रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल करें. दो चर वाले समीकरणों की प्रणालियाँ, समाधान

आइए सबसे पहले दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की परिभाषा को याद करें।

परिभाषा 1

संख्याओं की एक जोड़ी को दो चर वाले समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है, यदि उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त होती है।

निम्नलिखित में, हम दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अस्तित्व समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के चार बुनियादी तरीके: प्रतिस्थापन विधि, जोड़ विधि, ग्राफिकल विधि, नई चर प्रबंधन विधि। आइये इन तरीकों पर एक नजर डालते हैं ठोस उदाहरण. पहले तीन तरीकों के उपयोग के सिद्धांत का वर्णन करने के लिए, हम दो की एक प्रणाली पर विचार करेंगे रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथ:

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है: इनमें से कोई भी समीकरण लिया जाता है और $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर $y$ को सिस्टम के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां से वेरिएबल $x.$ पाया जाता है। उसके बाद, हम आसानी से वेरिएबल $y.$ की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण 1

आइए हम दूसरे समीकरण $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त करें:

पहले समीकरण में स्थानापन्न करें, $x$ खोजें:

\ \ \

$y$ खोजें:

उत्तर: $(-2,\ 3)$

जोड़ विधि.

एक उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करें:

उदाहरण 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें, हमें मिलता है:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

आइए अब दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ें:

\ \ \

दूसरे समीकरण से $y$ ज्ञात करें:

\[-6-y=-9\] \

उत्तर: $(-2,\ 3)$

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि इस पद्धति में एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा करना आवश्यक है कि जोड़ने पर कोई एक चर "गायब" हो जाए।

ग्राफिकल तरीका

ग्राफ़िकल विधि इस प्रकार है: सिस्टम के दोनों समीकरण समन्वय तल पर प्रदर्शित होते हैं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाया जाता है।

उदाहरण 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

आइए हम $y$ को दोनों समीकरणों से $x$ के रूप में व्यक्त करें:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

आइए दोनों ग्राफ़ एक ही तल पर बनाएं:

चित्र 1।

उत्तर: $(-2,\ 3)$

नए वेरिएबल कैसे पेश करें

हम इस विधि पर निम्नलिखित उदाहरण में विचार करेंगे:

उदाहरण 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right.\]

समाधान।

यह सिस्टम सिस्टम के समतुल्य है

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right.\]

मान लीजिए $2^x=u\ (u>0)$ और $3^y=v\ (v>0)$, हमें मिलता है:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

हम परिणामी प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करते हैं। आइए समीकरण जोड़ें:

\ \

फिर दूसरे समीकरण से हमें वह प्राप्त होता है

प्रतिस्थापन पर लौटने पर, हमें मिलता है नई प्रणालीघातीय समीकरण:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

हम पाते हैं:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

अनुदेश

जोड़ विधि.
आपको दो को एक दूसरे के नीचे सख्ती से लिखना होगा:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से पाए गए "गेम" के बजाय नंबर 11 डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116।
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर: x=116, y=11.

ग्राफ़िक तरीका.
इसमें उस बिंदु के निर्देशांक की व्यावहारिक खोज शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में रेखाएं गणितीय रूप से लिखी जाती हैं। आपको एक ही समन्वय प्रणाली में दोनों रेखाओं के ग्राफ़ अलग-अलग खींचने चाहिए। सामान्य दृश्य: - y \u003d kx + b। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढना पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है: 2x - y \u003d 4

वाई = -3x + 1.
एक सीधी रेखा पहले के अनुसार बनाई गई है, सुविधा के लिए इसे नीचे लिखा जाना चाहिए: y \u003d 2x-4। x के लिए (आसान) मान लेकर आएं, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें, y ढूंढें। दो बिंदु प्राप्त होते हैं, जिनके अनुदिश एक सीधी रेखा बनी होती है। (तस्वीर देखें)
x 0 1

य -4 -2
दूसरे समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है: y \u003d -3x + 1।
एक लाइन भी बनाएं. (तस्वीर देखें)

1-5
ग्राफ़ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों की प्रणाली में ऐसा नहीं है)।

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मददगार सलाह

यदि समीकरणों की एक ही प्रणाली को तीन द्वारा हल किया जाता है विभिन्न तरीके, उत्तर वही होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• बीजगणित ग्रेड 8
• दो अज्ञातों के साथ एक समीकरण ऑनलाइन हल करें
• दो के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

प्रणाली समीकरणगणितीय अभिलेखों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। इन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -रूलर और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

अनुदेश

सिस्टम को हल करने के अनुक्रम पर विचार करें, जिसमें निम्न रूप वाले रैखिक समीकरण शामिल हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहां x और y अज्ञात चर हैं और b,c स्वतंत्र सदस्य हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक होती है। सबसे पहले, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर x वेरिएबल को किसी भी संख्या में मान पर सेट करें। दो ही काफी है. समीकरण में प्लग करें और y खोजें। एक समन्वय प्रणाली बनाएं, उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए भी इसी तरह की गणना की जानी चाहिए।

यदि निर्मित रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है आम बात. यदि वे एक दूसरे के समानांतर हैं तो यह असंगत है। और जब रेखाएं एक-दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

यह तरीका बहुत ही स्पष्ट माना जाता है. मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञात का मान अनुमानित होता है। तथाकथित बीजगणितीय विधियों द्वारा अधिक सटीक परिणाम दिया जाता है।

समीकरणों की प्रणाली का कोई भी समाधान जाँचने योग्य है। ऐसा करने के लिए, चर के स्थान पर प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करें। इसका समाधान भी आप कई तरह से पा सकते हैं. यदि सिस्टम का समाधान सही है तो सभी को वैसा ही बनना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें कोई एक पद अज्ञात होता है। किसी समीकरण को हल करने के लिए, आपको इन संख्याओं को याद रखने और उनके साथ कुछ निश्चित क्रियाएं करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेन या पेंसिल.

अनुदेश

कल्पना करें कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। सोचें कि आपको अधिक गाजर खरीदने की ज़रूरत है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक गाजर मिल सके।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें: 5 + x = 8. आइए x के स्थान पर संख्या 3 रखें। वास्तव में, 5 + 3 = 8.

