hjem › Diverse › Fraktale elementer. Romforskningslaboratoriet

Fraktale elementer. Romforskningslaboratoriet

Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert i hverdagen til matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Ordet fraktal er avledet fra latin fractus og betyr i oversettelse bestående av fragmenter. Det ble foreslått av Benoit Mandelbrot i 1975 å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene som han studerte. Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen av Mandelbrots bok `The Fractal Geometry of Nature' i 1977. Hans arbeider brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Men bare i vår tid var det mulig å kombinere verkene deres til et enkelt system.
Rollen til fraktaler i datagrafikk i dag er ganske stor. De kommer for eksempel til unnsetning når det er nødvendig, ved hjelp av flere koeffisienter, å definere linjer og overflater med en veldig kompleks form. Fra datagrafikksynspunktet er fraktalgeometri uunnværlig for generering av kunstige skyer, fjell og havoverflaten. faktisk funnet lungeveien representasjoner av komplekse ikke-euklidiske objekter, hvis bilder er veldig like naturlige.
En av hovedegenskapene til fraktaler er selvlikhet. I selve enkel sak en liten del av fraktalen inneholder informasjon om hele fraktalen. Definisjonen av en fraktal gitt av Mandelbrot er som følger: "En fraktal er en struktur som består av deler som på en eller annen måte ligner helheten."

Finnes stort antall matematiske objekter kalt fraktaler (Sierpinski-trekanten, Koch-snøfnugg, Peano-kurve, Mandelbrot-sett og Lorentz-attraktorer). Fraktaler beskriver med stor nøyaktighet mange fysiske fenomener og formasjoner av den virkelige verden: fjell, skyer, turbulente (virvel)strømmer, røtter, grener og blader av trær, blodårer, som langt fra tilsvarer enkle geometriske former. For første gang snakket Benoit Mandelbrot om den fraktale naturen til vår verden i sitt banebrytende verk "The Fractal Geometry of Nature".
Begrepet fraktal ble introdusert av Benoit Mandelbrot i 1977 i hans grunnleggende verk "Fractals, Form, Chaos and Dimension". I følge Mandelbrot kommer ordet fraktal fra de latinske ordene fractus – fractional og frangere – to break, som gjenspeiler essensen av fraktalen som en «knust», uregelmessig sett.

Klassifisering av fraktaler.

For å representere hele utvalget av fraktaler, er det praktisk å ty til deres generelt aksepterte klassifisering. Det er tre klasser av fraktaler.

1. Geometriske fraktaler.

Fraktaler av denne klassen er de mest åpenbare. I det todimensjonale tilfellet oppnås de ved å bruke en polylinje (eller overflate i det tredimensjonale tilfellet) kalt en generator. I ett trinn av algoritmen erstattes hvert av segmentene som utgjør den stiplede linjen med en stiplet linjegenerator i passende skala. Som et resultat av den endeløse repetisjonen av denne prosedyren, oppnås en geometrisk fraktal.

Tenk for eksempel på en av slike fraktale objekter - Koch triadiske kurve.

Konstruksjon av den triadiske Koch-kurven.

Ta et rett linjestykke med lengde 1. La oss kalle det frø. La oss dele frøet i tre like deler med lengde 1/3, kast den midtre delen og erstatte den med en brutt linje med to ledd med lengde 1/3.

Vi får en brutt linje, bestående av 4 ledd med en total lengde på 4/3, - den s.k. første generasjon.

For å gå videre til neste generasjon av Koch-kurven, er det nødvendig å forkaste og erstatte den midtre delen av hver lenke. Følgelig vil lengden på andre generasjon være 16/9, den tredje - 64/27. hvis du fortsetter denne prosessen til det uendelige, vil resultatet være en triadisk Koch-kurve.

La oss nå vurdere den hellige triadiske Koch-kurven og finne ut hvorfor fraktaler ble kalt "monstre".

For det første har denne kurven ingen lengde - som vi har sett, med antall generasjoner har lengden en tendens til uendelig.

For det andre er det umulig å konstruere en tangent til denne kurven - hvert av punktene er et bøyningspunkt der den deriverte ikke eksisterer - denne kurven er ikke jevn.

Lengde og glatthet er de grunnleggende egenskapene til kurver, som studeres både av euklidisk geometri og av geometrien til Lobachevsky og Riemann. Til den triadiske Koch-kurven tradisjonelle metoder geometrisk analyse viste seg å være ubrukelig, så Koch-kurven viste seg å være et monster - et "monster" blant de glatte innbyggerne i tradisjonelle geometrier.

Bygging av "dragen" Harter-Hateway.

For å få en annen fraktal gjenstand, må du endre konstruksjonsreglene. La det genererende elementet være to like segmenter koblet i rette vinkler. I nullgenerasjonen bytter vi ut enhetssegmentet med dette generasjonselementet slik at vinkelen er på toppen. Vi kan si at med en slik utskifting skjer det et skifte i midten av lenken. Ved bygging neste generasjoner regelen er oppfylt: den aller første lenken til venstre erstattes av et genererende element slik at midten av lenken forskyves til venstre for bevegelsesretningen, og når de neste lenkene erstattes, forskyvningsretningene til midtpunktene av segmentene må veksle. Figuren viser de første generasjonene og den 11. generasjonen av kurven bygget etter prinsippet beskrevet ovenfor. Kurven med n som tenderer mot uendelig kalles Harter-Hateway-dragen.
I datagrafikk er bruk av geometriske fraktaler nødvendig for å få bilder av trær og busker. Todimensjonale geometriske fraktaler brukes til å lage tredimensjonale teksturer (mønstre på overflaten av et objekt).

2. Algebraiske fraktaler

Dette er den største gruppen av fraktaler. De oppnås ved bruk av ikke-lineære prosesser i n-dimensjonale rom. Todimensjonale prosesser er de mest studerte. Ved å tolke en ikke-lineær iterativ prosess som et diskret dynamisk system, kan man bruke terminologien til teorien om disse systemene: faseportrett, stabil tilstandsprosess, attraktor, etc.
Det er kjent at ikke-lineære dynamiske systemer har flere stabile tilstander. Tilstanden som det dynamiske systemet befinner seg i etter et visst antall iterasjoner avhenger av dets opprinnelige tilstand. Derfor har hver stabil tilstand (eller, som de sier, en attraktor) et visst område med starttilstander, hvorfra systemet nødvendigvis vil falle inn i de betraktede slutttilstandene. Dermed er faserommet til systemet delt inn i attraksjonsområder for attraksjoner. Hvis faserommet er todimensjonalt, kan man ved å farge attraksjonsområdene med forskjellige farger få et fargefaseportrett av dette systemet (iterativ prosess). Ved å endre fargevalgalgoritmen kan du få komplekse fraktale mønstre med fancy flerfargemønstre. En overraskelse for matematikere var evnen til å generere svært komplekse ikke-trivielle strukturer ved hjelp av primitive algoritmer.

Mandelbrot-settet.

Som et eksempel, tenk på Mandelbrot-settet. Algoritmen for konstruksjonen er ganske enkel og er basert på et enkelt iterativt uttrykk: Z = Z[i] * Z[i] + C, Hvor Zi Og C er komplekse variabler. Iterasjoner utføres for hvert startpunkt fra et rektangulært eller kvadratisk område - en undergruppe av det komplekse planet. Den iterative prosessen fortsetter til Z[i] vil ikke gå utover sirkelen med radius 2, hvis sentrum ligger i punktet (0,0), (dette betyr at attraktoren til det dynamiske systemet er på uendelig), eller etter et tilstrekkelig stort antall iterasjoner (for eksempel , 200–500) Z[i] konvergerer til et punkt på sirkelen. Avhengig av antall iterasjoner under hvilke Z[i] forble innenfor sirkelen, kan du angi fargen på punktet C(Hvis Z[i] forblir inne i sirkelen for et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, stopper iterasjonsprosessen og dette rasterpunktet males svart).

