Masuk berdasarkan pangkalan. Ekspresi Logaritmik

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari baris terbawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Ini bisa dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Logaritma ke basis a dari argumen x adalah pangkat yang harus dipangkatkan angka a untuk mendapatkan angka x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga mencatat 2 64 = 6 karena 2 6 = 64 .

Operasi pencarian logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba temukan log 2 5 . Angka 5 tidak ada di tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka seperti itu disebut irasional: angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas waktu, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang yang bingung mana pangkalnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada siswa saya di pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Sebagai permulaan, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi tersebut:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat dengan eksponen rasional, yang definisi logaritmanya direduksi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun tetaplah satu unit. Karena itu, pertanyaan "kekuasaan apa yang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua" tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ dari logaritma terlihat seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 \u003d -1, karena 0,5 = 2 −1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun soal. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum perhitungan logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis terkecil yang mungkin lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik singkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Mendapat jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Mendapat jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Mendapat tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai kekuatan tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu angka bukanlah kekuatan pasti dari angka lain? Sangat sederhana - cukup uraikan menjadi faktor prima. Jika setidaknya ada dua faktor berbeda dalam pemuaian, jumlahnya bukanlah pangkat yang pasti.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari angka tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan pangkat pasti karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat pasti;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan penunjukan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Penunjukan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan penunjukan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk desimal.

logaritma alami

Ada logaritma lain yang memiliki notasinya sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah basis logaritma e, yaitu pangkat yang harus dipangkatkan bilangan e untuk mendapatkan bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi angka e? Ini adalah bilangan irasional nilai yang tepat tidak mungkin ditemukan dan dicatat. Ini hanya angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; Dalam e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural semua aturan yang benar untuk logaritma biasa adalah valid.

Logaritma, seperti angka apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara yang memungkinkan. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut properti dasar.

Anda harus mengetahui aturan ini - tidak ada masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan tanpanya. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penambahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log A X dan log A y. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangi, dan:

1. catatan A X+log A y= log A (X · y);
2. catatan A X−log A y= log A (X : y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: titik kunci di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika masing-masing bagiannya tidak diperhitungkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh-contohnya dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritma sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka yang cukup normal diperoleh. Berdasarkan fakta ini, banyak kertas ujian. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (terkadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan pada ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat dikeluarkan dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat itu aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Gambar keterangan]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Gambar keterangan]

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikatornya - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan yang tepat dari angka yang sama?

Rumus untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan itu diberikan log logaritma A X. Kemudian untuk nomor berapa pun C seperti yang C> 0 dan C≠ 1, persamaannya benar:

[Gambar keterangan]

Secara khusus, jika kita menempatkan C = X, kita mendapatkan:

[Gambar keterangan]

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", yaitu. logaritma ada di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Sekarang mari kita balik logaritma kedua:

[Gambar keterangan]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menghitung logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Gambar keterangan]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal, pindah ke basis baru:

[Gambar keterangan]

Identitas logaritmik dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk merepresentasikan angka sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomornya N menjadi eksponen argumen. Nomor N bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritmik dasar.

Memang, apa yang akan terjadi jika jumlahnya B meningkatkan kekuatan sehingga B sejauh ini memberikan nomor A? Itu benar: ini nomor yang sama A. Baca lagi paragraf ini dengan hati-hati - banyak orang "bertahan" di situ.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Gambar keterangan]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari alas dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

[Gambar keterangan]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari ujian :)

Satuan logaritmik dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit disebut properti - sebaliknya, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. catatan A A= 1 adalah satuan logaritmik. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun A dari basis ini sendiri sama dengan satu.
2. catatan A 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis A bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! Karena A 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan soal.

Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari yang sederhana ke yang kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama tentang ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan perhitungan yang besar terkait dengan perkalian dan pembagian angka multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penjumlahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya ahli matematika Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana dia menyadari gagasan banyak ahli matematika. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam formulir bilangan prima, tetapi juga untuk yang rasional sewenang-wenang.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma angka". Tabel kompleks baru disusun untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai bermunculan, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan untuk tiga abad. Butuh waktu lama sebelumnya operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil beroperasi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b ke basis a bilangan x, yang merupakan pangkat a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisinya. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.

Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.

Varietas logaritma

Definisi klasik disebut logaritma riil dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah garis batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.

Nilai sebenarnya dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan diberi nama tergantung pada nilai basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu perkalian sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan selisih fungsi.

Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma penjumlahan tidak sama dengan penjumlahan logaritma.

Selama berabad-abad, operasi pencarian logaritma merupakan tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat melelahkan dan ketika memecahkan masalah praktis sulit diimplementasikan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat seluruh pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan menggunakan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain mana pun. Insinyur lama untuk tujuan ini, yang disebut kertas grafik digunakan.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama kali muncul, yaitu untuk Abad XIX memperoleh tampilan selesai. Perangkat paling sukses disebut mistar hitung. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang mengenal perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuat tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.

Persamaan dan ketidaksetaraan

Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:

• Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk mengatasi ketidaksetaraan, penting untuk mengetahui:

• Nilai logaritma hanya akan bernilai positif jika basis dan argumen keduanya lebih besar atau lebih kecil dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
• Jika fungsi logaritma diterapkan pada ruas kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan memecahkan persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:

• Tugas 3. Menghitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut ini (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat dari sebuah angka sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawab: sebagai hasil perhitungan kita dapatkan 9.

Penggunaan praktis

Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari itu kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba diperoleh sangat penting untuk mendeskripsikan objek dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu di mana ia tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.

ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh ketergantungan numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang menggunakan metode matematika penelitian dan sekaligus menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.

Dimungkinkan untuk memecahkan masalah menghitung kuantitas yang kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar untuk teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln(M1/M2), dimana

• V adalah kecepatan akhir pesawat.
• I adalah impuls spesifik dari mesin.
• M 1 adalah massa awal roket.
• M 2 - massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan kesetimbangan dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

• S adalah properti termodinamika.
• k adalah konstanta Boltzmann.
• Ω adalah bobot statistik dari berbagai negara bagian.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:

• Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
• Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengan itu. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas rangsangan dengan nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh-contoh di atas, tidak heran jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.

Daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan mengatur semua hukum. Terutama ketika hukum alam terhubung dengan perkembangan geometris. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang kegiatan berikut:

Daftarnya bisa jadi tidak ada habisnya. Setelah menguasai hukum dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara memecahkan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Memahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengarnya.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana angka dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Nah, pertahankan waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana bekerja dengannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu logaritma dari sembarang bilangan non-negatif(yaitu positif apa pun) "b" ke basisnya "a" dianggap kekuatan "c" yang harus dinaikkan basis "a" untuk akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga gelar yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan angka 3! Dan memang demikian, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 pada jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis tertentu ekspresi logaritmik:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a, dengan basis 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritmik. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu didiskusikan dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara memecahkan logaritma?

Misalnya, tugas diberikan untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu, menaikkan angka sepuluh menjadi 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritma. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilai gelar yang tidak diketahui secara akurat, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang sama sekali tidak mengerti apa-apa dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris atas angka adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel ditentukan nilai angka yang merupakan jawabannya (a c =b). Ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis yang paling nyata pun akan mengerti!

Persamaan dan ketidaksetaraan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari propertinya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan itu dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - it is ketidaksetaraan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari bilangan yang diinginkan di basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan saat menyelesaikan pertidaksamaan, baik rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukanlah kumpulan angka individu yang sederhana, seperti dalam jawaban persamaan, tetapi rangkaian atau kumpulan angka yang berkelanjutan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika berbicara tentang persamaan atau ketidaksetaraan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dengan jelas dan diterapkan dalam praktik semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh persamaan nanti, pertama-tama mari kita menganalisis setiap properti secara lebih detail.

1. Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , lalu a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita dapatkan bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (properti derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang akan dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Itu menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log ab \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian dengan pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh soal dan persamaan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan untuk setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi pandangan umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritma, penting untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau logaritma desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural, seseorang perlu menerapkan identitas logaritmik atau properti mereka. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma dari berbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

1. Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana nilai besar b harus diuraikan menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, menggunakan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan pada pandangan pertama. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering dijumpai pada ujian masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada Ujian Negara Bersatu (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini tidak hanya ada di bagian A (yang paling mudah bagian uji ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "Logaritma alami".

Contoh dan solusi masalah diambil dari resmi GUNAKAN opsi. Mari kita lihat bagaimana tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita dapatkan 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga solusinya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma diindikasikan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengeluarkan eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.