İkinci dereceden denklemin kökleri formüllerle hesaplanır. İkinci dereceden denklemleri çözme: kök formül, örnekler

İkinci dereceden bir denklem, a*x^2 +b*x+c=0 biçiminde bir denklemdir; burada a,b,c bazı rasgele gerçek (gerçek) sayılardır ve x bir değişkendir. Ve a=0 sayısı.

a,b,c sayılarına katsayı denir. a - sayısına baş katsayı, b sayısına x noktasındaki katsayı ve c sayısına serbest üye denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmek, onun tüm köklerini bulmak veya ikinci dereceden denklemin kökleri olmadığını tespit etmek anlamına gelir. İkinci dereceden denklemin kökü a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, x değişkeninin herhangi bir değeridir, öyle ki a * x ^ 2 + b * x + c kare üçlüsü kaybolur. Bazen böyle bir x değerine bir kare üç terimlinin kökü denir.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan birini düşünün - en çok yönlü. Herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için formüller

İkinci dereceden denklemin köklerinin formülü a*x^2 +b*x+c=0'dır.

x=(-b±√D)/(2*a), burada D =b^2-4*a*c.

Bu formül, a*x^2 +b*x+c=0 denkleminin çözülmesiyle elde edilir. Genel görünüm, iki terimlinin karesini seçerek.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünde, D (b^2-4*a*c) ifadesi ikinci dereceden denklem a*x^2 +b*x+c=0'ın ayırt edicisi olarak adlandırılır. Bu isim, "ayırt edici" olarak tercüme edilen Latince dilinden gelmektedir. Ayırt edicinin değerine bağlı olarak, ikinci dereceden denklemin iki veya bir kökü olacaktır veya hiç kökü olmayacaktır.

Diskriminant sıfırdan büyükse, o zaman ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. (x=(-b±√D)/(2*a))

Diskriminant sıfır ise, o zaman ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır. (x=(-b/(2*a))

Ayrımcı negatif ise, o zaman ikinci dereceden denklemin kökleri yoktur.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için genel algoritma

Yukarıdakilere dayanarak, aşağıdaki formülü kullanarak a*x^2 +b*x+c=0 ikinci dereceden denklemi çözmek için genel bir algoritma formüle ediyoruz:

1. D =b^2-4*a*c formülünü kullanarak ayırıcının değerini bulun.

2. Diskriminant değerine bağlı olarak, aşağıdaki formülleri kullanarak kökleri hesaplayın:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Bu algoritma evrenseldir ve herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için uygundur. Tam ve eksik, alıntılanmış ve alıntılanmamış.

Bu konu, çok sayıda içerik nedeniyle ilk bakışta zor görünebilir. basit formüller. Sadece ikinci dereceden denklemlerin kendileri uzun girişlere sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda diskriminant aracılığıyla kökler de bulunur. Toplamda üç yeni formül var. Hatırlamak çok kolay değil. Bu, ancak bu tür denklemlerin sık sık çözümünden sonra mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendi başlarına hatırlanacak.

İkinci dereceden denklemin genel görünümü

Burada, en büyük derece önce ve sonra - azalan sırayla yazıldığında, açık gösterimleri önerilmektedir. Çoğu zaman terimlerin ayrı durduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesinin azalan düzeninde yeniden yazmak daha iyidir.

Notasyonu tanıtalım. Aşağıdaki tabloda sunulmuştur.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Ayrıca katsayı a ≠ 0. Bu formül bir numara ile gösterilsin.

Denklem verildiğinde, cevapta kaç kök olacağı belli değil. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

• çözümün iki kökü olacaktır;
• cevap bir numara olacak;
• Denklemin hiç kökü yoktur.

Ve karar sona ermemiş olsa da, belirli bir durumda hangi seçeneklerin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Görevlerin farklı girişleri olabilir. Her zaman ikinci dereceden bir denklemin genel formülü gibi görünmeyeceklerdir. Bazen bazı terimler eksik olacaktır. Yukarıda yazılanlar tam denklemdir. İçindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, farklı bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, sadece eksiktir.