3. Stokastiske fraktaler

En annen velkjent klasse fraktaler er stokastiske fraktaler, som oppnås hvis noen av parameterne endres tilfeldig i en iterativ prosess. Dette resulterer i gjenstander som ligner veldig på naturlige - asymmetriske trær, innrykkede kystlinjer, etc. Todimensjonale stokastiske fraktaler brukes i modellering av terrenget og havoverflaten.
Det finnes andre klassifikasjoner av fraktaler, for eksempel inndelingen av fraktaler i deterministiske (algebraiske og geometriske) og ikke-deterministiske (stokastiske).

Om bruken av fraktaler

Først av alt er fraktaler et område med fantastisk matematisk kunst, når det oppnås bilder av ekstraordinær skjønnhet og kompleksitet ved hjelp av de enkleste formlene og algoritmene! I konturene av de konstruerte bildene gjettes ofte blader, trær og blomster.

Noen av de kraftigste bruksområdene for fraktaler ligger i data-grafikk. For det første er det fraktal komprimering av bilder, og for det andre konstruksjon av landskap, trær, planter og generering av fraktale teksturer. Moderne fysikk og mekanikk har akkurat begynt å studere oppførselen til fraktale objekter. Og selvfølgelig brukes fraktaler direkte i selve matematikken.
Fordelene med fraktale bildekomprimeringsalgoritmer er den svært lille størrelsen på den pakkede filen og den korte gjenopprettingstiden for bilder. Fraktalt pakkede bilder kan skaleres uten at det ser ut til pikselering. Men kompresjonsprosessen tar lang tid og varer noen ganger i timer. Den lossy fraktale pakkealgoritmen lar deg angi komprimeringsnivået, likt jpeg-formatet. Algoritmen er basert på søk etter store deler av bildet som ligner på noen små biter. Og bare hvilken del som er lik som skrives til utdatafilen. Ved komprimering brukes vanligvis et firkantet rutenett (stykker er firkanter), noe som fører til en liten vinklethet når du gjenoppretter bildet, et sekskantet rutenett er fritt for en slik ulempe.
Iterated har utviklet et nytt bildeformat, "Sting", som kombinerer fraktal og "wave" (som jpeg) tapsfri komprimering. Det nye formatet lar deg lage bilder med mulighet for etterfølgende høykvalitets skalering, og volumet av grafiske filer er 15-20% av volumet av ukomprimerte bilder.
Tendensen til fraktaler til å se ut som fjell, blomster og trær utnyttes av noen grafiske redaktører, for eksempel fraktale skyer fra 3D-studio MAX, fraktale fjell i World Builder. Fraktale trær, fjell og hele landskap er gitt enkle formler, er enkle å programmere og brytes ikke opp i separate trekanter og terninger når de nærmes.
Du kan ikke ignorere bruken av fraktaler i selve matematikken. I settteori beviser Cantor-settet eksistensen av perfekte ingensteds tette sett; i målteori er den selvaffine "Cantor ladder"-funksjonen et godt eksempel på en entallsfordelingsfunksjon.
I mekanikk og fysikk brukes fraktaler pga unik eiendom gjenta konturene til mange naturgjenstander. Fraktaler lar deg tilnærme trær, fjelloverflater og sprekker med høyere nøyaktighet enn tilnærminger med linjesegmenter eller polygoner (med samme mengde lagrede data). Fraktale modeller, som naturlige objekter, har "ruhet", og denne egenskapen er bevart ved en vilkårlig stor økning i modellen. Tilstedeværelsen av et enhetlig mål på fraktaler gjør det mulig å bruke integrasjon, potensiell teori, for å bruke dem i stedet for standardobjekter i ligningene som allerede er studert.
Med den fraktale tilnærmingen slutter kaos å være blå uorden og får en fin struktur. Fraktalvitenskap er fortsatt veldig ung og har en stor fremtid foran seg. Skjønnheten til fraktaler er langt fra å være oppbrukt og vil fortsatt gi oss mange mesterverk - de som gleder øyet, og de som bringer sann nytelse til sinnet.

Om å bygge fraktaler

Metode for suksessive tilnærminger

Når du ser på dette bildet, er det ikke vanskelig å forstå hvordan en selvlignende fraktal (i dette tilfellet Sierpinski-pyramiden) kan bygges. Vi må ta en vanlig pyramide (tetraeder), og deretter kutte ut midten (oktaeder), som et resultat av at vi får fire små pyramider. Med hver av dem utfører vi den samme operasjonen, og så videre. Dette er en litt naiv, men illustrerende forklaring.

La oss vurdere essensen av metoden mer strengt. La det være noe IFS-system, dvs. sS=(S 1 ,...,S m ) Si:R n ->R n (for eksempel, for vår pyramide, ser tilordningene ut som Si (x)=1/2*x+o i, hvor o i er toppunktene til tetraederet, i=1,..,4). Så velger vi et kompakt sett A 1 i R n (i vårt tilfelle velger vi et tetraeder). Og vi bestemmer ved induksjon rekkefølgen av mengder A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Det er kjent at settene A k med økende k tilnærmer seg den nødvendige attraktoren til systemet S.

Merk at hver av disse iterasjonene er en attraktor tilbakevendende system av itererte funksjoner(engelsk term DigraphIFS, RIFS og også Grafstyrt IFS) og derfor er de enkle å bygge med programmet vårt.

Konstruksjon etter poeng eller sannsynlighetsmetode

Dette er den enkleste metoden å implementere på en datamaskin. For enkelhets skyld bør du vurdere tilfellet med et flatt, selvavhengig sett. Så la oss

) er et system med affine sammentrekninger. Kartlegginger S

representert som: S

Fast matrise i størrelse 2x2 og o

Todimensjonal vektorkolonne.

La oss ta utgangspunkt i et fast punkt i den første kartleggingen S 1:
x:=o1;
Her bruker vi det faktum at alle faste kontraksjonspunkter S 1 ,..,S m tilhører fraktalen. Et vilkårlig punkt kan velges som utgangspunkt og sekvensen av punkter som genereres av det vil krympe til en fraktal, men da vil noen ekstra punkter vises på skjermen.
Legg merke til gjeldende punkt x=(x 1 ,x 2) på skjermen:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Vi velger tilfeldig et tall j fra 1 til m og regner om koordinatene til punktet x:
j:=Tilfeldig(m)+1;
x:=Sj(x);
Vi går til trinn 2, eller, hvis vi har gjort et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, så stopper vi.

Merk. Hvis komprimeringskoeffisientene til avbildningene Si er forskjellige, vil fraktalen bli fylt med punkter ujevnt. Hvis kartleggingene Si er likheter, kan dette unngås ved å komplisere algoritmen litt. For å gjøre dette, ved 3. trinn i algoritmen, må tallet j fra 1 til m velges med sannsynlighetene p 1 =r 1 s ,.., p m =r m s , hvor r i betegner kontraksjonskoeffisienten til avbildningene S i , og tallet s (kalt likhetsdimensjonen) finnes fra ligningen r 1 s +...+r m s =1. Løsningen av denne ligningen kan for eksempel bli funnet ved Newtons metode.

Om fraktaler og deres algoritmer

Fractal kommer fra det latinske adjektivet "fractus", og betyr i oversettelse bestående av fragmenter, og det tilsvarende latinske verbet "frangere" betyr å bryte, det vil si å lage uregelmessige fragmenter. Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert i hverdagen til matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Begrepet ble foreslått av Benoit Mandelbrot i 1975 for å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene han studerte. Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen i 1977 av Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Arbeidene hans brukte de vitenskapelige resultatene til andre vitenskapsmenn som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Justeringer

La meg gjøre noen justeringer av algoritmene foreslått i boken av H.-O. Paytgen og P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, rent for å utrydde skrivefeil og gjøre det lettere å forstå prosessene, siden etter å ha studert dem forble mye et mysterium for meg. Dessverre fører disse "forståelige" og "enkle" algoritmene en rocka livsstil.

