lar › Avaliações › Os logaritmos são uma explicação simples. Fórmulas de registro

Os logaritmos são uma explicação simples. Fórmulas de registro

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredita? Multar. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver uma aula inteira equações exponenciais. Mesmo que você nunca tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisa saber a tabuada e como um número é elevado a uma potência ...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Ir!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Instrução

Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, sua notação será reduzida e ficará assim: lg b é o logaritmo decimal. Se o logaritmo tiver como base o número e, então a expressão é escrita: ln b é o logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma a uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função, multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário, do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisor, subtrair o produto da derivada do divisor multiplicado pela função divisor e dividir tudo isso pela função divisor ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se uma função complexa é fornecida, é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando o obtido acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Vejamos então alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Também existem tarefas para calcular a derivada em um ponto. Seja dada a função y=e^(x^2+6x+5), você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função no ponto dado y"(1)=8*e^0=8

Vídeos relacionados

Conselho util

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará muito tempo.

Fontes:

derivada constante

Então, qual é a diferença entre uma equação irracional e uma racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal da raiz quadrada, a equação é considerada irracional.

Instrução

O principal método para resolver tais equações é o método de elevar ambos os lados equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, o primeiro passo é se livrar do sinal. Tecnicamente, esse método não é difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ao quadrado ambos os lados, você obtém 2x-5=4x-7. Tal equação não é difícil de resolver; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por que? Substitua a unidade na equação em vez do valor de X. E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Tal valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, esta equação não tem raízes.

Assim, a equação irracional é resolvida usando o método do quadrado de ambas as partes. E tendo resolvido a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2x+vx-3=0
Obviamente, essa equação pode ser resolvida usando a mesma equação da anterior. Compostos de Transferência equações, que não possuem raiz quadrada, para o lado direito e, em seguida, use o método dos quadrados. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vx=y. Assim, você obterá uma equação como 2y2+y-3=0. Ou seja, o normal Equação quadrática. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. Em seguida, resolva dois equações vx=1; vx \u003d -3/2. A segunda equação não tem raízes, da primeira descobrimos que x=1. Não se esqueça da necessidade de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante fácil. Isso requer fazer transformações idênticas até que o objetivo seja alcançado. Assim, com a ajuda das operações aritméticas mais simples, a tarefa será resolvida.

você vai precisar

- papel;
- caneta.

Instrução

As transformações mais simples são as multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), a diferença dos quadrados, a soma (diferença), o cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitas fórmulas trigonométricas que são essencialmente as mesmas identidades.

Com efeito, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais o dobro do produto do primeiro e do segundo mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais de solução

Repita a partir de um livro sobre análise matemática ou matemática superior, que é uma integral definida. Como você sabe, a solução integral definida existe uma função cuja derivada dará um integrando. esta funçãoé chamado de primitivo. De acordo com este princípio, as integrais básicas são construídas.
Determine pela forma do integrando qual das integrais de tabela se encaixa este caso. Nem sempre é possível determinar isso imediatamente. Frequentemente, a forma tabular torna-se perceptível somente após várias transformações para simplificar o integrando.

Método de substituição de variável

Se o integrando for função trigonométrica, cujo argumento é algum polinômio, tente usar o método de substituição de variável. Para fazer isso, substitua o polinômio no argumento do integrando por alguma nova variável. Com base na razão entre a nova e a antiga variável, determine os novos limites de integração. Ao diferenciar essa expressão, encontre uma nova diferencial em . Assim, você obterá uma nova forma da antiga integral, próxima ou mesmo correspondente a qualquer tabular.

Solução de integrais de segundo tipo

Se a integral for uma integral de segundo tipo, a forma vetorial do integrando, você precisará usar as regras para passar dessas integrais para as escalares. Uma dessas regras é a razão Ostrogradsky-Gauss. Essa lei permite passar do fluxo do rotor de alguma função vetorial para uma integral tripla sobre a divergência de um dado campo vetorial.

Substituição de limites de integração

Após encontrar a antiderivada, é necessário substituir os limites de integração. Primeiro, substitua o valor do limite superior na expressão da antiderivada. Você receberá algum número. Em seguida, subtraia do número resultante outro número, o limite inferior resultante da antiderivada. Se um dos limites de integração for infinito, então, ao substituí-lo na função antiderivada, é necessário ir até o limite e encontrar a que tende a expressão.
Se a integral for bidimensional ou tridimensional, você terá que representar os limites geométricos da integração para entender como calcular a integral. De fato, no caso de, digamos, uma integral tridimensional, os limites de integração podem ser planos inteiros que limitam o volume a ser integrado.

