समीकरणों की प्रणाली का समाधान कैसे लिखें। रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अनुदेश

जोड़ विधि.
आपको दो को एक दूसरे के नीचे सख्ती से लिखना होगा:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से पाए गए "गेम" के बजाय नंबर 11 डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116।
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर: x=116, y=11.

ग्राफ़िक तरीका.
इसमें उस बिंदु के निर्देशांक की व्यावहारिक खोज शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में रेखाएं गणितीय रूप से लिखी जाती हैं। आपको एक ही समन्वय प्रणाली में दोनों रेखाओं के ग्राफ़ अलग-अलग खींचने चाहिए। सामान्य दृश्य: - y \u003d kx + b। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढना पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है: 2x - y \u003d 4

वाई = -3x + 1.
एक सीधी रेखा पहले के अनुसार बनाई गई है, सुविधा के लिए इसे नीचे लिखा जाना चाहिए: y \u003d 2x-4। x के लिए (आसान) मान लेकर आएं, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें, y ढूंढें। दो बिंदु प्राप्त होते हैं, जिनके अनुदिश एक सीधी रेखा बनी होती है। (तस्वीर देखें)
x 0 1

य -4 -2
दूसरे समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है: y \u003d -3x + 1।
एक लाइन भी बनाएं. (तस्वीर देखें)

1-5
ग्राफ़ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों की प्रणाली में ऐसा नहीं है)।

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मददगार सलाह

यदि समीकरणों की एक ही प्रणाली को तीन द्वारा हल किया जाता है विभिन्न तरीके, उत्तर वही होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• बीजगणित ग्रेड 8
• दो अज्ञातों के साथ एक समीकरण ऑनलाइन हल करें
• दो के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

प्रणाली समीकरणगणितीय अभिलेखों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। इन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -रूलर और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

अनुदेश

सिस्टम को हल करने के अनुक्रम पर विचार करें, जिसमें निम्न रूप वाले रैखिक समीकरण शामिल हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहां x और y अज्ञात चर हैं और b,c स्वतंत्र सदस्य हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक होती है। सबसे पहले, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर x वेरिएबल को किसी भी संख्या में मान पर सेट करें। दो ही काफी है. समीकरण में प्लग करें और y खोजें। एक समन्वय प्रणाली बनाएं, उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए भी इसी तरह की गणना की जानी चाहिए।

यदि निर्मित रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है आम बात. यदि वे एक दूसरे के समानांतर हैं तो यह असंगत है। और जब रेखाएं एक-दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

यह तरीका बहुत ही स्पष्ट माना जाता है. मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञात का मान अनुमानित होता है। तथाकथित बीजगणितीय विधियों द्वारा अधिक सटीक परिणाम दिया जाता है।

समीकरणों की प्रणाली का कोई भी समाधान जाँचने योग्य है। ऐसा करने के लिए, चर के स्थान पर प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करें। इसका समाधान भी आप कई तरह से पा सकते हैं. यदि सिस्टम का समाधान सही है तो सभी को वैसा ही बनना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें कोई एक पद अज्ञात होता है। किसी समीकरण को हल करने के लिए, आपको इन संख्याओं को याद रखने और उनके साथ कुछ निश्चित क्रियाएं करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेन या पेंसिल.

अनुदेश

कल्पना करें कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। सोचें कि आपको अधिक गाजर खरीदने की ज़रूरत है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक गाजर मिल सके।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें: 5 + x = 8. आइए x के स्थान पर संख्या 3 रखें। वास्तव में, 5 + 3 = 8.

जब आपने x के स्थान पर एक संख्या प्रतिस्थापित की, तो आप 8 में से 5 घटाने जैसी ही प्रक्रिया कर रहे थे। इस प्रकार, ज्ञात करने के लिए अज्ञातपद, ज्ञात पद को योग से घटाएँ।

मान लीजिए कि आपके पास 20 खरगोश हैं और केवल 5 गाजर हैं। आइए रचना करें. एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ निश्चित मानों के लिए ही मान्य होती है। जिन अक्षरों का मान आप ज्ञात करना चाहते हैं वे कहलाते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहें। खरगोशों के बारे में हमारी समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 5 + x = 20।

आइए 20 और 5 के बीच अंतर ज्ञात करें। घटाने पर जिस संख्या से घटाया जाता है वह संख्या कम हो जाती है। जो संख्या घटाई जाती है उसे कहा जाता है, और अंतिम परिणाम को अंतर कहा जाता है। तो, x = 20 - 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदनी होंगी।

जाँच करें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही है। अवश्य, जब हम बात कर रहे हैंऐसे सरल लोगों के बारे में जाँच करना आवश्यक नहीं है। हालाँकि, जब तीन-अंकीय, चार-अंकीय और इसी तरह के समीकरणों की बात आती है, तो अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह सुनिश्चित होने के लिए जाँच करना अनिवार्य है।

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मददगार सलाह

अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा।

अज्ञात उपअंत को खोजने के लिए, लघुअंत से अंतर को घटाना आवश्यक है।

टिप 4: तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हो सकते हैं। आप इसे प्रतिस्थापन विधि या क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि सिस्टम हल करने योग्य है या नहीं।

अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि में क्रमिक रूप से एक अज्ञात को दो अन्य के माध्यम से बदलना और प्राप्त परिणाम को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करना शामिल है। मान लीजिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है सामान्य रूप से देखें:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, फिर दूसरे समीकरण से y व्यक्त करें और तीसरे में प्रतिस्थापित करें। आपको सिस्टम के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से z के लिए एक रैखिक अभिव्यक्ति मिलेगी। अब "वापस" जाएँ: z को दूसरे समीकरण में डालें और y खोजें, फिर z और y को पहले समीकरण में डालें और x खोजें। प्रक्रिया को आम तौर पर चित्र में तब तक दिखाया जाता है जब तक z नहीं मिल जाता। इसके अलावा, सामान्य रूप में रिकॉर्ड बहुत बोझिल होगा, व्यवहार में, प्रतिस्थापित करके, आप सभी तीन अज्ञात को आसानी से पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में सिस्टम के मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना, साथ ही तीन और सहायक मैट्रिक्स की गणना करना शामिल है। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों के अज्ञात पदों पर गुणांकों से बना है। समीकरणों के दाईं ओर की संख्याओं वाला स्तंभ, दाईं ओर का स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, बल्कि सिस्टम को हल करते समय किया जाता है।

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टिप्पणी

सिस्टम के सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, सिस्टम कमजोर हो जाएगा और कोई स्पष्ट समाधान ढूंढना संभव नहीं होगा।

मददगार सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, पाए गए मानों को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करें और जांचें कि वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप में समीकरणतीन के साथ अज्ञातइसके कई समाधान हैं, इसलिए अक्सर यह दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक होता है। प्रारंभिक डेटा क्या है, इसके आधार पर निर्णय की दिशा काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञातों के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने और उन्हें प्लग इन करने का प्रयास करें समीकरणतीन के साथ अज्ञात. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ. यदि ऐसा है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाए गए मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में से घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक को एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक साथ कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है, अगला निर्णय कठिन नहीं होगा। यह मत भूलिए कि किसी संख्या से गुणा करते समय आपको बाएँ और दाएँ दोनों तरफ से गुणा करना होगा। इसी प्रकार, समीकरणों को घटाते समय याद रखें कि दाहिना पक्ष भी घटाना होगा।

अगर पिछली विधियाँमदद नहीं मिली, तीन वाले किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अज्ञात. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 के रूप में फिर से लिखें। अब x (A) पर गुणांकों का एक मैट्रिक्स, अज्ञात (X) का एक मैट्रिक्स और मुक्त वाले (B) का एक मैट्रिक्स बनाएं। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स मिलेगा, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी ए * एक्स \u003d बी।

मैट्रिक्स A को घात (-1) तक खोजें, खोजने के बाद ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक ∆ खोजें। फिर संबंधित स्तंभों के मानों के बजाय मुक्त पदों के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

स्रोत:

• तीन अज्ञात वाले समीकरणों का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शुरू करते हुए, पता लगाएं कि ये समीकरण क्या हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने की विधियों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। अरेखीय समीकरण प्राय: हल नहीं होते। केवल एक ही विशेष मामले हैं, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। इसलिए, समाधान के तरीकों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से शुरू होना चाहिए। ऐसे समीकरणों को विशुद्ध एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

पाए गए अज्ञात के हर बिल्कुल समान हैं। हाँ, और अंशों में उनके निर्माण के कुछ पैटर्न दिखाई देते हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का आयाम दो से अधिक होता, तो उन्मूलन विधि से बहुत बोझिल गणनाएँ होतीं। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल क्रैमर का एल्गोरिदम (क्रैमर के सूत्र) है। क्योंकि आपको पता होना चाहिए सामान्य प्रणाली n समीकरण से समीकरण.

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं,
एक्सजे - अज्ञात, द्वि - मुक्त सदस्य (आई=1, 2, ..., एन; जे=1, 2, ..., एन)। ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप AX=B में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स है, एक्स अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, बी मुक्त शर्तों का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्र 1 बी देखें)। क्रैमर विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). गुणांकों के मैट्रिक्स के निर्धारक ∆ को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक निर्धारक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-वें स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करके एक सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले में क्रैमर की विधि चित्र में विस्तार से प्रस्तुत की गई है। 2.

एक प्रणाली दो या दो से अधिक समानताओं का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात होते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं जिनका उपयोग ढांचे में किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम. उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ विधि कहा जाता है।

दो समीकरणों की प्रणाली का मानक रूप

पर आदर्श फॉर्मपहला समीकरण a1*x+b1*y=c1 है, दूसरा समीकरण a2*x+b2*y=c2 है, इत्यादि। उदाहरण के लिए, सिस्टम के दो हिस्सों के मामले में दिए गए a1, a2, b1, b2, c1, c2 दोनों में कुछ संख्यात्मक गुणांक विशिष्ट समीकरणों में प्रस्तुत किए गए हैं। बदले में, x और y अज्ञात हैं जिनके मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। वांछित मान दोनों समीकरणों को एक साथ वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम का समाधान

सिस्टम को हल करने के लिए, यानी x और y के उन मानों को खोजने के लिए जो उन्हें वास्तविक समानता में बदल देंगे, आपको कुछ सरल कदम उठाने होंगे। इनमें से पहला है किसी भी समीकरण को इस तरह से बदलना कि दोनों समीकरणों में चर x या y के लिए संख्यात्मक गुणांक निरपेक्ष मान में मेल खाते हों, लेकिन चिह्न में भिन्न हों।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली दी गई है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के कारक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y=-12 के रूप में ले जाएगा। गुणांक का सही चयन सिस्टम को अतिरिक्त विधि द्वारा हल करने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है, क्योंकि यह अज्ञात खोजने की प्रक्रिया के पूरे आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करता है।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना जरूरी है। जाहिर है, समान मान लेकिन विपरीत चिह्न गुणांक वाले चरों का पारस्परिक विनाश इसे -10x=-4 के रूप में ले जाएगा। उसके बाद, इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे यह स्पष्ट रूप से पता चलता है कि x=0.4.

