Formula untuk mengalikan logaritma. Definisi logaritma, identitas logaritma dasar
Hari ini kita akan berbicara tentang rumus logaritma dan memberikan demonstrasi contoh solusi.
Sendiri, mereka menyiratkan pola solusi sesuai dengan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma ke solusi, kami mengingatkan Anda, pertama-tama semua properti:
Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami tampilkan contoh penyelesaian logaritma.
Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.
Logaritma bilangan positif b pada basis a (dilambangkan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.
Menurut definisi log a b = x, yang setara dengan a x = b, jadi log a a x = x.
Logaritma, contoh:
log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8
log 7 49 = 2 karena 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5
Logaritma desimal adalah logaritma biasa, yang dasarnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.
log 10 100 = 2 karena 10 2 = 100
logaritma alami- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan basis e (e \u003d 2.71828 ... - bilangan irasional). Disebut sebagai ln.
Sangat diinginkan untuk mengingat rumus atau sifat logaritma, karena kita akan membutuhkannya nanti saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita bahas setiap rumus lagi dengan contoh.
- Identitas logaritmik dasar
log ab = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Sifat-sifat derajat bilangan logaritma dan basis logaritma
Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b
Pangkat dari basis logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jika m = n, kita mendapatkan log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Transisi ke yayasan baru
log a b = log c b / log c a,jika c = b, kita mendapatkan log b b = 1
lalu log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh pemecahan logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritmik. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritma secara lebih rinci di artikel: "". Jangan lewatkan!
Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.
Catatan: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan studi kelas lain di luar negeri sebagai pilihan.
Mari kita mulai dengan sifat logaritma kesatuan. Formulasinya adalah sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu mencatat 1=0 untuk a>0 , a≠1 . Buktinya langsung: karena a 0 =1 untuk sembarang a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan yang terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.
Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .
Mari beralih ke properti berikutnya: logaritma bilangan yang sama dengan basis sama dengan satu, itu adalah, log aa=1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk sembarang a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .
Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .
Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan 
.
Logaritma hasil kali dua bilangan positif x dan y sama dengan produk logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat gelar log x+log a y = log a x a log a y, dan karena dengan identitas logaritmik utama log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.
Mari tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma hasil kali: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan 
.
Sifat perkalian logaritma dapat digeneralisasikan ke perkalian bilangan berhingga n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kesetaraan ini mudah dibuktikan.
Misalnya, logaritma natural suatu perkalian dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural angka 4 , e , dan .
Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan selisih antara logaritma dari angka-angka ini. Properti hasil bagi logaritma sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan seperti rumus logaritma hasil kali: sejak 
, maka dengan definisi logaritma .
Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: 
.
Mari beralih ke sifat logaritma derajat. Logaritma suatu derajat sama dengan perkalian eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p = p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah angka sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .
Pertama-tama kita buktikan sifat ini untuk positif b . Identitas logaritmik dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai a log a b , lalu b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena properti daya, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .
Tetap membuktikan properti ini untuk negatif b . Di sini kami mencatat bahwa ekspresi log a b p untuk negatif b masuk akal hanya untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini b p =|b| P . Kemudian bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dimana log a b p =p log a |b| .
Misalnya, 
dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, 
, di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .
Buktinya didasarkan pada persamaan (lihat ), yang berlaku untuk b positif apa pun, dan sifat logaritma derajat: 
.
Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: 
.
Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma baik 
. Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritmik dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai a log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a. Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus transisi ke basis logaritma baru juga terbukti.
Mari tunjukkan beberapa contoh penerapan properti logaritma ini: dan 
.
Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, dapat digunakan untuk beralih ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus transisi ke basis logaritma baru juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma tertentu, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.
Sering digunakan kasus spesial rumus untuk transisi ke basis logaritma baru untuk bentuk c=b 
. Ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a – . Misalnya, 
.
Yang juga sering digunakan adalah rumusnya 
, yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya 
. Untuk membuktikan rumus 
cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: 
.
Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.
Mari kita buktikan bahwa untuk setiap bilangan positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, log pertidaksamaan a b 1 Akhirnya, tetap membuktikan yang terakhir dari sifat logaritma yang terdaftar. Kami membatasi diri untuk membuktikan bagian pertamanya, yaitu, kami membuktikan bahwa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan yang tersisa dari sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama. Mari gunakan metode sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, ketidaksetaraan ini dapat ditulis ulang sebagai 
Dan 
masing-masing, dan dari mereka dapat disimpulkan bahwa log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu a 1 ≥a 2 . Dengan demikian, kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Awal Analisis: Buku Teks untuk Kelas 10-11 Lembaga Pendidikan Umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik).
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda setiap saat ketika Anda menghubungi kami.
Berikut adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengirimkan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan undang-undang, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan negara di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan ke penerus pihak ketiga terkait.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, pengubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi dengan ketat.
Logaritma b (b > 0) ke basis a (a > 0, a ≠ 1) adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b.
Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai log(b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) - dalam (b).
Sering digunakan saat memecahkan masalah dengan logaritma:
Properti logaritma
Ada empat utama sifat-sifat logaritma.
Misalkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.
Sifat 1. Logaritma hasil kali
Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Properti 2. Logaritma hasil bagi
Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma:
log a (x / y) = log a x – log a y
Sifat 3. Logaritma derajat
Logaritma derajat sama dengan produk dari derajat dan logaritma:
Jika basis logaritma dalam eksponen, maka rumus lain berlaku:
Properti 4. Logaritma akar
Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma derajat, karena akar derajat ke-n sama dengan pangkat 1/n:
Rumus untuk beralih dari logaritma di satu basis ke logaritma di basis lain
Rumus ini juga sering digunakan saat menyelesaikan berbagai tugas logaritma:
Kasus spesial:
Perbandingan logaritma (pertidaksamaan)
Misalkan kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan basis yang sama dan ada tanda pertidaksamaan di antara keduanya:
Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda harus melihat basis logaritma a:
- Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
- Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Bagaimana memecahkan masalah dengan logaritma: contoh
Tugas dengan logaritma termasuk dalam USE dalam matematika untuk kelas 11 di tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang relevan. Juga, tugas dengan logaritma ditemukan di bank tugas dalam matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.
Apa itu logaritma
Logaritma selalu dianggap sebagai topik yang sulit dalam mata pelajaran matematika sekolah. Ada banyak definisi logaritma yang berbeda, tetapi untuk beberapa alasan sebagian besar buku teks menggunakan definisi yang paling rumit dan tidak menguntungkan.
Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Mari buat tabel untuk ini:
Jadi, kita memiliki kekuatan dua.
Logaritma - properti, rumus, cara menyelesaikannya
Jika Anda mengambil angka dari baris terbawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Ini bisa dilihat dari tabel.
Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:
basis a dari argumen x adalah pangkat yang harus dipangkatkan oleh bilangan a untuk mendapatkan bilangan x.
Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya sama dengan logaritma.
Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga mencatat 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.
Operasi pencarian logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba temukan log 2 5. Angka 5 tidak ada di tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Angka seperti itu disebut irasional: angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas waktu, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang yang bingung mana pangkalnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:
Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada siswa saya di pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.
Cara menghitung logaritma
Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Sebagai permulaan, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi tersebut:
- Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat dengan eksponen rasional, yang definisi logaritmanya direduksi.
- Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun tetaplah satu unit. Karena itu, pertanyaan "kekuasaan apa yang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua" tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!
Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ dari logaritma terlihat seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1 .
Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun soal. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.
Sekarang pertimbangkan skema umum perhitungan logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:
- Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis terkecil yang mungkin lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik singkirkan pecahan desimal;
- Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
- Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.
Itu saja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.
Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:
Tugas. Hitung logaritma: log 5 25
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Mendapat jawaban: 2.
Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tugas. Hitung logaritma:
Tugas. Hitung logaritma: log 4 64
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Mendapat jawaban: 3.
Tugas. Hitung logaritma: log 16 1
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Mendapat tanggapan: 0.
Tugas. Hitung logaritma: log 7 14
- Mari kita nyatakan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai kekuatan tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
- Mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
- Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.
Catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu angka bukanlah kekuatan pasti dari angka lain? Sangat sederhana - cukup uraikan menjadi faktor prima. Jika setidaknya ada dua faktor berbeda dalam pemuaian, jumlahnya bukanlah pangkat yang tepat.
Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari angka tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan pangkat pasti karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat pasti;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;
Kami juga mencatat bahwa kami bilangan prima selalu kekuatan yang tepat dari diri mereka sendiri.
Logaritma desimal
Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan penunjukan khusus.
dari argumen x adalah basis 10 logaritma, yaitu kekuatan yang 10 harus dinaikkan untuk mendapatkan x. Penunjukan: lgx.
Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.
Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan penunjukan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x
Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk desimal.
logaritma alami
Ada logaritma lain yang memiliki notasinya sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.
dari argumen x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat yang harus dipangkatkan bilangan e untuk mendapatkan bilangan x. Penunjukan: lnx.
Banyak yang akan bertanya: berapa angka e? Ini adalah bilangan irasional nilai yang tepat tidak mungkin ditemukan dan direkam. Ini hanya angka pertama:
e = 2,718281828459…
Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x
Jadi ln e = 1; log e 2 = 2; Dalam e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.
Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.
Lihat juga:
Logaritma. Properti logaritma (pangkat logaritma).
Bagaimana cara merepresentasikan angka sebagai logaritma?
Kami menggunakan definisi logaritma.
Logaritma adalah indikator kekuatan yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan angka di bawah tanda logaritma.
Jadi, untuk merepresentasikan bilangan tertentu c sebagai logaritma ke basis a, Anda perlu meletakkan derajat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan menuliskan bilangan c ini ke dalam eksponen:
Dalam bentuk logaritma, Anda dapat merepresentasikan angka apa pun - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:
Agar tidak membingungkan a dan c dalam kondisi stres ujian atau ujian, Anda dapat menggunakan aturan berikut untuk diingat:
yang di bawah turun, yang di atas naik.
Misalnya, Anda ingin merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.
Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tetap menentukan mana dari angka-angka ini yang harus ditulis, di dasar derajat, dan mana - di atas, dalam eksponen.
Basis 3 dalam catatan logaritma ada di bagian bawah, artinya ketika kita menyatakan deuce sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menuliskan 3 ke bawah.
2 lebih tinggi dari 3. Dan dalam notasi derajat, kita tulis dua di atas tiga, yaitu dalam eksponen:
Logaritma. Tingkat pertama.
Logaritma
logaritma nomor positif B dengan alasan A, Di mana a > 0, a ≠ 1, adalah eksponen yang harus dipangkatkan. A, Untuk memperoleh B.
Definisi logaritma secara singkat dapat ditulis seperti ini:
Kesetaraan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Dia biasa dipanggil identitas logaritmik.
Tindakan menemukan logaritma suatu bilangan disebut logaritma.
Properti logaritma:
Logaritma produk:
Logaritma hasil bagi dari pembagian:
Mengganti basis logaritma:
Logaritma derajat:
logaritma akar:
Logaritma dengan basis daya:
Logaritma desimal dan natural.
Logaritma desimal angka panggil logaritma basis 10 dari angka itu dan tulis lg B
logaritma alami angka memanggil logaritma angka ini ke basis e, Di mana e adalah bilangan irasional, kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama, mereka menulis ln B.
Catatan Lain tentang Aljabar dan Geometri
Sifat dasar logaritma
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti angka apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara yang memungkinkan. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut properti dasar.
Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan tanpanya. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penambahan dan pengurangan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangi, dan:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: titik kunci di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!
Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika masing-masing bagiannya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh-contohnya dan lihat:
log 6 4 + log 6 9.
Karena basis logaritma sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.
Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.
Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka yang cukup normal diperoleh. Berdasarkan fakta ini, banyak kertas ujian. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (terkadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan pada ujian.
Menghapus eksponen dari logaritma
Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat dikeluarkan dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:
Sangat mudah untuk melihat itu aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.
Bagaimana memecahkan logaritma
Inilah yang paling sering dibutuhkan.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .
Mari singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:
Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikatornya - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke yayasan baru
Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan yang tepat dari angka yang sama?
Rumus untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:
Biarkan itu diberikan log logaritma kapak. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:
Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", yaitu. logaritma ada di penyebut.
Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik.
Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari pertimbangkan beberapa di antaranya:
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.
Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Sekarang mari kita balik logaritma kedua:
Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menghitung logaritma.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.
Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari tuliskan dan singkirkan indikatornya:
Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:
Identitas logaritmik dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk merepresentasikan angka sebagai logaritma ke basis tertentu.
Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut seperti ini:
Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini menghasilkan angka a? Itu benar: ini adalah angka yang sama a. Baca lagi paragraf ini dengan hati-hati - banyak orang "bertahan" di situ.
Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari alas dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:
Jika seseorang tidak mengetahuinya, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu 🙂
Satuan logaritmik dan nol logaritmik
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit disebut properti - sebaliknya, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".
- log a a = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
- log a 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! Karena 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.
Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan soal.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).
|
Contoh: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Karena \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
Karena \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argumen dan basis logaritma
Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:
Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."
Bagaimana cara menghitung logaritma?
Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?
Misalnya, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Pangkat berapa \(4\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Pangkat berapa \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka apa pun menjadi unit? Nol, tentu saja!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Pangkat apa \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu itu adalah kekuatan pecahan, yang berarti Akar pangkat dua adalah derajat \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Contoh : Menghitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Larutan :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Kita perlu menemukan nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Apa yang menghubungkan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Di sebelah kiri, kami menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Basisnya sama, kami melanjutkan ke persamaan indikator |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma |
Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Mengapa logaritma ditemukan?
Untuk memahami ini, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).
Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\) sama dengan x? Itulah intinya.
Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya nomor ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka membuat logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).
Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya sebagai desimal, akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)
Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)
Larutan :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Balikkan persamaan sehingga x ada di sebelah kiri |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan seperti angka biasa. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Bagilah persamaan dengan 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Inilah akar kita. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih. |
Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritma desimal dan natural
Seperti yang dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya bisa apa saja nomor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang begitu sering terjadi sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengannya:
Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah angka Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).
Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)
Logaritma desimal: Logaritma dengan basis 10 ditulis \(\lg(a)\).
Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.
Identitas logaritmik dasar
Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritmik dasar" dan terlihat seperti ini:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana tepatnya rumus ini muncul.
Mari kita ingat catatan pendek definisi logaritma:
jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)
Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) alih-alih \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritmik utama.
Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.
Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)
Larutan :
Menjawab : \(25\)
Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?
Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: angka apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.
Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Jadi, jika perlu, kita dapat menulis keduanya sebagai logaritma dengan basis apa saja di mana saja (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.
Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis alas dalam kubus sebagai argumen:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Dan dengan empat:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Dan dengan minus satu:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Dan dengan sepertiga:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Setiap angka \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Contoh : Menemukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Larutan :
Menjawab : \(1\)
