साधारण भिन्नों को गुणा कैसे करें. भिन्नों को पूर्णांक से गुणा और विभाजित करने के नियम

भिन्नों का गुणन और विभाजन.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. मैं आपको याद दिलाता हूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग पकड़ में आ जाए तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और चलते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करो. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर बांटो-गुणा करो क्रम में, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और यह हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा होता है।

भिन्नों के साथ बस इतनी ही क्रियाएँ हैं। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन जरूरत से ज्यादा त्रुटियां देती है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ी करने से बेहतर है कि ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम कर देते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम अपने मन में इकाई को भिन्न में विभाजित करते हैं, बस भिन्न को पलट कर।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करना है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरण सही ढंग से हल कर सके। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें...

सही उत्तर याद रखें दूसरी (विशेषकर तीसरी) बार से प्राप्त - गिनती नहीं!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जाँच करते हैं, हम निम्नलिखित हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

गणना करें:

क्या आपने तय किया?

ऐसे उत्तर खोज रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने विशेष रूप से उन्हें प्रलोभन से दूर, गड़बड़ी में लिखा था, ऐसा कहने के लिए ... यहाँ वे हैं, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। यदि सब कुछ ठीक रहा - तो आपके लिए ख़ुशी की बात है! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं...

तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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गुणा साधारण अंश

एक उदाहरण पर विचार करें.

मान लीजिए कि प्लेट में सेब का $\frac(1)(3)$ भाग है। हमें इसका $\frac(1)(2)$ भाग ढूंढना होगा। आवश्यक भाग भिन्न $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(2)$ को गुणा करने का परिणाम है। दो उभयनिष्ठ भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक उभयनिष्ठ भिन्न होता है।

दो सामान्य भिन्नों को गुणा करना

साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसका अंश गुणित भिन्न के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर हर के गुणनफल के बराबर होता है:

उदाहरण 1

साधारण भिन्न $\frac(3)(7)$ और $\frac(5)(11)$ को गुणा करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

उत्तर:$\frac(15)(77)$

यदि भिन्नों को गुणा करने के परिणामस्वरूप रद्द करने योग्य या अनुचित भिन्न प्राप्त होता है, तो इसे सरल बनाना आवश्यक है।

उदाहरण 2

भिन्नों को $\frac(3)(8)$ और $\frac(1)(9)$ को गुणा करें।

समाधान।

हम साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

परिणामस्वरूप, हमें एक कम करने योग्य अंश मिला ($3$ से विभाजन के आधार पर। अंश के अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

उत्तर:$\frac(1)(24).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उनके उत्पाद को खोजने के लिए अंश और हर को कम कर सकते हैं। इस मामले में, अंश के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जाता है, जिसके बाद दोहराए जाने वाले कारकों को कम किया जाता है और परिणाम पाया जाता है।

उदाहरण 3

भिन्नों $\frac(6)(75)$ और $\frac(15)(24)$ के उत्पाद की गणना करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

जाहिर है, अंश और हर में वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $2$, $3$, और $5$ संख्याओं द्वारा जोड़े में कम किया जा सकता है। हम अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं और कमी करते हैं:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

उत्तर:$\frac(1)(20).$

भिन्नों को गुणा करते समय क्रमविनिमेय नियम लागू किया जा सकता है:

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

किसी साधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम:

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसमें अंश प्राकृतिक संख्या से गुणा किए गए भिन्न के अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और हर गुणा किए गए भिन्न के हर के बराबर होता है:

जहां $\frac(a)(b)$ एक सामान्य भिन्न है, $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

उदाहरण 4

अंश $\frac(3)(17)$ को $4$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक साधारण भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

उत्तर:$\frac(12)(17).$

भिन्न की संकुचनशीलता या अनुचित भिन्न के लिए गुणन के परिणाम की जाँच करना न भूलें।

उदाहरण 5

अंश $\frac(7)(15)$ को $3$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

संख्या $3$ से विभाजन की कसौटी के अनुसार, यह निर्धारित किया जा सकता है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

परिणाम एक अनुचित भिन्न है. आइए पूरा भाग लें:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में प्रतिस्थापित करके भिन्नों को कम करना भी संभव था। इस मामले में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

उत्तर:$1\frac(2)(5).$

किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करते समय, आप क्रमविनिमेय नियम का उपयोग कर सकते हैं:

साधारण भिन्नों का विभाजन

विभाजन संक्रिया गुणन का व्युत्क्रम है और इसका परिणाम एक भिन्न है, जिसे प्राप्त करने के लिए आपको ज्ञात भिन्न को गुणा करना होगा प्रसिद्ध कार्यदो अंश.

