Ev › şasi › Tabana göre oturum açın. Logaritmik İfadeler

Tabana göre oturum açın. Logaritmik İfadeler

Yani, ikinin kuvvetlerine sahibiz. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye yükseltmeniz gereken kuvveti kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için, ikinin altıncı kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.

Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:

x bağımsız değişkeninin a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken kuvvettir.

Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşittir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in 2 tabanlı logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 64 = 6 olduğu için log 2 64 = 64 de olabilir.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
günlük 2 2 = 1	günlük 2 4 = 2	günlük 2 8 = 3	günlük 2 16 = 4	günlük 2 32 = 5	günlük 2 64 = 6

Ne yazık ki, tüm logaritmalar o kadar kolay kabul edilmiyor. Örneğin, günlük 2 5'i bulmaya çalışın. 5 rakamı tabloda yok, ancak mantık, logaritmanın doğru parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, şu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Logaritmanın iki değişkenli (taban ve bağımsız değişken) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir bakın:

Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste söylüyorum - ve kafa karışıklığı yok.

Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır, yani. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:

Bağımsız değişken ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından çıkar.
Taban birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir kuvvete karşı bir birim hala bir birimdir. Bu nedenle, "iki elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir" sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalar denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0.5 \u003d -1, çünkü 0,5 = 2 −1 .

Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde, DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Aslında, temel ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka karşılık gelmeyen çok güçlü yapılar olabilir.

Şimdi düşünün genel şema logaritma hesaplamaları. Üç adımdan oluşur:

a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritma irrasyonel çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde de benzer şekilde: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, birçok kez daha az hata olacaktır.

Bu şemanın belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 5 25

Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Bir cevap aldı: 2.

Görev. Logaritmayı hesaplayın:

Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 4 64

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Bir cevap aldı: 3.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Bir yanıt alındı: 0.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14, yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
Önceki paragraftan, logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
Cevap değişiklik yok: günlük 7 14.

küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece onu asal çarpanlara ayırın. Genişletmede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.

Görev. Sayının tam kuvvetlerinin şunlar olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir kuvvet değildir çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine kesin bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca, asal sayıların kendilerinin her zaman kendilerinin tam kuvvetleri olduğuna dikkat edin.

ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki, özel bir adları ve atamaları vardır.

x bağımsız değişkeninin ondalık logaritması 10 tabanlı logaritmadır, yani x sayısını elde etmek için 10 sayısını yükseltmeniz gereken güç. Tanımlama: lg x .

Örneğin, günlük 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Bundan sonra ders kitabında “lg 0.01 Bul” gibi bir ibare göründüğünde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, onu her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

doğal logaritma

Kendi notasyonu olan başka bir logaritma var. Bir anlamda ondalıktan bile daha önemlidir. Hakkında Doğal logaritma hakkında.

X'in doğal logaritması, temel e logaritmasıdır, yani x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: ln x .

Birçoğu soracak: e sayısı başka ne? Bu irrasyonel bir sayıdır Kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2,718281828459...

Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x

Böylece ln e = 1 ; log e2 = 2 ; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

İçin doğal logaritmalar adi logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log A X ve günlük A y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

kayıt A X+log A y= günlük A (X · y);
kayıt A X-log A y= günlük A (X : y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:

günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 - log 2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 - log 3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak birçok test kağıtları. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Üssü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

bunu görmek kolay son kural ilk ikisini takip eder. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin değerini bulun:
[Şekil yazısı]

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:

[Şekil yazısı]

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

verilsin logaritma günlüğü A X. Daha sonra herhangi bir sayı için Cöyle ki C> 0 ve C≠ 1, eşitlik doğrudur:
[Şekil yazısı]
özellikle koyarsak C = X, şunu elde ederiz:
[Şekil yazısı]

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2log 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

[Şekil yazısı]

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

[Şekil yazısı]

Şimdi kurtulalım ondalık logaritma, yeni bir üsse taşınıyor:

[Şekil yazısı]

Temel logaritmik kimlik

Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, sayı N argümanın üssü olur. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna temel logaritmik özdeşlik denir.

Gerçekten, sayı olursa ne olacak? B güce yükseltmek, böylece B bu ölçüde bir sayı verir A? Bu doğru: bu aynı numara A. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.

