Logaritmi su jednostavno objašnjenje. Log formule

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? Fino. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na potenciju ...

Osjećam da sumnjate ... Pa, čuvajte vrijeme! Ići!

Prvo u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Uputa

Zapiši zadani logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada je njegov zapis skraćen i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam kao bazu ima broj e, tada se zapisuje izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat any potencija na koju se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Kada nalazite zbroj dviju funkcija, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i zbrajati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Kada se nalazi derivacija umnoška dviju funkcija, potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti s drugom i dodati derivaciju druge funkcije, pomnoženu s prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bi se našla derivacija kvocijenta dviju funkcija, potrebno je od umnoška derivacije djelitelja pomnožene s funkcijom djelitelja oduzeti umnožak derivacije djelitelja pomnožene s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to funkcijom djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako je dana složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti derivaciju unutarnje funkcije i derivaciju vanjske. Neka je y=u(v(x)), tada je y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Tu su i zadaci za izračunavanje derivacije u točki. Neka je dana funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u točki x=1.
1) Nađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u zadanoj točki y"(1)=8*e^0=8

Povezani Videi

Koristan savjet

Naučiti tablicu elementarnih izvoda. Ovo će uštedjeti mnogo vremena.

Izvori:

• konstantna derivacija

Dakle, koja je razlika između iracionalne i racionalne jednadžbe? Ako je nepoznata varijabla pod predznakom kvadratnog korijena, tada se jednadžba smatra iracionalnom.

Uputa

Glavna metoda za rješavanje takvih jednadžbi je metoda podizanja oba dijela jednadžbe u kvadrat. Međutim. to je prirodno, prvi korak je riješiti se znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obje strane dobivate 2x-5=4x-7. Takvu jednadžbu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dan jednadžbe. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednadžbi umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost ne vrijedi za kvadratni korijen. Prema tome, 1 je vanjski korijen, pa stoga ova jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna jednadžba se rješava metodom kvadriranja oba njezina dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je odrezati strane korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornu jednadžbu.

Razmislite o drugom.
2x+vx-3=0
Naravno, ova se jednadžba može riješiti pomoću iste jednadžbe kao i prethodna. Prijenos spojeva jednadžbe, koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i zatim upotrijebite metodu kvadriranja. riješiti dobivenu racionalnu jednadžbu i korijene. Ali jedan drugi, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Sukladno tome, dobit ćete jednadžbu poput 2y2+y-3=0. Odnosno uobičajeno kvadratna jednadžba. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješi dva jednadžbe vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijena, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je vrlo jednostavno. To zahtijeva pravljenje identičnih transformacija dok se cilj ne postigne. Tako će uz pomoć najjednostavnijih aritmetičkih operacija zadatak biti riješen.

Trebat će vam

• - papir;
• - olovka.

Uputa

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao npr. kvadrat zbroja (razlike), razlika kvadrata, zbroj (razlika), kub zbroja (razlike)). Osim toga, postoje mnoge trigonometrijske formule koje su u biti isti identiteti.

Doista, kvadrat zbroja dvaju članova jednak je kvadratu prvog plus dvostruki umnožak prvog i drugog plus kvadrat drugog, to jest, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pojednostavite oboje

Opća načela rješenja

Ponoviti iz udžbenika matematičke analize ili više matematike, što je određeni integral. Kao što znate, rješenje određeni integral postoji funkcija čija će derivacija dati integrand. Ova funkcija naziva se primitivnim. Prema tom principu konstruiraju se osnovni integrali.
Po obliku integranda odredi koji od tabličnih integrala odgovara ovaj slučaj. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tablični oblik postaje vidljiv tek nakon nekoliko transformacija za pojednostavljenje integranda.

Metoda supstitucije varijable

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, čiji je argument neki polinom, zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na temelju omjera nove i stare varijable odredite nove granice integracije. Diferenciranjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti novi oblik starog integrala, blizak ili čak odgovarajući bilo kojem tabličnom.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prelazak s ovih integrala na skalarne. Jedno takvo pravilo je omjer Ostrogradsky-Gauss. Ovaj zakon omogućuje prijelaz s rotorskog toka neke vektorske funkcije na trostruki integral nad divergencijom zadanog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaska antiderivacije potrebno je zamijeniti limite integracije. Prvo zamijenite vrijednost gornje granice u izraz za antiderivat. Dobit ćete neki broj. Zatim od dobivenog broja oduzmite drugi broj, rezultirajuću donju granicu antiderivacije. Ako je jedna od integracijskih granica beskonačnost, tada je pri njenoj supstituciji u antiderivacijsku funkciju potrebno ići do granice i pronaći čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati prikazati geometrijske granice integracije kako biste razumjeli kako izračunati integral. Doista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravnine koje ograničavaju volumen koji treba integrirati.

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen izradio je tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje u jednostavno zbrajanje. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" prema njegovoj bazi "a" smatra se potencijom od "c ", na koju je potrebno podići bazu "a", kako bi se na kraju dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što smo malo izračunali u vašem umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na potenciju 3 daje broj 8 u odgovoru.

Varijante logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri određene vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b s bazom a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Da bismo dobili točne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući korijen parnog stupnja iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti kako raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• baza "a" mora uvijek biti veća od nule, au isto vrijeme ne smije biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" na bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada je a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobivamo 100. To je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju na pronalaženje stupnja do kojeg je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neki se eksponenti mogu intuitivno pogoditi ako imate tehnički način razmišljanja i znanje o tablici množenja. Međutim, za velike vrijednosti potrebna vam je tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji se ne razumiju baš ništa u složene matematičke teme. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na sjecištu u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpraviji humanist shvatiti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 na bazu 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dan je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod predznakom logaritma. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (npr. logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe oba raspona prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo ćemo detaljnije analizirati svako svojstvo.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, a ne jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam umnoška može se predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , tada je a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo i dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka se log a b \u003d t, ispada a t \u003d b. Ako oba dijela dignete na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi problema s logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemne testove iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu mogu primijeniti određena pravila. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći pogled. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi Možete, ako ispravno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodni logaritmi moraju se primijeniti logaritamski identiteti ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširivanje veliki značaj brojeve b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, pomoću četvrtog svojstva stupnja logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu i zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispit), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih USE opcije. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Sve logaritme najbolje je svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent iz eksponenta iz izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izuzme, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to lakše. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Primjeri:		\(\log_(5)(25)=2\)		jer \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		jer \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazi pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stupanj treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? A koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je sam sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomačka potencija, pa je stoga kvadratni korijen potencija od \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno treba napisati ovaj broj? Kako bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Poslužimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude s lijeve strane
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomakni \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Glavni logaritamski identitet' i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako se točno pojavila ova formula.

Prisjetimo se kratka bilješka definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), tako da također možete napisati \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Stoga, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak iu jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

S razvojem društva, složenošću proizvodnje, razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog prema složenom. Od uobičajenog obračunskog načina zbrajanja i oduzimanja, uz njihovo opetovano ponavljanje, došli su do pojma množenja i dijeljenja. Redukcija višestruko ponovljene operacije postala je koncept potenciranja. Prve tablice ovisnosti brojeva o bazi i broju potenciranja sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasena. Iz njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Povijesni ocrt

Preporod Europe u 16. stoljeću potaknuo je i razvoj mehanike. T zahtijevao veliku količinu računanja povezana s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva. Drevni stolovi učinili su veliku uslugu. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim – zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki korak naprijed bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je ostvario zamisao mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614. Škot John Napier, razvijajući te ideje, prvi je uveo novi pojam "logaritam broja". Sastavljene su nove složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangensa. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati ​​nove tablice koje su znanstvenici uspješno koristili za tri stoljeća. Prije je trebalo dosta vremena nova operacija u algebri dobio svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, pojavom kalkulatora i računala, čovječanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspješno funkcionirale kroz 13. stoljeće.

Danas logaritam od b na osnovu a nazivamo brojem x, što je potencija od a, da bismo dobili broj b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) će biti jednak 2. Ovo je očito ako slijedite definiciju. Ako 3 podignemo na potenciju 2, dobit ćemo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.

Varijante logaritama

Klasična definicija naziva se realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koju potenciju je 1.

Prava vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u području matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o vrijednosti njihove baze:

Pravila i ograničenja

Temeljno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam umnoška jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funkcija kvocijenta jednaka je razlici funkcija.

Lako je vidjeti iz prethodna dva pravila da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nemojte napraviti uobičajenu pogrešku - logaritam zbroja nije jednak zbroju logaritama.

Stoljećima je operacija pronalaženja logaritma bila prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili poznatu formulu logaritamske teorije proširenja u polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje točnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teorema o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma umnoška.

Budući da je ova metoda vrlo naporna i pri rješavanju praktičnih problema teško implementirati, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cijeli rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su dali manju točnost, ali su značajno ubrzali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a (x), izgrađena na nekoliko točaka, omogućuje korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. inženjeri Dugo vrijeme u te svrhe korišten je milimetarski papir tzv.

U 17. stoljeću pojavili su se prvi pomoćni analogni računalni uvjeti koji su do XIX stoljeće dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj nazvan je klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računala učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.

Jednadžbe i nejednadžbe

Sljedeće se formule koriste za rješavanje raznih jednadžbi i nejednadžbi pomoću logaritama:

• Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kao posljedica prethodne verzije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma bit će pozitivna samo ako su i baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako se funkcija logaritma primijeni na desnu i lijevu stranu nejednadžbe, a baza logaritma je veća od jedan, tada je znak nejednadžbe sačuvan; inače se mijenja.

Primjeri zadataka

Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri s rješavanjem jednadžbi:

Razmotrite mogućnost postavljanja logaritma u stupanj:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rješenje: u uvjetima zadatka zapis je sličan sljedećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, čini se daleko od toga stvaran život da je logaritam odjednom dobio veliku važnost u opisivanju predmeta stvarni svijet. Teško je pronaći znanost u kojoj se to ne koristi. To se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanistička područja znanja.

Logaritamske ovisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika uvijek su se razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja te je ujedno poslužio kao poticaj razvoju matematike, pa tako i logaritma. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizikalnih zakona pomoću logaritma.

Moguće je riješiti problem izračuna tako složene veličine kao što je brzina rakete pomoću formule Ciolkovskog, koja je postavila temelje teorije istraživanja svemira:

V = I * ln(M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina zrakoplova.
• I je specifični impuls motora.
• M 1 je početna masa rakete.
• M 2 - konačna masa.

Još jedan važan primjer- to je upotreba u formuli još jednog velikog znanstvenika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S je termodinamičko svojstvo.
• k je Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

Kemija

Manje očita bi bila uporaba formula u kemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, uvjet redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
• Izračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao obrnuti omjer vrijednosti intenziteta podražaja prema vrijednosti nižeg intenziteta.

Nakon gornjih primjera više ne čudi što se tema logaritama također široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se napisati cijeli tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez povezanosti s tom funkcijom, a ona upravlja svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani s geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Popis bi mogao biti beskrajan. Nakon što ste svladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskrajne mudrosti.