Come moltiplicare frazioni semplici. Regole per moltiplicare e dividere frazioni per un numero intero
Moltiplicazione e divisione di frazioni.
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Questa operazione è molto più bella dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Ti ricordo: per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:
Per esempio:
Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un comune denominatore! Non ne ho bisogno qui...
Per dividere una frazione per frazione, devi capovolgere secondo(questo è importante!) frazionali e moltiplicali, ad esempio:
Per esempio:
Se viene catturata la moltiplicazione o la divisione con numeri interi e frazioni, va bene. Come con l'addizione, facciamo una frazione da un numero intero con un'unità nel denominatore - e via! Per esempio:
Al liceo, spesso hai a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:
Come portare questa frazione a una forma decente? Sì, molto facile! Usa la divisione per due punti:
Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui è molto importante! Naturalmente, non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma in una frazione di tre piani è facile sbagliare. Si prega di notare, ad esempio:
Nel primo caso (espressione a sinistra):
Nella seconda (espressione a destra):
Senti la differenza? 4 e 1/9!
Qual è l'ordine di divisione? O parentesi, o (come qui) la lunghezza dei trattini orizzontali. Sviluppa un occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:
poi dividi-moltiplica in ordine, da sinistra a destra!
E un altro trucco molto semplice e importante. Nelle azioni con gradi, ti tornerà utile! Dividiamo l'unità per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:
Il colpo è girato! E succede sempre. Quando si divide 1 per qualsiasi frazione, il risultato è la stessa frazione, solo invertita.
Sono tutte le azioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Nota Consiglio pratico, e loro (errori) saranno inferiori!
Suggerimenti pratici:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è la precisione e l'attenzione! Queste non sono parole comuni, non auguri! Questa è una grave necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame come un compito a tutti gli effetti, con concentrazione e chiarezza. È meglio scrivere due righe in più in una bozza piuttosto che sbagliare quando si calcola a mente.
2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: vai alle frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni allo stop.
4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione per due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).
5. Dividiamo mentalmente l'unità in una frazione, semplicemente capovolgendo la frazione.
Ecco le attività che devi completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali di questo argomento e consigli pratici. Stima quanti esempi potresti risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trai le giuste conclusioni...
Ricorda la risposta corretta ottenuto dalla seconda (soprattutto la terza) volta - non conta! Tale è la dura vita.
COSÌ, risolvere in modalità esame ! Questa è la preparazione per l'esame, tra l'altro. Risolviamo un esempio, controlliamo, risolviamo quanto segue. Abbiamo deciso tutto: abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.
Calcolare:
Hai deciso?
Alla ricerca di risposte che corrispondano alle tue. Le ho scritte apposta in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire... Eccole, le risposte, scritte con un punto e virgola.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
E ora traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, felice per te! I calcoli elementari con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti...
Quindi hai uno dei due problemi. O entrambi contemporaneamente.) Mancanza di conoscenza e (o) disattenzione. Ma questo risolvibile I problemi.
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Moltiplicazione frazioni ordinarie
Considera un esempio.
Lascia che ci sia $\frac(1)(3)$ parte di una mela nel piatto. Dobbiamo trovare la parte $\frac(1)(2)$ di esso. La parte richiesta è il risultato della moltiplicazione delle frazioni $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(2)$. Il risultato della moltiplicazione di due frazioni comuni è una frazione comune.
Moltiplicazione di due frazioni comuni
Regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:
Il risultato della moltiplicazione di una frazione per una frazione è una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori delle frazioni moltiplicate e il denominatore è uguale al prodotto dei denominatori:
Esempio 1
Moltiplica le frazioni ordinarie $\frac(3)(7)$ e $\frac(5)(11)$.
Soluzione.
Usiamo la regola della moltiplicazione delle frazioni ordinarie:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Risposta:$\frac(15)(77)$
Se come risultato della moltiplicazione delle frazioni si ottiene una frazione cancellabile o impropria, allora è necessario semplificarla.
Esempio 2
Moltiplica le frazioni $\frac(3)(8)$ e $\frac(1)(9)$.
Soluzione.
Usiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Di conseguenza, abbiamo ottenuto una frazione riducibile (sulla base della divisione per $3$. Dividendo il numeratore e il denominatore della frazione per $3$, otteniamo:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Soluzione breve:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Risposta:$\frac(1)(24).$
Quando moltiplichi le frazioni, puoi ridurre i numeratori e i denominatori per trovare il loro prodotto. In questo caso, il numeratore e il denominatore della frazione vengono scomposti in fattori semplici, dopodiché i fattori ripetuti vengono ridotti e si trova il risultato.
Esempio 3
Calcola il prodotto delle frazioni $\frac(6)(75)$ e $\frac(15)(24)$.
Soluzione.
Usiamo la formula per moltiplicare le frazioni ordinarie:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Ovviamente, il numeratore e il denominatore contengono numeri che possono essere ridotti a coppie dai numeri $2$, $3$ e $5$. Scomponiamo il numeratore e il denominatore in fattori semplici e facciamo la riduzione:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Risposta:$\frac(1)(20).$
Quando si moltiplicano le frazioni, si può applicare la legge commutativa:
Moltiplicare una frazione per un numero naturale
La regola per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale:
Il risultato della moltiplicazione di una frazione per un numero naturale è una frazione in cui il numeratore è uguale al prodotto del numeratore della frazione moltiplicata per il numero naturale e il denominatore è uguale al denominatore della frazione moltiplicata:
dove $\frac(a)(b)$ è una frazione comune, $n$ è un numero naturale.
Esempio 4
Moltiplica la frazione $\frac(3)(17)$ per $4$.
Soluzione.
Usiamo la regola di moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Risposta:$\frac(12)(17).$
Non dimenticare di controllare il risultato della moltiplicazione per la contrattibilità di una frazione o per una frazione impropria.
Esempio 5
Moltiplica la frazione $\frac(7)(15)$ per $3$.
Soluzione.
Usiamo la formula per moltiplicare una frazione per un numero naturale:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Con il criterio della divisione per il numero $3$), si può determinare che la frazione risultante può essere ridotta:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Il risultato è una frazione impropria. Prendiamo l'intera parte:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Soluzione breve:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Era anche possibile ridurre le frazioni sostituendo i numeri al numeratore e al denominatore con le loro espansioni in fattori primi. In questo caso, la soluzione potrebbe essere scritta come segue:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Risposta:$1\frac(2)(5).$
Quando moltiplichi una frazione per un numero naturale, puoi usare la legge commutativa:
Divisione di frazioni ordinarie
L'operazione di divisione è l'inverso della moltiplicazione e il suo risultato è una frazione, per la quale è necessario moltiplicare una frazione nota per ottenere opera famosa due frazioni.
Divisione di due frazioni comuni
La regola per dividere le frazioni ordinarie: Ovviamente, il numeratore e il denominatore della frazione risultante possono essere scomposti in fattori semplici e ridurre:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Di conseguenza, abbiamo ottenuto una frazione impropria, dalla quale selezioniamo la parte intera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Risposta:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Addizione di frazioni.
L'addizione di frazioni ha molte somiglianze con l'addizione di numeri interi. L'aggiunta di frazioni è un'azione che consiste nel fatto che diversi numeri dati (termini) sono combinati in un numero (somma), che contiene tutte le unità e frazioni di unità di termini.
Prenderemo in considerazione tre casi a turno:
1. Addizione di frazioni con gli stessi denominatori.
2. Addizione di frazioni con denominatori diversi.
3. Addizione di numeri misti.
1. Addizione di frazioni con gli stessi denominatori.
Considera un esempio: 1/5 + 2/5.
Prendi il segmento AB (Fig. 17), prendilo come unità e dividilo in 5 parti uguali, quindi la parte AC di questo segmento sarà uguale a 1/5 del segmento AB e la parte dello stesso segmento CD sarà uguale a 2/5 AB.
Si può vedere dal disegno che se prendiamo il segmento AD, allora sarà uguale a 3/5 AB; ma il segmento AD è appunto la somma dei segmenti AC e CD. Quindi, possiamo scrivere:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando questi termini e l'importo risultante, vediamo che il numeratore della somma è stato ottenuto sommando i numeratori dei termini e il denominatore è rimasto invariato.
Da ciò otteniamo la seguente regola: Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Considera un esempio:
2. Addizione di frazioni con denominatori diversi.
Aggiungiamo le frazioni: 3/4 + 3/8 Prima devono essere ridotte al minimo comune denominatore:
Il collegamento intermedio 6/8 + 3/8 non poteva essere scritto; lo abbiamo scritto qui per maggiore chiarezza.
Quindi, per sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima portarle al minimo comune denominatore, sommare i loro numeratori e firmare il denominatore comune.
Considera un esempio (scriveremo fattori aggiuntivi sulle frazioni corrispondenti):
3. Addizione di numeri misti.
Sommiamo i numeri: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Portiamo prima le parti frazionarie dei nostri numeri a un denominatore comune e riscriviamole di nuovo:
Ora aggiungi le parti intere e frazionarie in sequenza:
§ 88. Sottrazione di frazioni.
La sottrazione di frazioni è definita allo stesso modo della sottrazione di numeri interi. Questa è un'azione per cui, data la somma di due termini e uno di essi, si trova un altro termine. Consideriamo tre casi a turno:
1. Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
3. Sottrazione di numeri misti.
1. Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori.
Considera un esempio:
13 / 15 - 4 / 15
Prendiamo il segmento AB (Fig. 18), prendiamolo come unità e dividiamolo in 15 parti uguali; allora la parte AC di questo segmento sarà 1/15 di AB, e la parte AD dello stesso segmento corrisponderà a 13/15 AB. Mettiamo da parte un altro segmento ED, pari a 4/15 AB.
Dobbiamo sottrarre 4/15 da 13/15. Nel disegno, ciò significa che il segmento ED deve essere sottratto dal segmento AD. Di conseguenza, rimarrà il segmento AE, che è 9/15 del segmento AB. Quindi possiamo scrivere:
L'esempio che abbiamo fatto mostra che il numeratore della differenza è stato ottenuto sottraendo i numeratori e il denominatore è rimasto lo stesso.
Pertanto, per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, è necessario sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e lasciare lo stesso denominatore.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
Esempio. 3/4 - 5/8
Innanzitutto, riduciamo queste frazioni al minimo comune denominatore:
Il collegamento intermedio 6/8 - 5/8 è scritto qui per chiarezza, ma può essere saltato in futuro.
Quindi, per sottrarre una frazione da una frazione, devi prima portarli al minimo comune denominatore, quindi sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e firmare il comune denominatore sotto la loro differenza.
Considera un esempio:
3. Sottrazione di numeri misti.
Esempio. 10 3/4 - 7 2/3 .
