Bezeichnungen in der arithmetischen Folge.  Algebra: Arithmetische und geometrische Progressionen

Arithmetik und geometrischer Verlauf

Theoretische Informationen

Theoretische Informationen

	Arithmetische Folge	Geometrischer Verlauf
Definition	Arithmetische Folge ein Es wird eine Sequenz aufgerufen, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, addiert mit derselben Nummer D (D- Fortschrittsunterschied)	geometrischer Verlauf b n Es wird eine Folge von Zahlen ungleich Null genannt, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Glied multipliziert mit derselben Zahl ist Q (Q- Nenner des Fortschritts)
Wiederkehrende Formel	Für jede natürliche N a n + 1 = a n + d	Für jede natürliche N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-te Termformel	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakteristische Eigenschaft
Summe der ersten n Terme

Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren

Übung 1

IN arithmetische Folge (ein) eine 1 = -6, eine 2

Nach der Formel des n-ten Termes:

ein 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21d

Nach Bedingung:

eine 1= -6, also ein 22= -6 + 21d.

Es ist notwendig, den Unterschied in den Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Antworten : ein 22 = -48.

Aufgabe 2

Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6;....

1. Weg (unter Verwendung der N-Term-Formel)

Nach der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Als b 1 = -3,

2. Weg (mit rekursiver Formel)

Da der Nenner der Progression -2 (q = -2) ist, gilt:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Antworten : b 5 = -48.

Aufgabe 3

In der arithmetischen Folge ( a n) a 74 = 34; eine 76= 156. Finden Sie das fünfundsiebzigste Glied dieser Folge.

Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form .

Deshalb:

.

Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

Antwort: 95.

Aufgabe 4

In der arithmetischen Folge ( ein n ) ein n= 3n - 4. Finden Sie die Summe der ersten siebzehn Terme.

Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu ermitteln, werden zwei Formeln verwendet:

.

Welches in dieser Fall bequemer zu bedienen?

Durch die Bedingung ist die Formel des n-ten Mitglieds der ursprünglichen Folge bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Kann sofort gefunden werden und eine 1, Und ein 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.

Antwort: 368.

Aufgabe 5

Im arithmetischen Fortschritt ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie das zweiundzwanzigste Glied der Progression.

Nach der Formel des n-ten Termes:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.

Bedingung, wenn eine 1= -6 also ein 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied in den Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

ein 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Antworten : ein 22 = -48.

Aufgabe 6

Es werden mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge aufgezeichnet:

Finden Sie den Term der Progression, der mit dem Buchstaben x bezeichnet wird.

Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen dieser Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel können Sie nehmen und durch dividieren. Wir erhalten q = 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da es notwendig ist, den dritten Term einer gegebenen geometrischen Folge zu finden.

Wenn wir die gefundenen Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

.

Antworten : .

Aufgabe 7

Wählen Sie aus den durch die Formel des n-ten Termes gegebenen arithmetischen Folgen diejenige aus, für die die Bedingung erfüllt ist ein 27 > 9:

Da die angegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, ersetzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n. In der 4. Progression erhalten wir:

.

Antwort: 4.

Aufgabe 8

Im arithmetischen Fortschritt eine 1= 3, d = -1,5. Angeben Höchster Wert n , für die die Ungleichung ein > -6.

Arithmetische Folgeprobleme gibt es schon seit der Antike. Sie erschienen und forderten eine Lösung, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.

Also, in einem der Papyri antikes Ägypten, das mathematischen Inhalt hat - der Rhind-Papyrus (19. Jahrhundert v. Chr.) - enthält die folgende Aufgabe: Teilen Sie zehn Maß Brot in zehn Personen, vorausgesetzt, dass die Differenz zwischen jedem von ihnen ein Achtel Maß beträgt.

Und in den mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Theoreme zur arithmetischen Progression. So formulierte Hypsicles von Alexandria (2. Jahrhundert), der viele interessante Probleme zusammenstellte und das vierzehnte Buch zu Euklids „Elementen“ hinzufügte, die Idee: „In einer arithmetischen Folge mit einer geraden Anzahl von Mitgliedern ist die Summe der Mitglieder der 2. Hälfte.“ mehr als die Menge Mitglieder des 1. auf dem Quadrat 1/2 der Anzahl der Mitglieder.

Bezeichnet wird die Folge an. Die Nummern der Sequenz werden als ihre Mitglieder bezeichnet und normalerweise durch Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Seriennummer dieses Mitglieds angeben (a1, a2, a3 ... lesen Sie: „ein 1.“, „ein 2.“, „ein 3.“ und so weiter).

Die Folge kann unendlich oder endlich sein.

Was ist eine arithmetische Folge? Man versteht darunter, dass man ihn erhält, indem man den vorherigen Term (n) mit der gleichen Zahl d addiert, was der Differenz der Progression entspricht.

Wenn d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, dann gilt ein solcher Verlauf als ansteigend.

Eine arithmetische Folge heißt endlich, wenn nur einige ihrer ersten Glieder berücksichtigt werden. Bei einer sehr großen Mitgliederzahl ist dies bereits der Fall unendlicher Fortschritt.

Jede arithmetische Folge ergibt sich aus der folgenden Formel:

an =kn+b, während b und k einige Zahlen sind.

Die Aussage, die das Gegenteil ist, ist absolut richtig: Wenn die Folge durch eine ähnliche Formel gegeben ist, dann ist dies genau eine arithmetische Folge, die die Eigenschaften hat:

1. Jedes Mitglied der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten Mitglieds.
2. Das Gegenteil: Wenn ab dem 2. jeder Term das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten Termes ist, d.h. Wenn die Bedingung erfüllt ist, handelt es sich bei der gegebenen Folge um eine arithmetische Folge. Diese Gleichheit ist zugleich ein Zeichen des Fortschritts und wird daher üblicherweise als charakteristische Eigenschaft des Fortschritts bezeichnet.
   Ebenso ist der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt, wahr: Eine Folge ist nur dann eine arithmetische Folge, wenn diese Gleichheit für jedes der Mitglieder der Folge wahr ist, beginnend mit dem 2..

Die charakteristische Eigenschaft für vier beliebige Zahlen einer arithmetischen Folge kann durch die Formel an + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k sind die Zahlen der Folge).

In einer arithmetischen Folge kann jeder notwendige (N-te) Term durch Anwendung der folgenden Formel gefunden werden:

Beispiel: Der erste Term (a1) in einer arithmetischen Folge ist gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Sie müssen das fünfundvierzigste Glied dieser Progression finden. a45 = 1+4(45-1)=177

Die Formel an = ak + d(n - k) ermöglicht uns die Bestimmung n. Semester arithmetische Folge durch jeden seiner k-ten Terme, sofern dieser bekannt ist.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge (unter der Annahme der ersten n Mitglieder der endgültigen Folge) wird wie folgt berechnet:

Sn = (a1+an) n/2.

Wenn auch der 1. Term bekannt ist, eignet sich zur Berechnung eine andere Formel:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Die Summe einer arithmetischen Folge, die n Terme enthält, wird wie folgt berechnet:

Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Aufgabenstellung und den Ausgangsdaten ab.

Natürliche Reihe beliebiger Zahlen wie 1,2,3,...,n,...- das einfachste Beispiel arithmetische Folge.

Neben der arithmetischen Folge gibt es auch eine geometrische, die ihre eigenen Eigenschaften und Merkmale aufweist.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Lernziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Studierenden über Aufgaben, die mittels arithmetischer Progression gelöst werden; Organisation der Suchaktivität der Studierenden bei der Ableitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten, sich selbstständig neues Wissen anzueignen, bereits erworbenes Wissen zur Lösung der Aufgabe zu nutzen;
• Entwicklung des Wunsches und Bedürfnisses, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Unabhängigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ verallgemeinern und systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Elemente einer arithmetischen Folge ableiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks aufmerksam.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für die Arbeit in Gruppen und Paaren;
• Bewertungspapier;
• Präsentation„Arithmetische Folge“.

I. Aktualisierung des Grundwissens.

1. Selbstständige Arbeit in Paaren.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Folge. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Folge und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie das 100. Glied einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt zwei Studenten Rückseite Tafeln bereiten Antworten auf die gleichen Fragen vor.
Die Studierenden bewerten die Arbeit des Partners durch Vergleich mit der Tafel. (Flugblätter mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Folge ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression benennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Fragen von Studierenden.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, kann der Lehrer sie anregen – ein „Verbot“ von d (Unterschied), das heißt, es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Semester der Progression und was ist das 8. Semester der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel stehen 20 Zahlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich das machen kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Semesters a n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Darstellung der pädagogischen Aufgabe.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lass euch sagen: Verteilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen, der Unterschied zwischen jedem und seinem Nachbarn beträgt 1/8 des Maßes.“

• In welcher Beziehung steht dieses Problem zum Thema arithmetische Progression? (Jede nächste Person erhält 1/8 des Maßes mehr, der Unterschied beträgt also d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet Ihrer Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um die Aufteilung der Gerste entsprechend dem Problemzustand einfach und unkompliziert zu gestalten? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Progressionsglieder von ihrer Zahl, dem ersten Glied und der Differenz und Prüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, wollen wir uns ansehen, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme – durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte – verdoppelt Durchschnitt Aktie.
verdoppelt Durchschnitt Der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte – 1/8 Takt = 1 7/8 Takte – doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; usw. Sie können den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person ermitteln.

Wir erhalten die Reihenfolge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Allgemein

II. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende vom kleinen Gauß).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Abschluss:

III-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Abschluss:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Abschluss:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauss-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der vorgeschlagenen Lösungen für eine beliebige arithmetische Folge:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfung der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel bei der Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Ausbildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S 1500

Lösung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Folge;
(und n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finden: N
Lösung:

V. Unabhängiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis arbeitete als Kurier. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat erhöhte es sich um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;
a 1 = 200, d=30, n=12
Finden: S 12
Lösung:

Antwort: Denis erhielt für das Jahr 4380 Rubel.

VI. Hausaufgabenunterricht.

1. S. 4.3 - Lernen Sie die Ableitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Verfassen Sie ein Problem, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Punkteblatt

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute im Unterricht habe ich gelernt...
• Gelernte Formeln...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 ermitteln? Mit welcher Methode werden Sie dieses Problem lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskau: Aufklärung, 2009.

Ja, ja: Zahlenfolge ist kein Spielzeug für dich :)

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagen mir die internen Cap-Beweise, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Folge ist, Sie es aber wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen wollen. Deshalb werde ich Sie nicht mit langen Einführungen quälen und sofort zur Sache kommen.

Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Zahlenmengen:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Was haben alle diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Nummer.

Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus aufeinanderfolgenden Zahlen, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall beträgt die Differenz zwischen benachbarten Zahlen bereits fünf, diese Differenz ist jedoch immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es überhaupt Wurzeln. Allerdings gilt $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.h. In diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).

Also: Alle solchen Folgen werden einfach arithmetische Folgen genannt. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:

Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Folge bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und am häufigsten mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.

Und nur ein paar wichtige Bemerkungen. Erstens wird nur der Fortschritt berücksichtigt ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben sind – und sonst nichts. Sie können die Nummern nicht neu anordnen oder austauschen.

Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie so etwas wie (1; 2; 3; 4; ...) schreiben, ist dies bereits eine unendliche Entwicklung. Die Auslassungspunkte nach der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Fortschritte zu- und abnehmen. Wir haben bereits steigende Einsen gesehen – die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Verläufe:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: letztes Beispiel mag zu kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehen Sie. Deshalb führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Eine arithmetische Folge heißt:

1. zunehmend, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
2. abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner ist als das vorherige.

Darüber hinaus gibt es sogenannte „stationäre“ Sequenzen – sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Zahl. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).

Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man einen zunehmenden Verlauf von einem abnehmenden unterscheiden? Glücklicherweise hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, d.h. Fortschrittsunterschiede:

1. Wenn $d \gt 0$, dann nimmt die Progression zu;
2. Wenn $d \lt 0$, dann nimmt die Progression offensichtlich ab;
3. Schließlich gibt es den Fall $d=0$ – in diesem Fall wird die gesamte Folge auf eine stationäre Folge identischer Zahlen reduziert: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei oben genannten abnehmenden Progressionen zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei beliebige benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der Zahl rechts die Zahl links abzuziehen. Es wird so aussehen:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Wie Sie sehen, fiel der Unterschied in allen drei Fällen tatsächlich negativ aus. Und nachdem wir nun die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit, herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.

Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel

Da die Elemente unserer Folgen nicht vertauschbar sind, können sie nummeriert werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Rechts\)\]

Einzelne Elemente dieser Menge werden als Mitglieder der Progression bezeichnet. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied usw.

Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel verbunden:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kurz gesagt, um den $n$-ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$-ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, indem Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, deshalb gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Diese Formel ist Ihnen wahrscheinlich schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks wieder. Und in jedem vernünftigen Mathematiklehrbuch ist es eines der ersten.

Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.

Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Terme der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Verwenden wir die gerade angegebene Formel und ersetzen wir $n=1$, $n=2$ und $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.

Natürlich konnte $n=1$ nicht ersetzt werden – den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch sichergestellt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.

Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebter Term −40 und ihr siebzehnter Term −50 ist.

Lösung. Wir beschreiben den Zustand des Problems in den üblichen Worten:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Rechts.\]

Ich habe das Zeichen des Systems gesetzt, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir Folgendes erhalten, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben):

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied entdeckt! Es bleibt die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems einzusetzen. Zum Beispiel im ersten:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Da wir nun den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Bereit! Problem gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Beachten Sie eine merkwürdige Eigenschaft der Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir den $n$-ten und den $m$-ten Term nehmen und sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Einfach, aber sehr nützliche Eigenschaft, was Sie unbedingt wissen müssen – mit seiner Hilfe können Sie die Lösung vieler Probleme im Verlauf deutlich beschleunigen. Hier ist ein Paradebeispiel dafür:

Aufgabe Nummer 3. Der fünfte Term der arithmetischen Folge ist 8,4 und der zehnte Term ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.

Lösung. Da $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ und wir $((a)_(15))$ finden müssen, stellen wir Folgendes fest:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Aber nach der Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus folgt:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Antwort: 20.4

Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles wurde in nur wenigen Zeilen entschieden.

Betrachten wir nun eine andere Art von Problem – die Suche nach negativen und positiven Mitgliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin auftauchen. Und umgekehrt: Die Bedingungen einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.

Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente nacheinander zu sortieren. Oft sind Aufgaben so gestaltet, dass die Berechnungen ohne Kenntnis der Formeln mehrere Blätter in Anspruch nehmen würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.

Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?

Lösung. Also $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, woraus wir sofort den Unterschied finden:

Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.

Versuchen wir herauszufinden, wie lange (d. h. bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Die letzte Zeile bedarf einer Klarstellung. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Andererseits passen für uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (außerdem: $n\in \mathbb(N)$), daher ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.

Aufgabennummer 5. In der arithmetischen Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finden Sie die Nummer des ersten positiven Termes dieser Folge.

Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die Nachbarterme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Fortschrittsunterschied leicht finden können:

Versuchen wir außerdem, den fünften Term durch den ersten und die Differenz mithilfe der Standardformel auszudrücken:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nun gehen wir analog zum vorherigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Die kleinste ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten: in letzte Aufgabe Alles lief auf eine strikte Ungleichung hinaus, sodass die Option $n=55$ für uns nicht geeignet ist.

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einfache Probleme löst, gehen wir zu komplexeren Problemen über. Aber lernen wir zunächst eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Folgen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :) :)

Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der steigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:

Arithmetische Folgeglieder auf dem Zahlenstrahl

Ich habe speziell die willkürlichen Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und keine $((a)_(1)) erwähnt. \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle „Segmente“ gleich.

Und die Regel ist ganz einfach. Erinnern wir uns an die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ im gleichen Abstand von $((a)_(n)) $ liegen . Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das Gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ – sie werden auch aus $((a)_(n) entfernt. )$ um den gleichen Abstand gleich $2d$. Sie können unbegrenzt fortfahren, aber das Bild verdeutlicht die Bedeutung gut

Die Mitglieder der Progression liegen im gleichen Abstand vom Zentrum

Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Mitglieder! Darüber hinaus können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen – und trotzdem ist die Formel korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Diese. wir können leicht einige $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. Allerdings werden in der Praxis viele Aufgaben gezielt für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:

Aufgabennummer 6. Finden Sie alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder von sind eine arithmetische Folge (in angegebener Reihenfolge).

Lösung. Da diese Zahlen Mitglieder einer Progression sind, ist die Bedingung des arithmetischen Mittels für sie erfüllt: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Es ist klassisch geworden quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.

Antwort: -3; 2.

Aufgabennummer 7. Finden Sie die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).

Lösung. Auch hier drücken wir den Mittelterm durch das arithmetische Mittel benachbarter Terme aus:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Eine weitere quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie bei der Lösung eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?

Nehmen wir an, wir haben in Aufgabe 6 die Antworten -3 und 2 erhalten. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Lassen Sie uns sie einfach in den Originalzustand stecken und sehen, was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$, die eine arithmetische Folge bilden sollten. Ersetzen Sie $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Wir haben die Zahlen -54; −2; 50, die sich um 52 unterscheiden, sind zweifellos eine arithmetische Folge. Das Gleiche passiert für $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Wieder eine Progression, allerdings mit einer Differenz von 27. Somit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst überprüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.

Im Allgemeinen sind wir beim Lösen der letzten Aufgaben auf eine andere gestoßen interessante Tatsache, was auch beachtet werden muss:

Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt der ersten und letzten ist, dann bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.

Das Verständnis dieser Aussage wird es uns in Zukunft ermöglichen, die notwendigen Fortschritte basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Doch bevor wir uns auf eine solche „Konstruktion“ einlassen, sollten wir noch einen weiteren Sachverhalt beachten, der sich unmittelbar aus dem bereits Geschilderten ergibt.

Gruppierung und Summe der Elemente

Kehren wir noch einmal zum Zahlenstrahl zurück. Wir bemerken dort mehrere Mitglieder der Progression, zwischen denen vielleicht. vielen anderen Mitgliedern wert:

6 Elemente auf dem Zahlenstrahl markiert

Versuchen wir, den „linken Schwanz“ durch $((a)_(n))$ und $d$ und den „rechten Schwanz“ durch $((a)_(k))$ und $ auszudrücken d$. Es ist sehr einfach:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Einfach ausgedrückt: Wenn wir zunächst zwei Elemente der Progression betrachten, die in ihrer Summe einer Zahl $S$ entsprechen, und dann beginnen, von diesen Elementen aus in entgegengesetzte Richtungen zu treten (aufeinander zu oder umgekehrt, um uns zu entfernen), Dann Die Summen der Elemente, auf die wir stoßen, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:

Gleiche Einrückungen ergeben gleiche Beträge

Verständnis dieser Fakt wird es uns ermöglichen, Probleme grundlegend besser zu lösen hohes Level komplexer als die oben diskutierten. Zum Beispiel diese:

Aufgabennummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und zwölften Term das kleinstmögliche ist.

Lösung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Tatsächlich wird die gesamte Lösung um die Differenz herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Für diejenigen im Tank: Ich habe den gemeinsamen Faktor 11 aus der zweiten Klammer genommen. Somit ist das gewünschte Produkt eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – ihr Graph wird eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen sein, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Wie Sie sehen können, beträgt der Koeffizient am höchsten Term 11 – das ist positive Zahl, wir haben es also eigentlich mit einer Parabel mit nach oben gerichteten Ästen zu tun:

Graph einer quadratischen Funktion - Parabel

Bitte beachten Sie: Diese Parabel nimmt ihren Minimalwert an ihrem Scheitelpunkt mit der Abszisse $((d)_(0))$ an. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel sinnvoller Beachten Sie, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Achsensymmetrie der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ den gleichen Abstand von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d \right)=0$ hat:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In der Originalform waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem arithmetischen Mittel der Zahlen −66 und −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Was gibt uns die entdeckte Zahl? Damit wird das benötigte Produkt eingenommen kleinster Wert(Übrigens haben wir $((y)_(\min ))$ nicht berechnet – wir sind dazu nicht verpflichtet.) Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz des Anfangsverlaufs, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36

Aufgabennummer 9. Fügen Sie drei Zahlen zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

Lösung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen erstellen, mit dem ersten und letzte Nummer bereits bekannt. Bezeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die „Mitte“ unserer Folge ist – sie hat den gleichen Abstand von den Zahlen $x$ und $z$ sowie von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac (1)( 6)$. Und wenn wir von den Zahlen $x$ und $z$ ausgehen, sind wir dabei dieser Moment können wir $y$ nicht bekommen, dann ist die Situation an den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:

Wenn wir nun $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. Deshalb

Wenn wir ähnlich argumentieren, finden wir die verbleibende Zahl:

Bereit! Wir haben alle drei Zahlen gefunden. Schreiben wir sie in der Antwort in der Reihenfolge auf, in der sie zwischen den ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.

Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Aufgabennummer 10. Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 beträgt.

Lösung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird – durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Aus Gründen der Bestimmtheit gehen wir daher davon aus, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen gibt, und die erste davon ist 2 und die letzte ist 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Beachten Sie jedoch, dass sich die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 ergeben, die an den Kanten um einen Schritt zueinander stehen , d.h. . in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Es bleibt nur noch, die restlichen Mitglieder zu finden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Somit kommen wir bereits im 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz – der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textaufgaben mit Fortschritten

Abschließend möchte ich ein paar relativ einfache Probleme betrachten. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, scheinen diese Aufgaben wie eine Geste zu sein. Dennoch sind es genau solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in Mathematik auftauchen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Aufgabennummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile und in jedem Folgemonat 14 Teile mehr als im Vormonat. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?

Lösung. Offensichtlich wird die Anzahl der pro Monat lackierten Teile eine zunehmende arithmetische Folge sein. Und:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Somit werden im November 202 Teile gefertigt.

Aufgabennummer 12. Die Buchbindewerkstatt hat im Januar 216 Bücher gebunden, und jeden Monat wurden vier Bücher mehr gebunden als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?

Lösung. Alles das selbe:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Das ist die Antwort: Im Dezember werden 260 Bücher gebunden.

Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, möchte ich Ihnen gratulieren: Sie haben den „Kurs für junge Kämpfer“ in arithmetischen Progressionen erfolgreich abgeschlossen. Sie können sicher dorthin gehen Nächste Lektion, wo wir die Progressionssummenformel sowie wichtige und sehr nützliche Konsequenzen daraus untersuchen werden.

Oder Arithmetik – das ist eine Art geordnete Zahlenfolge, deren Eigenschaften in einem Schulalgebrakurs untersucht werden. In diesem Artikel wird ausführlich auf die Frage eingegangen, wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt.

Was ist dieser Fortschritt?

Bevor mit der Betrachtung der Frage fortgefahren wird (wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt), lohnt es sich zu verstehen, was besprochen wird.

Jede Folge reeller Zahlen, die man durch Addieren (Subtrahieren) eines Wertes von jeder vorherigen Zahl erhält, wird algebraische (arithmetische) Folge genannt. Diese in die Sprache der Mathematik übersetzte Definition hat die Form:

Dabei ist i die Ordnungszahl des Elements der Reihe a i . Wenn Sie also nur eine Anfangsnummer kennen, können Sie die gesamte Serie problemlos wiederherstellen. Der Parameter d in der Formel wird Progressionsdifferenz genannt.

Es lässt sich leicht zeigen, dass für die betrachtete Zahlenreihe folgende Gleichung gilt:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Das heißt, um den Wert des n-ten Elements der Reihe nach zu ermitteln, addieren Sie die Differenz d n-1 Mal zum ersten Element a 1.

Was ist die Summe einer arithmetischen Folge: Formel

Bevor Sie die Formel für den angegebenen Betrag angeben, lohnt es sich, über eine einfache Überlegung nachzudenken besonderer Fall. Bei einer Reihe natürlicher Zahlen von 1 bis 10 müssen Sie deren Summe ermitteln. Da es in der Folge (10) nur wenige Terme gibt, ist es möglich, das Problem frontal zu lösen, d. h. alle Elemente der Reihe nach zu summieren.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Es lohnt sich, eine interessante Sache zu berücksichtigen: Da sich jeder Term vom nächsten um den gleichen Wert d \u003d 1 unterscheidet, führt die paarweise Summierung des ersten mit dem zehnten, des zweiten mit dem neunten usw. zum gleichen Ergebnis . Wirklich:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Wie Sie sehen, gibt es nur 5 dieser Summen, also genau das Zweifache der Anzahl der Elemente in der Reihe. Wenn Sie dann die Anzahl der Summen (5) mit dem Ergebnis jeder Summe (11) multiplizieren, erhalten Sie das im ersten Beispiel erhaltene Ergebnis.

Wenn wir diese Argumente verallgemeinern, können wir den folgenden Ausdruck schreiben:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Dieser Ausdruck zeigt, dass es überhaupt nicht notwendig ist, alle Elemente in einer Reihe zu summieren, es reicht aus, den Wert des ersten a 1 und des letzten a n zu kennen, und auch Gesamtzahl Begriffe n.

Es wird angenommen, dass Gauß zum ersten Mal an diese Gleichheit dachte, als er nach einer Lösung für das von seinem Schullehrer gestellte Problem suchte: die ersten 100 ganzen Zahlen zu summieren.

Summe der Elemente von m bis n: Formel

Die im vorherigen Absatz angegebene Formel beantwortet die Frage, wie man die Summe einer arithmetischen Folge (der ersten Elemente) ermittelt. Bei Aufgaben ist es jedoch häufig erforderlich, eine Reihe von Zahlen in der Mitte der Folge zu summieren. Wie kann man das machen?

Der einfachste Weg, diese Frage zu beantworten, besteht darin, das folgende Beispiel zu betrachten: Es sei notwendig, die Summe der Terme vom M-ten zum n-ten zu ermitteln. Um das Problem zu lösen, sollte ein gegebener Abschnitt von m bis n der Progression als neue Zahlenreihe dargestellt werden. In solch Darstellung m-th Term a m wird der erste sein und a n wird mit n-(m-1) nummeriert. In diesem Fall erhält man bei Anwendung der Standardformel für die Summe den folgenden Ausdruck:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Beispiel für die Verwendung von Formeln

Wenn man weiß, wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt, lohnt es sich, ein einfaches Beispiel für die Verwendung der oben genannten Formeln zu betrachten.

Unten ist angegeben Zahlenfolge, sollten Sie die Summe seiner Mitglieder ermitteln, beginnend mit dem 5. und endend mit dem 12.:

Die angegebenen Zahlen geben an, dass die Differenz d gleich 3 ist. Mit dem Ausdruck für das n-te Element können Sie die Werte des 5. und 12. Elements der Progression ermitteln. Es stellt sich heraus:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Wenn Sie die Werte der Zahlen am Ende der betrachteten algebraischen Folge kennen und auch wissen, welche Zahlen in der Reihe sie einnehmen, können Sie die Formel für die im vorherigen Absatz erhaltene Summe verwenden. Erhalten:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Es ist erwähnenswert, dass dieser Wert auch auf andere Weise ermittelt werden kann: Ermitteln Sie zunächst die Summe der ersten 12 Elemente mithilfe der Standardformel, berechnen Sie dann die Summe der ersten 4 Elemente mithilfe derselben Formel und subtrahieren Sie dann das zweite von der ersten Summe .