Görev. İfadenin değerini bulun:
[Şekil yazısı]

Log 25 64 = log 5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

[Şekil yazısı]

Bilmeyen biri varsa bu sınavdan gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

kayıt A A= 1 logaritmik birimdir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan kendisi bire eşittir.
kayıt A 1 = 0, logaritmik sıfırdır. Temel A herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü A 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Toplumun gelişmesiyle birlikte üretimin karmaşıklığı, matematik de gelişti. Basitten karmaşığa doğru hareket. Her zamanki toplama ve çıkarma muhasebe yönteminden, tekrarlanan tekrarlarıyla, çarpma ve bölme kavramına geldiler. Çarpılarak tekrarlanan işlemin indirgenmesi, üstel alma kavramı haline geldi. Sayıların tabana bağımlılığı ve üs alma sayısına ilişkin ilk tablolar, 8. yüzyılda Hintli matematikçi Varasena tarafından derlendi. Onlardan logaritmaların oluşma zamanını sayabilirsiniz.

tarihsel anahat

16. yüzyılda Avrupa'nın yeniden canlanması da mekaniğin gelişimini teşvik etti. T büyük miktarda hesaplama gerektiriyorduçok basamaklı sayıların çarpma ve bölme işlemleri ile ilgili. Eski masalar harika bir hizmet yaptı. Karmaşık işlemleri daha basit olanlarla - toplama ve çıkarma - değiştirmeyi mümkün kıldılar. İleriye doğru büyük bir adım, matematikçi Michael Stiefel'in 1544'te yayınlanan ve birçok matematikçinin fikrini gerçekleştirdiği çalışmasıydı. Bu, formdaki dereceler için tabloların kullanılmasını mümkün kıldı. asal sayılar, aynı zamanda keyfi rasyonel olanlar için.

1614'te, bu fikirleri geliştiren İskoçyalı John Napier, ilk olarak yeni "bir sayının logaritması" terimini tanıttı. Sinüs ve kosinüslerin ve teğetlerin logaritmalarını hesaplamak için yeni karmaşık tablolar derlendi. Bu, astronomların çalışmalarını büyük ölçüde azalttı.

Bilim adamları tarafından başarıyla kullanılan yeni tablolar ortaya çıkmaya başladı. üç yüzyıl. önce uzun zaman aldı yeni operasyon cebirde bitmiş halini aldı. Logaritma tanımlandı ve özellikleri incelendi.

Ancak 20. yüzyılda, hesap makinesinin ve bilgisayarın ortaya çıkmasıyla birlikte, insanlık 13. yüzyıl boyunca başarılı bir şekilde işleyen eski tabloları terk etti.

Bugün, b sayısını elde etmek için a'nın kuvveti olan x sayısını a tabanına göre b'nin logaritmasına diyoruz. Bu bir formül olarak yazılır: x = log a(b).

Örneğin, log 3(9) 2'ye eşit olacaktır. Tanımı izlerseniz bu açıktır. 3'ü 2'nin kuvvetine yükseltirsek 9 elde ederiz.

Bu nedenle, formüle edilen tanım yalnızca bir kısıtlama getirir, a ve b sayıları gerçek olmalıdır.

logaritma çeşitleri

Klasik tanım gerçek logaritma olarak adlandırılır ve aslında a x = b denkleminin bir çözümüdür. a = 1 seçeneği sınırdadır ve ilgi çekici değildir. Not: 1'in herhangi bir kuvveti 1'dir.

Logaritmanın gerçek değeri yalnızca taban ve bağımsız değişken 0'dan büyükse tanımlanır ve taban 1'e eşit olmamalıdır.

Matematik alanında özel bir yer tabanlarının değerine bağlı olarak adlandırılacak logaritmalar oynayın:

Kurallar ve kısıtlamalar

Logaritmaların temel özelliği şu kuraldır: Bir çarpımın logaritması, logaritmik toplama eşittir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadenin bir çeşidi olarak şöyle olacaktır: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), bölüm fonksiyonu, fonksiyonların farkına eşittir.

Önceki iki kuraldan şunu görmek kolaydır: log a(b p) = p * log a(b).

Diğer özellikler şunları içerir:

Yorum. Yaygın bir hata yapmayın - toplamın logaritması, logaritmaların toplamına eşit değildir.

Yüzyıllar boyunca, logaritmayı bulma işlemi oldukça zaman alan bir işti. Matematikçiler, bir polinomda logaritmik genişleme teorisinin iyi bilinen formülünü kullandılar:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), burada n, hesaplamanın doğruluğunu belirleyen 1'den büyük bir doğal sayıdır.

Diğer tabanlarla logaritmalar, bir tabandan diğerine geçiş teoremi ve çarpım logaritmasının özelliği kullanılarak hesaplandı.

Bu yöntem çok zahmetli olduğundan ve pratik problemleri çözerken uygulanması zor, tüm işi büyük ölçüde hızlandıran önceden derlenmiş logaritma tabloları kullandılar.

