Cara menulis solusi sistem persamaan. Sistem persamaan linier

Petunjuk

Metode penambahan.
Anda perlu menulis dua secara ketat di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara acak (dari sistem), masukkan angka 11 alih-alih "permainan" yang sudah ditemukan dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawaban sistem persamaan ini: x=116, y=11.

Cara grafis.
Ini terdiri dari penemuan praktis koordinat titik di mana garis secara matematis ditulis dalam sistem persamaan. Anda harus menggambar grafik dari kedua garis secara terpisah dalam sistem koordinat yang sama. Tampilan umum: - y \u003d kx + b. Untuk membuat garis lurus, cukup mencari koordinat dua titik, dan x dipilih secara sembarang.
Biarkan sistem diberikan: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Garis lurus dibuat sesuai dengan yang pertama, untuk kenyamanan perlu dituliskan: y \u003d 2x-4. Munculkan nilai (lebih mudah) untuk x, substitusikan ke dalam persamaan, selesaikan, temukan y. Dua poin diperoleh, di mana garis lurus dibangun. (lihat gambar.)
x 0 1

y -4 -2
Sebuah garis lurus dibangun menurut persamaan kedua: y \u003d -3x + 1.
Juga membangun garis. (lihat gambar.)

1-5
Temukan koordinat titik potong dua garis yang dibangun pada grafik (jika garis tidak berpotongan, maka sistem persamaan tidak memiliki - jadi).

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeda, jawabannya akan sama (jika solusinya benar).

Sumber:

• Aljabar Kelas 8
• selesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui secara online
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan adalah kumpulan catatan matematika, yang masing-masing berisi sejumlah variabel. Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda akan perlu

• -Penggaris dan pensil;
• -Kalkulator.

Petunjuk

Pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri dari persamaan linier berbentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Dimana x dan y adalah variabel yang tidak diketahui dan b,c adalah anggota bebas. Saat menerapkan metode ini, setiap sistem adalah koordinat titik-titik yang sesuai dengan setiap persamaan. Pertama, dalam setiap kasus, nyatakan satu variabel dalam variabel lainnya. Kemudian atur variabel x ke sejumlah nilai. Dua sudah cukup. Masukkan ke dalam persamaan dan temukan y. Bangun sistem koordinat, tandai titik yang diperoleh di atasnya dan buat garis lurus melaluinya. Perhitungan serupa harus dilakukan untuk bagian lain dari sistem.

Sistem memiliki solusi unik jika garis yang dibangun berpotongan dan satu titik umum. Tidak konsisten jika mereka sejajar satu sama lain. Dan itu memiliki banyak sekali solusi ketika garis-garis itu bergabung satu sama lain.

Cara ini dianggap sangat jelas. Kerugian utama adalah bahwa perhitungan yang tidak diketahui memiliki nilai perkiraan. Hasil yang lebih akurat diberikan oleh apa yang disebut metode aljabar.

Setiap solusi untuk sistem persamaan layak diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperoleh alih-alih variabel. Anda juga dapat menemukan solusinya dengan beberapa cara. Jika solusi dari sistem itu benar, maka semua orang harus mendapatkan hasil yang sama.

Seringkali ada persamaan yang salah satu sukunya tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, Anda perlu mengingat dan melakukan serangkaian tindakan tertentu dengan angka-angka ini.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - Pulpen atau pensil.

Petunjuk

Bayangkan Anda memiliki 8 kelinci di depan Anda, dan Anda hanya memiliki 5 wortel. Pikirkan Anda perlu membeli lebih banyak wortel agar setiap kelinci mendapat wortel.

Mari kita nyatakan masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan x dengan angka 3. Memang, 5 + 3 = 8.

Saat Anda mengganti angka dengan x, Anda melakukan operasi yang sama dengan mengurangkan 5 dari 8. Jadi, untuk mencari tidak dikenal istilah, kurangi istilah yang diketahui dari jumlah.

Katakanlah Anda memiliki 20 kelinci dan hanya 5 wortel. Mari menulis. Persamaan adalah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya. Huruf-huruf yang nilainya ingin Anda temukan disebut. Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, sebut saja x. Saat memecahkan masalah kita tentang kelinci, diperoleh persamaan berikut: 5 + x = 20.

Mari kita cari selisih antara 20 dan 5. Saat mengurangkan, bilangan yang dikurangkan dikurangi. Bilangan yang dikurangi disebut , dan hasil akhirnya disebut selisih. Jadi, x = 20 - 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 wortel untuk kelinci.

Periksa: 5 + 15 = 20. Persamaannya benar. Tentu saja kapan kita sedang berbicara tentang yang sederhana seperti itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Namun, jika menyangkut persamaan dengan tiga digit, empat digit, dan seterusnya, sangat penting untuk memeriksanya agar benar-benar yakin dengan hasil pekerjaan Anda.

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan ke selisihnya.

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi selisih dari pengurangan.

Tip 4: Cara menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, meskipun jumlah persamaannya cukup. Anda dapat mencoba menyelesaikannya menggunakan metode substitusi atau menggunakan metode Cramer. Metode Cramer, selain memecahkan sistem, memungkinkan seseorang untuk mengevaluasi apakah sistem tersebut dapat dipecahkan sebelum menemukan nilai-nilai yang tidak diketahui.

Petunjuk

Metode substitusi terdiri dari satu yang tidak diketahui melalui dua lainnya secara berurutan dan mensubstitusikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan di pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Nyatakan x dari persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke persamaan kedua dan ketiga, lalu nyatakan y dari persamaan kedua dan gantikan ke persamaan ketiga. Anda akan mendapatkan persamaan linier untuk z melalui koefisien persamaan sistem. Sekarang "kembali": masukkan z ke persamaan kedua dan temukan y, lalu masukkan z dan y ke persamaan pertama dan temukan x. Proses umumnya ditunjukkan pada gambar sampai z ditemukan. Selanjutnya, catatan dalam bentuk umum akan terlalu rumit, dalam praktiknya, mengganti , Anda dapat dengan mudah menemukan ketiga hal yang tidak diketahui.

Metode Cramer terdiri dari menyusun matriks sistem dan menghitung determinan matriks ini, serta tiga matriks bantu lainnya. Matriks sistem terdiri dari koefisien-koefisien pada suku-suku persamaan yang tidak diketahui. Kolom yang berisi angka di sisi kanan persamaan, kolom sisi kanan. Itu tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan saat menyelesaikan sistem.

Video Terkait

catatan

Semua persamaan dalam sistem harus menyediakan informasi tambahan yang tidak bergantung pada persamaan lainnya. Jika tidak, sistem akan tidak dapat ditentukan dan tidak mungkin menemukan solusi yang tidak ambigu.

Saran yang bermanfaat

Setelah menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemukan ke dalam sistem asli dan periksa apakah memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak dikenal memiliki banyak solusi, sehingga paling sering dilengkapi dengan dua persamaan atau kondisi lagi. Bergantung pada apa data awalnya, jalannya keputusan akan sangat bergantung.

Anda akan perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Petunjuk

Jika dua dari tiga sistem hanya memiliki dua dari tiga yang tidak diketahui, coba nyatakan beberapa variabel dalam istilah yang lain dan masukkan ke dalam persamaan dengan tiga tidak dikenal. Tujuan Anda dengan ini adalah mengubahnya menjadi normal persamaan dengan yang tidak diketahui. Jika ini , solusi selanjutnya cukup sederhana - gantikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan lain dan temukan semua yang tidak diketahui lainnya.

Beberapa sistem persamaan dapat dikurangkan dari satu persamaan dengan persamaan lainnya. Lihat apakah mungkin untuk mengalikan salah satu dengan atau variabel sehingga dua yang tidak diketahui berkurang sekaligus. Jika ada peluang seperti itu, gunakanlah, kemungkinan besar keputusan selanjutnya tidak akan sulit. Jangan lupa bahwa saat mengalikan dengan suatu angka, Anda harus mengalikan sisi kiri dan sisi kanan. Demikian pula, saat mengurangkan persamaan, ingatlah bahwa ruas kanan juga harus dikurangi.

Jika cara-cara sebelumnya tidak membantu, gunakan metode umum untuk menyelesaikan persamaan apa pun dengan tiga tidak dikenal. Untuk melakukan ini, tulis ulang persamaan dalam bentuk a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sekarang buatlah matriks koefisien pada x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Perhatikan, kalikan matriks koefisien dengan matriks yang tidak diketahui, Anda mendapatkan matriks, matriks anggota bebas, yaitu A * X \u003d B.

Temukan matriks A pangkat (-1) setelah menemukan , perhatikan bahwa itu tidak boleh sama dengan nol. Setelah itu, kalikan matriks yang dihasilkan dengan matriks B, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan matriks X yang diinginkan, yang menunjukkan semua nilainya.

Anda juga dapat menemukan solusi untuk sistem tiga persamaan menggunakan metode Cramer. Untuk melakukannya, cari determinan orde ketiga ∆ yang sesuai dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut temukan tiga determinan lagi ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai suku bebas alih-alih nilai kolom yang sesuai. Sekarang temukan x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• solusi persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Mulai memecahkan sistem persamaan, cari tahu apa persamaan ini. Metode penyelesaian persamaan linier dipelajari dengan baik. Persamaan nonlinear paling sering tidak diselesaikan. Hanya ada satu kasus khusus, yang masing-masing bersifat individual. Oleh karena itu, studi tentang metode penyelesaian harus dimulai dengan persamaan linier. Persamaan semacam itu dapat diselesaikan bahkan secara algoritmik murni.

penyebut dari yang tidak diketahui yang ditemukan persis sama. Ya, dan pembilangnya terlihat beberapa pola konstruksinya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar dari dua, maka metode eliminasi akan menghasilkan perhitungan yang sangat rumit. Untuk menghindarinya, solusi algoritmik murni telah dikembangkan. Yang paling sederhana adalah algoritma Cramer (rumus Cramer). Untuk Anda harus tahu sistem umum persamaan dari n persamaan.

Sistem n persamaan aljabar linier dengan n yang tidak diketahui memiliki bentuk (lihat Gambar 1a). Di dalamnya, aij adalah koefisien sistem,
хj – tidak diketahui, bi – anggota bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem seperti itu dapat ditulis secara ringkas dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, X adalah matriks kolom yang tidak diketahui, B adalah matriks kolom suku bebas (lihat Gambar 1b). Menurut metode Cramer, masing-masing diketahui xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinan ∆ dari matriks koefisien disebut determinan utama, dan ∆i disebut bantu. Untuk setiap yang tidak diketahui, determinan bantu ditemukan dengan mengganti kolom ke-i dari determinan utama dengan kolom suku bebas. Metode Cramer untuk kasus sistem orde kedua dan ketiga disajikan secara rinci pada Gambar. 2.

Suatu sistem adalah gabungan dari dua atau lebih persamaan, yang masing-masing memiliki dua atau lebih yang tidak diketahui. Ada dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang digunakan dalam kerangka kerja kurikulum sekolah. Salah satunya disebut metode, yang lainnya adalah metode penjumlahan.

Bentuk standar dari sistem dua persamaan

Pada bentuk standar persamaan pertama adalah a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua adalah a2*x+b2*y=c2, dan seterusnya. Misalnya, dalam kasus dua bagian sistem di keduanya diberikan a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa koefisien numerik yang disajikan dalam persamaan tertentu. Pada gilirannya, x dan y tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang diinginkan mengubah kedua persamaan secara bersamaan menjadi persamaan yang sebenarnya.

Penyelesaian sistem dengan metode penjumlahan

Untuk menyelesaikan sistem, yaitu menemukan nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi persamaan yang sebenarnya, Anda perlu mengambil beberapa langkah sederhana. Yang pertama adalah mengubah salah satu persamaan sedemikian rupa sehingga koefisien numerik untuk variabel x atau y di kedua persamaan bertepatan dalam nilai absolut, tetapi berbeda tanda.

Misalnya, biarkan sistem yang terdiri dari dua persamaan diberikan. Yang pertama berbentuk 2x+4y=8, yang kedua berbentuk 6x+2y=6. Salah satu opsi untuk menyelesaikan tugas adalah mengalikan persamaan kedua dengan faktor -2, yang akan menghasilkan bentuk -12x-4y=-12. Pilihan koefisien yang benar adalah salah satu tugas utama dalam proses penyelesaian sistem dengan metode penjumlahan, karena ini menentukan keseluruhan prosedur selanjutnya untuk menemukan yang tidak diketahui.

Sekarang perlu menambahkan dua persamaan dari sistem. Jelas, penghancuran bersama variabel dengan nilai yang sama tetapi koefisien tanda berlawanan akan mengarah ke bentuk -10x = -4. Setelah itu, perlu untuk menyelesaikan persamaan sederhana ini, yang darinya jelas mengikuti bahwa x=0,4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah substitusi dari nilai yang ditemukan dari salah satu variabel dalam salah satu persamaan awal yang tersedia dalam sistem. Misalnya, mensubstitusikan x=0,4 ke persamaan pertama, Anda bisa mendapatkan ekspresi 2*0,4+4y=8, dari mana y=1,8. Jadi, x=0.4 dan y=1.8 adalah akar dari sistem yang ditunjukkan pada contoh.

Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, ada baiknya memeriksa dengan mensubstitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan kedua dari sistem. Misalnya, di kasus ini persamaan bentuk 0,4*6+1,8*2=6 diperoleh, yang benar.

Video Terkait

Dengan program matematika ini, Anda dapat menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua variabel menggunakan metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program tidak hanya memberikan jawaban dari permasalahan, tetapi juga memberikan solusi secara detail dengan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya dalam dua cara yaitu metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah pendidikan umum dalam persiapan untuk pekerjaan kontrol dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum ujian, orang tua mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku teks baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya sesegera mungkin? pekerjaan rumah matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan demikian, Anda dapat melakukan Anda pelatihan sendiri dan/atau pembinaan adik-adiknya, sedangkan tingkat pendidikan di bidang tugas-tugas yang harus diselesaikan ditingkatkan.

Aturan untuk Memasukkan Persamaan

Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.

Saat memasukkan persamaan Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, persamaan disederhanakan terlebih dahulu. Persamaan setelah penyederhanaan harus linier, yaitu dari bentuk ax+by+c=0 dengan akurasi urutan elemen.
Contoh: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, Anda tidak hanya dapat menggunakan bilangan bulat, tetapi juga bilangan pecahan dalam bentuk desimal dan pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya: 2,1n + 3,5m = 55

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Memecahkan sistem persamaan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Anda telah menonaktifkan JavaScript di browser Anda.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda antri.
Setelah beberapa detik, solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menuliskannya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam bidang.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Memecahkan sistem persamaan linier. Metode substitusi

Urutan tindakan saat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode substitusi:
1) ungkapkan satu variabel dari beberapa persamaan sistem dalam istilah lain;
2) gantikan ekspresi yang dihasilkan dengan persamaan lain dari sistem, bukan variabel ini;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \kanan. $$

Mari nyatakan dari persamaan pertama y sampai x: y = 7-3x. Mengganti ekspresi 7-3x alih-alih y ke dalam persamaan kedua, kita mendapatkan sistemnya:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \kanan. $$

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sistem pertama dan kedua memiliki solusi yang sama. Pada sistem kedua, persamaan kedua hanya berisi satu variabel. Mari kita selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Panah Kanan -5x+14-6x=3 \Panah Kanan -11x=-11 \Panah Kanan x=1 $$

Mengganti angka 1 alih-alih x ke dalam persamaan y=7-3x, kita menemukan nilai y yang sesuai:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Panah Kanan y=4 $$

Pair (1;4) - solusi dari sistem

Sistem persamaan dalam dua variabel yang memiliki solusi yang sama disebut setara. Sistem yang tidak memiliki solusi juga dianggap setara.

Memecahkan sistem persamaan linier dengan menjumlahkan

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier - metode penjumlahan. Saat menyelesaikan sistem dengan cara ini, serta saat menyelesaikan dengan metode substitusi, kita berpindah dari sistem tertentu ke sistem lain yang ekuivalen dengannya, di mana salah satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Urutan tindakan saat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode penjumlahan:
1) mengalikan persamaan suku sistem dengan suku, memilih faktor sehingga koefisien salah satu variabel menjadi bilangan yang berlawanan;
2) menjumlahkan suku demi suku bagian kiri dan kanan persamaan sistem;
3) selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel;
4) temukan nilai yang sesuai dari variabel kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dalam persamaan sistem ini, koefisien y adalah bilangan yang berlawanan. Menjumlahkan suku demi suku bagian kiri dan kanan persamaan, kita memperoleh persamaan dengan satu variabel 3x=33. Mari kita ganti salah satu persamaan sistem, misalnya yang pertama, dengan persamaan 3x=33. Mari kita dapatkan sistemnya
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dari persamaan 3x=33 kita menemukan bahwa x=11. Mengganti nilai x ini ke dalam persamaan \(x-3y=38 \) kita mendapatkan persamaan dengan variabel y: \(11-3y=38 \). Mari kita selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Panah Kanan y=-9 \)

Jadi, kami menemukan solusi untuk sistem persamaan dengan menambahkan: \(x=11; y=-9 \) atau \((11; -9) \)

Mengambil keuntungan dari fakta bahwa koefisien y dalam persamaan sistem adalah bilangan yang berlawanan, kami mengurangi solusinya menjadi solusi dari sistem yang setara (dengan menjumlahkan kedua bagian dari setiap persamaan dari symmeme asli), di mana satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Buku (buku teks) Abstrak Ujian Negara Bersatu dan tes OGE game online, teka-teki Konstruksi grafik fungsi Kamus Ejaan Bahasa Rusia Kamus bahasa gaul pemuda Direktori sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universitas Rusia Daftar tugas
Kami akan menganalisis dua jenis penyelesaian sistem persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Solusi sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritme sederhana:
1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami menggantinya dengan persamaan lain alih-alih variabel yang diekspresikan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan istilah demi istilah penambahan (pengurangan) perlu:
1. Pilih variabel yang koefisiennya akan kita buat sama.
2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sebagai hasilnya kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Solusi dari sistem adalah titik potong dari grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Terlihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata paling mudah untuk menyatakan variabel x dari persamaan kedua.
x=3+10y

2. Setelah diekspresikan, kita substitusikan 3 + 10y pada persamaan pertama, bukan variabel x.
2(3+10y)+5y=1

3. Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (kurung buka)
6+20y+5y=1
25 tahun=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Solusi dari sistem persamaan adalah titik potong dari grafik, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, di paragraf pertama di mana kita menyatakan kita mensubstitusikan y disana.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kita menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.

Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan bilangan berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Selesaikan persamaan linier.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah di persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Titik potongnya adalah x=4,6; y=6,4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Tutor daring gratis. Tidak bercanda.

Mari kita ingat definisi solusi untuk sistem persamaan dalam dua variabel.

Definisi 1

Sepasang bilangan disebut solusi dari sistem persamaan dengan dua variabel jika, ketika mereka disubstitusi ke dalam persamaan, persamaan yang benar diperoleh.

Berikut ini, kita akan membahas sistem dua persamaan dengan dua variabel.

Ada empat cara dasar untuk memecahkan sistem persamaan: metode substitusi, metode penjumlahan, metode grafis, metode manajemen variabel baru. Mari kita lihat metode-metode ini contoh konkret. Untuk menjelaskan prinsip penggunaan tiga metode pertama, kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

Metode substitusi

Metode substitusi adalah sebagai berikut: salah satu dari persamaan ini diambil dan $y$ dinyatakan dalam bentuk $x$, lalu $y$ disubstitusi ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $x.$ ditemukan. Setelah itu, kita dapat dengan mudah menghitung variabel $y.$

Contoh 1

Mari kita nyatakan dari persamaan kedua $y$ dalam bentuk $x$:

Substitusikan ke persamaan pertama, temukan $x$:

\ \ \

Temukan $y$:

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Metode penambahan.

Pertimbangkan metode ini dengan sebuah contoh:

Contoh 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Kalikan persamaan kedua dengan 3, kita dapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan bersama-sama:

\ \ \

Temukan $y$ dari persamaan kedua:

\[-6-y=-9\] \

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Catatan 1

Perhatikan bahwa dalam metode ini perlu mengalikan satu atau kedua persamaan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika menambahkan salah satu variabel "menghilang".

Cara grafis

Metode grafisnya adalah sebagai berikut: kedua persamaan sistem ditampilkan pada bidang koordinat dan titik perpotongannya ditemukan.

Contoh 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Mari kita nyatakan $y$ dari kedua persamaan dalam bentuk $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Mari menggambar kedua grafik pada bidang yang sama:

Gambar 1.

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Bagaimana memperkenalkan variabel baru

Kami akan mempertimbangkan metode ini dalam contoh berikut:

Contoh 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Larutan.

Sistem ini setara dengan sistem

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Kanan.\]

Misalkan $2^x=u\ (u>0)$ dan $3^y=v\ (v>0)$, kita dapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Kami menyelesaikan sistem yang dihasilkan dengan metode penjumlahan. Mari tambahkan persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan itu

Kembali ke substitusi, kita dapatkan sistem baru persamaan eksponensial:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Kita mendapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Konten pelajaran

Persamaan Linear dengan Dua Variabel

Siswa tersebut memiliki 200 rubel untuk makan siang di sekolah. Kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dapat Anda beli seharga 200 rubel?

Tunjukkan jumlah kue melalui X, dan jumlah cangkir kopi yang dilalui y. Maka biaya kue akan dilambangkan dengan ekspresi 25 X, dan biaya cangkir kopi dalam 10 y .

25X- harga X Kue
10y- harga y cangkir kopi

Jumlah totalnya harus 200 rubel. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan dua variabel X Dan y

25X+ 10y= 200

Berapa banyak akar persamaan ini?

Itu semua tergantung selera siswa. Jika dia membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi, maka akar persamaannya adalah angka 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai akar dari Persamaan 25 X+ 10y= 200 . Ditulis sebagai (6; 5) , dengan angka pertama adalah nilai variabel X, dan yang kedua - nilai variabel y .

6 dan 5 bukan satu-satunya akar yang membalikkan Persamaan 25 X+ 10y= 200 untuk identitas. Jika diinginkan, dengan 200 rubel yang sama, seorang siswa dapat membeli 4 kue dan 10 cangkir kopi:

Dalam hal ini, akar persamaan 25 X+ 10y= 200 adalah pasangan nilai (4; 10) .

Selain itu, seorang siswa tidak boleh membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kue seharga 200 rubel. Kemudian akar persamaan 25 X+ 10y= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan beli kue, tapi beli kopi seharga 200 rubel. Kemudian akar persamaan 25 X+ 10y= 200 akan menjadi nilai 0 dan 20

Mari kita coba mendaftar semua kemungkinan akar persamaan 25 X+ 10y= 200 . Mari kita setuju bahwa nilai-nilai X Dan y milik himpunan bilangan bulat. Dan biarkan nilai-nilai ini lebih besar dari atau sama dengan nol:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi akan nyaman bagi siswa itu sendiri. Kue lebih mudah dibeli utuh daripada, misalnya, beberapa kue utuh dan setengah kue. Kopi juga lebih nyaman untuk diminum dalam cangkir utuh daripada, misalnya, beberapa cangkir utuh dan setengah cangkir.

Perhatikan bahwa untuk ganjil X tidak mungkin mencapai kesetaraan di bawah siapa pun y. Kemudian nilai-nilai X akan ada angka berikut 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui X dapat dengan mudah ditentukan y

Jadi, kami mendapat pasangan nilai berikut (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini adalah solusi atau akar dari Persamaan 25 X+ 10y= 200. Mereka mengubah persamaan ini menjadi identitas.

Ketik persamaan kapak + oleh = c ditelepon persamaan linier dengan dua variabel. Solusi atau akar persamaan ini adalah pasangan nilai ( X; y), yang mengubahnya menjadi identitas.

Perhatikan juga bahwa jika persamaan linier dengan dua variabel ditulis sebagai kapak + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahwa itu tertulis resmi bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linier dalam dua variabel dapat direduksi menjadi bentuk kanonis.

Misalnya persamaan 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) dapat dibawa ke pikiran kapak + oleh = c. Mari buka tanda kurung di kedua bagian persamaan ini, kita dapatkan 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui dikelompokkan di sisi kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari yang tidak diketahui dikelompokkan di sebelah kanan. Lalu kita dapatkan 32X - 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Kami membawa istilah serupa di kedua bagian, kami mendapatkan persamaan 16 X+ 8y= 32. Persamaan ini direduksi menjadi bentuk kapak + oleh = c dan kanonik.

Persamaan 25 dipertimbangkan sebelumnya X+ 10y= 200 juga merupakan persamaan linier dua variabel dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini, parameternya A , B Dan C masing-masing sama dengan nilai 25, 10 dan 200.

Sebenarnya persamaan kapak + oleh = c memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Memecahkan Persamaan 25X+ 10y= 200, kami mencari akarnya hanya pada himpunan bilangan bulat. Hasilnya, kami memperoleh beberapa pasang nilai yang mengubah persamaan ini menjadi identitas. Tetapi pada himpunan bilangan rasional persamaan 25 X+ 10y= 200 akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baru, Anda perlu mengambil nilai arbitrer X, lalu ekspresikan y. Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah variabel X nilai 7. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 25×7 + 10y= 200 di mana untuk mengekspresikan y

Membiarkan X= 15 . Kemudian persamaan 25X+ 10y= 200 menjadi 25 × 15 + 10y= 200. Dari sini kita menemukan itu y = −17,5

Membiarkan X= −3 . Kemudian persamaan 25X+ 10y= 200 menjadi 25 × (−3) + 10y= 200. Dari sini kita menemukan itu y = −27,5

Sistem dua persamaan linier dengan dua variabel

Untuk persamaan kapak + oleh = c Anda dapat mengambil beberapa kali nilai arbitrer X dan temukan nilai untuk y. Diambil secara terpisah, persamaan seperti itu akan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Tetapi itu juga terjadi pada variabel X Dan y dihubungkan bukan dengan satu, tetapi dengan dua persamaan. Dalam hal ini, mereka membentuk apa yang disebut sistem persamaan linear dengan dua variabel. Sistem persamaan seperti itu dapat memiliki sepasang nilai (atau dengan kata lain: "satu solusi").

Mungkin juga terjadi bahwa sistem tidak memiliki solusi sama sekali. Suatu sistem persamaan linier dapat memiliki jumlah penyelesaian tak terhingga dalam kasus yang jarang dan luar biasa.

Dua persamaan linear membentuk sistem ketika nilai-nilai X Dan y dimasukkan ke dalam masing-masing persamaan tersebut.

Mari kita kembali ke persamaan pertama 25 X+ 10y= 200 . Salah satu pasangan nilai persamaan ini adalah pasangan (6; 5) . Ini adalah kasus ketika 200 rubel dapat membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi.

Mari kita susun masalahnya sehingga pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya solusi untuk Persamaan 25 X+ 10y= 200 . Untuk melakukan ini, kami membuat persamaan lain yang akan menghubungkan persamaan yang sama X kue dan y cangkir kopi.

Mari kita letakkan teks tugas sebagai berikut:

“Seorang anak sekolah membeli beberapa kue dan beberapa cangkir kopi seharga 200 rubel. Kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli siswa tersebut jika diketahui jumlah kue lebih banyak dari jumlah cangkir kopi?

Kami sudah memiliki persamaan pertama. Ini adalah Persamaan 25 X+ 10y= 200 . Sekarang mari kita tulis persamaan untuk kondisi tersebut "Jumlah kue satu satuan lebih banyak dari jumlah cangkir kopi" .

Banyaknya kue adalah X, dan banyaknya cangkir kopi adalah y. Anda dapat menulis frasa ini menggunakan persamaan x − y= 1. Persamaan ini berarti selisih antara kue dan kopi adalah 1.

x=y+ 1 . Persamaan ini berarti jumlah kue lebih dari jumlah cangkir kopi. Oleh karena itu, untuk mendapatkan pemerataan, ditambahkan satu cangkir kopi. Ini dapat dengan mudah dipahami jika kita menggunakan model bobot yang kita pertimbangkan saat mempelajari masalah paling sederhana:

Punya dua persamaan: 25 X+ 10y= 200 dan x=y+ 1. Sejak nilainya X Dan y, yaitu 6 dan 5 dimasukkan ke dalam masing-masing persamaan tersebut, kemudian bersama-sama membentuk suatu sistem. Mari kita tuliskan sistem ini. Jika persamaan membentuk suatu sistem, maka persamaan tersebut dibingkai oleh tanda sistem tersebut. Tanda sistem adalah kurung kurawal:

Mari kita selesaikan sistem ini. Ini akan memungkinkan kita untuk melihat bagaimana kita sampai pada nilai 6 dan 5. Ada banyak metode untuk menyelesaikan sistem seperti itu. Pertimbangkan yang paling populer di antara mereka.

Metode Pergantian

Nama metode ini berbicara sendiri. Esensinya adalah mengganti satu persamaan dengan yang lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu variabel.

Dalam sistem kami, tidak ada yang perlu diungkapkan. Pada persamaan kedua X = y+ 1 variabel X sudah diungkapkan. Variabel ini sama dengan ekspresi y+ 1 . Kemudian Anda dapat mengganti ekspresi ini di persamaan pertama alih-alih variabel X

Setelah mengganti ekspresi y+ 1 ke dalam persamaan pertama sebagai gantinya X, kita mendapatkan persamaan 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ini adalah persamaan linier dengan satu variabel. Persamaan ini cukup mudah dipecahkan:

Kami menemukan nilai variabel y. Sekarang kita mengganti nilai ini ke salah satu persamaan dan menemukan nilainya X. Untuk ini, lebih mudah menggunakan persamaan kedua X = y+ 1 . Mari kita menempatkan nilai ke dalamnya y

Jadi pasangan (6; 5) adalah solusi dari sistem persamaan, seperti yang kita maksudkan. Kami memeriksa dan memastikan bahwa pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Gantikan persamaan pertama X= 2 + y ke dalam persamaan kedua 3 X - 2y= 9 . Pada persamaan pertama, variabel X sama dengan ekspresi 2 + y. Kami mengganti ungkapan ini ke persamaan kedua alih-alih X

Sekarang mari kita cari nilainya X. Untuk melakukan ini, gantikan nilainya y ke dalam persamaan pertama X= 2 + y

Jadi solusi dari sistem tersebut adalah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, salah satu variabel tidak dinyatakan secara eksplisit.

Untuk mensubstitusikan satu persamaan ke persamaan lainnya, pertama-tama Anda perlu .

Sangat diinginkan untuk menyatakan variabel yang memiliki koefisien satu. Unit koefisien memiliki variabel X, yang terdapat pada persamaan pertama X+ 2y= 11 . Mari ungkapkan variabel ini.

Setelah ekspresi variabel X, sistem kami akan terlihat seperti ini:

Sekarang kita mengganti persamaan pertama ke persamaan kedua dan menemukan nilainya y

Pengganti y X

Jadi solusi dari sistem tersebut adalah pasangan nilai (3; 4)

Tentu saja, Anda juga bisa mengekspresikan variabel y. Akarnya tidak akan berubah. Tetapi jika Anda mengungkapkan y, hasilnya bukanlah persamaan yang sangat sederhana, yang solusinya akan memakan waktu lebih lama. Ini akan terlihat seperti ini:

Kami melihat bahwa di contoh ini untuk mengekspresikan X jauh lebih nyaman daripada mengungkapkan y .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:

Nyatakan dalam persamaan pertama X. Maka sistem akan mengambil bentuk:

y

Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan temukan X. Anda dapat menggunakan persamaan asli 7 X+ 9y= 8 , atau gunakan persamaan yang menyatakan variabel X. Kami akan menggunakan persamaan ini, karena lebih mudah:

Jadi solusi dari sistem tersebut adalah pasangan nilai (5; −3)

Metode penambahan

Metode penjumlahan adalah menjumlahkan suku demi suku persamaan yang termasuk dalam sistem. Penambahan ini menghasilkan persamaan satu variabel baru. Dan cukup mudah untuk menyelesaikan persamaan ini.

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut:

Tambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Kami mendapatkan persamaan berikut:

Berikut adalah istilah serupa:

Hasilnya, kami memperoleh persamaan 3 paling sederhana X= 27 yang akarnya 9. Mengetahui nilainya X Anda dapat menemukan nilainya y. Ganti nilainya X ke dalam persamaan kedua x − y= 3 . Kami mendapat 9− y= 3 . Dari sini y= 6 .

Jadi solusi dari sistem tersebut adalah pasangan nilai (9; 6)

Contoh 2

Tambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Dalam kesetaraan yang dihasilkan, kami menyajikan istilah-istilah serupa:

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan 5 paling sederhana X= 20, yang akarnya adalah 4. Mengetahui nilainya X Anda dapat menemukan nilainya y. Ganti nilainya X ke dalam persamaan pertama 2 x+y= 11 . Ayo dapatkan 8+ y= 11 . Dari sini y= 3 .

Jadi solusi dari sistem tersebut adalah pasangan nilai (4;3)

Proses penambahan tidak dijelaskan secara rinci. Itu harus dilakukan dalam pikiran. Saat menambahkan, kedua persamaan harus direduksi menjadi bentuk kanonik. Artinya, untuk pikiran ac+oleh=c .

Dari contoh-contoh yang dipertimbangkan, terlihat bahwa tujuan utama penjumlahan persamaan adalah untuk menghilangkan salah satu variabel. Tetapi tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan dengan metode penjumlahan. Paling sering, sistem awalnya dibawa ke bentuk yang memungkinkan untuk menambahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Misalnya, sistem dapat diselesaikan langsung dengan metode penjumlahan. Saat menjumlahkan kedua persamaan, istilahnya y Dan −y lenyap karena jumlahnya nol. Hasilnya, persamaan paling sederhana terbentuk 11 X= 22 , yang akarnya adalah 2. Maka dimungkinkan untuk ditentukan y sama dengan 5.

Dan sistem persamaan metode penjumlahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, karena ini tidak akan menyebabkan hilangnya salah satu variabel. Penjumlahan akan menghasilkan Persamaan 8 X+ y= 28 , yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Jika kedua bagian persamaan tersebut dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak sama dengan nol, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh. Aturan ini juga berlaku untuk sistem persamaan linier dengan dua variabel. Salah satu persamaan (atau kedua persamaan) dapat dikalikan dengan beberapa angka. Hasilnya adalah sistem yang setara, yang akarnya akan sama dengan yang sebelumnya.

Mari kembali ke sistem pertama, yang menjelaskan berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli siswa. Solusi dari sistem ini adalah sepasang nilai (6; 5) .

Kami mengalikan kedua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa angka. Misalkan kita mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3

Hasilnya adalah sebuah sistem
Penyelesaian sistem ini masih berupa pasangan nilai (6; 5)

Ini berarti persamaan yang termasuk dalam sistem dapat direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk penerapan metode penjumlahan.

Kembali ke sistem , yang tidak dapat kami selesaikan dengan metode penjumlahan.

Kalikan persamaan pertama dengan 6 dan persamaan kedua dengan −2

Kemudian kita mendapatkan sistem berikut:

Kami menambahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini. Penambahan komponen 12 X dan -12 X akan menghasilkan 0, penambahan 18 y dan 4 y akan memberikan 22 y, dan menambahkan 108 dan −20 menghasilkan 88. Kemudian Anda mendapatkan persamaan 22 y= 88 , jadi y = 4 .

Jika pada awalnya sulit untuk menambahkan persamaan dalam pikiran Anda, maka Anda dapat menuliskan bagaimana ruas kiri persamaan pertama ditambahkan ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan persamaan pertama ke ruas kanan persamaan persamaan kedua:

Mengetahui bahwa nilai variabel y adalah 4, Anda dapat menemukan nilainya X. Pengganti y ke salah satu persamaan, misalnya ke persamaan pertama 2 X+ 3y= 18 . Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 2 X+ 12 = 18 . Kami mentransfer 12 ke sisi kanan, mengubah tandanya, kami mendapat 2 X= 6 , jadi X = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan kedua dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari tambahkan kedua persamaan. Penambahan komponen X Dan −x akan menghasilkan 0, penambahan 5 y dan 3 y akan memberikan 8 y, dan menambahkan 7 dan 1 menghasilkan 8. Hasilnya adalah persamaan 8 y= 8 , yang akarnya adalah 1. Mengetahui bahwa nilainya y adalah 1, Anda dapat menemukan nilainya X .

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita dapatkan X+ 5 = 7 , jadi X= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode penjumlahan:

Sebaiknya suku-suku yang mengandung variabel yang sama ditempatkan satu di bawah yang lain. Oleh karena itu, dalam persamaan kedua, istilah 5 y dan −2 X berganti tempat. Akibatnya, sistem akan mengambil bentuk:

Kalikan persamaan kedua dengan 3. Maka sistem akan berbentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil penjumlahan, kita mendapatkan persamaan 8 y= 16 , yang akarnya adalah 2.

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita mendapatkan 6 X− 14 = 40 . Kami memindahkan suku −14 ke sisi kanan, mengubah tandanya, kami mendapatkan 6 X= 54 . Dari sini X= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode penjumlahan:

Mari kita singkirkan pecahan. Kalikan persamaan pertama dengan 36 dan persamaan kedua dengan 12

Dalam sistem yang dihasilkan persamaan pertama dapat dikalikan dengan −5 dan persamaan kedua dengan 8

Mari tambahkan persamaan dalam sistem yang dihasilkan. Kemudian kita mendapatkan persamaan paling sederhana −13 y= −156 . Dari sini y= 12 . Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan temukan X

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode penjumlahan:

Kami membawa kedua persamaan ke bentuk normal. Di sini lebih mudah untuk menerapkan aturan proporsi di kedua persamaan. Jika dalam persamaan pertama sisi kanan direpresentasikan sebagai , dan sisi kanan persamaan kedua sebagai , maka sistem akan berbentuk:

Kami memiliki proporsi. Kami mengalikan suku ekstrim dan tengahnya. Maka sistem akan mengambil bentuk:

Kami mengalikan persamaan pertama dengan −3, dan membuka tanda kurung di persamaan kedua:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil dari penjumlahan persamaan ini, kita mendapatkan persamaan, yang kedua bagiannya akan menjadi nol:

Ternyata sistem tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Tapi kita tidak bisa begitu saja mengambil nilai sewenang-wenang dari langit X Dan y. Kami dapat menentukan salah satu nilai, dan yang lainnya akan ditentukan tergantung pada nilai yang kami tentukan. Misalnya, biarkan X= 2 . Ganti nilai ini ke dalam sistem:

Sebagai hasil dari penyelesaian salah satu persamaan, nilai untuk y, yang akan memenuhi kedua persamaan:

Pasangan nilai yang dihasilkan (2; −2) akan memenuhi sistem:

Mari kita cari pasangan nilai lainnya. Membiarkan X= 4. Gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Itu bisa ditentukan oleh mata itu y sama dengan nol. Kemudian kami mendapatkan sepasang nilai (4; 0), yang memenuhi sistem kami:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan pertama dengan 6 dan persamaan kedua dengan 12

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kalikan persamaan pertama dengan −1. Maka sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan. Sebagai hasil penjumlahan, persamaan 6 terbentuk B= 48 , yang akarnya adalah 8. Pengganti B ke dalam persamaan pertama dan temukan A

Sistem persamaan linier dengan tiga variabel

Persamaan linier dengan tiga variabel mencakup tiga variabel dengan koefisien, serta intersep. Dalam bentuk kanonik, dapat ditulis sebagai berikut:

kapak + oleh + cz = d

Persamaan ini memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Memberikan dua variabel berbagai arti, Anda dapat menemukan nilai ketiga. Solusi dalam hal ini adalah tiga nilai ( X; y; z) yang mengubah persamaan menjadi identitas.

Jika variabel x, y, z dihubungkan oleh tiga persamaan, maka terbentuk sistem tiga persamaan linier dengan tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem seperti itu, Anda dapat menerapkan metode yang sama yang berlaku untuk persamaan linier dengan dua variabel: metode substitusi dan metode penjumlahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:

Kami menyatakan dalam persamaan ketiga X. Maka sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita lakukan substitusi. Variabel X sama dengan ekspresi 3 − 2y − 2z . Gantikan ungkapan ini ke persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka tanda kurung di kedua persamaan dan berikan istilah yang serupa:

Kami telah sampai pada sistem persamaan linier dengan dua variabel. Dalam hal ini, lebih mudah menerapkan metode penjumlahan. Akibatnya, variabel y akan hilang dan kita dapat menemukan nilai dari variabel z

Sekarang mari kita cari nilainya y. Untuk ini, lebih mudah menggunakan persamaan − y+ z= 4. Gantikan nilainya z

Sekarang mari kita cari nilainya X. Untuk ini, lebih mudah menggunakan persamaan X= 3 − 2y − 2z . Gantikan nilai ke dalamnya y Dan z

Jadi, tripel nilai (3; −2; 2) adalah solusi untuk sistem kita. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem dengan metode penjumlahan

Tambahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dikalikan −2.

Jika persamaan kedua dikalikan dengan −2, maka persamaan tersebut akan berbentuk −6X+ 6y- 4z = −4 . Sekarang tambahkan ke persamaan pertama:

Kita melihat bahwa sebagai hasil transformasi elementer, nilai variabel ditentukan X. Itu sama dengan satu.

Kembali ke sistem utama. Tambahkan persamaan kedua dengan persamaan ketiga dikalikan −1. Jika persamaan ketiga dikalikan dengan −1, maka persamaan tersebut akan berbentuk −4X + 5y − 2z = −1 . Sekarang tambahkan ke persamaan kedua:

Punya persamaan X - 2y= −1 . Gantikan nilainya ke dalamnya X yang kami temukan sebelumnya. Kemudian kita dapat menentukan nilainya y

Kita sekarang tahu nilainya X Dan y. Ini memungkinkan Anda untuk menentukan nilainya z. Kami menggunakan salah satu persamaan yang termasuk dalam sistem:

Jadi, tripel nilai (1; 1; 1) adalah solusi untuk sistem kami. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Tugas untuk menyusun sistem persamaan linier

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memperkenalkan beberapa variabel. Selanjutnya, persamaan disusun berdasarkan kondisi masalah. Dari persamaan yang disusun, mereka membentuk sistem dan menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan sistem, perlu untuk memeriksa apakah solusinya memenuhi kondisi masalah.

Tugas 1. Sebuah mobil Volga meninggalkan kota menuju pertanian kolektif. Dia kembali melalui jalan lain, yang lebih pendek 5 km dari jalan pertama. Secara total, mobil menempuh jarak 35 km dua arah. Berapa kilometer panjang setiap jalan?

Larutan

Membiarkan X- panjang jalan pertama y- panjang detik. Jika mobil menempuh jarak 35 km dua arah, maka persamaan pertama dapat ditulis sebagai X+ y= 35. Persamaan ini menggambarkan jumlah panjang kedua jalan.

Konon mobil itu kembali menyusuri jalan yang jaraknya lebih pendek dari yang pertama sejauh 5 km. Maka persamaan kedua dapat ditulis sebagai X− y= 5. Persamaan ini menunjukkan bahwa selisih panjang jalan adalah 5 km.

Atau persamaan kedua dapat ditulis sebagai X= y+ 5 . Kami akan menggunakan persamaan ini.

Sejak variabel X Dan y dalam kedua persamaan menunjukkan angka yang sama, maka kita dapat membentuk sistem dari keduanya:

Mari selesaikan sistem ini menggunakan salah satu metode yang dipelajari sebelumnya. Dalam hal ini, lebih mudah menggunakan metode substitusi, karena dalam persamaan kedua variabelnya X sudah diungkapkan.

Substitusikan persamaan kedua ke persamaan pertama dan temukan y

Gantikan nilai yang ditemukan y ke dalam persamaan kedua X= y+ 5 dan temukan X

Panjang jalan pertama dilambangkan dengan variabel X. Sekarang kami telah menemukan artinya. Variabel X adalah 20. Jadi panjang jalan pertama adalah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan dengan y. Nilai variabel ini adalah 15. Jadi panjang jalan kedua adalah 15 km.

Mari kita lakukan pemeriksaan. Pertama, mari kita pastikan bahwa sistem diselesaikan dengan benar:

Sekarang mari kita periksa apakah solusi (20; 15) memenuhi kondisi masalah.

Dikatakan bahwa total mobil menempuh jarak 35 km dua arah. Kami menambahkan panjang kedua jalan dan memastikan bahwa solusi (20; 15) memenuhi keadaan ini: 20 km + 15 km = 35 km

Kondisi selanjutnya: mobil kembali melalui jalan lain, yang lebih pendek 5 km dari jalan pertama . Kita lihat bahwa solusi (20; 15) juga memenuhi syarat ini, karena 15 km lebih pendek dari 20 km kali 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Saat menyusun sistem, penting agar variabel menunjukkan angka yang sama di semua persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Jadi sistem kami berisi dua persamaan. Persamaan ini pada gilirannya mengandung variabel X Dan y, yang menunjukkan angka yang sama pada kedua persamaan, yaitu panjang jalan sama dengan 20 km dan 15 km.

Tugas 2. Bantalan kayu ek dan pinus dimuat ke peron, total 300 bantalan. Diketahui bahwa semua bantalan kayu ek memiliki berat kurang dari 1 ton dari semua bantalan pinus. Tentukan berapa banyak bantalan kayu ek dan pinus yang terpisah, jika setiap bantalan kayu ek memiliki berat 46 kg, dan setiap bantalan pinus 28 kg.

Larutan

Membiarkan X ek dan y bantalan pinus dimuat ke peron. Jika total ada 300 bantalan, maka persamaan pertama dapat ditulis sebagai x+y = 300 .

Semua bantalan kayu ek memiliki berat 46 X kg, dan pinus berbobot 28 y kg. Karena bantalan kayu ek beratnya 1 ton lebih ringan dari bantalan pinus, persamaan kedua dapat ditulis sebagai 28y- 46X= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahwa perbedaan massa antara bantalan kayu ek dan pinus adalah 1000 kg.

Ton telah diubah menjadi kilogram karena massa bantalan pohon ek dan pinus diukur dalam kilogram.

Hasilnya, kami memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Mari kita selesaikan sistem ini. Nyatakan dalam persamaan pertama X. Maka sistem akan mengambil bentuk:

Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua dan temukan y

Pengganti y ke dalam persamaan X= 300 − y dan mencari tahu apa X

Ini berarti 100 bantalan kayu ek dan 200 bantalan pinus telah dimuat ke peron.

Mari kita periksa apakah solusi (100; 200) memenuhi syarat dari soal. Pertama, mari kita pastikan bahwa sistem diselesaikan dengan benar:

Dikatakan bahwa total ada 300 orang yang tidur. Kami menjumlahkan jumlah bantalan kayu ek dan pinus dan memastikan bahwa solusi (100; 200) memenuhi kondisi ini: 100 + 200 = 300.

Kondisi selanjutnya: semua bantalan kayu ek beratnya 1 ton kurang dari semua pinus . Kami melihat bahwa solusi (100; 200) juga memenuhi kondisi ini, karena bantalan kayu ek 46 × 100 kg lebih ringan daripada bantalan pinus 28 × 200 kg: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

Tugas 3. Kami mengambil tiga potong paduan tembaga dan nikel dengan perbandingan 2: 1, 3: 1 dan 5: 1 menurut beratnya. Dari jumlah tersebut, sepotong seberat 12 kg dilebur dengan rasio kandungan tembaga dan nikel 4: 1. Temukan massa masing-masing bagian awal jika massa bagian pertama adalah dua kali massa bagian kedua.