Ev › Motor › Çokyüzlülerin bölümlerinin inşası. "Polyhedra bölümleri oluşturma yöntemleri" konulu araştırma çalışması

Çokyüzlülerin bölümlerinin inşası. "Polyhedra bölümleri oluşturma yöntemleri" konulu araştırma çalışması

Görevin kendisi genellikle şöyle gider: "kesit şeklinin doğal bir görünümünü oluştur". Tabii ki bu soruyu bir kenara bırakmamaya ve mümkünse oblik bölümün nasıl yapıldığını açıklamaya çalıştık.

Eğik bir bölümün nasıl yapıldığını anlatmak için birkaç örnek vereceğim. Tabii ki, örneklerin karmaşıklığını kademeli olarak artırarak temelden başlayacağım. Umarım bu kesit çizim örneklerini inceledikten sonra bunun nasıl yapıldığını anlarsınız ve öğrenme görevinizi kendiniz tamamlayabilirsiniz.

İsteğe bağlı bir eğimli düzlemle 40x60x80 mm boyutlarında bir "tuğla" düşünün. Kesme düzlemi onu 1-2-3-4 noktaları boyunca keser. Bence burada her şey açık.

Kesitsel figürün doğal bir formunun yapımına geçelim.
1. Öncelikle kesitin eksenini çizelim. Eksen, kesit düzlemine - düzlemin ana görünümde yansıtıldığı çizgiye paralel - paralel olarak çizilmelidir - genellikle görevin ayarlandığı ana görünümdedir. eğik bir bölümün inşası(Ayrıca, bunun eğitim çizimlerinde neredeyse her zaman böyle olduğunu akılda tutarak, her zaman ana görüşten bahsedeceğim).
2. Eksen üzerinde kesitin uzunluğunu bir kenara bırakıyoruz. Çizimimde L olarak belirtilmiştir. L ölçüsü ana görünümde belirlenmiş olup, kesitin parçaya girdiği noktadan çıktığı noktaya olan mesafeye eşittir.
3. Ortaya çıkan eksende kendisine dik iki noktadan bu noktalardaki kesit genişliklerini ayırıyoruz. Üstten görünümde parçaya giriş noktasındaki ve parçadan çıkış noktasındaki kesit genişliği belirlenebilir. İÇİNDE bu durum 1-4 ve 2-3 segmentlerinin her ikisi de 60 mm'ye eşittir. Yukarıdaki resimden de görebileceğiniz gibi, bölümün kenarları düz, bu nedenle ortaya çıkan iki parçamızı birleştirerek 1-2-3-4 dikdörtgeni elde ediyoruz. Bu - tuğlamızın eğimli bir düzlemle kesitinin figürünün doğal görünümüdür.

Şimdi detayımızı karmaşıklaştıralım. 120x80x20 mm tabana bir tuğla koyalım ve şekle takviye ekleyelim. Şeklin dört elemanının hepsinden (taban, tuğla ve iki stifner içinden) geçecek şekilde bir kesme düzlemi çizelim. Aşağıdaki resimde bu parçanın üç görünümünü ve gerçekçi bir görüntüsünü görebilirsiniz.

Bu eğimli bölümün doğal bir görüntüsünü oluşturmaya çalışalım. Tekrar kesit ekseni ile başlayalım: ana görünümde belirtilen kesit düzlemine paralel çizin. Üzerinde bölümün uzunluğunu bir kenara bıraktık A-E'ye eşit. A noktası, bölümün parçaya giriş noktasıdır ve belirli bir durumda bölümün tabana giriş noktasıdır. Tabandan çıkış noktası B noktasıdır. Kesit ekseninde B noktasını işaretleyelim. Aynı şekilde kenara, “tuğlaya” ve ikinci kenara giriş-çıkış noktalarını işaretliyoruz. Eksene dik A ve B noktalarından, tabanın genişliğine eşit segmentler ayırıyoruz (eksenin her iki tarafında, 40, sadece 80 mm). Bağlamak aşırı noktalar- parçanın tabanının kesitinin doğal bir görünümü olan bir dikdörtgen elde ediyoruz.

Şimdi, parçanın kenarının bir bölümü olan bir bölüm parçası oluşturma zamanı. B ve C noktalarından her yönde 5 mm'lik dikmeler ayırıyoruz - 10 mm'lik bölümler elde edeceğiz. Uç noktaları birleştirin ve nervürün enine kesitini elde edin.

C ve D noktalarından, bu dersin ilk örneğine tamamen benzer şekilde "tuğlanın" genişliğine eşit dikey parçalar ayırıyoruz.

D ve E noktalarından ikinci kenarın genişliğine eşit olan dikmeleri bir kenara bırakıp uç noktaları birleştirerek, kesitinin doğal bir görüntüsünü elde ederiz.

Ortaya çıkan bölümün ayrı ayrı öğeleri arasındaki köprüleri silmek ve taramayı uygulamak için kalır. Bunun gibi bir şey almalısın:

Belirli bir bölüme göre şekli bölersek, aşağıdaki görünümü göreceğiz:

Umarım algoritmanın açıklamasının sıkıcı paragraflarından korkmazsınız. Yukarıdakilerin hepsini okuduysanız ve hala tam olarak anlamadıysanız, kesit nasıl çizilir, Elinize bir parça kağıt ve bir kalem almanızı ve benden sonra tüm adımları tekrar etmeye çalışmanızı şiddetle tavsiye ederim - bu, materyali öğrenmenize neredeyse% 100 yardımcı olacaktır.

Bir keresinde bu yazının devamına söz vermiştim. Son olarak, size ev ödevi düzeyine yakın bir parçanın eğik bölümünün adım adım yapımını sunmaya hazırım. Ayrıca üçüncü görünümde eğik kısım tanımlanır (eğik bölüm sol görünümde tanımlanır)

veya telefon numaramızı yazın ve arkadaşlarınıza bizden bahsedin - muhtemelen birisi çizim yapmanın bir yolunu arıyor

veya sayfanızda veya blogunuzda derslerimiz hakkında bir not oluşturun - ve başka biri çizimde ustalaşabilecektir.

Evet, her şey yolunda, ancak aynı şeyin örneğin pahlar ve koni şeklinde bir delik gibi daha karmaşık bir parçada nasıl yapıldığını görmek istiyorum.

Teşekkür ederim. Ama takviyeler kesiklerde taranmıyor mu?
Kesinlikle. Yumurtadan çıkmayan onlardır. Çünkü onlar Genel kurallar kesimler yapmak. Bununla birlikte, genellikle aksonometrik projeksiyonlarda - izometri, dimetri vb. - kesimler yapılırken taranırlar. Eğimli kesimler yapılırken, takviye ile ilgili alan da gölgelenir.

Teşekkürler, çok erişilebilir. Eğik bölümün üstten görünümde mi yoksa soldan görünümde mi yapılabileceğini söyler misiniz? Öyleyse, en basit örneği görmek isterim. Lütfen.

Bu tür kesimler yapmak mümkündür. Ama ne yazık ki şu an elimde bir örnek yok. Ve bir tane daha var ilginç nokta: bir yandan orada yeni bir şey yok ama diğer yandan pratikte bu tür bölümleri çizmek gerçekten daha zor. Nedense kafalarda her şey karışmaya başlar ve çoğu öğrenci zorlanır. Ama pes etme!

Evet, her şey yolunda ama aynı şeyin nasıl yapıldığını görmek isterim ama deliklerle (geçişli ve geçişsiz), aksi takdirde kafamda asla bir elipse dönüşmezler

karmaşık bir problemde bana yardım et

Buraya yazman üzücü. Postaya yazardık - belki her şeyi tartışmak için zamanımız olabilirdi.

iyi açıklamışsın Ya parçanın kenarlarından biri yarım daire şeklindeyse? Ayrıca parçada delikler mevcuttur.

Ilya, "Bir silindirin eğimli bir düzlemle kesiti" tanımlayıcı geometri bölümündeki dersi kullanın. Bununla deliklerle (aslında onlar da silindirdir) ve yarım daire biçimli bir tarafla ne yapacağınızı anlayabilirsiniz.

Yazara makale için teşekkür ederim Kısa ve anlaşılır Yaklaşık 20 yıl önce bilimin granitini kendim kemirdim, şimdi oğluma yardım ediyorum. Çok şey unuttum, ancak makaleniz konuyla ilgili temel bir anlayış sağladı. Başa çıkmak için silindirin eğimli kısmı ile gideceğim)

Yorumunu ekle.

Planimetri aksiyomları:

Çeşitli ders kitaplarında, çizgilerin ve düzlemlerin özellikleri, bir aksiyom, bunun bir sonucu, bir teorem, bir lemma vb. şeklinde farklı şekillerde sunulabilir. Pogorelov A.V. ders kitabını düşünün.

Düz çizgi, düzlemi iki yarım düzleme ayırır.

Herhangi bir yarım hattan belirli bir yarım düzleme, verilen bir açıyla bir açı bırakılabilir. derece ölçüsü 180'den az 0 ve sadece bir tane.

Üçgen ne olursa olsun, verilen yarım çizgiye göre belirli bir yerde eşit bir üçgen vardır.

Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel düzlemde en fazla bir doğru çizilebilir.

Stereometri aksiyomları:

Düzlem ne olursa olsun, bu düzleme ait noktalar vardır, bu düzleme ait olmayan noktalar vardır ve bu düzleme ait olmayan noktalar vardır.

İki farklı düzlemin ortak bir noktası varsa, bu noktadan geçen düz bir çizgi boyunca kesişirler.

İki farklı çizginin ortak bir noktası varsa, bunların içinden bir düzlem ve dahası yalnızca bir tane çizilebilir.

Hangi çizgi olursa olsun, bu çizgiye ait olan noktalar olduğu gibi ona ait olmayan noktalar da vardır.

Herhangi iki noktadan bir çizgi çizebilirsin ve sadece bir tane.

Bir doğru üzerindeki üç noktadan biri ve yalnızca biri diğer ikisinin arasındadır.

Her parçanın sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır. Bir parçanın uzunluğu, herhangi bir noktasıyla bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.

Bir düzleme ait düz bir çizgi, bu düzlemi iki yarım düzleme ayırır.

Her açının sıfırdan büyük belli bir derecesi vardır. Doğru açı 180 0 . Bir açının derece ölçüsü, kenarlarından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir.

Başlangıç noktasından herhangi bir yarım çizgide, belirli bir uzunlukta ve yalnızca bir parçayı çıkarabilirsiniz.

Onu içeren düzlemdeki bir yarım çizgiden, belirli bir derece ölçüsü 180'den küçük olan bir açı, belirli bir yarım düzleme çizilebilir 0 ve sadece bir tane.

Üçgen ne olursa olsun, verilen düzlemde verilen yarım çizgiye göre belirli bir konumda bir eşit üçgen vardır.

Bir düzlemde, belirli bir doğru üzerinde olmayan belirli bir noktadan, verilen doğruya paralel en fazla bir doğru çizilebilir.

enine kesit

Uzayda, iki şekil, bizim durumumuz için, bir düzlem ve bir çokyüzlü aşağıdaki karşılıklı düzenlemeye sahip olabilir: kesişmez, bir noktada kesişir, düz bir çizgide kesişir ve düzlem çokyüzlüyü iç kısmı boyunca keser (Şekil 1). ve aynı zamanda aşağıdaki şekilleri oluşturur:

a) boş bir şekil (kesişmeyin)

nokta

c) kesmek

d) çokgen

Bir çokyüzlünün ve bir düzlemin kesiştiği noktada bir çokgen varsa, o zaman bu çokgendüzlemli bir çokyüzlünün kesiti olarak adlandırılır .

şekil 1

Tanım. enine kesit uzamsal bir cisim (örneğin, bir çokyüzlü), bir cismin bir düzlemle kesişme noktasında elde edilen bir şekildir.

kesme uçağı çokyüzlü Her iki tarafında belirli bir çokyüzlünün noktaları bulunan herhangi bir düzlemi arayalım.

Yalnızca düzlemin polihedron ile iç kısmı boyunca kesiştiği durumu ele alacağız. Bu durumda, bu düzlemin çokyüzlünün her bir yüzü ile kesişimi belirli bir parça olacaktır.

Düzlemler düz bir çizgide kesişiyorsa, o zaman düz çizgi denirbu uçakların birinden diğerine.

Genel durumda, bir çokyüzlünün sekant düzlemi, yüzlerinin her birinin düzlemiyle (ve bu çokyüzlünün diğer herhangi bir sekant düzlemiyle) kesişir. Ayrıca, çokyüzlünün kenarlarının üzerinde bulunduğu çizgilerin her birini keser.

Kesen düzleminin çokyüzlünün herhangi bir yüzünün düzlemini kestiği çizgiye denir.kesme düzlemini takip etmek bu yüzün düzleminde ve sekant düzleminin çokyüzlünün herhangi bir kenarını içeren çizgiyle kesiştiği noktaya denir.kesme düzlemini takip etmek Açıkbu düz çizgi Bu nokta aynı zamanda kesme düzlemi üzerinde düz bir çizginin izidir. Kesme düzlemi çokyüzlünün yüzünü doğrudan kesiyorsa, o zaman kesme düzleminin yüzdeki izinden ve benzer şekilde hakkında konuşabiliriz.bir çokyüzlünün kenarında bir kesme düzleminin izi, yani kesme düzleminde bir kenarın izi.

Bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, başka herhangi bir düzlemde ve özellikle bir çokyüzlünün herhangi bir yüzünün düzleminde bir sekant düzleminin izini bulmak için, düzlemlerin iki ortak noktasını oluşturmak yeterlidir.

Bir sekant düzleminin izini oluşturmak ve bu düzlemle bir çokyüzlünün bir kesitini oluşturmak için yalnızca çokyüzlünün değil, aynı zamanda sekant düzleminin de belirtilmesi gerekir. Ve kesit düzleminin inşası bu düzlemin atanmasına bağlı olarak gerçekleşir. Bir düzlemi ve özellikle bir sekant düzlemi tanımlamanın ana yolları aşağıdaki gibidir:

bir düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta;

düz bir çizgi ve üzerinde olmayan bir nokta;

iki paralel çizgi;

kesişen iki çizgi;

bir nokta ve iki kesişen çizgi;

Kesme düzlemini tanımlamanın başka yolları da vardır.

Bu nedenle, çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmak için tüm yöntemler yöntemlere ayrılabilir.

Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturma yöntemleri

Stereometride çokyüzlülerin kesit yöntemi inşaat problemlerinde kullanılır. Bir çokyüzlünün kesitini oluşturma ve kesit tipini belirleme yeteneğine dayanır.

Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmak için üç ana yöntem vardır:

Aksiyomatik yöntem:

iz yöntemi.

Kombine yöntem.

koordinat yöntemi.

Not iz yöntemi ve yardımcı kesit yönteminin çeşitler olduğuKesitleri oluşturmak için aksiyomatik yöntem.

Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmak için aşağıdaki yöntemleri de ayırt edebiliriz:

belirli bir noktadan belirli bir düzleme paralel geçen bir düzlem tarafından bir çokyüzlünün bir bölümünün inşası;

verilen bir hattan başka bir hatta paralel geçen bir kesitin inşası;

verilen iki eğri çizgiye paralel olarak belirli bir noktadan geçen bir kesitin oluşturulması;

belirli bir çizgiden belirli bir düzleme dik olarak geçen bir düzlem tarafından bir çokyüzlünün bir bölümünün inşası;

Belirli bir düz çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem tarafından bir çokyüzlünün bir bölümünün inşası.

Kesit oluşturma yöntemlerini oluşturan ana eylemler, bir düz çizginin bir düzlemle kesiştiği noktayı bulmak, iki düzlemin kesiştiği bir çizgi oluşturmak, düzleme dik bir düzleme paralel bir düz çizgi oluşturmaktır. İki düzlemin düz bir kesişme çizgisini oluşturmak için, genellikle noktalarından ikisi bulunur ve bunların arasından bir düz çizgi çizilir. Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasını oluşturmak için, düzlemde verilenle kesişen bir doğru bulun. Daha sonra bulunan çizginin verilen çizgiyle kesiştiği noktada istenen nokta elde edilir.

Bizim tarafımızdan ayrı olarak listelenmiş düşününçokyüzlülerin bölümlerini oluşturma yöntemleri:

iz yöntemi.

izleme yöntemi stereometri aksiyomlarına dayalıdır (çalıştırılır), yöntemin özü, kesme düzleminin şeklin herhangi bir yüzünün düzlemi ile kesişme çizgisinin görüntüsü olan bir yardımcı çizgi oluşturmaktır. Alt tabanın düzlemi ile kesme düzleminin kesişme çizgisinin bir görüntüsünü oluşturmak en uygunudur. Bu hatkesme düzleminin ana izi olarak adlandırılır . İzi kullanarak, şeklin yan kenarlarında veya yüzlerinde bulunan kesme düzlemi noktalarının görüntülerini oluşturmak kolaydır. Bu noktaların görüntülerini tutarlı bir şekilde birleştirerek istenen bölümün görüntüsünü elde ederiz.

Not sekant düzleminin ana izini oluştururken aşağıdaki ifade kullanılır.

Noktalar sekant düzlemine aitse ve tek bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa ve bunların ana düzlem olarak seçilen düzleme izdüşümleri (merkezi veya paralel) sırasıyla noktalardır. daha sonra karşılık gelen çizgilerin kesişme noktaları, yani noktalar ve aynı çizgi üzerinde uzanır (Şekil 1, a, b).

şek.1.a şek.1.b

Bu çizgi kesme düzleminin ana izidir. Noktalar ana iz üzerinde bulunduğundan, onu oluşturmak için bu üç noktadan ikisini bulmak yeterlidir.

Yardımcı bölümler yöntemi.

Çokyüzlülerin bu bölümlerini oluşturma yöntemi yeterince evrenseldir. Kesme düzleminin istenilen izinin (veya izlerinin) çizimin dışında olduğu durumlarda bu yöntemin bazı avantajları bile vardır. Aynı zamanda, bu yöntemle yapılan yapıların genellikle “kalabalık” olduğu unutulmamalıdır. Bununla birlikte, bazı durumlarda, yardımcı bölümlerin yöntemi en rasyonel olarak ortaya çıkıyor.

kombine yöntem

Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmak için birleşik yöntemin özü, aksiyomatik yöntemle birlikte uzayda çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği üzerine teoremlerin uygulanmasıdır.

Bölümleri oluşturmak için koordinat yöntemi.

Koordinat yönteminin özü, düzlemin denklemi ile verilen bir sekant düzlemi ile kenarların veya bir çokyüzlünün kesişme noktalarının koordinatlarını hesaplamaktır. Kesit düzleminin denklemi, problemin koşullarına göre hesaplanır.

Not çokyüzlünün bir bölümünü oluşturma yönteminin bir bilgisayar için kabul edilebilir olduğu, çünkü çok sayıda hesaplamayla ilişkili olduğu ve bu nedenle bu yöntemin bir bilgisayar kullanılarak uygulanması tavsiye edilir.

Ana görevimiz, bir düzlem ile bir çokyüzlünün bir bölümünü inşa etmek olacaktır, yani. bu iki kümenin kesişimini oluştururken.

Çokyüzlülerin bölümlerinin inşası

Her şeyden önce, dışbükey bir çokyüzlünün kesitinin, genel durumdaki köşeleri, çokyüzlünün kenarları ile sekant düzleminin kesişme noktaları ve yüzleri ile yanları olan dışbükey bir düz çokgen olduğunu not ediyoruz.

Bölüm oluşturma örnekleri:

Bir bölümü tanımlamanın birçok farklı yolu vardır. Bunlardan en yaygın olanı, bir düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta ile bir kesme düzlemi belirleme yöntemidir.

örnek 1 ABCDA kutusu için 1 B 1 C 1 D 1 . M, N, L noktalarından geçen bir kesit oluşturun.

Çözüm:

AA düzleminde bulunan M ve L noktalarını birleştirin 1 D 1 D.

ML çizgisini (kesite ait) A kenarı ile kesiştirin 1 D 1 1 D 1 D. X noktasını alın 1 .

X1 noktası A kenarı üzerindedir. 1 D 1 , ve dolayısıyla A düzlemleri 1 B 1 C 1 D 1 , aynı düzlemde yatan bir N noktasına bağlayın.

X 1 N, A kenarıyla kesişir 1 B 1 K noktasında

Aynı AA düzleminde bulunan K ve M noktalarını birleştirin 1 B 1 B.

Kesit düzleminin DD düzlemiyle kesişme çizgisini bulun 1 C 1 C:

ML çizgisini (kesite ait) DD kenarı ile kesiştirin 1 , aynı düzlemde uzanırlar AA 1 D 1 D, X noktasını al 2 .

Kesite ait KN doğrusunu D kenarı ile kesiştirelim. 1 C 1 , aynı A düzleminde bulunurlar 1 B 1 C 1 D 1 , X3 noktasını elde ederiz;

X2 ve X3 noktaları DD düzleminde bulunur 1 C 1 C. Bir çizgi çiz X 2 X 3 , C kenarıyla kesişen 1 T noktasında C ve P noktasında DC kenarı. Ve ABCD düzleminde bulunan L ve P noktalarını birleştirelim.

Böylece, bizim yaptığımız gibi, düzlemin çokyüzlünün yüzlerini kestiği tüm parçalar bulunursa, problem çözülmüş kabul edilir. MKNTPL - istenen bölüm.

Not. Bir bölüm oluşturmak için aynı görev, paralel düzlemlerin özelliği kullanılarak çözülebilir.

Yukarıdakilerden, bu tür problemleri çözmek için bir algoritma (kural) oluşturabiliriz.

Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmak için kurallar:

Örnek 2 DL, M

Aksiyomatik yöntemle çözüyoruz:

Yardımcı bir düzlem çizinDkmAB ve BC kenarlarını E noktalarında kesen veF(çözümün seyri Şekil 2'dedir.). Bu yardımcı düzlemde kesit düzleminin CM'sinin bir "izini" oluşturalım, CM ve E'nin kesişme noktasını bulalım.F- P noktası. P Noktası ve ayrıcaL, ABC düzleminde yer alır ve kesit düzleminin ABC düzlemiyle kesiştiği düz bir çizgi çizmek mümkündür (ABC düzlemindeki kesitin "izi").

Örnek 3 MABCD piramidinin AB ve AD kenarlarında bu kenarların orta noktaları olan sırasıyla P ve Q noktalarını, MC kenarında ise R noktasını belirliyoruz. P, Q ve R noktalarından

Çözüm, kombine bir yöntemle gerçekleştirilecektir:

1). PQR düzleminin ana izinin PQ çizgisi olduğu açıktır.

2). MAC düzleminin PQ doğrusunu kestiği K noktasını bulun. K ve R noktaları hem PQR düzlemine hem de MAC düzlemine aittir. Bu nedenle, KR düz çizgisini çizerek, bu düzlemlerin kesişme çizgisini elde ederiz.

3). N=AC BD noktasını bulalım, MN doğrusunu çizelim ve F=KR MN noktasını bulalım.

4). F noktası ortak nokta PQR ve MDB düzlemleri yani bu düzlemler F noktasından geçen düz bir çizgi boyunca kesişir. Aynı zamanda PQ ABD üçgeninin orta çizgisi olduğu için PQ BD'ye paraleldir yani PQ doğrusu da MDB düzlemine paralel. Daha sonra PQ doğrusundan geçen PQR düzlemi, PQ doğrusuna paralel yani BD doğrusuna paralel hat boyunca MDB düzlemiyle kesişir. Bu nedenle, MDB düzleminde F noktasından geçen BD doğrusuna paralel bir doğru çiziyoruz.

5). Diğer yapılar şekilden açıktır. Sonuç olarak, gerekli bölüm olan PQD"RB" poligonunu elde ederiz.

Prizmanın bölümlerini düşünün basitlik için, yani mantıksal düşünmenin rahatlığı için, küpün bölümlerini göz önünde bulundurun (Şekil 3.a):

Pirinç. 3 A

Prizmanın yan kenarlara paralel düzlemlerle kesitleri paralelkenarlardır. Özellikle köşegen kesitler paralelkenardır (Şek. 4).

Def. diyagonal bölüm prizma, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlemin kesitidir.

Bir prizmanın köşegen bölümünden kaynaklanan çokgen bir paralelkenardır. Köşegen bölümlerin sayısı hakkında soruN-açısal prizma, köşegen sayısı sorusundan daha zordur. Tabanda köşegen sayısı kadar bölüm olacaktır. Dışbükey bir prizmanın tabanlarında dışbükey çokgenler olduğunu, dışbükey bir prizmanın ise dışbükey olduğunu biliyoruz.N- köşegenler. Ve böylece köşegenlerin sayısının yarısı kadar köşegen bölüm olduğunu söyleyebiliriz.

Not: Şekilde bir paralelyüzün bölümlerini oluştururken, kesme düzlemi bazı bölümler boyunca iki zıt yüzü keserse, bu bölümlerin "paralelyüzün özelliği gereği" paralel olduğu gerçeği dikkate alınmalıdır, yani. Paralelyüzün karşılıklı yüzleri paralel ve eşittir.

Sık sorulan soruların yanıtlarını sunuyoruz:

Bir küpün bir düzlemle bölümünde hangi çokgenler elde edilir?

"üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen".

Bir küpün düzlem kesiti bir yedigen oluşturabilir mi? Ve sekizgen?

"yapamamak".

3) Soru ortaya çıkıyor, bir çokgenin düzlemli bir bölümü tarafından elde edilen bir çokgenin en büyük kenar sayısı nedir?

en büyük sayıçokgenin düzlem tarafından kesitinde elde edilen çokgenin kenarları, çokgenin yüz sayısına eşittir .

Örnek 3 A prizmasının bir bölümünü oluşturun 1 B 1 C 1 D 1 M, N, K üç noktasından geçen bir düzlem tarafından ABCD.

Bir prizmanın yüzeyinde M, N, K noktalarının konumunu düşünün (Şekil 5).

Durumu ele alalım: Bu durumda M1 = B1 olduğu açıktır.

Bina:

Örnek 4 Paralel uçlu ABCDA'nın bir bölümünü oluşturun 1 B 1 C 1 D 1 M, N, P noktalarından geçen bir düzlem (noktalar çizimde belirtilmiştir (Şekil 6)).

Çözüm:

Pirinç. 6

N ve P noktaları, kesit düzleminde ve paralelyüzün alt tabanının düzleminde bulunur. Bu noktalardan geçen bir doğru çizelim. Bu çizgi, paralelyüzün taban düzlemindeki sekant düzleminin izidir.

Paralelyüzün AB kenarının üzerinde bulunduğu çizgiden devam edelim. AB ve NP doğruları S noktasında kesişir. Bu nokta kesit düzlemine aittir.

M noktası da kesit düzlemine ait olduğundan ve AA doğrusunu kestiğinden 1 bir noktada x

X ve N noktaları, AA yüzünün aynı düzleminde bulunur 1 D 1 D, onları bağlayın ve XN hattını alın.

Paralel borunun yüzlerinin düzlemleri paralel olduğundan, A yüzündeki M noktasından geçen düz bir çizgi çizmek mümkündür. 1 B 1 C 1 D 1 NP hattına paralel. Bu çizgi B tarafıyla kesişecek 1 İLE 1 Y noktasında

Benzer şekilde, XN doğrusuna paralel olarak YZ doğrusunu çiziyoruz. Z'yi P ile birleştiriyoruz ve istenen bölümü alıyoruz - MYZPNX.

Piramidin tepesinden geçen düzlemlere göre kesitleri üçgendir. Özellikle köşegen bölümler üçgendir. Bunlar, piramidin bitişik olmayan iki yan kenarından geçen düzlemlerle kesitlerdir.

Örnek 4 ABC piramidinin bir bölümünü oluşturunDK noktalarından geçen bir düzlem,L, M.

Çözüm:

Aynı örneği farklı çözelim. .

Farz edelim ki K noktaları için,L, ve М bölümüKLNM(Şek. 7). ile gösterFdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıKLNM. Düz bir çizgi çizelimD.F.ve ile belirtmekF 1 ABC yüzü ile kesişme noktası. NoktaF 1 AM ve SK çizgilerinin kesişme noktası ile çakışıyor (F 1 aynı anda AM uçaklarına aittirDVeDSC). noktaF 1 inşa etmesi kolay. Sonra bir nokta oluşturuyoruzFkesişme noktası olarakD.F. 1 VeLM. sonra noktayı buluruzN.

Ele alınan yöntem deniriç tasarım yöntemi . (Bizim durumumuz için Konuşuyoruz Merkezi tasarım hakkında. dörtgenKISA bir dörtgenin izdüşümüdürKMNLbir noktadanD. Bu durumda köşegenlerin kesişme noktasıKMNL- noktaF- dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasına giderKISA - noktaF 1 .

Bir çokyüzlünün kesit alanı.

Bir çokyüzlünün enine kesit alanını hesaplama sorunu genellikle birkaç aşamada çözülür. Eğer problem kesitin inşa edildiğini (ya da kesme düzleminin çizildiğini vb.) söylüyorsa çözümün ilk aşamasında kesitte elde edilen şeklin şekli bulunur.

Bu, kesit alanını hesaplamak için uygun formülü seçmek için yapılmalıdır. Bölümde elde edilen şeklin şekli netleştirilip bu şeklin alanını hesaplama formülü seçildikten sonra doğrudan hesaplama çalışmasına geçilir.

Bazı durumlarda, bölümde elde edilen şeklin şeklini bulmadan, teoremden çıkan formülü kullanarak hemen alanını hesaplamaya geçersek daha kolay olabilir.

Bir çokgenin ortogonal izdüşümünün alanına ilişkin teorem: bir çokgenin bir düzleme dik izdüşümünün alanı, alanının ürününe ve çokgenin düzlemi ile izdüşüm düzlemi arasındaki açının kosinüsüne eşittir: .

Kesit alanını hesaplamak için geçerli bir formül şudur: kesitte elde edilen şeklin ortogonal izdüşümünün alanı nerede ve sekant düzlemi ile şeklin izdüşüm edildiği düzlem arasındaki açıdır. Böyle bir çözümle, kesitte elde edilen şeklin ortogonal bir izdüşümünü oluşturmak ve hesaplamak gerekir.

Sorunun durumu, bölümün yapılması gerektiğini ve elde edilen bölümün alanının bulunması gerektiğini söylüyorsa, o zaman ilk aşamada verilen bölümün inşa edilmesi ve ardından doğal olarak şeklinin belirlenmesi mantıklıdır. bölümde elde edilen şekil vb.

Şu gerçeği not ediyoruz: Dışbükey çokyüzlülerin bölümleri inşa edildiğinden, çokgen bölümü de dışbükey olacaktır, bu nedenle alanı üçgenlere bölünerek bulunabilir, yani bölüm alanı, alanların toplamına eşittir. oluşturan üçgenlerdir.

Görev 1.

– doğru Üçgen piramit taban kenarı bir yüksekliğe eşit ve eşit olacak. Kenarın orta noktası olan noktalardan geçen bir düzlemle piramidin bir bölümünü oluşturun ve alanını bulun (Şek. 8).

Çözüm.

Piramidin enine kesiti bir üçgendir. alanını bulalım.

Piramidin tabanı bir eşkenar üçgen olduğundan ve noktası kenarın orta noktası olduğundan, o zaman yükseklik ve sonra, .

Bir üçgenin alanı bulunabilir:

Görev 2.

yan nervür düzgün prizmanın tabanının kenarına eşittir. Bir noktadan geçen düzlemlerle bir prizmanın kesitlerini oluşturunA, doğruya dik prizmanın elde edilen kesitinin alanını bulursanız.

Çözüm.

Verilen bölümü oluşturalım. Bunu, örneğin aşağıdaki gibi tamamen geometrik düşüncelerden hareketle yapalım.

Belirli bir doğru ve belirli bir noktadan geçen bir düzlemde, bu noktadan geçen doğruya dik bir doğru çiziyoruz (Şekil 9). Bu amaçla üçgende olduğu gerçeğini kullanalım. yani medyanı da bu üçgenin yüksekliğidir. Böylece düz bir çizgi.

Noktadan, çizgiye dik başka bir çizgi çiziyoruz. Örneğin düz bir çizgiden geçen bir düzlemde çizelim. Bu çizginin bir çizgi olduğu açıktır.

Böylece, çizgiye dik kesişen iki çizgi inşa edilir. Bu doğrular, doğruya dik bir noktadan geçen bir düzlemi tanımlar, yani bir kesme düzlemi verilir.

Bu düzlemle prizmanın bir bölümünü oluşturuyoruz. Doğrunun düzleme paralel olduğuna dikkat edin. Daha sonra çizgiden geçen düzlem, düzlemi çizgiye paralel bir çizgi boyunca, yani çizgi boyunca keser. Noktadan düz bir çizgi çizin ve ortaya çıkan noktayı bir noktayla birleştirin.

Dörtgen verilen bölüm. alanını belirleyelim.

Bir dörtgenin bir dikdörtgen olduğu, yani alanı olduğu açıktır.

pirinç. 9

ÇİZİMLER ÜZERİNDEN KESİTLERİN VE KESİTLERİN İNŞAATI

Parçanın çizimi, gerekli çıkıntıların, kesimlerin ve kesitlerin sırayla eklenmesiyle oluşturulur. Başlangıçta, kullanıcı tanımlı bir modelle özel bir görünüm oluşturulur ve model yönü, ana görünüme en uygun olacak şekilde ayarlanır. Ayrıca bu ve sonraki tipler için gerekli kesim ve kesitler oluşturulur.

Ana görünüm (önden görünüm), parçanın şekilleri ve boyutları hakkında en eksiksiz fikri verecek şekilde seçilir.

Çizimlerdeki bölümler

Kesme düzleminin konumuna bağlı olarak, aşağıdaki kesim türleri ayırt edilir:

A) kesme düzlemi yatay izdüşüm düzlemine paralel ise yatay;

B) kesme düzlemi yatay izdüşüm düzlemine dik ise dikey;

C) eğimli - kesme düzlemi, projeksiyon düzlemlerine eğimlidir.

Dikey bölümler ayrılır:

· ön - kesme düzlemi, önden projeksiyon düzlemine paraleldir;

· profil - kesme düzlemi, profil projeksiyon düzlemine paraleldir.
Kesme düzlemlerinin sayısına bağlı olarak, kesimler şöyledir:

· basit - bir kesme düzlemi ile (Şek. 107);

· karmaşık - iki veya daha fazla kesme düzlemi ile (Şek. 108)
Standart, aşağıdaki karmaşık kesim türlerini sağlar:

· sekant düzlemleri paralel olduğunda (Şekil 108 a) ve kesik çizgiler - sekant düzlemleri kesiştiğinde (Şekil 108 b) kademeli

Şekil 107 Basit kesim

A) b)

Şekil 108 Karmaşık kesimler

Kesimlerin belirlenmesi

Basit bir kesitte sekant düzleminin nesnenin simetri düzlemiyle çakışması durumunda, kesit gösterilmez (Şekil 107). Diğer tüm durumlarda, bölümler, örneğin A-A gibi A harfinden başlayarak Rus alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir.

Çizimdeki kesme düzleminin konumu, kalınlaştırılmış açık bir çizgi olan kesit çizgisiyle gösterilir. Karmaşık bir kesim ile, kesit çizgisinin kıvrımlarında da vuruşlar gerçekleştirilir. Bakış yönünü gösteren oklar ilk ve son vuruşlara yerleştirilmeli, oklar vuruşların dış uçlarından 2-3 mm mesafede olmalıdır. Bakış yönünü gösteren her okun dış tarafında aynı büyük harf uygulanır.

KOMPAS sisteminde kesimleri ve bölümleri belirtmek için aynı düğme kullanılır. Açıklama sayfasında yer alan kesit çizgisi (şek.109).

Şekil 109 Kesit çizgisi düğmesi

Yarım Görünümü Yarım Kesite Bağlama

Görünüm ve kesit simetrik şekillerse (Şek. 110), görünümün yarısı ile kesitin yarısını simetri ekseni olan kesikli ince bir çizgiyle ayırarak birleştirebilirsiniz. Kesitin bir kısmı genellikle görünümün bir kısmını kesitin bir kısmından ayıran simetri ekseninin sağına veya simetri ekseninin altına yerleştirilir. Görünüşün ve kesitin bağlantılı bölümlerindeki gizli kontur çizgileri genellikle gösterilmez. Görünümü ve kesiti ayıran eksen çizgisi, örneğin yönlü bir şeklin kenarı gibi bir çizginin izdüşümüne denk geliyorsa, görünüm ve kesit, simetri ekseninin soluna çizilen düz dalgalı bir çizgi ile ayrılır. kenar, iç yüzeyde veya kenar dışsa sağda yer alır.

Pirinç. 110 Bir görünümün ve bir kesitin bağlantı parçası

Bina kesimleri

KOMPAS sistemindeki bölümlerin yapımını, görevi Şekil 111'de gösterilen bir prizma çizimi oluşturma örneğini kullanarak inceleyeceğiz.

Çizim sırası aşağıdaki gibidir:

1. Yazan verilen boyutlar katı bir prizma modeli yapalım (Şekil 109 b). Modeli bilgisayarın hafızasında "Prism" adlı bir dosyaya kaydedelim.

Şekil 112 Çizgiler paneli

3. Bir profil bölümü oluşturmak için (Şek. 113) bir çizgi çiz bölüm A-A düğmesini kullanarak ana görünümde Kesim çizgisi.

Şekil 113 Bir profil bölümünün yapımı

Görüş yönü ve atama metni, ekranın alt kısmındaki komutla kontrol panelinde seçilebilir (Şek. 114). Kesit çizgisinin oluşturulması, Nesne oluştur düğmesine basılarak tamamlanır.

Şekil 114 Kesikler ve bölümler oluşturma komutu için kontrol paneli

4. İlişkili Görünümler panelinde (Şek. 115), Çizgiyi kes düğmesini seçin, ardından ekranda görünen bindirme ile kesme çizgisini belirtin. Her şey doğru yapılırsa (etkin görünümde kesim çizgisi çizilmelidir), ardından kesim çizgisi kırmızıya döner. A-A kesim çizgisini belirledikten sonra, ekranda genel bir dikdörtgen şeklinde bir hayalet görüntü belirecektir.

Şekil 115 İlişkili görünümler paneli

Özellik çubuğundaki Kesme/kesit anahtarının yardımıyla görüntü tipi seçilir - Kes (Şek. 116) ve görüntülenen kesimin ölçeği.

Şekil 116 Kesikler ve bölümler oluşturma komutu için kontrol paneli

Profil kesiti, projeksiyon bağlantısında otomatik olarak ve standart bir gösterimle oluşturulacaktır. Gerekirse, projeksiyon bağlantısı anahtarla kapatılabilir. Projeksiyon bağlantısı (Şek. 116). Oluşturulan bölümde (bölümde) kullanılacak tarama parametrelerini ayarlamak için Tarama sekmesindeki kontrolleri kullanın.

Şekil 117 B-B yatay kesitinin ve C-C kesitinin yapımı

Kesimi oluştururken seçilen kesme düzlemi, parçanın simetri düzlemiyle çakışıyorsa, standarda göre böyle bir kesim belirtilmez. Ancak bölüm tanımını basitçe silerseniz, bilgisayarın belleğindeki görünüm ve bölümün birbirine bağlı olması nedeniyle bölümün tamamı silinecektir. Bu nedenle atamayı kaldırmak için öncelikle görünüm ile kesit arasındaki bağlantıyı kesmeniz gerekir. Bunu yapmak için, bölümü seçmek için farenin sol düğmesine tıklayın ve ardından İmha görünümü öğesinin seçildiği içerik menüsünü açmak için farenin sağ düğmesine tıklayın (Şek. 97). Bölüm sembolü artık silinebilir.

5. Yatay bir kesit oluşturmak için önden görünümde deliğin alt düzleminden geçen bir B-B kesit çizgisi çizelim. Önden görünüm önce farenin sol düğmesine iki kez tıklanarak güncel hale getirilmelidir. Daha sonra yatay bir bölüm yapılır (Şek. 117).

6. Bir cephe kesiti oluştururken, görünümün bir kısmı ve kesitin bir kısmı uyumludur, çünkü simetrik figürlerdir. Prizmanın dış kenarı, görünüş ile kesimi ayıran çizgiye yansıtılır, böylece simetri ekseninin sağına çizilen katı ince dalgalı bir çizginin görünümü ve kesiti, çünkü dış kaburga Düğme dalgalı bir çizgi çizmek için kullanılır. Kırpma çizgisi stiliyle çizilen Geometri panelinde bulunan Bezier eğrisi (Şek. 118). Bezier eğrisinin geçmesi gereken noktaları sırayla belirleyin. Komut yürütmeyi bitirmek için Nesne oluştur düğmesine tıklayın.

Şekil 118 Mola için bir çizgi stili seçme

kesit alma

Kesit, bir nesnenin bir düzlemle zihinsel olarak parçalanmasıyla elde edilen bir nesnenin görüntüsüdür. Kesit, yalnızca kesme düzleminde bulunanları gösterir.

Kesitin oluşturulduğu kesme düzleminin konumu, kesitlerde olduğu gibi çizimde kesit çizgisi ile gösterilir.

Kesitler, çizimlerdeki konumlarına bağlı olarak uzatılmış ve üst üste bindirilmiş olarak bölünmüştür. Kaldırılan bölümler çoğunlukla çizimin serbest alanında bulunur ve ana çizgiyle belirtilir. Üst üste binen bölümler doğrudan nesnenin görüntüsünün üzerine yerleştirilir ve ince çizgilerle çevrelenir (Şek. 119).

Şekil 119 Bölümlerin yapımı

Uzatılmış eğik bir prizma çizimi oluşturma sırasını düşünün B-B bölümü(Şek. 117).

1. Görünüm üzerinde farenin sol tuşuna çift tıklayarak ön görünümü aktif hale getirin ve butonu kullanarak bir kesit çizgisi çizin. Kesme hattı . В-В yazısının metnini seçelim.

2. Bir tuzak olarak görünen İlişkili Görünümler panelinde (Şek. 115) bulunan Çizgiyi Kes düğmesini kullanarak, sekant çizgisini belirtin uçaklar. Özellik çubuğundaki Kesme/kesit anahtarını kullanarak görüntü tipini seçin - Kesit (Şek. 116), Ölçek penceresinden görüntülenen kesitin ölçeği seçilir.

Oluşturulan bölüm, çizimdeki hareketini sınırlayan bir projeksiyon ilişkisinde bulunur, ancak projeksiyon ilişkisi düğmesi kullanılarak kapatılabilir. projeksiyon bağlantısı.

Bitmiş çizimde, çizin merkez çizgileri, gerekirse boyutları girin.

Çokyüzlülerin bölümlerini inşa etme görevleri önemli yer lise için okul geometri dersi olarak ve çeşitli seviyelerdeki sınavlarda. Bu tür problemlerin çözümü, stereometri aksiyomlarının özümsenmesine, bilgi ve becerilerin sistemleştirilmesine, gelişmeye katkıda bulunur. mekansal temsil ve yapıcı beceriler. Bölümlerin yapımında problemlerin çözümünde ortaya çıkan zorluklar iyi bilinmektedir.

itibaren erken çocukluk kesintilerle karşı karşıyayız. Ekmek, sosis ve diğer ürünleri kesiyoruz, bıçakla bir çubuk veya kalem kesiyoruz. Tüm bu durumlarda sekant düzlemi bıçağın düzlemidir. Bölümler (parçaların bölümleri) farklıdır.

Dışbükey bir çokyüzlünün bölümü, genel durumda köşeleri kesme düzleminin çokgenin kenarları ile kesişme noktaları olan ve kenarları kesme düzleminin kesişme çizgileri olan dışbükey bir çokgendir. yüzler.

İki düzlemin kesişme çizgisini oluşturmak için, bu düzlemlerin iki ortak noktasını bulmak ve aralarından bir çizgi çizmek yeterlidir. Bu, aşağıdaki ifadelere dayanmaktadır:

1. bir düz çizginin iki noktası bir düzleme aitse, tüm çizgi bu düzleme aittir;

2. İki farklı düzlemin ortak bir noktası varsa, bu noktadan geçen düz bir çizgi boyunca kesişirler.

Daha önce de söylediğim gibi, çokyüzlülerin bölümlerinin inşası, stereometri aksiyomları ve çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği üzerine teoremler temelinde gerçekleştirilebilir. Aynı zamanda, çokyüzlülerin düzlem kesitlerini oluşturmak için belirli yöntemler vardır. Aşağıdaki üç yöntem en etkili olanlardır:

izleme yöntemi

İç tasarım yöntemi

Kombine yöntem.

Geometri çalışmasında ve özellikle onun görüntülerin dikkate alındığı bölümlerinde geometrik şekiller, geometrik şekillerin görüntüleri bilgisayar sunumlarının kullanılmasına yardımcı olur. Bir bilgisayar yardımıyla birçok geometri dersi daha görsel ve dinamik hale gelir. Aksiyomlar, teoremler, ispatlar, oluşturma görevleri, bölümleri oluşturma görevleri, monitör ekranında birbirini izleyen yapılara eşlik edebilir. Bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler kaydedilebilir ve diğer belgelere yapıştırılabilir.

Konuyla ilgili birkaç slayt göstermek istiyorum: "Bölümlerin yapımı geometrik cisimler»

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasını oluşturmak için düzlemde verilen doğruyu kesen bir doğru bulun. O zaman istenen nokta, bulunan çizginin verilen çizgiyle kesişme noktasıdır. Sonraki slaytlarda görelim.

Görev 1.

Dört yüzlü DABC'nin kenarlarında iki nokta M ve N işaretlenmiştir; M GAD, N b DC. MN çizgisinin taban düzlemi ile kesişme noktasını seçin.

Çözüm: MN doğrusu ile düzlemin kesiştiği noktayı bulmak için

baz AC ve MN segmentine devam edeceğiz. Bu doğruların kesişme noktasını X üzerinden işaretleyelim. X noktası MN doğrusuna aittir ve AC yüzü taban düzlemindedir, yani X noktası da taban düzleminde yer alır. . Bu nedenle, X noktası, MN çizgisinin taban düzlemi ile kesişme noktasıdır.

İkinci sorunu ele alalım. Biraz karmaşıklaştıralım.

Görev 2.

M ve N noktalarının bir tetrahedron DABC'si verildiğinde, burada M € DA, NC (DBC). MN doğrusunun ABC düzlemiyle kesiştiği noktayı bulun.

Çözüm: MN doğrusunun ABC düzlemiyle kesiştiği nokta, MN doğrusunu içeren düzlemde ve taban düzleminde bulunmalıdır. DN segmentini kenar DC ile kesişme noktasına kadar devam ettiriyoruz. Kesişme noktasını E ile işaretliyoruz. AE ve MN çizgisini kesiştikleri noktaya kadar devam ettiriyoruz. Not X. X noktası MN'ye aittir, bu nedenle MN doğrusunu içeren düzlem üzerinde yer alır ve X, AE'ye aittir ve AE, ABC düzlemi üzerinde yer alır. Yani X de ABC düzleminde yer alır. Dolayısıyla X, MN doğrusu ile ABC düzleminin kesişme noktasıdır.

Görevi karmaşıklaştıralım. Verilen üç noktadan geçen düzlemlerle geometrik şekillerin bir kesitini ele alalım.

Görev 3

M, N ve P noktaları DABC tetrahedronun AC, AD ve DB kenarlarında işaretlenmiştir.MNP düzlemi tarafından tetrahedronun bir bölümünü oluşturun.

Çözüm: MNP düzleminin geçtiği düz bir çizgi oluşturun. ABC yüz düzlemini keser. M noktası bu düzlemlerin ortak noktasıdır. Başka bir ortak nokta oluşturmak için AB ve NP segmentine devam ediyoruz. Kesişme noktasını MNP ve ABC düzleminin ikinci ortak noktası olacak X üzerinden işaretliyoruz. Yani bu düzlemler MX düz çizgisi boyunca kesişiyor. MX, BC kenarını bir E noktasında keser. E, MX üzerinde bulunduğundan ve MX, MNP düzlemine ait bir doğru olduğundan, PE'nin MNP'ye ait olduğu sonucu çıkar. Dörtgen MNPE gerekli bölümdür.

Görev 4

ABCA1B1C1 düz prizmasının P noktalarından geçen bir düzlemle kesitini oluşturuyoruz. , Q,R, R'nin ait olduğu yer ( AAA 1C 1C), R aittir İÇİNDE 1C1,

Q, AB'ye aittir

Çözüm: Her üçü P,Q,R noktaları farklı yüzlerde uzanır, bu nedenle sekant düzleminin prizmanın herhangi bir yüzü ile kesiştiği bir çizgi oluşturamayız. PR ile ABC'nin kesişme noktasını bulalım. P ve R noktalarının BC'ye dik PP1 ve AC'ye dik RR1 taban düzlemi üzerindeki izdüşümlerini bulalım. P1R1 doğrusu PR hattını X noktasında kesiyor. X, PR hattının ABC düzlemiyle kesişme noktasıdır. İstenen K düzleminde ve Q noktası gibi taban düzleminde bulunur. XQ, K'yi taban düzlemiyle kesişen düz bir çizgidir. XQ, AC'yi K noktasında keser. Bu nedenle KQ, X düzleminin ABC yüzü ile kesiştiği segmenttir. K ve R, X düzleminde ve AA1C1C yüzünün düzleminde bulunur. Bir KR çizgisi çizin ve A1Q E ile kesişme noktasını işaretleyin. KE, X düzleminin bu yüzle kesişme çizgisidir. X düzleminin BB1A1A yüzlerinin düzlemiyle kesişme çizgisini bulun. KE, A1A ile Y noktasında kesişir. QY doğrusu, sekant düzleminin AA1B1B düzlemi ile kesişme çizgisidir. FPEKQ - istenen bölüm.

Bir küpün bölümlerini bir düzlemle inşa etme görevleri, kural olarak, örneğin bir piramidin bölümleri için olan görevlerden daha basittir.

Aynı düzlemde bulunan iki noktadan bir çizgi çizebiliriz. Bir küpün kesitlerini oluştururken, bir kesme düzleminin izini oluşturmak için bir seçenek daha mümkündür. Üçüncü düzlem iki paralel düzlemi paralel düz çizgiler boyunca kestiğinden, o zaman yüzlerden birinde zaten bir düz çizgi oluşturulmuşsa ve diğerinde bölümün geçtiği bir nokta varsa, o zaman düz bir çizgi çizebiliriz. bu nokta verilene paraleldir.

üzerinde düşünün somut örnekler bir küpün kesitlerini bir düzlemle nasıl oluşturacağınızı.

1) A, C ve M noktalarından geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun.

Bu tür problemler, bir küpün bölümlerini oluşturmak için tüm problemlerin en basitidir. A ve C noktaları aynı düzlemde (ABC) bulunduğundan, içlerinden bir çizgi çizebiliriz. İzi segment AC'dir. Görünmez, bu yüzden AC'yi bir vuruşla tasvir ediyoruz. Benzer şekilde, aynı düzlemde bulunan M ve C noktalarını (CDD1) ve aynı düzlemde bulunan A ve M noktalarını (ADD1) birleştiriyoruz. Üçgen ACM gerekli bölümdür.

2) M, N, P noktalarından geçen bir düzlemle küpün bir kesitini oluşturun.

Burada sadece M ve N noktaları aynı düzlemde (ADD1) bulunur, bu yüzden bunların içinden düz bir çizgi çizeriz ve MN izini (görünmez) elde ederiz. Küpün karşılıklı yüzleri paralel düzlemlerde bulunduğundan kesme düzlemi paralel düzlemleri (ADD1) ve (BCC1) paralel doğrular boyunca keser. Paralel hatlardan birini zaten inşa ettik - bu MN.

P noktasından MN'ye paralel bir çizgi çiziyoruz. BB1 kenarını S noktasında keser. PS, yüzdeki (BCC1) sekant düzleminin izidir.

Aynı düzlemde (ABB1) bulunan M ve S noktalarından geçen düz bir çizgi çiziyoruz. MS izini aldım (görünür).

(ABB1) ve (CDD1) düzlemleri paraleldir. Düzlemde (ABB1) zaten bir MS çizgisi var, bu nedenle düzlemdeki (CDD1) N noktasından MS'ye paralel bir çizgi çiziyoruz. Bu çizgi D1C1 kenarını L noktasında keser. İzi NL'dir (görünmez). P ve L noktaları aynı düzlemde (A1B1C1) bulunur, bu yüzden içlerinden düz bir çizgi çizeriz.

Pentagon MNLPS gerekli bölümdür.

3) M, N, P noktalarından geçen bir düzlemle küpün bir kesitini oluşturun.

M ve N noktaları aynı düzlemde (BCC1) bulunur, bu nedenle içlerinden düz bir çizgi çizilebilir. MN izini alıyoruz (görünür). Düzlem (BCC1) düzleme (ADD1) paraleldir, dolayısıyla (ADD1)'de bulunan P noktasından MN'ye paralel bir çizgi çizeriz. AD kenarını E noktasında kesiyor. PE izini (görünmez) elde ettik.

Artık aynı düzlemde uzanan noktalar veya paralel düzlemlerde bir doğru ve bir nokta yoktur. Bu nedenle, ek bir puan elde etmek için mevcut hatlardan birinin devam etmesi gerekir.

MN doğrusuna devam edersek, o zaman (BCC1) düzleminde yer aldığı için MN'nin bu düzlemdeki doğrulardan biriyle kesişme noktasını aramamız gerekir. CC1 ve B1C1 ile zaten kesişme noktaları var - bunlar M ve N. BC ve BB1 çizgileri kalıyor. BC ve MN'yi K noktasındaki kesişime kadar devam ettiriyoruz. K noktası BC doğrusu üzerinde yer alıyor ki bu da düzleme (ABC) ait olduğu anlamına geliyor yani içinden ve bu düzlemde uzanan E noktasından bir doğru çizebiliriz. Kenar CD ile H noktasında kesişir. EH onun izidir (görünmez). H ve N aynı düzlemde (CDD1) bulunduğundan, içlerinden düz bir çizgi çizilebilir. HN izini (görünmez) alıyoruz.

(ABC) ve (A1B1C1) düzlemleri paraleldir. Biri EH doğrusunu, diğeri M noktasını içeriyor. EH'ye paralel olarak M'den geçen bir doğru çizebiliriz. MF izini alıyoruz (görünür). M ve F noktalarından geçen düz bir çizgi çiziyoruz.

Altıgen MNHEPF gerekli bölümdür.

MN doğrusunu düzlemdeki (BCC1) başka bir doğru ile BB1 ile kesiştiği noktaya kadar devam ettirseydik, o zaman düzleme (ABB1) ait bir G noktası elde ederdik. Bu, G ve P aracılığıyla izi PF olan bir çizgi çizmenin mümkün olduğu anlamına gelir. Ayrıca paralel düzlemlerde uzanan noktalardan düz çizgiler çizeriz ve aynı sonuca varırız.

Düz çizgi PE ile çalışmak, aynı MNHEPF kesitini verir.

4) M, N, P noktasından geçen bir düzlemle küpün bir kesitini oluşturun.

Burada aynı düzlemde (A1B1C1) bulunan M ve N noktalarından geçen düz bir çizgi çizebiliriz. Ayak izi MN'dir (görünür). Aynı düzlemde veya paralel düzlemlerde uzanan başka nokta yoktur.

MN hattına devam ediyoruz. (A1B1C1) düzleminde yer alır, dolayısıyla bu düzlemdeki doğrulardan yalnızca biriyle kesişebilir. A1D1 ve C1D1 - N ve M ile zaten kesişme noktaları var. Bu düzlemin iki çizgisi daha A1B1 ve B1C1. A1B1 ve MN'nin kesişme noktası S'dir. A1B1 doğrusu üzerinde yer aldığı için (ABB1) düzlemine aittir, yani içinden ve aynı düzlemde bulunan P noktasından bir doğru çizilebilir. PS doğrusu AA1 kenarını E noktasında keser. PE onun izidir (görünür). Aynı düzlemde (ADD1) uzanan N ve E noktalarından, izi NE (görünmez) olan düz bir çizgi çizmek mümkündür. Düzlemde bir NE doğrusu (ADD1) ve buna paralel düzlemde bir P noktası (BCC1) vardır.P noktasından geçerek NE'ye paralel bir PL doğrusu çizebiliriz. CC1 kenarını L noktasında keser. PL bu çizginin izidir (görünür). M ve L noktaları aynı düzlemde (CDD1) yer alır, yani içlerinden düz bir çizgi çizilebilir. Ayak izi ML'dir (görünmez). Beşgen MLPEN gerekli bölümdür.

NM hattını her iki yönde devam ettirmek ve sadece A1B1 hattıyla değil, aynı zamanda düzlemde (A1B1C1) bulunan B1C1 hattıyla da kesişme noktalarını aramak mümkündü. Bu durumda, P noktasından aynı anda iki düz çizgi çiziyoruz: biri düzlemde (ABB1) P ve S noktalarından ve ikincisi düzlemde (BCC1), P ve R noktalarından geçiyor. , aynı düzlemde bulunan noktaları birleştirmek için kalır: M c L, E - N ile.