जब आपने x के स्थान पर एक संख्या प्रतिस्थापित की, तो आप 8 में से 5 घटाने जैसी ही प्रक्रिया कर रहे थे। इस प्रकार, ज्ञात करने के लिए अज्ञातपद, ज्ञात पद को योग से घटाएँ।

मान लीजिए कि आपके पास 20 खरगोश हैं और केवल 5 गाजर हैं। चलो रचना करें. एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ निश्चित मानों के लिए ही मान्य होती है। जिन अक्षरों का मान आप ज्ञात करना चाहते हैं वे कहलाते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहें। खरगोशों के बारे में हमारी समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 5 + x = 20।

आइए 20 और 5 के बीच अंतर ज्ञात करें। घटाने पर जिस संख्या से घटाया जाता है वह संख्या कम हो जाती है। जो संख्या घटाई जाती है उसे कहा जाता है, और अंतिम परिणाम को अंतर कहा जाता है। तो, x = 20 - 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदनी होंगी।

जाँच करें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही है। अवश्य, जब हम बात कर रहे हैंऐसे सरल लोगों के बारे में जाँच करना आवश्यक नहीं है। हालाँकि, जब तीन-अंकीय, चार-अंकीय और इसी तरह के समीकरणों की बात आती है, तो अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह सुनिश्चित होने के लिए जाँच करना अनिवार्य है।

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मददगार सलाह

अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा।

अज्ञात उपअंत को खोजने के लिए, लघुअंत से अंतर को घटाना आवश्यक है।

टिप 4: तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हो सकते हैं। आप इसे प्रतिस्थापन विधि या क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि सिस्टम हल करने योग्य है या नहीं।

अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि में क्रमिक रूप से एक अज्ञात को दो अन्य के माध्यम से बदलना और प्राप्त परिणाम को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करना शामिल है। मान लीजिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली सामान्य रूप में दी गई है:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, फिर दूसरे समीकरण से y व्यक्त करें और तीसरे में प्रतिस्थापित करें। आपको सिस्टम के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से z के लिए एक रैखिक अभिव्यक्ति मिलेगी। अब "वापस" जाएँ: z को दूसरे समीकरण में डालें और y खोजें, फिर z और y को पहले समीकरण में डालें और x खोजें। प्रक्रिया को आम तौर पर चित्र में तब तक दिखाया जाता है जब तक z नहीं मिल जाता। इसके अलावा, सामान्य रूप में रिकॉर्ड बहुत बोझिल होगा, व्यवहार में, प्रतिस्थापित करके, आप सभी तीन अज्ञात को आसानी से पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में सिस्टम के मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना, साथ ही तीन और सहायक मैट्रिक्स की गणना करना शामिल है। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों के अज्ञात पदों पर गुणांकों से बना है। समीकरणों के दाईं ओर की संख्याओं वाला स्तंभ, दाईं ओर का स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, बल्कि सिस्टम को हल करते समय किया जाता है।

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टिप्पणी

सिस्टम के सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, सिस्टम कमजोर हो जाएगा और कोई स्पष्ट समाधान ढूंढना संभव नहीं होगा।

मददगार सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, पाए गए मानों को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करें और जांचें कि वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप में समीकरणतीन के साथ अज्ञातइसके कई समाधान हैं, इसलिए अक्सर यह दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक होता है। प्रारंभिक डेटा क्या है, इसके आधार पर निर्णय की दिशा काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञातों के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने और उन्हें प्लग इन करने का प्रयास करें समीकरणतीन के साथ अज्ञात. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ. यदि ऐसा है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाए गए मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में से घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक को एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक साथ कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है, अगला निर्णय कठिन नहीं होगा। यह मत भूलिए कि किसी संख्या से गुणा करते समय आपको बाएँ और दाएँ दोनों तरफ से गुणा करना होगा। इसी प्रकार, समीकरणों को घटाते समय याद रखें कि दाहिना पक्ष भी घटाना होगा।

अगर पिछली विधियाँमदद नहीं मिली, तीन वाले किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अज्ञात. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 के रूप में फिर से लिखें। अब x (A) पर गुणांकों का एक मैट्रिक्स, अज्ञात (X) का एक मैट्रिक्स और मुक्त वाले (B) का एक मैट्रिक्स बनाएं। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स मिलेगा, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी ए * एक्स \u003d बी।

मैट्रिक्स A को घात (-1) तक खोजें, खोजने के बाद ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक ∆ खोजें। फिर संबंधित स्तंभों के मानों के बजाय मुक्त पदों के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

स्रोत:

• तीन अज्ञात वाले समीकरणों का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शुरू करते हुए, पता लगाएं कि ये समीकरण क्या हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने की विधियों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। अरेखीय समीकरण प्राय: हल नहीं होते। केवल एक ही विशेष मामले हैं, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। इसलिए, समाधान के तरीकों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से शुरू होना चाहिए। ऐसे समीकरणों को विशुद्ध एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

पाए गए अज्ञात के हर बिल्कुल समान हैं। हाँ, और अंशों में उनके निर्माण के कुछ पैटर्न दिखाई देते हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का आयाम दो से अधिक होता, तो उन्मूलन विधि से बहुत बोझिल गणनाएँ होतीं। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल क्रैमर का एल्गोरिदम (क्रैमर के सूत्र) है। क्योंकि आपको पता होना चाहिए सामान्य प्रणाली n समीकरण से समीकरण.

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं,
एक्सजे - अज्ञात, द्वि - मुक्त सदस्य (आई=1, 2, ..., एन; जे=1, 2, ..., एन)। ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप AX=B में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स है, एक्स अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, बी मुक्त शर्तों का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्र 1 बी देखें)। क्रैमर विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). गुणांकों के मैट्रिक्स के निर्धारक ∆ को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक निर्धारक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-वें स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करके एक सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले में क्रैमर की विधि चित्र में विस्तार से प्रस्तुत की गई है। 2.

एक प्रणाली दो या दो से अधिक समानताओं का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात होते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं जिनका उपयोग ढांचे में किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम. उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ विधि कहा जाता है।

दो समीकरणों की प्रणाली का मानक रूप

पर आदर्श फॉर्मपहला समीकरण a1*x+b1*y=c1 है, दूसरा समीकरण a2*x+b2*y=c2 है, इत्यादि। उदाहरण के लिए, सिस्टम के दो हिस्सों के मामले में दिए गए a1, a2, b1, b2, c1, c2 दोनों में कुछ संख्यात्मक गुणांक विशिष्ट समीकरणों में प्रस्तुत किए गए हैं। बदले में, x और y अज्ञात हैं जिनके मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। वांछित मान दोनों समीकरणों को एक साथ वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम का समाधान

सिस्टम को हल करने के लिए, यानी x और y के उन मानों को खोजने के लिए जो उन्हें वास्तविक समानता में बदल देंगे, आपको कुछ सरल कदम उठाने होंगे। इनमें से पहला है किसी भी समीकरण को इस तरह से बदलना कि दोनों समीकरणों में चर x या y के लिए संख्यात्मक गुणांक निरपेक्ष मान में मेल खाते हों, लेकिन चिह्न में भिन्न हों।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली दी गई है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के कारक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y=-12 के रूप में ले जाएगा। गुणांक का सही चयन सिस्टम को अतिरिक्त विधि द्वारा हल करने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है, क्योंकि यह अज्ञात खोजने की प्रक्रिया के पूरे आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करता है।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना जरूरी है। जाहिर है, समान मान लेकिन विपरीत चिह्न गुणांक वाले चरों का पारस्परिक विनाश इसे -10x=-4 के रूप में ले जाएगा। उसके बाद, इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे यह स्पष्ट रूप से पता चलता है कि x=0.4.