Ayrıca, yalnızca "b" ve "c" katsayılarının kaybolabileceği terimler. "a" sayısı hiçbir koşulda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül şu hale gelir: Doğrusal Denklem. Denklemlerin eksik formu için formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani, sadece iki tür vardır, tamamlanmış olanlara ek olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler de vardır. Birinci formül iki, ikinci formül üç olsun.

Diskriminant ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerini hesaplamak için bu sayının bilinmesi gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun, her zaman hesaplanabilir. Diskriminantı hesaplamak için aşağıda yazılan ve dört rakamına sahip olacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Katsayıların değerlerini bu formüle yerleştirdikten sonra, sayıları elde edebilirsiniz. farklı işaretler. Cevap evet ise, o zaman denklemin cevabı iki farklı kök olacaktır. Negatif bir sayı ile ikinci dereceden denklemin kökleri bulunmayacaktır. Sıfıra eşitse, cevap bir olacaktır.

Tam bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Aslında, bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce ayrımcıyı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin kökleri olduğu açıklığa kavuşturulduktan ve sayıları bilindikten sonra, değişkenler için formülleri kullanmanız gerekir. İki kök varsa, böyle bir formül uygulamanız gerekir.

“±” işaretini içerdiğinden iki değer olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade ayırt edicidir. Bu nedenle, formül farklı bir şekilde yeniden yazılabilir.

Formül beş. Aynı kayıttan, diskriminant sıfır ise, her iki kökün de aynı değerleri alacağı görülebilir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmediyse, ayrımcı ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmaz. Ama en başında bir kafa karışıklığı var.

Eksik bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. Hatta ek formüllere gerek yoktur. Ayrımcı ve bilinmeyen için zaten yazılmış olanlara da ihtiyacınız olmayacak.

İlk olarak, iki numaralı tamamlanmamış denklemi ele alalım. Bu eşitlikte parantez içindeki bilinmeyen değeri alıp parantez içinde kalacak lineer denklemi çözmesi istenmektedir. Cevabın iki kökü olacak. Birincisi mutlaka sıfıra eşittir, çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir çarpan vardır. İkincisi, doğrusal bir denklem çözülerek elde edilir.

Üç numaralı eksik denklem, denklemin sol tarafındaki sayıyı sağa aktararak çözülür. O zaman bilinmeyenin önündeki katsayıya bölmeniz gerekir. Sadece karekökü çıkarmak için kalır ve zıt işaretlerle iki kez yazmayı unutmayın.

Aşağıda, ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliğin nasıl çözüleceğini öğrenmenize yardımcı olacak bazı eylemler bulunmaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olurlar. Bu eksiklikler, kapsamlı "Kuadrik Denklemler (Sınıf 8)" konusunu çalışırken düşük notların nedenidir. Daha sonra, bu eylemlerin sürekli olarak gerçekleştirilmesi gerekmeyecektir. Çünkü sabit bir alışkanlık olacak.

• Öncelikle denklemi standart formda yazmanız gerekir. Yani, önce değişkenin en büyük derecesine sahip terim ve sonra - derecesi ve sonuncusu olmadan - sadece bir sayı.

• "a" katsayısından önce bir eksi belirirse, ikinci dereceden denklemleri incelemek için yeni başlayanlar için işi zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bunun için tüm eşitliklerin "-1" ile çarpılması gerekir. Bu, tüm terimlerin işaret değiştireceği anlamına gelir.

• Aynı şekilde kesirlerden de kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 - 7x \u003d 0. Eksiktir, bu nedenle iki numaralı formülde açıklandığı gibi çözülür.

Parantez içine aldıktan sonra şu çıkıyor: x (x - 7) \u003d 0.

İlk kök şu değeri alır: x 1 \u003d 0. İkincisi, doğrusal denklemden bulunacaktır: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formül için açıklandığı gibi çözülür.

30'u denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra: 5x2=30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. 6.

Üçüncü denklem: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Burada ve aşağıda, ikinci dereceden denklemlerin çözümü, onları standart bir forma yeniden yazarak başlayacaktır: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı yararlı tavsiye ve her şeyi eksi bir ile çarpın. X 2 + 2x - 15 \u003d 0 çıkıyor. Dördüncü formüle göre ayrımcıyı hesaplamanız gerekiyor: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. pozitif sayı. Yukarıda söylenenlerden, denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formüle göre hesaplanmaları gerekir. Buna göre x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. Sonra x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x \u003d 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminantı şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğu için, bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant için formül uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, bir kökü olacağı anlamına gelir, yani: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Altıncı denklem (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2), parantezleri açmadan önce benzer terimleri getirmeniz gerektiği gerçeğinden oluşan dönüşümler gerektirir. İlkinin yerine şöyle bir ifade olacak: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra şu giriş görünecektir: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra, denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x \u003d 0. Eksik hale geldi . Buna benzer zaten biraz daha yüksek olarak kabul edildi. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.

İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Nasıl görünüyor? Dönem içi ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Demek ki denklemde zorunlu olarak bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklemde sadece x (birinci dereceye kadar) ve sadece bir sayı olabilir (veya olmayabilir!) (Ücretsiz Üye). Ve ikiden büyük bir derecede x olmamalıdır.

Matematiksel terimlerle, ikinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

Burada a, b ve c- bazı numaralar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ama A- sıfırdan başka her şey. Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, fikri anladınız...

Bu ikinci dereceden denklemlerde, solda, tam setüyeler. x kare ile katsayı A, katsayılı x üzeri birinci güç B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemler denir tamamlamak.

Ve eğer B= 0, ne elde edeceğiz? Sahibiz X birinci derecede kaybolacaktır. Bu, sıfırla çarpmaktan olur.) Örneğin, ortaya çıkıyor:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Ve benzeri. Ve eğer her iki katsayı B Ve C sıfıra eşittir, o zaman daha da basittir:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir. tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğuna dikkat edin.

bu arada neden A sıfır olamaz mı Ve yerine geçersin A sıfır.) Karedeki X kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve farklı yapılır...

Tüm ana ikinci dereceden denklem türleri bu kadar. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık basit kurallara göre. İlk adım, verilen denklemi şu hale getirmektir: standart görünüm, yani görünüm için:

Denklem size zaten bu formda verilmişse ilk aşamayı yapmanıza gerek yok.) Asıl olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işareti altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama aşağıda onun hakkında daha fazla bilgi. Gördüğünüz gibi, x'i bulmak için sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden denklemden katsayılar. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c bu formüle girin ve sayın. Yerine geçmek işaretlerinle! Örneğin, denklemde:

A =1; B = 3; C= -4. İşte yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Her şey çok basit. Ve ne düşünüyorsun, yanlış gidemezsin? Peki, evet, nasıl...

En yaygın hatalar, değerlerin işaretleri ile karıştırılmasıdır. a, b ve c. Ya da daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılacak?), Ama kökleri hesaplamak için formülde negatif değerlerin ikame edilmesiyle. Burada, formülü belirli numaralarla ayrıntılı bir şekilde kaydeder. Hesaplamalarda sorun varsa, öyleyse yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferinde nadiren cevap aldığınızı biliyorsunuz.

Tembel olma. Fazladan bir satır yazmak 30 saniye sürer ve hata sayısı keskin bir şekilde düşecek. Bu yüzden tüm köşeli parantezler ve işaretlerle ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli boyamak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece görünüyor. Dene. Ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Ayrıca seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli boyamaya gerek kalmayacak. Sadece doğru çıkacak. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri uygularsanız. Bir sürü eksi içeren bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülecek!

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin, bunun gibi:

Biliyor muydunuz?) Evet! Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Eksik ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Genel formülle de çözülebilirler. Sadece burada neyin eşit olduğunu doğru bir şekilde bulmanız gerekiyor. a, b ve c.

Gerçekleştirilmiş? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç yok! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! Bu kadar. yerine formülde sıfır yerine C, ve bizim için her şey yoluna girecek. Benzer şekilde ikinci örnekle. Sadece sıfır bizde yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha kolay çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapılabilir? X'i parantezden çıkarabilirsin! Hadi çıkaralım.

Ve bundan ne? Ve çarpımın sıfıra eşit olduğu gerçeği, ancak ve ancak faktörlerden herhangi biri sıfıra eşitse! İnanmıyor musun? O zaman çarpıldığında sıfır verecek sıfır olmayan iki sayı bulun!
Çalışmıyor? Bir şey...
Bu nedenle, güvenle yazabiliriz: 1 = 0, 2 = 4.

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. İkisi de uygun. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda, doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi, çözüm genel formülden çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını not ediyorum - kesinlikle kayıtsız. Sırayla yazmak kolay x 1- hangisi daha azsa x 2- daha fazlası olan.

İkinci denklem de kolayca çözülebilir. 9'u sağ tarafa kaydırıyoruz. Biz:

Kökü 9'dan çıkarmaya devam ediyor ve bu kadar. Elde etmek:

ayrıca iki kök . 1 = -3, 2 = 3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezden alarak ya da sadece sayıyı sağa aktararak ve ardından kökü çıkararak.
Bu yöntemleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda, bir şekilde anlaşılmaz olan X'ten kökü çıkarmak zorunda kalacaksınız ve ikinci durumda parantezlerden çıkarılacak hiçbir şey yok ...

Ayrımcı. Ayrım formülü.

sihirli kelime ayrımcı ! Nadir bir lise öğrencisi bu sözü duymadı! "Ayrımcıya göre karar ver" ifadesi güven verici ve güven vericidir. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözüm için en genel formülü hatırlatırım. herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye ayırt edici denir. Ayrımcı genellikle harfle gösterilir D. Ayrım formülü:

D = b 2 - 4ac

Ve bu ifadede bu kadar özel olan ne? Neden özel bir ismi hak ediyor? Ne ayrımcı ne demek Nihayet -B, veya 2a bu formülde özel olarak adlandırmazlar ... Harfler ve harfler.

Mesele şu ki. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken, mümkündür sadece üç vaka.

1. Ayrımcı pozitiftir. Bu, kökü ondan çıkarabileceğiniz anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Prensip olarak neyin çıkarıldığı önemlidir. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Ayırt edici sıfırdır. O zaman bir çözümünüz var. Çünkü payda sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Açıkçası, bu tek bir kök değil, ama iki özdeş. Ancak, basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. bir çözüm.

3. Ayrımcı negatiftir. Negatif bir sayı karekök almaz. İyi tamam. Bu, çözümlerin olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, ikinci dereceden denklemlerin basit bir çözümüyle, diskriminant kavramı gerçekten gerekli değildir. Formüldeki katsayıların değerlerini değiştiririz ve düşünürüz. Orada her şey kendi kendine çıkıyor, iki kök ve bir, tek değil. Ancak çözerken daha zor görevler, bilmeden anlam ve ayırt edici formül yeterli değil. Özellikle - parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler, GIA ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrenildi, ki bu da fena değil.) Nasıl doğru tanımlanacağını biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu say. Bunu anladın mı anahtar kelime Burada - dikkatle?

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananlar ... O zaman acı verici ve aşağılayıcı ...

İlk resepsiyon . Standart bir forma getirmek için ikinci dereceden bir denklemi çözmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiğinizi varsayalım:

Köklerin formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle olasılıkları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce x kare, sonra karesiz, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! x kareden önceki eksi sizi çok üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksiden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Tüm denklemi -1 ile çarpmamız gerekiyor. Biz:

Artık kökler için formülü güvenle yazabilir, ayrımcıyı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz. Kendi başınıza karar verin. Kök 2 ve -1 ile bitirmelisin.

İkinci resepsiyon. Köklerinizi kontrol edin! Vieta teoremine göre. Merak etme, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. köklerin formülünü yazdığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kolayca kontrol edin. Onları çoğaltmak yeterlidir. Ücretsiz bir terim almalısınız, örn. bizim durumumuzda -2. Dikkat 2 değil -2! Ücretsiz Üye senin işaretinle . İşe yaramadıysa, zaten bir yere dağılmışlar demektir. Bir hata arayın.

İşe yaradıysa, kökleri katlamanız gerekir. Son ve son kontrol. bir oran olmalı Bİle zıt imza. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B x'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey yolunda!
Sadece x karenin katsayılı saf olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü. bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon . Denkleminizde kesirli katsayılar varsa, kesirlerden kurtulun! "Denklemler nasıl çözülür? Özdeşlik dönüşümleri" dersinde açıklandığı gibi denklemi ortak payda ile çarpın. Kesirler ile çalışırken, hatalar nedense tırmanıyor ...

Bu arada, basitleştirmek için bir sürü eksi içeren kötü bir örnek sözü verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerde kafa karıştırmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Biz:

Bu kadar! Karar vermek eğlencelidir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik İpuçları:

1. Çözmeden önce, ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, oluşturuyoruz Sağ.

2. Karede x'in önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise, tüm denklemi karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm Vieta teoremi ile kolayca kontrol edilebilir. Yap!

Şimdi karar verebilirsiniz.)

Denklemleri Çöz:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Yanıtlar (karmaşa içinde):

1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - herhangi bir sayı

1 = -3
2 = 3

çözüm yok

x1 = 0.25
x 2 \u003d 0,5

Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler baş ağrınız değil. İlk üçü çıktı, ama geri kalanı çıkmadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun, denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, yardımcı olur.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç çalışmıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır.Orada, tüm bu örnekler kemiklere göre sıralanmıştır. gösteriliyor anaçözümdeki hatalar Tabii ki, çeşitli denklemlerin çözümünde özdeş dönüşümlerin uygulanması da açıklanmaktadır. çok yardımcı olur!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

“Denklemleri Çözme” konusunun devamında, bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden bir denklemin özü ve gösterimi, ilgili terimleri ayarlayın, eksik ve tam denklemleri çözme şemasını analiz edin, kökler ve ayrımcı formülü ile tanışın, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kurun ve tabii ki pratik örneklerin görsel bir çözümünü vereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

tanım 1

İkinci dereceden denklem Denklem şu şekilde yazılır bir x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C bazı sayılardır, oysa A sıfır değil

İkinci dereceden denklemler genellikle ikinci dereceden denklemler olarak da adlandırılır, çünkü aslında ikinci dereceden bir denklem ikinci dereceden bir cebirsel denklemdir.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek verelim: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, vb. ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a , b sayıları ve C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır bir x 2 + b x + c = 0, katsayı iken A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı olarak adlandırılır X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin, ikinci dereceden denklemde 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 en yüksek katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim şuna eşittir: − 11 . Katsayıların ne zaman olduğu gerçeğine dikkat edelim. B ve/veya c negatif, o zaman kısa form formun kayıtları 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, Ama değil 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu yönü de açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol almayabilirler. Örneğin, ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 kıdemli katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Birinci katsayının değerine göre, ikinci dereceden denklemler indirgenmiş ve indirgenmemiş olarak ayrılır.

Tanım 3

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemönde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için, ikinci dereceden denklem indirgenmez.

İşte bazı örnekler: x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ikinci dereceden denklemler indirgenir ve her birinin önde gelen katsayısı 1'dir.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklem, her iki parçasını da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kök içermeyecek.

Düşünce Vaka Analizi indirgenmemiş bir ikinci dereceden denklemden indirgenmiş bir denkleme geçişi görsel olarak göstermemize izin verecektir.

örnek 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 denklemi verildiğinde . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki parçasını da önde gelen katsayıya böleriz 6 . Sonra şunu elde ederiz: (6x2 + 18x-7) : 3 = 0: 3, ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ve ilerisi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımına dönelim. içinde şunu belirtmiştik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir bir x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen doğrusal bir denkleme dönüşür b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşittir (hem bireysel hem de ortak olarak mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Eksik ikinci dereceden denklem ikinci dereceden bir denklemdir a x 2 + b x + c \u003d 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklemdir.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu tür adlar verildiğini tartışalım.

b = 0 için, ikinci dereceden denklem şu şekli alır: bir x 2 + 0 x + c = 0 ile aynı olan bir x 2 + c = 0. -de c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: bir x 2 + b x + 0 = 0 eşdeğer olan bir x 2 + b x = 0. -de b = 0 Ve c = 0 denklem şeklini alacak x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler, tam ikinci dereceden denklemden farklıdır, çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim veya serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında, bu gerçek, bu tür denklemlere adını verdi - eksik.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki eksik ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

• x 2 = 0, katsayılar böyle bir denkleme karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
• b \u003d 0 için a x 2 + c \u003d 0;
• c = 0 için a x 2 + b x = 0 .

Her tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin çözümünü sırayla düşünün.

a x 2 \u003d 0 denkleminin çözümü

Yukarıda belirtildiği gibi, böyle bir denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0, orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanan başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P , sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p2 > 0, bundan şu sonuç çıkar ki, ne zaman p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için benzersiz bir kök vardır x=0.

Örnek 2

Örneğin, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi çözelim. - 3x2 = 0. Denkleme eşdeğerdir x2 = 0, tek kökü x=0, o zaman orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Çözüm özetle şöyle:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0 denkleminin çözümü

Sırada, b \u003d 0, c ≠ 0, yani formun denklemleri olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü var. bir x 2 + c = 0. Terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına aktararak, işaretini ters olarak değiştirerek ve denklemin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

• dayanmak C denklemi veren sağ tarafa bir x 2 = - c;
• denklemin her iki tarafını da böl A, sonuç olarak x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz sırasıyla eşdeğerdir, ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu gerçek, denklemin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar. Değerler nelerdir? A Ve C ifadenin değerine bağlıdır - c a: eksi işareti olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer bir = -2 Ve c=6, o zaman - c a = - 6 - 2 = 3); sıfıra eşit değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

- c a olduğu durumda< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P eşitlik p 2 = - c a doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 \u003d - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı aşikar hale gelecektir, çünkü - c a 2 \u003d - c a. - - c a - sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin kökü olduğunu anlamak kolaydır: aslında, - - c a 2 = - c a .

Denklemin başka kökü olmayacak. Bunu ters yöntemi kullanarak gösterebiliriz. İlk olarak, yukarıda bulunan köklerin gösterimini şu şekilde ayarlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım x2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. yerine denklemde yerine koyarak biliyoruz X kökleri, denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1 yazın: x 1 2 = - c a , ve için x2- x 2 2 \u003d - c a. Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir gerçek eşitliği başka bir terimden terime çıkarırız, bu da bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayı işlemlerinin özelliklerini kullanın: (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Anlatılanlardan anlaşıldığına göre x1 - x2 = 0 ve/veya x1 + x2 = 0 aynı olan x2 = x1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün olduğu kabul edildi. x2 farklıdır x 1 Ve - x 1. Böylece, denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtladık.

Yukarıdaki tüm argümanları özetliyoruz.

Tanım 6

Eksik ikinci dereceden denklem bir x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

• kökleri olmayacak - c a< 0 ;
• - c a > 0 olduğunda x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklem çözme örnekleri verelim bir x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0 .Çözümünü bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarıyoruz, ardından denklem şu şekli alıyor: 9 x 2 \u003d - 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını şuna böleriz: 9 , x 2 = - 7 9'a geldik. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, yani verilen denklemin kökü yok. Sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri olmayacaktır.

Cevap: denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemi çözmek gerekli - x2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağa kaydıralım: - x 2 = - 36.
İki parçayı da ikiye ayıralım − 1 , alırız x2 = 36. Sağ tarafta, şu sonuca varabileceğimiz pozitif bir sayı var: x = 36 veya x = - 36 .
Kökü çıkarıyoruz ve nihai sonucu yazıyoruz: tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem - x2 + 36 = 0 iki kökü vardır x=6 veya x = -6.