अंतिम चरणहल करने की प्रक्रिया में सिस्टम में उपलब्ध प्रारंभिक समानताओं में से किसी एक चर के पाए गए मान का प्रतिस्थापन होता है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में x=0.4 को प्रतिस्थापित करके, आप अभिव्यक्ति 2*0.4+4y=8 प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8. इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण में दिखाए गए सिस्टम की जड़ें हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई गईं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, में इस मामले में 0.4*6+1.8*2=6 के रूप की समानता प्राप्त होती है, जो सत्य है।

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इस गणितीय कार्यक्रम के साथ, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि दो तरीकों से समाधान चरणों के स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान भी प्रदान करता है: प्रतिस्थापन विधि और अतिरिक्त विधि।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा विद्यालयतैयारी के लिए नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना कार्य पूरा कर सकते हैं खुद का प्रशिक्षणऔर/या उनके छोटे भाइयों या बहनों का प्रशिक्षण, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ाया जाता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

समीकरण दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ फॉर्म ax+by+c=0 का।
उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्णांकों का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में भिन्नात्मक संख्याओं का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।
हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.
एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1पी + 55 = -2/7(3.5पी - 2&1/8क्यू)

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

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थोड़ा सा सिद्धांत.

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के कुछ समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें;
2) परिणामी अभिव्यक्ति को इस चर के बजाय सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

आइए पहले समीकरण y से x तक व्यक्त करें: y = 7-3x। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणाली के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \दायाँ तीर -5x+14-6x=3 \दायाँ तीर -11x=-11 \दायाँ तीर x=1 $$

समीकरण y=7-3x में x के बजाय संख्या 1 रखने पर, हम y का संगत मान पाते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \दायाँ तीर y=4 $$

जोड़ी (1;4) - सिस्टम का समाधान

दो चरों वाले समीकरणों के निकाय जिनका समाधान समान हो, कहलाते हैं बराबर. जिन प्रणालियों में समाधान नहीं है उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को जोड़कर हल करना

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते समय, हम किसी दिए गए सिस्टम से उसके समकक्ष दूसरे सिस्टम में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) कारकों को चुनते हुए, सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद गुणा करें ताकि किसी एक चर के लिए गुणांक विपरीत संख्याएं बन जाएं;
2) सिस्टम के समीकरणों के बाएँ और दाएँ भागों को पद दर पद जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे वेरिएबल का संगत मान ज्ञात करें।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ भागों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें एक चर 3x=33 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को, उदाहरण के लिए पहले वाले, समीकरण 3x=33 से बदलें। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38 \) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38 \) वाला एक समीकरण मिलता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमने निम्नलिखित जोड़कर समीकरणों की प्रणाली का समाधान पाया: \(x=11; y=-9 \) या \((11; -9) \)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि प्रणाली के समीकरणों में y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य प्रणाली के समाधान में बदल दिया (मूल समरूपता के प्रत्येक समीकरण के दोनों भागों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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हम समीकरणों को हल करने की दो प्रकार की प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा निकाय का समाधान।
2. सिस्टम के समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. हम व्यक्त करते हैं. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न. हम व्यक्त चर के स्थान पर परिणामी मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल चुनें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर वाला समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, इसलिए यह पता चलता है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3 + 10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. हम परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था वहां हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

पहले स्थान पर बिंदु लिखने की प्रथा है, हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।

जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. एक वेरिएबल चुनें, मान लें कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

क्या आप मुफ़्त में परीक्षा की तैयारी करना चाहते हैं? ट्यूटर ऑनलाइन मुक्त करने के लिए. कोई मजाक नहीं।

आइए सबसे पहले दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की परिभाषा को याद करें।

परिभाषा 1

संख्याओं की एक जोड़ी को दो चर वाले समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है, यदि उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त होती है।

निम्नलिखित में, हम दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अस्तित्व समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के चार बुनियादी तरीके: प्रतिस्थापन विधि, जोड़ विधि, ग्राफिकल विधि, नई चर प्रबंधन विधि। आइये इन तरीकों पर एक नजर डालते हैं ठोस उदाहरण. पहले तीन तरीकों का उपयोग करने के सिद्धांत का वर्णन करने के लिए, हम दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करेंगे:

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है: इनमें से कोई भी समीकरण लिया जाता है और $y$ को $x$ के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, फिर $y$ को सिस्टम के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां से चर $x.$ पाया जाता है। उसके बाद, हम आसानी से वेरिएबल $y.$ की गणना कर सकते हैं

उदाहरण 1

आइए हम दूसरे समीकरण $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त करें:

पहले समीकरण में स्थानापन्न करें, $x$ खोजें:

\ \ \

$y$ खोजें:

उत्तर: $(-2,\ 3)$

जोड़ विधि.

एक उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करें:

उदाहरण 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें, हमें मिलता है:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

आइए अब दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ें:

\ \ \

दूसरे समीकरण से $y$ ज्ञात करें:

\[-6-y=-9\] \

उत्तर: $(-2,\ 3)$

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि इस पद्धति में एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा करना आवश्यक है कि जोड़ने पर कोई एक चर "गायब" हो जाए।

ग्राफिकल तरीका

ग्राफ़िकल विधि इस प्रकार है: सिस्टम के दोनों समीकरण समन्वय तल पर प्रदर्शित होते हैं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाया जाता है।

उदाहरण 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

आइए हम $y$ को दोनों समीकरणों से $x$ के रूप में व्यक्त करें:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

आइए दोनों ग्राफ़ एक ही तल पर बनाएं:

चित्र 1।

उत्तर: $(-2,\ 3)$

नए वेरिएबल कैसे पेश करें

हम इस विधि पर निम्नलिखित उदाहरण में विचार करेंगे:

उदाहरण 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

समाधान।

यह सिस्टम सिस्टम के समतुल्य है

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ सही।\]

मान लीजिए $2^x=u\ (u>0)$ और $3^y=v\ (v>0)$, हमें मिलता है:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

हम परिणामी प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करते हैं। आइए समीकरण जोड़ें:

\ \

फिर दूसरे समीकरण से हमें वह प्राप्त होता है

प्रतिस्थापन पर लौटने पर, हमें मिलता है नई प्रणालीघातीय समीकरण:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

हम पाते हैं:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

पाठ सामग्री

दो चर वाले रैखिक समीकरण

छात्र के पास स्कूल में दोपहर के भोजन के लिए 200 रूबल हैं। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। आप 200 रूबल में कितने केक और कप कॉफी खरीद सकते हैं?

केक की संख्या को निरूपित करें एक्स, और कॉफ़ी के कपों की संख्या य. तब केक की कीमत अभिव्यक्ति 25 द्वारा निरूपित की जाएगी एक्स, और कॉफ़ी कप की कीमत 10 य .

25एक्स-कीमत एक्सकेक
10आप-कीमत यकॉफी के कप

कुल राशि 200 रूबल होनी चाहिए। तब हमें दो चर वाला एक समीकरण मिलता है एक्सऔर य

25एक्स+ 10य= 200

इस समीकरण के कितने मूल हैं?

यह सब विद्यार्थी की भूख पर निर्भर करता है। यदि वह 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदता है, तो समीकरण की जड़ें संख्या 6 और 5 होंगी।

मान 6 और 5 की जोड़ी को समीकरण 25 की जड़ें कहा जाता है एक्स+ 10य= 200 . (6; 5) के रूप में लिखा गया है, जिसमें पहला नंबर चर का मान है एक्स, और दूसरा - चर का मान य .

6 और 5 ही एकमात्र मूल नहीं हैं जो समीकरण 25 को उलट देते हैं एक्स+ 10य= 200 से पहचान। यदि वांछित है, तो उसी 200 रूबल के लिए, एक छात्र 4 केक और 10 कप कॉफी खरीद सकता है:

इस मामले में, समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मानों का युग्म (4; 10) है।

इसके अलावा, एक छात्र कॉफी बिल्कुल नहीं खरीद सकता है, लेकिन पूरे 200 रूबल के लिए केक खरीद सकता है। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 8 और 0 होंगे

या इसके विपरीत, केक न खरीदें, बल्कि पूरे 200 रूबल की कॉफी खरीदें। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 0 और 20 होंगे

आइए समीकरण 25 की सभी संभावित जड़ों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें एक्स+ 10य= 200 . आइए मान लें कि मूल्य एक्सऔर यपूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित हैं। और इन मानों को शून्य से अधिक या उसके बराबर होने दें:

एक्स∈जेड, वाई∈ जेड;
एक्स ≥ 0, य ≥ 0

तो यह स्वयं छात्र के लिए सुविधाजनक होगा। उदाहरण के लिए, कई सारे केक और आधे केक की तुलना में पूरा केक खरीदना अधिक सुविधाजनक होता है। कॉफ़ी को पूरे कप में लेना भी अधिक सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, कई पूरे कप और आधे कप की तुलना में।

ध्यान दें कि विषम के लिए एक्सकिसी के भी अधीन समानता प्राप्त करना असंभव है य. फिर मान एक्सनिम्नलिखित संख्याएँ होंगी 0, 2, 4, 6, 8. और जानना एक्सआसानी से निर्धारित किया जा सकता है य

इस प्रकार, हमें मूल्यों के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ये जोड़े समीकरण 25 के समाधान या मूल हैं एक्स+ 10य= 200. वे इस समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

समीकरण टाइप करें कुल्हाड़ी + द्वारा = सीबुलाया दो चरों वाला रैखिक समीकरण. इस समीकरण का एक समाधान या मूल मानों की एक जोड़ी है ( एक्स; य), जो इसे एक पहचान में बदल देता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है कुल्हाड़ी + बी वाई = सी ,तो कहते हैं इसमें लिखा है कैनन का(सामान्य) रूप.

दो चर वाले कुछ रैखिक समीकरणों को विहित रूप में घटाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(16एक्स+ 3आप- 4) = 2(12 + 8एक्स − य) मन में लाया जा सकता है कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. आइए इस समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें, हमें मिलता है 32एक्स + 6य − 8 = 24 + 16एक्स − 2य . अज्ञात वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहीकृत किया गया है, और अज्ञात से मुक्त पदों को दाईं ओर समूहीकृत किया गया है। फिर हमें मिलता है 32एक्स - 16एक्स+ 6य+ 2य = 24 + 8 . हम दोनों भागों में समान पद लाते हैं, हमें समीकरण 16 मिलता है एक्स+ 8य= 32. इस समीकरण को इस रूप में घटाया गया है कुल्हाड़ी + द्वारा = सीऔर विहित है.