अंतिम चरणहल करने की प्रक्रिया में सिस्टम में उपलब्ध प्रारंभिक समानताओं में से किसी एक चर के पाए गए मान का प्रतिस्थापन होता है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में x=0.4 को प्रतिस्थापित करके, आप अभिव्यक्ति 2*0.4+4y=8 प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8. इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण में दिखाए गए सिस्टम की जड़ें हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई गईं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, में इस मामले में 0.4*6+1.8*2=6 के रूप की समानता प्राप्त होती है, जो सत्य है।

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रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणाली को हल करना निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। ये कारक इस लेख को बनाने का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री का चयन और संरचित किया गया है ताकि आप इसकी सहायता से कर सकें

• अपने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी गई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधानों पर विस्तार से विचार करके, अपने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

लेख की सामग्री का संक्षिप्त विवरण.

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं, और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करते हैं जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर होती है और जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है। सबसे पहले, आइए क्रैमर विधि पर ध्यान केंद्रित करें, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को विभिन्न तरीकों से हल करेंगे।

उसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की ओर मुड़ते हैं सामान्य रूप से देखें, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या से मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स खराब हो गया है। हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय तैयार करते हैं, जो हमें SLAEs की अनुकूलता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (उनकी अनुकूलता के मामले में) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देना सुनिश्चित करें। आइए हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधानों की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

निष्कर्ष में, हम समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करते हैं जो रैखिक तक कम हो जाती हैं, साथ ही विभिन्न समस्याएं भी होती हैं, जिनके समाधान में SLAE उत्पन्न होते हैं।

पेज नेविगेशन.

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम फॉर्म के n अज्ञात चर (p, n के बराबर हो सकता है) के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएँ), - मुक्त सदस्य (वास्तविक या जटिल संख्याएँ भी)।

SLAE के इस रूप को कहा जाता है कोआर्डिनेट.

में मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली का रूप है,
कहाँ - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का मैट्रिक्स-कॉलम, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम।

यदि हम मैट्रिक्स A को (n + 1)-वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों के मैट्रिक्स-कॉलम में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को अलग किया जाता है ऊर्ध्वाधर रेखाबाकी कॉलमों से, यानी,

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करकेअज्ञात चरों के मानों का एक समूह कहा जाता है, जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान में बदल जाता है।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कम से कम एक समाधान हो, तो इसे कहा जाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है कुछ; यदि एक से अधिक समाधान हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , फिर सिस्टम को कॉल किया जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

यदि सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम ऐसे SLAEs कहेंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अद्वितीय समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने ऐसे SLAE का अध्ययन करना शुरू किया उच्च विद्यालय. उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगला अज्ञात चर व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, इत्यादि। या उन्होंने जोड़ विधि का उपयोग किया, यानी, उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि ये अनिवार्य रूप से गॉस विधि के संशोधन हैं।

रैखिक समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

आइए हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात।

मान लीजिए कि यह सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और आव्यूहों के निर्धारक हैं जो A से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, ..., नवाँमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस तरह के अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर विधि के सूत्रों द्वारा की जाती है . इस प्रकार क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम में एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (निर्धारक मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, निर्धारक - दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, - मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है):

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) सिस्टम समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होने पर निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लें कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली मैट्रिक्स रूप में दी गई है, जहां मैट्रिक्स ए का आयाम n बटा n है और इसका निर्धारक गैर-शून्य है।

चूँकि, मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। यदि हम बाईं ओर समानता के दोनों भागों को गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के कॉलम मैट्रिक्स को खोजने का एक सूत्र मिलता है। तो हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान मिल गया।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें:

क्योंकि

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स बनाएं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह गणना करना बाकी है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम पर (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य संकेतन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चर वाले n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की आवश्यकता है
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों का क्रमिक बहिष्करण शामिल है: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू करके, फिर x 2 को तीसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर x n न रह जाए। अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉसियन विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, इस मान का उपयोग करके अंतिम समीकरण से x n-1 की गणना की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। हम दूसरे समीकरण से शुरू करके सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को बाहर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले समीकरण को तीसरे समीकरण में जोड़ें, और इसी तरह, पहले गुणा को nवें समीकरण में जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

जहाँ एक .

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम इसी तरह कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में दूसरे गुणा को जोड़ें, चौथे समीकरण में दूसरे गुणा को जोड़ें, और इसी तरह, nवें समीकरण में दूसरे गुणा को जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

जहाँ एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान कार्य करते हुए अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं

इसलिए हम गॉस विधि का सीधा कोर्स तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, प्राप्त मूल्य x n का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि.

समाधान।

आइए सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों भागों में, हम पहले समीकरण के संगत भागों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर, गुणा करके x 2 को बाहर कर देते हैं:

इस पर, गॉस विधि का आगे का कोर्स पूरा हो जाता है, हम रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर का पता लगाते हैं और यह गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

उत्तर:

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ।

सामान्य स्थिति में, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन उन समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्गाकार और पतित है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी अनुकूलता स्थापित करना आवश्यक है। SLAE कब संगत है और कब असंगत है, इस प्रश्न का उत्तर देता है क्रोनकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात (p, n के बराबर हो सकता है) के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी, रैंक (ए) = रैंक (टी)।

आइए एक उदाहरण के रूप में रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करने के लिए क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली है समाधान।

समाधान।

. आइए हम अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न. आइए इसके आस-पास के तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नज़र डालें:

चूंकि सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो है।

बदले में, संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक तीसरे क्रम के लघु के बाद से, तीन के बराबर है

शून्य से भिन्न.

इस प्रकार, रंग(ए), इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

समाधान की कोई व्यवस्था नहीं है.

इसलिए, हमने क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके सिस्टम की असंगतता स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन यदि SLAE की अनुकूलता स्थापित हो जाए तो इसका समाधान कैसे खोजा जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा और मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय की आवश्यकता है।

शून्य के अलावा, मैट्रिक्स ए का उच्चतम ऑर्डर माइनर कहा जाता है बुनियादी.

आधार माइनर की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए, कई बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं; हमेशा एक बुनियादी नाबालिग होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

दूसरे क्रम के निम्नलिखित अवयस्क बुनियादी हैं, क्योंकि वे गैर-शून्य हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय.

यदि क्रम p बटा n के मैट्रिक्स की रैंक r है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (और स्तंभों) के सभी तत्व जो चुने गए आधार माइनर को नहीं बनाते हैं, उन्हें पंक्तियों (और स्तंभों) के संबंधित तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है जो आधार माइनर बनाते हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या देता है?

यदि, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय द्वारा, हमने सिस्टम की अनुकूलता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी मूल माइनर को चुनते हैं (इसका क्रम r के बराबर है), और सिस्टम से उन सभी समीकरणों को बाहर कर देते हैं जो चुने गए मूल माइनर का निर्माण नहीं करते हैं। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल समीकरण के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

परिणामस्वरूप, सिस्टम के अत्यधिक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और इसका एकमात्र समाधान क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दूसरे क्रम के लघु के बाद से, दो के बराबर है शून्य से भिन्न. विस्तारित मैट्रिक्स रैंक यह भी दो के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम का एकमात्र लघु शून्य के बराबर है

और ऊपर माने गए दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न है। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, कोई भी रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता का दावा कर सकता है, क्योंकि रैंक(ए)=रैंक(टी)=2।

हम आधार के रूप में माइनर लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरण के गुणांकों से बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण मूल माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर करते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की है। आइए इसे क्रैमर विधि द्वारा हल करें:


उत्तर:

x 1 = 1, x 2 = 2।

यदि परिणामी SLAE में समीकरणों की संख्या r है संख्या से कमअज्ञात चर n, फिर समीकरणों के बाईं ओर हम उन पदों को छोड़ देते हैं जो मूल लघु बनाते हैं, और शेष पदों को विपरीत चिह्न के साथ सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r हैं) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (उनमें से n - r हैं) जो दाईं ओर समाप्त होते हैं, कहलाते हैं मुक्त.

अब हम मानते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाने ढंग से मान ले सकते हैं, जबकि आर मुख्य अज्ञात चर एक अनूठे तरीके से मुक्त अज्ञात चर के संदर्भ में व्यक्त किए जाएंगे। उनकी अभिव्यक्ति परिणामी SLAE को क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा हल करके पाई जा सकती है।

चलिए एक उदाहरण लेते हैं.

उदाहरण।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें बॉर्डरिंग माइनर्स विधि द्वारा. आइए हम 1 1 = 1 को गैर-शून्य प्रथम-क्रम लघु के रूप में लें। आइए इस माइनर के आसपास गैर-शून्य दूसरे क्रम के माइनर की खोज शुरू करें:


इसलिए हमें दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु मिला। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमा वाले लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, यानी सिस्टम सुसंगत है।

तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य लघु को मूल के रूप में लिया जाएगा।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार बनाते हैं:


हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मूल नाबालिग में भाग लेने वाले शब्दों को छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


हम निःशुल्क अज्ञात चर x 2 और x 5 मनमाना मान देते हैं, अर्थात हम लेते हैं , मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेता है


हम क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राप्त प्राथमिक प्रणाली को हल करते हैं:


इस तरह, ।

उत्तर में मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं?

संक्षेप।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता का पता लगाते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो हम मूल माइनर को चुनते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चुने हुए मूल माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, जिसे हमें ज्ञात किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है।

यदि आधार लघु का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मुख्य अज्ञात चर वाले शब्दों को छोड़ देते हैं, शेष शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मुक्त अज्ञात चर को मनमाना मान निर्दिष्ट करते हैं। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से, हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस पद्धति का उपयोग करके, कोई भी किसी भी प्रकार के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को उनकी अनुकूलता की प्रारंभिक जांच के बिना हल कर सकता है। अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया SLAE की अनुकूलता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो उसे ढूंढना संभव बनाती है।

कम्प्यूटेशनल कार्य की दृष्टि से गॉसियन विधि बेहतर है।

इस पर नजर रखें विस्तृत विवरणऔर सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में उदाहरणों का विश्लेषण किया।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान को रिकॉर्ड करना।

इस खंड में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की संयुक्त सजातीय और अमानवीय प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनके समाधानों की अनंत संख्या है।

आइए पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

मौलिक निर्णय प्रणाली n अज्ञात चर के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक सेट है, जहां r प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., n-r) , अर्थात .

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाउ) की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान शब्द का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र सब कुछ निर्धारित करता है संभव समाधानमूल SLAE, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक С 1 , С 2 , …, С (n-r) के मानों के किसी भी सेट को लेने पर, सूत्र के अनुसार हमें मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक मिलता है।

इस प्रकार, यदि हमें समाधानों की एक मौलिक प्रणाली मिल जाती है, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस प्रकार सेट कर सकते हैं।

आइए हम एक सजातीय SLAE के लिए समाधानों की एक मौलिक प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया दिखाएं।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के मूल लघु को चुनते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं, और मुक्त अज्ञात चर वाले सभी शब्दों को विपरीत संकेतों के साथ सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। आइए निःशुल्क अज्ञात जानकारी दें परिवर्तनशील मान 1,0,0,…,0 और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि द्वारा। इस प्रकार, X (1) प्राप्त होगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। और इसी तरह। यदि हम मुक्त अज्ञात चर को 0,0,…,0,1 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) मिलता है। इस प्रकार सजातीय SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसके सामान्य समाधान को इस रूप में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को इस प्रकार दर्शाया गया है

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण।

समाधानों की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है। आइए हम फ्रिंजिंग माइनर्स की विधि द्वारा मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के एक गैर-शून्य लघु के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के तत्व a 1 1 = 9 को लेते हैं। दूसरे क्रम का सीमांत गैर-शून्य लघु ज्ञात कीजिए:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया जाता है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों के बारे में जानें:

तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो है। आइए मूल लघु को लें। स्पष्टता के लिए, हम सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान देते हैं जो इसे बनाते हैं:

मूल SLAE का तीसरा समीकरण मूल लघु के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए, इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम मुख्य अज्ञात वाले पदों को समीकरणों के दाईं ओर छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूल प्रणाली में दो समाधान शामिल हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर हैं, और इसके मूल लघु का क्रम दो है। एक्स (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 मान देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

1. प्रतिस्थापन विधि: सिस्टम के किसी भी समीकरण से हम एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करते हैं और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं परद्वारा एक्सऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें मूल के समतुल्य.

ऐसी शर्तें लाने के बाद, सिस्टम यह रूप लेगा:

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं: . इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना पर = 2 - 2एक्स, हम पाते हैं पर= 3. इसलिए, इस प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक युग्म है।

2. बीजगणितीय जोड़ विधि: दो समीकरण जोड़कर, एक चर वाला समीकरण प्राप्त करें।

काम।सिस्टम समीकरण को हल करें:

समाधान।दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है मूल के समतुल्य. इस प्रणाली के दो समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्रणाली पर पहुंचते हैं

समान शर्तों को कम करने के बाद, यह प्रणाली यह रूप ले लेगी: दूसरे समीकरण से हम पाते हैं। इस मान को समीकरण 3 में प्रतिस्थापित करना एक्स + 4पर= 5, हमें प्राप्त होता है , कहाँ । इसलिए, इस प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक युग्म है।

3. नए वेरिएबल पेश करने की विधि: हम सिस्टम में कुछ दोहराए गए अभिव्यक्तियों की तलाश कर रहे हैं, जिन्हें हम नए चर द्वारा निरूपित करेंगे, जिससे सिस्टम का रूप सरल हो जाएगा।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।आइए इस प्रणाली को अलग तरीके से लिखें:

होने देना एक्स + वाई = तुम, हू = वीतब हमें सिस्टम मिलता है

आइए इसे प्रतिस्थापन विधि से हल करें। सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं यूद्वारा वीऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें वे।

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं वी 1 = 2, वी 2 = 3.