Cevap: x=6 veya x = -6.

a x 2 +b x=0 denkleminin çözümü

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim. c = 0. Eksik bir ikinci dereceden denklemin çözümünü bulmak için bir x 2 + b x = 0, çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Denklemin solundaki polinomu parantez içindeki ortak çarpanı alarak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi eşdeğerine dönüştürmeyi mümkün kılacaktır. x (bir x + b) = 0. Ve bu denklem, sırayla, denklem setine eşdeğerdir. x=0 Ve x + b = 0. Denklem x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = - b bir.

tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem bir x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x=0 Ve x = - b bir.

Malzemeyi bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denkleminin çözümünü bulmak gerekir.

Çözüm

hadi çıkaralım X parantezlerin dışında ve x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde edin. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x=0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kısaca denklemin çözümünü aşağıdaki gibi yazalım:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

İkinci dereceden denklemlere bir çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

tanım 8

x = - b ± D 2 a, burada D = b 2 - 4 bir c ikinci dereceden bir denklemin sözde ayırt edicisidir.

X \u003d - b ± D 2 a yazmak, esasen x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a anlamına gelir.

Belirtilen formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklemi çözme göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. bir x 2 + b x + c = 0. Bir dizi eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

• denklemin her iki tarafını da sayıya bölmek A, sıfırdan farklı olarak indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ayırmak tam kare elde edilen denklemin sol tarafında:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• şimdi son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti tersine çevirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Böylece, orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geldik. bir x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda tartışmıştık (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 için< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 için, denklem x + b 2 · a 2 = 0, ardından x + b 2 · a = 0 şeklindedir.

Buradan, x = - b 2 · a'nın tek kökü açıktır;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 için doğru olan: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ki bu x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 ile aynı , yani denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b 2 - 4 a c ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. 4 · sağ tarafta yazılı bir 2. Ve bu ifadenin işareti payın işaretiyle verilir, (payda 4 ve 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 bir c. Bu ifade b 2 − 4 bir c bir isim verilir - ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada ayrımcının özünü yazabilirsiniz - değeri ve işaretiyle, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kaç kök - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geri dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçları tekrar özetleyelim:

tanım 9

• de D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
• de D=0 denklemin tek bir kökü vardır x = - b 2 · a ;
• de D > 0 denklemin iki kökü vardır: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x \u003d - b 2 a + D 2 a veya - b 2 a - D 2 a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya indirdiğimizde, şunu elde ederiz: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dolayısıyla, muhakememizin sonucu, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , ayırt edici D formül ile hesaplanır D = b 2 - 4 bir c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökü de belirlemeyi mümkün kılar. Ayırıcı sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması aynı kökü verecektir. tek karar ikinci dereceden denklem. Ayırt edicinin negatif olması durumunda, ikinci dereceden kök formülünü kullanmaya çalışırken, çıkarma ihtiyacı ile karşı karşıya kalacağız. Kare kök negatif bir sayıdan, bu da bizi gerçek sayıların ötesine götürecektir. Negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formüllerle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Hemen kök formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözmek mümkündür, ancak temelde bu, karmaşık kökleri bulmak gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, arama genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri içindir. İkinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, önce ayırıcıyı belirlemek ve negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve sonra hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki akıl yürütme, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için bir x 2 + b x + c = 0, gerekli:

• formüle göre D = b 2 - 4 bir c ayırt edicinin değerini bulun;
• D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 için x = - b 2 · a formülüne göre denklemin tek kökünü bulun;
• D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülüne göre ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabilirsiniz, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örnekleri düşünün.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

için örnek bir çözüm verelim. farklı değerler ayrımcı

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmak gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazıyoruz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c = - 6. Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz, yani. a , b katsayılarını yerine koyduğumuz diskriminantı hesaplamaya başlayalım Ve C ayrımcı formülde: D = b 2 − 4 bir c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

D > 0 elde ettik, yani orijinal denklemin iki gerçek kökü olacak.
Bunları bulmak için x \u003d - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve uygun değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kökün işaretinden çarpanı alarak ve ardından kesri indirgeyerek basitleştiririz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmek gereklidir - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Çözüm

Ayrımcıyı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen yalnızca bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Cevap: x = 3, 5.

Örnek 8

Denklemi çözmek gerekli 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları şöyle olacaktır: a = 5 , b = 6 ve c = 2 . Ayırt ediciyi bulmak için şu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan ayırt edici negatiftir, bu nedenle orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olduğu durumda, karmaşık sayılarla işlemler gerçekleştirerek kök formülü uygularız:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ben 10 veya x \u003d - 6 - 2 ben 10,

x = - 3 5 + 1 5 ben veya x = - 3 5 - 1 5 ben .

Cevap: gerçek kökler yoktur; karmaşık kökler şunlardır: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

İÇİNDE Okul müfredatı varsayılan olarak, karmaşık kökler arama zorunluluğu yoktur, bu nedenle, çözüm sırasında diskriminant negatif olarak belirlenirse, gerçek köklerin olmadığı yanıtı hemen kaydedilir.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) kök formülü, daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve x'te çift katsayılı (veya katsayılı) ikinci dereceden denklemlere çözüm bulmanızı sağlar 2 ve n biçiminde, örneğin 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denkleminin çözümünü bulma göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. Algoritmaya göre hareket ediyoruz: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ayrımcısını belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · CA .

n 2 − a c ifadesinin D 1 olarak gösterilmesine izin verin (bazen D "ile gösterilir). Ardından, ikinci katsayı 2 n ile dikkate alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x \u003d - n ± D 1 a, burada D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D1 veya D1 = D4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle, D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır, bu da D 1'in işaretinin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da hizmet edebileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için gereklidir:

• bul D 1 = n 2 − bir c ;
• D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 için, denklemin tek kökünü x = - n a formülüyle belirleyin;
• D 1 > 0 için, x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kök belirleyin.

Örnek 9

5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemi çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısı 2 · (− 3) olarak gösterilebilir. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , burada a = 5 , n = − 3 ve c = − 32 olarak yeniden yazarız.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülü ile tanımlarız:

x = - n ± D 1 bir , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bilinen formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olacaktır, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklem formunun basitleştirilmesi

Bazen, kökleri hesaplama sürecini basitleştirecek olan orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür.

Örneğin, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmek için 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0'dan açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklem formunun basitleştirilmesi, her iki parçasını da belirli bir sayı ile çarparak veya bölerek gerçekleştirilir. Örneğin, yukarıda 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 denkleminin her iki parçasını da 100'e bölerek elde edilen basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

Böyle bir dönüşüm, ikinci dereceden denklemin katsayıları görece asal sayılar olmadığında mümkündür. O zaman denklemin her iki tarafını da en büyüğüne bölmek yaygındır. ortak bölen katsayılarının mutlak değerleri.

Örnek olarak, 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin ebob'unu tanımlayalım: ebob (12 , 42 , 48) = ebob(OBEB (12 , 42) , 48) = ebob (6 , 48) = 6 . Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklemi elde edelim 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

İkinci dereceden denklemin her iki tarafını çarparak, kesirli katsayılar genellikle elimine edilir. Bu durumda, katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpın. Örneğin, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ikinci dereceden denklemin her bir kısmı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha sonra yazılacaktır. basit biçim x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, her iki parçayı - 1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilen denklemin her bir teriminin işaretlerini değiştirerek, ikinci dereceden denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman kurtulduğumuzu not ediyoruz. Örneğin, ikinci dereceden denklemden - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, basitleştirilmiş versiyonu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bilinen x = - b ± D 2 · a formülü, denklemin köklerini sayısal katsayıları cinsinden ifade eder. Bu formüle dayanarak, kökler ve katsayılar arasında başka bağımlılıklar belirleme olanağına sahibiz.

En ünlü ve uygulanabilir olan, Vieta teoreminin formülleridir:

x 1 + x 2 \u003d - b a ve x 2 \u003d c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 ikinci dereceden denklem biçiminde, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki de bulabilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.