Bazı durumlarda, daha az doğruluk sağlayan, ancak istenen değerin aranmasını önemli ölçüde hızlandıran, özel olarak derlenmiş logaritma grafikleri kullanıldı. Birkaç nokta üzerine inşa edilmiş y = log a(x) fonksiyonunun eğrisi, başka herhangi bir noktadaki fonksiyonun değerlerini bulmak için normal cetvelin kullanılmasına izin verir. mühendisler uzun zaman bu amaçlar için sözde grafik kağıdı kullanıldı.

17. yüzyılda, ilk yardımcı analog hesaplama koşulları ortaya çıktı. XIX yüzyıl bitmiş bir görünüm kazandı. En başarılı cihaz hesap cetveli olarak adlandırıldı. Cihazın sadeliğine rağmen, görünümü tüm mühendislik hesaplamaları sürecini önemli ölçüde hızlandırdı ve bunu abartmak zor. Şu anda, çok az kişi bu cihaza aşinadır.

Hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkışı, başka herhangi bir cihazı kullanmayı anlamsız hale getirdi.

denklemler ve eşitsizlikler

Logaritma kullanarak çeşitli denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki formüller kullanılır:

Bir tabandan diğerine geçiş: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Önceki sürümün bir sonucu olarak: log a(b) = 1 / log b(a).

Eşitsizlikleri çözmek için şunları bilmek yararlıdır:

Logaritmanın değeri yalnızca hem taban hem de bağımsız değişken birden büyük veya birden küçükse pozitif olacaktır; en az bir koşul ihlal edilirse, logaritmanın değeri negatif olacaktır.
Eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına logaritma fonksiyonu uygulanırsa ve logaritmanın tabanı birden büyükse eşitsizliğin işareti korunur; yoksa değişir.

Görev örnekleri

Logaritma ve özelliklerini kullanmak için birkaç seçeneği göz önünde bulundurun. Denklem çözme örnekleri:

Logaritmayı dereceye yerleştirme seçeneğini göz önünde bulundurun:

Görev 3. 25^log 5(3) hesaplayın. Çözüm: problemin koşullarında gösterim şuna benzer (5^2)^log5(3) veya 5^(2 * log 5(3)). Farklı bir şekilde yazalım: 5^log 5(3*2) veya bir fonksiyon argümanı olarak bir sayının karesi, fonksiyonun kendisinin karesi olarak yazılabilir (5^log 5(3))^2. Logaritmaların özelliklerini kullanarak, bu ifade 3^2'dir. Cevap: Hesaplama sonucunda 9 elde ederiz.

Pratik kullanım

Tamamen matematiksel bir araç olarak, olmaktan çok uzak görünüyor. gerçek hayat logaritmanın aniden elde edildiğini büyük önem nesneleri tanımlamak gerçek dünya. Kullanılmadığı bir bilim bulmak zordur. Bu tamamen sadece doğal olan için değil, aynı zamanda beşeri bilimler bilgi alanları için de geçerlidir.

logaritmik bağımlılıklar

Sayısal bağımlılıklara bazı örnekler:

Mekanik ve fizik

Tarihsel olarak, mekanik ve fizik her zaman kullanarak gelişmiştir. matematiksel yöntemler araştırma ve aynı zamanda logaritmalar da dahil olmak üzere matematiğin gelişimi için bir teşvik görevi gördü. Fizik yasalarının çoğunun teorisi matematik dilinde yazılmıştır. Logaritmayı kullanarak fiziksel yasaların açıklamasına sadece iki örnek veriyoruz.

Uzay araştırmaları teorisinin temelini oluşturan Tsiolkovsky formülünü kullanarak bir roketin hızı gibi karmaşık bir miktarı hesaplama problemini çözmek mümkündür:

V = ben * ln(M1/M2), burada

V, uçağın son hızıdır.
I, motorun özgül dürtüsüdür.
M 1, roketin ilk kütlesidir.
M 2 - son kütle.

Bir diğer önemli örnek- bu, başka bir büyük bilim adamı olan Max Planck'ın termodinamikte denge durumunu değerlendirmeye yarayan formülündeki kullanımdır.

S = k * ln (Ω), burada

S termodinamik bir özelliktir.
k, Boltzmann sabitidir.
Ω, farklı durumların istatistiksel ağırlığıdır.

Kimya

Kimyada logaritma oranını içeren formüllerin kullanılması daha az belirgin olacaktır. İşte sadece iki örnek:

Nernst denklemi, maddelerin aktivitesi ve denge sabiti ile ilgili olarak ortamın redoks potansiyelinin durumu.
Otoproliz indeksi ve çözeltinin asitliği gibi sabitlerin hesaplanması da fonksiyonumuz olmadan tamamlanmış sayılmaz.

Psikoloji ve biyoloji

Ve psikolojinin bununla ne ilgisi olduğu tamamen anlaşılmaz. Duyusal gücün, uyaran yoğunluk değerinin alt yoğunluk değerine ters oranı olarak bu fonksiyon tarafından iyi bir şekilde tanımlandığı ortaya çıktı.

