han deg om noe? Vi husker formelen for forkortet multiplikasjon av kvadratforskjellen:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi bringer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Definisjon av grad

Graden er et uttrykk for formen: , hvor:

• — base av grad;
• - eksponent.

Grad med naturlig eksponent (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Potens med heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

ereksjon til null effekt:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er heltall negativ Antall:

(fordi det er umulig å dele).

En gang til om null: uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

Eksempler:

Grad med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• er et heltall;

Eksempler:

Gradsegenskaper

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket oppnås følgende produkt:

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis må være på samme grunnlag. Derfor kombinerer vi gradene med basen, men forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkter av makt!

Jeg skal ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av graden:

La oss omorganisere det slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv en gang, det vil si, ifølge definisjonen, er dette den -te potensen til tallet:

Faktisk kan dette kalles "braketing av indikatoren". Men du kan aldri gjøre dette totalt:!

La oss huske formlene for forkortet multiplikasjon: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men det er ikke sant, egentlig.

Kraft med negativ base.

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva som bør være indeks grad. Men hva skal ligge til grunn? I grader fra naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn (" " eller "") vil ha grader av positive og negative tall?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? EN? ?

Med det første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Tross alt husker vi en enkel regel fra 6. klasse: "et minus ganger et minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi -.

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Du kan formulere disse enkle reglene:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
3. positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten, og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: det spiller ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Basen er vel ikke den samme? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis du husker det, blir det klart det, som betyr at grunntallet er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem inn i hverandre, deler dem inn i par og får:

Før demontering siste regel La oss ta en titt på noen få eksempler.

Beregn verdiene til uttrykk:

Løsninger :

Hvis vi ikke tar hensyn til åttende grad, hva ser vi her? La oss ta en titt på programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er den forkortede multiplikasjonsformelen, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble reversert, kunne regel 3 brukes. Men hvordan gjør jeg dette? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå ser det slik ut:

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig! Det kan ikke erstattes av ved å endre bare ett kritikkverdig minus for oss!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver blir det? ganger med multiplikatorer - hvordan ser det ut? Dette er ikke annet enn definisjonen av en operasjon multiplikasjon: totalt viste det seg å være multiplikatorer. Det vil si at det per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om gradene for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell indikator. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall i nullgrad er så å si et tall multiplisert med seg selv én gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare en viss "utarbeidelse av et nummer", nemlig et nummer; en grad med en negativ heltallsindikator - det er som om en viss "omvendt prosess" har skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Snarere er det et rent matematisk objekt som matematikere har laget for å utvide begrepet en grad til hele tallrommet.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Husk formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi bringer brøker til samme form: enten begge desimaler, eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SEKSJONSAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL

Grad kalles et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med heltallseksponent

grad, hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Grad med rasjonell eksponent

grad, indikatoren som er negative og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

eksponent hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Gradsegenskaper

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ET ORD...

Hvordan liker du artikkelen? Gi meg beskjed i kommentarene nedenfor om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med kraftegenskapene.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Eksponenten brukes for å gjøre det lettere å skrive operasjonen med å multiplisere et tall med seg selv. For eksempel, i stedet for å skrive, kan du skrive 4 5 (\displaystyle 4^(5))(en forklaring på en slik overgang er gitt i den første delen av denne artikkelen). Potenser gjør det lettere å skrive lange eller komplekse uttrykk eller ligninger; potenser kan også enkelt legges til og trekkes fra, noe som resulterer i en forenkling av et uttrykk eller en ligning (f.eks. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Merk: hvis du trenger å løse en eksponentiell ligning (i en slik ligning er det ukjente i eksponenten), les.

Trinn

Løse enkle problemer med krefter

Multipliser basen til eksponenten med seg selv et antall ganger lik eksponenten. Hvis du trenger å løse et problem med eksponenter manuelt, omskriv eksponenten som en multiplikasjonsoperasjon, hvor basisen til eksponenten multipliseres med seg selv. For eksempel gitt graden 3 4 (\displaystyle 3^(4)). I dette tilfellet må basen for grad 3 multipliseres med seg selv 4 ganger: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Her er andre eksempler:

Gang først de to første tallene. For eksempel, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ikke bekymre deg - beregningsprosessen er ikke så komplisert som den ser ut ved første øyekast. Gang først de to første firedoblene, og erstatt dem deretter med resultatet. Som dette:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multipliser resultatet (16 i vårt eksempel) med neste tall. Hvert påfølgende resultat vil øke proporsjonalt. I vårt eksempel multipliserer du 16 med 4. Slik:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Fortsett å multiplisere resultatet av å multiplisere de to første tallene med det neste tallet til du får det endelige svaret. For å gjøre dette, multipliser de to første tallene, og multipliser deretter resultatet med det neste tallet i sekvensen. Denne metoden er gyldig for alle grader. I vårt eksempel bør du få: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Løs følgende problemer. Sjekk svaret ditt med en kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. På kalkulatoren, se etter nøkkelen merket "exp", eller " x n (\displaystyle x^(n))", eller "^". Med denne tasten vil du heve et tall til en potens. Det er praktisk talt umulig å manuelt beregne graden med en stor eksponent (for eksempel graden 9 15 (\displaystyle 9^(15))), men kalkulatoren kan enkelt takle denne oppgaven. I Windows 7 kan standardkalkulatoren byttes til ingeniørmodus; for å gjøre dette, klikk "Vis" -\u003e "Engineering". For å bytte til normal modus, klikk på "Vis" -\u003e "Normal".

   • Sjekk det mottatte svaret ved hjelp av en søkemotor (Google eller Yandex). Bruk "^"-tasten på datamaskinens tastatur, skriv inn uttrykket i søkemotoren, som umiddelbart vil vise det riktige svaret (og muligens foreslå lignende uttrykk for studier).

   Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon av potenser

   1. Du kan bare addere og trekke fra potenser hvis de har samme grunntall. Hvis du trenger å legge til potenser med de samme basene og eksponentene, kan du erstatte addisjonsoperasjonen med en multiplikasjonsoperasjon. For eksempel gitt uttrykket 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Husk at graden 4 5 (\displaystyle 4^(5)) kan representeres som 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Dermed, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(hvor 1 +1 = 2). Det vil si å telle antall like grader, og deretter multiplisere en slik grad og dette tallet. I vårt eksempel, hev 4 til femte potens, og gang deretter resultatet med 2. Husk at addisjonsoperasjonen kan erstattes av en multiplikasjonsoperasjon, for eksempel, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Her er andre eksempler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Når potenser multipliseres med samme grunntall, legges eksponentene deres til (grunnlaget endres ikke). For eksempel gitt uttrykket x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). I dette tilfellet trenger du bare å legge til indikatorene, og la basen være uendret. Dermed, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Her er en visuell forklaring av denne regelen:

      Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene. For eksempel gitt en grad. Siden eksponentene multipliseres, da (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Meningen med denne regelen er at du multipliserer kraften (x 2) (\displaystyle (x^(2))) på seg selv fem ganger. Som dette:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Siden basen er den samme, legger eksponentene ganske enkelt sammen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. En eksponent med negativ eksponent skal konverteres til en brøk (til invers potens). Det spiller ingen rolle om du ikke vet hva en gjensidighet er. Hvis du får en grad med negativ eksponent, for eksempel, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), skriv denne potensen i nevneren til brøken (sett 1 i telleren), og gjør eksponenten positiv. I vårt eksempel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Her er andre eksempler:

      Når du deler potenser med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra (grunnlaget endres ikke). Divisjonsoperasjonen er det motsatte av multiplikasjonsoperasjonen. For eksempel gitt uttrykket 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Trekk eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren (ikke endre grunntallet). Dermed, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Graden i nevneren kan skrives som følger: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Husk at en brøk er et tall (potens, uttrykk) med en negativ eksponent.

   4. Nedenfor er noen uttrykk for å hjelpe deg å lære hvordan du løser strømproblemer. Ovennevnte uttrykk dekker materialet som presenteres i denne delen. For å se svaret, bare marker det tomme rommet etter likhetstegnet.

   Løse problemer med brøkeksponenter

   En grad med en brøkeksponent (for eksempel ) konverteres til en rotekstraksjonsoperasjon. I vårt eksempel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Det spiller ingen rolle hvilket tall som er i nevneren til brøkeksponenten. For eksempel, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) er den fjerde roten av "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Hvis eksponenten er en uekte brøk, kan en slik eksponent dekomponeres i to potenser for å forenkle løsningen av problemet. Det er ikke noe komplisert med dette - bare husk regelen for multiplikasjon av potenser. For eksempel gitt en grad. Gjør den eksponenten til en rot hvis eksponent er lik nevneren til brøkeksponenten, og hev den roten til eksponenten lik telleren til brøkeksponenten. For å gjøre dette, husk det 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). I vårt eksempel:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Noen kalkulatorer har en knapp for å beregne eksponenter (først må du angi basen, deretter trykke på knappen og deretter angi eksponenten). Det er betegnet som ^ eller x^y.
   3. Husk at ethvert tall er lik seg selv med første potens, for eksempel, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Dessuten er ethvert tall multiplisert eller delt med én lik seg selv, for eksempel, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Og 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Vit at graden 0 0 ikke eksisterer (en slik grad har ingen løsning). Når du prøver å løse en slik grad på en kalkulator eller på en datamaskin, får du en feilmelding. Men husk at ethvert tall i potensen av null er lik 1, for eksempel, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. I høyere matematikk, som opererer med imaginære tall: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Hvor i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e er en konstant omtrentlig lik 2,7; a er en vilkårlig konstant. Beviset for denne likheten kan finnes i en hvilken som helst lærebok om høyere matematikk.

   Advarsler

   • Når eksponenten øker, øker dens verdi betraktelig. Derfor, hvis svaret virker feil for deg, kan det faktisk vise seg å være sant. Du kan sjekke dette ved å plotte noen eksponentiell funksjon, for eksempel 2 x .

En av hovedkarakteristikkene i algebra, og faktisk i all matematikk, er en grad. Selvfølgelig, i det 21. århundre, kan alle beregninger utføres på en online kalkulator, men det er bedre å lære hvordan du gjør det selv for utvikling av hjerner.

I denne artikkelen vil vi vurdere de viktigste spørsmålene angående denne definisjonen. Vi vil nemlig forstå hva det er generelt og hva er dets hovedfunksjoner, hvilke egenskaper som finnes i matematikk.

La oss se på eksempler på hvordan regnestykket ser ut, hva er de grunnleggende formlene. Vi vil analysere hovedtypene av mengder og hvordan de skiller seg fra andre funksjoner.

Vi vil forstå hvordan du løser ulike problemer ved å bruke denne verdien. Vi vil vise med eksempler hvordan man kan heve til null grad, irrasjonelt, negativt osv.

Online eksponentieringskalkulator

Hva er graden av et tall

Hva menes med uttrykket "løfte et tall til en makt"?

Graden n av et tall a er produktet av størrelsesfaktorer n ganger på rad.

Matematisk ser det slik ut:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje trinn. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 i trinn. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 i trinn. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 i 5 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 i 4 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nedenfor er en tabell med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabell over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultatene av å heve naturlige tall til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. klasse	3. klasse
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Gradsegenskaper

Hva er karakteristisk for en slik matematisk funksjon? La oss se på de grunnleggende egenskapene.

Forskere har etablert følgende tegn som er karakteristiske for alle grader:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

La oss sjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den annen side 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hva om det er annerledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, fungerer reglene.

Men hvordan være med addisjon og subtraksjon? Alt er enkelt. Først utføres eksponentiering, og først deretter addisjon og subtraksjon.

La oss se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Men i dette tilfellet må du først beregne tillegget, siden det er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan produsere databehandling i mer vanskelige saker ? Rekkefølgen er den samme:

• hvis det er parentes, må du begynne med dem;
• deretter eksponentiering;
• utfør deretter operasjoner med multiplikasjon, divisjon;
• etter addisjon, subtraksjon.

Det er spesifikke egenskaper som ikke er karakteristiske for alle grader:

1. Roten av den n-te graden fra tallet a til graden m vil bli skrevet som: a m / n .
2. Når du hever en brøk til en potens: både telleren og dens nevner er underlagt denne prosedyren.
3. Når man hever produktet av forskjellige tall til en potens, vil uttrykket tilsvare produktet av disse tallene til en gitt potens. Det vil si: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hever et tall til en negativ potens, må du dele 1 med et tall i samme trinn, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nevneren til en brøk er i negativ potens, vil dette uttrykket være lik produktet av telleren og nevneren i positiv potens.
6. Et hvilket som helst tall i potensen 0 = 1, og til trinnet. 1 = til seg selv.

Disse reglene er viktige i enkeltsaker, vil vi vurdere dem mer detaljert nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hva skal man gjøre med en negativ grad, det vil si når indikatoren er negativ?

Basert på eiendom 4 og 5(se punkt over) det viser seg:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Og vice versa:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Hva om det er en brøkdel?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad med en naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lik heltall.

Ting å huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Dessuten, hvis (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tall heves til en oddetall, så omvendt.

Generelle egenskaper og alt spesifikke funksjoner beskrevet ovenfor er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne visningen kan skrives som et skjema: A m / n. Det leses som: roten av den n-te graden av tallet A i m potens.

Med en brøkindikator kan du gjøre hva som helst: redusere, dekomponere i deler, heve til en annen grad, etc.

Grad med irrasjonell eksponent

La α være et irrasjonelt tall og А ˃ 0.

For å forstå essensen av graden med en slik indikator, La oss se på forskjellige mulige tilfeller:

• A \u003d 1. Resultatet vil være lik 1. Siden det er et aksiom - 1 er lik en i alle potenser;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 er rasjonelle tall;

• 0˂А˂1.

I dette tilfellet omvendt: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 under samme betingelser som i andre ledd.

Eksponenten er for eksempel tallet π. Det er rasjonelt.

r 1 - i dette tilfellet er det lik 3;

r 2 - vil være lik 4.

Så, for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, deretter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, deretter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Slike grader er preget av alle de matematiske operasjonene og spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor.

Konklusjon

La oss oppsummere - hva er disse verdiene for, hva er fordelene med slike funksjoner? Selvfølgelig forenkler de først og fremst livet til matematikere og programmerere når de løser eksempler, siden de tillater å minimere beregninger, redusere algoritmer, systematisere data og mye mer.

Hvor ellers kan denne kunnskapen være nyttig? I enhver arbeidsspesialitet: medisin, farmakologi, odontologi, konstruksjon, teknologi, ingeniørfag, design, etc.