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना यू = 5 - वी, हम पाते हैं यू 1 = 3,
यू 2 = 2. तब हमारे पास दो प्रणालियाँ हैं

पहली प्रणाली को हल करने पर, हमें संख्याओं के दो जोड़े मिलते हैं (1; 2), (2; 1)। दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

पाठ सामग्री

दो चर वाले रैखिक समीकरण

छात्र के पास स्कूल में दोपहर के भोजन के लिए 200 रूबल हैं। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। आप 200 रूबल में कितने केक और कप कॉफी खरीद सकते हैं?

केक की संख्या को निरूपित करें एक्स, और कॉफ़ी के कपों की संख्या य. तब केक की कीमत अभिव्यक्ति 25 द्वारा निरूपित की जाएगी एक्स, और कॉफ़ी कप की कीमत 10 य .

25एक्स-कीमत एक्सकेक
10आप-कीमत यकॉफी के कप

कुल राशि 200 रूबल होनी चाहिए। तब हमें दो चर वाला एक समीकरण मिलता है एक्सऔर य

25एक्स+ 10य= 200

इस समीकरण के कितने मूल हैं?

यह सब विद्यार्थी की भूख पर निर्भर करता है। यदि वह 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदता है, तो समीकरण की जड़ें संख्या 6 और 5 होंगी।

मान 6 और 5 की जोड़ी को समीकरण 25 की जड़ें कहा जाता है एक्स+ 10य= 200 . (6; 5) के रूप में लिखा गया है, जिसमें पहला नंबर चर का मान है एक्स, और दूसरा - चर का मान य .

6 और 5 ही एकमात्र मूल नहीं हैं जो समीकरण 25 को उलट देते हैं एक्स+ 10य= 200 से पहचान। यदि वांछित है, तो उसी 200 रूबल के लिए, एक छात्र 4 केक और 10 कप कॉफी खरीद सकता है:

इस मामले में, समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मानों का युग्म (4; 10) है।

इसके अलावा, एक छात्र कॉफी बिल्कुल नहीं खरीद सकता है, लेकिन पूरे 200 रूबल के लिए केक खरीद सकता है। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 8 और 0 होंगे

या इसके विपरीत, केक न खरीदें, बल्कि पूरे 200 रूबल की कॉफी खरीदें। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 0 और 20 होंगे

आइए समीकरण 25 की सभी संभावित जड़ों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें एक्स+ 10य= 200 . आइए मान लें कि मूल्य एक्सऔर यपूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित हैं। और इन मानों को शून्य से अधिक या उसके बराबर होने दें:

एक्स∈जेड, वाई∈ जेड;
एक्स ≥ 0, य ≥ 0

तो यह स्वयं छात्र के लिए सुविधाजनक होगा। उदाहरण के लिए, कई सारे केक और आधे केक की तुलना में पूरा केक खरीदना अधिक सुविधाजनक होता है। कॉफ़ी को पूरे कप में लेना भी अधिक सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, कई पूरे कप और आधे कप की तुलना में।

ध्यान दें कि विषम के लिए एक्सकिसी के भी अधीन समानता प्राप्त करना असंभव है य. फिर मान एक्सनिम्नलिखित संख्याएँ होंगी 0, 2, 4, 6, 8. और जानना एक्सआसानी से निर्धारित किया जा सकता है य

इस प्रकार, हमें मूल्यों के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ये जोड़े समीकरण 25 के समाधान या मूल हैं एक्स+ 10य= 200. वे इस समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

समीकरण टाइप करें कुल्हाड़ी + द्वारा = सीबुलाया दो चरों वाला रैखिक समीकरण. इस समीकरण का एक समाधान या मूल मानों की एक जोड़ी है ( एक्स; य), जो इसे एक पहचान में बदल देता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है कुल्हाड़ी + बी वाई = सी ,तो कहते हैं इसमें लिखा है कैनन का(सामान्य) रूप.

दो चर वाले कुछ रैखिक समीकरणों को विहित रूप में घटाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(16एक्स+ 3आप- 4) = 2(12 + 8एक्स − य) मन में लाया जा सकता है कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. आइए इस समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें, हमें मिलता है 32एक्स + 6य − 8 = 24 + 16एक्स − 2य . अज्ञात वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहीकृत किया गया है, और अज्ञात से मुक्त पदों को दाईं ओर समूहीकृत किया गया है। फिर हमें मिलता है 32एक्स - 16एक्स+ 6य+ 2य = 24 + 8 . हम दोनों भागों में समान पद लाते हैं, हमें समीकरण 16 मिलता है एक्स+ 8य= 32. इस समीकरण को इस रूप में घटाया गया है कुल्हाड़ी + द्वारा = सीऔर विहित है.

समीकरण 25 पर पहले विचार किया गया एक्स+ 10य= 200 भी विहित रूप में एक दो-चर रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में, पैरामीटर ए , बीऔर सीमान क्रमशः 25, 10 और 200 के बराबर हैं।

दरअसल समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सीसमाधानों की अनंत संख्या है। समीकरण को हल करना 25एक्स+ 10य= 200, हमने इसके मूलों को केवल पूर्णांकों के समुच्चय पर खोजा। परिणामस्वरूप, हमें मूल्यों के कई जोड़े प्राप्त हुए जिन्होंने इस समीकरण को एक पहचान में बदल दिया। लेकिन परिमेय संख्याओं के समुच्चय समीकरण 25 पर एक्स+ 10य= 200 में अनंत संख्या में समाधान होंगे।

मानों के नए जोड़े प्राप्त करने के लिए, आपको एक मनमाना मान लेना होगा एक्स, फिर व्यक्त करें य. उदाहरण के लिए, आइए एक वेरिएबल लें एक्समान 7. तब हमें एक चर वाला एक समीकरण मिलता है 25×7 + 10य= 200 जिसमें व्यक्त करना है य

होने देना एक्स= 15 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × 15 हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −17,5

होने देना एक्स= −3 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × (−3) हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −27,5

दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली

समीकरण के लिए कुल्हाड़ी + द्वारा = सीआप कितनी भी बार मनमाना मान ले सकते हैं एक्सऔर इसके लिए मान खोजें य. अलग से लेने पर, ऐसे समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होंगे।

लेकिन ऐसा भी होता है कि चर एक्सऔर यएक नहीं, बल्कि दो समीकरणों से जुड़ा है। इस मामले में, वे तथाकथित बनाते हैं दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली. समीकरणों की ऐसी प्रणाली में मूल्यों की एक जोड़ी (या दूसरे शब्दों में: "एक समाधान") हो सकती है।

ऐसा भी हो सकता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान ही न हो. दुर्लभ और असाधारण मामलों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

दो रैखिक समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं जब मान एक्सऔर यइनमें से प्रत्येक समीकरण में शामिल हैं।

आइए पहले समीकरण 25 पर वापस जाएँ एक्स+ 10य= 200 . इस समीकरण के मानों के युग्मों में से एक युग्म (6; 5) था। यह वह स्थिति है जब 200 रूबल से 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदी जा सकती थी।

आइए समस्या को इस प्रकार लिखें कि युग्म (6; 5) बन जाए एकमात्र समाधानसमीकरण 25 के लिए एक्स+ 10य= 200 . ऐसा करने के लिए, हम एक और समीकरण बनाते हैं जो समान को जोड़ेगा एक्सकेक और यकॉफी के कप।

आइए कार्य का पाठ इस प्रकार रखें:

“एक स्कूली छात्र ने 200 रूबल के लिए कई केक और कई कप कॉफी खरीदी। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। यदि यह ज्ञात हो कि केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक अधिक है, तो छात्र ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे?