Konstruksjonen av fraktaler er basert på en viss ikke-lineær funksjon av en kompleks prosess med tilbakemelding z \u003d z 2 + c siden z og c er komplekse tall, så z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, er det nødvendig å dekomponere den til x og y for å gå til mer realistisk for vanlig mann fly:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Planet som består av alle par (x, y) kan betraktes som med faste verdier p og q, så vel som for dynamiske. I det første tilfellet sorterer du gjennom alle punktene (x, y) i flyet i henhold til loven og fargelegger dem avhengig av antall repetisjoner av funksjonen som er nødvendig for å forlate den iterative prosessen eller ikke farge (svart) når det tillatte maksimum av repetisjoner økes, får vi visningen av Julia-settet. Hvis vi tvert imot bestemmer det første verdiparet (x, y) og sporer dets koloristiske skjebne med dynamisk skiftende verdier av parameterne p og q, får vi bilder kalt Mandelbrot-sett.

På spørsmålet om fraktale fargealgoritmer.

Vanligvis er settets kropp representert som et svart felt, selv om det er åpenbart at den svarte fargen kan erstattes av en hvilken som helst annen, men dette er også et uinteressant resultat. Å få et bilde av et sett malt i alle farger er en oppgave som ikke kan løses ved hjelp av sykliske operasjoner, siden antall iterasjoner som danner kroppen til settet er lik maksimalt mulig og alltid det samme. Farg settet inn forskjellige farger kanskje ved å bruke resultatet av å sjekke utgangstilstanden fra løkken (z_magnitude) som fargenummer, eller lignende, men med andre matematiske operasjoner.

Anvendelse av "fraktalmikroskopet"

å demonstrere grensefenomener.

Tiltrekkere er sentrene som leder kampen om dominans på flyet. Mellom tiltrekkerne er det en kant som representerer et virvlende mønster. Ved å øke vurderingsskalaen innenfor settets grenser, kan man oppnå ikke-trivielle mønstre som gjenspeiler tilstanden til deterministisk kaos – et vanlig fenomen i den naturlige verden.

Objektene studert av geografer danner et system med svært komplekst organiserte grenser, i forbindelse med hvilke implementeringen deres blir en vanskelig praktisk oppgave. Naturkomplekser har kjerner av typisk karakter som fungerer som tiltrekkende som mister sin innflytelseskraft på territoriet når det beveger seg bort.

Ved å bruke et fraktalt mikroskop for Mandelbrot- og Julia-settene kan man danne seg en ide om grenseprosesser og fenomener som er like komplekse uavhengig av omfanget av hensynet og dermed forberede oppfatningen til en spesialist for et møte med en dynamisk og tilsynelatende kaotisk i rom og tid naturlig objekt, for å forstå fraktal geometri natur. Flerfargede farger og fraktalmusikk vil definitivt sette et dypt preg på studentenes sinn.

Tusenvis av publikasjoner og enorme Internett-ressurser er viet til fraktaler, men for mange spesialister langt fra informatikk virker dette begrepet helt nytt. Fraktaler, som objekter av interesse for spesialister innen ulike kunnskapsfelt, bør få sin rette plass i løpet av informatikk.

Eksempler

SIERPINSKI GRID

Dette er en av fraktalene som Mandelbrot eksperimenterte med da han utviklet konseptene fraktale dimensjoner og iterasjoner. Trekanter dannet ved å slå sammen midtpunktene til den større trekanten kuttes fra hovedtrekanten for å danne en trekant, med flere hull. I dette tilfellet er initiatoren en stor trekant og malen er en operasjon for å kutte trekanter som ligner på den større. Du kan også få en 3D-versjon av en trekant ved å bruke et vanlig tetraeder og kutte ut mindre tetraeder. Dimensjonen til en slik fraktal er ln3/ln2 = 1,584962501.

For å oppnå Sierpinski teppe, ta en firkant, del den i ni firkanter, og skjær ut den midterste. Vi vil gjøre det samme med resten, mindre firkanter. Til slutt dannes et flatt fraktalt rutenett, som ikke har noe område, men med uendelige forbindelser. I sin romlige form forvandles Sierpinski-svampen til et system av gjennomgående former, der hvert gjennomgående element hele tiden erstattes av sitt eget slag. Denne strukturen er veldig lik en del av beinvev. En dag vil slike repeterende strukturer bli et element i bygningskonstruksjoner. Deres statikk og dynamikk, mener Mandelbrot, fortjener å studere nærmere.

KOCH KURVE

Koch-kurven er en av de mest typiske deterministiske fraktalene. Den ble oppfunnet på 1800-tallet av en tysk matematiker ved navn Helge von Koch, som, mens han studerte arbeidet til Georg Kontor og Karl Weierstraße, kom over beskrivelser av noen merkelige kurver med uvanlig oppførsel. Initiativtaker - direkte linje. Generatoren er en likesidet trekant, hvis sider er lik en tredjedel av lengden på det større segmentet. Disse trekantene legges til midten av hvert segment om og om igjen. I sin forskning eksperimenterte Mandelbrot mye med Koch-kurver, og oppnådde figurer som Koch-øyene, Koch-korsene, Koch-snøfnuggene og til og med tredimensjonale representasjoner av Koch-kurven ved å bruke et tetraeder og legge til mindre tetraeder til hver av dens ansikter. Koch-kurven har dimensjon ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Dette er IKKE Mandelbrot-settet du ser ganske ofte. Mandelbrot-settet er basert på ikke-lineære ligninger og er en kompleks fraktal. Dette er også en variant av Koch-kurven, til tross for at dette objektet ikke ser ut som det. Initiativtakeren og generatoren er også forskjellige fra de som brukes til å lage fraktaler basert på Koch-kurvens prinsipp, men ideen forblir den samme. I stedet for å feste likesidede trekanter til et kurvesegment, festes firkanter til en firkant. På grunn av det faktum at denne fraktalen opptar nøyaktig halvparten av den tildelte plassen ved hver iterasjon, har den en enkel fraktal dimensjon på 3/2 = 1,5.

DARERS PENTAGON

En fraktal ser ut som en haug med femkanter som er presset sammen. Faktisk er den dannet ved å bruke en femkant som initiator og likebenede trekanter, hvor forholdet mellom den største siden og den minste er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72)) som generator . Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, noe som resulterer i en form som ser ut som 5 små femkanter limt til en stor.

En variant av denne fraktalen kan oppnås ved å bruke en sekskant som initiator. Denne fraktalen kalles Davidsstjernen og er ganske lik den sekskantede versjonen av Kochs snøfnugg. Den fraktale dimensjonen til Darer femkanten er ln6/ln(1+g), der g er forholdet mellom lengden på den større siden av trekanten og lengden på den mindre siden. I dette tilfellet er g det gylne forholdet, så fraktaldimensjonen er omtrent 1,86171596. Den fraktale dimensjonen til Davidsstjernen er ln6/ln3 eller 1,630929754.

Komplekse fraktaler

Faktisk, hvis du zoomer inn på et lite område av en hvilken som helst kompleks fraktal og deretter gjør det samme på et lite område av det området, vil de to forstørrelsene være betydelig forskjellige fra hverandre. De to bildene vil være veldig like i detalj, men de vil ikke være helt identiske.

Fig 1. Tilnærming av Mandelbrot-settet

Sammenlign for eksempel bildene av Mandelbrot-settet vist her, hvorav det ene ble oppnådd ved å øke et område av det andre. Som du kan se, er de absolutt ikke identiske, selv om vi på begge ser en svart sirkel, hvorfra flammende tentakler går i forskjellige retninger. Disse elementene gjentas på ubestemt tid i Mandelbrot-settet i avtagende andel.

Deterministiske fraktaler er lineære, mens komplekse fraktaler ikke er det. Siden de er ikke-lineære, genereres disse fraktalene av det Mandelbrot kalte ikke-lineære algebraiske ligninger. Godt eksempel er prosessen Zn+1=ZnІ + C, som er ligningen som brukes til å konstruere Mandelbrot- og Julia-settene av andre grad. Å løse disse matematiske ligningene involverer komplekse og imaginære tall. Når ligningen tolkes grafisk i det komplekse planet, er resultatet en merkelig figur der rette linjer blir til kurver, selvlikhetseffekter vises på ulike skalanivåer, men ikke uten deformasjoner. Samtidig er hele bildet uforutsigbart og veldig kaotisk.

