Logaritmaları çarpmak için formül. Logaritmanın tanımı, temel logaritmik özdeşlik
Bugün hakkında konuşacağız logaritma formülleri ve gösteri yapmak çözüm örnekleri.
Kendi başlarına, logaritmaların temel özelliklerine göre çözüm kalıplarını ifade ederler. Logaritma formüllerini çözüme uygulamadan önce, sizin için tüm özellikleri hatırlıyoruz:
Şimdi, bu formüllere (özelliklere) dayanarak, logaritma çözme örnekleri.
Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.
logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b olarak gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 ile b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üsdür.
a x = b'ye eşdeğer olan log a b = x tanımına göre, log a a x = x.
logaritmalar, örnekler:
günlük 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8
günlük 7 49 = 2 çünkü 7 2 = 49
günlük 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5
ondalık logaritma tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg ile gösterilir.
günlük 10 100 = 2 çünkü 10 2 = 100
doğal logaritma- ayrıca normal logaritma logaritması, ancak e tabanıyla (e \u003d 2.71828 ... - irrasyonel bir sayı). ln olarak anılır.
Logaritmaların formüllerini veya özelliklerini hatırlamak arzu edilir, çünkü bunlara daha sonra logaritma, logaritmik denklemler ve eşitsizlikleri çözerken ihtiyacımız olacak. Örneklerle her formül üzerinde yeniden çalışalım.
- Temel logaritmik kimlik
bir günlük bir b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir.
log a (bc) = log a b + log a cgünlük 3 8,1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8,1*10) = günlük 3 81 = 4
- Bölümün logaritması, logaritmaların farkına eşittir
log a (b/c) = log a b - log a c9 günlük 5 50 /9 günlük 5 2 = 9 günlük 5 50- günlük 5 2 = 9 günlük 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritma yapılabilir bir sayının derecesinin ve logaritmanın tabanının özellikleri
Bir logaritma sayısının üssü log a b m = mlog a b
Logaritma tabanının üssü log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
m = n ise, log a n b n = log a b elde ederiz
günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3
- Yeni bir temele geçiş
log a b = log c b / log c a,c = b ise log b b = 1 elde ederiz
o zaman log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Şimdi, logaritma çözme örneklerini inceledikten sonra, logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerini "" makalesinde daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Kaçırma!
Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.
Not: Seçenek olarak yurt dışında başka bir sınıf eğitimi almaya karar verdim.
İle başlayalım birliğin logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0 olarak kaydet herhangi bir a>0 , a≠1 için. Kanıt basittir: a>0 ve a≠1 yukarıdaki koşulları karşılayan herhangi bir a için 0 =1 olduğundan, kanıtlanmış eşitlik log a 1=0 hemen logaritmanın tanımından çıkar.
Ele alınan özelliğin uygulama örneklerini verelim: log 3 1=0 , lg1=0 ve .
Bir sonraki özelliğe geçelim: tabana eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, a=1'i günlüğe kaydet a>0 için a≠1 . Gerçekten de, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan, logaritmanın tanımına göre log a a=1 .
Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri, log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ve lne=1'dir.
Örneğin, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 ve 
.
İki pozitif sayının çarpımının logaritması x ve y, bu sayıların logaritmalarının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre bir log a x =x ve bir log a y =y olduğundan, o zaman bir log a x a log a y =x y . Böylece, bir log a x+log a y =x y , buradan gerekli eşitlik logaritmanın tanımıyla gelir.
Çarpımın logaritma özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve 
.
Çarpım logaritması özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarının sonlu bir n sayısının ürününe genelleştirilebilir: log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Bu eşitlik kolayca ispatlanır.
Örneğin, bir çarpımın doğal logaritması, üçün toplamı ile değiştirilebilir. doğal logaritmalar 4 , e ve .
İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bölüm logaritma özelliği, a>0 , a≠1 , x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, çarpımın logaritması formülü gibi kanıtlanmıştır: çünkü 
, daha sonra logaritmanın tanımına göre.
İşte logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: 
.
Konusuna geçelim derecenin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün ürününe ve bu derecenin taban modülünün logaritmasına eşittir. Derecenin logaritmasının bu özelliğini bir formül şeklinde yazıyoruz: log a b p =p log a |b|, burada a>0 , a≠1 , b ve p öyle sayılardır ki bp'nin derecesi anlamlıdır ve bp >0'dır.
Önce bu özelliği pozitif b için ispatlıyoruz. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b , ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemizi sağlar ve elde edilen ifade, power özelliği nedeniyle, a p log a b'ye eşittir. Böylece b p = a p log a b eşitliğine ulaşırız, buradan logaritmanın tanımı gereği log a b p = p log a b olduğu sonucuna varırız.
Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalır. Burada, negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift üsler p için anlamlı olduğunu not ediyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi halde logaritma mantıklı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P . Daha sonra b p =|b| p =(bir günlük a |b|) p =a p günlük bir |b|, bu nedenle log a b p =p log a |b| .
Örneğin, 
ve ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Önceki mülkten takip eder kökten logaritmanın özelliği: n'inci derecenin kökünün logaritması, 1/n kesri ile kök ifadesinin logaritmasının çarpımına eşittir, yani, 
, burada a>0 , a≠1 , n birden büyük bir doğal sayıdır, b>0 .
Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bakınız ) ve derecenin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: 
.
İşte bu özelliğin kullanımına bir örnek: 
.
şimdi kanıtlayalım logaritmanın yeni tabanına dönüştürme formülü tür 
. Bunu yapmak için log c b=log a b log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b , ardından log c b=log c a log a b olarak temsil etmemizi sağlar. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b = log a b log c a. Böylece log c b=log a b log c a eşitliği kanıtlanmış olur, bu da logaritmanın yeni bir tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.
Logaritmanın bu özelliğini uygulamak için birkaç örnek gösterelim: ve 
.
Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenizi sağlar. Örneğin, logaritma tablosundan logaritmanın değerini hesaplayabilmeniz için doğal veya ondalık logaritmalara geçmek için kullanılabilir. Logaritmanın yeni bir tabanına geçiş formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlara sahip değerleri bilindiğinde, belirli bir logaritmanın değerini bulmaya da izin verir.
Sık kullanılır özel durum formun c=b için logaritmasının yeni bir tabanına geçiş için formüller 
. Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, 
.
Ayrıca sıklıkla kullanılan formüldür 
, logaritma değerlerini bulmak için kullanışlıdır. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritma değerinin onu kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Sahibiz 
. Formülü kanıtlamak için 
a logaritmasının yeni tabanına geçiş formülünü kullanmak yeterlidir: 
.
Logaritmaların karşılaştırma özelliklerini kanıtlamak için kalır.
Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2 , b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için eşitsizlik log a b 1 Son olarak, logaritmaların listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. Kendimizi ilk kısmını ispatlamakla sınırlıyoruz, yani a 1 >1 , a 2 >1 ve a 1 ise ispatlıyoruz. 1 true log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir ilke ile kanıtlanmıştır. Ters yöntemi kullanalım. a 1 >1 , a 2 >1 ve a 1 için varsayalım 1 log a 1 b≤log a 2 b doğrudur. Logaritmaların özelliklerine göre, bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: 
Ve 
sırasıyla ve bunlardan sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olduğu sonucu çıkar. Daha sonra, aynı tabanlı kuvvetlerin özelliklerine göre, b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri sağlanmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece, a 1 koşuluyla bir çelişkiye ulaştık.
Kaynakça.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Genel Eğitim Kurumları 10-11. Sınıflar İçin Bir Ders Kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz).
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Üçüncü şahıslara ifşa
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
- Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.
kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.
Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
b (b > 0)'ın a tabanına (a > 0, a ≠ 1) göre logaritması b'yi elde etmek için a sayısını artırmanız gereken üs.
b'nin 10 tabanlı logaritması şu şekilde yazılabilir: günlük(b) ve e tabanına göre logaritma (doğal logaritma) - ln(b).
Genellikle logaritmalarla ilgili problemleri çözerken kullanılır:
Logaritmaların özellikleri
Dört ana var logaritmaların özellikleri.
a > 0, a ≠ 1, x > 0 ve y > 0 olsun.
Özellik 1. Çarpımın logaritması
Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Özellik 2. Bölümün logaritması
bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir:
log a (x / y) = log a x – log a y
Özellik 3. Derecenin logaritması
Derece logaritması derece ve logaritmanın ürününe eşittir:
Logaritmanın tabanı üsse ise, başka bir formül uygulanır:
Özellik 4. Kökün logaritması
Bu özellik, derecenin logaritmasının özelliğinden elde edilebilir, çünkü n'inci derecenin kökü 1/n'nin gücüne eşittir:
Bir tabandaki logaritmadan başka bir tabandaki logaritmaya gitme formülü
Bu formül, logaritmalar için çeşitli görevleri çözerken de sıklıkla kullanılır:
Özel durum:
Logaritmaların karşılaştırılması (eşitsizlikler)
Aynı tabanlı logaritmalar altında f(x) ve g(x) olmak üzere 2 fonksiyonumuz olduğunu ve aralarında bir eşitsizlik işareti olduğunu varsayalım:
Bunları karşılaştırmak için önce a logaritmalarının tabanına bakmanız gerekir:
- a > 0 ise f(x) > g(x) > 0
- 0 ise< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Logaritmalarla ilgili problemler nasıl çözülür: örnekler
Logaritma içeren görevler Görev 5 ve görev 7'de 11. sınıf için Matematikte KULLANIM'a dahil edilen görevleri, web sitemizde uygun bölümlerde bulabilirsiniz. Ayrıca logaritmalı görevler, matematikteki görevler bankasında bulunur. Sitede arama yaparak tüm örnekleri bulabilirsiniz.
logaritma nedir
Logaritmalar okul matematik dersinde her zaman zor bir konu olarak görülmüştür. Logaritmanın pek çok farklı tanımı vardır, ancak nedense çoğu ders kitabı bunların en karmaşık ve talihsiz olanını kullanır.
Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunun için bir tablo oluşturalım:
Yani, ikinin kuvvetlerine sahibiz.
Logaritmalar - özellikler, formüller, nasıl çözülür
Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye yükseltmeniz gereken kuvveti kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için, ikinin altıncı kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.
Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:
x argümanının a tabanı, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken kuvvettir.
Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşittir.
Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in 2 tabanlı logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 6 = 64 olduğundan, log 2 64 = 6 da olabilir.
Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| günlük 2 2 = 1 | günlük 2 4 = 2 | günlük 2 8 = 3 | günlük 2 16 = 4 | günlük 2 32 = 5 | günlük 2 64 = 6 |
Ne yazık ki, tüm logaritmalar o kadar kolay kabul edilmiyor. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yoktur, ancak mantık, logaritmanın doğru parçasının herhangi bir yerinde olacağını belirtir. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, şu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Logaritmanın iki değişkenli (taban ve bağımsız değişken) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir bakın:
Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste söylüyorum - ve kafa karışıklığı yok.
logaritmalar nasıl sayılır
Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmeye devam ediyor, yani. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:
- Bağımsız değişken ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından çıkar.
- Taban birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir kuvvete karşı bir birim hala bir birimdir. Bu nedenle, "iki elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir" sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!
Bu tür kısıtlamalar denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, çünkü 0,5 = 2 −1 .
Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde, DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Aslında, temel ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka karşılık gelmeyen çok güçlü yapılar olabilir.
Şimdi düşünün genel şema logaritma hesaplamaları. Üç adımdan oluşur:
- a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
- b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
- Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.
Bu kadar! Logaritma irrasyonel çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde de benzer şekilde: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, birçok kez daha az hata olacaktır.
Bu şemanın belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 5 25
- Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Bir cevap aldı: 2.
Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Görev. Logaritmayı hesaplayın:
Görev. Logaritmayı hesapla: günlük 4 64
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Bir cevap aldı: 3.
Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1
- Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Denklemi oluşturalım ve çözelim:
günlük 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Bir yanıt alındı: 0.
Görev. Logaritmayı hesapla: log 7 14
- Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14, yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
- Önceki paragraftan, logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
- Cevap değişiklik yok: günlük 7 14.
küçük bir not son örnek. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece onu asal çarpanlara ayırın. Genişletmede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.
Görev. Sayının tam kuvvetlerinin şunlar olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir kuvvet değildir çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine kesin bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;
Ayrıca not ediyoruz ki biz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin güçleridir.
ondalık logaritma
Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki, özel bir adları ve atamaları vardır.
x bağımsız değişkeninin 10 tabanlı logaritmasıdır, yani x'i elde etmek için 10'un yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lgx.
Örneğin, günlük 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.
Bundan sonra ders kitabında “lg 0.01 Bul” gibi bir ibare göründüğünde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, onu her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x
Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.
doğal logaritma
Kendi notasyonu olan başka bir logaritma var. Bir anlamda ondalıktan bile daha önemlidir. Hakkında Doğal logaritma hakkında.
x bağımsız değişkeninin e tabanına göre logaritmasıdır, yani x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanımlama: lnx.
Birçoğu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır Kesin değer bulmak ve kaydetmek imkansızdır. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2,718281828459…
Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x
Böylece ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.
Doğal logaritmalar için, adi logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.
Ayrıca bakınız:
logaritma. Logaritmanın özellikleri (logaritmanın gücü).
Bir sayıyı logaritma olarak nasıl temsil edebilirim?
Bir logaritmanın tanımını kullanıyoruz.
Logaritma, logaritmanın işareti altındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.
Bu nedenle, belirli bir c sayısını a tabanına logaritma olarak temsil etmek için, logaritmanın işaretinin altına logaritmanın tabanı ile aynı tabana sahip bir derece koymanız ve bu sayıyı c'yi üsse yazmanız gerekir:
Bir logaritma biçiminde, kesinlikle herhangi bir sayıyı temsil edebilirsiniz - pozitif, negatif, tamsayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel:
Bir sınav veya sınavın stresli koşullarında a ve c'yi karıştırmamak için aşağıdaki kuralı hatırlamak için kullanabilirsiniz:
aşağıda olan aşağı iner, yukarıda olan yukarı çıkar.
Örneğin, 2 sayısını 3 tabanına göre bir logaritma olarak göstermek istiyorsunuz.
İki sayımız var - 2 ve 3. Bu sayılar, logaritma işareti altına yazacağımız taban ve üs. Geriye, bu sayılardan hangisinin derece bazında ve hangisinin üs olarak yazılacağını belirlemek kalır.
Logaritma kaydındaki 3 tabanı en altta yani ikiliyi 3'ün tabanına logaritma olarak gösterdiğimizde tabana da 3 yazacağız.
2, 3'ten yüksektir. Ve derece notasyonunda, üçün üstüne iki, yani üste yazıyoruz:
Logaritmalar. İlk seviye.
logaritmalar
logaritma pozitif sayı B Sebeple A, Nerede bir > 0, bir ≠ 1, sayının yükseltilmesi gereken üsdür. A, Elde etmek üzere B.
logaritmanın tanımı kısaca şöyle yazılabilir:
Bu eşitlik için geçerlidir. b > 0, a > 0, a ≠ 1. O genellikle denir logaritmik özdeşlik.
Bir sayının logaritmasını bulma işlemine denir. logaritma.
Logaritmaların özellikleri:
Çarpımın logaritması:
Bölümden bölümün logaritması:
Logaritmanın tabanını değiştirmek:
Derece logaritması:
kök logaritması:
Kuvvet tabanlı logaritma:
Ondalık ve doğal logaritmalar.
ondalık logaritma sayılar o sayının 10 tabanındaki logaritmasını çağırır ve lg yazar B
doğal logaritma sayılar bu sayının logaritmasını tabana çağırır e, Nerede e irrasyonel bir sayıdır, yaklaşık olarak 2,7'ye eşittir. Aynı zamanda, ln yazıyorlar B.
Cebir ve Geometri Üzerine Diğer Notlar
Logaritmaların temel özellikleri
Logaritmaların temel özellikleri
Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.
Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması
Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log a x ve log a y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!
Bu formüller hesaplamanıza yardımcı olacaktır logaritmik ifade bireysel parçaları dikkate alınmadığında bile ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:
günlük 6 4 + günlük 6 9.
Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 - log 2 3.
Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 - log 3 5.
Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.
Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak birçok test kağıtları. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.
Üssü logaritmadan çıkarma
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:
bunu görmek kolay son kural ilk ikisini takip eder. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.
Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.
logaritma nasıl çözülür
En sık ihtiyaç duyulan şey budur.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .
İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12
Görev. İfadenin değerini bulun:
Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:
Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.
Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.
Yeni bir temele geçiş
Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?
Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:
verilsin logaritma günlüğü balta O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:
Özellikle c = x koyarsak şunu elde ederiz:
İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.
Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.
Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.
Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2log 2 5;
Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:
Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.
Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.
Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:
Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:
Temel logaritmik kimlik
Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir.
Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:
İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkendeki üs haline gelir. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.
İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Bunun gibi denir:
Gerçekten de b sayısı, bu derecede b sayısı a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı a sayısıdır. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".
Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.
Görev. İfadenin değerini bulun:
Log 25 64 = log 5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:
Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂
Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.
- log a a = 1'dir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: o tabandan herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
- günlük bir 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.
Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.
\(a^(b)=c\) \(\Solsağok\) \(\log_(a)(c)=b\)
Daha kolay açıklayalım. Örneğin, \(\log_(2)(8)\), \(8\) elde etmek için \(2\)'nin yükseltilmesi gereken güce eşittir. Buradan, \(\log_(2)(8)=3\) olduğu açıktır.
|
Örnekler: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Çünkü \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
Çünkü \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Çünkü \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argüman ve logaritmanın tabanı
Herhangi bir logaritma aşağıdaki "anatomiye" sahiptir:
Logaritmanın argümanı genellikle seviyesinde yazılır ve taban, logaritmanın işaretine daha yakın bir alt simge olarak yazılır. Ve bu giriş şu şekilde okunur: "yirmi beş üzeri beşin logaritması."
Logaritma nasıl hesaplanır?
Logaritmayı hesaplamak için şu soruyu cevaplamanız gerekir: argümanı elde etmek için taban ne dereceye kadar yükseltilmelidir?
Örneğin, logaritmayı hesaplayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(16\) elde etmek için \(4\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Açıkçası ikincisi. Bu yüzden:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(1\) elde etmek için \(\sqrt(5)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Ve hangi derece herhangi bir sayıyı bir birim yapar? Tabii ki sıfır!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\)'yi elde etmek için \(\sqrt(7)\)'nin hangi kuvvete yükseltilmesi gerekir? İlkinde - birinci dereceden herhangi bir sayı kendisine eşittir.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(\sqrt(3)\)'ü elde etmek için \(3\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Bunun kesirli bir kuvvet olduğunu biliyoruz, yani Kare kök\(\frac(1)(2)\) derecesidir.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Örnek : Logaritmayı hesaplayın \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Çözüm :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Logaritmanın değerini bulmamız gerekiyor, bunu x olarak gösterelim. Şimdi logaritmanın tanımını kullanalım: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) ve \(8\) arasındaki bağlantılar nelerdir? İki, çünkü her iki sayı da ikişer ile temsil edilebilir: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Solda, derece özelliklerini kullanıyoruz: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ve \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Bazlar eşittir, göstergelerin eşitliğine geçiyoruz |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Denklemin her iki tarafını da \(\frac(2)(5)\) ile çarpın |
|
|
Ortaya çıkan kök, logaritmanın değeridir |
Cevap : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Logaritma neden icat edildi?
Bunu anlamak için denklemi çözelim: \(3^(x)=9\). Eşitliğin çalışması için sadece \(x\) ile eşleştirin. Tabii ki, \(x=2\).
Şimdi denklemi çözün: \(3^(x)=8\).x neye eşittir? Mesele bu.
En dahice, "X, ikiden biraz daha azdır" diyecektir. Bu sayı tam olarak nasıl yazılacak? Bu soruyu cevaplamak için logaritmayı buldular. Onun sayesinde buradaki cevap \(x=\log_(3)(8)\) şeklinde yazılabilir.
\(\log_(3)(8)\)'nin yanı sıra şunu vurgulamak istiyorum: herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Evet, alışılmadık görünüyor ama kısa. Çünkü ondalık olarak yazmak isteseydik şöyle görünürdü: \(1.892789260714.....\)
Örnek : \(4^(5x-4)=10\) denklemini çözün
Çözüm :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) ve \(10\) aynı tabana indirgenemez. Yani burada logaritma olmadan yapamazsınız. Logaritmanın tanımını kullanalım: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Denklemi x solda olacak şekilde çevirin |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Bizden önce. \(4\) öğesini sağa taşı. Ve logaritmadan korkmayın, ona normal bir sayı gibi davranın. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Denklemi 5'e bölün |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
İşte kökümüz. Evet, alışılmadık görünüyor, ancak cevap seçilmedi. |
Cevap : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Ondalık ve doğal logaritmalar
Logaritmanın tanımında belirtildiği gibi, tabanı herhangi bir olabilir. pozitif sayı, \((a>0, a\neq1)\) birimi hariç. Ve tüm olası tabanlar arasında, o kadar sık meydana gelen iki tane vardır ki onlarla logaritmalar için özel bir kısa notasyon icat edilmiştir:
Doğal logaritma: tabanı Euler sayısı \(e\) olan (yaklaşık \(2,7182818…\)'e eşit) olan ve logaritması \(\ln(a)\) şeklinde yazılan bir logaritma.
Yani, \(\ln(a)\), \(\log_(e)(a)\) ile aynıdır
Ondalık logaritma: Tabanı 10 olan bir logaritma \(\lg(a)\) şeklinde yazılır.
Yani, \(\lg(a)\), \(\log_(10)(a)\) ile aynıdır, burada \(a\) bir sayıdır.
Temel logaritmik kimlik
Logaritmaların birçok özelliği vardır. Bunlardan birine "Temel logaritmik özdeşlik" denir ve şöyle görünür:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Bu özellik doğrudan tanımdan gelir. Bu formülün tam olarak nasıl ortaya çıktığını görelim.
Hatırlayalım Kısa not logaritma tanımları:
\(a^(b)=c\), ise \(\log_(a)(c)=b\)
Yani \(b\), \(\log_(a)(c)\) ile aynıdır. O zaman \(a^(b)=c\) formülünde \(b\) yerine \(\log_(a)(c)\) yazabiliriz. Ana logaritmik kimlik olan \(a^(\log_(a)(c))=c\) ortaya çıktı.
Logaritmaların geri kalan özelliklerini bulabilirsiniz. Onların yardımıyla, doğrudan hesaplanması zor olan logaritmalarla ifadelerin değerlerini basitleştirebilir ve hesaplayabilirsiniz.
Örnek : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadesinin değerini bulun
Çözüm :
Cevap : \(25\)
Bir sayıyı logaritma olarak nasıl yazarız?
Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Tersi de doğrudur: herhangi bir sayı bir logaritma olarak yazılabilir. Örneğin, \(\log_(2)(4)\) öğesinin ikiye eşit olduğunu biliyoruz. O zaman iki yerine \(\log_(2)(4)\) yazabilirsiniz.
Ancak \(\log_(3)(9)\) aynı zamanda \(2\)'ye eşittir, dolayısıyla \(2=\log_(3)(9)\) yazabilirsiniz. \(\log_(5)(25)\) ve \(\log_(9)(81)\) ile benzer şekilde, vb. Yani, ortaya çıkıyor
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ günlük_(7)(49)...\)
Bu nedenle, ihtiyacımız olursa, ikisini herhangi bir yerde herhangi bir tabana sahip bir logaritma olarak yazabiliriz (bir denklemde, hatta bir ifadede, hatta bir eşitsizlikte bile) - argüman olarak sadece kareli tabanı yazarız.
Üçlü ile aynıdır - \(\log_(2)(8)\) veya \(\log_(3)(27)\) veya \(\log_(4)() olarak yazılabilir 64) \) ... Burada küpteki tabanı argüman olarak yazıyoruz:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ günlük_(7)(343)...\)
Ve dört ile:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ günlük_(7)(2401)...\)
Ve eksi bir ile:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Ve üçte biriyle:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Herhangi bir \(a\) sayısı, \(b\) tabanına sahip bir logaritma olarak temsil edilebilir: \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Örnek : Bir ifadenin değerini bulun \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Çözüm :
Cevap : \(1\)