हमारे पास पहले से ही पहला समीकरण है। यह समीकरण 25 है एक्स+ 10य= 200 . आइए अब स्थिति के लिए एक समीकरण लिखें "केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक इकाई अधिक है" .

केक की संख्या है एक्स, और कॉफ़ी के कप की संख्या है य. आप इस वाक्यांश को समीकरण का उपयोग करके लिख सकते हैं एक्स - वाई= 1. इस समीकरण का मतलब होगा कि केक और कॉफी के बीच का अंतर 1 है।

x=y+ 1 . इस समीकरण का मतलब है कि केक की संख्या कॉफी के कप की संख्या से एक अधिक है। इसलिए, समानता प्राप्त करने के लिए, कॉफ़ी के कपों की संख्या में एक जोड़ा जाता है। इसे आसानी से समझा जा सकता है यदि हम उस वजन मॉडल का उपयोग करें जिस पर हमने सबसे सरल समस्याओं का अध्ययन करते समय विचार किया था:

दो समीकरण मिले: 25 एक्स+ 10य= 200 और x=y+ 1. मूल्यों के बाद से एक्सऔर य, अर्थात् इनमें से प्रत्येक समीकरण में 6 और 5 शामिल हैं, फिर वे मिलकर एक प्रणाली बनाते हैं। आइए इस प्रणाली को लिखें। यदि समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, तो उन्हें प्रणाली के चिह्न द्वारा तैयार किया जाता है। सिस्टम चिन्ह एक घुंघराले ब्रेस है:

आइए इस प्रणाली को हल करें। यह हमें यह देखने की अनुमति देगा कि हम 6 और 5 के मूल्यों पर कैसे पहुंचते हैं। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कई तरीके हैं। उनमें से सबसे लोकप्रिय पर विचार करें।

प्रतिस्थापन विधि

इस विधि का नाम ही बहुत कुछ कहता है। इसका सार एक चर को पहले से व्यक्त करके, एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करना है।

हमारे सिस्टम में कुछ भी व्यक्त करने की जरूरत नहीं है. दूसरे समीकरण में एक्स = य+ 1 चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है। यह चर अभिव्यक्ति के बराबर है य+ 1 . फिर आप इस अभिव्यक्ति को चर के स्थान पर पहले समीकरण में रख सकते हैं एक्स

अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने के बाद यइसके बजाय पहले समीकरण में + 1 एक्स, हमें समीकरण मिलता है 25(य+ 1) + 10य= 200 . यह एक चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण को हल करना काफी आसान है:

हमने वेरिएबल का मान पाया य. अब हम इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं एक्स. इसके लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स = य+ 1 . आइए इसमें मूल्य डालें य

तो जोड़ी (6; 5) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, जैसा कि हमारा इरादा था। हम जांच करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि जोड़ी (6; 5) सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 2

पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करें एक्स= 2 + यदूसरे समीकरण में 3 एक्स - 2य= 9 . पहले समीकरण में, चर एक्सव्यंजक 2 + के बराबर है य. हम इस अभिव्यक्ति को इसके स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं एक्स

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें यपहले समीकरण में एक्स= 2 + य

तो सिस्टम का समाधान युग्म मान (5; 3) है

उदाहरण 3. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यहां, पिछले उदाहरणों के विपरीत, किसी एक चर को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है।

एक समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, आपको सबसे पहले इसकी आवश्यकता है।

उस चर को व्यक्त करना वांछनीय है जिसका गुणांक एक है। गुणांक इकाई में एक चर होता है एक्स, जो पहले समीकरण में निहित है एक्स+ 2य= 11 . आइए इस चर को व्यक्त करें।

परिवर्तनशील अभिव्यक्ति के बाद एक्स, हमारा सिस्टम इस तरह दिखेगा:

अब हम पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं य

विकल्प य एक्स

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (3; 4)

बेशक, आप एक वेरिएबल भी व्यक्त कर सकते हैं य. जड़ें नहीं बदलेंगी. लेकिन अगर आप व्यक्त करते हैं हाँ,परिणाम कोई बहुत सरल समीकरण नहीं है, जिसके समाधान में अधिक समय लगेगा। यह इस तरह दिखेगा:

हम उसमें देखते हैं यह उदाहरणज़ाहिर करना एक्सव्यक्त करने से कहीं अधिक सुविधाजनक य .

उदाहरण 4. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

य

विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स. आप मूल समीकरण 7 का उपयोग कर सकते हैं एक्स+ 9य= 8, या उस समीकरण का उपयोग करें जिसमें चर व्यक्त किया गया है एक्स. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे, क्योंकि यह सुविधाजनक है:

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (5; −3)

जोड़ विधि

जोड़ विधि प्रणाली में शामिल समीकरणों को पद दर पद जोड़ना है। इस जोड़ के परिणामस्वरूप एक नया एक-चर समीकरण बनता है। और इस समीकरण को हल करना बहुत आसान है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है:

यहाँ समान शब्द हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 3 प्राप्त हुआ एक्स= 27 जिसका मूल 9 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सदूसरे समीकरण में एक्स - वाई= 3 . हमें 9 मिलता है − य= 3 . यहाँ से य= 6 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (9; 6)

उदाहरण 2

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। परिणामी समानता में, हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 5 प्राप्त हुआ एक्स= 20, जिसका मूल 4 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सपहले समीकरण 2 में x+y= 11 . आइए 8+ प्राप्त करें य= 11 . यहाँ से य= 3 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (4;3)

जोड़ने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है। इसे मन में करना होगा. जोड़ते समय, दोनों समीकरणों को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए। यानी मन को एसी+द्वारा=सी .