Som du kan se ved å se på bildene, er komplekse fraktaler faktisk veldig komplekse og umulige å lage uten hjelp fra en datamaskin. For å få fargerike resultater, må denne datamaskinen ha en kraftig matematisk koprosessor og en høyoppløselig skjerm. I motsetning til deterministiske fraktaler, beregnes ikke komplekse fraktaler i 5-10 iterasjoner. Nesten hver prikk på dataskjermen er som en egen fraktal. Under matematisk behandling behandles hvert punkt som et eget mønster. Hvert poeng tilsvarer en viss verdi. Ligningen bygges inn for hvert punkt og utføres for eksempel 1000 iterasjoner. For å oppnå et relativt uforvrengt bilde i et tidsintervall som er akseptabelt for hjemmedatamaskiner, er det mulig å utføre 250 iterasjoner for ett punkt.

De fleste av fraktalene vi ser i dag er vakkert farget. Kanskje fraktalbildene ble så store estetisk verdi nettopp på grunn av deres fargevalg. Etter at ligningen er beregnet, analyserer datamaskinen resultatene. Hvis resultatene forblir stabile, eller svinger rundt en viss verdi, vil prikken vanligvis bli svart. Hvis verdien på ett eller annet trinn har en tendens til uendelig, er punktet malt i en annen farge, kanskje blå eller rød. Under denne prosessen tildeler datamaskinen farger til alle bevegelseshastigheter.

Vanligvis er prikker som beveger seg raskt malt røde, mens langsommere er gule, og så videre. mørke prikker er sannsynligvis de mest stabile.

Komplekse fraktaler skiller seg fra deterministiske fraktaler ved at de er uendelig komplekse, men likevel kan genereres med en veldig enkel formel. Deterministiske fraktaler trenger ikke formler eller ligninger. Bare ta litt tegnepapir og du kan bygge en Sierpinski-sikt opp til 3 eller 4 iterasjoner uten problemer. Prøv å gjøre det med massevis av Julia! Det er lettere å måle lengden på Englands kystlinje!

MANDERBROT SETT

Fig 2. Mandelbrot sett

Mandelbrot- og Julia-settene er sannsynligvis de to vanligste blant komplekse fraktaler. De finnes i mange vitenskapelige tidsskrifter, bokomslag, postkort og dataskjermsparere. Mandelbrot-settet, som ble bygget av Benoit Mandelbrot, er sannsynligvis den første assosiasjonen folk har når de hører ordet fraktal. Denne fraktalen, som ligner et kort med glødende tre- og sirkelområder knyttet til det, er generert av den enkle formelen Zn+1=Zna+C, der Z og C er komplekse tall og a er et positivt tall.

Det mest sett Mandelbrot-settet er 2. grads Mandelbrot-settet, dvs. a=2. Det faktum at Mandelbrot-settet ikke bare er Zn+1=ZnІ+C, men en fraktal hvis eksponent i formelen kan være et hvilket som helst positivt tall, villedet mange mennesker. På denne siden ser du et eksempel på Mandelbrot-settet for ulike verdier av eksponenten a.
Figur 3. Utseendet til bobler ved a=3,5

Prosessen Z=Z*tg(Z+C) er også populær. Takket være inkluderingen av tangentfunksjonen oppnås Mandelbrot-settet, omgitt av et område som ligner et eple. Ved bruk av cosinusfunksjonen oppnås luftbobleeffekter. Kort sagt, det er et uendelig antall måter å finjustere Mandelbrot-settet for å produsere forskjellige vakre bilder.

FLERE JULIA

Overraskende nok er Julia-settene dannet etter samme formel som Mandelbrot-settet. Julia-settet ble oppfunnet av den franske matematikeren Gaston Julia, som settet ble oppkalt etter. Det første spørsmålet som dukker opp etter et visuelt bekjentskap med Mandelbrot- og Julia-settene er "hvis begge fraktaler genereres av samme formel, hvorfor er de så forskjellige?" Se først på bildene av Julia-settet. Merkelig nok finnes det forskjellige typer Julia-sett. Når du tegner en fraktal ved hjelp av forskjellige startpunkter (for å starte iterasjonsprosessen), ulike bilder. Dette gjelder kun Julia-settet.

Fig 4. Julia sett

Selv om det ikke kan sees på bildet, er en Mandelbrot-fraktal faktisk en haug med Julia-fraktaler koblet sammen. Hvert punkt (eller koordinat) i Mandelbrot-settet tilsvarer en Julia-fraktal. Julia-sett kan genereres ved å bruke disse punktene som startverdier i ligningen Z=ZI+C. Men dette betyr ikke at hvis du velger et punkt på Mandelbrot-fraktalen og øker det, kan du få en Julia-fraktal. Disse to punktene er identiske, men bare i matematisk forstand. Hvis vi tar dette punktet og beregner det i henhold til denne formelen, kan vi få Julia-fraktalen som tilsvarer et visst punkt på Mandelbrot-fraktalen.

For å representere hele utvalget av fraktaler, er det praktisk å ty til deres generelt aksepterte klassifisering.

2.1 Geometriske fraktaler

Fraktaler av denne klassen er de mest åpenbare. I det todimensjonale tilfellet oppnås de ved å bruke en eller annen polylinje (eller overflate i det tredimensjonale tilfellet) kalt generator. I ett trinn av algoritmen erstattes hvert av segmentene som utgjør den brutte linjen med en brutt linjegenerator, i passende skala. Som et resultat av den endeløse repetisjonen av denne prosedyren, oppnås en geometrisk fraktal.

Fig 1. Konstruksjon av den triadiske Koch-kurven.

Tenk på en av disse fraktale objektene - den triadiske Koch-kurven. Konstruksjonen av kurven begynner med et segment av lengdeenhet (fig. 1) - dette er 0. generasjon av Koch-kurven. Videre erstattes hver lenke (ett segment i nullgenerasjonen) med generatrise, angitt i fig. 1 til og med n=1. Som et resultat av en slik utskifting oppnås neste generasjon av Koch-kurven. I 1. generasjon er dette en kurve av fire rette lenker, hver med en lengde på 1/3 . For å oppnå 3. generasjon utføres de samme handlingene - hver lenke erstattes av et redusert formingselement. Så, for å oppnå hver påfølgende generasjon, må alle lenker fra forrige generasjon erstattes av et redusert formingselement. Kurve n generasjon for enhver endelig n kalt prefraktal. Figur 1 viser fem generasjoner av kurven. På n Med en tendens til det uendelige, blir Koch-kurven et fraktalt objekt.

Figur 2. Konstruksjon av "dragen" til Harter-Hateway.

For å få en annen fraktal gjenstand, må du endre konstruksjonsreglene. La det genererende elementet være to like segmenter koblet i rette vinkler. I nullgenerasjonen bytter vi ut enhetssegmentet med dette generasjonselementet slik at vinkelen er på toppen. Vi kan si at med en slik utskifting skjer det et skifte i midten av lenken. Ved konstruksjon av de neste generasjonene er regelen oppfylt: den aller første lenken til venstre erstattes av et genererende element slik at midten av lenken forskyves til venstre for bevegelsesretningen, og når de neste leddene erstattes, retningene for forskyvning av midtpunktene til segmentene må veksle. Figur 2 viser de første generasjonene og den 11. generasjonen av kurven konstruert etter prinsippet beskrevet ovenfor. Begrensende fraktalkurve (kl n tendens til det uendelige) kalles Harter-Hateway drage .

I datagrafikk er bruk av geometriske fraktaler nødvendig for å få bilder av trær, busker og kystlinjen. Todimensjonale geometriske fraktaler brukes til å lage volumetriske teksturer (mønstre på overflaten av et objekt).

2.2 Algebraiske fraktaler

Dette er den største gruppen av fraktaler. De oppnås ved hjelp av ikke-lineære prosesser i n-dimensjonale rom. Todimensjonale prosesser er de mest studerte. Ved å tolke en ikke-lineær iterativ prosess som et diskret dynamisk system, kan man bruke terminologien til teorien om disse systemene: faseportrett, stabil, tiltrekker etc.

Det er kjent at ikke-lineære dynamiske systemer har flere stabile tilstander. Tilstanden som det dynamiske systemet befinner seg i etter et visst antall iterasjoner avhenger av dets opprinnelige tilstand. Derfor har hver stabil tilstand (eller, som de sier, en attraktor) et visst område med starttilstander, hvorfra systemet nødvendigvis vil falle inn i de betraktede slutttilstandene. Dermed er faserommet til systemet delt inn i attraksjonsområder attraksjoner. Hvis faserommet er todimensjonalt, kan man oppnå ved å farge attraksjonsområdene med forskjellige farger fargefaseportrett dette systemet (iterativ prosess). Ved å endre fargevalgalgoritmen kan du få komplekse fraktale mønstre med fancy flerfargemønstre. En overraskelse for matematikere var evnen til å generere svært komplekse ikke-trivielle strukturer ved hjelp av primitive algoritmer.

Fig 3. Mandelbrot sett.

Som et eksempel kan du vurdere Mandelbrot-settet (se fig.3 og fig.4). Algoritmen for konstruksjonen er ganske enkel og er basert på et enkelt iterativt uttrykk:

Z = Z[Jeg] * Z[i] + C,

Hvor Z jeg og C er komplekse variabler. Iterasjoner utføres for hvert startpunkt C rektangulært eller kvadratisk område - en undergruppe av det komplekse planet. Den iterative prosessen fortsetter til Z[i] vil ikke gå utover sirkelen med radius 2, hvis sentrum ligger i punktet (0,0), (dette betyr at attraktoren til det dynamiske systemet er på uendelig), eller etter et tilstrekkelig stort antall iterasjoner (for eksempel 200–500) Z[i] konvergerer til et punkt på sirkelen. Avhengig av antall iterasjoner under hvilke Z[i] forble innenfor sirkelen, kan du angi fargen på prikken C(Hvis Z[i] forblir innenfor sirkelen i et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, iterasjonsprosessen stopper og dette rasterpunktet males svart).

Figur 4. Del av kanten til Mandelbrot-settet, forstørret 200 ganger.

Algoritmen ovenfor gir en tilnærming til det såkalte Mandelbrot-settet. Mandelbrot-settet inneholder punkter som under endeløs antall iterasjoner går ikke til uendelig (punktene er svarte). Punkter som tilhører settets grense (det er her komplekse strukturer oppstår) går til uendelig i et begrenset antall iterasjoner, og punkter som ligger utenfor settet går til uendelig etter flere iterasjoner (hvit bakgrunn).

2.3 Stokastiske fraktaler

Det finnes andre klassifikasjoner av fraktaler, for eksempel inndelingen av fraktaler i deterministiske (algebraiske og geometriske) og ikke-deterministiske (stokastiske).

fraktal

Fraktal (lat. fraktus- knust, ødelagt, brutt) - en geometrisk figur som har egenskapen til selvlikhet, det vil si at den er sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren som helhet. I matematikk forstås fraktaler som sett med punkter i det euklidiske rom som har en brøkdel metrisk dimensjon (i betydningen Minkowski eller Hausdorff), eller en annen metrisk dimensjon enn topologisk. Fractasm er en uavhengig eksakt vitenskap for å studere og kompilere fraktaler.

Med andre ord, fraktaler er geometriske objekter med en brøkdimensjon. For eksempel er dimensjonen til en linje 1, et område er 2, et volum er 3. For en fraktal kan dimensjonsverdien være mellom 1 og 2 eller mellom 2 og 3. For eksempel den fraktale dimensjonen til et krøllet papir ballen er omtrent 2,5. I matematikk er det en spesiell kompleks formel for å beregne dimensjonen til fraktaler. Forgreningene til luftrørene, bladene på trærne, venene i armen, elven er fraktaler. Enkelt sagt er en fraktal en geometrisk figur, hvor en viss del gjentas om og om igjen, endres i størrelse - dette er prinsippet om selvlikhet. Fraktaler ligner på seg selv, de ligner seg selv på alle nivåer (dvs. i alle skalaer). Det finnes mange forskjellige typer fraktaler. I prinsippet kan det hevdes at alt som finnes i den virkelige verden er en fraktal, enten det er en sky eller et oksygenmolekyl.

Ordet "kaos" antyder noe uforutsigbart, men faktisk er kaos ganske ordnet og adlyder visse lover. Hensikten med å studere kaos og fraktaler er å forutsi mønstre som ved første øyekast kan virke uforutsigbare og fullstendig kaotiske.

Pioneren innen dette kunnskapsfeltet var den fransk-amerikanske matematikeren, professor Benoit B. Mandelbrot. På midten av 1960-tallet utviklet han fraktal geometri, hvis formål var å analysere ødelagte, rynkete og uklare former. Mandelbrot-settet (vist på figuren) er den første assosiasjonen en person har når han hører ordet "fractal". Mandelbrot fastslo forresten at den fraktale dimensjonen til kystlinjen til England er 1,25.

Fraktaler blir i økende grad brukt i vitenskapen. De beskriver virkelige verden enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Brownsk bevegelse er for eksempel den tilfeldige og kaotiske bevegelsen av støvpartikler suspendert i vann. Denne typen bevegelse er kanskje det mest praktiske aspektet ved fraktal geometri. Tilfeldig Brownsk bevegelse har en frekvensrespons som kan brukes til å forutsi fenomener som involverer store mengder data og statistikk. For eksempel spådde Mandelbrot endringer i prisen på ull ved bruk av Brownsk bevegelse.

Ordet "fraktal" kan ikke bare brukes som et matematisk begrep. En fraktal i pressen og populærvitenskapelig litteratur kan kalles figurer som har noen av følgende egenskaper:

Den har en ikke-triviell struktur i alle skalaer. Dette er forskjellen fra vanlige figurer (som en sirkel, en ellipse, en graf av en jevn funksjon): hvis vi vurderer et lite fragment av en vanlig figur i en veldig stor skala, vil det se ut som et fragment av en rett linje . For en fraktal fører ikke innzooming til en forenkling av strukturen, på alle skalaer vil vi se et like komplekst bilde.

Det er seg selv eller omtrent seg selv.

Den har en metrisk brøkdimensjon eller en metrisk dimensjon som er overlegen den topologiske.

Den mest nyttige bruken av fraktaler i databehandling er fraktal datakomprimering. Samtidig komprimeres bilder mye bedre enn det gjøres med konvensjonelle metoder – opptil 600:1. En annen fordel med fraktalkomprimering er at når du zoomer inn, er det ingen pikseleringseffekt som drastisk forverrer bildet. Dessuten ser et fraktalt komprimert bilde etter forstørrelse ofte enda bedre ut enn før. Dataforskere vet også at fraktaler med uendelig kompleksitet og skjønnhet kan genereres med enkle formler. Filmindustrien bruker mye fraktalgrafikkteknologi for å lage realistiske landskapselementer (skyer, steiner og skygger).

Studiet av turbulens i strømmer tilpasser seg veldig bra til fraktaler. Dette gir en bedre forståelse av dynamikken i komplekse strømmer. Flammer kan også modelleres ved bruk av fraktaler. Porøse materialer er godt representert i fraktal form på grunn av det faktum at de har en veldig kompleks geometri. For å overføre data over avstander brukes fraktalformede antenner, noe som i stor grad reduserer størrelsen og vekten. Fraktaler brukes til å beskrive krumningen til overflater. En ujevn overflate er preget av en kombinasjon av to forskjellige fraktaler.

Mange gjenstander i naturen har fraktale egenskaper, som kyster, skyer, trekroner, snøflak, sirkulasjonssystemet og alveolsystemet til mennesker eller dyr.

Fraktaler, spesielt på flyet, er populære for sin kombinasjon av skjønnhet og enkel konstruksjon med en datamaskin.

De første eksemplene på selv-lignende sett med uvanlige egenskaper dukket opp på 1800-tallet (for eksempel Bolzano-funksjonen, Weierstrass-funksjonen, Cantor-settet). Begrepet "fractal" ble introdusert av Benoit Mandelbrot i 1975 og fikk stor popularitet med utgivelsen av boken hans "The Fractal Geometry of Nature" i 1977.

Figuren til venstre viser en Darer Pentagon-fraktal som et enkelt eksempel, som ser ut som en haug med femkanter som er klemt sammen. Faktisk dannes den ved å bruke en femkant som initiator og likebenede trekanter, hvor forholdet mellom den største siden og den minste er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72°)) som generator. Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, noe som resulterer i en form som ser ut som 5 små femkanter limt til en stor.

Kaosteori sier at komplekse ikke-lineære systemer er arvelig uforutsigbare, men samtidig hevder den at måten å uttrykke slike uforutsigbare systemer på viser seg å være sann, ikke i eksakte likheter, men i representasjoner av systemets oppførsel - i grafer av merkelige attraksjoner som ser ut som fraktaler. Dermed viser kaosteorien, av mange oppfattet som uforutsigbarhet, å være vitenskapen om forutsigbarhet selv i de mest ustabile systemene. Læren om dynamiske systemer viser at enkle ligninger kan generere slik kaotisk oppførsel der systemet aldri går tilbake til en stabil tilstand og ingen regularitet vises samtidig. Ofte oppfører slike systemer seg ganske normalt opp til en viss verdi av en nøkkelparameter, for så å oppleve en overgang der det er to muligheter for videre utvikling, deretter fire, og til slutt et kaotisk sett med muligheter.

Skjemaer av prosesser som forekommer i tekniske objekter har en klart definert fraktalstruktur. Strukturen til det minste tekniske systemet (TS) innebærer flyten innenfor TS av to typer prosesser - de viktigste og støttende, og denne inndelingen er betinget og relativ. Enhver prosess kan være den viktigste i forhold til de støttende prosessene, og enhver av støtteprosessene kan betraktes som den viktigste i forhold til "deres" støttende prosesser. Sirklene i diagrammet indikerer de fysiske effektene som sikrer flyten av disse prosessene, som det ikke er nødvendig å spesielt lage "egen" TS for. Disse prosessene er et resultat av samspillet mellom stoffer, felt, stoffer og felt. For å være presis er den fysiske effekten et kjøretøy, hvis prinsipp vi ikke kan påvirke, og vi ønsker eller har ingen mulighet til å blande oss inn i strukturen.

Flyten til hovedprosessen vist i diagrammet er sikret ved at det finnes tre støtteprosesser som er de viktigste for TS-en som genererer dem. For rettferdighets skyld bemerker vi at for funksjonen til selv en minimal TS, er tre prosesser tydeligvis ikke nok, dvs. opplegget er veldig, veldig overdrevet.

Alt er ikke så enkelt som vist i diagrammet. Nyttig ( nødvendig for en person) prosessen kan ikke utføres med 100 % effektivitet. Den forsvunne energien brukes på å skape skadelige prosesser - oppvarming, vibrasjon, etc. Som et resultat, parallelt med den fordelaktige prosessen, oppstår skadelige. Det er ikke alltid mulig å erstatte en «dårlig» prosess med en «god», så nye prosesser må organiseres for å kompensere for konsekvensene som er skadelige for systemet. Et typisk eksempel er behovet for å bekjempe friksjon, som tvinger en til å organisere geniale smøreordninger, bruke dyre antifriksjonsmaterialer, eller bruke tid på å smøre komponenter og deler eller periodisk erstatte dem.

I forbindelse med eksistensen av den uunngåelige påvirkningen fra et foranderlig miljø, kan det være nødvendig å kontrollere en nyttig prosess. Management kan utføres både ved hjelp av automatiske enheter, og direkte av en person. Prosessdiagrammet er egentlig et sett med spesielle kommandoer, dvs. algoritme. Essensen (beskrivelsen) av hver kommando er en kombinasjon av en enkelt nyttig prosess, medfølgende skadelige prosesser og et sett med nødvendige kontrollprosesser. I en slik algoritme er settet med støttende prosesser en vanlig subrutine – og her finner vi også en fraktal. Metoden til R. Koller, opprettet for et kvart århundre siden, gjør det mulig å lage systemer med et ganske begrenset sett på kun 12 par funksjoner (prosesser).

Selvlignende sett med uvanlige egenskaper i matematikk

Begynner med sent XIXårhundre, i matematikk er det eksempler på selvlignende objekter med patologiske egenskaper fra klassisk analyses synspunkt. Disse inkluderer følgende:

Cantor-settet er et intetsteds tett utallig perfekt sett. Ved å modifisere prosedyren kan man også oppnå et intetsteds tett sett med positiv lengde.

Sierpinski-trekanten ("duken") og Sierpinski-teppet er analoger av Cantor-settet på flyet.

Mengers svamp - en analog av Cantor satt i tredimensjonalt rom;

eksempler av Weierstrass og van der Waerden på en intetsteds differensierbar kontinuerlig funksjon.

Koch-kurve - en ikke-selv-skjærende kontinuerlig kurve med uendelig lengde som ikke har en tangent på noe punkt;

Peano-kurven er en kontinuerlig kurve som går gjennom alle punkter i en firkant.

banen til en Brownsk partikkel er heller ingen steder differensierbar med sannsynlighet 1. Dens Hausdorff-dimensjon er to

Rekursiv prosedyre for å oppnå fraktale kurver

Konstruksjon av Koch-kurven

Det er en enkel rekursiv prosedyre for å få fraktale kurver i et plan. Vi definerer en vilkårlig brutt linje med et begrenset antall lenker, kalt en generator. Deretter erstatter vi hvert segment i det med en generator (mer presist, en brutt linje som ligner på en generator). I den resulterende brutte linjen erstatter vi igjen hvert segment med en generator. Fortsetter vi til det uendelige, i grensen får vi en fraktalkurve. Figuren til høyre viser de fire første trinnene i denne prosedyren for Koch-kurven.

Eksempler på slike kurver er:

Dragon Curve,

Koch-kurve (Koch snøfnugg),

Levy Curve,

minkowski kurve,

Hilbert Curve,

Ødelagt (kurve) drage (Fractal Harter-Hateway),

Peano-kurve.

Ved å bruke en lignende prosedyre oppnås et pytagoreisk tre.

Fraktaler som faste punkter for sammentrekning

Egenlikhetsegenskapen kan matematisk strengt uttrykkes som følger. La være sammentrekningskart av flyet. Tenk på følgende kartlegging på settet av alle kompakte (lukkede og avgrensede) undergrupper av planet:

Det kan vises at kartleggingen er en sammentrekningskartlegging på settet med kompakte sett med Hausdorff-metrikken. Derfor, ved Banachs teorem, har denne kartleggingen et unikt fikspunkt. Dette faste punktet vil være fraktalen vår.

Den rekursive prosedyren for å oppnå fraktale kurver beskrevet ovenfor er et spesielt tilfelle av denne konstruksjonen. I den er alle tilordninger likhetskartlegginger, og er antall generatorlenker.

For Sierpinski-trekanten og kartleggingen , , er homoteter med sentre ved toppunktene til en vanlig trekant og koeffisient 1/2. Det er lett å se at Sierpinski-trekanten forvandles til seg selv under kartleggingen.

I tilfellet når avbildningene er likhetstransformasjoner med koeffisienter, kan dimensjonen til fraktalen (under noen ekstra tekniske forhold) beregnes som en løsning på ligningen. Så, for Sierpinski-trekanten får vi .

I følge det samme Banach-teoremet, med utgangspunkt i ethvert kompakt sett og ved å bruke iterasjoner av kartet på det, får vi en sekvens av kompakte sett som konvergerer (i betydningen Hausdorff-metrikken) til fraktalen vår.

Fraktaler i kompleks dynamikk

Julia sett

Et annet sett med Julia

Fraktaler oppstår naturlig i studiet av ikke-lineære dynamiske systemer. Det mest studerte tilfellet er når det dynamiske systemet er definert av iterasjoner av et polynom eller en holomorf funksjon av en kompleks variabel på planet. De første studiene på dette området går tilbake til begynnelsen av 1900-tallet og er knyttet til navnene på Fatou og Julia.

La F(z) - polynom, z 0 er et komplekst tall. Tenk på følgende sekvens: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Vi er interessert i oppførselen til denne sekvensen slik vi pleier n til det uendelige. Denne sekvensen kan:

strebe mot uendelighet

strebe etter det ultimate

vise syklisk oppførsel i grensen, for eksempel: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

å oppføre seg kaotisk, det vil si å ikke demonstrere noen av de tre nevnte typene oppførsel.

Sett med verdier z 0 , hvor sekvensen viser en spesifikk type oppførsel, samt sett med bifurkasjonspunkter mellom forskjellige typer, har ofte fraktale egenskaper.

Dermed er Julia-settet settet med bifurkasjonspunkter for polynomet F(z)=z 2 +c(eller annen lignende funksjon), det vil si disse verdiene z 0 , for hvilken oppførselen til sekvensen ( z n) kan endre seg dramatisk med vilkårlig små endringer z 0 .

Et annet alternativ for å få fraktalsett er å introdusere en parameter i polynomet F(z) og vurderer settet med de parameterverdiene som sekvensen ( z n) viser en viss oppførsel for en fast z 0 . Dermed er Mandelbrot-settet settet av alle som ( z n) For F(z)=z 2 +c Og z 0 går ikke til uendelig.

En annen kjent eksempel av denne typen er Newtons bassenger.

Det er populært å lage vakre grafiske bilder basert på kompleks dynamikk ved å fargelegge planpunkter avhengig av oppførselen til de tilsvarende dynamiske systemene. For å utfylle Mandelbrot-settet kan du for eksempel fargelegge punktene avhengig av hastigheten på streben ( z n) til uendelig (definert for eksempel som det minste tallet n, hvor | z n| overstiger en fast stor verdi EN.

Biomorfer er fraktaler bygget på grunnlag av kompleks dynamikk og som ligner levende organismer.

Stokastiske fraktaler

Randomisert fraktal basert på Julia-settet

Naturlige gjenstander har ofte en fraktal form. For deres modellering kan stokastiske (tilfeldige) fraktaler brukes. Eksempler på stokastiske fraktaler:

bane for Brownsk bevegelse på flyet og i rommet;

grensen for banen til Brownsk bevegelse på flyet. I 2001 beviste Lawler, Schramm og Werner Mandelbrots formodning om at dens dimensjon er 4/3.

Schramm-Löwner-evolusjoner er konformt invariante fraktale kurver som oppstår i kritiske todimensjonale modeller av statistisk mekanikk, for eksempel i Ising-modellen og perkolering.

ulike typer randomiserte fraktaler, det vil si fraktaler oppnådd ved hjelp av en rekursiv prosedyre, der en tilfeldig parameter introduseres ved hvert trinn. Plasma er et eksempel på bruken av en slik fraktal i datagrafikk.

I naturen

Forfra av luftrøret og bronkiene

bronkialt tre

nettverk av blodårer

applikasjon

Naturvitenskap

I fysikk oppstår fraktaler naturlig ved modellering av ikke-lineære prosesser, som turbulent væskestrøm, komplekse diffusjons-adsorpsjonsprosesser, flammer, skyer osv. Fraktaler brukes ved modellering av porøse materialer, for eksempel i petrokjemi. I biologi brukes de til å modellere populasjoner og for å beskrive systemer av indre organer (system av blodkar).

Radioteknikk

fraktale antenner

Bruken av fraktal geometri i utformingen av antenneenheter ble først brukt av den amerikanske ingeniøren Nathan Cohen, som da bodde i Boston sentrum, hvor det var forbudt å installere eksterne antenner på bygninger. Nathan klippet ut en figur i form av en Koch-kurve fra aluminiumsfolie og limte den på et papirark, og festet den deretter til mottakeren. Cohen grunnla sitt eget selskap og lanserte serieproduksjonen deres.

Datavitenskap

Bildekomprimering

Hovedartikkel: Fraktal kompresjonsalgoritme

fraktalt tre

Det finnes bildekomprimeringsalgoritmer som bruker fraktaler. De er basert på ideen om at du i stedet for selve bildet kan lagre et sammentrekningskart som dette bildet (eller noen nær det) er et fast punkt for. En av variantene av denne algoritmen ble brukt [ kilde uspesifisert 895 dager] av Microsoft da de publiserte leksikonet, men disse algoritmene ble ikke mye brukt.

Data-grafikk

Et annet fraktalt tre

Fraktaler er mye brukt i datagrafikk for å bygge bilder av naturlige objekter som trær, busker, fjelllandskap, havoverflater og så videre. Det er mange programmer som brukes til å generere fraktale bilder, se Fractal Generator (program).

desentraliserte nettverk

Netsukukus IP-adressetilordningssystem bruker prinsippet om fraktal informasjonskomprimering for å kompakt lagre informasjon om nettverksnoder. Hver node på Netsukuku-nettverket lagrer kun 4 KB med informasjon om statusen til nabonoder, mens enhver ny node kobles til det generelle nettverket uten behov for sentral regulering av distribusjonen av IP-adresser, som for eksempel er typisk for Internett. Dermed garanterer prinsippet om fraktal informasjonskomprimering en fullstendig desentralisert, og derfor den mest stabile driften av hele nettverket.

Fraktaler har vært kjent i nesten et århundre, er godt studert og har mange bruksområder i livet. Dette fenomenet er basert på en veldig enkel idé: et uendelig antall figurer i skjønnhet og variasjon kan oppnås fra relativt enkle strukturer ved å bruke bare to operasjoner - kopiering og skalering.

Dette konseptet har ingen streng definisjon. Derfor er ikke ordet "fraktal" et matematisk begrep. Det heter vanligvis geometrisk figur, som tilfredsstiller én eller flere av følgende egenskaper:

har en kompleks struktur ved enhver forstørrelse;
er (omtrent) seg selv;
har en fraksjonell Hausdorff (fraktal) dimensjon , som er større enn den topologiske;
kan bygges ved rekursive prosedyrer.

På begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var studiet av fraktaler mer episodisk enn systematisk, fordi tidligere matematikere hovedsakelig studerte "gode" objekter som kunne studeres ved hjelp av vanlige metoder og teorier. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren Karl Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres noe sted. Konstruksjonen var imidlertid helt abstrakt og vanskelig å forstå. Derfor kom svensken Helge von Koch i 1904 med en kontinuerlig kurve som ikke har noen tangent noe sted, og det er ganske enkelt å tegne den. Det viste seg at det har egenskapene til en fraktal. En variant av denne kurven kalles Koch snøfnugg.

Ideene om figurers selvlikhet ble plukket opp av franskmannen Paul Pierre Levy, den fremtidige mentoren til Benoit Mandelbrot. I 1938 ble artikkelen hans "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" publisert, der en annen fraktal er beskrevet - Lévy C-kurven. Alle de ovennevnte fraktalene kan betinget tilskrives en klasse av konstruktive (geometriske) fraktaler.

En annen klasse er dynamiske (algebraiske) fraktaler, som inkluderer Mandelbrot-settet. De første studiene i denne retningen går tilbake til begynnelsen av det 20. århundre og er assosiert med navnene til de franske matematikerne Gaston Julia og Pierre Fatou. I 1918 ble nesten to hundre sider av Julias arbeid publisert, viet til iterasjoner av komplekse rasjonelle funksjoner, der Julia-sett er beskrevet - en hel familie av fraktaler som er nært knyttet til Mandelbrot-settet. Dette verket ble tildelt prisen fra det franske akademiet, men det inneholdt ikke en eneste illustrasjon, så det var umulig å sette pris på skjønnheten til de oppdagede gjenstandene. Til tross for at dette arbeidet gjorde Julia berømt blant datidens matematikere, ble det raskt glemt.

Bare et halvt århundre senere, med fremkomsten av datamaskiner, ble oppmerksomheten rettet mot arbeidet til Julia og Fatou: det var de som gjorde rikdommen og skjønnheten i fraktalverdenen synlig. Tross alt kunne Fatou aldri se på bildene som vi nå kjenner som bilder av Mandelbrot-settet, fordi det nødvendige antallet beregninger ikke kan gjøres manuelt. Den første personen som brukte en datamaskin til dette var Benoit Mandelbrot.

I 1982 ble Mandelbrots bok «The Fractal Geometry of Nature» utgitt, hvor forfatteren samlet og systematiserte nesten all informasjon om fraktaler som var tilgjengelig på den tiden og presenterte den på en enkel og tilgjengelig måte. Mandelbrot la hovedvekten i sin presentasjon ikke på tunge formler og matematiske konstruksjoner, men på lesernes geometriske intuisjon. Takket være datagenererte illustrasjoner og historiske historier, som forfatteren dyktig utvannet den vitenskapelige komponenten i monografien med, ble boken en bestselger, og fraktalene ble kjent for allmennheten. Deres suksess blant ikke-matematikere skyldes i stor grad det faktum at ved hjelp av veldig enkle konstruksjoner og formler som selv en videregående elev kan forstå, oppnås bilder av utrolig kompleksitet og skjønnhet. Da personlige datamaskiner ble kraftige nok, dukket til og med en hel trend innen kunst opp - fraktalmaling, og nesten enhver datamaskineier kunne gjøre det. Nå på Internett kan du enkelt finne mange nettsteder dedikert til dette emnet.

Redaksjonen i NNN snublet ved et uhell over en veldig interessante ting, presentert i bloggen til brukeren xtsarx, dedikert til elementene i teorien fraktaler og dens praktiske anvendelse. Som kjent spiller teorien om fraktaler en viktig rolle i nanosystemenes fysikk og kjemi. Etter å ha gitt vårt bidrag til dette solide materialet, presentert på et språk som er tilgjengelig for et bredt spekter av lesere og støttet av en rikelig mengde grafisk og til og med videomateriale, presenterer vi det for din oppmerksomhet. Vi håper at NNNs lesere vil finne dette materialet interessant.

Naturen er så mystisk at jo mer du studerer den, jo flere spørsmål dukker opp... Nattelyn - blå "strømmer" av forgrenede utslipp, frostmønstre på vinduet, snøflak, fjell, skyer, trebark - alt dette går utover det vanlige Euklidisk geometri. Vi kan ikke beskrive steinen eller øyas grenser med linjer, sirkler og trekanter. Og her kommer vi til unnsetning fraktaler. Hva er disse kjente fremmede?

"Under et mikroskop oppdaget han det på en loppe
Den bitende loppen lever av en loppe;
På den loppen er det en liten loppe,
Stikker sint en tann i en loppe
Loppe, og så i det uendelige. D. Swift.

Litt historie

Første ideer fraktal geometri oppsto på 1800-tallet. Kantor, ved å bruke en enkel rekursiv (gjentatt) prosedyre, gjorde linjen til et sett med usammenhengende punkter (det såkalte Cantor Dust). Han tok linjen og fjernet den sentrale tredjedelen og gjentok deretter det samme med de resterende segmentene.

Ris. 1. Peanokurve 1,2–5 iterasjoner.

Peano malt spesiell type linjer. Peano gjorde følgende: Ved det første trinnet tok han en rett linje og erstattet den med 9 segmenter 3 ganger kortere enn lengden på den opprinnelige linjen. Så gjorde han det samme med hvert segment av den resulterende linjen. Og så videre i det uendelige. Dens unike ligger i det faktum at den fyller hele flyet. Det er bevist at for hvert punkt i flyet kan man finne et punkt som tilhører Peano-linjen. Peanos kurve og Cantors støv gikk utover vanlige geometriske objekter. De var ikke tydelig størrelse.. Cantors støv ble tilsynelatende konstruert på grunnlag av en endimensjonal rett linje, men besto av punkter (dimensjon 0). Og Peano-kurven ble bygget på grunnlag av en endimensjonal linje, og resultatet ble et plan. På mange andre områder av vitenskapen dukket det opp problemer som førte til merkelige resultater, slik som de som er beskrevet ovenfor (Brownian motion, aksjekurser). Hver av oss kan gjøre denne prosedyren ...

Far til fraktaler

Fram til 1900-tallet var det en opphopning av data om slike merkelige gjenstander, uten noe forsøk på å systematisere dem. Slik var det til de tok Benoit Mandelbrot – far til moderne fraktalgeometri og ordet fraktal.

Ris. 2. Benoit Mandelbrot.

Mens han jobbet hos IBM som matematisk analytiker, studerte han støy i elektroniske kretser som ikke kunne beskrives ved hjelp av statistikk. Etter hvert som han sammenlignet fakta, kom han til oppdagelsen av en ny retning innen matematikk - fraktal geometri.

Begrepet "fraktal" ble introdusert av B. Mandelbrot i 1975. Ifølge Mandelbrot, fraktal(fra latin "fractus" - brøk, brutt, brutt) kalles en struktur som består av deler som en helhet. Egenskapen til selvlikhet skiller fraktaler skarpt fra objekter med klassisk geometri. Begrep selvlikhet midler tilstedeværelsen av en fin, repeterende struktur, både på de minste skalaene til objektet, og på en makroskala.

Ris. 3. Til definisjonen av begrepet "fraktal".

Eksempler på selvlikhet er: Koch, Levy, Minkowski-kurver, Sierpinski-trekant, Mengersvamp, Pythagoras tre, etc.

Fra et matematisk synspunkt, fraktal er først og fremst, sett med brøkdimensjon (mellomliggende, "ikke heltall"). Mens en jevn euklidisk linje fyller nøyaktig endimensjonalt rom, går en fraktalkurve utover endimensjonalt rom, trer inn utover grensene inn i todimensjonalt rom. Dermed vil den fraktale dimensjonen til Koch-kurven være mellom 1 og 2. Dette, for det første betyr det at en fraktal gjenstand ikke kan måle lengden nøyaktig! Av disse geometriske fraktalene er den første veldig interessant og ganske kjent - Koch snøfnugg.

Ris. 4. Til definisjonen av begrepet "fraktal".

Den er bygget på grunnlag likesidet trekant. Hver linje er erstattet med 4 linjer hver 1/3 av den opprinnelige lengden. Dermed øker lengden på kurven med en tredjedel for hver iterasjon. Og hvis vi gjør et uendelig antall iterasjoner, får vi en fraktal - et Koch snøfnugg med uendelig lengde. Det viser seg at vår uendelige kurve dekker et begrenset område. Prøv å gjøre det samme med metoder og figurer fra euklidisk geometri.
Dimensjon på et Koch snøfnugg(når et snøfnugg øker med 3 ganger, øker lengden med 4 ganger) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Om fraktalen

Fraktaler finner flere og flere anvendelser innen vitenskap og teknologi. Hovedårsaken til dette er at de beskriver den virkelige verden noen ganger enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Du kan uendelig gi eksempler på fraktale gjenstander i naturen - disse er skyer, og snøflak, og fjell, og et lynglimt, og til slutt, blomkål. En fraktal som et naturlig objekt er en evig kontinuerlig bevegelse, en ny formasjon og utvikling.

Ris. 5. Fraktaler i økonomi.

I tillegg, fraktaler finner anvendelse i desentraliserte datanettverk Og "fraktale antenner" . Veldig interessant og lovende for modellering av ulike stokastiske (ikke-deterministiske) "tilfeldige" prosesser er de såkalte "brownske fraktaler". Når det gjelder nanoteknologi, spiller fraktaler også en viktig rolle. , siden, på grunn av deres hierarkiske selvorganisering, mange nanosystemer har en ikke-heltallsdimensjon, det vil si at de er fraktaler i sin geometriske, fysisk-kjemiske eller funksjonelle natur. For eksempel, et slående eksempel på kjemiske fraktale systemer er molekylene til "dendrimerer" . I tillegg er fraktalitetsprinsippet (selvlignende, skaleringsstruktur) en refleksjon av den hierarkiske strukturen til systemet og er derfor mer generell og universell enn standardtilnærminger for å beskrive strukturen og egenskapene til nanosystemer.

Ris. 6. Molekyler av "dendrimerer".

Ris. 7. Grafisk modell for kommunikasjon i arkitektur- og byggeprosessen. Det første nivået av interaksjon fra mikroprosessers ståsted.

Ris. 8. Grafisk modell for kommunikasjon i arkitektur- og byggeprosessen. Det andre nivået av interaksjon fra posisjonene til makroprosesser (et fragment av modellen).