Como você sabe, ao multiplicar expressões com potências, seus expoentes sempre somam (a b * a c = a b + c). Essa lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de indicadores inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta posterior dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde é necessário simplificar a multiplicação incômoda para uma adição simples. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Linguagem simples e acessível.

Definição em matemática

O logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo (isto é, qualquer positivo) "b" de acordo com sua base "a" é considerado a potência de "c ", ao qual é necessário elevar a base "a", para que no final obtenha o valor "b". Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que existe uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar um grau tal que de 2 ao grau necessário você obtenha 8. Tendo feito alguns cálculos em sua mente, obtemos o número 3! E com razão, porque 2 elevado a 3 dá o número 8 na resposta.

Variedades de logaritmos

Para muitos alunos e alunos, esse assunto parece complicado e incompreensível, mas na verdade os logaritmos não são tão assustadores, o principal é entender seu significado geral e lembrar de suas propriedades e algumas regras. Há três certos tipos expressões logarítmicas:

Logaritmo natural ln a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
Decimal a, onde a base é 10.
O logaritmo de qualquer número b elevado à base a>1.

Cada um deles é resolvido de maneira padrão, incluindo simplificação, redução e subsequente redução a um logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar de suas propriedades e da ordem das ações em suas decisões.

Regras e algumas restrições

Na matemática, existem várias regras-limitações que são aceitas como axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz de um grau par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente como trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e amplas:

a base "a" deve ser sempre maior que zero, e ao mesmo tempo não ser igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois "1" e "0" em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
se a > 0, então a b > 0, verifica-se que "c" deve ser maior que zero.

Como resolver logaritmos?

Por exemplo, a tarefa foi dada para encontrar a resposta para a equação 10 x \u003d 100. É muito fácil, você precisa escolher tal potência, elevando o número dez para o qual obtemos 100. Isso, claro, é 10 2 \u003d 100.

Agora vamos representar essa expressão como logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar o grau em que a base do logaritmo deve ser inserida para obter um determinado número.

Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você deve aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Se parece com isso:

Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mentalidade técnica e conhecimento da tabuada. No entanto, para grandes valores você precisa de uma tabela de graus. Pode ser usado mesmo por quem não entende nada em tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c, à qual o número a é elevado. Na interseção nas células, são determinados os valores dos números, que são a resposta (a c = b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na interseção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista entenderá!

Equações e desigualdades

Acontece que, sob certas condições, o expoente é o logaritmo. Portanto, qualquer expressão numérica matemática pode ser escrita como uma equação logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de 81 na base 3, que é quatro (log 3 81 = 4). Para potências negativas, as regras são as mesmas: 2 -5 = 1/32 escrevemos como logaritmo, obtemos log 2 (1/32) = -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico "logaritmos". Vamos considerar exemplos e soluções de equações um pouco mais abaixo, logo após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.

Uma expressão da seguinte forma é dada: log 2 (x-1) > 3 - é desigualdade logarítmica, pois o valor desconhecido "x" está sob o sinal do logaritmo. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.

A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo de 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos específicos na resposta, enquanto ao resolver a desigualdade, tanto o intervalo de valores aceitáveis e os pontos quebrando essa função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta da equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Ao resolver tarefas primitivas para encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. No entanto, quando se trata de equações ou inequações logarítmicas, antes de tudo, é necessário entender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Vamos nos familiarizar com exemplos de equações mais tarde, vamos primeiro analisar cada propriedade com mais detalhes.

A identidade básica se parece com isto: a logaB =B. Aplica-se apenas se a for maior que 0, diferente de um, e B for maior que zero.
O logaritmo do produto pode ser representado na seguinte fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Nesse caso, o pré-requisito é: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode dar uma prova para esta fórmula de logaritmos, com exemplos e uma solução. Seja log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2 , então a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obtemos que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de grau ), e ainda por definição: log a (s 1 *s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que deveria ser provado.
O logaritmo do quociente é assim: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
O teorema na forma de uma fórmula assume a seguinte forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula é chamada de "propriedade do grau do logaritmo". Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda a matemática se baseia em postulados regulares. Vejamos a prova.

Deixe log a b \u003d t, acontece um t \u003d b. Se você elevar ambas as partes à potência m: a tn = b n ;

mas como a tn = (a q) nt/q = b n , portanto log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.

Exemplos de problemas e desigualdades

Os tipos mais comuns de problemas de logaritmos são exemplos de equações e inequações. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também estão incluídos na parte obrigatória dos exames de matemática. Para entrar em uma universidade ou passar no vestibular de matemática, você precisa saber como resolver essas tarefas corretamente.

Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo; no entanto, certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Antes de tudo, você deve descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a visão geral. Simplifique por muito tempo expressões logarítmicas Você pode, se usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los em breve.

Ao resolver equações logarítmicas, é necessário determinar que tipo de logaritmo temos diante de nós: um exemplo de expressão pode conter um logaritmo natural ou decimal.

Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que você precisa determinar o grau em que a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para soluções logaritmos naturais deve-se aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.

Como usar fórmulas logarítmicas: com exemplos e soluções

Então, vamos ver exemplos de uso dos principais teoremas em logaritmos.

A propriedade do logaritmo do produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário expandir grande importância números b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, usando a quarta propriedade do grau do logaritmo, conseguimos resolver à primeira vista uma expressão complexa e insolúvel. É necessário apenas fatorar a base e depois tirar os valores dos expoentes do sinal do logaritmo.

Tarefas do exame

Os logaritmos são freqüentemente encontrados em exames de admissão, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados da escola). Geralmente essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a mais fácil parte de teste exame), mas também na parte C (as tarefas mais difíceis e volumosas). O exame implica um conhecimento preciso e perfeito do tópico "Logaritmos naturais".

Exemplos e soluções de problemas são retirados de USE opções. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando um pouco log 2 (2x-1) = 2 2 , pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4 , portanto 2x = 17; x = 8,5.

Todos os logaritmos são melhor reduzidos à mesma base para que a solução não seja incômoda e confusa.
Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, ao retirar o expoente do expoente da expressão, que está sob o sinal do logaritmo e como sua base, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos explicar mais fácil. Por exemplo, \(\log_(2)(8)\) é igual à potência \(2\) que deve ser elevada para obter \(8\). A partir disso, fica claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemplos:	\(\log_(5)(25)=2\)	porque \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	porque \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento e base do logaritmo

Qualquer logaritmo tem a seguinte "anatomia":

O argumento do logaritmo geralmente é escrito em seu nível e a base é escrita em subscrito mais próximo do sinal do logaritmo. E esta entrada é lida assim: "o logaritmo de vinte e cinco na base de cinco".

Como calcular o logaritmo?

Para calcular o logaritmo, você precisa responder à pergunta: até que ponto a base deve ser elevada para obter o argumento?

Por exemplo, calcule o logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A que potência \(4\) deve ser elevada para obter \(16\)? Obviamente o segundo. É por isso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A que potência \(\sqrt(5)\) deve ser elevada para obter \(1\)? E que grau torna qualquer número uma unidade? Zero, claro!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A que potência \(\sqrt(7)\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(7)\)? No primeiro - qualquer número no primeiro grau é igual a si mesmo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A que potência \(3\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(3)\)? De onde sabemos que é uma potência fracionária e, portanto, a raiz quadrada é a potência de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplo : Calcule o logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solução :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Precisamos encontrar o valor do logaritmo, vamos denotá-lo como x. Agora vamos usar a definição do logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Quais links \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Dois, porque ambos os números podem ser representados por dois: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		À esquerda, usamos as propriedades de grau: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cponto n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		As bases são iguais, procedemos à igualdade de indicadores
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplique ambos os lados da equação por \(\frac(2)(5)\)
		A raiz resultante é o valor do logaritmo

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Por que o logaritmo foi inventado?

Para entender isso, vamos resolver a equação: \(3^(x)=9\). Basta combinar \(x\) para fazer a igualdade funcionar. Claro, \(x=2\).

Agora resolva a equação: \(3^(x)=8\) A que x é igual? Essa é a questão.

Os mais engenhosos dirão: "X é um pouco menos que dois". Como exatamente esse número deve ser escrito? Para responder a essa pergunta, eles criaram o logaritmo. Graças a ele, a resposta aqui pode ser escrita como \(x=\log_(3)(8)\).