सुविचारित उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि समीकरण जोड़ने का मुख्य लक्ष्य किसी एक चर से छुटकारा पाना है। लेकिन समीकरणों की प्रणाली को जोड़ विधि से तुरंत हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, सिस्टम को प्रारंभिक रूप से ऐसे रूप में लाया जाता है जिसमें इस सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ना संभव हो।

उदाहरण के लिए, सिस्टम सीधे जोड़ विधि से हल किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को जोड़ते समय, पद यऔर -yगायब हो जाते हैं क्योंकि उनका योग शून्य है। परिणामस्वरूप, सबसे सरल समीकरण 11 बनता है एक्स= 22 , जिसका मूल 2 है । तब ज्ञात करना संभव होगा य 5 के बराबर.

और समीकरणों की प्रणाली जोड़ विधि को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे किसी एक चर का लोप नहीं होगा। जोड़ने पर समीकरण 8 प्राप्त होगा एक्स+ य= 28, जिसके अनंत संख्या में समाधान हैं।

यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए जो शून्य के बराबर न हो, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा। यह नियम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए भी मान्य है। किसी एक समीकरण (या दोनों समीकरण) को किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक समतुल्य प्रणाली है, जिसकी जड़ें पिछले वाले से मेल खाएँगी।

आइए सबसे पहले सिस्टम पर लौटते हैं, जिसमें बताया गया था कि छात्र ने कितने केक और कप कॉफी खरीदी। इस प्रणाली का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी थी (6; 5) .

हम इस प्रणाली में शामिल दोनों समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा करते हैं। मान लीजिए कि हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं

परिणाम एक प्रणाली है
इस प्रणाली का समाधान अभी भी मूल्यों की जोड़ी है (6; 5)

इसका मतलब यह है कि सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में घटाया जा सकता है।

सिस्टम पर वापस जाएँ जिसे हम जोड़ विधि से हल नहीं कर सके।

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को -2 से गुणा करें

तब हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

हम इस प्रणाली में शामिल समीकरण जोड़ते हैं। घटकों का जोड़ 12 एक्सऔर -12 एक्सपरिणाम 0 होगा, जोड़ 18 होगा यऔर 4 य 22 देंगे य, और 108 और −20 जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। तब आपको समीकरण 22 प्राप्त होता है य= 88 , इसलिए य = 4 .

यदि शुरुआत में आपके दिमाग में समीकरण जोड़ना मुश्किल है, तो आप लिख सकते हैं कि पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष में कैसे जोड़ा जाता है:

यह जानते हुए कि चर का मान क्या है य 4 है, आप मान ज्ञात कर सकते हैं एक्स. विकल्प यकिसी एक समीकरण में, उदाहरण के लिए पहले समीकरण 2 में एक्स+ 3य=18 . तब हमें एक चर 2 वाला एक समीकरण मिलता है एक्स+ 12 = 18 . हम 12 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 2 मिलता है एक्स= 6, इसलिए एक्स = 3 .

उदाहरण 4. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए दोनों समीकरण जोड़ें। घटकों का जोड़ एक्सऔर -Xपरिणाम 0 होगा, जोड़ 5 होगा यऔर 3 य 8 देंगे य, और 7 और 1 जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है। परिणाम समीकरण 8 है य= 8 , जिसका मूल 1 है । उस मान को जानना य 1 है, आप मान पा सकते हैं एक्स .

विकल्प यपहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स+5 = 7, इसलिए एक्स= 2

उदाहरण 5. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यह वांछनीय है कि समान चर वाले पद एक के नीचे एक स्थित हों। इसलिए, दूसरे समीकरण में, पद 5 यऔर −2 एक्सस्थान बदलें। परिणामस्वरूप, सिस्टम यह रूप लेगा:

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के परिणामस्वरूप, हमें समीकरण 8 प्राप्त होता है य= 16 , जिसका मूल 2 है।

विकल्प यपहले समीकरण में, हमें 6 मिलता है एक्स− 14 = 40 . हम पद −14 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 6 प्राप्त होता है एक्स= 54 . यहाँ से एक्स= 9.

उदाहरण 6. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए भिन्नों से छुटकारा पाएं। पहले समीकरण को 36 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

परिणामी प्रणाली में पहले समीकरण को -5 से और दूसरे को 8 से गुणा किया जा सकता है

आइए परिणामी प्रणाली में समीकरण जोड़ें। तब हमें सबसे सरल समीकरण -13 मिलता है य= −156 . यहाँ से य= 12 . विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स

उदाहरण 7. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में लाते हैं। यहां दोनों समीकरणों में अनुपात का नियम लागू करना सुविधाजनक है। यदि पहले समीकरण में दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, और दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, तो सिस्टम यह रूप लेगा:

हमारे पास एक अनुपात है. हम इसके चरम और मध्य पदों को गुणा करते हैं। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

हम पहले समीकरण को -3 से गुणा करते हैं, और दूसरे में कोष्ठक खोलते हैं:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। इन समीकरणों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हमें एक समानता मिलती है, जिसके दोनों भागों में शून्य होगा:

यह पता चला है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

लेकिन हम केवल आकाश से मनमाना मूल्य नहीं ले सकते एक्सऔर य. हम एक मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और दूसरा हमारे द्वारा निर्दिष्ट मान के आधार पर निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, चलो एक्स= 2 . इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

किसी एक समीकरण को हल करने के परिणामस्वरूप, का मान य, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा:

मूल्यों की परिणामी जोड़ी (2; −2) सिस्टम को संतुष्ट करेगी:

आइए मूल्यों का एक और जोड़ा खोजें। होने देना एक्स= 4. इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

इसका पता आंखों से लगाया जा सकता है यशून्य के बराबर है. फिर हमें मूल्यों की एक जोड़ी (4; 0) मिलती है, जो हमारे सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 8. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

आइए जो बचा है उसे फिर से लिखें:

पहले समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के फलस्वरूप समीकरण 6 बनता है बी= 48, जिसका मूल 8 है। स्थानापन्न बीपहले समीकरण में और खोजें ए

तीन चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली

तीन चर वाले एक रैखिक समीकरण में गुणांक वाले तीन चर, साथ ही एक अवरोधन भी शामिल होता है। विहित रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सीजेड = डी

इस समीकरण के अनंत संख्या में समाधान हैं। दो चर दे रहे हैं विभिन्न अर्थ, आप तीसरा मान पा सकते हैं। इस मामले में समाधान मूल्यों का त्रिगुण है ( एक्स; य; जेड) जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

यदि चर एक्स, वाई, जेडतीन समीकरणों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, तो तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनती है। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, आप वही विधियाँ लागू कर सकते हैं जो दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

उदाहरण 1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम तीसरे समीकरण में व्यक्त करते हैं एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब प्रतिस्थापन करते हैं. चर एक्सअभिव्यक्ति के बराबर है 3 − 2य − 2जेड . इस अभिव्यक्ति को पहले और दूसरे समीकरण में रखें:

आइए दोनों समीकरणों में कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर आ गए हैं। इस मामले में, अतिरिक्त विधि लागू करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, परिवर्तनशील यगायब हो जाएगा और हम वेरिएबल का मान पा सकते हैं जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें य. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है - य+ जेड= 4. मान प्रतिस्थापित करें जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स= 3 − 2य − 2जेड . इसमें मानों को प्रतिस्थापित करें यऔर जेड

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (3; −2; 2) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

उदाहरण 2. सिस्टम को जोड़ विधि से हल करें

आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण को −2 से गुणा करके जोड़ें।

यदि दूसरे समीकरण को −2 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −6एक्स+ 6आप- 4जेड = −4 . अब इसे पहले समीकरण में जोड़ें:

हम देखते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, चर का मान निर्धारित किया गया था एक्स. यह एक के बराबर है.

वापस मुख्य प्रणाली. आइए तीसरे समीकरण को −1 से गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। यदि तीसरे समीकरण को −1 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −4एक्स + 5य − 2जेड = −1 . अब इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें:

समीकरण मिल गया एक्स - 2य= −1 . इसमें मान प्रतिस्थापित करें एक्सजो हमें पहले मिला था. तब हम मूल्य निर्धारित कर सकते हैं य

अब हम मूल्यों को जानते हैं एक्सऔर य. यह आपको मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है जेड. हम सिस्टम में शामिल समीकरणों में से एक का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (1; 1; 1) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने के कार्य

समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने का कार्य कई चर पेश करके हल किया जाता है। इसके बाद, समस्या की स्थितियों के आधार पर समीकरण संकलित किए जाते हैं। संकलित समीकरणों से वे एक प्रणाली बनाते हैं और उसे हल करते हैं। सिस्टम को हल करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसका समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

कार्य 1. एक वोल्गा कार शहर से सामूहिक फार्म के लिए निकली। वह दूसरी सड़क से वापस लौटी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। कुल मिलाकर, कार दोनों तरफ 35 किमी चली। प्रत्येक सड़क कितने किलोमीटर लंबी है?

समाधान

होने देना एक्स-पहली सड़क की लंबाई, य- दूसरे की लंबाई. यदि कार दोनों तरफ 35 किमी चली, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स+ य= 35. यह समीकरण दोनों सड़कों की लंबाई के योग का वर्णन करता है।

ऐसा कहा जाता है कि कार सड़क पर वापस लौट रही थी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। तब दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स− य= 5. यह समीकरण दर्शाता है कि सड़कों की लंबाई के बीच का अंतर 5 किमी है।

अथवा दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स= य+5 . हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे.

चूंकि चर एक्सऔर यदोनों समीकरणों में एक ही संख्या निरूपित होती है, तो हम उनसे एक प्रणाली बना सकते हैं:

आइए पहले अध्ययन किए गए तरीकों में से एक का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें। इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि दूसरे समीकरण में चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है।

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण में रखें और खोजें य

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें यदूसरे समीकरण में एक्स= य+5 और खोजें एक्स

पहली सड़क की लंबाई को वेरिएबल द्वारा दर्शाया गया था एक्स. अब हमें इसका मतलब पता चल गया है. चर एक्स 20 है। अतः पहली सड़क की लंबाई 20 किमी है।

तथा दूसरी सड़क की लम्बाई बतायी गयी य. इस चर का मान 15 है। अतः दूसरी सड़क की लंबाई 15 किमी है।

चलो एक जाँच करते हैं. सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

अब आइए जाँच करें कि क्या समाधान (20; 15) समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

बताया गया कि कुल मिलाकर कार दोनों तरफ 35 किलोमीटर चली। हम दोनों सड़कों की लंबाई जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (20; 15) संतुष्ट करता है यह स्थिति: 20 किमी + 15 किमी = 35 किमी

अगली शर्त: कार दूसरी सड़क पर वापस लौट आई, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी . हम देखते हैं कि समाधान (20; 15) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 15 किमी, 20 किमी से 5 किमी कम है: 20 किमी − 15 किमी = 5 किमी

किसी प्रणाली को संकलित करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि चर इस प्रणाली में शामिल सभी समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाते हैं।

तो हमारे सिस्टम में दो समीकरण हैं। बदले में इन समीकरणों में चर होते हैं एक्सऔर य, जो दोनों समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात् सड़कों की लंबाई 20 किमी और 15 किमी के बराबर है।

कार्य 2. प्लेटफ़ॉर्म पर ओक और पाइन स्लीपर लादे गए थे, कुल मिलाकर 300 स्लीपर। यह ज्ञात है कि सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों की तुलना में 1 टन कम था। निर्धारित करें कि कितने ओक और पाइन स्लीपर अलग-अलग थे, यदि प्रत्येक ओक स्लीपर का वजन 46 किलोग्राम था, और प्रत्येक पाइन स्लीपर का वजन 28 किलोग्राम था।

समाधान

होने देना एक्सओक और यचीड़ के स्लीपर प्लेटफार्म पर लादे गए थे। यदि कुल मिलाकर 300 स्लीपर हों, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है x+y = 300 .

सभी ओक स्लीपरों का वजन 46 था एक्सकिलो, और पाइन का वजन 28 था यकिलोग्राम। चूँकि ओक स्लीपरों का वज़न पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था, इसलिए दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है 28आप- 46एक्स= 1000 . यह समीकरण दर्शाता है कि ओक और पाइन स्लीपरों के बीच द्रव्यमान का अंतर 1000 किलोग्राम है।

टन को किलोग्राम में बदल दिया गया है क्योंकि ओक और पाइन स्लीपरों का द्रव्यमान किलोग्राम में मापा जाता है।

परिणामस्वरूप, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं जो सिस्टम बनाते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करें। प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

पहले समीकरण को दूसरे में रखें और खोजें य

विकल्प यसमीकरण में एक्स= 300 − यऔर पता करो क्या एक्स

इसका मतलब है कि 100 ओक और 200 पाइन स्लीपर प्लेटफॉर्म पर लादे गए थे।

आइए जाँच करें कि क्या समाधान (100; 200) समस्या की शर्तों को पूरा करता है। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

ऐसा कहा गया कि कुल 300 स्लीपर थे। हम ओक और पाइन स्लीपरों की संख्या जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (100; 200) इस शर्त को पूरा करता है: 100 + 200 = 300.

अगली शर्त: सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन से 1 टन कम था . हम देखते हैं कि समाधान (100; 200) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 46 × 100 किलोग्राम ओक स्लीपर 28 × 200 किलोग्राम पाइन स्लीपर से हल्के होते हैं: 5600 किग्रा - 4600 किग्रा = 1000 किग्रा.

कार्य 3. हमने वजन के अनुसार 2: 1, 3: 1 और 5: 1 के अनुपात में तांबे और निकल के मिश्र धातु के तीन टुकड़े लिए। इनमें से, 12 किलोग्राम वजन वाले एक टुकड़े को तांबे और निकल सामग्री के 4: 1 के अनुपात के साथ जोड़ा गया था। प्रत्येक मूल टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात करें यदि उनमें से पहले का द्रव्यमान दूसरे के द्रव्यमान का दोगुना है।