Лог з основи. Логарифмічні вирази

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер – власне, визначення логарифму:

Логарифм на підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a щоб отримати число x .

Позначення: log a x = b , де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають логарифмуванням. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5 . Числа 5 немає в таблиці, але логіка нагадує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схемуобчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь – без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останньому прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на основі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Мова йдепро натуральний логарифм.

Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.

Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значеннязнайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Таким чином, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, зрозуміло, одиниці: ln1 = 0.

Для натуральних логарифмівсправедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правилослід їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

[Підпис до малюнка]

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

[Підпис до малюнка]

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

[Підпис до малюнка]

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

[Підпис до малюнка]

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

[Підпис до малюнка]

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log a a= 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи aвід цього підстави дорівнює одиниці.
2. log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Заснування aможе бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

З розвитком суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку шляхом складання і віднімання, за її багаторазовому повторенні, дійшли поняття множення і поділу. Скорочення операції, що багаторазово повторюється, множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від основи та числа зведення у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них можна відраховувати час виникнення логарифмів.

Історичний нарис

Відродження Європи у XVI столітті стимулювало та розвиток механіки. Т потрібний великий обсяг обчислення, пов'язаних з множенням та розподілом багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком уперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але й довільних раціональних.

В 1614 шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів та косінусів, а також тангенсів. Це дуже скоротило працю астрономів.

Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими протягом трьох століть. Пройшло чимало часу, перш ніж нова операціяв алгебрі набула свого закінченого вигляду. Було дано визначення логарифму, та його властивості були вивчені.

Лише у XX столітті з появою калькулятора та комп'ютера людство відмовилося від стародавніх таблиць, які успішно працювали протягом XIII століть.

Сьогодні ми називаємо логарифмом b на основі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. Як формули це записується: x = log a(b).

Наприклад, log 3(9) дорівнюватиме 2. Це очевидно, якщо дотримуватися визначення. Якщо 3 звести до ступеня 2, то отримаємо 9.

Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a та b повинні бути речовими.

Різновиди логарифмів

Класичне визначення називається речовий логарифм і є рішенням рівняння a x = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не становить інтересу. Увага: 1 у будь-якому ступені дорівнює 1.

Речове значення логарифмувизначено тільки при підставі та аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.

Особливе місце у галузі математикиграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їхньої основи:

Правила та обмеження

Основною властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічній сумі. log abp = log a (b) + log a (p).

Як варіант цього твердження буде: log c(b/p) = log с(b) - log c(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.

З попередніх двох правил легко видно, що: log a (b p) = p * log a (b).

Серед інших властивостей можна виділити:

Зауваження. Не треба робити поширену помилку - логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

Багато століть операція пошуку логарифму була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічної теорії розкладання на багаточлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.

Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від однієї підстави до іншої та властивості логарифму твору.

Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завданьважкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.

У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a (x), побудована за кількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції у будь-якій іншій точці. Інженери довгий часдля цих цілей використовували так званий міліметровий папір.

У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, XIX віцінабули закінченого вигляду. Найбільш вдалий пристрій отримав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес усіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. Нині вже мало хто знайомий із цим пристроєм.

Поява калькуляторів та комп'ютерів зробила безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.

Рівняння та нерівності

Для розв'язання різних рівнянь та нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:

• Перехід від однієї основи до іншої: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Як наслідок попереднього варіанта: log a (b) = 1 / log b (a).

Для вирішення нерівностей корисно знати:

• Значення логарифму буде позитивним лише в тому випадку, коли основа та аргумент одночасно більша або менша за одиницю; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифму буде негативним.
• Якщо функція логарифму застосовується до правої та лівої частини нерівності, і основа логарифму більше одиниці, то знак нерівності зберігається; інакше він змінюється.

Приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів та їх властивості. Приклади з розв'язуванням рівнянь:

Розглянемо варіант розміщення логарифму у ступені:

• Завдання 3. Обчислити 25 log 5 (3). Рішення: в умовах задачі запис аналогічний наступній (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа як аргумент функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, цей вираз дорівнює 32. Відповідь: внаслідок обчислення отримуємо 9.

Практичне застосування

Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано придбав велике значеннядля опису об'єктів реального світу. Важко знайти науку, де її не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природних, а й гуманітарних областей знань.

Логарифмічні залежності

Наведемо кілька прикладів числових залежностей:

Механіка та фізика

Історично механіка та фізика завжди розвивалися з використанням математичних методівдослідження та одночасно служили стимулом для розвитку математики, у тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифму.

Вирішувати завдання розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка започаткувала теорію освоєння космосу:

V = I * ln (M1/M2), де

• V – кінцева швидкість літального апарату.
• I – питомий імпульс двигуна.
• M 1 - Початкова маса ракети.
• M2 – кінцева маса.

Інший важливий приклад- це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану термодинаміки.

S = k * ln (Ω), де

• S – термодинамічна властивість.
• k - Постійна Больцмана.
• Ω – статистична вага різних станів.

Хімія

Менш очевидним буде використання формул у хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо також лише два приклади:

• Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища щодо активності речовин та константи рівноваги.
• Розрахунок таких констант, як показник автопролізу та кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.

Психологія та біологія

І вже зовсім незрозуміло, до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення до значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.

Після вищенаведених прикладів не дивує, що у біології широко використовується тема логарифмів. Для біологічних форм, відповідні логарифмічним спіралям, можна писати цілі томи.

Інші області

Здається, неможливе існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч у таких сферах діяльності:

Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони стали для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простим та доступним мовою.

Визначення в математиці

Логарифмом називається вираз такого виду: log a b = c, тобто логарифмом будь-якого невід'ємного числа(тобто будь-якого позитивного) "b" за його основою "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести основу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 у ступені 3 відповідає у відповідь число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема видається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній зміст і запам'ятати їхню власність і деякі правила. Існує три окремих видівлогарифмічних виразів:

1. Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
2. Десятковий a де підставою служить число 10.
3. Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій за їх рішення.

Правила та деякі обмеження

У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо отримати корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

• основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій зміст, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
• якщо а > 0, то і а b > 0, виходить, що і "з" має бути більшим за нуль.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши до якого число десять ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, 10 2 =100.

А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значеньзнадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, яку зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння та нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати як логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо як логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.

Дано вираз такого вигляду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністютому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень розрив цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або набір чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.

1. Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
2. Логарифм твору можна подати в наступній формулі: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 і s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 тоді а f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
3. Логарифм приватного має такий вигляд: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теорема у вигляді формули набуває наступного вигляду: log a q b n = n/q log a b.

Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Погляньмо на доказ.

Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;

але оскільки a tn = (a q) nt / q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.

Приклади завдань та нерівностей

Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкової частини іспитів з математики. Для вступу до університету чи складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

На жаль, єдиного плану чи схеми з вирішення та визначення невідомого значення логарифму не існує, проте до кожної математичної нерівності чи логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи призвести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.

Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому основа 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожностіабо їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо розв'язання логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

1. Властивість логарифму твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерозв'язне вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні не тільки в частині А (найлегша тестова частинаіспиту), але й у частині С (найскладніші та об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".

Приклади та розв'язання завдань взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.

• Всі логарифми найкраще приводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
• Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.