Ono što se zove sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta. Pravokutni trokut

Uputa

Ako trebate pronaći kosinus kut u proizvoljnom trokutu potrebno je koristiti kosinusni teorem:
ako je kut oštar: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ako kut : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), gdje su a, b duljine stranica koje graniče s kutom, c je duljina stranice nasuprot kutu.

Koristan savjet

Matematički zapis za kosinus je cos.
Vrijednost kosinusa ne može biti veća od 1 ni manja od -1.

Izvori:

• kako izračunati kosinus kuta
• Trigonometrijske funkcije na jediničnoj kružnici

Kosinus je osnovna trigonometrijska funkcija kuta. Sposobnost određivanja kosinusa korisna je u vektorskoj algebri pri određivanju projekcija vektora na različite osi.

Uputa

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Postoji trokut sa stranicama a, b, c jednakim 3, 4, 5 mm.

Pronaći kosinus kut zatvoren između velikih stranica.

Označimo kut nasuprot stranici a kroz?, tada, prema gornjoj formuli, imamo:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Odgovor: 0,8.

Ako je trokut pravokutni trokut, onda pronaći kosinus a dovoljno je znati duljine bilo koje dvije stranice kuta ( kosinus pravi kut je 0).

Neka postoji pravokutni trokut sa stranicama a, b, c, gdje je c hipotenuza.

Razmotrite sve opcije:

Nađite cos? ako su poznate duljine stranica a i b (trokuta).

Upotrijebimo dodatno Pitagorin teorem:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Da bi dobivena formula bila točna, u nju zamijenimo iz primjera 1, tj.

Izvršivši elementarne izračune, dobivamo:

Slično tome, postoji kosinus u pravokutnom trokut u drugim slučajevima:

Poznati a i c (hipotenuza i suprotna kateta), pronaći cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Zamjenom vrijednosti a=3 i c=5 iz primjera dobivamo:

b i c su poznati (hipotenuza i susjedna kateta).

Pronađi cos?

Provodeći slične transformacije (prikazane u primjerima 2 i 3), dobivamo da je u ovom slučaju kosinus V trokut izračunava se pomoću vrlo jednostavne formule:

Jednostavnost izvedene formule objašnjena je na elementaran način: zapravo, uz kut? kateta je projekcija hipotenuze, njezina duljina jednaka je duljini hipotenuze pomnoženoj s cos?.

Zamjenom vrijednosti b=4 i c=5 iz prvog primjera dobivamo:

Dakle, sve naše formule su točne.

Savjet 5: Kako pronaći oštar kut u pravokutnom trokutu

Direktno ugljični trokut je vjerojatno jedan od najpoznatijih, s povijesnog gledišta, geometrijski oblici. Pitagorejske "hlače" mogu konkurirati samo "Eureki!" Arhimed.

Trebat će vam

• - crtanje trokuta;
• - vladar;
• - kutomjer.

Uputa

Zbroj kutova trokuta je 180 stupnjeva. u pravokutnom trokut jedan kut (desni) uvijek će biti 90 stupnjeva, a ostali su oštri, tj. manje od 90 stupnjeva svaki. Da bismo odredili koji kut u pravokutnom trokut je ravno, izmjerite stranice trokuta ravnalom i odredite najveću. To je hipotenuza (AB) i nalazi se nasuprot pravog kuta (C). Preostale dvije stranice čine pravi kut i krake (AC, BC).

Nakon što ste odredili koji je kut oštar, možete upotrijebiti kutomjer za izračunavanje kuta ili ga izračunati pomoću matematičkih formula.

Da biste odredili vrijednost kuta pomoću kutomjera, poravnajte njegov vrh (označimo ga slovom A) s posebnom oznakom na ravnalu u središtu kutomjera, AC noga mora se podudarati s njegovim gornjim rubom. Označite na polukružnom dijelu kutomjera točku kroz koju prolazi hipotenuza AB. Vrijednost u ovoj točki odgovara vrijednosti kuta u stupnjevima. Ako su na kutomjeru naznačene 2 količine, tada za oštar kut trebate odabrati manju, za glupu - veću.

Pronađite dobivenu vrijednost u referentnom Bradisu i odredite koji kut odgovara dobivenoj brojčanoj vrijednosti. Naše su bake koristile ovu metodu.

U našem je dovoljno uzeti s funkcijom izračunavanja trigonometrijskih formula. Na primjer, ugrađeni Windows kalkulator. Pokrenite aplikaciju "Kalkulator", u stavci izbornika "Prikaz" odaberite stavku "Inženjering". Izračunajte sinus željenog kuta, na primjer, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prebacite kalkulator u inverzni način rada klikom na gumb INV na zaslonu kalkulatora, a zatim kliknite na gumb funkcije arksinusa (na zaslonu označen sin na minus jedan). U prozoru za izračun pojavit će se sljedeći natpis: asind (0,5) = 30. To jest, željeni kut je 30 stupnjeva.

Izvori:

• Bradisove tablice (sinusi, kosinusi)

Kosinusni teorem u matematici najčešće se koristi kada je potrebno pronaći treću stranu kuta i dvije strane. Međutim, ponekad se uvjet zadatka postavlja obrnuto: potrebno je pronaći kut za zadane tri stranice.

Uputa

Zamislite da vam je dan trokut s poznatim duljinama dviju stranica i vrijednošću jednog kuta. Svi kutovi ovog trokuta nisu međusobno jednaki, a i stranice su mu različite veličine. Kut γ leži nasuprot stranici trokuta, označenoj kao AB, što je ovaj lik. Kroz taj kut, kao i kroz preostale stranice AC i BC, možete pronaći onu stranicu trokuta koja je nepoznata, koristeći kosinusni teorem, izvodeći na temelju njega sljedeću formulu:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, gdje je a=BC, b=AB, c=AC
Kosinusni teorem inače se naziva generalizirani Pitagorin teorem.

Sada zamislite da su sve tri strane figure date, ali je njezin kut γ nepoznat. Znajući da je oblik a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformirajte ovaj izraz tako da željena vrijednost bude kut γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Zatim dovedite gornju jednadžbu u malo drugačiji oblik: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Zatim ovaj izraz treba transformirati u sljedeći: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Ostaje zamijeniti brojeve u formuli i izvršiti izračune.

Da bismo pronašli kosinus, označen kao γ, on se mora izraziti kroz inverznu trigonometriju, koja se naziva inverzni kosinus. Arkosinus broja m je vrijednost kuta γ, za koju je kosinus kuta γ jednak m. Funkcija y=arccos m je opadajuća. Zamislimo, na primjer, da je kosinus kuta γ jedna polovica. Tada se kut γ može definirati u smislu ark kosinusa na sljedeći način:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, gdje je m = 1/2.
Slično, možete pronaći preostale kutove trokuta s dvije druge nepoznate strane.

Sinus i kosinus dvije su trigonometrijske funkcije koje se nazivaju "ravne linije". Oni su ti koji se moraju izračunati češće od drugih, a danas svatko od nas ima značajan izbor opcija za rješavanje ovog problema. Ispod su neki od njih jednostavnih načina.

Uputa

Upotrijebite kutomjer, olovku i papir ako vam drugi načini izračunavanja nisu dostupni. Jedna od definicija kosinusa dana je kroz oštre kutove u pravokutnom trokutu - jednak je omjeru duljine kraka nasuprot ovom kutu i duljine. Nacrtajte trokut gdje je jedan od kutova pravi (90°), a drugi je kut koji želite izračunati. Duljina strana nije bitna - nacrtajte ih tako da vam bude prikladnije mjeriti. Izmjerite duljinu željene noge i hipotenuze i podijelite prvu s drugom na bilo koji prikladan način.

Iskoristite vrijednu priliku trigonometrijske funkcije pomoću kalkulatora ugrađenog u tražilicu Nigma ako imate pristup internetu. Na primjer, ako želite izračunati kosinus kuta od 20°, onda učitavanjem početna stranica usluga http://nigma.ru upišite upit za pretraživanje "kosinus 20" i kliknite gumb "Pronađi!". Možete izostaviti "stupnjeve" i zamijeniti riječ "kosinus" s cos - u svakom slučaju, tražilica će prikazati rezultat s točnošću do 15 decimalnih mjesta (0,939692620785908).

Otvorite standardni program - instaliran s operativnim Windows sustav ako nema pristupa internetu. To se može učiniti, na primjer, istovremenim pritiskom na tipke win i r, zatim unosom naredbe calc i klikom na gumb OK. Za izračun trigonometrijskih funkcija, ovdje je sučelje koje se zove "inženjersko" ili "znanstveno" (ovisno o verziji OS-a) - odaberite željenu stavku u odjeljku "Prikaz" izbornika kalkulatora. Nakon toga unesite vrijednost kuta i kliknite na gumb cos u sučelju programa.

Povezani Videi

Savjet 8: Kako odrediti kutove u pravokutnom trokutu

Pravokutnik karakteriziraju određeni omjeri kutova i stranica. Znajući vrijednosti nekih od njih, možete izračunati druge. Za to se koriste formule koje se zauzvrat temelje na aksiomima i teoremima geometrije.

Referentni podaci za tangens (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangensa i kotangenata, derivacije, integrali, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Tangenta ( tgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .

Kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| .

Tangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Graf funkcije tangensa, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također je usvojena sljedeća oznaka:
;
;
.

Graf kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangensa i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x su periodične s periodom π.

Paritet

Funkcije tangens i kotangens su neparne.

Područja definiranja i vrijednosti, uzlazno, silazno

Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane na svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Opseg i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazni		-
Silazni	-
Krajnosti	-	-
Nule, y= 0
Točke presjeka s osi y, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi pomoću sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens i kotangens zbroja i razlike

Ostale formule lako je nabaviti, na primjer

Umnožak tangenti

Formula za zbroj i razliku tangenti

Ova tablica prikazuje vrijednosti tangensa i kotangenata za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>>

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili ekspanziju tangente u potencije od x, morate uzeti nekoliko članova ekspanzije u niz potencija za funkcije grijeh x I cos x i podijeliti te polinome jedan na drugi, . To rezultira sljedećim formulama.

U .

u .
Gdje B n- Bernoullijevi brojevi. Oni se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na tangens i kotangens su arktangens i arkotangens.

Arktangens, arctg

, Gdje n- cijeli.

Arkus tangenta, arcctg

, Gdje n- cijeli.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za istraživače i inženjere, 2012.

Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija čija primjena nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračun sinusa ponekad je potreban za rješavanje raznih problema. Općenito, izračun sinusa pomoći će u učvršćivanju vještina crtanja i znanja o trigonometrijskim identitetima.

Igre ravnala i olovke

Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje vam je potrebno obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje daljnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dužom stranom - hipotenuzom. Dakle, prvo morate dovršiti oštar kut na lik pravokutnog trokuta povlačenjem crte okomite na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Bit će potrebno promatrati kut od točno 90 °, za koji nam je potreban klerikalni trokut.

Korištenje kompasa malo je preciznije, ali će trajati duže. Na jednoj od zraka morate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se te linije ne sijeku. Povezivanjem točaka sjecišta naših krugova jedna s drugom, dobit ćemo strogu okomicu na zraku našeg kuta, ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.

U dobivenom trokutu morate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dužu stranu na jednoj od zraka. Omjer prvog mjerenja prema drugom bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.

Nađite sinus za kut veći od 90°

Za tupi kut zadatak nije mnogo teži. Potrebno je ravnalom povući zraku iz vrha u suprotnom smjeru da s jednom od zraka kuta koji nas zanima oblikuje ravnu crtu. S rezultirajućim oštrim kutom, trebali biste postupiti kako je gore opisano, sinusi susjednih kutova, koji zajedno tvore razvijeni kut od 180 °, jednaki su.

Izračunavanje sinusa iz drugih trigonometrijskih funkcija

Također, izračun sinusa je moguć ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.

Kako pronaći sinus uz poznati kosinus kuta? Prvi trigonometrijski identitet, koji dolazi iz Pitagorinog poučka, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.

Kako pronaći sinus s poznatim tangensom kuta? Tangens se dobiva dijeljenjem daljeg kraka s bližim ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangensa, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog umnoška. Kvadrat kosinusa zamjenjujemo razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa u skladu s prvim trigonometrijskim identitetom i jednostavnim manipulacijama donosimo jednadžbu za izračun kvadratnog sinusa kroz tangens, odnosno za izračun sinusa morat ćete izvadite korijen iz dobivenog rezultata.

Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa može se izračunati tako da se duljina bližeg kuta od kraka podijeli s duljinom udaljenog kuta, te također dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je inverzna funkcija tangensa s u odnosu na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangens pomoću formule tg α \u003d 1 / ctg α i koristiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.

Kako pronaći sinus triju stranica trokuta

Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, ne samo pravokutnog trokuta, s obzirom na dvije poznate strane pomoću trigonometrijske funkcije kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.

Pa, sinus se dalje može izračunati iz kosinusa prema gornjim formulama.

Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, i neraskidivo su povezani s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno razmišljanje. Zato trigonometrijski izračuni često stvaraju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se bolje upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne koncepte trigonometrije, prvo morate odlučiti što su pravokutni trokut i kut u krugu i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutni trokut. Povijesno gledano, ovu figuru često su koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i katete. Hipotenuza je stranica trokuta koja je nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek je 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija dio je trigonometrije koji se ne uči u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Značajka trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer katete nasuprot željenom kutu i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjedne noge i hipotenuze. Obje ove vrijednosti uvijek imaju vrijednost manju od jedan, budući da je hipotenuza uvijek duža od noge.

Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, ili sinusa prema kosinusu. Kotangens je pak omjer susjednog kraka željenog kuta u odnosu na suprotni katet. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedinice s vrijednošću tangensa.

jedinični krug

Jedinična kružnica u geometriji je kružnica čiji je radijus jednak jedinici. Takva se kružnica konstruira u kartezijevom koordinatnom sustavu, pri čemu se središte kružnice poklapa s ishodištem, a početni položaj radijus vektora određen je pozitivnim smjerom osi X (apscisne osi). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscise i ordinate. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i s nje spustimo okomicu na apscisnu os, dobivamo pravokutni trokut koji tvori polumjer do odabrane točke (označimo ga slovom C), okomicu povučenu na os X (sjecište je označeno slovom G), a isječak apscisna os između ishodišta (točka je označena slovom A) i sjecišta G. Rezultirajući trokut ACG je pravokutni trokut upisan u krug, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta apscisne osi s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG/AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedinici, ispada da je cos α=AG. Slično, sin α=CG.

Osim toga, znajući ove podatke, možete odrediti koordinatu točke C na krugu, jer cos α \u003d AG, i sin α \u003d CG, što znači da točka C ima zadane koordinate(cos α; sin α). Znajući da je tangens jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α \u003d y / x i ctg α \u003d x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, može se izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jediničnu kružnicu, možemo izvesti vrijednosti ovih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima se ispod predznaka trigonometrijske funkcije nalazi nepoznata vrijednost nazivamo trigonometrijskim. Identiteti s vrijednošću sin x = α, k je bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, h = ±arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formule

Ova kategorija konstantnih formula označava metode pomoću kojih možete prijeći s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta, odnosno pretvoriti sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta bilo koje vrijednosti u odgovarajuće pokazatelje kuta interval od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.

Formule za smanjenje funkcija za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Korištenje gornjih formula moguće je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može prikazati kao vrijednost (π/2 ± a) ili (3π/2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može prikazati kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak smanjene funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav i ostaje. Isto vrijedi i za negativne funkcije.

Formule zbrajanja

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično označavaju kao α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve kutove α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule dvostrukog i trostrukog kuta su formule koje povezuju funkcije kutova 2α odnosno 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prijelaz sa zbroja na umnožak

Uzimajući u obzir da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identitet sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Slično, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prijelaz s umnoška na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta za prijelaz zbroja u umnožak:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule redukcije

U ovim identitetima, kvadratni i kubični potencije sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamjena

Univerzalne trigonometrijske supstitucijske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), dok je x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdje je x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x \u003d π + 2πn.

Posebni slučajevi

Dolje su navedeni pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Privatno za sinus:

sin x vrijednost	x vrijednost
0	pak
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ili 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ili -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ili 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ili -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ili 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ili -2π/3 + 2πk

Kosinusni kvocijenti:

vrijednost cos x	x vrijednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privatno za tangentu:

tg x vrijednost	x vrijednost
0	pak
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangens kvocijenti:

ctg x vrijednost	x vrijednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Sinusni teorem

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Jednostavni sinusni teorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. U ovom slučaju a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ suprotni kutovi, redom.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. U ovom identitetu R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na ovaj način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. U formuli su a, b, c stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranici a.

Teorem o tangenti

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljina stranica nasuprot njima. Stranice su označene a, b, c, a odgovarajući nasuprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema o tangenti: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorem o kotangensu

Povezuje polumjer kruga upisanog u trokut s duljinama njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C njihovi suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p polumjer trokuta, sljedeći identiteti držati:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Prijave

Trigonometrija nije samo teorijska znanost povezan s matematičkim formulama. Njegova svojstva, teoremi i pravila koriste se u praksi u raznim industrijama ljudska aktivnost– astronomija, zračna i pomorska navigacija, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni poslovi, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, pomoću kojih možete matematički izraziti odnos između kutova i duljina stranica u trokutu, te pronaći željene veličine pomoću identiteta, teorema i pravila.

Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta pomoći će vam da razumijete pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \ (AC \) ); kraci su dvije preostale stranice \ (AB \) i \ (BC \) (one koje su susjedne pravom kutu), štoviše, ako razmotrimo krake u odnosu na kut \ (BC \) , tada je krak \ (AB \) je susjedni krak, a krak \ (BC \) je nasuprot. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).

U našem trokutu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

U našem trokutu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \(\beta \) . Prema definiciji, iz trokuta \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus kuta \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut \(ABC \) , prikazan na donjoj slici, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnja i radijana, razmotrili smo krug s polumjerom jednakim \ (1 \) . Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.

Kao što vidite, ovaj krug je izgrađen u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice je jednak jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \(x \) (u našem primjeru to je polumjer \(AB \) ).

Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati duž osi \(x \) i koordinati duž osi \(y \) . Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut \(ACG \) . Pravokutan je jer je \(CG \) okomit na os \(x \).

Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC \) polumjer jedinične kružnice, dakle \(AC=1 \) . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

A koliko je \(\sin \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Pa naravno, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Zamijenite vrijednost radijusa \ (AC \) u ovu formulu i dobijte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke \(C \) koja pripada krugu? Pa nema šanse? Ali što ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x \) ! A kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Točno, \(y \) koordinata! Dakle poanta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Što su onda \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijmo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovaj primjer? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kut (kao susjedni kutu \(\beta \) ). Koja je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati \ (y \) ; vrijednost kosinusa kuta - koordinata \ (x \) ; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi \(x \). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Je li moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \) ? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), pa će radijus vektor napraviti jednu punu rotaciju i zaustaviti se na \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

U drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj ) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara kutu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(niz) \)

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, krenimo redom: kut unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara točki s koordinatama \(\left(0;1 \right) \), dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju točkama s koordinatama \(\lijevo(-1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0;-1 \desno),\tekst( )\lijevo(1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate zapamtiti ili moći ispisati!! \) !}

A ovdje su vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) navedeni u tablici u nastavku, morate zapamtiti:

Nema potrebe za strahom, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kao i vrijednost tangensa kuta u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, moguće je vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojnik “\(1 \) ” će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , a nazivnik “\(\sqrt(\text(3)) \) ” će odgovarati \ (\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite shemu sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4 \) vrijednosti iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na krugu, znajući koordinate središta kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa naravno da možete! Izvedimo opću formulu za pronalaženje koordinata točke. Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dobili smo tu točku \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je središte kruga. Polumjer kruga je \(1,5 \) . Potrebno je pronaći koordinate točke \(P \) dobivene rotacijom točke \(O \) za \(\delta \) stupnjeva.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \ (x \) točke \ (P \) odgovara duljini segmenta \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Duljina segmenta \ (UK \) odgovara koordinati \ (x \) središta kruga, odnosno jednaka je \ (3 \) . Duljina segmenta \(KQ \) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Zatim to imamo za točku \(P \) koordinatu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Po istoj logici, nalazimo vrijednost y koordinate za točku \(P\) . Tako,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Dakle u opći pogled koordinate točke određuju se formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središta kruga,

\(r\) - polumjer kruga,

\(\delta \) - kut rotacije polumjera vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!