Quero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), bem como qualquer logaritmo é apenas um número. Sim, parece incomum, mas é curto. Porque se quiséssemos escrevê-lo como um decimal, ficaria assim: \(1.892789260714.....\)

Exemplo : Resolva a equação \(4^(5x-4)=10\)

Solução :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) e \(10\) não podem ser reduzidos à mesma base. Então aqui você não pode prescindir do logaritmo. Vamos usar a definição do logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Vire a equação para que x fique à esquerda
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes de nós. Mova \(4\) para a direita. E não tenha medo do logaritmo, trate-o como um número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divida a equação por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aqui está a nossa raiz. Sim, parece incomum, mas a resposta não é escolhida.

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimais e naturais

Conforme declarado na definição do logaritmo, sua base pode ser qualquer número positivo, exceto para a unidade \((a>0, a\neq1)\). E entre todas as bases possíveis, há duas que ocorrem com tanta frequência que uma notação curta especial foi inventada para logaritmos com elas:

Logaritmo natural: um logaritmo cuja base é o número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), e o logaritmo é escrito como \(\ln(a)\).

Aquilo é, \(\ln(a)\) é o mesmo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: Um logaritmo cuja base é 10 é escrito \(\lg(a)\).

Aquilo é, \(\lg(a)\) é o mesmo que \(\log_(10)(a)\), onde \(a\) é algum número.

Identidade logarítmica básica

Os logaritmos têm muitas propriedades. Um deles é chamado de "Main identidade logarítmica' e fica assim:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propriedade decorre diretamente da definição. Vejamos como surgiu esta fórmula.

Vamos lembrar nota curta definições de logaritmos:

se \(a^(b)=c\), então \(\log_(a)(c)=b\)

Ou seja, \(b\) é o mesmo que \(\log_(a)(c)\). Então podemos escrever \(\log_(a)(c)\) em vez de \(b\) na fórmula \(a^(b)=c\) . Descobriu-se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a principal identidade logarítmica.

Você pode encontrar o restante das propriedades dos logaritmos. Com a ajuda deles, você pode simplificar e calcular os valores das expressões com logaritmos, que são difíceis de calcular diretamente.

Exemplo : Encontre o valor da expressão \(36^(\log_(6)(5))\)

Solução :

Responder : \(25\)

Como escrever um número como um logaritmo?

Como mencionado acima, qualquer logaritmo é apenas um número. O inverso também é verdadeiro: qualquer número pode ser escrito como um logaritmo. Por exemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) é igual a dois. Então você pode escrever \(\log_(2)(4)\) ao invés de dois.

Mas \(\log_(3)(9)\) também é igual a \(2\), então você também pode escrever \(2=\log_(3)(9)\) . Da mesma forma com \(\log_(5)(25)\), e com \(\log_(9)(81)\), etc. Isto é, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Assim, se precisarmos, podemos escrever os dois como um logaritmo com qualquer base em qualquer lugar (mesmo em uma equação, mesmo em uma expressão, mesmo em uma desigualdade) - apenas escrevemos a base ao quadrado como um argumento.

É o mesmo com um triplo - pode ser escrito como \(\log_(2)(8)\), ou como \(\log_(3)(27)\), ou como \(\log_(4)( 64) \) ... Aqui escrevemos a base no cubo como um argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E com quatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E com menos um:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

E com um terço:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualquer número \(a\) pode ser representado como um logaritmo com base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplo : encontre o valor de uma expressão \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solução :

Responder : \(1\)

Com o desenvolvimento da sociedade, a complexidade da produção, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Do método usual de contabilidade de adição e subtração, com sua repetição repetida, eles chegaram ao conceito de multiplicação e divisão. A redução da operação repetida multiplicada tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e o número da exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles, você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.

Contorno histórico

O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação associados à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. As mesas antigas prestaram um grande serviço. Eles possibilitaram a substituição de operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande avanço foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual ele realizou a ideia de muitos matemáticos. Isso possibilitou o uso de tabelas não apenas para graus na forma de números primos, mas também para racionais arbitrários.

Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo essas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo "logaritmo de um número". Novas tabelas complexas foram compiladas para calcular os logaritmos de senos e cossenos, bem como tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.

Novas tabelas começaram a aparecer, que foram usadas com sucesso pelos cientistas para três séculos. Demorou muito antes nova operação na álgebra adquiriu sua forma acabada. O logaritmo foi definido e suas propriedades foram estudadas.

Somente no século 20, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que funcionaram com sucesso ao longo do século 13.

Hoje chamamos o logaritmo de b para base a o número x, que é a potência de a, para obter o número b. Isso é escrito como uma fórmula: x = log a(b).

Por exemplo, log 3(9) será igual a 2. Isso é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.

Assim, a definição formulada coloca apenas uma restrição, os números aeb devem ser reais.

Variedades de logaritmos

A definição clássica é chamada de logaritmo real e é, na verdade, uma solução para a equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Nota: 1 elevado a qualquer potência é 1.

Valor real do logaritmo definido somente se a base e o argumento for maior que 0, e a base não deve ser igual a 1.

Lugar especial no campo da matemática jogar logaritmos, que serão nomeados dependendo do valor de sua base:

Regras e restrições

A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como uma variante desta declaração, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), a função quociente é igual à diferença das funções.

É fácil ver pelas duas regras anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Outras propriedades incluem:

Comente. Não cometa um erro comum - o logaritmo da soma não é igual à soma dos logaritmos.

Por muitos séculos, a operação de encontrar o logaritmo foi uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão em um polinômio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.

Logaritmos com outras bases foram calculados usando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.

Como esse método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos difíceis de implementar, eles usaram tabelas pré-compiladas de logaritmos, o que acelerou muito todo o trabalho.

Em alguns casos, foram utilizados gráficos de logaritmos especialmente compilados, que deram menos precisão, mas aceleraram significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída sobre vários pontos, permite usar a régua usual para encontrar os valores da função em qualquer outro ponto. engenheiros muito tempo para esses fins, foi utilizado o chamado papel quadriculado.

No século XVII, surgiram as primeiras condições de computação analógica auxiliar, que para século XIX adquiriu uma aparência finalizada. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, o que é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.

O advento das calculadoras e computadores tornou inútil o uso de qualquer outro dispositivo.

Equações e desigualdades

As seguintes fórmulas são usadas para resolver várias equações e inequações usando logaritmos:

Transição de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Como consequência da versão anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver inequações, é útil saber:

O valor do logaritmo só será positivo se tanto a base quanto o argumento forem ambos maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
Se a função logarítmica for aplicada aos lados direito e esquerdo da desigualdade e a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade será preservado; caso contrário, ele muda.

Exemplos de tarefas

Considere várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:

Considere a opção de colocar o logaritmo no grau:

Tarefa 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a notação é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como um argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, essa expressão é 3^2. Resposta: como resultado do cálculo, obtemos 9.

Uso pratico

Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece longe de ser Vida real que o logaritmo de repente assumiu grande importância na descrição de objetos mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde ela não seja utilizada. Isso se aplica plenamente não apenas ao natural, mas também aos campos de conhecimento das humanidades.

dependências logarítmicas

Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:

Mecânica e física

Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram usando métodos matemáticos pesquisa e ao mesmo tempo serviu de incentivo para o desenvolvimento da matemática, inclusive dos logaritmos. A teoria da maioria das leis da física é escrita na linguagem da matemática. Damos apenas dois exemplos da descrição das leis físicas usando o logaritmo.

É possível resolver o problema de calcular uma quantidade tão complexa quanto a velocidade de um foguete usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:

V = I * ln(M1/M2), onde

V é a velocidade final da aeronave.
I é o impulso específico do motor.
M 1 é a massa inicial do foguete.
M 2 - massa final.

Outro exemplo importante- este é o uso na fórmula de outro grande cientista, Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.

S = k * ln (Ω), onde

S é uma propriedade termodinâmica.
k é a constante de Boltzmann.
Ω é o peso estatístico de diferentes estados.

Química

Menos óbvio seria o uso de fórmulas em química contendo a razão de logaritmos. Aqui estão apenas dois exemplos:

A equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e a constante de equilíbrio.
O cálculo de tais constantes como o índice de autoprólise e a acidez da solução também não está completo sem nossa função.

psicologia e biologia

E é completamente incompreensível o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por essa função como a razão inversa do valor da intensidade do estímulo para o valor da intensidade mais baixa.

Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema dos logaritmos também seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros podem ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.

Outras áreas

Parece que a existência do mundo é impossível sem conexão com esta função, e ela rege todas as leis. Especialmente quando as leis da natureza estão conectadas com progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos nas seguintes áreas de atividade: