समीकरणों की प्रणाली का एक्स वाई समाधान। रैखिक समीकरणों की प्रणाली

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रबंधन और उत्पादन योजना की समस्याओं को हल करते समय, रसद मार्ग ( परिवहन कार्य) या उपकरण प्लेसमेंट।

समीकरण प्रणाली का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में किया जाता है, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करते समय किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण सही समानता बन जाते हैं या यह साबित करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए, b, चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसके ग्राफ को प्लॉट करके समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहाँ F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका मतलब ऐसे मूल्यों (x, y) को खोजना है जिनके लिए सिस्टम एक वास्तविक समानता बन जाता है, या यह स्थापित करना है कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समतुल्य कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना भाग शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन चर या अधिक वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, वे मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकते हैं।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए सरल और जटिल तरीके

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी तरीके संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। गणित के स्कूल के पाठ्यक्रम में क्रमचय, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिथ्म कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

कार्यक्रम की 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना माध्यमिक विद्यालयकाफी सरल और बहुत विस्तार से समझाया गया। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मूल्य को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एकल चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . समाधान यह उदाहरणकठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y का मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरणयह प्राप्त मूल्यों का परीक्षण है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणनाओं के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक विषम समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और समीकरणों के गुणन द्वारा विभिन्न संख्याएँ. गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

अनुप्रयोगों के लिए यह विधियह अभ्यास और अवलोकन लेता है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय जोड़ उपयोगी होता है जब समीकरणों में अंश और दशमलव संख्याएँ होती हैं।

समाधान क्रिया एल्गोरिथम:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति शब्द को शब्द से जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

एक नया चर शुरू करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है, अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

विधि का उपयोग एक नए चर को पेश करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। दर्ज अज्ञात के संबंध में नया समीकरण हल किया गया है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विविक्तकर का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विविक्तकर का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विविक्तकर है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। विधि में समन्वय अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को प्लॉट करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।

ग्राफिक पद्धति में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मानों को मनमाने ढंग से चुना गया था: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई हल नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग-अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मेट्रिसेस का उपयोग किया जाता है संक्षेपाक्षररैखिक समीकरणों की प्रणाली। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों में से एक के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई एक में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम को सख्ती से वेरिएबल्स के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

एक मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

उलटा मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 उलटा मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |क| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तब सिस्टम के पास समाधान है।

निर्धारक की आसानी से दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए गणना की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में कॉलम और पंक्ति संख्या तत्वों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान

बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बोझिल प्रविष्टियों को कम करना संभव बनाती है।

उदाहरण में, एक nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक सदिश है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस पद्धति का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। खोजने के लिए इन विधियों का उपयोग किया जाता है सिस्टम चरबहुत सारे रैखिक समीकरणों के साथ।

गॉसियन विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ समाधानों के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ एक अभिव्यक्ति है।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

में स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंग्रेड 7 के लिए, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का समाधान आपको चर x n में से एक का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका पाठ में उल्लेख किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को एक समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

छात्रों के लिए गॉस विधि को समझना कठिन है उच्च विद्यालय, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करना।

रिकॉर्डिंग गणना में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक सिस्टम में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाएं एक पंक्ति के साथ की जाती हैं। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें एक विकर्ण 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात, मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह अंकन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के नि: शुल्क आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के एक विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद हैं।

1. प्रतिस्थापन विधि: सिस्टम के किसी भी समीकरण से हम एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करते हैं और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं परद्वारा एक्सऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें मूल के बराबर।

ऐसी शर्तें लाने के बाद, सिस्टम फॉर्म लेगा:

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं: . इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना पर = 2 - 2एक्स, हम पाते हैं पर= 3. इसलिए, इस प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है।

2. बीजगणितीय जोड़ विधि: दो समीकरणों को जोड़कर एक चर वाला समीकरण प्राप्त करें।

काम।सिस्टम समीकरण हल करें:

समाधान।दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें सिस्टम मिलता है मूल के बराबर। इस निकाय के दो समीकरणों को जोड़ने पर हम निकाय पर पहुँचते हैं

समान शर्तों को कम करने के बाद, यह प्रणाली रूप ले लेगी: दूसरे समीकरण से हम पाते हैं। इस मान को समीकरण 3 में प्रतिस्थापित करना एक्स + 4पर= 5, हम प्राप्त करते हैं , कहाँ । इसलिए, इस प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक युग्म है।

3. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि: हम सिस्टम में कुछ दोहराए गए भावों की तलाश कर रहे हैं, जिन्हें हम नए चरों द्वारा निरूपित करेंगे, जिससे सिस्टम का रूप सरल हो जाएगा।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।आइए इस प्रणाली को अलग तरह से लिखें:

होने देना एक्स + वाई = यू, हू = वीतब हमें सिस्टम मिलता है

आइए इसे प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें। सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं यूद्वारा विऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें वे।

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं वि 1 = 2, वि 2 = 3.

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना यू = 5 - वि, हम पाते हैं यू 1 = 3,
यू 2 = 2। तब हमारे पास दो प्रणालियाँ हैं

पहली प्रणाली को हल करने पर, हमें संख्याओं के दो जोड़े (1; 2), (2; 1) मिलते हैं। दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

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अनुदेश

जोड़ विधि।
आपको दो सख्ती से एक दूसरे के नीचे लिखने की जरूरत है:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11।
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से पाए गए "गेम" के बजाय नंबर 11 डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116।
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर: x=116, y=11।

ग्राफिक तरीका।
इसमें उस बिंदु के निर्देशांकों की व्यावहारिक खोज शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में गणितीय रूप से रेखाएँ लिखी जाती हैं। आपको एक ही निर्देशांक प्रणाली में अलग-अलग दोनों रेखाओं का आलेख बनाना चाहिए। सामान्य दृश्य: - y \u003d kx + b। एक सीधी रेखा का निर्माण करने के लिए, यह दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
सिस्टम दिया जाए: 2x - y \u003d 4

वाई \u003d -3x + 1।
एक सीधी रेखा पहले के अनुसार बनाई गई है, सुविधा के लिए इसे लिखने की आवश्यकता है: y \u003d 2x-4। एक्स के लिए (आसान) मूल्यों के साथ आओ, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें, वाई खोजें। दो बिंदु प्राप्त होते हैं, जिसके साथ एक सीधी रेखा निर्मित होती है। (तस्वीर देखें।)
एक्स 0 1

वाई -4 -2
दूसरे समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण किया गया है: y \u003d -3x + 1।
साथ ही लाइन भी बनाएं। (तस्वीर देखें।)

1-5
ग्राफ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों की प्रणाली में ऐसा नहीं है)।

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मददगार सलाह

यदि समीकरणों की समान प्रणाली को तीन से हल किया जाता है विभिन्न तरीके, उत्तर समान होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• बीजगणित ग्रेड 8
• ऑनलाइन दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हल करें
• दो के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

प्रणाली समीकरणगणितीय अभिलेखों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। इन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -रूलर और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

अनुदेश

सिस्टम को हल करने के अनुक्रम पर विचार करें, जिसमें रैखिक समीकरण होते हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहाँ x और y अज्ञात चर हैं और b,c मुक्त सदस्य हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के संगत बिंदुओं के निर्देशांक होती है। पहले, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर x चर को मानों की किसी भी संख्या पर सेट करें। दो काफी है। समीकरण में प्लग करें और y खोजें। एक समन्वय प्रणाली बनाएँ, उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए समान गणना की जानी चाहिए।

सिस्टम है केवल निर्णय, यदि निर्मित रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और एक आम बात. यह असंगत है अगर वे एक दूसरे के समानांतर हैं। और जब रेखाएँ एक दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

यह तरीका बहुत साफ माना जाता है। मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञातों के अनुमानित मान होते हैं। तथाकथित बीजगणितीय विधियों द्वारा अधिक सटीक परिणाम दिया जाता है।

समीकरणों के निकाय का कोई भी हल जाँचने योग्य है। ऐसा करने के लिए, चर के बजाय प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। आप इसका समाधान भी कई तरीकों से पा सकते हैं। यदि व्यवस्था का समाधान सही है तो सभी को एक जैसा ही निकलना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें कोई एक पद अज्ञात होता है। एक समीकरण को हल करने के लिए, आपको याद रखने और इन नंबरों के साथ क्रियाओं का एक निश्चित सेट करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेन या पेंसिल।

अनुदेश

कल्पना कीजिए कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। सोचें कि आपको अधिक गाजर खरीदने की आवश्यकता है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक गाजर मिल सके।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं: 5 + x = 8. चलो संख्या 3 को x के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं। वास्तव में, 5 + 3 = 8।

जब आपने x के लिए एक संख्या को प्रतिस्थापित किया, तो आप वही संक्रिया कर रहे थे जो 8 में से 5 घटाना है। इस प्रकार, खोजने के लिए अज्ञातपद, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मान लीजिए आपके पास 20 खरगोश और केवल 5 गाजर हैं। चलिए रचना करते हैं। एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ मूल्यों के लिए होती है। जिन अक्षरों का मान आप ढूँढना चाहते हैं, कहलाते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहते हैं। खरगोशों के बारे में हमारी समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 5 + x = 20।

आइए 20 और 5 के बीच का अंतर ज्ञात करें। घटाते समय, जिस संख्या से इसे घटाया जाता है वह कम हो जाती है। घटाई गई संख्या कहलाती है, और अंतिम परिणाम अंतर कहलाता है। इसलिए, x = 20 - 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदने की जरूरत है।

जाँच करें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही है। बेशक, कब हम बात कर रहे हैंऐसे सरल लोगों के बारे में जाँच करना आवश्यक नहीं है। हालाँकि, जब तीन अंकों, चार अंकों, और इसी तरह के समीकरणों की बात आती है, तो अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह सुनिश्चित होने के लिए जाँच करना अनिवार्य है।

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मददगार सलाह

अज्ञात मीन्युएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड को जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, न्यूनतम से अंतर को घटाना आवश्यक है।

टिप 4: तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान नहीं हो सकता है। आप इसे प्रतिस्थापन विधि या क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले सिस्टम हल करने योग्य है या नहीं।

अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि में दो अन्य के माध्यम से क्रमिक रूप से एक अज्ञात होता है और सिस्टम के समीकरणों में प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करता है। मान लीजिए कि तीन समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है सामान्य रूप से देखें:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, फिर दूसरे समीकरण से y व्यक्त करें और तीसरे में प्रतिस्थापित करें। निकाय के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से आपको z के लिए एक रैखिक व्यंजक प्राप्त होगा। अब "वापस" जाएं: z को दूसरे समीकरण में प्लग करें और y खोजें, फिर z और y को पहले समीकरण में प्लग करें और x खोजें। प्रक्रिया को आम तौर पर चित्र में तब तक दिखाया जाता है जब तक कि z नहीं मिल जाता। इसके अलावा, सामान्य रूप में रिकॉर्ड बहुत बोझिल होगा, व्यवहार में, प्रतिस्थापन, आप काफी आसानी से तीनों अज्ञात पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में सिस्टम के मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना, साथ ही साथ तीन और सहायक मैट्रिक्स शामिल हैं। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों की अज्ञात शर्तों पर गुणांक से बना है। समीकरणों के दाईं ओर संख्याओं वाला स्तंभ, दाईं ओर का स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, लेकिन सिस्टम को हल करते समय इसका उपयोग किया जाता है।

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टिप्पणी

सिस्टम में सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, सिस्टम को कम करके आंका जाएगा और एक स्पष्ट समाधान खोजना संभव नहीं होगा।

मददगार सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, प्राप्त मूल्यों को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करें और जांचें कि वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप में समीकरणतीन के साथ अज्ञातकई समाधान हैं, इसलिए अक्सर इसे दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक किया जाता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इसके आधार पर, निर्णय का कोर्स काफी हद तक निर्भर करेगा।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चरों को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने और उन्हें प्लग इन करने का प्रयास करें समीकरणतीन के साथ अज्ञात. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ। यदि यह है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - प्राप्त मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण से घटाया जा सकता है। देखें कि क्या एक से या एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक बार में कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है कि बाद का निर्णय मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिने हाथ की ओर भी घटाया जाना चाहिए।

अगर पिछले तरीकेमदद नहीं की, तीन के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अज्ञात. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 के रूप में फिर से लिखें। अब एक्स (ए) पर गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाएं, अज्ञात का एक मैट्रिक्स (एक्स) और मुक्त लोगों का एक मैट्रिक्स (बी)। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स मिलेगा, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी A * X \u003d B।

खोजने के बाद मैट्रिक्स ए को शक्ति (-1) खोजें, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक ∆ को खोजें। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 को खोजते हैं, जो संबंधित स्तंभों के मूल्यों के बजाय मुक्त शर्तों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। अब एक्स खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆।

स्रोत:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों के समाधान

समीकरणों की प्रणाली को हल करना शुरू करते हुए, पता करें कि ये समीकरण क्या हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। गैर-रैखिक समीकरण अक्सर हल नहीं होते हैं। केवल एक विशेष मामला है, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। इसलिए हल की विधियों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से शुरू होना चाहिए। इस तरह के समीकरणों को विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

पाए गए अज्ञात के भाजक बिल्कुल समान हैं। हां, और अंश उनके निर्माण के कुछ पैटर्न दिखाई दे रहे हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का आयाम दो से अधिक था, तो विलोपन विधि बहुत बोझिल गणनाओं को जन्म देगी। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल क्रैमर का एल्गोरिथम (क्रैमर के सूत्र) है। क्योंकि आपको पता होना चाहिए सामान्य प्रणालीएन समीकरणों से समीकरण।

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij सिस्टम के गुणांक हैं,
хj - अज्ञात, द्वि - मुक्त सदस्य (i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ... , n)। इस तरह की प्रणाली को मैट्रिक्स फॉर्म AX = B में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यहाँ A सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स है, X अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, B फ्री टर्म्स का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्र 1b देखें)। क्रैमर की विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक ∆ को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-th कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलकर एक सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले के लिए क्रैमर की विधि चित्र 1 में विस्तार से प्रस्तुत की गई है। 2.

एक प्रणाली दो या दो से अधिक समानताओं का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात हैं। रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं जिनका उपयोग रूपरेखा में किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम. उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ विधि कहा जाता है।

दो समीकरणों की प्रणाली का मानक रूप

पर आदर्श फॉर्मपहला समीकरण है a1*x+b1*y=c1, दूसरा समीकरण है a2*x+b2*y=c2, इत्यादि। उदाहरण के लिए, दिए गए दोनों में प्रणाली के दो भागों के मामले में a1, a2, b1, b2, c1, c2 विशिष्ट समीकरणों में प्रस्तुत कुछ संख्यात्मक गुणांक हैं। बदले में, x और y अज्ञात हैं जिनके मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। वांछित मूल्य दोनों समीकरणों को एक साथ वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

जोड़ विधि द्वारा प्रणाली का समाधान

सिस्टम को हल करने के लिए, यानी x और y के उन मूल्यों को खोजने के लिए जो उन्हें वास्तविक समानता में बदल देंगे, आपको कुछ सरल कदम उठाने की जरूरत है। इनमें से पहला किसी भी समीकरण को इस तरह बदलना है कि दोनों समीकरणों में चर x या y के लिए संख्यात्मक गुणांक निरपेक्ष मान में मेल खाते हैं, लेकिन संकेत में भिन्न हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों वाली एक प्रणाली दी गई है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के गुणक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y=-12 के रूप में ले जाएगा। गुणांक का सही विकल्प अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम को हल करने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है, क्योंकि यह अज्ञात खोजने की प्रक्रिया के पूरे आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करता है।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना जरूरी है। जाहिर है, मान के बराबर लेकिन साइन गुणांक के विपरीत वेरिएबल्स का पारस्परिक विनाश इसे -10x = -4 के रूप में ले जाएगा। उसके बाद, इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे यह स्पष्ट रूप से x = 0.4 का अनुसरण करता है।

समाधान प्रक्रिया में अंतिम चरण सिस्टम में उपलब्ध प्रारंभिक समानता में से किसी एक चर के पाए गए मान का प्रतिस्थापन है। उदाहरण के लिए, x=0.4 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करके, आप 2*0.4+4y=8 व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8 है। इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण में दिखाए गए सिस्टम की जड़ें हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही पाई गईं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, में इस मामले में 0.4*6+1.8*2=6 रूप की समानता प्राप्त होती है, जो सही है।

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हम दो प्रकार के समीकरणों को हल करने वाली प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. सिस्टम के समीकरणों के टर्म-बाय-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक साधारण एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। किसी भी समीकरण से हम एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम अभिव्यक्त चर, परिणामी मान के बजाय दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना टर्म-बाय-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक चर का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर वाला समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक वाला एक चर x है, इसलिए यह पता चला है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम चर x के स्थान पर पहले समीकरण में 3 + 10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (खुले कोष्ठक)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
वाई = -5:25
वाई = -0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। आइए x को खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था वहां हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

पहले स्थान पर अंक लिखने की प्रथा है, हम चर x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर चर y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए टर्म-बाय-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।

जोड़ विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. एक चर का चयन करें, मान लें कि हम x का चयन करते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2। हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. पहले समीकरण से, चर x से छुटकारा पाने के लिए दूसरे को घटाएं। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
वाई = 6.4

3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, पहले समीकरण में कहते हैं।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स = 4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु होगा x=4.6; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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