दो सामान्य भिन्नों का विभाजन

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम:जाहिर है, परिणामी अंश के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है और कम किया जा सकता है:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

परिणामस्वरूप, हमें एक अनुचित भिन्न प्राप्त हुआ, जिसमें से हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

उत्तर:$1\frac(5)(9).$

§ 87. भिन्नों का योग.

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और भिन्न शामिल होते हैं।

हम बारी-बारी से तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग.

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1 / 5 + 2 / 5 .

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड का भाग CD होगा 2/5 एबी के बराबर होगा.

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD बिल्कुल खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन पदों और परिणामी राशि पर विचार करने पर, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।

आइए भिन्नों को जोड़ें: 3/4 + 3/8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य विभाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 नहीं लिखा जा सका; हमने इसे अधिक स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर पर लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग.

आइए संख्याएँ जोड़ें: 2 3 / 8 + 3 5 / 6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

§ 88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों का घटाव उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक ऐसी क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक का योग करने पर दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए बारी-बारी से तीन मामलों पर विचार करें:

1. समान हर वाली भिन्नों का घटाव।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाली भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 एबी के बराबर एक और खंड ईडी को अलग रखें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया, उससे पता चलता है कि अंशों को घटाकर अंतर का अंश प्राप्त किया गया था, और हर वही रहा।

इसलिए, समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको लघुअंत के अंश से सबट्रेंड के अंश को घटाना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर तक घटाएँ:

मध्यवर्ती लिंक 6 / 8 - 5 / 8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन भविष्य में इसे छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भिन्न में से भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे उभयनिष्ठ हर पर लाना होगा, फिर लघुअंत के अंश में से उपअंश के अंश को घटाना होगा और उनके अंतर के नीचे उभयनिष्ठ हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

आइए न्यूनतम और उपट्रेंड के भिन्नात्मक भागों को निम्नतम सामान्य विभाजक पर लाएँ:

हमने पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न को घटा दिया। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको घटाए गए पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की ज़रूरत है, इसे उन भागों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और घटाए गए भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. रुचि की अवधारणा.
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को पूर्णांक से गुणा करने का होता है। किसी भिन्न (गुणक) को पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर होता है, और पदों की संख्या गुणक के बराबर होती है।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि कार्रवाई को समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने तक सीमित कर दिया गया था। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को उतनी बार बढ़ाने के बराबर है जितनी पूर्णांक में इकाइयाँ हैं। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या हर को उससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और हर को वही छोड़ना होगा, या, यदि संभव हो, तो अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको किसी दी गई संख्या का एक भाग खोजना या गणना करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच 300 किमी के बराबर दूरी तय करनी होगी। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गाँव में 400 घर हैं, उनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। वहाँ कितने ईंट के घर हैं?

यहां कुछ ऐसी कई समस्याएं दी गई हैं जिनसे हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए निपटना पड़ता है। इन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान.समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 किमी खोजने की आवश्यकता है। 300 के पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (अर्थात 300 का 1/3)।

300 का दो-तिहाई ज्ञात करने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, अर्थात 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (अर्थात 300 का 2/3)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 में से 3/4 हैं। आइए पहले 400 में से 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (अर्थात् 400 का 1/4)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना करना होगा, अर्थात 3 से गुणा करना होगा:

100 x 3 = 300 (अर्थात् 400 का 3/4)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) के योग के रूप में समझा जाना चाहिए। इस पैराग्राफ (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने की ओर बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2 / 3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम ऐसे गुणन को समान संख्याएँ जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करने पर क्या समझा जाए, इस क्रिया को किस प्रकार समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि अंत में हम 6 पर पहुँचेंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण सवाल उठता है: पहली नज़र में ऐसा क्यों विभिन्न गतिविधियाँ, जैसे समान संख्याओं का योग ज्ञात करना और किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना, अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" कहलाते हैं?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को पदों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4) से गुणा करके हल किया जाता है, यानी 50 x 4 = 200 (रूबल)।

चलिए वही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (3/4) से गुणा करके भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना भी इसमें संख्याओं को कई बार बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषय-वस्तु समान है और केवल संख्याओं में अंतर है, इसलिए इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को हम एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए अंतिम समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। पहले हमें 50 का 1/4, और फिर 3/4 निकालना होगा।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इस तरह।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5 / 8 = ?

12 का 1/8 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस उत्पाद को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर पर हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना चाहिए कि गुणा करने से पहले आपको (यदि संभव हो तो) करना चाहिए कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात भिन्न को भिन्न से गुणा करते समय, आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करना होता है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लें: 3/4 गुना 5/7। इसका मतलब है कि आपको 3/4 में से 5/7 ढूंढना होगा। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 ज्ञात करें

3/4 में से 1/7 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुणा 4/9।

5/8 का 1/9 है,

4/9 संख्याएँ 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

में यही नियम है सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय (यदि संभव हो तो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याओं को गुणा करें: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्न को भिन्न से भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. रुचि की अवधारणा.समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणनाएँ करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएँ किसी भी नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक उपविभाजनों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां हिस्सा (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां हिस्सा 2 कोपेक है, तीन सौवां हिस्सा 3 कोपेक है। आप रूबल का 1/10 हिस्सा ले सकते हैं, यह "10 कोपेक, या एक पैसा" होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी 25 कोपेक, आधा रूबल, यानी 50 कोपेक (पचास कोपेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से नहीं लेते हैं उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वज़न मापने की इकाई, यानी, किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपविभाजनों की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं.

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपविभाजन की अनुमति देते हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में मात्राओं को उप-विभाजित करने की एक ही (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इतना उचित विभाजन "सैकड़वाँ" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल है. वह 1 रूबल नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक विद्यालय के स्नातकों की संख्या कुल विद्यार्थियों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या का सौवाँ भाग प्रतिशत कहलाता है।.

"प्रतिशत" शब्द लैटिन भाषा से लिया गया है और इसके मूल "सेंट" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से पता चलता है कि प्रारंभ में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जो देनदार ऋणदाता को "प्रत्येक सौ के लिए" चुकाता था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत उत्पादों का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पाद तैयार किए।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है.

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणनाओं में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक भिन्न लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट आइकन वाले पूर्णांक को 100 के हर वाले भिन्न से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले भिन्न के बजाय संकेतित आइकन के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 घन मीटर पानी मिला। मी जलाऊ लकड़ी, जिसमें बर्च जलाऊ लकड़ी 30% है। वहां कितनी भूर्ज लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी स्कूल में पहुंचाई गई जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा थी, और इस हिस्से को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया गया है। इसलिए, हमारे सामने किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य किसी संख्या को भिन्न से गुणा करके हल किया जाता है।)।

तो 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा.

कार्य 2.शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंततः 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमिक रूप से 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

अतः यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। चलो यह करते हैं:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 वर्ष के कितने बच्चे थे?

3) 13 वर्ष के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, पाए गए नंबरों को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशतों का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कुल गणनाजो बच्चे शिविर में थे उन्हें 100% माना गया।

3 ए दा चा 3.कर्मचारी को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% बचाया। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। आइए इसे करें।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? कार्य कहता है कि यह व्यय सभी कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करें:

2) हीटिंग वाले एक अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया? पिछले वाले की तरह तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुँचते हैं:

3) गैस, बिजली और रेडियो के लिए आपने कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कर्मचारी ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए इन 5 प्रश्नों में मिले अंकों को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% माना जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याएं हल कर ली हैं. इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से संबंधित थे, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. भिन्न का पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से विभाजन।
4. भिन्न का भिन्न से विभाजन।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.
6. किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के खंड में संकेत दिया गया था, विभाजन वह क्रिया है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक का एक पूर्णांक से विभाजन हमने पूर्णांक विभाग में माना। हमें वहां विभाजन के दो मामले मिले: शेषफल के बिना विभाजन, या "संपूर्ण रूप से" (150: 10 = 15), और शेषफल के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का उत्पाद नहीं होता है। भिन्न द्वारा गुणन की शुरूआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 का गुणा 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7. दूसरा उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14।

इस प्रकार, किसी पूर्णांक को पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश लाभांश के बराबर होता है, और हर भाजक होता है।

2. भिन्न का पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और गुणनखंड (3) में से एक है; ऐसा दूसरा गुणनखंड खोजना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर 3 प्राप्त हो यह काम 6/7. जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने रखा गया कार्य भिन्न 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न को छोटा करना या तो उसके अंश को कम करके या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

में इस मामले मेंअंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5/8 को 2 से विभाजित किया गया है। यहां अंश 5, 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: किसी भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर छोड़कर, या एक ही अंश छोड़कर भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से विभाजन।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या खोजें, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 आए। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा करने पर गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एक्स , तो x 1/2 = 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होगा। चूँकि किसी निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना है, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है। आइए सबसे पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में तीन-तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3. हम छोटे कोष्ठकों की सहायता से 2 के 18 प्राप्त खंडों को जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 बी इकाइयों में 9 गुना समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

केवल गणनाओं का उपयोग करके बिना किसी चित्र के यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी, इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले जानें: 1/3 कितनी बार है 6 में समाहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार समाहित है, यानी 18: 2 = 9 .इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित कार्य किया:

यहां से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से विभाजित करने का नियम मिलता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस गुणनफल को अंश बनाकर, इसे दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वहां भी वही सूत्र प्राप्त हुआ था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से विभाजन।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से विभाजित करना आवश्यक है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या दर्शाया जाएगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित होता है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चारों प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा-आधा विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 बार समाहित है; अतः विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या ढूंढनी होगी, जिसे 3/32 से गुणा करने पर 15/16 के बराबर गुणनफल मिलेगा। आइए गणनाएँ इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15/16 बनाओ

1/32 अज्ञात नंबर एक्स है ,

32 / 32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश बनाना होगा और दूसरा हर.

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी भिन्नों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करना।

भिन्नों पर विभिन्न कार्यों में कभी-कभी ऐसे कार्य भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियाँ घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियाँ थीं।

कार्य 2.दुकान ने 1,500 किलोग्राम आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलोग्राम आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा. इस तरह,

500 8 = 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलोग्राम थी।

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके भिन्न के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की दो समस्याएं हल कीं। ऐसी समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, जब हमने भिन्नों के विभाजन का अध्ययन किया है, तो उपरोक्त समस्याओं को एक ही क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न से विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस प्रकार एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके भिन्न द्वारा ज्ञात करने की समस्या का समाधान करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानकर, एक संख्या ढूंढनी होगी।

कार्य 1।इस वर्ष की शुरुआत में, मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक वर्ष पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा डाला? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मैंने एक निश्चित धनराशि बचत बैंक में डाल दी थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा लगाए गए धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) जानने के बाद, हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्य विभाजन द्वारा हल किए जाते हैं:

तो, 3,000 रूबल बचत बैंक में डाल दिए गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके मासिक योजना को 64% तक पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा कर लिया है। यह भाग 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। योजना के अनुसार कितने टन मछली की कटाई की आवश्यकता है, हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मॉस्को तक गई. जब वह 276वां किलोमीटर पार कर गया, तो यात्रियों में से एक ने पास से गुजर रहे कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही तय कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी कितनी है?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि रीगा से मॉस्को तक की यात्रा का 30% हिस्सा 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी ज्ञात करनी होगी, यानी, इस भाग के लिए, संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी होगी:

§ 91. पारस्परिक संख्याएँ। भाग को गुणन से बदलना.

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 मिलता है। हमें इसका व्युत्क्रम, एक अंश प्राप्त हुआ।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , उल्टा 4 / 3 ; 5/6, उलटा 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर है और पहले का हर दूसरे का अंश है, कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

अब आइए विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसका व्युत्क्रम खोजने पर हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग-थलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी भिन्नों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उलटा 3; 1 /5, उलटा 5

चूंकि व्युत्क्रम ज्ञात करते समय हमें पूर्णांक भी मिले, इसलिए भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रमों के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखें। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको अंश के स्थान पर हर लगाना होगा। उसी तरह, आप पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक का हर 1 हो सकता है। इसलिए, 7 का व्युत्क्रम 1/7 होगा, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1/10 है क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है दिया गया नंबर . यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, यदि आप एक ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो भिन्न 5/9 का व्युत्क्रम है, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब आइए एक बात बताते हैं संपत्तिपरस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रकार से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, अत: एक्स = 1 / 8 . आइए एक अन्य संख्या खोजें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, अत: एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा प्रस्तुत की है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

अभिव्यक्ति पर विशेष ध्यान दें और इसकी तुलना दिए गए अभिव्यक्ति से करें: .

यदि हम पिछले एक से संबंध के बिना, अभिव्यक्ति को अलग से लेते हैं, तो इस प्रश्न को हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम एक ही है. तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे हम जो उदाहरण दे रहे हैं, वे इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

किसी भिन्न को भिन्न से या भिन्न को किसी संख्या से सही ढंग से गुणा करने के लिए, आपको सरल नियमों को जानना होगा। अब हम इन नियमों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना.

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको इन भिन्नों के अंशों के गुणनफल और हर के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है।

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

एक उदाहरण पर विचार करें:
हम पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, और हम पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से भी गुणा करते हैं।

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ गुना 3)(7 गुना 3) = \frac(4)(7)\\\)

भिन्न \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) को 3 से कम कर दिया गया है।

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना.

चलिए नियम से शुरू करते हैं किसी भी संख्या को भिन्न \(\bf n = \frac(n)(1)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए गुणन के लिए इस नियम का उपयोग करें।

\(5 \गुना \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \गुना \frac(4)(7) = \frac(5 \गुना 4)(1 \गुना 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

अनुचित भिन्न \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया गया।

दूसरे शब्दों में, किसी संख्या को भिन्न से गुणा करते समय, संख्या को अंश से गुणा करें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।उदाहरण:

\(\frac(2)(5) \गुना 3 = \frac(2 \गुना 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

मिश्रित भिन्नों का गुणन.

मिश्रित भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणन नियम का उपयोग करना होगा। अंश को अंश से गुणा किया जाता है, हर को हर से गुणा किया जाता है।

उदाहरण:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \गुना 6) = \frac(3 \गुना \रंग(लाल) (3) \गुना 23)(4 \गुना 2 \गुना \रंग(लाल) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

व्युत्क्रम भिन्नों और संख्याओं का गुणन।

भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) भिन्न \(\bf \frac(b)(a)\) का व्युत्क्रम है, बशर्ते a≠0,b≠0।
भिन्न \(\bf \frac(a)(b)\) और \(\bf \frac(b)(a)\) को व्युत्क्रम कहा जाता है। व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 होता है।
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

उदाहरण:
\(\frac(5)(9) \गुना \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

संबंधित सवाल:
किसी भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: साधारण भिन्नों का गुणनफल अंश को अंश से, हर को हर से गुणा करने पर प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्नों का गुणनफल प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्न में बदलना होगा और नियमों के अनुसार गुणा करना होगा।

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे वही हैं या नहीं विभिन्न भाजकभिन्नों के लिए गुणन अंश के साथ अंश का, हर के साथ हर का गुणनफल ज्ञात करने के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों को गुणा कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना होगा और फिर गुणन के नियमों के अनुसार गुणनफल ज्ञात करना होगा।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?
उत्तर: हम संख्या को अंश से गुणा करते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण 1:
उत्पाद की गणना करें: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

समाधान:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
बी) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( लाल) (5))(3 \गुना \रंग(लाल) (5) \गुना 13) = \frac(4)(39)\)

उदाहरण #2:
किसी संख्या और भिन्न के गुणनफल की गणना करें: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

समाधान:
a) \(3 \गुना \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \गुना \frac(17)(23) = \frac(3 \गुना 17)(1 \गुना 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
बी) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

उदाहरण #3:
\(\frac(1)(3)\) का व्युत्क्रम लिखिए?
उत्तर: \(\frac(3)(1) = 3\)

उदाहरण #4:
दो व्युत्क्रम भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

समाधान:
a) \(\frac(104)(215) \गुना \frac(215)(104) = 1\)

उदाहरण #5:
क्या परस्पर व्युत्क्रम भिन्न हो सकते हैं:
ए) दोनों उचित भिन्न;
बी) एक साथ अनुचित भिन्न;
ग) एक ही समय में प्राकृतिक संख्याएँ?

समाधान:
क) आइए पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें। भिन्न \(\frac(2)(3)\) उचित है, इसका व्युत्क्रम \(\frac(3)(2)\) के बराबर होगा - एक अनुचित भिन्न। उत्तर: नहीं.

बी) भिन्नों की लगभग सभी गणनाओं में, यह शर्त पूरी नहीं होती है, लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो एक ही समय में अनुचित भिन्न होने की शर्त को पूरा करती हैं। उदाहरण के लिए, अनुचित भिन्न \(\frac(3)(3)\) है, इसका व्युत्क्रम \(\frac(3)(3)\) है। हमें दो अनुचित भिन्न प्राप्त होते हैं। उत्तर: हमेशा कुछ शर्तों के तहत नहीं, जब अंश और हर बराबर हों।

ग) प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, .... यदि हम संख्या \(3 = \frac(3)(1)\) लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम \(\frac(1)(3)\) होगा। भिन्न \(\frac(1)(3)\) एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। यदि हम सभी संख्याओं पर गौर करें, तो 1 को छोड़कर, व्युत्क्रम हमेशा एक भिन्न होता है। यदि हम संख्या 1 लेते हैं, तो इसका व्युत्क्रम \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) होगा = 1\). संख्या 1 एक प्राकृतिक संख्या है. उत्तर: वे केवल एक ही स्थिति में एक साथ प्राकृत संख्याएँ हो सकती हैं, यदि यह संख्या 1 है।

उदाहरण #6:
मिश्रित भिन्नों का गुणनफल करें: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

समाधान:
a) \(4 \गुना 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \गुना \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
बी) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

उदाहरण #7:
क्या दो पारस्परिक संख्याएँ एक साथ मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं?

आइए एक उदाहरण देखें. आइए एक मिश्रित भिन्न \(1\frac(1)(2)\ लें), इसका व्युत्क्रम ज्ञात करें, इसके लिए हम इसे एक अनुचित भिन्न \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( में अनुवादित करते हैं) 2)\). इसका व्युत्क्रम \(\frac(2)(3)\) के बराबर होगा। भिन्न \(\frac(2)(3)\) एक उचित भिन्न है। उत्तर: दो परस्पर प्रतिलोम भिन्नों को एक ही समय में मिश्रित संख्याएँ नहीं दी जा सकतीं।

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया को तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टॉर्टोइज़" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जितनी देर में अकिलिस यह दूरी तय करता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ चुका होगा, तो कछुआ दस कदम और रेंगेगा, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट... ये सभी, किसी न किसी रूप में, ज़ेनो के एपोरियास पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय बनाने में कामयाब नहीं हुआ है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया," ज़ेनो एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से परिवर्तन का स्पष्ट रूप से प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थिरांक के बजाय लागू करना है। जहाँ तक मैं समझता हूँ, अनुप्रयोग का गणितीय उपकरण परिवर्तनशील इकाइयाँमाप या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में फंसा देता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है जैसे समय धीमा होकर उस समय पूरी तरह रुक गया है जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस असीम रूप से तेजी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलिस एक हजार कदम और दौड़ेगा, और कछुआ एक सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अदम्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टॉर्टोइज़" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना बाकी है। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में तार्किक विरोधाभासइसे बहुत सरलता से दूर किया जा सकता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर रहता है, जो वास्तव में गति है। यहां ध्यान देने योग्य एक और बात है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी अलग-अलग बिंदुसमय में एक बिंदु पर स्थान, लेकिन उनसे गति के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है (स्वाभाविक रूप से, गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की अभी भी आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं विशेष रूप से बताना चाहता हूं कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुकेपन के तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें "पूरी तरह से" शब्द से दिमाग गायब है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षण के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहां एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके सामने पूरी रकम गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेरों में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित समझाते हैं कि उसे बाकी बिल तभी मिलेंगे जब वह साबित कर देगा कि समान तत्वों वाला सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, हम हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंकनोट मौजूद हैं अलग-अलग नंबरबिल, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ पागलपन से भौतिकी को याद करेगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के की क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे ज्यादा है रुचि पूछो: वह सीमा कहां है जिसके पार एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ ओझाओं द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहां गणितज्ञ-शमन-शूलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे इसके लिए जादूगर हैं, ताकि वे अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखा सकें, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन जादूगर इसे प्राथमिक रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लीजिए कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक प्राप्त चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब यह गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले ओझाओं के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम संख्या को किस संख्या प्रणाली में लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँगणना करते समय, एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, इसके बारे में लेख से संख्या 26 पर विचार करें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम प्रत्येक चरण पर माइक्रोस्कोप के तहत विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करने से आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि. गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में इसे कैसे दर्शाया जाता है जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? जादूगरों के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि समान मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाएं होती हैं अलग परिणामइनकी तुलना करने पर पता चलता है कि इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर पुरुष है।

यदि आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार डिज़ाइन कला का ऐसा काम चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिल जाए:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री (कई चित्रों की संरचना: माइनस साइन, नंबर चार, डिग्री पदनाम) देखने के लिए स्वयं प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिक विज्ञान नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक आर्क स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।