O significado físico da derivada. Taxa Instantânea de Mudança de Função, Aceleração e Gradiente

A derivada de uma função é um dos tópicos mais difíceis do currículo escolar. Nem todo graduado responderá à pergunta sobre o que é uma derivada.

Este artigo explica de forma simples e clara o que é um derivado e por que ele é necessário.. Não vamos nos esforçar agora pelo rigor matemático da apresentação. O mais importante é entender o significado.

Vamos lembrar a definição:

A derivada é a taxa de variação da função.

A figura mostra gráficos de três funções. Qual você acha que cresce mais rápido?

A resposta é óbvia - a terceira. Tem a maior taxa de variação, ou seja, a maior derivada.

Aqui está outro exemplo.

Kostya, Grisha e Matvey conseguiram empregos ao mesmo tempo. Vejamos como sua renda mudou durante o ano:

Você pode ver tudo no gráfico imediatamente, certo? A renda de Kostya mais que dobrou em seis meses. E a renda de Grisha também aumentou, mas só um pouquinho. E a renda de Mateus caiu para zero. As condições iniciais são as mesmas, mas a taxa de variação da função, ou seja, derivado, - diferente. Quanto a Matvey, a derivada de sua renda é geralmente negativa.

Intuitivamente, podemos estimar facilmente a taxa de variação de uma função. Mas como fazemos isso?

O que realmente estamos vendo é a inclinação do gráfico da função para cima (ou para baixo). Em outras palavras, quão rápido y muda com x. É óbvio que a mesma função em pontos diferentes pode ter um valor diferente da derivada - ou seja, pode mudar mais rápido ou mais devagar.

A derivada de uma função é denotada por .

Vamos mostrar como encontrar usando o gráfico.

Um gráfico de alguma função é desenhado. Marque um ponto com uma abcissa. Desenhe uma tangente ao gráfico da função neste ponto. Queremos avaliar a inclinação do gráfico da função. Um valor útil para isso é tangente da inclinação da tangente.

A derivada de uma função em um ponto é igual à tangente da inclinação da tangente desenhada para o gráfico da função naquele ponto.

Observe - como o ângulo de inclinação da tangente, tomamos o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo.

Às vezes, os alunos perguntam qual é a tangente ao gráfico de uma função. Esta é uma linha reta, que tem a única ponto comum com um gráfico, e como mostrado em nossa figura. Parece uma tangente a um círculo.

Vamos encontrar . Lembramos que a tangente de um ângulo agudo em triângulo retângulo igual à proporção da perna oposta para a adjacente. Do triângulo:

Encontramos a derivada usando o gráfico, mesmo sem saber a fórmula da função. Tais tarefas são freqüentemente encontradas no exame de matemática sob o número.

Há outra correlação importante. Lembre-se que a reta é dada pela equação

A quantidade nesta equação é chamada inclinação de uma linha reta. É igual à tangente do ângulo de inclinação da reta ao eixo.

.

nós entendemos isso

Vamos nos lembrar desta fórmula. Expressa o significado geométrico da derivada.

A derivada de uma função em um ponto é coeficiente angular tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Em outras palavras, a derivada é igual à tangente da inclinação da tangente.

Já dissemos que a mesma função em pontos diferentes pode ter uma derivada diferente. Vamos ver como a derivada está relacionada com o comportamento da função.

Vamos desenhar um gráfico de alguma função. Deixe esta função aumentar em algumas áreas, diminuir em outras, e com velocidade diferente. E deixe esta função ter pontos máximos e mínimos.

Em um ponto, a função é crescente. A tangente ao gráfico, traçada no ponto, forma um ângulo agudo; com direção de eixo positiva. Então a derivada é positiva no ponto.

No ponto, nossa função é decrescente. A tangente neste ponto forma um ângulo obtuso; com direção de eixo positiva. Como a tangente de um ângulo obtuso é negativa, a derivada no ponto é negativa.

Aqui está o que acontece:

Se uma função é crescente, sua derivada é positiva.

Se diminuir, sua derivada é negativa.

E o que acontecerá nos pontos máximo e mínimo? Vemos que em (ponto máximo) e (ponto mínimo) a tangente é horizontal. Portanto, a tangente da inclinação da tangente nesses pontos é zero e a derivada também é zero.

O ponto é o ponto máximo. Neste ponto, o aumento da função é substituído por uma diminuição. Consequentemente, o sinal da derivada muda no ponto de "mais" para "menos".

No ponto - o ponto mínimo - a derivada também é igual a zero, mas seu sinal muda de "menos" para "mais".

Conclusão: com a ajuda da derivada, você pode descobrir tudo o que nos interessa sobre o comportamento da função.

Se a derivada for positiva, então a função é crescente.

Se a derivada for negativa, então a função é decrescente.

No ponto máximo, a derivada é zero e muda de sinal de mais para menos.

No ponto mínimo, a derivada também é zero e muda de sinal de menos para mais.

Escrevemos essas descobertas na forma de uma tabela:

	aumenta	ponto máximo	diminuindo	ponto mínimo	aumenta
+	0	-	0	+

Vamos fazer dois pequenos esclarecimentos. Você precisará de um deles ao resolver o problema. Outra - no primeiro ano, com um estudo mais sério de funções e derivadas.

Um caso é possível quando a derivada de uma função em algum ponto é igual a zero, mas a função não tem máximo nem mínimo neste ponto. Este assim chamado :

Em um ponto, a tangente ao gráfico é horizontal e a derivada é zero. Porém, antes do ponto a função aumentava - e depois do ponto ela continua aumentando. O sinal da derivada não muda - permaneceu positivo como estava.

Acontece também que no ponto de máximo ou mínimo a derivada não existe. No gráfico, isso corresponde a uma quebra brusca, quando é impossível traçar uma tangente em um determinado ponto.

Mas como encontrar a derivada se a função não é dada por um gráfico, mas por uma fórmula? Neste caso, aplica-se

Muitos ficarão surpresos com a localização inesperada deste artigo no curso do meu autor sobre a derivada de uma função de uma variável e suas aplicações. Afinal, como era na escola: um livro didático padrão, antes de mais nada, dá uma definição de derivada, seu significado geométrico e mecânico. Em seguida, os alunos encontram derivadas de funções por definição e, de fato, só então a técnica de diferenciação é aperfeiçoada usando tabelas derivadas.

Mas, do meu ponto de vista, a seguinte abordagem é mais pragmática: antes de tudo, é aconselhável ENTENDER BEM o limite da função e, em particular, infinitesimais. O fato é que

a definição da derivada é baseada no conceito de limite , o que é pouco considerado no percurso escolar. É por isso que uma parte significativa dos jovens consumidores de conhecimento de granito penetra mal na própria essência do derivado. Assim, se você é mal orientado em cálculo diferencial, ou um cérebro sábio para longos anos descartado com sucesso esta bagagem, por favor, comece de limites de função . Ao mesmo tempo, domine / lembre-se de sua decisão.

O mesmo senso prático sugere que é lucrativo primeiro

aprenda a encontrar derivadas, incluindo derivadas de funções complexas . Teoria é teoria, mas, como dizem, você sempre quer diferenciar. Nesse sentido, é melhor trabalhar as lições básicas listadas e talvez se tornar mestre de diferenciação sem sequer perceber a essência de suas ações.

Eu recomendo começar os materiais nesta página depois de ler o artigo. Os problemas mais simples com uma derivada, onde, em particular, é considerado o problema da tangente ao gráfico de uma função. Mas pode ser adiado. O fato é que muitas aplicações da derivada não exigem entendê-la, e não é de se estranhar que a aula teórica tenha surgido bem tarde - quando precisei explicar encontrando intervalos de aumento/diminuição e extremos funções. Além disso, ele estava no assunto há muito tempo " Funções e Gráficos”, até que resolvi colocar antes.

Portanto, queridos bules, não se apressem em absorver a essência do derivado, como animais famintos, pois a saturação será insípida e incompleta.

O conceito de crescente, decrescente, máximo, mínimo de uma função

Muitos guias de estudo levei ao conceito de derivada com a ajuda de alguns problemas práticos, e também cheguei a exemplo interessante. Imagine que temos que viajar para uma cidade que pode ser acessada de diferentes maneiras. Descartamos imediatamente os caminhos curvos e sinuosos e consideraremos apenas linhas retas. No entanto, as direções em linha reta também são diferentes: você pode chegar à cidade por uma autobahn plana. Ou em uma estrada montanhosa - para cima e para baixo, para cima e para baixo. Outra estrada só sobe e outra desce o tempo todo. Os caçadores de emoções escolherão uma rota através do desfiladeiro com um penhasco íngreme e uma subida íngreme.

Mas quaisquer que sejam suas preferências, é desejável conhecer a área, ou pelo menos ter um mapa topográfico dela. E se não houver essa informação? Afinal, você pode escolher, por exemplo, um caminho plano, mas no final tropeçar em uma pista de esqui com finlandeses engraçados. Não é o fato de que o navegador e mesmo

imagem de satélite fornecerá dados confiáveis. Portanto, seria bom formalizar o relevo do caminho por meio da matemática.

Considere alguma estrada (vista lateral):

Por via das dúvidas, relembro um fato elementar: a viagem ocorre da esquerda para a direita. Para simplificar, assumimos que a função é contínua na seção em consideração.

Quais são as características deste gráfico?

Nos intervalos a função é crescente, ou seja, cada valor subsequente dela é maior que o anterior. Grosso modo, o gráfico vai de baixo para cima (subimos o morro). E no intervalo, a função diminui - cada próximo valor é menor que o anterior, e nosso gráfico vai de cima para baixo (descemos a ladeira).

Vamos também prestar atenção a pontos especiais. No ponto nós

atingimos o máximo , ou seja, existe tal trecho do caminho em que o valor será o maior (mais alto). No mesmo ponto, um mínimo é atingido, e existe tal vizinhança em que o valor é o menor (menor).

Terminologia e definições mais rigorosas serão consideradas na lição. sobre o extremo da função enquanto estudamos mais um característica importante: entre a função é crescente, mas é crescente em velocidades diferentes. E a primeira coisa que chama sua atenção é que o gráfico de intervalo sobe muito mais legal do que no intervalo. É possível medir a inclinação da estrada usando ferramentas matemáticas?

Taxa de mudança de função

A ideia é esta: pegue algum valor

(leia "delta x") , que chamaremosincremento de argumento, e vamos começar a "experimentá-lo" em vários pontos do nosso caminho:

1) Vejamos o ponto mais à esquerda: contornando a distância , subimos a encosta até uma altura ( Linha verde). A quantidade é chamada incremento de função, e em este caso esse incremento é positivo (a diferença de valores ao longo do eixo é maior que

zero). Vamos fazer a razão , que será a medida da inclinação da nossa estrada. Obviamente, este é um número muito específico e, como ambos os incrementos são positivos, então.

Atenção! A designação é um símbolo ÚNICO, ou seja, você não pode “arrancar” o “delta” do “x” e considerar essas letras separadamente. Obviamente, o comentário também se aplica ao símbolo de incremento da função.

Vamos explorar a natureza da fração resultante mais significativa. Deixar

inicialmente estamos a uma altura de 20 metros (no ponto preto esquerdo). Superada a distância de metros (linha vermelha esquerda), estaremos a 60 metros de altura. Então o incremento da função será

metros (linha verde) e:. Então

Assim, em cada metro deste troço de estrada altura aumenta uma média de 4 metros... esqueceu-se do seu equipamento de escalada? =) Em outras palavras, a razão construída caracteriza a TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (neste caso, crescimento) da função.

Nota: os valores numéricos do exemplo em questão correspondem às proporções do desenho apenas aproximadamente.

2) Agora vamos percorrer a mesma distância do ponto preto mais à direita. Aqui a subida é mais suave, então o incremento

(linha magenta) é relativamente pequena, e a proporção

em comparação com o caso anterior será muito modesto. Relativamente falando, metros e taxa de crescimento da função

é . Ou seja, aqui para cada metro de caminho há em média meio metro de subida.

3) Uma pequena aventura na encosta da montanha. Vejamos o ponto preto superior localizado no eixo y. Vamos supor que esta seja uma marca de 50 metros. Mais uma vez superamos a distância, pelo que nos encontramos mais abaixo - ao nível de 30 metros. Como o movimento foi realizado de cima para baixo (no sentido "oposto" ao eixo), o o incremento da função (altura) será negativo:metros (linha marrom no desenho). E neste caso estamos falando de velocidade

função descendente: , ou seja, para cada metro do caminho

Nesta área, a altura diminui em média 2 metros. Cuide das roupas no quinto ponto.

Agora vamos fazer a pergunta: qual é o melhor valor de "padrão de medida" para usar? É claro que 10 metros é muito difícil. Uma boa dúzia de saliências pode facilmente caber neles. Por que existem saliências, pode haver um desfiladeiro profundo abaixo e, depois de alguns metros, seu outro lado com uma subida mais íngreme. Assim, com dez metros não obteremos uma caracterização inteligível de tais seções do caminho através

relação .

Da discussão acima, segue-se a seguinte conclusão: quanto menor o valor, com mais precisão descreveremos o relevo da estrada. Além disso, justo

Agora sabemos que a taxa instantânea de variação da função N(Z) em Z = +2 é -0,1079968336. Isso significa alta/baixa ao longo do período, então quando Z = +2, a curva N(Z) sobe em -0,1079968336. Essa situação é mostrada na Figura 3-13.

A medida da sensibilidade "absoluta" pode ser chamada de taxa de variação de uma função. A medida da sensibilidade de uma função em um determinado ponto ("velocidade instantânea") é chamada de derivada.

Podemos medir o grau de sensibilidade absoluta da variável y a mudanças na variável x se definirmos a razão Ay/Ax. A desvantagem dessa definição de sensibilidade é que ela depende não apenas do ponto "inicial" XQ, em relação ao qual a mudança no argumento é considerada, mas também do próprio valor do intervalo Dx, no qual a velocidade é determinada . Para eliminar essa deficiência, o conceito de derivada (a taxa de variação de uma função em um ponto) é introduzido. Ao determinar a taxa de variação de uma função em um ponto, os pontos XQ e xj são aproximados, tendendo o intervalo Dx a zero. A taxa de variação da função f (x) no ponto XQ e é chamada de derivada da função f (x) no ponto x. O significado geométrico da taxa de variação da função no ponto XQ é que é determinado pelo ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função no ponto XQ. A derivada é a tangente da inclinação da tangente ao gráfico da função.

Se a derivada y for considerada como a taxa de variação da função /, então o valor y/y é sua taxa de variação relativa. Portanto, a derivada logarítmica (In y)

Derivada na direção - caracteriza a taxa de variação da função z - f (x, y) no ponto MO (ZhO, UO) na direção

Taxa de mudança de função relativa 124,188

Até agora, consideramos a primeira derivada da função , que permite encontrar a taxa de variação da função. Para determinar se a taxa de variação é constante, a segunda derivada da função deve ser calculada. Isso é denotado como

Aqui e abaixo, o primo significa diferenciação de modo que h é a taxa de variação da função h relativa ao aumento do excesso de oferta).

Uma medida de sensibilidade "absoluta" - a taxa de mudança de uma função (média (razão de mudanças) ou marginal (derivada))

Incremento de valor, argumento, função. Taxa de mudança de função

A taxa de mudança da função no intervalo (taxa média).

A desvantagem dessa definição de velocidade é que essa velocidade depende não apenas do ponto x0, em relação ao qual a mudança no argumento é considerada, mas também da magnitude da mudança no próprio argumento, ou seja, no valor do intervalo Dx, no qual a velocidade é determinada. Para eliminar essa deficiência, é introduzido o conceito de taxa de variação de uma função em um ponto (velocidade instantânea).

A taxa de variação de uma função em um ponto (taxa instantânea).

Para determinar a taxa de variação da função no ponto J Q, os pontos x e x0 são aproximados, tendendo o intervalo Ax a zero. A mudança na função contínua também tenderá a zero. Nesse caso, a razão entre a variação da função tendendo a zero e a variação do argumento tendendo a zero dá a taxa de variação da função no ponto x0 (velocidade instantânea), mais precisamente, em um intervalo infinitamente pequeno relativo ao ponto xd.

É essa taxa de variação da função Dx) no ponto x0 que é chamada de derivada da função Dx) no ponto xa.

Claro, para caracterizar a taxa de variação no valor de y, pode-se usar um indicador mais simples, digamos, a derivada de y em relação a L. A elasticidade de substituição o é preferida devido ao fato de ter uma grande vantagem - é constante para a maioria das funções de produção utilizadas na prática, ou seja, não só não muda quando se move ao longo de alguma isoquanta, como também não depende da escolha da isoquanta.

A pontualidade do controle significa que o controle efetivo deve ser oportuno. Sua pontualidade reside na comensurabilidade do intervalo de tempo das medições e avaliações dos indicadores controlados, o processo de atividades específicas da organização como um todo. O valor físico de tal intervalo (frequência de medições) é determinado pelo período de tempo do processo medido (plano), levando em consideração a taxa de variação dos indicadores controlados e os custos de implementação das operações de controle. A tarefa mais importante da função de controle continua sendo eliminar os desvios antes que eles levem a organização a uma situação crítica.

Para um sistema homogêneo em TV = 0, M = 0 5 também desaparece, de modo que o lado direito da expressão (6.20) é igual à taxa de variação da função de bem-estar total associada à heterogeneidade.

O significado mecânico da derivada. Para uma função y = f(x) variando com o tempo x, a derivada y = f(xo] é a taxa de variação de y no tempo XQ.

A taxa relativa (taxa) de mudança da função y = f(x) é determinada pela derivada logarítmica

As variáveis ​​x significam a magnitude da diferença entre oferta e demanda para o tipo de meio de produção correspondente x = s - p. A função x(f) é continuamente diferenciável no tempo. As variáveis ​​x" significam a taxa de variação da diferença entre oferta e demanda. A trajetória x (t) significa a dependência da taxa de variação da oferta e da demanda da magnitude da diferença entre oferta e demanda, que por sua vez depende no tempo. O espaço de estado (espaço de fase) em nosso caso é bidimensional, ou seja, tem a forma de um plano de fase.

Tais propriedades da quantidade a explicam o fato de que a taxa de variação da taxa marginal de substituição y é caracterizada com base nela, e não com a ajuda de qualquer outro indicador, por exemplo, a derivada de y em relação a x>. Além disso, para um número significativo de funções, a elasticidade de substituição é constante não apenas ao longo de isoclinas, mas também ao longo de isoquantas. Assim, para a função de produção (2.20), usando o fato de que, de acordo com a isocli-

Existem muitos truques que podem ser usados ​​em taxas de mudança de curto prazo. Este modelo usa um período

Significado físico alternativo do conceito de derivada de uma função.

Nikolay Brylev

Um artigo para quem pensa por conta própria. Para quem não consegue entender como é possível saber com a ajuda do incognoscível e por isso não concorda com a introdução de conceitos incognoscíveis nas ferramentas da cognição: "infinito", "ir a zero", "infinitamente pequeno", "vizinhança de um ponto", etc. .P.

O objetivo deste artigo não é denegrir a ideia de introduzir um conceito fundamental muito útil na matemática e na física. conceitos derivados de uma função(diferencial), e compreendê-lo profundamente sentido físico, com base nas dependências globais gerais da ciência natural. O objetivo é dotar o conceito função derivada estrutura causal (diferencial) e significado profundo física de interação. Esse significado hoje é impossível de adivinhar, porque o conceito geralmente aceito é ajustado à abordagem matemática condicionalmente formal e não estrita do cálculo diferencial.

1.1 O conceito clássico de derivada de uma função.

Para começar, vamos nos voltar para o universalmente usado, geralmente aceito, existente há quase três séculos, que se tornou um clássico, conceito matemático (definição) da derivada de uma função (diferencial).

Este conceito é explicado em todos os numerosos livros didáticos da mesma maneira e aproximadamente.

deixe o valor vc depende do argumento x como u = f(x). Se f(x ) foi fixado em dois pontos nos valores do argumento: x2, x1, , então obtemos as quantidades u 1 = f (x 1 ), e u 2 = f (x 2 ). Diferença de dois valores de argumento x 2 , x 1 será chamado de incremento do argumento e denotado como Δ x = x 2 - x 1 (daí x 2=x1+ Δ x) . Se o argumento mudou para Δ x \u003d x 2 - x 1, , então a função mudou (aumentou) conforme a diferença entre os dois valores da função u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) pelo incremento da função∆f. Geralmente é escrito assim:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Ou considerando que x 2 = x 1 + Δ x , podemos escrever que a mudança na função é igual a∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). E essa mudança ocorreu, claro, no intervalo de valores possíveis da função x2 e x1, .

Acredita-se que se os valores x 2 e x 1, infinitamente perto em magnitude entre si, então Δ x \u003d x 2 - x 1, - infinitesimal.

Definição de derivada: função derivada f (x) no ponto x 0 é chamado de limite da razão de incremento da função Δ f neste ponto ao incremento do argumento Δx quando este tende a zero (infinitamente pequeno). Gravado assim.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Encontrar a derivada é chamado diferenciação . Introduzido definição de uma função diferenciável : Função f , que tem uma derivada em cada ponto de algum intervalo, é chamada de diferenciável nesse intervalo.

1.2 O significado físico geralmente aceito da derivada de uma função

E agora sobre o significado físico geralmente aceito da derivada .

sobre ela chamada físico, ou melhor pseudofísico e significados geométricos também podem ser lidos em qualquer livro de matemática (análise de materiais, cálculo diferencial). Resumi brevemente o conteúdo deles sobre o assunto sobre sua natureza física:

O significado físico da derivada x`(t ) de uma função contínua x (t) no ponto t 0 é a taxa instantânea de mudança do valor da função, desde que a mudança no argumento Δ t tende a zero.

E para explicar aos alunos isso significado físico os professores podem, por exemplo, assim.

Imagine que você está voando em um avião e tem um relógio na mão. Quando você voa, você tem uma velocidade igual à velocidade de um avião?, - o professor se dirige ao público.

Sim, respondem os alunos.

E qual é a sua velocidade e a do avião em cada momento do seu relógio?

Uma velocidade igual à velocidade de um avião!, - bons e excelentes alunos respondem em uníssono.

Na verdade não, diz o professor. - A velocidade, como conceito físico, é o caminho percorrido por uma aeronave por unidade de tempo (por exemplo, por hora (km / h)), e quando você olhou para o relógio, apenas um momento se passou. Por isso, a velocidade instantânea (a distância percorrida em um instante) é a derivada da função que descreve a trajetória da aeronave no tempo. Velocidade instantânea - este é o significado físico da derivada.

1.3 Problemas do rigor da metodologia para a formação do conceito matemático da derivada de uma função.

A públicoalunos, acostumados com o sistema de ensino mansamente,imediatamente e completamenteaprender verdades questionáveis, via de regra, não faz mais perguntas ao professor sobre conceito e significado físico da derivada. Mas uma pessoa inquisitiva, com pensamento profundo e independente, não pode assimilar isso como uma verdade científica estrita. Ele certamente fará uma série de perguntas, às quais obviamente não esperará uma resposta fundamentada de um professor de qualquer categoria. As perguntas são as seguintes.

1. São exatos (corretos, científicos, tendo um valor objetivo, essência causal) tais conceitos (expressões) da ciência "exata" - matemática como: momento - um valor infinitesimal, aspiração a zero, aspiração ao infinito, pequenez, infinito, aspiração? Como pode saber alguma entidade na magnitude da mudança, operando com conceitos incognoscíveis, sem magnitude? Mais O grande Aristóteles (384-322 aC) no capítulo 4 do tratado "FÍSICA", desde tempos imemoriais, transmitiu: “Se o infinito, porque é infinito, é incognoscível, então o infinito em quantidade ou magnitude é incognoscível, quão grande ele é, e o infinito em espécie é incognoscível, qual é a sua qualidade. em espécie, então é impossível conhecer aqueles formados a partir delas [coisas]: afinal, só então acreditamos que conhecemos coisa complicada quando descobrimos de que e quantos [inícios] consiste ... " Aristóteles, "Física", 4 cap..

2. Como pode derivado tem um significado físico idêntico a alguma velocidade instantânea, se a velocidade instantânea não é um conceito físico, mas um conceito matemático muito condicional e "impreciso", porque este é o limite de uma função e o limite é um conceito matemático condicional?

3. Por que o conceito matemático de ponto, que tem apenas uma propriedade - a coordenada (sem outras propriedades: tamanho, área, intervalo) é substituído na definição matemática da derivada pelo conceito de vizinhança de um ponto, que na verdade tem um intervalo, apenas indefinido em magnitude. Pois no conceito de derivada, os conceitos e quantidades Δ x = x 2 - x 1 e x 0 .

4. Corretamente se em tudo significado físico explicar com conceitos matemáticos que não têm significado físico?

5. Por que causalidade (função), dependendo da causa (argumento, propriedade, parâmetro) deve ter concreto final definido em magnitude limite mudanças (consequências) com uma magnitude indefinidamente pequena, não havendo uma mudança de magnitude na magnitude da causa?

6. Existem funções em matemática que não possuem derivada (funções não diferenciáveis ​​em análise não suave). Isso significa que nessas funções, quando seu argumento (seu parâmetro, propriedade) muda, a função (objeto matemático) não muda. Mas não há objetos na natureza que não mudariam quando suas próprias propriedades mudassem. Por que, então, a matemática pode permitir tais liberdades como o uso de um modelo matemático que não leva em conta as relações fundamentais de causa e efeito do universo?

Responderei. No conceito clássico proposto que existe na matemática - velocidade instantânea, derivada, física e científica em geral, não há significado correto e não pode ser devido à incorreção não científica e incognoscibilidade dos conceitos usados ​​para isso! Não existe no conceito de "infinito" e no conceito de "instantâneo" e no conceito de "esforço para o zero ou infinito".

Mas o verdadeiro, limpo dos conceitos frouxos da física e da matemática modernas (tendência ao zero, valor infinitesimal, infinito, etc.)

O SIGNIFICADO FÍSICO DO CONCEITO DE FUNÇÃO DERIVADA EXISTE!

Isso é o que será discutido agora.

1.4 Verdadeiro significado físico e estrutura causal da derivada.

Para entender a essência física, “sacudir das orelhas uma espessa camada de macarrão secular”, pendurado ainda por Gottfried Leibniz (1646-1716) e seus seguidores, será preciso, como sempre, recorrer à metodologia de conhecimento e princípios básicos estritos. É verdade, deve-se notar que devido ao relativismo prevalecente, atualmente, esses princípios não são mais respeitados na ciência.

Deixe-me divagar brevemente.

De acordo com os crentes profundos e sinceros Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz, a mudança de objetos, a mudança de suas propriedades, não acontecia sem a participação do Todo-Poderoso. O estudo da fonte de variabilidade do Todo-Poderoso por qualquer cientista natural era naquela época repleto de perseguições por uma igreja poderosa e não era realizado para fins de autopreservação. Mas já no século 19, os cientistas naturais descobriram que ESSÊNCIA CAUSAL DA MUDANÇA DAS PROPRIEDADES DE QUALQUER OBJETO - INTERAÇÕES. "Interação é uma relação causal posta em pleno desenvolvimento", observou Hegel (1770-1831) “Do modo mais próximo, a interação aparece como a causalidade mútua de substâncias pressupostas, mutuamente condicionantes; cada um é, em relação ao outro, uma substância ativa e passiva. . F. Engels (1820-1895) especificou: “A interação é a primeira coisa que vem diante de nós quando consideramos a matéria em movimento (mudança) como um todo, do ponto de vista da ciência natural moderna... Assim, a ciência natural confirma que... que a interação é a verdadeira causa finalis (última causa raiz) das coisas. Não podemos ir além do conhecimento dessa interação justamente porque não há mais nada a saber por trás dela. No entanto, tendo lidado formalmente com a causa raiz da variabilidade, nenhuma das cabeças brilhantes do século XIX começou a reconstruir o prédio da ciência natural.Como resultado, o edifício permaneceu o mesmo - com uma "podridão" fundamental. Como resultado, a estrutura causal (interações) ainda está ausente na grande maioria dos conceitos básicos da ciência natural (energia, força, massa, carga, temperatura, velocidade, momento, inércia, etc.), incluindo conceito matemático da derivada de uma função- como um modelo matemático que descreve " quantidade de mudança instantânea" de um objeto de uma mudança "infinitamente pequena" em seu parâmetro causal. Ainda não foi criada uma teoria das interações que combine até mesmo as quatro interações fundamentais conhecidas (eletromagnética, gravitacional, forte, fraca). Agora já está "cortado" muito mais e "batentes" estão rastejando por toda parte. A prática - o critério da verdade, rompe completamente com todos os modelos teóricos construídos sobre tal edifício que se pretendem universais e globais. Portanto, mesmo assim, será necessário reconstruir o prédio das ciências naturais, porque não há outro lugar para “nadar”, a ciência há muito se desenvolve pelo método “cutucar” - estupidamente, caro e ineficiente. A física do futuro, a física do século 21 e dos séculos subseqüentes, deve se tornar a física das interações. E na física é simplesmente necessário introduzir um novo conceito fundamental - "interação de evento". Ao mesmo tempo, uma base básica é fornecida para os conceitos básicos e relacionamentos da física e da matemática modernas, e somente neste caso a fórmula raiz é"causa finalis" (primeira causa final) Fórmula para fundamentar todas as fórmulas básicas que funcionam na prática. O significado das constantes do mundo e muito mais é esclarecido. E sou eu para você caro leitor, vou te mostrar agora.

Então, Formulação do problema.

Vamos delinear em em termos gerais modelo. Seja um objeto abstrato de cognição, cognoscível em tamanho e natureza (nós o denotamos -você) é um todo relativo com natureza (dimensão) e magnitude definidas. O objeto e suas propriedades são um sistema causal. Um objeto depende em valor do valor de suas propriedades, parâmetros e em dimensão de sua dimensão. O parâmetro causal, portanto, será denotado por - x, e o parâmetro investigativo será denotado por - u. Na matemática, tal relação causal é formalmente descrita por uma função (dependência) em suas propriedades - parâmetros u = f (x). Um parâmetro variável (propriedade de um objeto) implica uma alteração no valor da função - um número inteiro relativo. Além disso, o valor conhecido objetivamente determinado do todo (número) é um valor relativo obtido como uma relação com sua parte individual (para algum padrão único objetivo geralmente aceito do todo - uat, Um padrão único é um valor formal, mas geralmente aceito como uma medida comparativa objetiva.

Então u =k*u andar . O valor objetivo do parâmetro (propriedade) é a relação com a parte unitária (padrão) do parâmetro (propriedade) -x= eu* x esse. As dimensões do inteiro e a dimensão do parâmetro e seus padrões de unidade não são idênticos. Chances k , eusão numericamente iguais a u, x, respectivamente, pois os valores de referência de u ex essesão solteiros. Como resultado das interações, o parâmetro muda e essa mudança causal acarreta, conseqüentemente, uma mudança na função (todo relativo, objeto, sistema).

Necessário para definir formal a dependência geral da magnitude da mudança do objeto nas interações - as razões para essa mudança. Esta declaração do problema reflete a abordagem verdadeira, causal, causal (de acordo com F. Bacon) consistente física de interação.

Decisão e consequências.

A interação é um mecanismo evolutivo comum - a causa da variabilidade. O que é realmente uma interação (de curto alcance, de longo alcance)? Porque o teoria geral interação e um modelo teórico da interação de objetos, portadores de propriedades comensuráveis ​​nas ciências naturais ainda estão faltando, teremos que criar(mais sobre isso em).Mas como o leitor pensante quer saber sobre a verdadeira essência física do derivado imediatamente e agora, então conseguiremos apenas conclusões breves, mas estritas e necessárias deste trabalho para entender a essência do derivado.

"Qualquer interação de objetos, mesmo a mais complexa, pode ser representada em tal escala de tempo e espaço (expandida no tempo e exibida em um sistema de coordenadas de tal maneira) que a cada momento do tempo, em um determinado ponto no espaço , apenas dois objetos, dois portadores de propriedades comensuráveis, irão interagir, e neste momento eles irão interagir apenas com suas duas propriedades proporcionais.

« Qualquer mudança (linear, não linear) de qualquer propriedade (parâmetro) de uma certa natureza de qualquer objeto pode ser decomposta (representada) como resultado (consequência) de eventos-interações da mesma natureza, seguindo no espaço e tempo formais, respectivamente, linearmente ou não linearmente (uniformemente ou desigualmente). Ao mesmo tempo, em cada interação elementar de evento único (interação próxima), a propriedade muda linearmente porque é devido ao único motivo da mudança - uma interação proporcional elementar (e, portanto, há uma função de uma variável). ... Assim, qualquer mudança (linear ou não linear), como resultado de interações, pode ser representada como a soma de mudanças lineares elementares que seguem no espaço formal e no tempo linearmente ou não linearmente.”

« Pela mesma razão, qualquer interação pode ser decomposta em quanta de mudança (peças lineares indivisíveis). Um quantum elementar de qualquer natureza (dimensão) é o resultado de uma interação-evento elementar de acordo com uma dada natureza (dimensão). A magnitude e a dimensão de um quantum são determinadas pela magnitude da propriedade de interação e pela natureza dessa propriedade. Por exemplo, com uma colisão ideal e absolutamente elástica de bolas (sem levar em conta perdas térmicas e outras perdas de energia), as bolas trocam seus momentos (propriedades proporcionais). Uma mudança no momento de uma bola é uma porção de energia linear (dada a ela ou tirada dela) - existe um quantum que tem a dimensão do momento angular. Se as bolas com valores de momento fixo interagirem, então o estado do valor do momento angular de cada bola em qualquer intervalo de interação observado é o valor "permitido" (por analogia com as visões da mecânica quântica).»

No formalismo físico e matemático, tornou-se geralmente aceito que qualquer propriedade em qualquer momento e em qualquer ponto do espaço (para simplificar, vamos usar uma coordenada linear) tem um valor que pode ser expresso por escrito

(1)

onde está a dimensão.

Este registro, entre outras coisas, é a essência e significado físico profundo de um número complexo, diferente da representação geométrica geralmente aceita (segundo Gauss), como um ponto no plano..( Observação. autor)

Por sua vez, o módulo de mudança , denotado em (1) como , pode ser expresso, levando em conta os eventos de interação, como

(2)

significado físico O básico para um grande número das relações mais famosas da ciência natural, a fórmula raiz, é que no intervalo de tempo e no intervalo de um espaço linear homogêneo (coordenada única), havia - eventos comensuráveis ​​- curto alcance interações de mesma natureza, seguindo no tempo e no espaço de acordo com suas funções - distribuições de eventos no espaço - e no tempo. Cada um dos eventos mudou para alguns. Podemos dizer que na presença de homogeneidade de objetos de interação em um determinado intervalo de espaço e tempo, estamos falando de sobre alguns constante, linear, valor médio da mudança elementar - valor derivado na magnitude da mudança , uma função formalmente descrita que é característica do meio de interação e caracteriza o ambiente e o processo de interação de uma certa natureza (dimensão). Considerando que pode haver tipos diferentes funções de distribuição de eventos no espaço e no tempo , então existem dimensões variáveis ​​do espaço-tempo y como uma integral de funções de distribuiçãoeventos no tempo e espaço , ou seja, [tempo - t] e[ coordenada - x ] pode estar elevado à potência de k(k - diferente de zero).

Se designarmos, em um ambiente suficientemente homogêneo, o valor do intervalo de tempo médio entre eventos - , e o valor do intervalo de distância média entre eventos - , então podemos escrever que o número total de eventos no intervalo de tempo e espaço é igual a

(3)

Esse registro fundamental(3) é consistente com as identidades básicas de espaço-tempo da ciência natural (eletrodinâmica de Maxwell, hidrodinâmica, teoria das ondas, lei de Hooke, fórmula de Planck para energia, etc.) e é a verdadeira causa raiz da correção lógica de construções físicas e matemáticas . Esta entrada (3) é consistente com o conhecido "teorema da média" em matemática. Vamos reescrever (2) levando em conta (3)

(4) - para relações de tempo;

(5) - para relações espaciais.

A partir dessas equações (3-5) segue lei comum interações:

o valor de qualquer alteração em um objeto (propriedade) é proporcional ao número de eventos-interações (interações próximas) proporcionais a ele que o causam. Ao mesmo tempo, a natureza da mudança (o tipo de dependência no tempo e no espaço) corresponde à natureza da sequência no tempo e no espaço desses eventos.

Obtemos razões básicas gerais da ciência natural para o caso de espaço e tempo lineares, despojados do conceito de infinito, aspirações a zero, velocidade instantânea, etc. Pela mesma razão, as designações de infinitamente pequenos dt e dx não são usadas pela mesma razão. Em vez deles, Δti e Δxi finitos . A partir dessas generalizações (2-6), siga:

- o significado físico geral da derivada (diferencial) (4) e gradiente (5), bem como constantes "mundiais", como os valores da mudança linear média (média) da função (objeto) com um único evento -interação do argumento (propriedade) tendo uma certa dimensão (natureza) com propriedades proporcionais (da mesma natureza) de outros objetos. A razão entre a magnitude da mudança e o número de eventos-interações que a iniciam é, na verdade, o valor da derivada da função, refletindo a dependência causal do objeto em sua propriedade.

; (7) - derivada da função

; (8) - função gradiente

- significado físico da integral, como a soma dos valores da função muda durante eventos por argumento

; (9)

- comprovação (prova e significado físico compreensível) do teorema de Lagrange para incrementos finitos(fórmulas de incrementos finitos), em muitos aspectos fundamentais para o cálculo diferencial. Pois com funções lineares e existem valores de suas integrais nas expressões (4)(5) e . Então

(10)

(10.1)

A fórmula (10.1) é na verdade, a fórmula de Lagrange para incrementos finitos [ 5].

Ao especificar um objeto com um conjunto de suas propriedades (parâmetros), obtemos dependências semelhantes para a variabilidade do objeto em função da variabilidade de suas propriedades (parâmetros) e esclarecemos físico o significado da derivada parcial de uma função vários parâmetros variáveis.

(11)

fórmula de Taylor para uma função de uma variável, que também se tornou clássica,

tem a forma

(12)

Representa a decomposição de uma função (sistema causal formal) em uma série em que sua variação é igual a

é decomposto em componentes, de acordo com o princípio de decomposição do fluxo geral de eventos da mesma natureza em subfluxos com diferentes características seguintes. Cada subfluxo caracteriza a linearidade (não linearidade) da sequência de eventos no espaço ou no tempo. Isso é significado físico da fórmula de Taylor . Assim, por exemplo, o primeiro termo da fórmula de Taylor identifica a mudança em eventos linearmente seguintes no tempo (espaço).

No . Segundo no seguimento não linear ver eventos, etc.

- o significado físico de uma taxa constante de mudança (movimento)[m/s], que tem o significado de um único deslocamento linear (mudança, incremento) de um valor (coordenadas, caminhos), com eventos subsequentes linearmente.

(13)

Por esta razão, a velocidade não é uma dependência causal de um sistema de coordenadas ou intervalo de tempo formalmente escolhido. A velocidade é uma dependência informal da função de sucessão (distribuição) no tempo e no espaço dos eventos que levam a uma mudança nas coordenadas.

(14)

E qualquer movimento complexo pode ser decomposto em componentes, onde cada componente é dependente dos seguintes eventos lineares ou não lineares. Por esta razão, a cinemática do ponto (equação do ponto) é expandida de acordo com a fórmula de Lagrange ou Taylor.

É quando a sequência linear de eventos muda para não linear que a velocidade se torna aceleração.

- significado físico de aceleração- , como uma quantidade numericamente igual a um único deslocamento , com uma sucessão não linear de eventos-interações que causam esse deslocamento . Em que, ou . Ao mesmo tempo, o deslocamento total no caso de sucessão não linear de eventos (com uma mudança linear na taxa de sucessão de eventos) para é igual a (15) - fórmula conhecida de banco da escola

- o significado físico da aceleração de queda livre de um objeto- , como um valor constante, numericamente igual à razão da força linear que atua sobre o objeto (na verdade, o chamado deslocamento linear "instantâneo"), correlacionado com o número não linear de eventos-interações subsequentes com o ambiente no tempo formal, causando essa força.

Assim, um valor igual ao número seguimento não linear eventos, ou relação - recebeu o nome peso corporal , e o valor - peso corporal , como as forças que atuam no corpo (no suporte) em repouso.Vamos explicar o que foi dito acima, porque amplamente utilizado, conceito físico fundamental de massa na física moderna não é estruturada causalmente a partir de nenhuma interação. E a física conhece os fatos das mudanças na massa dos corpos durante o curso de certas reações (interações físicas) dentro deles. Por exemplo, durante o decaimento radioativo, a massa total da matéria diminui.Quando um corpo está em repouso em relação à superfície da Terra, o número total de eventos-interações de partículas desse corpo com um meio não homogêneo que possui um gradiente (caso contrário, é chamado de campo gravitacional) não muda. E isso significa que a força que atua no corpo não muda, e a massa inercial é proporcional ao número de eventos que ocorrem objetos do corpo e objetos do ambiente, igual à razão da força para sua aceleração constante .

Quando um corpo se move em um campo gravitacional (cai), a razão entre a força variável que atua sobre ele e o número variável de eventos também permanece constante e a razão - corresponde à massa gravitacional. isso implica identidade analítica da massa inercial e gravitacional. Quando um corpo se move não linearmente, mas horizontalmente em relação à superfície da Terra (ao longo da superfície equipotencial esférica do campo gravitacional da Terra), então o campo gravitacional não tem gradiente nessa trajetória. Mas qualquer força agindo sobre o corpo é proporcional ao número de eventos que aceleram e desaceleram o corpo. Isto é, no caso movimento horizontal, o motivo do movimento do corpo simplesmente muda. E um número de eventos não linearmente variável dá aceleração ao corpo e (2ª lei de Newton). Com uma sequência linear de eventos (acelerando e desacelerando), a velocidade do corpo é constante e a quantidade física, com tal sequência de eventos, em a física é chamada de momento.

- O significado físico do momento angular, como o movimento do corpo sob a influência de eventos seguindo linearmente no tempo.

(16)

- O significado físico da carga elétrica objeto introduzido no campo, como a razão entre a força que atua sobre o objeto "carregado" (força de Lorentz) no ponto do campo e o valor da carga do ponto do campo. Pois a força é o resultado da interação das propriedades proporcionais do objeto introduzido no campo e do objeto do campo. A interação se expressa na mudança dessas propriedades proporcionais de ambos. Como resultado de cada interação única, os objetos trocam módulos de suas mudanças, alterando-se entre si, que é o valor da força “instantânea” que atua sobre eles, como derivada da força atuante em um intervalo de espaço. Mas na física moderna, o campo, um tipo especial de matéria, infelizmente, não tem carga (não possui objetos portadores de carga), mas tem uma característica diferente - a tensão no intervalo (a diferença de potenciais (cargas ) em um certo vazio). Por isso, cobrar em sua magnitude mostra quantas vezes a força que age sobre um objeto carregado difere da intensidade do campo em um determinado ponto (da força "instantânea"). (17)

Então a carga positiva do objeto– é visto como uma carga que excede em valor absoluto (maior) a carga do ponto de campo, e negativa - menor que a carga do ponto de campo. Isso implica a diferença nos sinais das forças de repulsão e atração. O que determina a presença de uma direção para a força atuante de "repulsão - atração". Acontece que a carga é quantitativamente igual ao número de eventos-interações que a alteram em cada evento pela magnitude da intensidade do campo. A magnitude da carga, de acordo com o conceito de número (valor), é uma relação com uma referência, unidade, carga experimental -. Daqui . Quando a carga se move, quando os eventos seguem linearmente (o campo é homogêneo), as integrais , e quando o campo homogêneo se move em relação à carga . Daí as conhecidas relações da física ;

- O significado físico da força do campo elétrico, como a razão entre a força que age sobre o objeto carregado e o número de eventos-interações em andamento do objeto carregado com o meio carregado. Existe uma característica constante do campo elétrico. É também a derivada em relação à coordenada da força de Lorentz.Força do campo elétrico- esta é uma quantidade física numericamente igual à força que atua sobre uma carga unitária em uma única interação de evento () de um corpo carregado e um campo (meio carregado).

(18)

-O significado físico de potencial, corrente, tensão e resistência (condutividade elétrica).

No que diz respeito à mudança na magnitude da carga

(19)

(20)

(21)

Onde é chamado de potencial do ponto de campo e é tomado como a característica de energia de um determinado ponto de campo, mas na verdade é a carga do ponto de campo, que difere por um fator da carga de teste (referência). Ou: . Durante a interação da carga introduzida no campo e a carga do ponto do campo, ocorre uma troca de propriedades proporcionais - cargas. A troca é um fenômeno descrito como “a força de Lorentz atua sobre a carga introduzida no campo”, igual em valor absoluto à magnitude da mudança de carga, bem como à magnitude da mudança relativa no potencial do ponto de campo. Quando uma carga é introduzida no campo da Terra, última mudança pode ser negligenciada devido à pequenez relativa desta mudança em comparação com o enorme valor da carga total de um ponto no campo da Terra.

A partir de (20) é perceptível que a corrente (I ) é a derivada temporal da magnitude da mudança de carga em um intervalo de tempo, alterando a carga em magnitude em um evento-interação (interação de curto alcance) com a carga do meio (pontos de campo).

* Até agora, na física, acreditava-se que se: um condutor tem uma seção transversal de área S, a carga de cada partícula é igual a q 0, e o volume do condutor, limitado pelas seções transversais 1 e 2 e comprimento (), contém partículas, onde n é a concentração de partículas. Essa é a carga total. Se as partículas se movem na mesma direção com uma velocidade média v, então, com o tempo, todas as partículas contidas no volume considerado passarão pela seção transversal 2. Portanto, a intensidade da corrente é

.

O mesmo, podemos dizer no caso da nossa generalização metodológica (3-6), só que ao invés do número de partículas, deveríamos dizer o número de eventos, o que em sentido é mais verdadeiro, pois existem muito mais partículas carregadas (eventos) em um condutor do que, por exemplo, elétrons em um metal. A dependência será reescrita na forma , portanto, em Outra vez a validade de (3-6) e outras generalizações deste trabalho é confirmada.

Dois pontos de um campo homogêneo, espaçados no espaço, com diferentes potenciais (cargas) têm uma energia potencial relativa entre si, que é numericamente igual ao trabalho de mudar o potencial de um valor para . É igual à sua diferença.

. (22)

Caso contrário, pode-se escrever a lei de Ohm igualando corretamente

. (23)

Onde neste caso está a resistência, mostrando o número de eventos necessários para alterar a magnitude da carga, desde que em cada evento a carga mude por um valor constante da chamada corrente "instantânea", dependendo das propriedades de o condutor. A partir disso, segue-se que a corrente é uma derivada temporal da quantidade e do conceito de tensão. Deve-se lembrar que em unidades SI, a condutividade elétrica é expressa em Siemens com a dimensão: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampère / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². A resistência em física é o recíproco do produto da condutividade elétrica (resistência de uma unidade de seção do material) e o comprimento do condutor. O que pode ser escrito (no sentido de generalização (3-6)) como

(24)

- Significado físico da indução de campo magnético. Empiricamente, verificou-se que a relação entre o valor máximo do módulo de força que atua em um condutor de corrente (força Ampère) e a intensidade da corrente - I para o comprimento do condutor - l, não depende da intensidade da corrente no condutor, nem no comprimento do condutor. Tomou-se como característica do campo magnético no local onde se encontra o condutor - a indução do campo magnético, valor dependente da estrutura do campo - , que corresponde a

(25)

e desde então .

Quando giramos o quadro em um campo magnético, primeiro aumentamos o número de eventos-interações de objetos carregados do quadro e objetos carregados do campo. A partir disso, segue-se a dependência do EMF e da corrente no quadro na velocidade de rotação do quadro e na intensidade do campo perto do quadro. Paramos o quadro - não há interações - não há corrente. Z redemoinho (mudança) campo - a corrente passou no quadro.

- O significado físico da temperatura. Hoje em física o conceito - uma medida de temperatura não é tão trivial. Um kelvin é igual a 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. O início da escala (0 K) coincide com o zero absoluto. Conversão para graus Celsius: ° С \u003d K -273,15 (a temperatura do ponto triplo da água é 0,01 ° C).
Em 2005, a definição de kelvin foi refinada. No Anexo Técnico obrigatório do texto ITS-90, o Comitê Consultivo de Termometria estabeleceu os requisitos para a composição isotópica da água na implementação da temperatura do ponto triplo da água.

No entanto, significado físico e essência do conceito de temperatura muito mais fácil e claro. A temperatura, em sua essência, é consequência de eventos-interações que ocorrem no interior da substância que têm causas "internas" e "externas". Mais eventos - mais temperatura, menos eventos- temperatura mais baixa. Daí o fenômeno da mudança de temperatura em muitas reações químicas. P. L. Kapitsa também costumava dizer "... a medida da temperatura não é o movimento em si, mas a aleatoriedade desse movimento. A aleatoriedade do estado do corpo determina seu estado de temperatura, e essa ideia (que foi desenvolvida pela primeira vez por Boltzmann) de que um certo estado de temperatura do corpo não é determinado pela energia do movimento, mas pela aleatoriedade desse movimento , e é esse novo conceito na descrição dos fenômenos de temperatura, que devemos usar ... " (Relatório do ganhador do Prêmio Nobel de 1978 Petr Leonidovich Kapitsa "Propriedades do hélio líquido", lido na conferência "Problemas Ciência moderna"na Universidade de Moscou em 21 de dezembro de 1944)
Sob a medida do caos deve-se entender a característica quantitativa do número interações de evento por unidade de tempo em uma unidade de volume de matéria - sua temperatura. Não é por acaso que o Comitê Internacional de Pesos e Medidas vai mudar a definição de kelvin (medida de temperatura) em 2011 para se livrar das condições difíceis de reproduzir do "ponto triplo da água". Na nova definição, o kelvin será expresso em função do segundo e do valor da constante de Boltzmann. O que corresponde exatamente à generalização básica (3-6) deste trabalho. Nesse caso, a constante de Boltzmann expressa a mudança no estado de uma certa quantidade de matéria durante um único evento (veja, o significado físico da derivada), e a magnitude e dimensão do tempo caracterizam o número de eventos em um intervalo de tempo . Isso prova mais uma vez que estrutura causal da temperatura - eventos-interações. Como resultado de interações de eventos, os objetos em cada evento trocam energia cinética (momentos de impulsos como na colisão de bolas), e o meio eventualmente adquire equilíbrio termodinâmico (a primeira lei da termodinâmica).

- O significado físico de energia e força.

Na física moderna, a energia E tem uma dimensão diferente (natureza). Quantas naturezas, tantas energias. Por exemplo:

Força multiplicada pelo comprimento (E ≈ F l≈N*m);

Pressão vezes volume (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

O impulso multiplicado pela velocidade (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Massa vezes o quadrado da velocidade (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Corrente multiplicada pela tensão (E ≈ I U ≈

Dessas relações decorre um conceito refinado de energia e uma conexão com um único padrão (unidade de medida) de energia, eventos e mudanças.

Energia, – é uma característica quantitativa de uma mudança em qualquer parâmetro físico da matéria sob a influência de eventos-interações da mesma dimensão, causando essa mudança. Caso contrário, podemos dizer que a energia é uma característica quantitativa aplicada por algum tempo (a alguma distância) à propriedade de uma força externa atuante. A magnitude da energia (número) é a razão entre a magnitude de uma mudança de uma certa natureza e o padrão formal e geralmente aceito de energia dessa natureza. A dimensão da energia é a dimensão do padrão de energia formal e geralmente aceito. Causalmente, a magnitude e a dimensão da energia, sua mudança no tempo e no espaço, formalmente dependem da magnitude total da mudança em relação ao padrão e à dimensão do padrão e informalmente dependem da natureza da sucessão de eventos.

O valor total da mudança - depende do número de eventos-interações que alteram o valor da mudança total em um evento por - a força unitária média - o valor derivado.

O padrão de energia de uma determinada natureza (dimensão) deve corresponder ao conceito geral padrão (singularidade, comunalidade, imutabilidade), tem a dimensão da função de sequência de eventos no espaço-tempo e o valor alterado.

Essas razões, de fato, são comuns para a energia de qualquer mudança na matéria.

Sobre força. e o valor ou na verdade, existe a mesma força “instantânea” que muda a energia.

. (26)

Assim, sob conceito geral A inércia deve ser entendida como o valor de uma mudança relativa elementar de energia sob a ação de um único evento-interação (ao contrário da força, não correlacionada com a magnitude do intervalo, mas com a suposta presença de um intervalo de invariância da ação), que tem um intervalo de tempo real (intervalo de espaço) de sua invariância até o próximo evento.

Um intervalo é a diferença entre dois pontos no tempo do início deste e dos próximos eventos-interações comparáveis, ou dois pontos-coordenadas de eventos no espaço.

Inércia tem a dimensão de energia, pois energia é a soma integral dos valores de inércia no tempo sob a ação de eventos-interações. A quantidade de mudança de energia é igual à soma da inércia

(27)

Caso contrário, podemos dizer que a inércia conferida a uma propriedade abstrata pela enésima interação de evento é a energia de mudança de propriedade, que teve algum tempo de invariância até a próxima interação de evento;

- o significado físico do tempo como forma formal de conhecer a magnitude da duração da mudança (invariância), como forma de medir a magnitude da duração em comparação com o padrão formal de duração, como medida da duração da mudança (duração, duração

E é hora de parar com as inúmeras especulações sobre a interpretação desse conceito básico da ciência natural.

- significado físico do espaço coordenado , como valores (medidas) de mudança (caminhos, distâncias),

(32)

que tem a dimensão de um padrão unitário formal do espaço (coordenadas) e o valor da coordenada, como integral da função da sucessão de eventos no espaço igual a total padrões coordenados no intervalo . Ao medir a coordenada, por conveniência, uma mudança linear integrando uma função, cuja integral é igual ao número de intervalos de referência formalmente escolhidos de coordenadas unitárias;

- significado físico de todos os propriedades físicas(parâmetros) caracterizando as propriedades de um meio durante a interação proporcional elementar com ele (permeabilidade dielétrica e magnética, constante de Planck, coeficientes de atrito e tensão superficial, calor específico, constantes mundiais, etc.).

Assim, são obtidas novas dependências que possuem uma única forma original de notação e um único significado causal metodologicamente uniforme. E esse significado causal é adquirido com a introdução de um princípio físico global - "interação de eventos" na ciência natural.

Aqui, caro leitor, o que deveria estar nos termos mais gerais uma nova matemática dotada de significado físico e certeza E nova física de interação do século 21 , despojado de um enxame de irrelevantes, não tendo certeza, tamanho e dimensão e, portanto, conceitos de senso comum. Tal, por exemplo, Como derivada clássica e velocidade instantânea - ter pouco em comum com conceito físico velocidade. Como conceito de inércia - uma certa capacidade dos corpos de manter a velocidade ... Como sistema de referência inercial (ISO) , que nada tem a ver o conceito de quadro de referência(CO). Para ISO, ao contrário do quadro de referência usual de referência (CO) não é um sistema objetivo de conhecimento da magnitude do movimento (mudança). Em relação à ISO, por sua definição, os corpos apenas repousam ou se movem em linha reta ou uniformemente. E também muitas outras coisas que foram estupidamente replicadas por muitos séculos como verdades inabaláveis. Essas pseudo-verdades, que se tornaram básicas, não são mais capazes de fundamentar, consistentemente e causalmente descrever com dependências gerais numerosos fenômenos do universo, existindo e mudando de acordo com as leis uniformes da natureza.

1. Literatura.

1. Hegel G.W.F. Enciclopédia de Ciências Filosóficas: Em 3 volumes Vol. 1: Ciência da Lógica. M., 197 3

2. hegel G.W.F. , Soch., vol.5, M., 1937, p. 691.

3. F. Engels. PSS. v. 20, pág. 546.

1.1 Alguns problemas de física 3

2. Derivativo

2.1 Taxa de mudança de função 6

2.2 Função derivada 7

2.3 Derivada de uma função de potência 8

2.4 Significado geométrico da derivada 10

2.5 Diferenciação de funções

2.5.1 Diferenciando os resultados das operações aritméticas 12

2.5.2 Diferenciação de complexo e funções inversas 13

2.6 Derivadas de funções definidas parametricamente 15

3. Diferencial

3.1 Diferencial e seu significado geométrico 18

3.2 Propriedades diferenciais 21

4. Conclusão

4.1 Apêndice 1. 26

4.2 Apêndice 2. 29

5. Lista de literatura usada 32

1. Introdução

1.1Alguns problemas de física. Considere fenômenos físicos simples: movimento retilíneo e distribuição linear de massa. Para estudá-los, introduz-se a velocidade de movimento e a densidade, respectivamente.

Vamos analisar um fenômeno como a velocidade do movimento e conceitos relacionados.

Deixe o corpo se mover em linha reta e saberemos a distância , passado pelo corpo para cada Tempo dado , ou seja, conhecemos a distância em função do tempo:

A equação
chamado a equação do movimento e a linha que define no sistema de eixo
- cronograma de movimento.

Considere o movimento do corpo durante o intervalo de tempo
de algum momento até o momento
. Com o tempo, o corpo percorreu um caminho, e com o tempo, um caminho
. Então, em unidades de tempo, ele percorreu uma distância

.

Se o movimento for uniforme, então existe uma função linear:

Nesse caso
, e a relação
mostra quantas unidades do caminho são por unidade de tempo; ao mesmo tempo, permanece constante, independentemente do momento no tempo é tomado, não em que incremento de tempo é tomado . É uma atitude permanente chamado velocidade uniforme.

Mas se o movimento for desigual, então a razão depende

de , e de . É chamada de velocidade média do movimento no intervalo de tempo de para e denotado por :

Nesse intervalo de tempo, com a mesma distância percorrida, o movimento pode ocorrer das mais diversas formas; graficamente, isso é ilustrado pelo fato de que entre dois pontos no plano (pontos
na fig. 1) você pode desenhar uma variedade de linhas
- gráficos de movimentos em um determinado intervalo de tempo, e todos esses vários movimentos correspondem à mesma velocidade média.

Em particular, entre os pontos passa por uma linha reta
, que é o gráfico do uniforme no intervalo
movimento. Então a velocidade média mostra o quão rápido você precisa se mover uniformemente para passar no mesmo intervalo de tempo a mesma distância
.

deixando o mesmo , vamos diminuir. Velocidade média calculada para o intervalo alterado
, situado dentro do intervalo dado, pode, é claro, ser diferente de in; ao longo do intervalo . Disso decorre que a velocidade média não pode ser considerada como uma característica satisfatória do movimento: ela (velocidade média) depende do intervalo para o qual o cálculo é feito. Com base no fato de que a velocidade média no intervalo devem ser considerados quanto melhor caracterizar o movimento, menos , Vamos fazer com que chegue a zero. Se ao mesmo tempo houver um limite de velocidade média, será considerado como a velocidade do movimento em este momento .

Definição. velocidade movimento retilíneo em um determinado momento é chamado de limite da velocidade média correspondente ao intervalo , pois tende a zero:

Exemplo. Vamos escrever a lei da queda livre:

.

Para a taxa média de queda no intervalo de tempo, temos

e para a velocidade no momento

.

Isso mostra que a velocidade da queda livre é proporcional ao tempo do movimento (queda).

2. Derivativo

A taxa de variação da função. Função derivada. Derivada de uma função de potência.

2.1 A taxa de variação da função. Cada um dos quatro conceitos especiais: velocidade de movimento, densidade, capacidade térmica,

velocidade reação química, apesar da diferença significativa em seu significado físico, é, do ponto de vista matemático, como é fácil ver, uma e a mesma característica da função correspondente. Todos eles são tipos particulares da chamada taxa de variação de uma função, definida, bem como os conceitos especiais listados, com a ajuda do conceito de limite.

Analisemos, pois, visão geral pergunta sobre a taxa de variação de uma função
, abstraindo do significado físico das variáveis
.

Deixe primeiro
- Função linear:

.

Se a variável independente obtém um incremento
, então a função recebe incremento aqui
. Atitude
permanece constante, independente de qual função é considerada, nem de qual é tomada .

Essa relação é chamada taxa de variação Função linear. Mas se a função não é linear, então a relação

também depende de , e de . Essa razão apenas "em média" caracteriza a função quando a variável independente muda de dada para
; é igual à velocidade de tal função linear, que, dado tem o mesmo incremento
.

Definição.Atitude chamadovelocidade média mudanças de função no intervalo
.

É claro que quanto menor o intervalo considerado, melhor a velocidade média caracteriza a mudança na função, então forçamos tendem a zero. Se ao mesmo tempo houver um limite na velocidade média, então é tomado como medida, a taxa de variação da função para um dado , E é chamada de taxa de variação da função.

Definição. Taxa de mudança de função Vdado ponto é chamado de limite da taxa média de variação de uma função no intervalo indo para zero:

2.2 Função derivada. Taxa de mudança de função

determinado pela seguinte sequência de ações:

1) por incremento , atribuído a este valor , encontre o incremento correspondente da função

;

2) uma relação é elaborada;

3) encontre o limite dessa razão (se existir)

com uma tendência arbitrária para zero.

Como já observado, se esta função não linear

então a relação também depende de , e de . O limite desta relação depende apenas do valor selecionado. e é, portanto, uma função de . Se a função linear, então o limite considerado independe de , ou seja, será um valor constante.

Este limite é chamado derivada de uma função ou simplesmente função derivada e está marcado assim:
.Leia: "curso de ef de » ou "ef prim de".

Definição. derivado desta função é chamado de limite da razão do incremento da função para o incremento da variável independente com uma aspiração arbitrária, este incremento para zero:

.

O valor da derivada de uma função em qualquer ponto dado geralmente denotado
.

Usando a definição introduzida da derivada, podemos dizer que:

1) A velocidade do movimento retilíneo é a derivada de

funções Por (derivada do caminho em relação ao tempo).

2.3 Derivada de uma função potência.

Vamos encontrar derivadas de algumas funções simples.

Deixar
. Nós temos

,

ou seja, derivado
é um valor constante igual a 1. Isso é óbvio, porque - uma função linear e a taxa de variação é constante.

Se
, Que

Deixar
, Então

É fácil notar um padrão nas expressões para derivadas de uma função de potência
no
. Vamos provar que, em geral, a derivada de para qualquer expoente inteiro positivo é igual a
.

.

A expressão no numerador é transformada pela fórmula binomial de Newton :

No lado direito da última igualdade está a soma dos termos, o primeiro dos quais não depende de , e os demais tendem a zero junto com . É por isso

.

Assim, uma função de potência com um número inteiro positivo tem uma derivada igual a:

.

No
as fórmulas derivadas acima seguem da fórmula geral encontrada.

Este resultado é verdadeiro para qualquer indicador, por exemplo:

.

Considere agora separadamente a derivada da constante

.

Como esta função não muda com uma mudança na variável independente, então
. Por isso,

,

T. e. a derivada da constante é zero.

2.4 Significado geométrico da derivada.

função derivada tem um significado geométrico muito simples e claro, que está intimamente relacionado ao conceito de tangente a uma linha.

Definição. Tangente
para a linha
no ponto dela
(Figura 2). é chamada de posição limite da reta que passa pelo ponto, e outro ponto
linhas quando este ponto tende a se fundir com o ponto dado.

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