Yukarıdaki örneklerden sonra artık logaritma temasının biyolojide de yaygın olarak kullanılması şaşırtıcı değildir. Logaritmik spirallere karşılık gelen biyolojik formlar hakkında ciltler dolusu yazı yazılabilir.

Diğer alanlar

Görünen o ki, bu işlevle bağlantısı olmadan dünyanın varlığı mümkün değildir ve tüm kanunları o yönetir. Özellikle doğa kanunları ile bağlantılı olduğunda geometrik ilerleme. MatProfi web sitesine atıfta bulunmaya değer ve aşağıdaki faaliyet alanlarında buna benzer pek çok örnek var:

Liste sonsuz olabilir. Bu işlevin temel yasalarına hakim olduktan sonra, sonsuz bilgelik dünyasına dalabilirsiniz.

Logaritma nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak, logaritma konusu karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu kabul edilir. Özellikle - logaritma içeren denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! İnanmıyor musun? İyi. Şimdi, yaklaşık 10 - 20 dakika boyunca:

1. Anlayın logaritma nedir.

2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onları duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritma hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için sadece çarpım tablosunu ve bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltildiğini bilmeniz yeterli olacak...

Şüphelendiğini hissediyorum ... Pekala, zaman ayır! Gitmek!

Öncelikle aşağıdaki denklemi aklınızdan çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika ayırırsanız, size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir dil.

matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir logaritmanın logaritması negatif olmayan sayı(yani herhangi bir pozitif) "a" tabanına göre "b", nihayet "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gereken "c" kuvveti olarak kabul edilir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, log 2 8 ifadesi var diyelim. Cevabı nasıl bulacağız? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli dereceye kadar 8 elde ediyorsunuz. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3, cevapta 8 sayısını verir.

logaritma çeşitleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl mesele genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamak. Üç vardır belirli türler logaritmik ifadeler:

Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
Ondalık a, tabanı 10'dur.
Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve müteakip bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Doğru logaritma değerlerini elde etmek için, kararlarındaki özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte, aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansız olduğu gibi, negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların ayrıca uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışılacağını kolayca öğrenebileceğiniz kendi kuralları vardır:

"a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
a > 0 ise, a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulmak için görev verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, on sayısını 100'e yükseltiyoruz. Bu, elbette, 10'dur. 2 \u003d 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritma çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritma tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak, için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız var. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişme noktasında cevap olan sayıların (a c=b) değerleri belirlenir. Örneğin 10 numaralı ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesiştiği noktada gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolay ki en gerçek hümanist bile anlayacak!

denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in dört olan 3 tabanına göre logaritması olarak yazılabilir (log 3 81 = 4). Negatif güçler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarız, log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri de "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra, denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayırt edeceğimize bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilir: log 2 (x-1) > 3 - logaritmik eşitsizlik, çünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işaretinin altındadır. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabanında istenen sayının logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ile eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örneğin, 2 x = √9'un logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ima ederken, eşitsizliği çözerken hem aralığın hem de kabul edilebilir değerler ve bu işlevi bozan noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayılar kümesidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmaların tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak inceleyelim.

Temel kimlik şuna benzer: a logaB =B. Yalnızca a 0'dan büyükse, birden eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünün ispatını örneklerle ve çözümlü olarak verebilirsiniz. log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, ki bu kanıtlanacaktı.
Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle "logaritma derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerini andırıyor ve bu şaşırtıcı değil, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanıyor. Kanıta bakalım.

a b \u003d t günlüğüne izin verin, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlanmıştır.

Problem ve eşitsizlik örnekleri

En yaygın logaritma problemi türleri, denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip azaltılamayacağını öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Bir an önce onları tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritma olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir sayı içerebilir.

İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı dereceyi belirlemeniz gerektiği gerçeğine indirgenir. Doğal logaritmaların çözümleri için uygulanması gerekir. logaritmik kimlikler veya özellikleri. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Öyleyse, ana teoremleri logaritmalarda kullanma örneklerine bakalım.

Çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - görebileceğiniz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi ilk bakışta çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.

Sınavdaki görevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolayı deneme bölümü sınav), aynı zamanda C bölümünde (en zor ve hacimli görevler). Sınav, "Doğal logaritmalar" konusunda doğru ve mükemmel bir bilgi anlamına gelir.

Örnekler ve problem çözümleri resmi kaynaklardan alınmıştır. KULLANIM seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımından şunu elde ederiz 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8.5

Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle ifadenin logaritmanın işareti altındaki üssünün üssünü ve tabanını çıkarırken, logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Kategoride popüler: