Como resolver sistemas de equações lineares. Sistemas de equações com duas variáveis, soluções

Vamos primeiro relembrar a definição de uma solução para um sistema de equações em duas variáveis.

Definição 1

Um par de números é chamado de solução para um sistema de equações com duas variáveis ​​se, quando elas são substituídas na equação, a igualdade correta é obtida.

A seguir, consideraremos sistemas de duas equações com duas variáveis.

Existir quatro maneiras básicas de resolver sistemas de equações: método de substituição, método de adição, método gráfico, novo método de gerenciamento de variáveis. Vamos dar uma olhada nesses métodos exemplos concretos. Para descrever o princípio de usar os três primeiros métodos, vamos considerar um sistema de dois equações lineares com duas incógnitas:

Método de substituição

O método de substituição é o seguinte: qualquer uma dessas equações é tomada e $y$ é expresso em termos de $x$, então $y$ é substituído na equação do sistema, de onde a variável $x.$ é encontrada. Depois disso, podemos facilmente calcular a variável $y.$

Exemplo 1

Vamos expressar a partir da segunda equação $y$ em termos de $x$:

Substitua na primeira equação e encontre $x$:

\ \ \

Encontrar $y$:

Responder: $(-2,\ 3)$

Método de adição.

Considere este método com um exemplo:

Exemplo 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplicando a segunda equação por 3, obtemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Agora vamos somar as duas equações:

\ \ \

Encontre $y$ na segunda equação:

\[-6-y=-9\] \

Responder: $(-2,\ 3)$

Observação 1

Observe que neste método é necessário multiplicar uma ou ambas as equações por tais números que ao adicionar uma das variáveis ​​"desapareça".

forma gráfica

O método gráfico é o seguinte: ambas as equações do sistema são exibidas no plano de coordenadas e o ponto de sua interseção é encontrado.

Exemplo 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Vamos expressar $y$ de ambas as equações em termos de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Vamos desenhar ambos os gráficos no mesmo plano:

Imagem 1.

Responder: $(-2,\ 3)$

Como introduzir novas variáveis

Vamos considerar esse método no exemplo a seguir:

Exemplo 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Solução.

Este sistema é equivalente ao sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ certo.\]

Seja $2^x=u\ (u>0)$ e $3^y=v\ (v>0)$, obtemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Resolvemos o sistema resultante pelo método da adição. Vamos somar as equações:

\ \

Então, da segunda equação, obtemos que

Voltando à substituição, obtemos novo sistema equações exponenciais:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Nós temos:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Instrução

Método de adição.
Você precisa escrever dois estritamente um sob o outro:

549+45a+4a=-7, 45a+4a=549-7, 49a=542, y=542:49, y≈11.
Em uma equação escolhida arbitrariamente (do sistema), insira o número 11 em vez do "jogo" já encontrado e calcule a segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A resposta deste sistema de equações: x=116, y=11.

Forma gráfica.
Consiste na descoberta prática das coordenadas do ponto em que as retas são escritas matematicamente no sistema de equações. Você deve desenhar gráficos de ambas as linhas separadamente no mesmo sistema de coordenadas. Visão geral: - y \u003d kx + b. Para construir uma linha reta, basta encontrar as coordenadas de dois pontos, e x é escolhido arbitrariamente.
Seja o sistema dado: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Uma linha reta é construída de acordo com a primeira, por conveniência ela precisa ser anotada: y \u003d 2x-4. Invente valores (mais fáceis) para x, substituindo-o na equação, resolvendo-o, encontre y. Dois pontos são obtidos, ao longo dos quais uma linha reta é construída. (veja a foto.)
x 0 1

y -4 -2
Uma linha reta é construída de acordo com a segunda equação: y \u003d -3x + 1.
Também construa uma linha. (veja a foto.)

1-5
Encontre as coordenadas do ponto de interseção de duas linhas construídas no gráfico (se as linhas não se cruzarem, o sistema de equações não possui - então).

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Conselho util

Se o mesmo sistema de equações é resolvido por três jeitos diferentes, a resposta será a mesma (se a solução estiver correta).

Fontes:

• Álgebra 8ª série
• resolver uma equação com duas incógnitas online
• Exemplos de resolução de sistemas de equações lineares com dois

Sistema equaçõesé uma coleção de registros matemáticos, cada um dos quais contém um certo número de variáveis. Existem várias maneiras de resolvê-los.

você vai precisar

• -Régua e lápis;
• -calculadora.

Instrução

Considere a sequência de resolução do sistema, que consiste em equações lineares com a forma: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2. Onde x e y são variáveis ​​desconhecidas e b,c são membros livres. Ao aplicar este método, cada sistema é as coordenadas dos pontos correspondentes a cada equação. Primeiro, em cada caso, expresse uma variável em função da outra. Em seguida, defina a variável x para qualquer número de valores. Dois é o suficiente. Insira na equação e encontre y. Construa um sistema de coordenadas, marque os pontos recebidos nele e desenhe uma linha reta através deles. Cálculos semelhantes devem ser realizados para outras partes do sistema.

O sistema tem uma solução única se as linhas construídas se cruzam e uma ponto comum. É inconsistente se eles são paralelos entre si. E tem infinitas soluções quando as linhas se fundem.

Este método é considerado muito claro. A principal desvantagem é que as incógnitas calculadas têm valores aproximados. Um resultado mais preciso é dado pelos chamados métodos algébricos.

Qualquer solução para um sistema de equações vale a pena conferir. Para fazer isso, substitua os valores obtidos em vez das variáveis. Você também pode encontrar sua solução de várias maneiras. Se a solução do sistema estiver correta, todos devem ser iguais.

Muitas vezes, há equações em que um dos termos é desconhecido. Para resolver uma equação, você precisa se lembrar e realizar um determinado conjunto de ações com esses números.

você vai precisar

• - papel;
• - Caneta ou lápis.

Instrução

Imagine que você tem 8 coelhos à sua frente e apenas 5 cenouras. Pense que você precisa comprar mais cenouras para que cada coelho receba uma cenoura.

Vamos representar esse problema na forma de uma equação: 5 + x = 8. Vamos substituir o número 3 por x. De fato, 5 + 3 = 8.

Ao substituir x por um número, você estava fazendo a mesma operação que subtrair 5 de 8. Portanto, para encontrar desconhecido termo, subtraia o termo conhecido da soma.

Digamos que você tenha 20 coelhos e apenas 5 cenouras. Vamos compor. Uma equação é uma igualdade que vale apenas para certos valores das letras incluídas nela. As letras cujos valores você deseja encontrar são chamadas. Escreva uma equação com uma incógnita, chame-a de x. Ao resolver nosso problema sobre coelhos, a seguinte equação é obtida: 5 + x = 20.

Vamos encontrar a diferença entre 20 e 5. Ao subtrair, o número do qual é subtraído é reduzido. O número que é subtraído é chamado , e o resultado final é chamado de diferença. Assim, x = 20 - 5; x = 15. Você precisa comprar 15 cenouras para coelhos.

Verifique: 5 + 15 = 20. A equação está correta. Claro, quando nós estamos falando sobre tais simples, não é necessário realizar uma verificação. No entanto, quando se trata de equações com três dígitos, quatro dígitos e assim por diante, é imprescindível verificar para ter certeza absoluta do resultado do seu trabalho.

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Conselho util

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Dica 4: Como resolver um sistema de três equações com três incógnitas

Um sistema de três equações com três incógnitas pode não ter soluções, apesar de um número suficiente de equações. Você pode tentar resolvê-lo usando o método de substituição ou usando o método de Cramer. O método de Cramer, além de resolver o sistema, permite avaliar se o sistema é solúvel antes de encontrar os valores das incógnitas.

Instrução

O método da substituição consiste em sequencialmente uma incógnita por duas outras e substituindo o resultado obtido nas equações do sistema. Seja um sistema de três equações dado na forma geral:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Expresse x da primeira equação: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - e substitua na segunda e terceira equações, depois expresse y da segunda equação e substitua na terceira. Você obterá uma expressão linear para z através dos coeficientes das equações do sistema. Agora volte "voltar": insira z na segunda equação e encontre y, depois conecte z e y na primeira equação e encontre x. O processo geralmente é mostrado na figura até que z seja encontrado. Além disso, o registro em forma geral será muito complicado, na prática, substituindo , você pode facilmente encontrar todas as três incógnitas.

O método de Cramer consiste em compilar a matriz do sistema e calcular o determinante desta matriz, bem como mais três matrizes auxiliares. A matriz do sistema é composta pelos coeficientes nas incógnitas das equações. A coluna que contém os números do lado direito das equações, a coluna do lado direito. Não é usado no sistema, mas é usado ao resolver o sistema.

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observação

Todas as equações do sistema devem fornecer informações adicionais independentemente de outras equações. Caso contrário, o sistema estará subdeterminado e não será possível encontrar uma solução inequívoca.

Conselho util

Depois de resolver o sistema de equações, substitua os valores encontrados no sistema original e verifique se eles satisfazem todas as equações.

Por si próprio a equação com três desconhecido tem muitas soluções, portanto, na maioria das vezes, é complementado por mais duas equações ou condições. Dependendo de quais são os dados iniciais, o rumo da decisão dependerá muito.

você vai precisar

• - um sistema de três equações com três incógnitas.

Instrução

Se dois dos três sistemas tiverem apenas duas das três incógnitas, tente expressar algumas variáveis ​​em função das outras e inseri-las em a equação com três desconhecido. Seu objetivo com isso é transformá-lo em um normal a equação com o desconhecido. Se for , a solução adicional é bastante simples - substitua o valor encontrado em outras equações e encontre todas as outras incógnitas.

Alguns sistemas de equações podem ser subtraídos de uma equação por outra. Veja se é possível multiplicar um de por ou uma variável para que duas incógnitas sejam reduzidas de uma só vez. Se houver tal oportunidade, use-a, provavelmente, a decisão subseqüente não será difícil. Não se esqueça que ao multiplicar por um número, você deve multiplicar tanto o lado esquerdo quanto o lado direito. Da mesma forma, ao subtrair equações, lembre-se de que o lado direito também deve ser subtraído.

Se métodos anteriores não ajudou, use o método geral para resolver quaisquer equações com três desconhecido. Para fazer isso, reescreva as equações na forma a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Agora faça uma matriz de coeficientes em x (A), uma matriz de incógnitas (X) e uma matriz de coeficientes livres (B). Preste atenção, multiplicando a matriz de coeficientes pela matriz de incógnitas, você obterá uma matriz, uma matriz de membros livres, ou seja, A * X \u003d B.

Encontre a matriz A à potência (-1) depois de encontrar , observe que ela não deve ser igual a zero. Depois disso, multiplique a matriz resultante pela matriz B, como resultado você obterá a matriz X desejada, indicando todos os valores.

Você também pode encontrar uma solução para um sistema de três equações usando o método de Cramer. Para fazer isso, encontre o determinante de terceira ordem ∆ correspondente à matriz do sistema. Em seguida, encontre sucessivamente mais três determinantes ∆1, ∆2 e ∆3, substituindo os valores dos termos livres em vez dos valores das colunas correspondentes. Agora encontre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fontes:

• soluções de equações com três incógnitas

Começando a resolver um sistema de equações, descubra quais são essas equações. Os métodos de resolução de equações lineares são bem estudados. Equações não lineares geralmente não são resolvidas. Existem apenas casos especiais, cada um dos quais é praticamente individual. Portanto, o estudo dos métodos de solução deve começar com equações lineares. Tais equações podem ser resolvidas mesmo de forma puramente algorítmica.

os denominadores das incógnitas encontradas são exatamente os mesmos. Sim, e os numeradores são visíveis alguns padrões de sua construção. Se a dimensão do sistema de equações fosse maior que dois, o método de eliminação levaria a cálculos muito complicados. Para evitá-los, soluções puramente algorítmicas foram desenvolvidas. O mais simples deles é o algoritmo de Cramer (fórmulas de Cramer). Pois você deveria saber sistema geral equações de n equações.

O sistema de n equações algébricas lineares com n incógnitas tem a forma (ver Fig. 1a). Nela, aij são os coeficientes do sistema,
хj – incógnitas, bi – membros livres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tal sistema pode ser escrito de forma compacta na forma matricial AX=B. Aqui A é a matriz de coeficientes do sistema, X é a matriz coluna de incógnitas, B é a matriz coluna de termos livres (ver Fig. 1b). De acordo com o método de Cramer, cada incógnita xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). O determinante ∆ da matriz de coeficientes é denominado determinante principal, e ∆i é denominado auxiliar. Para cada incógnita, um determinante auxiliar é encontrado substituindo a i-ésima coluna do determinante principal por uma coluna de termos livres. O método de Cramer para o caso de sistemas de segunda e terceira ordem é apresentado em detalhes na Fig. 2.

Um sistema é uma união de duas ou mais igualdades, cada uma com duas ou mais incógnitas. Existem duas maneiras principais de resolver sistemas de equações lineares que são usadas na estrutura currículo escolar. Um deles é chamado de método, o outro é o método de adição.

Forma padrão de um sistema de duas equações

No forma padrão a primeira equação é a1*x+b1*y=c1, a segunda equação é a2*x+b2*y=c2 e assim por diante. Por exemplo, no caso de duas partes do sistema em ambos dados a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns coeficientes numéricos apresentados em equações específicas. Por sua vez, x e y são incógnitas cujos valores precisam ser determinados. Os valores desejados transformam ambas as equações simultaneamente em verdadeiras igualdades.

Solução do sistema pelo método da adição

Para resolver o sistema, ou seja, encontrar os valores de x e y que os transformarão em verdadeiras igualdades, você precisa seguir alguns passos simples. A primeira delas é transformar qualquer uma das equações de tal forma que os coeficientes numéricos para a variável x ou y em ambas as equações coincidam em valor absoluto, mas difiram em sinal.

Por exemplo, seja dado um sistema que consiste em duas equações. A primeira delas tem a forma 2x+4y=8, a segunda tem a forma 6x+2y=6. Uma das opções para completar a tarefa é multiplicar a segunda equação por um fator de -2, o que a levará à forma -12x-4y=-12. A escolha correta do coeficiente é uma das tarefas-chave no processo de resolução do sistema pelo método da adição, pois determina todo o andamento do procedimento para encontrar incógnitas.

Agora é necessário somar as duas equações do sistema. Obviamente, a destruição mútua de variáveis ​​com coeficientes iguais em valor, mas opostos em sinais, a levará à forma -10x=-4. Depois disso, é necessário resolver esta equação simples, da qual resulta inequivocamente que x=0,4.

Último passo no processo de resolução é a substituição do valor encontrado de uma das variáveis ​​em qualquer uma das igualdades iniciais disponíveis no sistema. Por exemplo, substituindo x=0,4 na primeira equação, você pode obter a expressão 2*0,4+4y=8, da qual y=1,8. Assim, x=0,4 e y=1,8 são as raízes do sistema mostrado no exemplo.

Para garantir que as raízes foram encontradas corretamente, é útil verificar substituindo os valores encontrados na segunda equação do sistema. Por exemplo, em este caso obtém-se uma igualdade da forma 0,4*6+1,8*2=6, o que é verdadeiro.

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A resolução de sistemas de equações algébricas lineares (SLAE) é sem dúvida o tópico mais importante do curso de álgebra linear. Um grande número de problemas de todos os ramos da matemática é reduzido à resolução de sistemas de equações lineares. Esses fatores explicam o motivo da criação deste artigo. O material do artigo é selecionado e estruturado para que com sua ajuda você possa

• escolha o método ideal para resolver seu sistema de equações algébricas lineares,
• estudar a teoria do método escolhido,
• resolva o seu sistema de equações lineares, tendo considerado em detalhe as soluções de exemplos e problemas típicos.

Breve descrição do material do artigo.

Primeiro, damos todas as definições e conceitos necessários e introduzimos algumas notações.

A seguir, consideramos métodos para resolver sistemas de equações algébricas lineares em que o número de equações é igual ao número de variáveis ​​desconhecidas e que possuem uma única solução. Primeiro, vamos nos concentrar no método de Cramer, em segundo lugar, mostraremos o método matricial para resolver tais sistemas de equações e, em terceiro lugar, analisaremos o método de Gauss (o método de eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas). Para consolidar a teoria, definitivamente resolveremos vários SLAEs de várias maneiras.

Depois disso, passamos a resolver sistemas de equações algébricas lineares visão geral, em que o número de equações não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas ou a matriz principal do sistema é degenerada. Vamos formular o teorema de Kronecker - Capelli, que nos permite estabelecer a compatibilidade de SLAE. Analisemos a solução de sistemas (no caso de sua compatibilidade) utilizando o conceito de base menor de uma matriz. Também consideraremos o método de Gauss e descreveremos em detalhes as soluções dos exemplos.

Certifique-se de insistir na estrutura da solução geral de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares. Vamos dar o conceito de um sistema fundamental de soluções e mostrar como a solução geral do SLAE é escrita usando os vetores do sistema fundamental de soluções. Para um melhor entendimento, vejamos alguns exemplos.

Em conclusão, consideramos sistemas de equações que se reduzem a lineares, bem como vários problemas, em cuja solução surgem os SLAEs.

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Definições, conceitos, designações.

Vamos considerar sistemas de p equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas (p pode ser igual a n ) da forma

Variáveis ​​desconhecidas, - coeficientes (alguns números reais ou complexos), - membros livres (também números reais ou complexos).

Esta forma de SLAE é chamada coordenada.

EM forma de matriz este sistema de equações tem a forma ,
Onde - a matriz principal do sistema, - a matriz-coluna de variáveis ​​desconhecidas, - a matriz-coluna de membros livres.

Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a matriz-coluna de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é indicada pela letra T e a coluna de termos livres é separada por Linha vertical do resto das colunas, ou seja,

Resolvendo um sistema de equações algébricas lineares chamado de conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas, que transforma todas as equações do sistema em identidades. A equação da matriz para os valores dados das variáveis ​​desconhecidas também se transforma em uma identidade.

Se um sistema de equações tem pelo menos uma solução, então ele é chamado articulação.

Se o sistema de equações não tem soluções, então ele é chamado incompatível.

Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo; se houver mais de uma solução, então - incerto.

Se os termos livres de todas as equações do sistema forem iguais a zero , então o sistema é chamado homogêneo, de outra forma - heterogêneo.

Solução de sistemas elementares de equações algébricas lineares.

Se o número de equações do sistema for igual ao número de variáveis ​​​​desconhecidas e o determinante de sua matriz principal não for igual a zero, chamaremos tais SLAEs elementar. Tais sistemas de equações têm solução única e, no caso de um sistema homogêneo, todas as variáveis ​​desconhecidas são iguais a zero.

Começamos a estudar tais SLAEs em ensino médio. Ao resolvê-los, pegamos uma equação, expressamos uma variável desconhecida em termos de outras e a substituímos nas equações restantes, depois pegamos a próxima equação, expressamos a próxima variável desconhecida e a substituímos em outras equações e assim por diante. Ou usaram o método da adição, ou seja, adicionaram duas ou mais equações para eliminar algumas variáveis ​​desconhecidas. Não vamos nos deter nesses métodos em detalhes, pois são essencialmente modificações do método de Gauss.

Os principais métodos de resolução de sistemas elementares de equações lineares são o método de Cramer, o método das matrizes e o método de Gauss. Vamos resolvê-los.

Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Cramer.

Precisamos resolver um sistema de equações algébricas lineares

em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, ou seja, .

Seja o determinante da matriz principal do sistema, e são determinantes de matrizes que são obtidas de A substituindo 1º, 2º, …, nº coluna respectivamente para a coluna de membros livres:

Com tal notação, as variáveis ​​desconhecidas são calculadas pelas fórmulas do método de Cramer como . É assim que a solução de um sistema de equações algébricas lineares é encontrada pelo método de Cramer.

Exemplo.

método Cramer .

Solução.

A matriz principal do sistema tem a forma . Calcule seu determinante (se necessário, consulte o artigo):

Como o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, o sistema possui uma solução única que pode ser encontrada pelo método de Cramer.

Componha e calcule os determinantes necessários (o determinante é obtido substituindo a primeira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres, o determinante - substituindo a segunda coluna por uma coluna de membros livres, - substituindo a terceira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres ):

Encontrar variáveis ​​desconhecidas usando fórmulas :

Responder:

A principal desvantagem do método de Cramer (se é que pode ser chamada de desvantagem) é a complexidade do cálculo dos determinantes quando o número de equações do sistema é maior que três.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial (utilizando a matriz inversa).

Seja o sistema de equações algébricas lineares dado na forma matricial , onde a matriz A tem dimensão n por n e seu determinante é diferente de zero.

Como , então a matriz A é invertível, ou seja, existe uma matriz inversa . Se multiplicarmos ambas as partes da igualdade por à esquerda, obteremos uma fórmula para encontrar a matriz coluna de variáveis ​​desconhecidas. Assim, obtivemos a solução do sistema de equações algébricas lineares pelo método matricial.

Exemplo.

Resolver o Sistema de Equações Lineares método matricial.

Solução.

Vamos reescrever o sistema de equações na forma matricial:

Porque

então o SLAE pode ser resolvido pelo método matricial. Usando a matriz inversa, a solução para este sistema pode ser encontrada como .

Vamos construir uma matriz inversa usando uma matriz de complementos algébricos dos elementos da matriz A (se necessário, consulte o artigo):

Resta calcular - a matriz de variáveis ​​desconhecidas multiplicando a matriz inversa na coluna da matriz de membros gratuitos (se necessário, consulte o artigo):

Responder:

ou em outra notação x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

O principal problema em encontrar soluções para sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial é a complexidade de encontrar a matriz inversa, principalmente para matrizes quadradas de ordem superior a terceira.

Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss.

Suponha que precisamos encontrar uma solução para um sistema de n equações lineares com n variáveis ​​desconhecidas
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.

A essência do método de Gauss consiste na exclusão sucessiva de variáveis ​​desconhecidas: primeiro, x 1 é excluído de todas as equações do sistema, a partir da segunda, depois x 2 é excluído de todas as equações, a partir da terceira, e assim por diante, até que apenas a variável desconhecida x n permanece na última equação. Tal processo de transformação das equações do sistema para a eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas é chamado método direto de Gauss. Após a conclusão do avanço do método Gaussiano, x n é encontrado a partir da última equação, x n-1 é calculado a partir da penúltima equação usando este valor e assim por diante, x 1 é encontrado a partir da primeira equação. O processo de cálculo de variáveis ​​desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é chamado método de Gauss reverso.

Vamos descrever brevemente o algoritmo para eliminar variáveis ​​desconhecidas.

Assumiremos que , pois sempre podemos conseguir isso rearranjando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma

onde um .

Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis ​​desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.

A seguir, agimos da mesma forma, mas apenas com uma parte do sistema resultante, marcada na figura

Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma

onde um . Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.

Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura

Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma

A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.

Exemplo.

Resolver o Sistema de Equações Lineares método Gaussiano.

Solução.

Vamos excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, para ambas as partes da segunda e terceira equações, adicionamos as partes correspondentes da primeira equação, multiplicadas por e por, respectivamente:

Agora excluímos x 2 da terceira equação adicionando às suas partes esquerda e direita as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicado por:

Com isso, o curso de avanço do método de Gauss é concluído, iniciamos o curso reverso.

Da última equação do sistema de equações resultante, encontramos x 3:

Da segunda equação obtemos .

Da primeira equação encontramos a variável desconhecida restante e isso completa o curso inverso do método de Gauss.

Responder:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

No caso geral, o número de equações do sistema p não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas n:

Tais SLAEs podem não ter soluções, ter uma única solução ou ter infinitas soluções. Esta afirmação também se aplica a sistemas de equações cuja matriz principal é quadrada e degenerada.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar uma solução para um sistema de equações lineares, é necessário estabelecer sua compatibilidade. A resposta à pergunta quando o SLAE é compatível e quando é incompatível dá Teorema de Kronecker-Capelli:
para que um sistema de p equações com n incógnitas (p pode ser igual a n ) seja consistente é necessário e suficiente que o posto da matriz principal do sistema seja igual ao posto da matriz estendida, ou seja, Rank( A)=Classificação(T) .

Vamos considerar a aplicação do teorema de Kronecker-Cappelli para determinar a compatibilidade de um sistema de equações lineares como exemplo.

Exemplo.

Descubra se o sistema de equações lineares tem soluções.

Solução.

. Usemos o método dos menores limítrofes. Menor de segunda ordem diferente de zero. Vamos examinar os menores de terceira ordem que o cercam:

Como todos os menores de terceira ordem limítrofes são iguais a zero, o posto da matriz principal é dois.

Por sua vez, o posto da matriz aumentada é igual a três, pois o menor de terceira ordem

diferente de zero.

Por isso, Rang(A) , portanto, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que o sistema original de equações lineares é inconsistente.

Responder:

Não há sistema de solução.

Assim, aprendemos a estabelecer a inconsistência do sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.

Mas como encontrar a solução do SLAE se sua compatibilidade está estabelecida?

Para fazer isso, precisamos do conceito de base menor de uma matriz e do teorema sobre o posto de uma matriz.

O menor de maior ordem da matriz A, diferente de zero, é chamado básico.

Segue-se da definição da base menor que sua ordem é igual ao posto da matriz. Para uma matriz A diferente de zero, pode haver vários menores básicos; sempre há um menor básico.

Por exemplo, considere a matriz .

Todos os menores de terceira ordem desta matriz são iguais a zero, pois os elementos da terceira linha desta matriz são a soma dos elementos correspondentes da primeira e segunda linhas.

Os seguintes menores de segunda ordem são básicos, pois são diferentes de zero

menores não são básicos, pois são iguais a zero.

Teorema do posto da matriz.

Se o posto de uma matriz de ordem p por n é r, então todos os elementos das linhas (e colunas) da matriz que não formam a base menor escolhida são expressos linearmente em termos dos elementos correspondentes das linhas (e colunas) ) que formam a base menor.

O que o teorema do posto da matriz nos dá?

Se, pelo teorema de Kronecker-Capelli, estabelecemos a compatibilidade do sistema, então escolhemos qualquer menor básico da matriz principal do sistema (sua ordem é igual a r), e excluímos do sistema todas as equações que não formam o menor básico escolhido. O SLAE obtido desta forma será equivalente ao original, uma vez que as equações descartadas ainda são redundantes (segundo o teorema do posto da matriz, são uma combinação linear das demais equações).

Como resultado, após descartar as equações excessivas do sistema, dois casos são possíveis.

Se o número de equações r no sistema resultante for igual ao número de variáveis ​​desconhecidas, ele será definido e a única solução poderá ser encontrada pelo método de Cramer, pelo método das matrizes ou pelo método de Gauss.

Exemplo.

.

Solução.

Posto da matriz principal do sistema é igual a dois, pois o menor de segunda ordem diferente de zero. Classificação da matriz estendida também é igual a dois, pois o único menor de terceira ordem é igual a zero

e o menor da segunda ordem considerada acima é diferente de zero. Com base no teorema de Kronecker-Capelli, pode-se afirmar a compatibilidade do sistema original de equações lineares, pois Rank(A)=Rank(T)=2 .

Como base menor, tomamos . É formado pelos coeficientes da primeira e segunda equações:


A terceira equação do sistema não participa da formação do menor básico, então a excluímos do sistema com base no teorema do posto da matriz:


Assim, obtivemos um sistema elementar de equações algébricas lineares. Vamos resolver pelo método de Cramer:


Responder:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Se o número de equações r no SLAE resultante menos que o número variáveis ​​desconhecidas n, então no lado esquerdo das equações deixamos os termos que formam o menor básico e transferimos os termos restantes para o lado direito das equações do sistema com o sinal oposto.

As variáveis ​​desconhecidas (existem r delas) que permanecem nos lados esquerdos das equações são chamadas principal.

Variáveis ​​desconhecidas (existem n - r delas) que acabaram no lado direito são chamadas livre.

Agora assumimos que as variáveis ​​incógnitas livres podem assumir valores arbitrários, enquanto as r variáveis ​​incógnitas principais serão expressas em termos das variáveis ​​incógnitas livres de uma forma única. Sua expressão pode ser encontrada resolvendo o SLAE resultante pelo método de Cramer, o método da matriz ou o método de Gauss.

Vamos dar um exemplo.

Exemplo.

Resolver o sistema de equações algébricas lineares .

Solução.

Encontre o posto da matriz principal do sistema pelo método dos menores limítrofes. Tomemos a 1 1 = 1 como um menor de primeira ordem diferente de zero. Vamos começar a procurar por um menor de segunda ordem diferente de zero em torno deste menor:


Então encontramos um menor diferente de zero de segunda ordem. Vamos começar a procurar por um menor de terceira ordem diferente de zero:


Assim, o posto da matriz principal é três. A classificação da matriz aumentada também é igual a três, ou seja, o sistema é consistente.

O menor diferente de zero encontrado de terceira ordem será tomado como o básico.

Para maior clareza, mostramos os elementos que formam a base menor:


Deixamos os termos participantes do menor básico no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos o restante com sinais opostos para os lados direitos:


Damos às variáveis ​​desconhecidas livres x 2 e x 5 valores arbitrários, ou seja, tomamos , onde são números arbitrários. Neste caso, o SLAE toma a forma


Resolvemos o sistema elementar obtido de equações algébricas lineares pelo método de Cramer:


Por isso, .

Na resposta, não se esqueça de indicar variáveis ​​desconhecidas livres.

Responder:

Onde estão os números arbitrários.

Resumir.

Para resolver um sistema de equações algébricas lineares de forma geral, primeiro descobrimos sua compatibilidade usando o teorema de Kronecker-Capelli. Se o posto da matriz principal não for igual ao posto da matriz estendida, concluímos que o sistema é inconsistente.

Se o posto da matriz principal for igual ao posto da matriz estendida, então escolhemos o menor básico e descartamos as equações do sistema que não participam da formação do menor básico escolhido.

Se a ordem da base menor for igual ao número de variáveis ​​desconhecidas, então o SLAE tem uma solução única, que pode ser encontrada por qualquer método conhecido por nós.

Se a ordem da base menor for menor que o número de variáveis ​​​​desconhecidas, deixamos os termos com as principais variáveis ​​​​desconhecidas no lado esquerdo das equações do sistema, transferimos os termos restantes para os lados direitos e atribuímos valores arbitrários ​às variáveis ​​desconhecidas livres. A partir do sistema de equações lineares resultante, encontramos as principais incógnitas pelo método de Cramer, pelo método das matrizes ou pelo método de Gauss.

Método de Gauss para resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

Usando o método de Gauss, pode-se resolver sistemas de equações algébricas lineares de qualquer tipo sem sua investigação preliminar de compatibilidade. O processo de eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas permite tirar uma conclusão tanto sobre a compatibilidade como sobre a inconsistência do SLAE e, caso exista uma solução, permite encontrá-la.

Do ponto de vista do trabalho computacional, o método gaussiano é preferível.

Assista descrição detalhada e exemplos analisados ​​no artigo Método de Gauss para resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

Registo da solução geral de sistemas algébricos lineares homogéneos e não homogéneos utilizando os vectores do sistema fundamental de soluções.

Nesta seção, vamos nos concentrar em sistemas conjuntos homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares que possuem um número infinito de soluções.

Vamos lidar primeiro com sistemas homogêneos.

Sistema de decisão fundamental Um sistema homogêneo de p equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas é um conjunto de (n – r) soluções linearmente independentes desse sistema, onde r é a ordem da base menor da matriz principal do sistema.

Se designarmos soluções linearmente independentes de um SLAE homogêneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) são matrizes colunas de dimensão n por 1 ) , então a solução geral desse sistema homogêneo é representada como uma combinação linear de vetores do sistema fundamental de soluções com coeficientes constantes arbitrários С 1 , С 2 , …, С (n-r), ou seja, .

O que significa o termo solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares (oroslau)?

O significado é simples: a fórmula define tudo soluções possíveis o SLAE original, ou seja, tomando qualquer conjunto de valores de constantes arbitrárias С 1 , С 2 , …, С (n-r) , de acordo com a fórmula obtemos uma das soluções do SLAE homogêneo original.

Assim, se encontrarmos um sistema fundamental de soluções, podemos definir todas as soluções desse SLAE homogêneo como .

Vamos mostrar o processo de construção de um sistema fundamental de soluções para um SLAE homogêneo.

Escolhemos o menor básico do sistema original de equações lineares, excluímos todas as outras equações do sistema e transferimos para o lado direito das equações do sistema com sinais opostos todos os termos contendo variáveis ​​desconhecidas livres. Vamos dar incógnitas grátis valores variáveis 1,0,0,…,0 e calcule as principais incógnitas resolvendo o sistema elementar resultante de equações lineares de qualquer maneira, por exemplo, pelo método de Cramer. Assim, será obtido X(1) - a primeira solução do sistema fundamental. Se dermos às incógnitas livres os valores 0,1,0,0,…,0 e calcularmos as incógnitas principais, obtemos X (2) . E assim por diante. Se dermos às variáveis ​​​​desconhecidas livres os valores 0,0,…,0,1 e calcularmos as principais incógnitas, obteremos X (n-r) . Assim será construído o sistema fundamental de soluções do SLAE homogêneo e sua solução geral poderá ser escrita na forma .

Para sistemas não homogêneos de equações algébricas lineares, a solução geral é representada como

Vejamos exemplos.

Exemplo.

Encontre o sistema fundamental de soluções e a solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares .

Solução.

O posto da matriz principal de sistemas homogêneos de equações lineares é sempre igual ao posto da matriz estendida. Vamos encontrar o posto da matriz principal pelo método de franjas menores. Como um menor diferente de zero de primeira ordem, tomamos o elemento a 1 1 = 9 da matriz principal do sistema. Encontre o menor não nulo limítrofe de segunda ordem:

Encontra-se um menor de segunda ordem, diferente de zero. Vamos percorrer os menores de terceira ordem que o limitam em busca de um diferente de zero:

Todos os menores limítrofes da terceira ordem são iguais a zero, portanto, a classificação da matriz principal e estendida é dois. Vamos pegar o menor básico. Para maior clareza, notamos os elementos do sistema que o formam:

A terceira equação do SLAE original não participa da formação do menor básico, portanto, pode ser excluída:

Deixamos os termos contendo as principais incógnitas nos lados direitos das equações e transferimos os termos com incógnitas livres para os lados direitos:

Vamos construir um sistema fundamental de soluções para o sistema homogêneo original de equações lineares. O sistema fundamental de soluções deste SLAE consiste em duas soluções, pois o SLAE original contém quatro variáveis ​​desconhecidas, e a ordem de sua menor básica é dois. Para encontrar X (1), damos às variáveis ​​​​desconhecidas livres os valores x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 e, a seguir, encontramos as principais incógnitas do sistema de equações
.

1. Método de substituição: a partir de qualquer equação do sistema, expressamos uma incógnita em termos de outra e a substituímos na segunda equação do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Da primeira equação do sistema, expressamos no através x e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema equivalente ao original.

Após trazer tais termos, o sistema ficará da seguinte forma:

Da segunda equação encontramos: . Substituindo esse valor na equação no = 2 - 2x, Nós temos no= 3. Portanto, a solução deste sistema é um par de números.

2. Método de adição algébrica: somando duas equações, obtém uma equação com uma variável.

Tarefa. Resolva a equação do sistema:

Solução. Multiplicando ambos os lados da segunda equação por 2, obtemos o sistema equivalente ao original. Somando as duas equações desse sistema, chegamos ao sistema

Depois de reduzir os termos semelhantes, esse sistema assumirá a forma: Da segunda equação encontramos . Substituindo este valor na Equação 3 x + 4no= 5, obtemos , onde . Portanto, a solução desse sistema é um par de números.

3. Método para introduzir novas variáveis: procuramos algumas expressões repetidas no sistema, que denotaremos por novas variáveis, simplificando assim a forma do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Vamos escrever este sistema de forma diferente:

Deixar x + y = você, hein = v. Então obtemos o sistema

Vamos resolvê-lo pelo método da substituição. Da primeira equação do sistema, expressamos você através v e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema aqueles.

Da segunda equação do sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Substituindo esses valores na equação você = 5 - v, Nós temos você 1 = 3,
você 2 = 2. Então temos dois sistemas

Resolvendo o primeiro sistema, obtemos dois pares de números (1; 2), (2; 1). O segundo sistema não tem soluções.

Exercícios para trabalho independente

1. Resolver sistemas de equações usando o método de substituição.

Conteúdo da lição

Equações Lineares com Duas Variáveis

O aluno tem 200 rublos para almoçar na escola. Um bolo custa 25 rublos e uma xícara de café custa 10 rublos. Quantos bolos e xícaras de café você pode comprar por 200 rublos?

Denote o número de bolos através x, e o número de xícaras de café por y. Então o custo dos bolos será denotado pela expressão 25 x, e o custo das xícaras de café em 10 y .

25x- preço x bolos
10y- preço y copos de café

O valor total deve ser de 200 rublos. Então obtemos uma equação com duas variáveis x E y

25x+ 10y= 200

Quantas raízes tem essa equação?

Tudo depende do apetite do aluno. Se ele comprar 6 bolos e 5 xícaras de café, as raízes da equação serão os números 6 e 5.

Diz-se que o par de valores 6 e 5 são as raízes da Equação 25 x+ 10y= 200 . Escrito como (6; 5) , sendo o primeiro número o valor da variável x, e o segundo - o valor da variável y .

6 e 5 não são as únicas raízes que invertem a Equação 25 x+ 10y= 200 para identidade. Se desejar, pelos mesmos 200 rublos, o aluno pode comprar 4 bolos e 10 xícaras de café:

Neste caso, as raízes da equação 25 x+ 10y= 200 é o par de valores (4; 10).

Além disso, um aluno pode não comprar café, mas comprar bolos por todos os 200 rublos. Então as raízes da equação 25 x+ 10y= 200 serão os valores 8 e 0

Ou vice-versa, não compre bolos, mas compre café por todos os 200 rublos. Então as raízes da equação 25 x+ 10y= 200 serão os valores 0 e 20

Vamos tentar listar todas as raízes possíveis da equação 25 x+ 10y= 200 . Convenhamos que os valores x E y pertencem ao conjunto dos inteiros. E que esses valores sejam maiores ou iguais a zero:

x∈Z,y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Portanto, será conveniente para o próprio aluno. É mais conveniente comprar bolos inteiros do que, por exemplo, vários bolos inteiros e meio bolo. O café também é mais conveniente para tomar em xícaras inteiras do que, por exemplo, várias xícaras inteiras e meia xícara.

Note que para ímpar xé impossível alcançar a igualdade sob qualquer y. então os valores x haverá os seguintes números 0, 2, 4, 6, 8. E sabendo x pode ser facilmente determinado y

Assim, obtemos os seguintes pares de valores (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Esses pares são soluções ou raízes da Equação 25 x+ 10y= 200. Eles transformam essa equação em uma identidade.

Tipo de equação machado + por = c chamado equação linear com duas variáveis. Uma solução ou raízes desta equação é um par de valores ( x; y), que o transforma em uma identidade.

Observe também que se uma equação linear com duas variáveis ​​for escrita como ax + por y = c , então eles dizem que está escrito em canônico forma (normal).

Algumas equações lineares em duas variáveis ​​podem ser reduzidas à forma canônica.

Por exemplo, a equação 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) pode ser trazido à mente machado + por = c. Vamos abrir os parênteses em ambas as partes desta equação, obtemos 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Os termos contendo incógnitas são agrupados no lado esquerdo da equação, e os termos livres de incógnitas são agrupados no lado direito. Então nós pegamos 32x- 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Trazemos termos semelhantes em ambas as partes, obtemos a equação 16 x+ 8y= 32. Esta equação é reduzida à forma machado + por = c e é canônico.

Equação 25 considerada anteriormente x+ 10y= 200 também é uma equação linear de duas variáveis ​​na forma canônica. Nesta equação, os parâmetros a , b E c são iguais aos valores 25, 10 e 200, respectivamente.

Na verdade a equação machado + por = c tem um número infinito de soluções. Resolvendo a equação 25x+ 10y= 200, procuramos suas raízes apenas no conjunto dos inteiros. Como resultado, obtivemos vários pares de valores que transformaram essa equação em uma identidade. Mas no conjunto dos números racionais a equação 25 x+ 10y= 200 terá um número infinito de soluções.

Para obter novos pares de valores, você precisa obter um valor arbitrário para x, então expresse y. Por exemplo, vamos pegar uma variável x valor 7. Em seguida, obtemos uma equação com uma variável 25×7 + 10y= 200 em que expressar y

Deixar x= 15 . Então a equação 25x+ 10y= 200 torna-se 25 × 15 + 10y= 200. A partir daqui descobrimos que y = −17,5

Deixar x= −3 . Então a equação 25x+ 10y= 200 torna-se 25 × (-3) + 10y= 200. A partir daqui descobrimos que y = −27,5

Sistema de duas equações lineares com duas variáveis

Para a equação machado + por = c você pode tomar qualquer número de vezes valores arbitrários para x e encontrar valores para y. Tomado separadamente, tal equação terá um número infinito de soluções.

Mas também acontece que as variáveis x E y conectados não por uma, mas por duas equações. Neste caso, eles formam os chamados sistema de equações lineares com duas variáveis. Tal sistema de equações pode ter um par de valores (ou em outras palavras: “uma solução”).

Também pode acontecer que o sistema não tenha nenhuma solução. Um sistema de equações lineares pode ter um número infinito de soluções em casos raros e excepcionais.

Duas equações lineares formam um sistema quando os valores x E y estão incluídos em cada uma dessas equações.

Vamos voltar para a primeira equação 25 x+ 10y= 200 . Um dos pares de valores para esta equação foi o par (6; 5). É o caso quando 200 rublos podem comprar 6 bolos e 5 xícaras de café.

Vamos compor o problema de forma que o par (6; 5) se torne a única solução para a Equação 25 x+ 10y= 200 . Para fazer isso, compomos outra equação que conectaria o mesmo x bolos e y copos de café.

Vamos colocar o texto da tarefa da seguinte forma:

“Um estudante comprou vários bolos e várias xícaras de café por 200 rublos. Um bolo custa 25 rublos e uma xícara de café custa 10 rublos. Quantos bolos e xícaras de café o aluno comprou sabendo que o número de bolos é um a mais do que o número de xícaras de café?

Já temos a primeira equação. Esta é a equação 25 x+ 10y= 200 . Agora vamos escrever uma equação para a condição "o número de bolos é uma unidade a mais do que o número de xícaras de café" .

O número de bolos é x, e o número de xícaras de café é y. Você pode escrever esta frase usando a equação x − y= 1. Esta equação significaria que a diferença entre bolos e café é 1.

x=y+1 . Esta equação significa que o número de bolos é um a mais do que o número de xícaras de café. Portanto, para obter a igualdade, adiciona-se um ao número de xícaras de café. Isso pode ser facilmente entendido se usarmos o modelo de peso que consideramos ao estudar os problemas mais simples:

Tenho duas equações: 25 x+ 10y= 200 e x=y+ 1. Uma vez que os valores x E y, ou seja, 6 e 5 estão incluídos em cada uma dessas equações, então juntos eles formam um sistema. Vamos escrever este sistema. Se as equações formam um sistema, elas são enquadradas pelo sinal do sistema. O sinal do sistema é uma chave:

Vamos resolver este sistema. Isso nos permitirá ver como chegamos aos valores 6 e 5. Existem muitos métodos para resolver esses sistemas. Considere o mais popular deles.

Método de Substituição

O nome deste método fala por si. Sua essência é substituir uma equação por outra, tendo previamente expressado uma das variáveis.

Em nosso sistema, nada precisa ser expresso. Na segunda equação x = y+ 1 variável x já expresso. Esta variável é igual à expressão y+1 . Então você pode substituir esta expressão na primeira equação em vez da variável x

Depois de substituir a expressão y+ 1 na primeira equação em vez disso x, obtemos a equação 25(y+ 1) + 10y= 200 . Esta é uma equação linear com uma variável. Essa equação é bem fácil de resolver:

Encontramos o valor da variável y. Agora, substituímos esse valor em uma das equações e encontramos o valor x. Para isso, é conveniente usar a segunda equação x = y+1 . Vamos colocar o valor nisso y

Portanto, o par (6; 5) é uma solução do sistema de equações, como pretendíamos. Verificamos e garantimos que o par (6; 5) satisfaz o sistema:

Exemplo 2

Substitua a primeira equação x= 2 + y na segunda equação 3 x- 2y= 9 . Na primeira equação, a variável xé igual à expressão 2 + y. Substituímos esta expressão na segunda equação em vez de x

Agora vamos achar o valor x. Para fazer isso, substitua o valor y na primeira equação x= 2 + y

Então a solução do sistema é o valor do par (5; 3)

Exemplo 3. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da substituição:

Aqui, ao contrário dos exemplos anteriores, uma das variáveis ​​não é explicitamente expressa.

Para substituir uma equação em outra, primeiro você precisa de .

É desejável expressar a variável que tem um coeficiente de um. A unidade de coeficiente tem uma variável x, que está contido na primeira equação x+ 2y= 11 . Vamos expressar esta variável.

Depois de uma expressão variável x, nosso sistema ficará assim:

Agora substituímos a primeira equação na segunda e encontramos o valor y

Substituto y x

Então a solução do sistema é um par de valores (3; 4)

Claro, você também pode expressar uma variável y. As raízes não mudarão. Mas se você expressar sim, o resultado não é uma equação muito simples, cuja solução levará mais tempo. Isso parecerá assim:

Vemos isso em este exemplo expressar x muito mais conveniente do que expressar y .

Exemplo 4. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da substituição:

Expresse na primeira equação x. Então o sistema terá a forma:

y

Substituto y na primeira equação e encontre x. Você pode usar a equação original 7 x+ 9y= 8 , ou use a equação na qual a variável é expressa x. Usaremos esta equação, pois é conveniente:

Então a solução do sistema é o par de valores (5; −3)

método de adição

O método da adição consiste em somar termo a termo as equações incluídas no sistema. Essa adição resulta em uma nova equação de uma variável. E é bem fácil resolver essa equação.

Vamos resolver o seguinte sistema de equações:

Adicione o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação. E o lado direito da primeira equação com o lado direito da segunda equação. Obtemos a seguinte igualdade:

Aqui estão termos semelhantes:

Como resultado, obtivemos a equação mais simples 3 x= 27 cuja raiz é 9. Conhecendo o valor x você pode encontrar o valor y. Substitua o valor x na segunda equação x − y= 3 . Obtemos 9 − y= 3 . Daqui y= 6 .

Então a solução do sistema é um par de valores (9; 6)

Exemplo 2

Adicione o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação. E o lado direito da primeira equação com o lado direito da segunda equação. Na igualdade resultante, apresentamos termos semelhantes:

Como resultado, obtivemos a equação mais simples 5 x= 20, cuja raiz é 4. Conhecendo o valor x você pode encontrar o valor y. Substitua o valor x na primeira equação 2 x+y= 11 . Vamos obter 8 + y= 11 . Daqui y= 3 .

Então a solução do sistema é o par de valores (4;3)

O processo de adição não é descrito em detalhes. Tem que ser feito na mente. Ao adicionar, ambas as equações devem ser reduzidas à forma canônica. Isto é, para a mente ac+by=c .

A partir dos exemplos considerados, pode-se ver que o objetivo principal de adicionar equações é livrar-se de uma das variáveis. Mas nem sempre é possível resolver imediatamente o sistema de equações pelo método da adição. Na maioria das vezes, o sistema é preliminarmente levado a uma forma na qual é possível adicionar as equações incluídas nesse sistema.

Por exemplo, o sistema pode ser resolvido diretamente pelo método da adição. Ao somar ambas as equações, os termos y E −y desaparecem porque sua soma é zero. Como resultado, a equação mais simples é formada 11 x= 22 , cuja raiz é 2. Então será possível determinar y igual a 5.

E o sistema de equações o método da adição não pode ser resolvido imediatamente, pois isso não levará ao desaparecimento de uma das variáveis. A adição resultará na Equação 8 x+ y= 28 , que tem um número infinito de soluções.

Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas por um mesmo número diferente de zero, obter-se-á uma equação equivalente à dada. Esta regra também é válida para um sistema de equações lineares com duas variáveis. Uma das equações (ou ambas as equações) pode ser multiplicada por algum número. O resultado é um sistema equivalente, cujas raízes coincidirão com o anterior.

Voltemos ao primeiro sistema, que descrevia quantos bolos e xícaras de café o aluno comprou. A solução desse sistema foi um par de valores (6; 5).

Multiplicamos ambas as equações incluídas neste sistema por alguns números. Digamos que multipliquemos a primeira equação por 2 e a segunda por 3

O resultado é um sistema
A solução desse sistema ainda é o par de valores (6; 5)

Isso significa que as equações incluídas no sistema podem ser reduzidas a uma forma adequada para a aplicação do método de adição.

De volta ao sistema , que não conseguimos resolver pelo método da adição.

Multiplique a primeira equação por 6 e a segunda por -2

Obtemos então o seguinte sistema:

Nós adicionamos as equações incluídas neste sistema. Adição de componentes 12 x e -12 x resultará em 0, soma 18 y e 4 y vai dar 22 y, e adicionando 108 e -20 dá 88. Então você obtém a equação 22 y= 88 , portanto y = 4 .

Se no início for difícil adicionar equações em sua mente, você pode escrever como o lado esquerdo da primeira equação é adicionado ao lado esquerdo da segunda equação e o lado direito da primeira equação ao lado direito da a segunda equação:

Sabendo que o valor da variável yé 4, você pode encontrar o valor x. Substituto y em uma das equações, por exemplo, na primeira equação 2 x+ 3y= 18 . Então obtemos uma equação com uma variável 2 x+ 12 = 18 . Transferimos 12 para o lado direito, mudando o sinal, obtemos 2 x= 6 , portanto x = 3 .

Exemplo 4. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da adição:

Multiplique a segunda equação por -1. Então o sistema terá a seguinte forma:

Vamos somar as duas equações. Adição de componentes x E −x resultará em 0, soma 5 y e 3 y vai dar 8 y, e somar 7 e 1 dá 8. O resultado é a equação 8 y= 8 , cuja raiz é 1. Sabendo que o valor yé 1, você pode encontrar o valor x .

Substituto y na primeira equação, obtemos x+ 5 = 7 , portanto x= 2

Exemplo 5. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da adição:

É desejável que os termos contendo as mesmas variáveis ​​estejam localizados um sob o outro. Portanto, na segunda equação, os termos 5 y e -2 x mudar locais. Como resultado, o sistema terá a forma:

Multiplique a segunda equação por 3. Então o sistema terá a forma:

Agora vamos somar as duas equações. Como resultado da adição, obtemos a equação 8 y= 16 , cuja raiz é 2.

Substituto y na primeira equação, obtemos 6 x− 14 = 40 . Transferimos o termo −14 para o lado direito, trocando o sinal, obtemos 6 x= 54 . Daqui x= 9.

Exemplo 6. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da adição:

Vamos nos livrar das frações. Multiplique a primeira equação por 36 e a segunda por 12

No sistema resultante a primeira equação pode ser multiplicada por -5 e a segunda por 8

Vamos adicionar as equações no sistema resultante. Então obtemos a equação mais simples -13 y= −156 . Daqui y= 12 . Substituto y na primeira equação e encontre x

Exemplo 7. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da adição:

Trazemos ambas as equações para a forma normal. Aqui é conveniente aplicar a regra da proporção em ambas as equações. Se na primeira equação o lado direito é representado como , e o lado direito da segunda equação como , então o sistema terá a forma:

Temos uma proporção. Multiplicamos seus termos extremos e médios. Então o sistema terá a forma:

Multiplicamos a primeira equação por -3 e abrimos os colchetes na segunda:

Agora vamos somar as duas equações. Como resultado da adição dessas equações, obtemos uma igualdade, em ambas as partes haverá zero:

Acontece que o sistema tem um número infinito de soluções.

Mas não podemos simplesmente pegar valores arbitrários do céu para x E y. Podemos especificar um dos valores e o outro será determinado dependendo do valor que especificamos. Por exemplo, deixe x= 2 . Substitua este valor no sistema:

Como resultado da resolução de uma das equações, o valor para y, que satisfará ambas as equações:

O par de valores resultante (2; −2) satisfará o sistema:

Vamos encontrar outro par de valores. Deixar x= 4. Substitua este valor no sistema:

Pode ser determinado a olho nu que y igual a zero. Então obtemos um par de valores (4; 0), que satisfaz nosso sistema:

Exemplo 8. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da adição:

Multiplique a primeira equação por 6 e a segunda por 12

Vamos reescrever o que sobrou:

Multiplique a primeira equação por -1. Então o sistema terá a forma:

Agora vamos somar as duas equações. Como resultado da adição, a equação 6 é formada b= 48 , cuja raiz é 8. Substitua b na primeira equação e encontre a

Sistema de equações lineares com três variáveis

Uma equação linear com três variáveis ​​inclui três variáveis ​​com coeficientes, bem como uma interceptação. Na forma canônica, pode ser escrito da seguinte forma:

ax + por + cz = d

Esta equação tem um número infinito de soluções. Dando duas variáveis vários significados, você pode encontrar o terceiro valor. A solução neste caso é o triplo de valores ( x; y; z) que transforma a equação em uma identidade.

Se variáveis x, y, z são interligados por três equações, então um sistema de três equações lineares com três variáveis ​​é formado. Para resolver tal sistema, você pode aplicar os mesmos métodos que se aplicam a equações lineares com duas variáveis: o método de substituição e o método de adição.

Exemplo 1. Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da substituição:

Expressamos na terceira equação x. Então o sistema terá a forma:

Agora vamos fazer a substituição. Variável xé igual à expressão 3 − 2y − 2z . Substitua esta expressão na primeira e segunda equações:

Vamos abrir os parênteses em ambas as equações e fornecer termos semelhantes:

Chegamos a um sistema de equações lineares com duas variáveis. Neste caso, é conveniente aplicar o método da adição. Como resultado, a variável y vai desaparecer e podemos encontrar o valor da variável z

Agora vamos achar o valor y. Para isso, é conveniente usar a equação − y+ z= 4. Substitua o valor z

Agora vamos achar o valor x. Para isso, é conveniente usar a equação x= 3 − 2y − 2z . Substitua os valores nele y E z

Assim, o triplo de valores (3; −2; 2) é a solução do nosso sistema. Ao verificar, garantimos que esses valores satisfazem o sistema:

Exemplo 2. Resolva o sistema pelo método da adição

Vamos adicionar a primeira equação com a segunda multiplicada por -2.

Se a segunda equação for multiplicada por -2, ela assumirá a forma −6x+ 6y- 4z = −4 . Agora some na primeira equação:

Vemos que, como resultado de transformações elementares, o valor da variável foi determinado x. É igual a um.

De volta a sistema principal. Vamos adicionar a segunda equação com a terceira multiplicada por -1. Se a terceira equação for multiplicada por -1, ela assumirá a forma −4x + 5y − 2z = −1 . Agora some na segunda equação:

Peguei a equação x- 2y= −1 . Substitua o valor nele x que encontramos anteriormente. Então podemos determinar o valor y

Agora sabemos os valores x E y. Isso permite determinar o valor z. Usamos uma das equações incluídas no sistema:

Assim, o triplo de valores (1; 1; 1) é a solução do nosso sistema. Ao verificar, garantimos que esses valores satisfazem o sistema:

Tarefas para compilar sistemas de equações lineares

A tarefa de compilar sistemas de equações é resolvida pela introdução de diversas variáveis. Em seguida, as equações são compiladas com base nas condições do problema. A partir das equações compiladas, eles formam um sistema e o resolvem. Tendo resolvido o sistema, é necessário verificar se sua solução satisfaz as condições do problema.

Tarefa 1. Um carro do Volga deixou a cidade para a fazenda coletiva. Ela voltou por outra estrada, 5 km mais curta que a primeira. No total, o carro percorreu 35 km nos dois sentidos. Quantos quilômetros tem cada estrada?

Solução

Deixar x- comprimento da primeira estrada, y- a duração do segundo. Se o carro percorreu 35 km nos dois sentidos, a primeira equação pode ser escrita como x+ y= 35. Esta equação descreve a soma dos comprimentos de ambas as estradas.

Diz-se que o carro voltava pela estrada, que era 5 km mais curta que a primeira. Então a segunda equação pode ser escrita como x− y= 5. Esta equação mostra que a diferença entre os comprimentos das estradas é de 5 km.

Ou a segunda equação pode ser escrita como x= y+ 5 . Usaremos esta equação.

Já que as variáveis x E y em ambas as equações denotam o mesmo número, então podemos formar um sistema a partir delas:

Vamos resolver este sistema usando um dos métodos estudados anteriormente. Nesse caso, é conveniente usar o método de substituição, pois na segunda equação a variável x já expresso.

Substitua a segunda equação na primeira e encontre y

Substitua o valor encontrado y na segunda equação x= y+ 5 e encontre x

O comprimento da primeira estrada foi denotado pela variável x. Agora encontramos o seu significado. Variável xé 20. Portanto, o comprimento da primeira estrada é 20 km.

E o comprimento da segunda estrada foi indicado por y. O valor dessa variável é 15. Portanto, o comprimento da segunda estrada é de 15 km.

Vamos fazer uma verificação. Primeiro, vamos garantir que o sistema seja resolvido corretamente:

Agora vamos verificar se a solução (20; 15) satisfaz as condições do problema.

Foi dito que no total o carro percorreu 35 km nos dois sentidos. Adicionamos os comprimentos de ambas as estradas e garantimos que a solução (20; 15) satisfaça esta condição: 20km + 15km = 35km

Próxima condição: o carro voltou por outra estrada, 5 km mais curta que a primeira . Vemos que a solução (20; 15) também satisfaz essa condição, pois 15 km é menor que 20 km por 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Ao compilar um sistema, é importante que as variáveis ​​representem os mesmos números em todas as equações incluídas nesse sistema.

Portanto, nosso sistema contém duas equações. Essas equações, por sua vez, contêm as variáveis x E y, que denotam os mesmos números em ambas as equações, ou seja, os comprimentos das estradas iguais a 20 km e 15 km.

Tarefa 2. Dormentes de carvalho e pinho foram carregados na plataforma, totalizando 300 dormentes. Sabe-se que todos os dormentes de carvalho pesavam 1 tonelada a menos que todos os dormentes de pinho. Determine quantos dormentes de carvalho e pinho havia separadamente, se cada dormente de carvalho pesasse 46 kg e cada dormente de pinho pesasse 28 kg.

Solução

Deixar x carvalho e y dormentes de pinho foram carregados na plataforma. Se houver 300 dormentes no total, a primeira equação pode ser escrita como x+y = 300 .

Todos os dormentes de carvalho pesavam 46 x kg, e pinho pesava 28 y kg. Como os dormentes de carvalho pesavam 1 tonelada a menos que os dormentes de pinho, a segunda equação pode ser escrita como 28y- 46x= 1000 . Esta equação mostra que a diferença de massa entre dormentes de carvalho e pinho é de 1000 kg.

As toneladas foram convertidas em quilogramas porque a massa dos dormentes de carvalho e pinheiro é medida em quilogramas.

Como resultado, obtemos duas equações que formam o sistema

Vamos resolver este sistema. Expresse na primeira equação x. Então o sistema terá a forma:

Substitua a primeira equação na segunda e encontre y

Substituto y na equação x= 300 − y e descubra o que x

Isso significa que 100 dormentes de carvalho e 200 de pinho foram carregados na plataforma.

Vamos verificar se a solução (100; 200) satisfaz as condições do problema. Primeiro, vamos garantir que o sistema seja resolvido corretamente:

Dizia-se que havia 300 dormentes no total. Somamos o número de dormentes de carvalho e pinheiro e verificamos se a solução (100; 200) satisfaz esta condição: 100 + 200 = 300.

Próxima condição: todos os dormentes de carvalho pesavam 1 tonelada a menos que todos os pinheiros . Vemos que a solução (100; 200) também satisfaz essa condição, pois 46 × 100 kg de dormentes de carvalho são mais leves que 28 × 200 kg de dormentes de pinho: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tarefa 3. Pegamos três peças de uma liga de cobre e níquel nas proporções de 2: 1, 3: 1 e 5: 1 em peso. Destes, uma peça de 12 kg foi fundida com uma proporção de cobre e níquel de 4: 1. Encontre a massa de cada peça original se a massa da primeira delas for o dobro da massa da segunda.