hjem › elektrisk utstyr › Det er tre dører foran deg. Monty Halls paradoks - en forklaring på økningen i sannsynligheten for valg

Det er tre dører foran deg. Monty Halls paradoks - en forklaring på økningen i sannsynligheten for valg

Om lotterier

Dette spillet har lenge fått en massekarakter og har blitt en integrert del av moderne liv. Og selv om lotteriet utvider sine muligheter mer og mer, ser mange fortsatt på det som bare en måte å bli rik på. La og ikke gratis og ikke pålitelig. På den annen side, som en av heltene til Jack London bemerket, i gambling man kan ikke annet enn å regne med fakta - noen ganger er folk heldige.

Matematikk i saken. Historie om sannsynlighetsteori

Alexander Bufetov

Transkripsjon og videoopptak av et foredrag av doktor i fysiske og matematiske vitenskaper, vert forsker Steklov matematisk institutt, ledende stipendiat, IPTP RAS, professor, matematisk fakultet, Høyskole for økonomi, forskningsdirektør Nasjonalt senter Vitenskapelig forskning i Frankrike (CNRS) av Alexander Bufetov, levert som en del av Polit.ru Public Lectures-serien 6. februar 2014.

Illusionen om regelmessighet: Hvorfor tilfeldighet virker unaturlig

Våre ideer om det tilfeldige, regelmessige og umulige avviker ofte fra data fra statistikk og sannsynlighetsteori. I "Ufullkommen sjanse. Hvordan tilfeldighetene styrer livene våre», snakker den amerikanske fysikeren og popularisereren av vitenskapen Leonard Mlodinov om hvorfor tilfeldige algoritmer ser så merkelige ut, hva er fangsten av "tilfeldig" stokking av sanger på iPod, og hva som avgjør suksessen til en aksjeanalytiker. Theories and Practices publiserer et utdrag fra boken.

Determinisme

Determinisme er et generelt vitenskapelig konsept og filosofi om kausalitet, mønstre, genetisk sammenheng, interaksjon og betingelse av alle fenomener og prosesser som skjer i verden.

Gud er statistikk

Deborah Nolan, professor i statistikk ved University of California i Berkeley, ber studentene sine gjøre en veldig merkelig oppgave ved første øyekast. Den første gruppen må kaste en mynt hundre ganger og skrive ned resultatet: hoder eller haler. Den andre må forestille seg at hun kaster en mynt - og også lage en liste over hundrevis av "imaginære" resultater.

Hva er determinisme

Hvis startbetingelsene til systemet er kjent, er det mulig, ved å bruke naturlovene, å forutsi dets endelige tilstand.

Problemet med den kresne bruden

Huseyn-Zade S.M.

Zenos paradoks

Er det mulig å komme seg fra ett punkt i rommet til et annet? Den antikke greske filosofen Zeno av Elea mente at bevegelsen ikke kunne gjennomføres i det hele tatt, men hvordan argumenterte han for dette? Colm Keller snakker om hvordan man løser det berømte paradokset Zeno.

Paradokser av uendelige sett

Se for deg et hotell med et uendelig antall rom. En buss kommer med et uendelig antall fremtidige gjester. Men å plassere dem alle er ikke så lett. Dette er et uendelig mas, og gjestene er uendelig slitne. Og hvis du ikke klarer oppgaven, kan du tape uendelig mye penger! Hva å gjøre?

Avhengigheten av barnets høyde av høyden til foreldrene

Unge foreldre vil selvfølgelig vite hvor høyt barnet deres vil bli som voksen. Matematisk statistikk kan tilby et enkelt lineært forhold for å grovt anslå høyden til barn, kun basert på høyden til far og mor, og også indikere nøyaktigheten til et slikt estimat.

Monty Hall-paradokset er sannsynligvis det mest kjente paradokset innen sannsynlighetsteori. Det er mange varianter av det, for eksempel paradokset til de tre fangene. Og det er mange tolkninger og forklaringer på dette paradokset. Men her vil jeg ikke bare gi en formell forklaring, men å vise det "fysiske" grunnlaget for hva som skjer i paradokset til Monty Hall og andre som ham.

Den klassiske formuleringen er:

«Du er med i spillet. Det er tre dører foran deg. En av dem har en premie. Verten inviterer deg til å prøve å gjette hvor premien er. Du peker på en av dørene (tilfeldig).

Formulering av Monty Hall-paradokset

Verten vet hvor premien faktisk er. Han, mens, åpner ikke den døren som du har vist. Men det åpner en til av de gjenværende dørene for deg, bak som det ikke er noen premie. Spørsmålet er, bør du endre valget ditt, eller forbli med samme avgjørelse?

Det viser seg at hvis du bare endrer valget ditt, så vil vinnersjansene dine øke!

Paradokset i situasjonen er åpenbart. Alt som skjer ser ut til å være tilfeldig. Det spiller ingen rolle om du ombestemmer deg eller ikke. Men det er det ikke.

"Fysisk" forklaring på arten av dette paradokset

La oss først ikke gå inn på matematiske finesser, men bare se på situasjonen uten fordommer.

I dette spillet gjør du bare først tilfeldig utvalg. Verten forteller deg så Ytterligere informasjon , som lar deg øke vinnersjansene dine.

Hvordan gir tilretteleggeren deg tilleggsinformasjon? Veldig enkelt. Merk at den åpnes ikke noen dør.

La oss, for enkelhets skyld (selv om det er et element av slu i dette), vurdere en mer sannsynlig situasjon: du har pekt på en dør som ikke har en premie. Så, bak en av de gjenværende dørene, premien Det er. Det vil si at lederen ikke har noe valg. Det åpner en veldig spesifikk dør. (Du pekte på den ene, det er en premie bak den andre, det er bare én dør igjen som verten kan åpne.)

Det er i dette øyeblikket med meningsfulle valg at han gir deg informasjon som du kan bruke.

I denne saken, bruken av informasjon er at du endrer vedtaket.

Det andre valget ditt er forresten også ikke tilfeldig(eller rettere sagt, ikke så tilfeldig som førstevalget). Tross alt, du velger fra lukkede dører, og en er allerede åpen og den ikke vilkårlig.

Faktisk, allerede etter disse argumentene, kan du ha følelsen av at det er bedre å ombestemme seg. Det er virkelig. La oss vise det mer formelt.

En mer formell forklaring på Monty Hall-paradokset

Faktisk deler ditt første, tilfeldige valg alle dørene i to grupper. Bak døren som du har valgt, ligger premien med en sannsynlighet på 1/3, bak de to andre - med en sannsynlighet på 2/3. Nå gjør verten en endring: han åpner en dør i den andre gruppen. Og nå gjelder hele 2/3-sannsynligheten kun for den lukkede døren i gruppen av to dører.

Det er klart at nå er det mer lønnsomt for deg å ombestemme deg.

Selv om du selvfølgelig fortsatt har en sjanse til å tape.

Hvis du endrer valget ditt, øker imidlertid sjansene dine for å vinne.

Monty Hall-paradokset

Monty Hall-paradokset er et sannsynlighetsproblem, hvis løsning (ifølge noen) er i strid med sunn fornuft. Oppgaveformulering:

Tenk deg at du har blitt deltaker i et spill der du må velge en av tre dører. Bak en av dørene står en bil, bak de to andre dørene står geiter.
Du velger en av dørene, for eksempel nummer 1, etter at verten, som vet hvor bilen er og hvor bukkene er, åpner en av de resterende dørene, for eksempel nummer 3, bak som det er en geit.

Monty Hall-paradokset. Den mest unøyaktige matematikken noensinne

Etter det spør han deg om du vil endre valget ditt og velge dør nummer 2.
Vil sjansene dine for å vinne en bil øke hvis du aksepterer vertens tilbud og endrer ditt valg?

Når man løser et problem, antas det ofte feilaktig at de to valgene er uavhengige, og derfor vil sannsynligheten ikke endre seg når valget endres. Faktisk er dette ikke tilfelle, som du kan se ved å huske Bayes-formelen eller se på simuleringsresultatene nedenfor:

Her: "strategi 1" - ikke endre valget, "strategi 2" - endre valget. Teoretisk, for tilfellet med 3 dører, er sannsynlighetsfordelingen 33.(3)% og 66.(6)%. Numerisk simulering skal gi lignende resultater.

Lenker

Monty Hall-paradokset- en oppgave fra delen av sannsynlighetsteori, i løsningen som det er en motsetning til sunn fornuft.

Opprinnelse[rediger | rediger wikitekst]

På slutten av 1963 ble sendt nytt talkshow med tittelen "La oss gjøre en avtale" ("La oss gjøre en avtale"). I henhold til scenariet for quizen, mottok seere fra publikum premier for riktige svar, og hadde en sjanse til å multiplisere dem ved å plassere nye spill, men risikere sine eksisterende gevinster. Grunnleggerne av showet var Stefan Hatosu og Monty Hall, hvor sistnevnte ble dens faste vert i mange år.

En av oppgavene for deltakerne var trekningen av den store prisen, som var plassert bak en av de tre dørene. For de resterende to var det insentivpriser, på sin side visste programlederen rekkefølgen på plasseringen deres. Deltakeren måtte bestemme vinnerdøren ved å satse alle gevinstene sine fra showet.

Da gjetteren bestemte seg for nummeret, åpnet verten en av de gjenværende dørene, bak som det var en insentivpremie, og tilbød spilleren å endre den opprinnelig valgte døren.

Formuleringer[rediger | rediger wikitekst]

Som et spesifikt problem ble paradokset først stilt av Steve Selvin i 1975, som sendte inn spørsmålet til The American Statistician og vert Monty Hall: Vil deltakerens sjanser til å vinne Grand Prize endres hvis han, etter å ha åpnet døren med insentiv, vil endre seg. hans valg? Etter denne hendelsen dukket konseptet "Monty Hall Paradox" opp.

I 1990 ble den vanligste versjonen av paradokset publisert i Parade Magazine (Magazine "Parade") med et eksempel:

«Se for deg selv på et TV-spill der du må foretrekke en av tre dører: geiter bak to av dem, og en bil bak den tredje. Når du tar et valg, for eksempel forutsatt at den vinnende døren er nummer én, åpner verten en av de resterende to dørene, for eksempel nummer tre, bak som er en geit. Får du da en sjanse til å endre valget ditt til en annen dør? Kan du øke sjansene dine for å vinne en bil ved å endre valget ditt fra dør nummer én til dør nummer to?”

Denne formuleringen er en forenklet versjon, fordi det gjenstår faktoren for innflytelse fra verten, som vet nøyaktig hvor bilen er og er interessert i å miste deltakeren.

For at problemet skal bli rent matematisk, er det nødvendig å eliminere den menneskelige faktoren ved å introdusere åpning av en dør med en insentivpremie og muligheten til å endre det første valget som integrerte betingelser.

Løsning[rediger | rediger wikitekst]

Når man sammenligner oddsen ved første øyekast, vil det ikke gi noen fordel å endre dørnummeret, fordi. alle tre alternativene har 1/3 sjanse til å vinne (ca. 33,33 % på hver av de tre dørene). Samtidig vil det å åpne en av dørene ikke påvirke sjansene til de to gjenværende, hvis sjanser blir 1/2 til 1/2 (50 % for hver av de to gjenværende dørene). Denne dommen er basert på antagelsen om at spillerens valg av dør og vertens valg av dør er to uavhengige hendelser som ikke påvirker hverandre. Faktisk er det nødvendig å vurdere hele hendelsesforløpet som en helhet. I samsvar med sannsynlighetsteorien er sjansene for den først valgte døren fra begynnelsen til slutten av spillet alltid 1/3 (ca. 33,33%), og de to gjenværende dørene har totalt 1/3 + 1 /3 = 2/3 (ca. 66,66%). Når en av de to gjenværende dørene åpnes, blir sjansene 0 % (incentivpremien er skjult bak den), og som et resultat vil sjansene for en lukket uvalgt dør være 66,66 %, dvs. dobbelt så mye som den originale.

For å gjøre det lettere å forstå resultatene av valget, kan vi vurdere en alternativ situasjon der antallet alternativer vil være større, for eksempel tusen. Sannsynligheten for å velge vinneralternativet vil være 1/1000 (0,1%). Forutsatt at ni hundre og nittiåtte feil åpnes ut av de resterende ni hundre og nittini alternativene, blir det åpenbart at sannsynligheten for at én gjenværende dør av ni hundre og nittini ikke velges er høyere enn for bare en valgt i begynnelsen.

Omtaler[rediger | rediger wikitekst]

Du kan møte omtalen av Monty Hall Paradox i "Twenty-one" (film av Robert Luketich), "Kluttyop" (roman av Sergei Lukyanenko), TV-serien "4isla" (TV-serie), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (romaner av Mark Haddon), "XKCD" (tegneserie), MythBusters (TV-program).

Se også[rediger | rediger wikitekst]

På bildet, prosessen med å velge mellom to lukkede dører fra de tre opprinnelig foreslått

Eksempler på løsninger på problemer i kombinatorikk

Kombinatorikk er en vitenskap som alle møter i Hverdagen: hvor mange måter å velge 3 ledsagere for å rengjøre klassen eller hvor mange måter å lage et ord fra de gitte bokstavene.

Generelt lar kombinatorikk deg beregne hvor mange forskjellige kombinasjoner, i henhold til visse forhold, som kan lages fra gitte objekter (like eller forskjellige).

Som en vitenskap oppsto kombinatorikk tilbake på 1500-tallet, og nå studerer hver elev (og ofte til og med en skolegutt) den. De begynner å studere med begrepene permutasjoner, plasseringer, kombinasjoner (med eller uten repetisjoner), du vil finne problemer om disse emnene nedenfor. De mest kjente reglene for kombinatorikk er reglene for sum og produkt, som oftest brukes i typiske kombinatoriske problemer.

Nedenfor finner du flere eksempler på oppgaver med løsninger for kombinatoriske begreper og regler som hjelper deg med å håndtere typiske oppgaver. Hvis det er vanskeligheter med oppgaver, bestill en kombinatorikktest.

Problemer i kombinatorikk med løsninger på nett

Oppgave 1. Mamma har 2 epler og 3 pærer. Hver dag i 5 dager på rad gir hun ut ett stykke frukt. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning av oppgaven i kombinatorikk 1 (pdf, 35 Kb)

Oppgave 2. En bedrift kan gi arbeid innen en spesialitet til 4 kvinner, i en annen - til 6 menn, i en tredje - til 3 ansatte, uavhengig av kjønn. På hvor mange måter kan ledige stillinger fylles dersom det er 14 søkere: 6 kvinner og 8 menn?

Løsning av problemet i kombinatorikk 2 (pdf, 39 Kb)

Oppgave 3. Det er 9 biler i et persontog. På hvor mange måter kan 4 personer sitte på et tog, forutsatt at de alle reiser i forskjellige biler?

Løsning av problemet i kombinatorikk 3 (pdf, 33 Kb)

Oppgave 4. Det er 9 personer i gruppen. Hvor mange ulike undergrupper kan dannes, forutsatt at undergruppen omfatter minst 2 personer?

Løsning av problemet i kombinatorikk 4 (pdf, 34 Kb)

Oppgave 5. En gruppe på 20 elever skal deles inn i 3 lag, og det første laget skal inneholde 3 personer, det andre - 5 og det tredje - 12. På hvor mange måter kan dette gjøres.

Løsning av problemet i kombinatorikk 5 (pdf, 37 Kb)

Oppgave 6. For å delta på laget velger treneren 5 gutter av 10. På hvor mange måter kan han danne et lag dersom 2 bestemte gutter må være med på laget?

Kombinatorisk problem med løsning 6 (pdf, 33 Kb)

Oppgave 7. 15 sjakkspillere deltok i sjakkturneringen, og hver av dem spilte kun ett parti med hver av de andre. Hvor mange kamper ble spilt i denne turneringen?

Kombinatorisk problem med løsning 7 (pdf, 37 Kb)

Oppgave 8. Hvor mange forskjellige brøker kan dannes av tallene 3, 5, 7, 11, 13, 17 slik at hver brøk inkluderer 2 ulike tall? Hvor mange av dem vil være egentlige brøker?

Kombinatorisk problem med løsning 8 (pdf, 32 Kb)

Oppgave 9. Hvor mange ord kan fås ved å omorganisere bokstavene i ordet Horus og Institutt?

Kombinatorisk problem med løsning 9 (pdf, 32 Kb)

Oppgave 10. Hvilke tall fra 1 til 1 000 000 er større: de der enheten forekommer, eller de der den ikke forekommer?

Kombinatorisk problem med løsning 10 (pdf, 39 Kb)

Klare eksempler

Trenger du løste problemer i kombinatorikk? Finn i guiden:

Andre løsninger på problemer i sannsynlighetsteori

Tenk deg at en bestemt bankmann tilbyr deg å velge en av tre lukkede bokser. I en av dem 50 cent, i den andre - en dollar, i den tredje - 10 tusen dollar. Uansett hvilken du velger, får du den som premie.

Du velger tilfeldig, si boks nummer 1. Og så åpner bankmannen (som selvfølgelig vet hvor alt er) rett foran øynene dine en boks med én dollar (la oss si at dette er nr. 2), hvoretter han tilbyr deg å endre det opprinnelig valgte boksen nr. 1 til boks nr. 3.

Bør du ombestemme deg? Vil dette øke sjansene dine for å få 10 tusen?

Dette er Monty Halls paradoks - et problem med sannsynlighetsteori, hvis løsning ved første øyekast strider mot sunn fornuft. Folk har klødd seg i hodet over dette problemet siden 1975.

Paradokset ble oppkalt etter programlederen for det populære amerikanske TV-programmet Let's Make a Deal. Dette TV-programmet hadde lignende regler, bare deltakerne valgte dører, hvorav to var skjulte geiter, og den tredje var en Cadillac.

De fleste av spillerne resonnerte at etter at det var to lukkede dører og det var en Cadillac bak en av dem, så var sjansen for å få den 50-50. Det er klart, når verten åpner en dør og inviterer deg til å ombestemme deg, han starter nytt spill. Enten du ombestemmer deg eller ikke, vil sjansene dine fortsatt være 50 prosent. Så riktig?

Det viser seg at det ikke gjør det. Faktisk, ved å ombestemme deg, dobler du sjansene for suksess. Hvorfor?

Den enkleste forklaringen på dette svaret er følgende betraktning. For å vinne en bil uten å endre valget, må spilleren umiddelbart gjette døren som bilen står bak. Sannsynligheten for dette er 1/3. Hvis spilleren først treffer døren med en geit bak seg (og sannsynligheten for denne hendelsen er 2/3, siden det er to geiter og bare én bil), så kan han definitivt vinne bilen ved å ombestemme seg, siden bilen og en geit er igjen, og verten har allerede åpnet døren med bukken.

Dermed, uten å endre valget, forblir spilleren med sin opprinnelige sannsynlighet for å vinne 1/3, og når han endrer det opprinnelige valget, snur spilleren til sin fordel to ganger den gjenværende sannsynligheten for at han ikke gjettet riktig i begynnelsen.

En intuitiv forklaring kan også lages ved å bytte de to hendelsene. Den første hendelsen er spillerens beslutning om å endre døren, den andre hendelsen er åpningen av en ekstra dør. Dette er akseptabelt, siden åpning av en ekstra dør ikke gir spilleren noe ny informasjon(se dokumentet i denne artikkelen). Deretter kan problemet reduseres til følgende formulering. I det første øyeblikket deler spilleren dørene i to grupper: i den første gruppen er det én dør (den han valgte), i den andre gruppen er det to gjenværende dører. I neste øyeblikk velger spilleren mellom grupper. Det er åpenbart at for den første gruppen er sannsynligheten for å vinne 1/3, for den andre gruppen 2/3. Spilleren velger den andre gruppen. I den andre gruppen kan han åpne begge dørene. Den ene åpnes av verten, og den andre av spilleren selv.

La oss prøve å gi den "mest forståelige" forklaringen. Omformuler problemet: En ærlig vert kunngjør spilleren at det er en bil bak en av de tre dørene, og foreslår at han først peker på en av dørene, og deretter velger en av to handlinger: åpne den angitte døren (i gammel formulering, dette kalles "ikke endre valget ditt") eller åpne de to andre (i den gamle formuleringen ville dette bare være "endre valget". Tenk på det, dette er nøkkelen til å forstå!). Det er klart at spilleren vil velge den andre av de to handlingene, siden sannsynligheten for å skaffe en bil i dette tilfellet er dobbelt så høy. Og den lille tingen som verten selv før han valgte handlingen "viste en geit" hjelper ikke og forstyrrer ikke valget, for bak en av de to dørene er det alltid en geit, og verten vil definitivt vise den når som helst under spillet, så spilleren kan på denne bukken og ikke se. Spillerens oppgave, hvis han velger den andre handlingen, er å si "takk" til verten for å spare ham for bryet med å åpne en av de to dørene selv, og åpne den andre. Vel, eller enda enklere. La oss forestille oss denne situasjonen fra vertens synspunkt, som gjør en lignende prosedyre med dusinvis av spillere. Siden han vet utmerket godt hva som er bak dørene, ser han i gjennomsnitt i to av tre tilfeller på forhånd at spilleren har valgt "feil" dør. Derfor er det for ham definitivt ikke noe paradoks at den riktige strategien er å endre valget etter å ha åpnet den første døren: tross alt, i de samme to tilfellene av tre, vil spilleren forlate studioet i en ny bil.

Til slutt, det mest "naive" beviset. La den som står ved sitt valg kalles "Stæ", og den som følger lederens instruksjoner, kalles "oppmerksom". Så vinner den Sta hvis han først gjettet bilen (1/3), og den oppmerksomme - hvis han først bommet og traff bukken (2/3). Tross alt, bare i dette tilfellet vil han da peke på døren med bilen.

Monty Hall, produsent og vert for showet La oss gjøre en avtale fra 1963 til 1991.

I 1990 ble dette problemet og dets løsning publisert i det amerikanske magasinet Parade. Publikasjonen forårsaket en mengde indignerte anmeldelser fra lesere, hvorav mange hadde vitenskapelige grader.

Hovedklagen var at ikke alle betingelsene for problemet var spesifisert, og enhver nyanse kunne påvirke resultatet. For eksempel kan verten tilby å endre avgjørelsen bare hvis spilleren valgte en bil på det første trekket. Å endre det første valget i en slik situasjon vil selvsagt føre til et garantert tap.

Men i hele eksistensen av Monty Hall TV-show, vant folk som ombestemte seg dobbelt så ofte:

Av 30 spillere som ombestemte seg, vant Cadillac 18 – dvs. 60 %

Av de 30 spillerne som stod igjen med valget, vant Cadillac 11 - det vil si omtrent 36 %

Så begrunnelsen gitt i avgjørelsen, uansett hvor ulogisk de kan virke, bekreftes av praksis.

Økning i antall dører

For å gjøre det lettere å forstå essensen av det som skjer, kan vi vurdere tilfellet når spilleren ikke ser tre dører foran seg, men for eksempel hundre. Samtidig står det en bil bak en av dørene, og geiter bak de andre 99. Spilleren velger en av dørene, mens han i 99% av tilfellene vil velge døren med en geit, og sjansene for å umiddelbart velge døren med en bil er veldig små - de er 1%. Etter det åpner verten 98 dører med geiter og ber spilleren velge den gjenværende døren. I dette tilfellet, i 99% av tilfellene, vil bilen være bak denne gjenværende døren, siden sjansene for at spilleren umiddelbart valgte riktig dør er svært liten. Det er klart at i denne situasjonen bør en rasjonelt tenkende spiller alltid akseptere lederens forslag.

Når man vurderer et økt antall dører, oppstår ofte spørsmålet: hvis lederen i det opprinnelige problemet åpner en dør av tre (det vil si 1/3 av Total dører), hvorfor skal vi anta at i tilfelle av 100 dører, vil verten åpne 98 dører med geiter, og ikke 33? Denne betraktningen er vanligvis en av de vesentlige årsakene til at Monty Halls paradoks kommer i konflikt med den intuitive oppfatningen av situasjonen. Forutsatt at åpning av 98 dører vil være riktig pga essensiell tilstand Oppgaven er å ha bare ett alternativt valg for spilleren, som tilbys av moderatoren. Derfor, for at oppgavene skal være like, ved 4 dører, må lederen åpne 2 dører, ved 5 dører - 3, og så videre, slik at det alltid er én uåpnet dør utenom den ene. som spilleren først valgte. Hvis tilretteleggeren åpner færre dører, vil oppgaven ikke lenger være lik den opprinnelige Monty Hall-oppgaven.

Det skal bemerkes at i tilfelle av mange dører, selv om verten ikke lar én dør være lukket, men flere, og tilbyr spilleren å velge en av dem, vil spillerens sjanser til å vinne bilen ved å endre det første valget. øker fortsatt, men ikke så betydelig. Tenk for eksempel på en situasjon der en spiller velger én dør av hundre, og så åpner tilretteleggeren bare én av de gjenværende dørene, og inviterer spilleren til å endre valg. Samtidig forblir sjansene for at bilen er bak døren som opprinnelig ble valgt av spilleren den samme - 1/100, og for de resterende dørene endres sjansene: den totale sannsynligheten for at bilen er bak en av de gjenværende dørene ( 99/100) er nå ikke fordelt på 99 dører, men 98. Derfor vil sannsynligheten for å finne en bil bak hver av disse dørene ikke være 1/100, men 99/9800. Økningen i sannsynlighet vil være ca. 1 %.

Tre mulige løsninger spiller og vert, som viser sannsynligheten for hvert utfall Mer formelt kan scenariet i spillet beskrives ved hjelp av et beslutningstre. I de to første tilfellene, når spilleren først valgte døren bak som bukken er, vil endring av valget resultere i en seier. I de to siste tilfellene, når spilleren først valgte døren med bilen, resulterer endring av valget i tap.

Hvis du fortsatt ikke forstår, spytt på formlene og baresjekk alt statistisk. En annen mulig forklaring:

En spiller hvis strategi ville være å endre den valgte døren hver gang ville bare tape hvis han først velger døren som bilen er plassert bak.
Siden sjansen for å velge bil på første forsøk er én av tre (eller 33 %), er sjansen for å ikke velge bil dersom spilleren endrer valg også én av tre (eller 33 %).
Dette betyr at spilleren som brukte strategien for å endre døren vil vinne med en sannsynlighet på 66 % eller to til tre.
Dette vil doble sjansene for å vinne en spiller hvis strategi er å ikke endre valg hver gang.

Fortsatt ikke tro? La oss si at du velger dør nr. 1. Her er alle mulige alternativer hva som kan skje i dette tilfellet.

"Det er tre typer løgner: løgn, åpenbar løgn og statistikk. Denne setningen, tilskrevet av Mark Twain til den britiske statsministeren Benjamin Disraeli, gjenspeiler godt flertallets holdning til matematiske lover. Faktisk kaster sannsynlighetsteorien noen ganger utrolige fakta, som er vanskelig å tro ved første øyekast - og som likevel er bekreftet av vitenskapen. "Teorier og praksiser" husket de mest kjente paradoksene.

Monty Hall-problem

Det var denne oppgaven den utspekulerte MIT-professoren tilbød studenter i filmen Twenty-One. Gir det riktige svaret hovedperson slutter seg til et team av strålende unge matematikere som slår kasinoer i Las Vegas.

Den klassiske formuleringen er slik: «La oss si at en viss spiller ble tilbudt å delta i det berømte amerikanske TV-showet Let's Make a Deal, arrangert av Monty Hall, og han må velge en av tre dører. Bak to dører står geiter, bak den ene er hovedpremien, en bil, programlederen vet plasseringen av premiene. Etter at spilleren har tatt sitt valg, åpner tilretteleggeren en av de gjenværende dørene, bak som er en geit, og inviterer spilleren til å ombestemme seg. Bør spilleren være enig, eller er det bedre å beholde sitt opprinnelige valg?»

Her er et typisk resonnement: etter at verten har åpnet en av dørene og vist bukken, må spilleren velge mellom to dører. Bilen står bak en av dem, så sannsynligheten for å gjette den er ½. Så det er ingen forskjell - å endre valget ditt eller ikke. Og likevel sier sannsynlighetsteorien at du kan øke sjansene dine for å vinne ved å endre avgjørelsen din. La oss se hvorfor det er slik.

For å gjøre dette, la oss gå et skritt tilbake. I det øyeblikket vi tok vårt første valg, delte vi dørene i to deler: den vi valgte og de to andre. Sannsynligheten for at bilen gjemmer seg bak "vår" dør er åpenbart ⅓ - henholdsvis er bilen bak en av de to gjenværende dørene med en sannsynlighet på ⅔. Når tilretteleggeren indikerer at det er en geit bak en av disse dørene, viser det seg at disse ⅔ sjansene faller på den andre døren. Og dette reduserer spillerens valg til to dører, bak den ene (opprinnelig valgt) bilen er med en sannsynlighet på ⅓, og bak den andre med en sannsynlighet på ⅔. Valget blir åpenbart. Noe som selvfølgelig ikke avviser det faktum at spilleren helt fra begynnelsen kunne velge en dør med bil.

Oppgaven til de tre fangene

Three Prisoners Paradox ligner på Monty Halls problem, selv om handlingen foregår i mer dramatiske omgivelser. Tre fanger (A, B og C) dømmes til døden og settes på glattcelle. Guvernøren velger tilfeldig ut en av dem og gir ham benådning. Vaktmesteren vet hvem av de tre som er benådet, men han får beskjed om å holde det hemmelig. Fange A ber vakten fortelle ham navnet på den andre fangen (foruten ham selv) som definitivt vil bli henrettet: "hvis B blir benådet, fortell meg at C vil bli henrettet. Hvis C blir benådet, fortell meg at B vil bli henrettet. Hvis de begge blir henrettet, men jeg har nåde, kast en mynt og si hvilket som helst av disse to navnene. Vaktmesteren sier at fange B vil bli henrettet. Skal fange A være lykkelig?

Det ser ut til, ja. Tross alt, før han mottok denne informasjonen, var sannsynligheten for død av fange A ⅔, og nå vet han at en av de to andre fangene vil bli henrettet, noe som betyr at sannsynligheten for henrettelse har sunket til ½. Men faktisk lærte ikke fange A noe nytt: hvis han ikke ble benådet, ville han bli fortalt navnet på en annen fange, og han visste allerede at en av de to gjenværende ville bli henrettet. Hvis han var heldig, og henrettelsen ble kansellert, vil han høre tilfeldig navn B eller C. Derfor har hans sjanser for frelse ikke endret seg på noen måte.

Tenk deg nå at en av de gjenværende fangene får vite om spørsmålet om fange A og svaret mottatt. Dette vil endre ideene hans om sannsynligheten for benådning.

Hvis fange B overhører samtalen, vil han vite at han definitivt vil bli henrettet. Og hvis fangen er B, vil sannsynligheten for hans benådning være ⅔. Hvorfor skjedde det? Fange A har ikke mottatt noen informasjon og sjansene hans for å bli benådet er fortsatt ⅓. Fange B vil definitivt ikke bli benådet, og sjansene hans er null. Dette betyr at sannsynligheten for at den tredje fangen blir løslatt er ⅔.

Paradokset med to konvolutter

Dette paradokset ble kjent takket være matematikeren Martin Gardner, og er formulert slik: «Anta at du og en venn blir tilbudt to konvolutter, hvorav den ene inneholder en viss sum penger X, og den andre inneholder et dobbelt så mye beløp. Du åpner selvstendig konvolutter, teller penger, hvoretter du kan bytte dem. Konvoluttene er like, så det er ½ sjanse for at du får en konvolutt med et mindre beløp. La oss si at du åpnet en konvolutt og fant $10 i den. Derfor kan det være like sannsynlig at vennens konvolutt inneholder $5 eller $20. Hvis du bestemmer deg for å bytte, kan du beregne den matematiske forventningen til det endelige beløpet - det vil si gjennomsnittsverdien. Det er 1/2x$5+1/2x20=$12,5. Dermed er byttet gunstig for deg. Og, mest sannsynlig, vil vennen din argumentere på nøyaktig samme måte. Men det er åpenbart at utvekslingen ikke kan være fordelaktig for dere begge. Hva er feilen?

Det paradoksale er at inntil du åpner konvolutten din, oppfører sannsynligheten seg rettferdig: du har faktisk 50 prosent sjanse for å finne X i konvolutten din og 50 prosent sjanse for å finne 2X i konvolutten din. Og sunn fornuft tilsier at informasjon om beløpet du har ikke kan påvirke innholdet i den andre konvolutten.

Men så snart du åpner konvolutten, endrer situasjonen seg dramatisk (dette paradokset ligner litt på historien med Schrödingers katt, der selve tilstedeværelsen av en observatør påvirker tingenes tilstand). Faktum er at for å overholde paradoksets betingelser, må sannsynligheten for å finne et større eller mindre beløp i den andre konvolutten være den samme. Men da er enhver verdi av denne summen fra null til uendelig like sannsynlig. Og hvis det er et like sannsynlig antall muligheter, summerer de seg til uendelig. Og dette er umulig.

For klarhetens skyld kan du forestille deg at du finner én cent i konvolutten din. Det er klart at den andre konvolutten ikke kan inneholde halve beløpet.

Det er merkelig at diskusjonene om løsningen av paradokset fortsetter på det nåværende tidspunkt. Samtidig forsøkes det både å forklare paradokset fra innsiden og å utvikle beste strategi oppførsel i en slik situasjon. Spesielt foreslo professor Thomas Cover en original tilnærming til dannelsen av en strategi - å endre eller ikke endre konvolutten, styrt av en intuitiv forventning. La oss si at hvis du åpner en konvolutt og finner $10 i den – et lite beløp etter dine estimater – er det verdt å bytte det. Og hvis konvolutten inneholder for eksempel $1000, som overgår dine villeste forventninger, så er det ingen grunn til å endre. Denne intuitive strategien, hvis du jevnlig får tilbud om å velge to konvolutter, gir deg muligheten til å øke de totale gevinstene mer enn strategien med stadig skiftende konvolutter.

Gutte- og jenteparadoks

Dette paradokset ble også foreslått av Martin Gardner og er formulert som følger: «Mr. Smith har to barn. Minst ett barn er en gutt. Hva er sannsynligheten for at den andre også er en gutt?

Det ser ut til at oppgaven er enkel. Men hvis du begynner å forstå, avsløres en merkelig omstendighet: det riktige svaret vil variere avhengig av hvordan vi beregner sannsynligheten for kjønnet til det andre barnet.

valg 1

Vurder alle mulige kombinasjoner i familier med to barn:

Jente/jente

Jente Gutt

Guttjente

Gutt/gutt

Jente/jente-alternativet passer ikke oss i henhold til forholdene i problemet. Derfor, for Mr. Smiths familie, er det tre like sannsynlige alternativer - som betyr at sannsynligheten for at det andre barnet også vil være en gutt er ⅓. Dette var svaret gitt av Gardner selv i utgangspunktet.

Alternativ 2

La oss forestille oss at vi møter Mr. Smith på gaten når han går med sønnen sin. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er en gutt? Siden kjønnet til det andre barnet er uavhengig av kjønnet til det første, er det åpenbare (og riktige) svaret ½.

Hvorfor skjer dette, for det ser ut til at ingenting har endret seg?

Alt avhenger av hvordan vi nærmer oss spørsmålet om å beregne sannsynligheten. I det første tilfellet vurderte vi alle mulige varianter av Smith-familien. I den andre - vi vurderte alle familier som faller inn under den obligatoriske betingelsen "det må være en gutt." Beregningen av sannsynligheten for kjønnet til det andre barnet ble utført med denne tilstanden (i sannsynlighetsteori kalles dette "betinget sannsynlighet"), noe som førte til et resultat som var forskjellig fra det første.

I desember 1963 på den amerikanske TV-kanalen NBC programmet ble først utgitt La oss gjøre en avtale("La oss gjøre en avtale!"), der deltakere valgt fra publikum i studio forhandlet med hverandre og med verten, spilte små spill eller bare gjett svaret på spørsmålet. På slutten av sendingen kunne deltakerne spille "dagens avtale". Det var tre dører foran dem, som det var kjent at bak en av dem var hovedprisen (for eksempel en bil), og bak de to andre var det mindre verdifulle eller helt absurde gaver (for eksempel levende geiter) . Etter at spilleren hadde tatt sitt valg, åpnet Monty Hall, programlederen, en av de to gjenværende dørene, og viste at det ikke var noen premie bak den, og lot deltakeren være glad for at han fortsatt hadde en sjanse til å vinne.

I 1975 spurte UCLA-forsker Steve Selvin hva som ville skje hvis deltakeren i det øyeblikket, etter å ha åpnet døren uten en pris, ble bedt om å endre valget. Vil spillerens sjanser for å få premien endre seg i dette tilfellet, og i så fall i hvilken retning? Han sendte inn det aktuelle spørsmålet som en utgave til tidsskriftet Den amerikanske statistikeren("The American Statistician"), og også til Monty Hall selv, som ga ham et ganske nysgjerrig svar. Til tross for dette svaret (eller kanskje på grunn av det), ble problemet populært under navnet "Monty Hall problem".

Oppgave

Du endte opp på Monty Hall-showet som deltaker - og i siste øyeblikk, da du åpnet døren med en geit, foreslo programlederen at du skulle endre valget ditt. Vil avgjørelsen din - enig eller ikke - påvirke sannsynligheten for å vinne?

Clue

Prøv å vurdere personer som valgte forskjellige dører i samme sak (det vil si når premien for eksempel er bak dør nummer 1). Hvem vil tjene på å endre valget, og hvem vil ikke?

Løsning

Som foreslått i hintet, vurder personer som har tatt forskjellige valg. Anta at premien er bak dør #1, og bak dør #2 og #3 er geiter. Anta at vi har seks personer, og hver dør ble valgt av to personer, og fra hvert par endret den ene avgjørelsen, og den andre gjorde det ikke.

Merk at Verten som velger dør nr. 1 vil åpne en av de to dørene etter sin smak, mens bilen uansett vil mottas av den som ikke endrer valget, men den som endret sitt første valg forblir uten prisen. La oss nå se på de som valgte dører #2 og #3. Siden det er en bil bak dør nr. 1, kan ikke verten åpne den, noe som ikke gir ham noe valg - han åpner henholdsvis dør nr. 3 og nr. 2 for dem. Samtidig vil den som endret avgjørelsen i hvert par velge premien som et resultat, og den som ikke endret vil sitte igjen med ingenting. Av tre personer som ombestemmer seg, vil altså to få prisen, og én vil få bukken, mens av de tre som forlot sitt opprinnelige valg uendret, vil kun én få prisen.

Det bør bemerkes at hvis bilen var bak dør #2 eller #3, ville resultatet være det samme, bare de spesifikke vinnerne ville endret seg. Forutsatt at hver dør i utgangspunktet velges med lik sannsynlighet, får vi at de som endrer valg vinner premien dobbelt så ofte, det vil si at vinnersannsynligheten i dette tilfellet er større.

La oss se på dette problemet fra synspunktet til den matematiske sannsynlighetsteorien. Vi vil anta at sannsynligheten for det første valget av hver av dørene er den samme, så vel som sannsynligheten for å være bak hver av dørene til bilen. I tillegg er det nyttig å ta forbehold om at lederen, når han kan åpne to dører, velger hver av dem med like stor sannsynlighet. Så viser det seg at etter den første avgjørelsen er sannsynligheten for at Premien er bak den valgte døren 1/3, mens sannsynligheten for at den er bak en av de to andre dørene er 2/3. Samtidig, etter at Verten åpnet en av de to "ikke-valgte" dørene, faller hele sannsynligheten på 2/3 på kun en av de resterende dørene, og skaper dermed grunnlaget for å endre avgjørelsen, noe som vil øke sannsynligheten for å vinne med 2 ganger. Noe som selvfølgelig ikke garanterer det på noen måte i ett spesifikt tilfelle, men vil føre til mer vellykkede resultater ved gjentatt gjentakelse av eksperimentet.

Etterord

Monty Hall-problemet er ikke den første kjente formuleringen av dette problemet. Spesielt i 1959 publiserte Martin Gardner i tidsskriftet Vitenskapelig amerikansk et lignende problem "omtrent tre fanger" (Three Prisoners problem) med følgende formulering: " Av de tre fangene bør én benådes, og to bør henrettes. Fange A overtaler vakten til å fortelle ham navnet på den av de to andre som vil bli henrettet (enten hvis begge blir henrettet), hvoretter han, etter å ha fått navnet B, anser at sannsynligheten for hans egen frelse ikke er blitt 1/3, men 1/2. Samtidig hevder fange C at sannsynligheten for rømming er blitt 2/3, mens ingenting har endret seg for A. Hvem av dem har rett?»

Gardner var imidlertid ikke den første, siden tilbake i 1889, i sin Calculus of Probabilities, den franske matematikeren Joseph Bertrand (ikke å forveksle med engelskmannen Bertrand Russell!) tilbyr et lignende problem (se Bertrands boksparadoks): " Det er tre bokser, som hver inneholder to mynter: to gull i den første, to sølv i den andre, og to forskjellige i den tredje. Fra en tilfeldig valgt boks ble det tilfeldig trukket ut en mynt, som viste seg å være gull. Hva er sannsynligheten for at den gjenværende mynten i esken er gull?»

Hvis du forstår løsningene på alle tre problemene, er det lett å legge merke til likheten mellom ideene deres; matematisk er alle forent av begrepet betinget sannsynlighet, det vil si sannsynligheten for hendelse A, hvis det er kjent at hendelse B har skjedd. Det enkleste eksempelet: sannsynligheten for at en 1 kastes på en vanlig terning er 1/6; men hvis det rullede tallet er kjent for å være oddetall, er sannsynligheten for at det er ett allerede 1/3. Monty Hall-problemet, i likhet med de to andre nevnte problemene, viser at betingede sannsynligheter må håndteres med forsiktighet.

Disse problemene kalles også ofte paradokser: Monty Halls paradoks, Bertrands boksparadoks (sistnevnte må ikke forveksles med det virkelige Bertrands paradoks gitt i samme bok, som beviste tvetydigheten i sannsynlighetsbegrepet som eksisterte på den tiden) - som innebærer en viss selvmotsigelse (for eksempel i "paradokset til løgneren" motsier uttrykket "denne uttalelsen er falsk" loven om den ekskluderte midten). I dette tilfellet er det imidlertid ingen motsetning med strenge påstander. Det er imidlertid en klar motsetning med offentlig mening” eller rett og slett “en åpenbar løsning” på problemet. De fleste, som ser på problemet, tror faktisk at etter å ha åpnet en av dørene, er sannsynligheten for å finne premien bak noen av de to gjenværende lukkede 1/2. Ved å gjøre det hevder de at det ikke spiller noen rolle om de er enige eller uenige i å ombestemme seg. Dessuten synes mange det er vanskelig å forstå et annet svar enn dette, selv etter å ha blitt fortalt den detaljerte løsningen.

I desember 1963 sendte den amerikanske TV-kanalen NBC for første gang programmet Let's Make a Deal ("La oss gjøre en avtale!"), der deltakere, valgt fra publikum i studio, forhandlet med hverandre og med programlederen, spilte små spill eller bare gjettet svaret på spørsmålet. På slutten av sendingen kunne deltakerne spille "dagens avtale". Det var tre dører foran dem, som det var kjent at bak en av dem var hovedprisen (for eksempel en bil), og bak de to andre var det mindre verdifulle eller helt absurde gaver (for eksempel levende geiter) . Etter at spilleren hadde gjort sitt valg, åpnet Monty Hall, programlederen, en av de to gjenværende dørene, og viste at det ikke var noen premie bak og lot deltakeren være glad for at han hadde en sjanse til å vinne.

I 1975 spurte UCLA-forsker Steve Selvin hva som ville skje hvis deltakeren i det øyeblikket, etter å ha åpnet døren uten en pris, ble bedt om å endre valget. Vil spillerens sjanser for å få premien endre seg i dette tilfellet, og i så fall i hvilken retning? Han sendte det tilsvarende spørsmålet i form av et problem til The American Statistician ("American Statistician"), samt til Monty Hall selv, som ga et ganske nysgjerrig svar på det. Til tross for dette svaret (eller kanskje på grunn av det), ble problemet populært under navnet "Monty Hall problem".

Den vanligste formuleringen av dette problemet, publisert i 1990 i Parade Magazine, er som følger:

«Se for deg at du har blitt deltaker i et spill der du må velge en av tre dører. Bak en av dørene står en bil, bak de to andre dørene står geiter. Du velger en av dørene, for eksempel nummer 1, etter at verten, som vet hvor bilen er og hvor bukkene er, åpner en av de resterende dørene, for eksempel nummer 3, bak som det er en geit. Etter det spør han deg om du vil endre valget ditt og velge dør nummer 2. Vil sjansene dine for å vinne bilen øke hvis du aksepterer vertens tilbud og endrer ditt valg?

Etter publiseringen ble det umiddelbart klart at problemet var feil formulert: ikke alle betingelser var fastsatt. For eksempel kan tilretteleggeren følge "helvetes Monty"-strategien: tilby å endre valget hvis og bare hvis spilleren har valgt en bil i første trekk. Å endre det første valget vil selvsagt føre til et garantert tap i en slik situasjon.

Det mest populære er problemet med en ekstra betingelse - deltakeren i spillet kjenner følgende regler på forhånd:

bilen er like sannsynlig plassert bak noen av de 3 dørene;
i alle fall er verten forpliktet til å åpne døren med bukken (men ikke den som spilleren har valgt) og tilby spilleren å endre valget;
hvis lederen har et valg om hvilken av de to dørene som skal åpnes, velger han en av dem med samme sannsynlighet.

Clue

Prøv å vurdere personer som valgte forskjellige dører i samme sak (det vil si når premien for eksempel er bak dør nummer 1). Hvem vil tjene på å endre valget, og hvem vil ikke?

Løsning

Etterord

Monty Hall-problemet er ikke den første kjente formuleringen av dette problemet. Spesielt i 1959 publiserte Martin Gardner i Scientific American et lignende problem "om tre fanger" (Three Prisoners problem) med følgende ordlyd: "Av tre fanger bør en benådes, og to bør henrettes. Fange A overtaler vakten til å fortelle ham navnet på den av de to andre som vil bli henrettet (enten hvis begge blir henrettet), hvoretter han, etter å ha fått navnet B, anser at sannsynligheten for hans egen frelse ikke er blitt 1/3, men 1/2. Samtidig hevder fange C at sannsynligheten for rømming er blitt 2/3, mens ingenting har endret seg for A. Hvilken er rett?"

Gardner var imidlertid ikke den første, siden tilbake i 1889, i sin sannsynlighetsregning, tilbyr den franske matematikeren Joseph Bertrand (ikke å forveksle med engelskmannen Bertrand Russell!) et lignende problem (se Bertrands rammeparadoks): «Det finnes tre esker, som hver inneholder to mynter: to gull i den første, to sølvmynter i den andre, og to forskjellige i den tredje.

Hvis du forstår løsningene på alle tre problemene, er det lett å legge merke til likheten mellom ideene deres; matematisk er alle forent av begrepet betinget sannsynlighet, det vil si sannsynligheten for hendelse A, hvis det er kjent at hendelse B har skjedd. Det enkleste eksempelet: sannsynligheten for at en enhet falt ut på en vanlig terning er 1/6; men hvis det rullede tallet er kjent for å være oddetall, er sannsynligheten for at det er ett allerede 1/3. Monty Hall-problemet, i likhet med de to andre nevnte problemene, viser at betingede sannsynligheter må håndteres med forsiktighet.

Disse problemene kalles også ofte paradokser: Monty Halls paradoks, Bertrands boksparadoks (sistnevnte må ikke forveksles med det virkelige Bertrands paradoks gitt i samme bok, som beviste tvetydigheten i sannsynlighetsbegrepet som eksisterte på den tiden) - som innebærer en viss selvmotsigelse (for eksempel i "paradokset til løgneren" motsier uttrykket "denne uttalelsen er falsk" loven om den ekskluderte midten). I dette tilfellet er det imidlertid ingen motsetning med strenge påstander. Men det er en klar motsetning med «den offentlige mening» eller rett og slett den «åpenbare løsningen» på problemet. De fleste, som ser på problemet, tror faktisk at etter å ha åpnet en av dørene, er sannsynligheten for å finne premien bak noen av de to gjenværende lukkede 1/2. Ved å gjøre det hevder de at det ikke spiller noen rolle om de er enige eller uenige i å ombestemme seg. Dessuten synes mange det er vanskelig å forstå et annet svar enn dette, selv etter å ha blitt fortalt den detaljerte løsningen.

Monty Halls svar til Steve Selwyn

Mr. Steve Selvin,
assisterende professor i biostatistikk,
University of California, Berkeley.

Kjære Steve,

Takk for at du sendte meg problemet fra American Statistical.

Selv om jeg ikke studerte statistikk på universitetet, vet jeg at tall alltid kan brukes til min fordel hvis jeg ønsker å manipulere dem. Resonnementet ditt tar ikke hensyn til én viktig omstendighet: etter at den første boksen er tom, kan ikke deltakeren lenger endre valget sitt. Så sannsynlighetene forblir de samme: én av tre, ikke sant? Og selvfølgelig, etter at en av boksene er tom, blir ikke sjansene 50/50, men forblir de samme - en av tre. Det ser bare ut til at deltakeren ved å kvitte seg med én boks får flere sjanser. Ikke i det hele tatt. To mot en mot ham, som det var, og gjenstår. Og hvis du plutselig kommer til showet mitt, vil reglene forbli de samme for deg: ingen byttebokser etter utvalget.

Populær i kategorien: