Voci contrassegnate con "esempi sulle proprietà di una laurea con esponente naturale". Equazioni di potenza o esponenziali

Formule di potenza utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disuguaglianze.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con poteri.

1. Moltiplicando i gradi con la stessa base, i loro indicatori si sommano:

Sonoun n = un m + n .

2. Nella divisione dei gradi con la stessa base, i loro indicatori vengono sottratti:

3. Il grado del prodotto di 2 o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = un n / b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(sono) n = un m n .

Ogni formula sopra è corretta nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con radici.

1. La radice del prodotto di diversi fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice del rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero della radice a questa potenza:

4. Se aumentiamo il grado della radice in N una volta e allo stesso tempo rilanciare a N la potenza è un numero radicale, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se diminuiamo il grado della radice in N radice allo stesso tempo N esimo grado dal numero radicale, allora il valore della radice non cambierà:

Grado con esponente negativo. Il grado di un numero con esponente non positivo (intero) è definito come uno diviso per il grado dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche a M< N.

Per esempio. UN4:la 7 = la 4 - 7 = la -3.

Per formulare Sono:a n = a m - nè diventato giusto a m=n, è necessaria la presenza del grado zero.

Grado con esponente nullo. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grado con un esponente frazionario. Aumentare un numero reale UN fino a un certo punto m/n, è necessario estrarre la radice N esimo grado di M esima potenza di questo numero UN.

Ovviamente, i numeri con potenze possono essere sommati come altre grandezze , aggiungendoli uno ad uno con i loro segni.

Quindi, la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2 .
La somma di a 3 - b n e h 5 -d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Probabilità le stesse potenze delle stesse variabili può essere aggiunto o sottratto.

Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è 5a 2 .

È anche ovvio che se prendiamo due caselle a, o tre caselle a, o cinque caselle a.

Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere aggiunti aggiungendoli ai loro segni.

Quindi, la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3 .

È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non è né il doppio del quadrato di a, ma il doppio del cubo di a.

La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Sottrazione i poteri si eseguono nello stesso modo dell'addizione, salvo che i segni del sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Moltiplicazione di potenza

I numeri con potenze possono essere moltiplicati come altre grandezze scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza il segno di moltiplicazione tra di loro.

Quindi, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
un 2 b 3 y 2 ⋅ un 3 b 2 y = un 2 b 3 y 2 un 3 b 2 y

Risultato in ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo variabili simili.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3 .

Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se due di essi vengono moltiplicati, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a somma gradi di termini.

Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, pari a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.

Quindi, a n .a m = a m+n .

Per an , a è preso come fattore tante volte quanto è la potenza di n;

E a m , si prende per fattore tante volte quanto è uguale il grado m;

Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti.

Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Moltiplicare (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplicare (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono - negativo.

1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Se a + b vengono moltiplicati per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè

Il risultato della moltiplicazione della somma o differenza di due numeri è uguale alla somma o differenza dei loro quadrati.

Se la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto grado.

Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Divisione dei poteri

I numeri con potenze possono essere divisi come altri numeri sottraendo dal divisore o ponendoli sotto forma di frazione.

Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è a 3 .

O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrivere un 5 diviso per un 3 sembra $\frac(a^5)(a^3)$. Ma questo è uguale a un 2 . In una serie di numeri
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , uno 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori di numeri divisibili.

Quando si dividono le potenze con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..

Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Cioè, $\frac(yyy)(yy) = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La regola è valida anche per i numeri con negativo valori di grado.
Il risultato della divisione di un -5 per un -3 è un -2 .
Inoltre, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono ampiamente utilizzate in algebra.

Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze

1. Ridurre gli esponenti in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Risposta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Ridurre gli esponenti in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Risposta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Riduci gli esponenti a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e portali a un comune denominatore.
a 2 .a -4 è un primo numeratore -2.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un comune denominatore.
Risposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.

5. Moltiplicare (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.

6. Moltiplicare (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).

7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .

8. Dividi a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.

9. Dividere (h 3 - 1)/d 4 per (d n + 1)/h.

Primo livello

Grado e sue proprietà. Guida completa (2019)

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PRIMO LIVELLO

L'elevazione a potenza è la stessa operazione matematica di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione.

Ora spiegherò tutto in linguaggio umano in modo molto semplici esempi. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Iniziamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola? Esatto: 16 bottiglie.

Ora moltiplicazione.

Lo stesso esempio con cola può essere scritto in modo diverso: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi escogitano un modo per "contarli" più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabellina. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più duramente e con errori! Ma…

Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.

E un altro, più carino:

E quali altri ingannevoli trucchi di conteggio hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevare un numero a potenza.

Elevare un numero a potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare questo numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è. E risolvono tali problemi nella loro mente: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Per fare questo, hai solo bisogno ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, ti semplificherà la vita.

A proposito, perché si chiama il secondo grado piazza numeri e il terzo cubo? Cosa significa? Molto buona domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Iniziamo con un quadrato o la seconda potenza di un numero.

Immagina una piscina quadrata che misura metri per metri. La piscina è nel tuo cortile. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... una piscina senza fondo! È necessario ricoprire il fondo della piscina con piastrelle. Di quante piastrelle hai bisogno? Per determinarlo, è necessario conoscere l'area del fondo della piscina.

Puoi semplicemente contare colpendo il dito che il fondo della piscina è costituito da cubi metro per metro. Se le tue piastrelle sono metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto una piastrella del genere? La tessera sarà piuttosto cm per cm, e poi sarai tormentato dal "contare con il dito". Quindi devi moltiplicare. Quindi, su un lato del fondo della piscina, inseriremo le piastrelle (pezzi) e anche sull'altro le piastrelle. Moltiplicando per, ottieni tessere ().

Hai notato che abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso per determinare l'area del fondo della piscina? Cosa significa? Poiché lo stesso numero viene moltiplicato, possiamo usare la tecnica dell'elevazione a potenza. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, elevare a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'esame, questo è molto importante).
Quindi, trenta al secondo grado saranno (). Oppure puoi dire che saranno trenta al quadrato. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di un numero. Un quadrato è un'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te, conta quanti quadrati ci sono sulla scacchiera usando il quadrato del numero ... Su un lato delle celle e anche sull'altro. Per contare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto, oppure ... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi fare il quadrato otto. Ottieni celle. () COSÌ?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (Volumi e liquidi, tra l'altro, sono misurati in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: un fondo di un metro e profondo un metro e prova a calcolare quanti cubi che misurano un metro per metro entreranno nel tuo piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro... ventidue, ventitré... Quanto è venuto fuori? Non ti sei perso? È difficile contare con il dito? Affinché! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza l'una per l'altra. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile, vero?

Ora immagina quanto siano pigri e astuti i matematici se lo rendono troppo facile. Ridotto tutto a un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... E questo cosa significa? Ciò significa che puoi utilizzare la laurea. Quindi, quello che una volta contavi con un dito, lo fanno in un'unica azione: tre in un cubo è uguale. È scritto così:

Rimane solo memorizzare la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare sodo e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i gradi sono stati inventati da fannulloni e persone astute per risolverli problemi di vita, e per non crearti problemi, ecco un altro paio di esempi tratti dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, guadagni un altro milione per ogni milione. Cioè, ognuno dei tuoi milioni all'inizio di ogni anno raddoppia. Quanti soldi avrai tra anni? Se ora sei seduto e "conta con il dito", allora sei una persona molto laboriosa e ... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due volte due ... nel secondo anno - cosa è successo, per altri due, nel terzo anno ... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso una volta. Quindi due alla quinta potenza fa un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi calcola più velocemente otterrà questi milioni ... Vale la pena ricordare i gradi dei numeri, cosa ne pensi?

Esempio di vita reale n. 5

Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno, ne guadagni altri due per ogni milione. È fantastico vero? Ogni milione è triplicato. Quanti soldi avrai in un anno? Contiamo. Il primo anno - moltiplica per, poi il risultato per un altro ... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi la quarta potenza è un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a una potenza, renderai la tua vita molto più facile. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con le lauree e cosa devi sapere su di esse.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Cosa ne pensi, cos'è l'esponente? È molto semplice: questo è il numero che è "in cima" alla potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Bene, allo stesso tempo, cosa una tale base di grado? Ancora più semplice è il numero che sta in basso, alla base.

Ecco una foto per te per essere sicuro.

Bene e dentro vista generale per generalizzare e ricordare meglio... Un grado con base "" ed esponente "" si legge "al grado" e si scrive così:

Potenza di un numero con indicatore naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma cos'è numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quelli che vengono utilizzati nel conteggio quando si elencano gli elementi: uno, due, tre ... Quando contiamo gli elementi, non diciamo: "meno cinque", "meno sei", "meno sette". Non diciamo nemmeno "un terzo" o "zero virgola cinque decimi". Questi non sono numeri naturali. Cosa pensi che siano questi numeri?

Numeri come "meno cinque", "meno sei", "meno sette" si riferiscono a numeri interi. In generale, i numeri interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (ovvero presi con il segno meno) e un numero. Zero è facile da capire: questo è quando non c'è niente. E cosa significano i numeri negativi ("meno")? Ma sono stati inventati principalmente per denotare debiti: se hai un saldo sul tuo telefono in rubli, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono di non avere abbastanza numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l'area, ecc. E hanno inventato numeri razionali… Interessante, vero?

Ci sono anche numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? Insomma, una frazione decimale infinita. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, ottieni un numero irrazionale.

Riepilogo:

Definiamo il concetto di grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Elevare al quadrato un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Cubare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
.

Proprietà dei gradi

Da dove vengono queste proprietà? Te lo mostrerò ora.

Vediamo cos'è E ?

A-priorato:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto fattori a fattori e il risultato sono fattori.

Ma per definizione, questo è il grado di un numero con un esponente, cioè: , che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola Necessariamente dev'essere lo stesso motivo!
Pertanto, combiniamo i gradi con la base, ma rimaniamo un fattore separato:

solo per prodotti di potenze!

In nessun caso dovresti scriverlo.

2. cioè -esima potenza di un numero

Proprio come con la proprietà precedente, passiamo alla definizione del grado:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è la esima potenza del numero:

In effetti, questo può essere chiamato "mettere tra parentesi l'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte volevamo scrivere?

Ma non è vero, davvero.

Grado con base negativa

Fino a questo punto, abbiamo discusso solo quale dovrebbe essere l'esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

In gradi da indicatore naturale la base può essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? UN? ? Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po' più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per un meno dà un vantaggio". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, risulta.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Osserviamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa quanto sia uguale la base - il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi pratici

Analisi della soluzione 6 esempi

Se non prestiamo attenzione all'ottavo grado, cosa vediamo qui? Diamo un'occhiata al programma di seconda media. Allora, ricordi? Questa è la formula abbreviata della moltiplicazione, ovvero la differenza dei quadrati! Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? Ordine dei termini errato. Se fossero scambiati, la regola potrebbe applicarsi.

ma come farlo? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

I termini hanno magicamente cambiato posto. Questo "fenomeno" si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo cambiare liberamente i segni tra parentesi.

Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano allo stesso tempo!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno "") e il numero.

intero positivo, e non è diverso dal naturale, allora tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Iniziamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero alla potenza zero è uguale a uno:

Come sempre, ci chiediamo: perché è così?

Considera un po 'di potere con una base. Prendi, ad esempio, e moltiplica per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per, e ottenuto lo stesso che era -. Per quale numero deve essere moltiplicato affinché non cambi nulla? Esatto, su. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero alla potenza zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale a qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi zero per se stesso, ottieni comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come qualsiasi numero al grado zero, deve essere uguale. Quindi qual è la verità di questo? I matematici hanno deciso di non farsi coinvolgere e si sono rifiutati di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo alla potenza zero.

Andiamo oltre. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono i numeri negativi. Per capire cos'è un grado negativo, facciamo lo stesso dell'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso in grado negativo:

Da qui è già facile esprimere il desiderato:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi, formuliamo la regola:

Un numero elevato a una potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a una potenza positiva. Ma allo stesso tempo la base non può essere nulla:(perché è impossibile dividere).

Riassumiamo:

I. L'espressione non è definita nel caso. Se poi.

II. Qualsiasi numero alla potenza zero è uguale a uno: .

III. Un numero che non è uguale a zero a una potenza negativa è l'inverso dello stesso numero a una potenza positiva: .

Compiti per soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi per una soluzione indipendente:

Analisi dei compiti per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'esame devi essere pronto a tutto! Risolvi questi esempi o analizza la loro soluzione se non sei riuscito a risolverli e imparerai come affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la cerchia dei numeri "adatti" come esponente.

Ora considera numeri razionali. Quali numeri sono chiamati razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi, inoltre.

Per capire cos'è "grado frazionario" Consideriamo una frazione:

Eleviamo entrambi i membri dell'equazione a una potenza:

Ora ricorda la regola "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del IV grado.

Lascia che te lo ricordi: la radice della esima potenza di un numero () è un numero che, se elevato a potenza, è uguale.

Cioè, la radice del grado IV è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso speciale può essere esteso: .

Ora aggiungi il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere con la regola del potere su potere:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricorda la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre radici di grado pari da numeri negativi!

E questo significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Il numero può essere rappresentato come altre frazioni ridotte, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, e questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

O un altro esempio: una volta, poi puoi scriverlo. Ma non appena scriviamo l'indicatore in un modo diverso, abbiamo di nuovo problemi: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, considera solo esponente base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Le potenze con esponente razionale sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi pratici

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora - il più difficile. Ora analizzeremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse dei gradi con un esponente razionale, ad eccezione di

In effetti, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando si studiano le lauree con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta abbiamo inventato una certa "immagine", "analogia" o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...potenza nulla- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a moltiplicarsi, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , cioè il numero;

...esponente intero negativo- è come se fosse avvenuto un certo "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, la scienza usa spesso una laurea con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a tali difficoltà, avrai l'opportunità di comprendere questi nuovi concetti all'istituto.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRETE! (se impari a risolvere tali esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la già solita regola per elevare una laurea a una laurea:

Ora guarda il punteggio. Ti ricorda qualcosa? Ricordiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei quadrati:

In questo caso,

Si scopre che:

Risposta: .

2. Riportiamo le frazioni in esponenti alla stessa forma: entrambe decimali o entrambe ordinarie. Otteniamo, ad esempio:

Risposta: 16

3. Niente di speciale, applichiamo le solite proprietà dei gradi:

LIVELLO AVANZATO

Definizione di grado

Il grado è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Grado con esponente naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Potenza con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

erezione a potenza nulla:

L'espressione è indefinita, perché, da un lato, in qualsiasi grado è questo, e dall'altro, qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché è impossibile dividere).

Ancora una volta sui null: l'espressione non è definita nel caso. Se poi.

Esempi:

Grado con esponente razionale

• - numero naturale;
• è un numero intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove vengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

A-priorato:

Quindi, sul lato destro di questa espressione, si ottiene il seguente prodotto:

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente deve essere sulla stessa base. Pertanto, combiniamo i gradi con la base, ma rimaniamo un fattore separato:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotti di potenze!

In nessun caso dovrei scriverlo.

Proprio come con la proprietà precedente, passiamo alla definizione del grado:

Riorganizziamola così:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa una volta, cioè, secondo la definizione, questa è la -esima potenza del numero:

In effetti, questo può essere chiamato "mettere tra parentesi l'indicatore". Ma non puoi mai farlo in totale :!

Ricordiamo le formule per la moltiplicazione abbreviata: quante volte volevamo scrivere? Ma non è vero, davvero.

Potenza con base negativa.

Fino a questo punto, abbiamo discusso solo di ciò che dovrebbe essere indice grado. Ma quale dovrebbe essere la base? In gradi da naturale indicatore la base può essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno gradi di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero sarà positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po' più interessanti. Dopotutto, ricordiamo una semplice regola della prima media: "un meno per un meno dà un vantaggio". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo -.

E così all'infinito: ad ogni successiva moltiplicazione il segno cambierà. Puoi formulare queste semplici regole:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
3. numero positivo a qualsiasi potenza è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Osserviamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5), anche tutto non è così spaventoso come sembra: non importa quanto sia uguale la base - il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è la stessa, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire qual è meno: o? Se lo ricordi, diventa chiaro che, il che significa che la base è minore di zero. Cioè, applichiamo la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: annotiamo la definizione di gradi e li dividiamo l'uno nell'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima dello smontaggio ultima regola Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola i valori delle espressioni:

Soluzioni :

Se non prestiamo attenzione all'ottavo grado, cosa vediamo qui? Diamo un'occhiata al programma di seconda media. Allora, ricordi? Questa è la formula abbreviata della moltiplicazione, ovvero la differenza dei quadrati!

Noi abbiamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? Ordine dei termini errato. Se fossero invertiti, potrebbe essere applicata la regola 3. Ma come fare? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Se lo moltiplichi per, non cambia nulla, giusto? Ma ora sembra così:

I termini hanno magicamente cambiato posto. Questo "fenomeno" si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo cambiare liberamente i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano allo stesso tempo! Non può essere sostituito cambiando solo uno svantaggio discutibile per noi!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Ovviamente, come al solito: allarghiamo il concetto di laurea e semplifichiamo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci saranno? volte per moltiplicatori - che aspetto ha? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: totale si sono rivelati moltiplicatori. Cioè, è, per definizione, una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Grado con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un indicatore irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con un esponente razionale, con l'eccezione - dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando si studiano le lauree con un indicatore naturale, intero e razionale, ogni volta abbiamo inventato una certa "immagine", "analogia" o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero al grado zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non ha ancora iniziato a moltiplicarsi, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi, il risultato è solo un certa “preparazione di un numero”, cioè un numero; un grado con un indicatore intero negativo - è come se si fosse verificato un certo "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare una laurea con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Piuttosto, è un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, la scienza usa spesso una laurea con un esponente complesso, cioè un esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a tali difficoltà, avrai l'opportunità di comprendere questi nuovi concetti all'istituto.

Quindi cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

1. Ricorda la formula della differenza dei quadrati. Risposta: .
2. Portiamo le frazioni nella stessa forma: entrambe decimali o entrambe ordinarie. Otteniamo, ad esempio: .
3. Niente di speciale, applichiamo le solite proprietà dei gradi:

RIEPILOGO DELLA SEZIONE E FORMULA DI BASE

Gradoè chiamata un'espressione della forma: , dove:

Grado con esponente intero

grado, il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Grado con esponente razionale

grado, il cui indicatore è numeri negativi e frazionari.

Grado con esponente irrazionale

esponente il cui esponente è una frazione o radice decimale infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo a qualsiasi potenza è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero alla potenza zero è uguale.

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Raccontaci la tua esperienza con le proprietà di potenza.

Forse hai delle domande. O suggerimenti.

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E in bocca al lupo per gli esami!

L'esponente serve per rendere più facile scrivere l'operazione di moltiplicazione di un numero per se stesso. Ad esempio, invece di scrivere, puoi scrivere 4 5 (\displaystyle 4^(5))(una spiegazione di tale transizione è data nella prima sezione di questo articolo). I poteri facilitano la scrittura di espressioni o equazioni lunghe o complesse; inoltre, le potenze possono essere facilmente aggiunte e sottratte, risultando in una semplificazione di un'espressione o di un'equazione (ad esempio, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Nota: se devi risolvere un'equazione esponenziale (in tale equazione, l'incognita è nell'esponente), leggi.

Passi

Risoluzione di semplici problemi con i poteri

Moltiplica la base dell'esponente per se stessa un numero di volte uguale all'esponente. Se devi risolvere manualmente un problema con gli esponenti, riscrivi l'esponente come un'operazione di moltiplicazione, dove la base dell'esponente viene moltiplicata per se stessa. Ad esempio, vista la laurea 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In questo caso la base di grado 3 va moltiplicata per se stessa 4 volte: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ecco altri esempi:

Innanzitutto, moltiplica i primi due numeri. Per esempio, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Non preoccuparti: il processo di calcolo non è così complicato come sembra a prima vista. Prima moltiplica le prime due quadruple e poi sostituiscile con il risultato. Come questo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Moltiplica il risultato (16 nel nostro esempio) per il numero successivo. Ogni risultato successivo aumenterà proporzionalmente. Nel nostro esempio, moltiplica 16 per 4. In questo modo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continua a moltiplicare il risultato della moltiplicazione dei primi due numeri per il numero successivo finché non ottieni il risultato finale. Per fare ciò, moltiplica i primi due numeri, quindi moltiplica il risultato per il numero successivo nella sequenza. Questo metodo è valido per qualsiasi laurea. Nel nostro esempio, dovresti ottenere: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Risolvi i seguenti problemi. Controlla la tua risposta con una calcolatrice.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Sulla calcolatrice, cerca la chiave con l'etichetta "exp" o " x n (\displaystyle x^(n))", o "^". Con questo tasto eleverai un numero a potenza. È praticamente impossibile calcolare manualmente il grado con un grande esponente (ad esempio, il grado 9 15 (\ displaystyle 9 ^ (15))), ma la calcolatrice può facilmente far fronte a questo compito. In Windows 7, la calcolatrice standard può essere commutata in modalità ingegneristica; per fare ciò, fai clic su "Visualizza" -\u003e "Ingegneria". Per passare alla modalità normale, fai clic su "Visualizza" -\u003e "Normale".

   • Controlla la risposta ricevuta utilizzando un motore di ricerca (Google o Yandex). Usando il tasto "^" sulla tastiera del computer, inserisci l'espressione nel motore di ricerca, che visualizzerà immediatamente la risposta corretta (e possibilmente suggerirà espressioni simili per lo studio).

   Addizione, sottrazione, moltiplicazione di potenze

   1. Puoi sommare e sottrarre potenze solo se hanno la stessa base. Se devi sommare potenze con le stesse basi ed esponenti, puoi sostituire l'operazione di addizione con un'operazione di moltiplicazione. Ad esempio, data l'espressione 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ricorda che la laurea 4 5 (\displaystyle 4^(5)) può essere rappresentato come 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Così, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dove 1+1=2). Cioè, conta il numero di gradi simili, quindi moltiplica tale grado e questo numero. Nel nostro esempio, eleva 4 alla quinta potenza, quindi moltiplica il risultato per 2. Ricorda che l'operazione di addizione può essere sostituita da un'operazione di moltiplicazione, ad esempio, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ecco altri esempi:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, si sommano i loro esponenti (la base non cambia). Ad esempio, data l'espressione x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In questo caso basta aggiungere gli indicatori, lasciando invariata la base. Così, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ecco una spiegazione visiva di questa regola:

      Quando si eleva una potenza a potenza, gli esponenti vengono moltiplicati. Ad esempio, data una laurea. Poiché gli esponenti sono moltiplicati, quindi (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Il significato di questa regola è che moltiplichi il potere (x 2) (\displaystyle (x^(2))) su se stesso cinque volte. Come questo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Poiché la base è la stessa, gli esponenti si sommano semplicemente: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Un esponente con un esponente negativo dovrebbe essere convertito in una frazione (nella potenza inversa). Non importa se non sai cos'è un reciproco. Se ti viene data una laurea con esponente negativo, ad esempio, 3 - 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrivi questa potenza nel denominatore della frazione (metti 1 al numeratore) e rendi l'esponente positivo. Nel nostro esempio: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ecco altri esempi:

      Quando si dividono potenze con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti (la base non cambia). L'operazione di divisione è l'opposto dell'operazione di moltiplicazione. Ad esempio, data l'espressione 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Sottrai l'esponente al denominatore dall'esponente al numeratore (non cambiare la base). Così, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Il grado al denominatore può essere scritto come segue: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\ displaystyle 4 ^ (-2)). Ricorda che una frazione è un numero (potenza, espressione) con un esponente negativo.

   4. Di seguito sono riportate alcune espressioni per aiutarti a imparare a risolvere i problemi di alimentazione. Le espressioni di cui sopra coprono il materiale presentato in questa sezione. Per vedere la risposta basta evidenziare lo spazio vuoto dopo il segno uguale.

   Risoluzione di problemi con esponenti frazionari

   Un grado con un esponente frazionario (ad esempio, ) viene convertito in un'operazione di estrazione della radice. Nel nostro esempio: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Non importa quale numero sia nel denominatore dell'esponente frazionario. Per esempio, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))è la quarta radice di "x" x4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Se l'esponente è una frazione impropria, tale esponente può essere scomposto in due potenze per semplificare la soluzione del problema. Non c'è niente di complicato in questo: ricorda solo la regola per moltiplicare i poteri. Ad esempio, data una laurea. Trasforma quell'esponente in una radice il cui esponente è uguale al denominatore dell'esponente frazionario, quindi eleva quella radice all'esponente uguale al numeratore dell'esponente frazionario. Per fare questo, ricordalo 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Nel nostro esempio:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Alcune calcolatrici hanno un pulsante per calcolare gli esponenti (prima devi inserire la base, quindi premere il pulsante e quindi inserire l'esponente). È indicato come ^ o x^y.
   3. Ricorda che qualsiasi numero è uguale a se stesso alla prima potenza, ad esempio, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Inoltre, qualsiasi numero moltiplicato o diviso per uno è uguale a se stesso, ad esempio, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) E 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Sappi che il grado 0 0 non esiste (un tale grado non ha soluzione). Quando provi a risolvere un tale grado su una calcolatrice o su un computer, riceverai un errore. Ma ricorda che qualsiasi numero alla potenza di zero è uguale a 1, ad esempio, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. In matematica superiore, che opera con numeri immaginari: e un io X = c o S un X + io S io n un X (\ Displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), Dove io = (- 1) (\ displaystyle i = (\ sqrt (()) -1)); e è una costante approssimativamente uguale a 2,7; a è una costante arbitraria. La prova di questa uguaglianza può essere trovata in qualsiasi manuale di matematica superiore.

   Avvertenze

   • All'aumentare dell'esponente, il suo valore aumenta notevolmente. Pertanto, se la risposta ti sembra sbagliata, in realtà potrebbe rivelarsi vera. Puoi verificarlo tracciando qualsiasi funzione esponenziale, ad esempio, 2 x .

Una delle caratteristiche principali dell'algebra, e in effetti di tutta la matematica, è la laurea. Naturalmente, nel 21 ° secolo, tutti i calcoli possono essere eseguiti su un calcolatore online, ma è meglio imparare a farlo da soli per lo sviluppo del cervello.

In questo articolo considereremo le questioni più importanti relative a questa definizione. Vale a dire, capiremo cos'è in generale e quali sono le sue funzioni principali, quali proprietà esistono in matematica.

Diamo un'occhiata a esempi di come appare il calcolo, quali sono le formule di base. Analizzeremo i principali tipi di quantità e come differiscono da altre funzioni.

Capiremo come risolvere vari problemi utilizzando questo valore. Mostreremo con esempi come elevare a grado zero, irrazionale, negativo, ecc.

Calcolatore di esponenziale online

Qual è il grado di un numero

Cosa si intende con l'espressione "elevare un numero a potenza"?

Il grado n di un numero a è il prodotto di fattori di grandezza an volte di seguito.

Matematicamente sembra così:

a n = a * a * a * …a n .

Per esempio:

• 2 3 = 2 nel terzo passaggio. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 al passo. due = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 al passo. quattro = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 in 5 passi. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 in 4 passi. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Di seguito è riportata una tabella di quadrati e cubi da 1 a 10.

Tabella dei gradi da 1 a 10

Di seguito sono riportati i risultati dell'innalzamento dei numeri naturali a potenze positive - "da 1 a 100".

Ch-lo	2a elementare	3a elementare
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietà dei gradi

Qual è la caratteristica di una tale funzione matematica? Diamo un'occhiata alle proprietà di base.

Gli scienziati hanno stabilito quanto segue segni caratteristici di tutti i gradi:

• un n * un m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Verifichiamo con esempi:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. D'altra parte, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Allo stesso modo: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Altrimenti 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. E se fosse diverso? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Come puoi vedere, le regole funzionano.

Ma come essere con addizione e sottrazione? Tutto è semplice. Viene eseguita la prima elevazione a potenza e solo successivamente l'addizione e la sottrazione.

Diamo un'occhiata agli esempi:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ma in questo caso, devi prima calcolare l'addizione, poiché ci sono azioni tra parentesi: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Come produrre informatica in più casi difficili ? L'ordine è lo stesso:

• se ci sono parentesi, devi iniziare con loro;
• poi esponenziale;
• quindi eseguire operazioni di moltiplicazione, divisione;
• dopo l'addizione, la sottrazione.

Esistono proprietà specifiche che non sono caratteristiche di tutti i gradi:

1. La radice dell'ennesimo grado dal numero a al grado m sarà scritta come: a m / n .
2. Quando si eleva una frazione a potenza: sia il numeratore che il suo denominatore sono soggetti a questa procedura.
3. Quando si eleva il prodotto di numeri diversi a una potenza, l'espressione corrisponderà al prodotto di questi numeri per una data potenza. Cioè: (a * b) n = a n * b n .
4. Quando elevi un numero a una potenza negativa, devi dividere 1 per un numero nello stesso passaggio, ma con un segno "+".
5. Se il denominatore di una frazione è in una potenza negativa, allora questa espressione sarà uguale al prodotto del numeratore e del denominatore in una potenza positiva.
6. Qualsiasi numero alla potenza di 0 = 1 e al passo. 1 = a se stesso.

Queste regole sono importanti in singoli casi, li considereremo più in dettaglio di seguito.

Grado con esponente negativo

Cosa fare con un grado negativo, cioè quando l'indicatore è negativo?

Sulla base delle proprietà 4 e 5(vedi punto sopra) si scopre:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

E viceversa:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

E se fosse una frazione?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grado con un indicatore naturale

Si intende un grado con esponenti uguali a numeri interi.

Cose da ricordare:

LA 0 = 1, 1 0 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... ecc.

LA 1 = LA, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…ecc.

Inoltre, se (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…allora il risultato sarà con un segno “+”. Se un numero negativo viene elevato a una potenza dispari, viceversa.

Proprietà generali e tutto caratteristiche specifiche descritti sopra sono anche caratteristici di loro.

Grado frazionario

Questa vista può essere scritta come schema: A m / n. Si legge come: la radice dell'ennesimo grado del numero A elevato alla potenza di m.

Con un indicatore frazionario, puoi fare qualsiasi cosa: ridurre, scomporre in parti, aumentare di un altro grado, ecc.

Grado con esponente irrazionale

Sia α un numero irrazionale e А ˃ 0.

Per comprendere l'essenza della laurea con un tale indicatore, Diamo un'occhiata a diversi casi possibili:

• A \u003d 1. Il risultato sarà uguale a 1. Poiché esiste un assioma - 1 è uguale a uno in tutte le potenze;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 sono numeri razionali;

• 0˂А˂1.

In questo caso, viceversa: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 nelle stesse condizioni del secondo paragrafo.

Ad esempio, l'esponente è il numero π.È razionale.

r 1 - in questo caso è uguale a 3;

r 2 - sarà uguale a 4.

Allora, per A = 1, 1 π = 1.

A = 2, quindi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

LA = 1/2, quindi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Tali gradi sono caratterizzati da tutte le operazioni matematiche e proprietà specifiche sopra descritte.

Conclusione

Riassumiamo: a cosa servono questi valori, quali sono i vantaggi di tali funzioni? Naturalmente, prima di tutto, semplificano la vita di matematici e programmatori durante la risoluzione di esempi, poiché consentono di ridurre al minimo i calcoli, ridurre gli algoritmi, sistematizzare i dati e molto altro.

Dove altro può essere utile questa conoscenza? In qualsiasi specialità lavorativa: medicina, farmacologia, odontoiatria, edilizia, tecnologia, ingegneria, design, ecc.