समीकरण 25 पर पहले विचार किया गया एक्स+ 10य= 200 भी विहित रूप में एक दो-चर रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में, पैरामीटर ए , बीऔर सीमान क्रमशः 25, 10 और 200 के बराबर हैं।

दरअसल समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सीसमाधानों की अनंत संख्या है। समीकरण को हल करना 25एक्स+ 10य= 200, हमने इसके मूलों को केवल पूर्णांकों के समुच्चय पर खोजा। परिणामस्वरूप, हमें मूल्यों के कई जोड़े प्राप्त हुए जिन्होंने इस समीकरण को एक पहचान में बदल दिया। लेकिन परिमेय संख्याओं के समुच्चय समीकरण 25 पर एक्स+ 10य= 200 में अनंत संख्या में समाधान होंगे।

मानों के नए जोड़े प्राप्त करने के लिए, आपको एक मनमाना मान लेना होगा एक्स, फिर व्यक्त करें य. उदाहरण के लिए, आइए एक वेरिएबल लें एक्समान 7. तब हमें एक चर वाला एक समीकरण मिलता है 25×7 + 10य= 200 जिसमें व्यक्त करना है य

होने देना एक्स= 15 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × 15 हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −17,5

होने देना एक्स= −3 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × (−3) हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −27,5

दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली

समीकरण के लिए कुल्हाड़ी + द्वारा = सीआप कितनी भी बार मनमाना मान ले सकते हैं एक्सऔर इसके लिए मान खोजें य. अलग से लेने पर, ऐसे समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होंगे।

लेकिन ऐसा भी होता है कि चर एक्सऔर यएक नहीं, बल्कि दो समीकरणों से जुड़ा है। इस मामले में, वे तथाकथित बनाते हैं दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली. समीकरणों की ऐसी प्रणाली में मूल्यों की एक जोड़ी (या दूसरे शब्दों में: "एक समाधान") हो सकती है।

ऐसा भी हो सकता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान ही न हो. दुर्लभ और असाधारण मामलों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

दो रैखिक समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं जब मान एक्सऔर यइनमें से प्रत्येक समीकरण में शामिल हैं।

आइए पहले समीकरण 25 पर वापस जाएँ एक्स+ 10य= 200 . इस समीकरण के मानों के युग्मों में से एक युग्म (6; 5) था। यह वह स्थिति है जब 200 रूबल से 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदी जा सकती थी।

आइए समस्या को इस प्रकार लिखें कि युग्म (6; 5) बन जाए एकमात्र समाधानसमीकरण 25 के लिए एक्स+ 10य= 200 . ऐसा करने के लिए, हम एक और समीकरण बनाते हैं जो समान को जोड़ेगा एक्सकेक और यकॉफी के कप।

आइए कार्य का पाठ इस प्रकार रखें:

“एक स्कूली छात्र ने 200 रूबल के लिए कई केक और कई कप कॉफी खरीदी। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। यदि यह ज्ञात हो कि केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक अधिक है, तो छात्र ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे?

हमारे पास पहले से ही पहला समीकरण है। यह समीकरण 25 है एक्स+ 10य= 200 . आइए अब स्थिति के लिए एक समीकरण लिखें "केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक इकाई अधिक है" .

केक की संख्या है एक्स, और कॉफ़ी के कप की संख्या है य. आप इस वाक्यांश को समीकरण का उपयोग करके लिख सकते हैं एक्स - वाई= 1. इस समीकरण का मतलब होगा कि केक और कॉफी के बीच का अंतर 1 है।

x=y+ 1 . इस समीकरण का मतलब है कि केक की संख्या कॉफी के कप की संख्या से एक अधिक है। इसलिए, समानता प्राप्त करने के लिए, कॉफ़ी के कपों की संख्या में एक जोड़ा जाता है। इसे आसानी से समझा जा सकता है यदि हम उस वजन मॉडल का उपयोग करें जिस पर हमने सबसे सरल समस्याओं का अध्ययन करते समय विचार किया था:

दो समीकरण मिले: 25 एक्स+ 10य= 200 और x=y+ 1. मूल्यों के बाद से एक्सऔर य, अर्थात् इनमें से प्रत्येक समीकरण में 6 और 5 शामिल हैं, फिर वे मिलकर एक प्रणाली बनाते हैं। आइए इस प्रणाली को लिखें। यदि समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, तो उन्हें प्रणाली के चिह्न द्वारा तैयार किया जाता है। सिस्टम चिन्ह एक घुंघराले ब्रेस है:

आइए इस प्रणाली को हल करें। यह हमें यह देखने की अनुमति देगा कि हम 6 और 5 के मूल्यों पर कैसे पहुंचते हैं। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कई तरीके हैं। उनमें से सबसे लोकप्रिय पर विचार करें।

प्रतिस्थापन विधि

इस विधि का नाम ही बहुत कुछ कहता है। इसका सार एक चर को पहले से व्यक्त करके, एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करना है।

हमारे सिस्टम में कुछ भी व्यक्त करने की जरूरत नहीं है. दूसरे समीकरण में एक्स = य+ 1 चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है। यह चर अभिव्यक्ति के बराबर है य+ 1 . फिर आप इस अभिव्यक्ति को चर के स्थान पर पहले समीकरण में रख सकते हैं एक्स

अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने के बाद यइसके बजाय पहले समीकरण में + 1 एक्स, हमें समीकरण मिलता है 25(य+ 1) + 10य= 200 . यह एक चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण को हल करना काफी आसान है:

हमने वेरिएबल का मान पाया य. अब हम इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं एक्स. इसके लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स = य+ 1 . आइए इसमें मूल्य डालें य

तो जोड़ी (6; 5) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, जैसा कि हमारा इरादा था। हम जांच करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि जोड़ी (6; 5) सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 2

पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करें एक्स= 2 + यदूसरे समीकरण में 3 एक्स - 2य= 9 . पहले समीकरण में, चर एक्सव्यंजक 2 + के बराबर है य. हम इस अभिव्यक्ति को इसके स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं एक्स

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें यपहले समीकरण में एक्स= 2 + य

तो सिस्टम का समाधान युग्म मान (5; 3) है

उदाहरण 3. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यहां, पिछले उदाहरणों के विपरीत, किसी एक चर को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है।

एक समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, आपको सबसे पहले इसकी आवश्यकता है।

उस चर को व्यक्त करना वांछनीय है जिसका गुणांक एक है। गुणांक इकाई में एक चर होता है एक्स, जो पहले समीकरण में निहित है एक्स+ 2य= 11 . आइए इस चर को व्यक्त करें।

परिवर्तनशील अभिव्यक्ति के बाद एक्स, हमारा सिस्टम इस तरह दिखेगा:

अब हम पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं और मान ज्ञात करते हैं य

विकल्प य एक्स

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (3; 4)

बेशक, आप एक वेरिएबल भी व्यक्त कर सकते हैं य. जड़ें नहीं बदलेंगी. लेकिन अगर आप व्यक्त करते हैं हाँ,परिणाम कोई बहुत सरल समीकरण नहीं है, जिसके समाधान में अधिक समय लगेगा। यह इस तरह दिखेगा:

हम उसमें देखते हैं यह उदाहरणज़ाहिर करना एक्सव्यक्त करने से कहीं अधिक सुविधाजनक य .

उदाहरण 4. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

य

विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स. आप मूल समीकरण 7 का उपयोग कर सकते हैं एक्स+ 9य= 8, या उस समीकरण का उपयोग करें जिसमें चर व्यक्त किया गया है एक्स. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे, क्योंकि यह सुविधाजनक है:

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (5; −3)

जोड़ विधि

जोड़ विधि प्रणाली में शामिल समीकरणों को पद दर पद जोड़ना है। इस जोड़ के परिणामस्वरूप एक नया एक-चर समीकरण बनता है। और इस समीकरण को हल करना बहुत आसान है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है:

यहाँ समान शब्द हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 3 प्राप्त हुआ एक्स= 27 जिसका मूल 9 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सदूसरे समीकरण में एक्स - वाई= 3 . हमें 9 मिलता है − य= 3 . यहाँ से य= 6 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (9; 6)

उदाहरण 2

पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। परिणामी समानता में, हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 5 प्राप्त हुआ एक्स= 20, जिसका मूल 4 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. मान प्रतिस्थापित करें एक्सपहले समीकरण 2 में x+y= 11 . आइए 8+ प्राप्त करें य= 11 . यहाँ से य= 3 .

तो सिस्टम का समाधान मानों की जोड़ी है (4;3)

जोड़ने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है। इसे मन में करना होगा. जोड़ते समय, दोनों समीकरणों को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए। यानी मन को एसी+द्वारा=सी .

सुविचारित उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि समीकरण जोड़ने का मुख्य लक्ष्य किसी एक चर से छुटकारा पाना है। लेकिन समीकरणों की प्रणाली को जोड़ विधि से तुरंत हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, सिस्टम को प्रारंभिक रूप से ऐसे रूप में लाया जाता है जिसमें इस सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ना संभव हो।

उदाहरण के लिए, सिस्टम सीधे जोड़ विधि से हल किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को जोड़ते समय, पद यऔर -yगायब हो जाते हैं क्योंकि उनका योग शून्य है। परिणामस्वरूप, सबसे सरल समीकरण 11 बनता है एक्स= 22 , जिसका मूल 2 है । तब ज्ञात करना संभव होगा य 5 के बराबर.

और समीकरणों की प्रणाली जोड़ विधि को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे किसी एक चर का लोप नहीं होगा। जोड़ने पर समीकरण 8 प्राप्त होगा एक्स+ य= 28, जिसके अनंत संख्या में समाधान हैं।

यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए जो शून्य के बराबर न हो, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा। यह नियम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए भी मान्य है। किसी एक समीकरण (या दोनों समीकरण) को किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक समतुल्य प्रणाली है, जिसकी जड़ें पिछले वाले से मेल खाएँगी।

आइए सबसे पहले सिस्टम पर लौटते हैं, जिसमें बताया गया था कि छात्र ने कितने केक और कप कॉफी खरीदी। इस प्रणाली का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी थी (6; 5) .

हम इस प्रणाली में शामिल दोनों समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा करते हैं। मान लीजिए कि हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं

परिणाम एक प्रणाली है
इस प्रणाली का समाधान अभी भी मूल्यों की जोड़ी है (6; 5)

इसका मतलब यह है कि सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में घटाया जा सकता है।

सिस्टम पर वापस जाएँ जिसे हम जोड़ विधि से हल नहीं कर सके।

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को -2 से गुणा करें

तब हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

हम इस प्रणाली में शामिल समीकरण जोड़ते हैं। घटकों का जोड़ 12 एक्सऔर -12 एक्सपरिणाम 0 होगा, जोड़ 18 होगा यऔर 4 य 22 देंगे य, और 108 और −20 जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। तब आपको समीकरण 22 प्राप्त होता है य= 88 , इसलिए य = 4 .

यदि शुरुआत में आपके दिमाग में समीकरण जोड़ना कठिन है, तो आप लिख सकते हैं कि पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष में कैसे जोड़ा जाता है। दूसरा समीकरण:

यह जानते हुए कि चर का मान क्या है य 4 है, आप मान ज्ञात कर सकते हैं एक्स. विकल्प यकिसी एक समीकरण में, उदाहरण के लिए पहले समीकरण 2 में एक्स+ 3य=18 . तब हमें एक चर 2 वाला एक समीकरण मिलता है एक्स+ 12 = 18 . हम 12 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 2 मिलता है एक्स= 6, इसलिए एक्स = 3 .

उदाहरण 4. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए दोनों समीकरण जोड़ें। घटकों का जोड़ एक्सऔर -Xपरिणाम 0 होगा, जोड़ 5 होगा यऔर 3 य 8 देंगे य, और 7 और 1 जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है। परिणाम समीकरण 8 है य= 8 , जिसका मूल 1 है । उस मान को जानना य 1 है, आप मान पा सकते हैं एक्स .

विकल्प यपहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स+5 = 7, इसलिए एक्स= 2

उदाहरण 5. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यह वांछनीय है कि समान चर वाले पद एक के नीचे एक स्थित हों। इसलिए, दूसरे समीकरण में, पद 5 यऔर −2 एक्सस्थान बदलें। परिणामस्वरूप, सिस्टम यह रूप लेगा:

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के परिणामस्वरूप, हमें समीकरण 8 प्राप्त होता है य= 16 , जिसका मूल 2 है।

विकल्प यपहले समीकरण में, हमें 6 मिलता है एक्स− 14 = 40 . हम पद −14 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हुए, हमें 6 प्राप्त होता है एक्स= 54 . यहाँ से एक्स= 9.

उदाहरण 6. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए भिन्नों से छुटकारा पाएं। पहले समीकरण को 36 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

परिणामी प्रणाली में पहले समीकरण को -5 से और दूसरे को 8 से गुणा किया जा सकता है

आइए परिणामी प्रणाली में समीकरण जोड़ें। तब हमें सबसे सरल समीकरण -13 मिलता है य= −156 . यहाँ से य= 12 . विकल्प यपहले समीकरण में और खोजें एक्स

उदाहरण 7. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में लाते हैं। यहां दोनों समीकरणों में अनुपात का नियम लागू करना सुविधाजनक है। यदि पहले समीकरण में दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, और दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, तो सिस्टम यह रूप लेगा:

हमारे पास एक अनुपात है. हम इसके चरम और मध्य पदों को गुणा करते हैं। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

हम पहले समीकरण को -3 से गुणा करते हैं, और दूसरे में कोष्ठक खोलते हैं:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। इन समीकरणों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हमें एक समानता मिलती है, जिसके दोनों भागों में शून्य होगा:

यह पता चला है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

लेकिन हम केवल आकाश से मनमाना मूल्य नहीं ले सकते एक्सऔर य. हम एक मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और दूसरा हमारे द्वारा निर्दिष्ट मान के आधार पर निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, चलो एक्स= 2 . इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

किसी एक समीकरण को हल करने के परिणामस्वरूप, का मान य, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा:

मूल्यों की परिणामी जोड़ी (2; −2) सिस्टम को संतुष्ट करेगी:

आइए मूल्यों का एक और जोड़ा खोजें। होने देना एक्स= 4. इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

इसका पता आंखों से लगाया जा सकता है यशून्य के बराबर है. फिर हमें मूल्यों की एक जोड़ी (4; 0) मिलती है, जो हमारे सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 8. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

आइए जो बचा है उसे फिर से लिखें:

पहले समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के फलस्वरूप समीकरण 6 बनता है बी= 48, जिसका मूल 8 है। स्थानापन्न बीपहले समीकरण में और खोजें ए

तीन चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली

तीन चर वाले एक रैखिक समीकरण में गुणांक वाले तीन चर, साथ ही एक अवरोधन भी शामिल होता है। विहित रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सीजेड = डी

इस समीकरण के अनंत संख्या में समाधान हैं। दो चर दे रहे हैं विभिन्न अर्थ, आप तीसरा मान पा सकते हैं। इस मामले में समाधान मूल्यों का त्रिगुण है ( एक्स; य; जेड) जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

यदि चर एक्स, वाई, जेडतीन समीकरणों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, तो तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनती है। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, आप वही विधियाँ लागू कर सकते हैं जो दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

उदाहरण 1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

हम तीसरे समीकरण में व्यक्त करते हैं एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब प्रतिस्थापन करते हैं. चर एक्सअभिव्यक्ति के बराबर है 3 − 2य − 2जेड . इस अभिव्यक्ति को पहले और दूसरे समीकरण में रखें:

आइए दोनों समीकरणों में कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर आ गए हैं। इस मामले में, अतिरिक्त विधि लागू करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, परिवर्तनशील यगायब हो जाएगा और हम वेरिएबल का मान पा सकते हैं जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें य. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है - य+ जेड= 4. मान प्रतिस्थापित करें जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स= 3 − 2य − 2जेड . इसमें मानों को प्रतिस्थापित करें यऔर जेड

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (3; −2; 2) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

उदाहरण 2. सिस्टम को जोड़ विधि से हल करें

आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण को −2 से गुणा करके जोड़ें।

यदि दूसरे समीकरण को −2 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −6एक्स+ 6आप- 4जेड = −4 . अब इसे पहले समीकरण में जोड़ें:

हम देखते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, चर का मान निर्धारित किया गया था एक्स. यह एक के बराबर है.

वापस मुख्य प्रणाली. आइए तीसरे समीकरण को −1 से गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। यदि तीसरे समीकरण को −1 से गुणा किया जाए तो यह रूप ले लेगा −4एक्स + 5य − 2जेड = −1 . अब इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें:

समीकरण मिल गया एक्स - 2य= −1 . इसमें मान प्रतिस्थापित करें एक्सजो हमें पहले मिला था. तब हम मूल्य निर्धारित कर सकते हैं य

अब हम मूल्यों को जानते हैं एक्सऔर य. यह आपको मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है जेड. हम सिस्टम में शामिल समीकरणों में से एक का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (1; 1; 1) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने के कार्य

समीकरणों की प्रणालियों को संकलित करने का कार्य कई चर पेश करके हल किया जाता है। इसके बाद, समस्या की स्थितियों के आधार पर समीकरण संकलित किए जाते हैं। संकलित समीकरणों से वे एक प्रणाली बनाते हैं और उसे हल करते हैं। सिस्टम को हल करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसका समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

कार्य 1. एक वोल्गा कार शहर से सामूहिक फार्म के लिए निकली। वह दूसरी सड़क से वापस लौटी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। कुल मिलाकर, कार दोनों तरफ 35 किमी चली। प्रत्येक सड़क कितने किलोमीटर लंबी है?

समाधान

होने देना एक्स-पहली सड़क की लंबाई, य- दूसरे की लंबाई. यदि कार दोनों तरफ 35 किमी चली, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स+ य= 35. यह समीकरण दोनों सड़कों की लंबाई के योग का वर्णन करता है।

ऐसा कहा जाता है कि कार सड़क पर वापस लौट रही थी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। तब दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स− य= 5. यह समीकरण दर्शाता है कि सड़कों की लंबाई के बीच का अंतर 5 किमी है।

अथवा दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स= य+5 . हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे.

चूंकि चर एक्सऔर यदोनों समीकरणों में एक ही संख्या निरूपित होती है, तो हम उनसे एक प्रणाली बना सकते हैं:

आइए पहले अध्ययन किए गए तरीकों में से एक का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें। इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि दूसरे समीकरण में चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है।

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण में रखें और खोजें य

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें यदूसरे समीकरण में एक्स= य+5 और खोजें एक्स

पहली सड़क की लंबाई को वेरिएबल द्वारा दर्शाया गया था एक्स. अब हमें इसका मतलब पता चल गया है. चर एक्स 20 है। अतः पहली सड़क की लंबाई 20 किमी है।

तथा दूसरी सड़क की लम्बाई बतायी गयी य. इस चर का मान 15 है। अतः दूसरी सड़क की लंबाई 15 किमी है।

चलो एक जाँच करते हैं. सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

अब आइए जाँच करें कि क्या समाधान (20; 15) समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

बताया गया कि कुल मिलाकर कार दोनों तरफ 35 किलोमीटर चली। हम दोनों सड़कों की लंबाई जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (20; 15) संतुष्ट करता है यह स्थिति: 20 किमी + 15 किमी = 35 किमी

अगली शर्त: कार दूसरी सड़क पर वापस लौट आई, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी . हम देखते हैं कि समाधान (20; 15) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 15 किमी, 20 किमी से 5 किमी कम है: 20 किमी − 15 किमी = 5 किमी

किसी प्रणाली को संकलित करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि चर इस प्रणाली में शामिल सभी समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाते हैं।

तो हमारे सिस्टम में दो समीकरण हैं। बदले में इन समीकरणों में चर होते हैं एक्सऔर य, जो दोनों समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात् सड़कों की लंबाई 20 किमी और 15 किमी के बराबर है।

कार्य 2. प्लेटफ़ॉर्म पर ओक और पाइन स्लीपर लादे गए थे, कुल मिलाकर 300 स्लीपर। यह ज्ञात है कि सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों की तुलना में 1 टन कम था। निर्धारित करें कि कितने ओक और पाइन स्लीपर अलग-अलग थे, यदि प्रत्येक ओक स्लीपर का वजन 46 किलोग्राम था, और प्रत्येक पाइन स्लीपर का वजन 28 किलोग्राम था।

समाधान

होने देना एक्सओक और यचीड़ के स्लीपर प्लेटफार्म पर लादे गए थे। यदि कुल मिलाकर 300 स्लीपर हों, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है x+y = 300 .

सभी ओक स्लीपरों का वजन 46 था एक्सकिलो, और पाइन का वजन 28 था यकिलोग्राम। चूँकि ओक स्लीपरों का वज़न पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था, इसलिए दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है 28आप- 46एक्स= 1000 . यह समीकरण दर्शाता है कि ओक और पाइन स्लीपरों के बीच द्रव्यमान का अंतर 1000 किलोग्राम है।

टन को किलोग्राम में बदल दिया गया है क्योंकि ओक और पाइन स्लीपरों का द्रव्यमान किलोग्राम में मापा जाता है।

परिणामस्वरूप, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं जो सिस्टम बनाते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करें। प्रथम समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

पहले समीकरण को दूसरे में रखें और खोजें य

विकल्प यसमीकरण में एक्स= 300 − यऔर पता करो क्या एक्स

इसका मतलब है कि 100 ओक और 200 पाइन स्लीपर प्लेटफॉर्म पर लादे गए थे।

आइए जाँच करें कि क्या समाधान (100; 200) समस्या की शर्तों को पूरा करता है। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

ऐसा कहा गया कि कुल 300 स्लीपर थे। हम ओक और पाइन स्लीपरों की संख्या जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (100; 200) इस शर्त को पूरा करता है: 100 + 200 = 300.

अगली शर्त: सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन से 1 टन कम था . हम देखते हैं कि समाधान (100; 200) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 46 × 100 किलोग्राम ओक स्लीपर 28 × 200 किलोग्राम पाइन स्लीपर से हल्के होते हैं: 5600 किग्रा - 4600 किग्रा = 1000 किग्रा.

कार्य 3. हमने वजन के अनुसार 2: 1, 3: 1 और 5: 1 के अनुपात में तांबे और निकल के मिश्र धातु के तीन टुकड़े लिए। इनमें से, 12 किलोग्राम वजन वाले एक टुकड़े को तांबे और निकल सामग्री के 4: 1 के अनुपात के साथ जोड़ा गया था। प्रत्येक मूल टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात करें यदि उनमें से पहले का द्रव्यमान दूसरे के द्रव्यमान का दोगुना है।