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Derivata del prodotto di funzioni in un dato punto. Trovare la derivata: algoritmo ed esempi di soluzioni

In questa lezione continuiamo a studiare le derivate delle funzioni e passiamo ad un argomento più avanzato, ovvero le derivate di prodotti e quozienti. Se hai guardato la lezione precedente, probabilmente ti sarai reso conto che abbiamo considerato solo le costruzioni più semplici, vale a dire la derivata di una funzione potenza, somma e differenza. In particolare, abbiamo imparato che la derivata di una somma è uguale alla loro somma, e la derivata di una differenza è uguale, rispettivamente, alla loro differenza. Sfortunatamente, nel caso delle derivate quoziente e prodotto, le formule saranno molto più complicate. Inizieremo con la formula per la derivata di un prodotto di funzioni.

Derivate di funzioni trigonometriche

Per cominciare, lasciatemi fare una piccola digressione lirica. Il fatto è che oltre alla funzione di potenza standard - $y=((x)^(n))$, in questa lezione incontreremo anche altre funzioni, vale a dire $y=\sin x$, così come $ y=\ cos x$ e altra trigonometria - $y=tgx$ e, ovviamente, $y=ctgx$.

Se tutti conosciamo perfettamente la derivata di una funzione di potenza, ovvero $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, allora per quanto riguarda le funzioni trigonometriche, devono essere menzionate separatamente. Scriviamolo:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ma tu conosci benissimo queste formule, andiamo avanti.

Cos'è la derivata di un prodotto?

Innanzitutto la cosa più importante: se una funzione è il prodotto di altre due funzioni, ad esempio $f\cdot g$, la derivata di questa costruzione sarà uguale alla seguente espressione:

Come puoi vedere, questa formula è significativamente diversa e più complessa rispetto alle formule che abbiamo visto in precedenza. Ad esempio, la derivata di una somma si calcola in modo elementare: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, oppure la derivata di una differenza, anch'essa calcolata in modo elementare - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Proviamo ad applicare la prima formula per calcolare le derivate delle due funzioni che ci vengono fornite nel problema. Cominciamo con il primo esempio:

Ovviamente la seguente costruzione funge da prodotto, o più precisamente da moltiplicatore: $((x)^(3))$, possiamo considerarlo come $f$, e $\left(x-5 \right) $ possiamo considerarlo come $g$. Allora il loro prodotto sarà proprio il prodotto di due funzioni. Noi decidiamo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(allineare)\].

Ora diamo uno sguardo più da vicino a ciascuno dei nostri termini. Vediamo che sia il primo che il secondo termine contengono il grado $x$: nel primo caso è $((x)^(2))$, nel secondo è $((x)^(3)) $. Togliamo il grado più piccolo tra parentesi, lasciando tra parentesi:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\fine(allinea)\]

Questo è tutto, abbiamo trovato la risposta.

Torniamo ai nostri problemi e proviamo a risolvere:

Quindi, riscriviamo:

Ancora una volta, notiamo che stiamo parlando del prodotto del prodotto di due funzioni: $x$, che può essere indicato con $f$, e $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, che può essere indicato con $g$.

Abbiamo quindi di nuovo davanti a noi il prodotto di due funzioni. Per trovare la derivata della funzione $f\left(x \right)$ utilizzeremo nuovamente la nostra formula. Noi abbiamo:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

La risposta è stata trovata.

Perché fattorizzare i derivati?

Abbiamo appena utilizzato diversi fatti matematici molto importanti, che di per sé non sono legati ai derivati, ma senza la loro conoscenza, qualsiasi ulteriore studio su questo argomento semplicemente non ha senso.

Innanzitutto, risolvendo il primo problema e avendo già eliminato tutti i segni dei derivati, per qualche motivo abbiamo iniziato a fattorizzare questa espressione.

In secondo luogo, nel risolvere il seguente problema, siamo passati più volte dalla radice alla potenza con esponente razionale e viceversa, utilizzando la formula di grado 8-9, che varrebbe la pena ripetere separatamente.

Per quanto riguarda la fattorizzazione, perché sono necessari tutti questi ulteriori sforzi e trasformazioni? In effetti, se il problema dice semplicemente “trova la derivata di una funzione”, allora questi passaggi aggiuntivi non sono necessari. Tuttavia, nei problemi reali che ti aspettano in tutti i tipi di esami e test, spesso trovare semplicemente la derivata non è sufficiente. Il fatto è che la derivata è solo uno strumento con cui puoi scoprire, ad esempio, l'aumento o la diminuzione di una funzione, e per questo devi risolvere l'equazione e fattorizzarla. Ed è qui che questa tecnica sarà molto appropriata. E in generale, è molto più comodo e piacevole lavorare con una funzione fattorizzata nel futuro se sono necessarie trasformazioni. Quindi regola numero 1: se la derivata può essere fattorizzata, è quello che dovresti fare. E subito regola n. 2 (essenzialmente, questo è materiale di 8a-9a elementare): se il problema contiene una radice N-esimo grado, e la radice è chiaramente maggiore di due, allora questa radice può essere sostituita da un grado ordinario con un esponente razionale, e nell'esponente apparirà una frazione, dove N― proprio quel grado ― sarà nel denominatore di questa frazione.

Naturalmente, se sotto la radice c'è qualche grado (nel nostro caso questo è il grado K), allora non va da nessuna parte, ma finisce semplicemente al numeratore di questo stesso grado.

Ora che hai capito tutto questo, torniamo alle derivate del prodotto e calcoliamo qualche altra equazione.

Ma prima di passare direttamente ai calcoli, vorrei ricordarvi i seguenti schemi:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Consideriamo il primo esempio:

Abbiamo ancora una volta il prodotto di due funzioni: la prima è $f$, la seconda è $g$. Ti ricordo la formula:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Decidiamo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Passiamo alla seconda funzione:

Ancora una volta, $\left(3x-2 \right)$ è una funzione di $f$, $\cos x$ è una funzione di $g$. In totale, la derivata del prodotto di due funzioni sarà uguale a:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\sinistra(3x-2 \destra)\cdot \sin x \\\end(allinea)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Scriviamolo separatamente:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Non fattorizziamo questa espressione, perché questa non è ancora la risposta finale. Ora dobbiamo risolvere la seconda parte. Scriviamolo:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Ora torniamo al nostro compito originale e mettiamo tutto insieme in un'unica struttura:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Ecco, questa è la risposta definitiva.

Passiamo all'ultimo esempio: sarà il più complesso e voluminoso in termini di calcoli. Quindi, un esempio:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Contiamo ciascuna parte separatamente:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Ritornando alla funzione originale, calcoliamo la sua derivata nel suo complesso:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti sulle opere derivate. Come puoi vedere, il problema principale con la formula non è memorizzarla, ma nel fatto che comporta una quantità abbastanza grande di calcoli. Ma va bene così, perché ora passiamo alla derivata quoziente, dove dovremo lavorare davvero duro.

Qual è la derivata di un quoziente?

Quindi, la formula per la derivata del quoziente. Questa è forse la formula più complessa del corso scolastico sui derivati. Diciamo di avere una funzione della forma $\frac(f)(g)$, dove anche $f$ e $g$ sono funzioni dalle quali possiamo anche rimuovere il numero primo. Successivamente verrà calcolato secondo la seguente formula:

Il numeratore ricorda un po' la formula della derivata di un prodotto, ma tra i termini c'è un segno meno e al denominatore è stato aggiunto anche il quadrato del denominatore originale. Vediamo come funziona nella pratica:

Proviamo a risolvere:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Suggerisco di scrivere ciascuna parte separatamente e di scrivere:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ destra))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\sinistra(x+2 \destra))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(allinea)\]

Riscriviamo la nostra espressione:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(allinea)\]

Abbiamo trovato la risposta. Passiamo alla seconda funzione:

A giudicare dal fatto che il suo numeratore è semplicemente uno, i calcoli qui saranno un po' più semplici. Quindi, scriviamo:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\sinistra(((x)^(2))+4 \destra))^(2)))\]

Calcoliamo ciascuna parte dell'esempio separatamente:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Riscriviamo la nostra espressione:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Abbiamo trovato la risposta. Come previsto, la quantità di calcolo si è rivelata significativamente inferiore rispetto alla prima funzione.

Qual è la differenza tra le designazioni?

Gli studenti attenti probabilmente hanno già una domanda: perché in alcuni casi denotiamo la funzione come $f\left(x \right)$, e in altri casi scriviamo semplicemente $y$? In effetti, dal punto di vista della matematica, non c'è assolutamente alcuna differenza: hai il diritto di utilizzare sia la prima designazione che la seconda e non ci saranno penalità negli esami o nei test. Per coloro che sono ancora interessati, spiegherò perché gli autori di libri di testo e problemi in alcuni casi scrivono $f\left(x \right)$, e in altri (molto più frequenti) semplicemente $y$. Il fatto è che scrivendo una funzione nella forma \, suggeriamo implicitamente a chi legge i nostri calcoli che stiamo parlando proprio dell'interpretazione algebrica della dipendenza funzionale. Cioè, esiste una certa variabile $x$, consideriamo la dipendenza da questa variabile e la denotiamo $f\left(x \right)$. Allo stesso tempo, avendo visto una tale designazione, colui che legge i tuoi calcoli, ad esempio l'ispettore, si aspetterà inconsciamente che in futuro lo attendono solo trasformazioni algebriche: né grafici né geometria.

D'altra parte, utilizzando notazioni della forma \, cioè denotando una variabile con una sola lettera, chiariamo subito che in futuro ci interessa l'interpretazione geometrica della funzione, cioè ci interessa, prima di tutto tutto, nel suo grafico. Di conseguenza, di fronte ad una registrazione della forma\, il lettore ha il diritto di aspettarsi calcoli grafici, cioè grafici, costruzioni, ecc., ma in nessun caso trasformazioni analitiche.

Vorrei anche attirare la vostra attenzione su una caratteristica della progettazione dei compiti che stiamo considerando oggi. Molti studenti pensano che io fornisca calcoli troppo dettagliati e molti di essi potrebbero essere saltati o semplicemente risolti nella loro testa. Tuttavia, è proprio un record così dettagliato che ti consentirà di sbarazzarti di errori offensivi e di aumentare significativamente la percentuale di problemi risolti correttamente, ad esempio nel caso di auto-preparazione per test o esami. Pertanto, se non sei ancora sicuro delle tue capacità, se stai appena iniziando a studiare questo argomento, non affrettarti: descrivi ogni passaggio in dettaglio, scrivi ogni fattore, ogni tratto e molto presto imparerai a risolvere meglio tali esempi di molti insegnanti della scuola. Spero che questo sia chiaro. Contiamo qualche altro esempio.

Diversi compiti interessanti

Questa volta, come vediamo, la trigonometria è presente nelle derivate da calcolare. Permettetemi quindi di ricordarvi quanto segue:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naturalmente non possiamo fare a meno della derivata del quoziente, ovvero:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Consideriamo la prima funzione:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\fine(allinea)\]

Quindi abbiamo trovato una soluzione a questa espressione.

Passiamo al secondo esempio:

Ovviamente la sua derivata sarà più complessa, se non altro perché la trigonometria è presente sia al numeratore che al denominatore di questa funzione. Noi decidiamo:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Tieni presente che abbiamo un derivato del prodotto. In questo caso sarà pari a:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ destra))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Torniamo ai nostri calcoli. Scriviamo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(allinea)\]

È tutto! Abbiamo fatto i conti.

Come ridurre la derivata di un quoziente ad una semplice formula per la derivata di un prodotto?

E qui vorrei fare un'osservazione molto importante riguardo alle funzioni trigonometriche. Il fatto è che la nostra costruzione originale contiene un'espressione della forma $\frac(\sin x)(\cos x)$, che può essere facilmente sostituita semplicemente con $tgx$. Pertanto, riduciamo la derivata di un quoziente a una formula più semplice per la derivata di un prodotto. Calcoliamo nuovamente questo esempio e confrontiamo i risultati.

Quindi ora dobbiamo considerare quanto segue:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Riscriviamo la nostra funzione originale $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ tenendo conto di questo fatto. Noi abbiamo:

Contiamo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Ora, se confrontiamo il risultato ottenuto con quello ottenuto in precedenza calcolando in modo diverso, saremo convinti di aver ricevuto la stessa espressione. Pertanto, indipendentemente dalla direzione che seguiamo quando calcoliamo la derivata, se tutto viene calcolato correttamente, la risposta sarà la stessa.

Sfumature importanti nella risoluzione dei problemi

In conclusione, vorrei raccontarvi un'altra sottigliezza relativa al calcolo della derivata di un quoziente. Quello che ti dirò ora non era nel copione originale della video lezione. Tuttavia, un paio d'ore prima delle riprese, stavo studiando con uno dei miei studenti e stavamo discutendo l'argomento delle derivate quozienti. E, come si è scoperto, molti studenti non capiscono questo punto. Quindi, diciamo che dobbiamo calcolare il tratto di rimozione della seguente funzione:

In linea di principio, a prima vista non c'è nulla di soprannaturale in questo. Tuttavia, nel processo di calcolo possiamo commettere molti errori stupidi e offensivi, di cui vorrei discutere ora.

Quindi calcoliamo questa derivata. Innanzitutto notiamo che abbiamo il termine $3((x)^(2))$, quindi è opportuno richiamare la seguente formula:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Inoltre, abbiamo il termine $\frac(48)(x)$ - lo tratteremo attraverso la derivata del quoziente, ovvero:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Quindi, decidiamo:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Non ci sono problemi con il primo termine, vedere:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ma con il primo termine, $\frac(48)(x)$, devi lavorare separatamente. Il fatto è che molti studenti confondono la situazione quando devono trovare $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ e quando devono trovare $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Cioè si confondono quando la costante è al denominatore e quando la costante è al numeratore, rispettivamente, quando la variabile è al numeratore o al denominatore.

Cominciamo con la prima opzione:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Se invece proviamo a fare lo stesso con la seconda frazione, otterremo quanto segue:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(allinea)\]

Lo stesso esempio, però, potrebbe essere calcolato diversamente: nella fase in cui siamo passati alla derivata del quoziente, possiamo considerare $\frac(1)(x)$ come una potenza con esponente negativo, ovvero otteniamo quanto segue :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

E così, e così abbiamo ricevuto la stessa risposta.

Siamo quindi ancora una volta convinti di due fatti importanti. Innanzitutto, la stessa derivata può essere calcolata in modi completamente diversi. Ad esempio, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ può essere considerato sia come la derivata di un quoziente sia come la derivata di una funzione di potenza. Inoltre, se tutti i calcoli vengono eseguiti correttamente, la risposta sarà sempre la stessa. In secondo luogo, quando si calcolano le derivate contenenti sia una variabile che una costante, è di fondamentale importanza dove si trova la variabile: al numeratore o al denominatore. Nel primo caso, quando la variabile è al numeratore, otteniamo una funzione lineare semplice che può essere facilmente calcolata. E se la variabile è al denominatore, otteniamo un'espressione più complessa con i calcoli forniti in precedenza.

A questo punto la lezione può considerarsi completa, quindi se non capisci nulla sulle derivate di un quoziente o di un prodotto, e in generale, se hai domande su questo argomento, non esitare: vai sul mio sito , scrivi, chiama e ci proverò sicuramente, posso aiutarti.

I derivati stessi non sono un argomento complesso, ma sono molto estesi e ciò che stiamo studiando ora verrà utilizzato in futuro per risolvere problemi più complessi. Ecco perché è meglio identificare subito, subito, tutti i malintesi legati al calcolo delle derivate di un quoziente o di un prodotto. Non quando sono un’enorme palla di neve piena di incomprensioni, ma quando sono una piccola pallina da tennis con cui è facile avere a che fare.

Se segui la definizione, la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione Δ sì all'argomento incremento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a usare questa formula per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che dall'intera varietà di funzioni possiamo distinguere le cosiddette funzioni elementari. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e tabulate. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme ai loro derivati.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte quelle elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è affatto difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, derivate delle funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sì, zero!)
Potenza con esponente razionale	F(X) = X N	N · X N − 1
Seno	F(X) = peccato X	cos X
Coseno	F(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/peccato 2 X
Logaritmo naturale	F(X) = logaritmo X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = logaritmo UN X	1/(X ln UN)
Funzione esponenziale	F(X) = e X	e X(niente è cambiato)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere tolte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro ancora. Appariranno così nuove funzionalità, non più particolarmente elementari, ma anche differenziate secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata della somma e della differenza

Si diano le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, in algebra non esiste il concetto di “sottrazione”. Esiste il concetto di “elemento negativo”. Quindi la differenza F − G può essere riscritto come una somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + peccato x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2 + peccato X)’ = (X 2)’ + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Ragioniamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivato del prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero">uguale al prodotto delle derivate. Ma vaffanculo! La derivata di un prodotto si calcola utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso viene dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3cosx; G(X) = (X 2 + 7X−7) · e X .

Funzione F(X) è il prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma lo schema generale non cambia. Ovviamente, il primo fattore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X−7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X−7) · ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X−7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio la derivata viene fattorizzata. Formalmente non è necessario farlo, ma la maggior parte dei derivati non vengono calcolati da soli, ma per esaminare la funzione. Ciò significa che inoltre la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno determinati e così via. In tal caso, è meglio fattorizzare l'espressione.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme che ci interessa, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione puoi anche trovare la derivata:

Non debole, eh? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione contengono funzioni elementari, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Secondo la tradizione, fattorizziamo il numeratore: questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2 + ln X. Funzionerà F(X) = peccato ( X 2 + ln X) - questa è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non sarà possibile trovarlo utilizzando le regole discusse sopra.

Cosa dovrei fare? In questi casi, la sostituzione di una variabile e di una formula per la derivata di una funzione complessa aiuta:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Meglio quindi spiegarlo anche con esempi specifici, descrivendo dettagliatamente ogni passaggio.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2 + ln X)

Tieni presente che se nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, allora otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Pertanto, effettuiamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Eseguiamo la sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente è da sostituire X 2 + ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2 + ln X. Poi:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

È tutto! Come si può vedere dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della somma delle derivate.

Risposta:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, utilizzo la parola “primo”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. E' più chiaro? Va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivativa con esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Poche persone lo sanno nel ruolo N potrebbe anche essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. E se sotto la radice ci fosse qualcosa di speciale? Ancora una volta, il risultato sarà una funzione complessa: a loro piace fornire tali costruzioni nei test e negli esami.

Compito. Trova la derivata della funzione:

Innanzitutto, riscriviamo la radice come potenza con esponente razionale:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Adesso facciamo una sostituzione: let X 2 + 8X − 7 = T. Troviamo la derivata utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Facciamo la sostituzione inversa: T = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X−7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici:

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Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è una derivata, qual è il suo significato fisico e geometrico, come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Significato fisico del derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) E tempo T . Velocità media in un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: imposta una costante

La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Seconda regola: derivata della somma di funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.

Trova la derivata della funzione:

Regola tre: derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Soluzione:

È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:

In questo caso l'argomento intermedio è 8x elevato alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare di derivati for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. In breve tempo ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a comprendere i compiti, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.

Siano le funzioni u definite in un certo intorno di un punto e abbiano derivate nel punto. Quindi il loro prodotto ha una derivata nel punto, che è determinata dalla formula:
(1) .

Prova

Introduciamo la seguente notazione:
;
.
Qui e sono le funzioni delle variabili e . Ma per comodità di notazione, ometteremo le designazioni dei loro argomenti.

Successivamente lo notiamo
;
.
Per condizione, le funzioni e hanno derivate nel punto, che sono i seguenti limiti:
;
.
Dall'esistenza delle derivate segue che le funzioni e sono continue nel punto. Ecco perché
;
.

Consideriamo la funzione y della variabile x, che è il prodotto delle funzioni e:
.
Consideriamo l'incremento di questa funzione nel punto:

.
Ora troviamo la derivata:

.

COSÌ,
.
La regola è stata dimostrata.

Invece di una variabile, puoi usare qualsiasi altra variabile. Indichiamolo come x. Quindi se ci sono derivate e , la derivata del prodotto di due funzioni è determinata dalla formula:
.
O in una versione più breve
(1) .