Portiamo le parti frazionarie del minuendo e del sottraendo al minimo comune denominatore:
Abbiamo sottratto un intero da un intero e una frazione da una frazione. Ma ci sono casi in cui la parte frazionaria del sottraendo è maggiore della parte frazionaria del minuendo. In tali casi, è necessario prendere un'unità dalla parte intera del ridotto, suddividerla in quelle parti in cui è espressa la parte frazionaria e aggiungerla alla parte frazionaria del ridotto. E poi la sottrazione verrà eseguita nello stesso modo dell'esempio precedente:
§ 89. Moltiplicazione di frazioni.
Quando studiamo la moltiplicazione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
2. Trovare una frazione di un dato numero.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
4. Moltiplicando una frazione per una frazione.
5. Moltiplicazione di numeri misti.
6. Il concetto di interesse.
7. Trovare le percentuali di un dato numero. Consideriamoli in sequenza.
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
Moltiplicare una frazione per un numero intero ha lo stesso significato di moltiplicare un numero intero per un numero intero. Moltiplicare una frazione (moltiplicando) per un numero intero (moltiplicatore) significa comporre la somma di termini identici, in cui ogni termine è uguale al moltiplicando e il numero di termini è uguale al moltiplicatore.
Quindi, se devi moltiplicare 1/9 per 7, puoi farlo in questo modo:
Abbiamo ottenuto facilmente il risultato, poiché l'azione si è ridotta all'aggiunta di frazioni con gli stessi denominatori. Quindi,
La considerazione di questa azione mostra che moltiplicare una frazione per un numero intero equivale ad aumentare questa frazione tante volte quante sono le unità nel numero intero. E poiché l'aumento della frazione si ottiene aumentando il suo numeratore
o diminuendo il suo denominatore 
, allora possiamo moltiplicare il numeratore per il numero intero o dividere il denominatore per esso, se tale divisione è possibile.
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare una frazione per un numero intero, devi moltiplicare il numeratore per questo numero intero e lasciare lo stesso denominatore o, se possibile, dividere il denominatore per questo numero, lasciando invariato il numeratore.
Quando si moltiplicano, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
2. Trovare una frazione di un dato numero. Ci sono molti problemi in cui devi trovare, o calcolare, una parte di un dato numero. La differenza tra questi compiti e altri è che danno il numero di alcuni oggetti o unità di misura ed è necessario trovare una parte di questo numero, che è indicato anche qui da una certa frazione. Per facilitare la comprensione, forniremo prima esempi di tali problemi, quindi introdurremo il metodo per risolverli.
Compito 1. Avevo 60 rubli; 1/3 di questi soldi li ho spesi per l'acquisto di libri. Quanto sono costati i libri?
Compito 2. Il treno deve coprire la distanza tra le città A e B, pari a 300 km. Ha già coperto i 2/3 di quella distanza. Quanti chilometri sono?
Compito 3. Ci sono 400 case nel villaggio, 3/4 sono in mattoni, il resto in legno. Quante case di mattoni ci sono?
Ecco alcuni dei tanti problemi che dobbiamo affrontare per trovare una frazione di un dato numero. Di solito sono chiamati problemi per trovare una frazione di un dato numero.
Soluzione del problema 1. Da 60 rubli. Ho speso 1/3 in libri; Quindi, per trovare il costo dei libri, devi dividere il numero 60 per 3:
Problema 2 soluzione. Il significato del problema è che devi trovare 2/3 di 300 km. Calcola il primo 1/3 di 300; questo si ottiene dividendo 300 km per 3:
300: 3 = 100 (ovvero 1/3 di 300).
Per trovare i due terzi di 300, devi raddoppiare il quoziente risultante, cioè moltiplicare per 2:
100 x 2 = 200 (ovvero 2/3 di 300).
Soluzione del problema 3. Qui devi determinare il numero di case in mattoni, che sono 3/4 di 400. Troviamo prima 1/4 di 400,
400: 4 = 100 (ovvero 1/4 di 400).
Per calcolare i tre quarti di 400, il quoziente risultante deve essere triplicato, cioè moltiplicato per 3:
100 x 3 = 300 (ovvero 3/4 di 400).
Sulla base della soluzione di questi problemi, possiamo derivare la seguente regola:
Per trovare il valore di una frazione di un dato numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il quoziente risultante per il suo numeratore.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
In precedenza (§ 26) è stato stabilito che la moltiplicazione di numeri interi deve essere intesa come l'aggiunta di termini identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In questo paragrafo (paragrafo 1) è stato stabilito che moltiplicare una frazione per un numero intero significa trovare la somma di termini identici pari a questa frazione.
In entrambi i casi la moltiplicazione consisteva nel trovare la somma di termini identici.
Ora passiamo alla moltiplicazione di un numero intero per una frazione. Qui incontreremo tale, ad esempio, moltiplicazione: 9 2 / 3. È abbastanza ovvio che la precedente definizione di moltiplicazione non si applica a questo caso. Ciò è evidente dal fatto che non possiamo sostituire tale moltiplicazione con l'aggiunta di numeri uguali.
Per questo motivo, dovremo dare una nuova definizione di moltiplicazione, cioè, in altre parole, rispondere alla domanda su cosa si debba intendere per moltiplicazione per una frazione, come si debba intendere questa azione.
Il significato di moltiplicare un numero intero per una frazione è chiaro dalla seguente definizione: moltiplicare un numero intero (moltiplicatore) per una frazione (moltiplicatore) significa trovare questa frazione del moltiplicatore.
Vale a dire, moltiplicare 9 per 2/3 significa trovare 2/3 di nove unità. Nel paragrafo precedente, tali problemi sono stati risolti; quindi è facile capire che finiamo con 6.
Ma ora sorge una domanda interessante e importante: perché tale a prima vista varie attività, come trovare la somma di numeri uguali e trovare la frazione di un numero, in aritmetica si chiamano la stessa parola "moltiplicazione"?
Ciò accade perché l'azione precedente (ripetere più volte il numero con i termini) e la nuova azione (trovare la frazione di un numero) danno una risposta a domande omogenee. Ciò significa che procediamo qui dalle considerazioni che domande o compiti omogenei sono risolti da una stessa azione.
Per capirlo, considera il seguente problema: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 4 m di tale tessuto?
Questo problema viene risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (4), ad es. 50 x 4 = 200 (rubli).
Prendiamo lo stesso problema, ma in esso la quantità di stoffa sarà espressa come numero frazionario: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costano 3/4 m di tale stoffa?
Anche questo problema deve essere risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (3/4).
Puoi anche cambiare i numeri in esso più volte senza cambiare il significato del problema, ad esempio, prendi 9/10 m o 2 3/10 m, ecc.
Poiché questi problemi hanno lo stesso contenuto e differiscono solo per i numeri, chiamiamo le azioni utilizzate per risolverli la stessa parola: moltiplicazione.
Come si moltiplica un numero intero per una frazione?
Prendiamo i numeri incontrati nell'ultimo problema:
Secondo la definizione, dobbiamo trovare 3/4 di 50. Prima troviamo 1/4 di 50, e poi 3/4.
1/4 di 50 è 50/4;
3/4 di 50 è .
Quindi.
Consideriamo un altro esempio: 12 5/8 = ?
1/8 di 12 è 12/8,
5/8 del numero 12 è .
Quindi,
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare un numero intero per una frazione, devi moltiplicare il numero intero per il numeratore della frazione e rendere questo prodotto il numeratore e firmare il denominatore della frazione data come denominatore.
Scriviamo questa regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata come un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per moltiplicare un numero per un quoziente, che è stata stabilita nel § 38
Va ricordato che prima di eseguire la moltiplicazione, dovresti fare (se possibile) tagli, Per esempio:
4. Moltiplicando una frazione per una frazione. Moltiplicare una frazione per frazione ha lo stesso significato di moltiplicare un numero intero per frazione, ovvero, quando si moltiplica una frazione per frazione, è necessario trovare la frazione nel moltiplicatore dalla prima frazione (moltiplicatore).
Vale a dire, moltiplicare 3/4 per 1/2 (metà) significa trovare la metà di 3/4.
Come si moltiplica una frazione per una frazione?
Facciamo un esempio: 3/4 volte 5/7. Ciò significa che devi trovare 5/7 da 3/4. Trova prima 1/7 di 3/4 e poi 5/7
1/7 di 3/4 sarebbe espresso così:
5 / 7 numeri 3 / 4 saranno espressi come segue:
Così,
Un altro esempio: 5/8 volte 4/9.
1/9 di 5/8 è ,
4/9 numeri 5/8 sono .
Così, 
Da questi esempi si può dedurre la seguente regola:
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo prodotto il denominatore del prodotto.
Questa è la regola in vista generale si può scrivere così:
Quando si moltiplica, è necessario effettuare (se possibile) riduzioni. Considera esempi:
5. Moltiplicazione di numeri misti. Poiché i numeri misti possono essere facilmente sostituiti da frazioni improprie, questa circostanza viene solitamente utilizzata quando si moltiplicano numeri misti. Ciò significa che nei casi in cui il moltiplicando, o il moltiplicatore, o entrambi i fattori sono espressi come numeri misti, vengono sostituiti da frazioni improprie. Moltiplica, ad esempio, numeri misti: 2 1/2 e 3 1/5. Trasformiamo ciascuno di essi in una frazione impropria e poi moltiplichiamo le frazioni risultanti secondo la regola di moltiplicare una frazione per una frazione:
Regola. Per moltiplicare numeri misti, devi prima convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicare secondo la regola di moltiplicare una frazione per una frazione.
Nota. Se uno dei fattori è un numero intero, la moltiplicazione può essere eseguita in base alla legge di distribuzione come segue:
6. Il concetto di interesse. Quando risolviamo problemi e quando eseguiamo vari calcoli pratici, utilizziamo tutti i tipi di frazioni. Ma bisogna tener presente che molte quantità non ammettono alcuna suddivisione se non naturale per esse. Ad esempio, puoi prendere un centesimo (1/100) di rublo, sarà un centesimo, due centesimi sono 2 copechi, tre centesimi sono 3 copechi. Puoi prendere 1/10 del rublo, sarà "10 copechi, o un centesimo. Puoi prendere un quarto del rublo, cioè 25 copechi, mezzo rublo, cioè 50 copechi (cinquanta copechi). Ma praticamente non lo fanno non prendere, ad esempio, 2/7 rubli perché il rublo non è diviso in settimi.
L'unità di misura del peso, cioè il chilogrammo, consente innanzitutto suddivisioni decimali, ad esempio 1/10 kg o 100 g e frazioni di chilogrammo come 1/6, 1/11, 1/ 13 sono rari.
In generale le nostre misure (metriche) sono decimali e consentono suddivisioni decimali.
Tuttavia, va notato che è estremamente utile e conveniente in un'ampia varietà di casi utilizzare lo stesso metodo (uniforme) di suddivisione delle quantità. Molti anni di esperienza hanno dimostrato che una divisione così giustificata è la divisione dei "centesimi". Consideriamo alcuni esempi relativi alle aree più diverse della pratica umana.
1. Il prezzo dei libri è diminuito di 12/100 rispetto al prezzo precedente.
Esempio. Il prezzo precedente del libro è di 10 rubli. È scesa di 1 rublo. 20 copechi.
2. Le casse di risparmio versano nell'anno ai depositanti i 2/100 dell'importo destinato al risparmio.
Esempio. 500 rubli vengono messi alla cassa, il reddito da questo importo per l'anno è di 10 rubli.
3. Il numero di diplomati di una scuola era 5/100 del numero totale di studenti.
ESEMPIO Solo 1.200 studenti hanno studiato nella scuola, 60 dei quali si sono diplomati.
Il centesimo di un numero si chiama percentuale..
La parola "percentuale" è presa in prestito dalla lingua latina e la sua radice "centesimo" significa cento. Insieme alla preposizione (pro centum), questa parola significa "per cento". Il significato di questa espressione deriva dal fatto che inizialmente in antica Roma l'interesse era il denaro che il debitore pagava al creditore "per ogni cento". La parola "cent" si sente in parole così familiari: centner (cento chilogrammi), centimetro (dicono centimetro).
Ad esempio, invece di dire che l'impianto ha prodotto 1/100 di tutti i prodotti da esso prodotti nell'ultimo mese, diremo questo: l'impianto ha prodotto l'uno percento degli scarti nell'ultimo mese. Invece di dire: lo stabilimento ha prodotto 4/100 prodotti in più rispetto al piano stabilito, diremo: lo stabilimento ha superato il piano del 4 per cento.
Gli esempi precedenti possono essere espressi in modo diverso:
1. Il prezzo dei libri è diminuito del 12% rispetto al prezzo precedente.
2. Le casse di risparmio pagano ai depositanti il 2% annuo dell'importo messo a risparmio.
3. Il numero di diplomati di una scuola era il 5% del numero di tutti gli studenti della scuola.
Per accorciare la lettera, è consuetudine scrivere il segno% invece della parola "percentuale".
Tuttavia, va ricordato che il segno % di solito non è scritto nei calcoli, può essere scritto nella dichiarazione del problema e nel risultato finale. Quando si eseguono calcoli, è necessario scrivere una frazione con un denominatore di 100 invece di un numero intero con questa icona.
Devi essere in grado di sostituire un numero intero con l'icona specificata con una frazione con un denominatore di 100:
Al contrario, devi abituarti a scrivere un numero intero con l'icona indicata invece di una frazione con denominatore 100:
7. Trovare le percentuali di un dato numero.
Compito 1. La scuola ha ricevuto 200 metri cubi. m di legna da ardere, con legna da ardere di betulla che rappresenta il 30%. Quanto legno di betulla c'era?
Il significato di questo problema è che la legna da ardere di betulla era solo una parte della legna da ardere consegnata alla scuola, e questa parte è espressa come frazione di 30/100. Quindi, ci troviamo di fronte al compito di trovare una frazione di un numero. Per risolverlo, dobbiamo moltiplicare 200 per 30/100 (i compiti per trovare la frazione di un numero vengono risolti moltiplicando un numero per una frazione).
Quindi il 30% di 200 è uguale a 60.
La frazione 30/100 incontrata in questo problema può essere ridotta di 10. Sarebbe possibile eseguire questa riduzione fin dall'inizio; la soluzione al problema non cambierebbe.
Compito 2. Nel campo c'erano 300 bambini di varie età. I bambini di 11 anni erano il 21%, i bambini di 12 anni il 61% e infine i tredicenni il 18%. Quanti bambini di ogni età c'erano nel campo?
In questo problema, devi eseguire tre calcoli, ovvero trovare successivamente il numero di bambini di 11 anni, poi di 12 anni e infine di 13 anni.
Quindi, qui sarà necessario trovare una frazione di un numero tre volte. Facciamolo:
1) Quanti bambini avevano 11 anni?
2) Quanti bambini avevano 12 anni?
3) Quanti bambini avevano 13 anni?
Dopo aver risolto il problema, è utile sommare i numeri trovati; la loro somma dovrebbe essere 300:
63 + 183 + 54 = 300
Dovresti anche prestare attenzione al fatto che la somma delle percentuali fornite nella condizione del problema è 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Questo lo suggerisce numero totale i bambini che erano nel campo sono stati presi al 100%.
3 a da cha 3. Il lavoratore riceveva 1.200 rubli al mese. Di questi ha speso il 65% in vitto, il 6% in appartamento e riscaldamento, il 4% in gas, luce e radio, il 10% in beni culturali e il 15% ha risparmiato. Quanto denaro è stato speso per le esigenze indicate nel compito?
Per risolvere questo problema, devi trovare 5 volte una frazione del numero 1200. Facciamolo.
1) Quanti soldi vengono spesi per il cibo? L'attività dice che questa spesa è il 65% di tutti i guadagni, cioè 65/100 del numero 1200. Facciamo il calcolo:
2) Quanti soldi sono stati pagati per un appartamento con riscaldamento? Argomentando come il precedente, arriviamo al seguente calcolo:
3) Quanti soldi hai pagato per il gas, l'elettricità e la radio?
4) Quanto denaro viene speso per i bisogni culturali?
5) Quanti soldi ha risparmiato il lavoratore?
Per verifica è utile sommare i numeri che si trovano in queste 5 domande. L'importo dovrebbe essere di 1.200 rubli. Tutti i guadagni sono presi come 100%, che è facile da verificare sommando le percentuali indicate nella dichiarazione del problema.
Abbiamo risolto tre problemi. Nonostante questi compiti riguardassero cose diverse (consegna della legna da ardere per la scuola, numero di bambini di età diverse, spese del lavoratore), venivano risolti allo stesso modo. Ciò è accaduto perché in tutte le attività era necessario trovare una piccola percentuale dei numeri indicati.
§ 90. Divisione delle frazioni.
Quando studiamo la divisione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
2. Divisione di una frazione per un numero intero
3. Divisione di un numero intero per frazione.
4. Divisione di una frazione per frazione.
5. Divisione di numeri misti.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Consideriamoli in sequenza.
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
Come è stato indicato nella sezione dei numeri interi, la divisione è l'azione consistente nel fatto che, dato il prodotto di due fattori (il dividendo) e uno di questi fattori (il divisore), si trova un altro fattore.
La divisione di un numero intero per un numero intero che abbiamo considerato nel dipartimento dei numeri interi. Abbiamo incontrato lì due casi di divisione: divisione senza resto, o "interamente" (150: 10 = 15), e divisione con resto (100: 9 = 11 e 1 nel resto). Possiamo quindi dire che nell'ambito degli interi la divisione esatta non è sempre possibile, perché il dividendo non è sempre il prodotto del divisore per l'intero. Dopo l'introduzione della moltiplicazione per frazione, si può considerare possibile qualsiasi caso di divisione di numeri interi (è esclusa solo la divisione per zero).
Ad esempio, dividere 7 per 12 significa trovare un numero il cui prodotto per 12 sarebbe 7. Questo numero è la frazione 7/12 perché 7/12 12 = 7. Un altro esempio: 14: 25 = 14/25 perché 14/25 25 = 14.
Pertanto, per dividere un numero intero per un numero intero, è necessario creare una frazione, il cui numeratore è uguale al dividendo e il denominatore è il divisore.
2. Divisione di una frazione per un numero intero.
Dividi la frazione 6 / 7 per 3. Secondo la definizione di divisione data sopra, abbiamo qui il prodotto (6 / 7) e uno dei fattori (3); è necessario trovare un tale secondo fattore, che dalla moltiplicazione per 3 darebbe questo lavoro 6/7. Ovviamente, dovrebbe essere tre volte più piccolo di questo prodotto. Ciò significa che il compito che ci attendeva era di ridurre di 3 volte la frazione 6/7.
Sappiamo già che la riduzione di una frazione può essere fatta o diminuendo il suo numeratore o aumentando il suo denominatore. Pertanto, puoi scrivere:
IN questo caso il numeratore 6 è divisibile per 3, quindi il numeratore dovrebbe essere ridotto di 3 volte.
Facciamo un altro esempio: 5 / 8 diviso 2. Qui il numeratore 5 non è divisibile per 2, il che significa che il denominatore dovrà essere moltiplicato per questo numero:
Sulla base di ciò, possiamo enunciare la regola: Per dividere una frazione per un numero intero, devi dividere il numeratore della frazione per quel numero intero(se possibile), lasciando lo stesso denominatore, oppure moltiplicare il denominatore della frazione per questo numero, lasciando lo stesso numeratore.
3. Divisione di un numero intero per frazione.
Sia necessario dividere 5 per 1/2, cioè trovare un numero che, moltiplicato per 1/2, dia il prodotto 5. Ovviamente questo numero deve essere maggiore di 5, poiché 1/2 è una frazione propria, e quando si moltiplica un numero per una frazione propria, il prodotto deve essere minore del moltiplicando. Per renderlo più chiaro, scriviamo le nostre azioni come segue: 5: 1 / 2 = X , quindi x 1/2 \u003d 5.
Dobbiamo trovare un tale numero X , che, moltiplicato per 1/2, darebbe 5. Poiché moltiplicare un certo numero per 1/2 significa trovare 1/2 di questo numero, allora, quindi, 1/2 del numero sconosciuto X è 5, e il numero intero X il doppio, ad es. 5 2 \u003d 10.
Quindi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Controlliamo: 
Consideriamo un altro esempio. Sia necessario dividere 6 per 2/3. Proviamo prima a trovare il risultato desiderato usando il disegno (Fig. 19).
Fig.19
Disegna un segmento AB, uguale a 6 di alcune unità, e dividi ciascuna unità in 3 parti uguali. In ogni unità, tre terzi (3/3) dell'intero segmento AB è 6 volte più grande, cioè e.18/3. Colleghiamo con l'aiuto di piccole parentesi 18 segmenti ottenuti di 2; Ci saranno solo 9 segmenti. Ciò significa che la frazione 2/3 è contenuta in b unità 9 volte, o, in altre parole, la frazione 2/3 è 9 volte inferiore a 6 unità intere. Quindi,
Come ottenere questo risultato senza un disegno usando solo calcoli? Discuteremo come segue: è necessario dividere 6 per 2/3, ovvero è necessario rispondere alla domanda, quante volte 2/3 è contenuto in 6. Scopriamo prima: quante volte è 1/3 contenuto in 6? In un'intera unità - 3 terzi e in 6 unità - 6 volte di più, ad es. 18 terzi; per trovare questo numero, dobbiamo moltiplicare 6 per 3. Quindi, 1/3 è contenuto nelle unità b 18 volte, e 2/3 è contenuto nelle unità b non 18 volte, ma la metà di volte, cioè 18: 2 = 9 Pertanto, dividendo 6 per 2/3 abbiamo fatto quanto segue:
Da qui otteniamo la regola per dividere un numero intero per una frazione. Per dividere un numero intero per una frazione, devi moltiplicare questo numero intero per il denominatore della frazione data e, facendo di questo prodotto il numeratore, dividerlo per il numeratore della frazione data.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata come un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per dividere un numero per un quoziente, che è stata stabilita nel § 38. Si noti che la stessa formula è stata ottenuta lì.
Quando si dividono, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
4. Divisione di una frazione per frazione.
Sia necessario dividere 3/4 per 3/8. Cosa indicherà il numero che si otterrà come risultato della divisione? Risponderà alla domanda quante volte la frazione 3/8 è contenuta nella frazione 3/4. Per capire questo problema, facciamo un disegno (Fig. 20).
Prendi il segmento AB, prendilo come un'unità, dividilo in 4 parti uguali e segna 3 di queste parti. Il segmento AC sarà uguale a 3/4 del segmento AB. Dividiamo ora ciascuno dei quattro segmenti iniziali a metà, quindi il segmento AB sarà diviso in 8 parti uguali e ciascuna di tali parti sarà uguale a 1/8 del segmento AB. Colleghiamo 3 di questi segmenti con archi, quindi ciascuno dei segmenti AD e DC sarà uguale a 3/8 del segmento AB. Il disegno mostra che il segmento pari a 3/8 è contenuto nel segmento pari a 3/4 esattamente 2 volte; Quindi il risultato della divisione può essere scritto così:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideriamo un altro esempio. Sia necessario dividere 15/16 per 3/32:
Possiamo ragionare così: dobbiamo trovare un numero che, dopo essere stato moltiplicato per 3/32, dia un prodotto pari a 15/16. Scriviamo i calcoli in questo modo:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numero sconosciuto X trucco 15 / 16
1/32 numero sconosciuto X È ,
32 / 32 numeri X trucco .
Quindi,
Quindi, per dividere una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda, e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo il denominatore.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Quando si dividono, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
5. Divisione di numeri misti.
Quando si dividono numeri misti, devono prima essere convertiti in frazioni improprie, quindi le frazioni risultanti devono essere divise secondo le regole per dividere i numeri frazionari. Considera un esempio:
Converti numeri misti in frazioni improprie:
Ora dividiamo:
Pertanto, per dividere numeri misti, devi convertirli in frazioni improprie e poi dividere secondo la regola per dividere le frazioni.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
Tra i vari compiti sulle frazioni, a volte ci sono quelli in cui viene fornito il valore di una frazione di un numero sconosciuto ed è necessario trovare questo numero. Questo tipo di problema sarà inverso al problema di trovare una frazione di un dato numero; lì è stato dato un numero ed è stato necessario trovare una frazione di questo numero, qui è stata data una frazione di un numero ed è necessario trovare questo numero stesso. Questa idea diventerà ancora più chiara se passiamo alla soluzione di questo tipo di problema.
Compito 1. Il primo giorno, i vetrai hanno smaltato 50 finestre, ovvero 1/3 di tutte le finestre della casa costruita. Quante finestre ci sono in questa casa?
Soluzione. Il problema dice che 50 finestre vetrate costituiscono 1/3 di tutte le finestre della casa, il che significa che ci sono 3 volte più finestre in totale, cioè
La casa aveva 150 finestre.
Compito 2. Il negozio ha venduto 1.500 kg di farina, pari a 3/8 della scorta totale di farina del negozio. Qual era la fornitura iniziale di farina del negozio?
Soluzione. Dalla condizione del problema si evince che i 1.500 kg di farina venduti costituiscono i 3/8 dello stock totale; ciò significa che 1/8 di questo stock sarà 3 volte inferiore, ovvero, per calcolarlo, è necessario ridurre 1500 di 3 volte:
1.500: 3 = 500 (ovvero 1/8 dello stock).
Ovviamente, l'intero stock sarà 8 volte più grande. Quindi,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
La fornitura iniziale di farina nel magazzino era di 4.000 kg.
Dalla considerazione di questo problema, si può dedurre la seguente regola.
Per trovare un numero per un dato valore della sua frazione, è sufficiente dividere questo valore per il numeratore della frazione e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione.
Abbiamo risolto due problemi sulla ricerca di un numero data la sua frazione. Tali problemi, come si vede particolarmente bene dall'ultimo, sono risolti da due azioni: divisione (quando si trova una parte) e moltiplicazione (quando si trova il numero intero).
Tuttavia, dopo aver studiato la divisione delle frazioni, i problemi di cui sopra possono essere risolti in un'azione, vale a dire: divisione per frazione.
Ad esempio, l'ultimo compito può essere risolto in un'azione come questa:
In futuro, risolveremo il problema di trovare un numero in base alla sua frazione in un'azione: la divisione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
In queste attività, dovrai trovare un numero, conoscendo una piccola percentuale di questo numero.
Compito 1. All'inizio di quest'anno ho ricevuto 60 rubli dalla cassa di risparmio. reddito dall'importo che ho messo nei risparmi un anno fa. Quanti soldi ho messo nella cassa di risparmio? (Gli uffici cassa danno ai depositanti il 2% del reddito all'anno.)
Il significato del problema è che una certa somma di denaro è stata messa da me in una cassa di risparmio e vi è rimasta per un anno. Dopo un anno, ho ricevuto da lei 60 rubli. reddito, che è 2/100 del denaro che ho versato. Quanti soldi ho depositato?
Pertanto, conoscendo la parte di questo denaro, espressa in due modi (in rubli e in frazioni), dobbiamo trovare l'intero importo, ancora sconosciuto. Questo è un normale problema di trovare un numero data la sua frazione. I seguenti compiti sono risolti per divisione:
Quindi, 3.000 rubli sono stati depositati nella cassa di risparmio.
Compito 2. In due settimane, i pescatori hanno soddisfatto il piano mensile del 64%, avendo preparato 512 tonnellate di pesce. Qual era il loro piano?
Dalle condizioni del problema, si sa che i pescatori hanno completato parte del piano. Questa parte è pari a 512 tonnellate, pari al 64% del piano. Quante tonnellate di pesce devono essere raccolte secondo il piano, non lo sappiamo. La soluzione del problema consisterà nel trovare questo numero.
Tali compiti sono risolti dividendo:
Quindi, secondo il piano, devi preparare 800 tonnellate di pesce.
Compito 3. Il treno è andato da Riga a Mosca. Quando ha superato il 276esimo chilometro, uno dei passeggeri ha chiesto al controllore di passaggio quanto del viaggio avevano già percorso. A questo il conduttore ha risposto: "Abbiamo già percorso il 30% dell'intero viaggio". Qual è la distanza da Riga a Mosca?
Si può vedere dalle condizioni del problema che il 30% del viaggio da Riga a Mosca è di 276 km. Dobbiamo trovare l'intera distanza tra queste città, cioè, per questa parte, trovare il tutto:
§ 91. Numeri reciproci. Sostituire la divisione con la moltiplicazione.
Prendi la frazione 2/3 e riorganizza il numeratore al posto del denominatore, otteniamo 3/2. Abbiamo una frazione, il reciproco di questa.
Per ottenere una frazione reciproca di una data, devi mettere il suo numeratore al posto del denominatore e il denominatore al posto del numeratore. In questo modo, possiamo ottenere una frazione che è il reciproco di qualsiasi frazione. Per esempio:
3/4, rovescio 4/3; 5/6, rovescio 6/5
Si chiamano due frazioni che hanno la proprietà che il numeratore della prima è il denominatore della seconda e il denominatore della prima è il numeratore della seconda mutuamente inverso.
Ora pensiamo a quale frazione sarà il reciproco di 1/2. Ovviamente sarà 2/1, o solo 2. Cercando il reciproco di questo, abbiamo ottenuto un numero intero. E questo caso non è isolato; al contrario, per tutte le frazioni con numeratore 1 (uno), i reciproci saranno interi, ad esempio:
1/3, inverso 3; 1/5, rovescio 5
Poiché durante la ricerca dei reciproci ci siamo anche incontrati con numeri interi, in futuro non parleremo di reciproci, ma di reciproci.
Scopriamo come scrivere il reciproco di un numero intero. Per le frazioni, questo è risolto semplicemente: devi mettere il denominatore al posto del numeratore. Allo stesso modo, puoi ottenere il reciproco di un numero intero, poiché qualsiasi numero intero può avere un denominatore di 1. Pertanto, il reciproco di 7 sarà 1/7, perché 7 \u003d 7/1; per il numero 10 il contrario è 1/10 poiché 10 = 10/1
Questa idea può essere espressa in un altro modo: il reciproco di un dato numero si ottiene dividendo uno per dato numero . Questa affermazione è vera non solo per i numeri interi, ma anche per le frazioni. Infatti, se vogliamo scrivere un numero che sia il reciproco della frazione 5/9, allora possiamo prendere 1 e dividerlo per 5/9, cioè
Ora ne segnaliamo uno proprietà numeri mutuamente reciproci, che ci saranno utili: il prodotto di numeri mutuamente reciproci è uguale a uno. Infatti:
Usando questa proprietà, possiamo trovare i reciproci nel modo seguente. Troviamo il reciproco di 8.
Indichiamolo con la lettera X , quindi 8 X = 1, quindi X = 1/8. Troviamo un altro numero, l'inverso di 7/12, indicalo con una lettera X , quindi 7/12 X = 1, quindi X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Abbiamo introdotto qui il concetto di numeri reciproci per integrare leggermente le informazioni sulla divisione delle frazioni.
Quando dividiamo il numero 6 per 3/5, facciamo quanto segue:
Presta particolare attenzione all'espressione e confrontala con quella data: .
Se prendiamo l'espressione separatamente, senza connessione con la precedente, allora è impossibile risolvere la questione da dove provenga: dividendo 6 per 3/5 o moltiplicando 6 per 5/3. In entrambi i casi il risultato è lo stesso. Quindi possiamo dire che la divisione di un numero per un altro può essere sostituita moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore.
Gli esempi che riportiamo di seguito confermano pienamente questa conclusione.
Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, devi conoscere semplici regole. Analizzeremo ora queste regole in dettaglio.
Moltiplicare una frazione per una frazione.
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Considera un esempio:
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e moltiplichiamo anche il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ volte 3)(7 \volte 3) = \frac(4)(7)\\\)
La frazione \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) è stata ridotta di 3.
Moltiplicare una frazione per un numero.
Partiamo dalla regola qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usiamo questa regola per la moltiplicazione.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Frazione impropria \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertito in una frazione mista.
In altre parole, Quando moltiplichi un numero per una frazione, moltiplica il numero per il numeratore e lascia invariato il denominatore. Esempio:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Moltiplicazione di frazioni miste.
Per moltiplicare frazioni miste, devi prima rappresentare ciascuna frazione mista come una frazione impropria, quindi utilizzare la regola di moltiplicazione. Il numeratore viene moltiplicato con il numeratore, il denominatore viene moltiplicato con il denominatore.
Esempio:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.
La frazione \(\bf \frac(a)(b)\) è l'inverso della frazione \(\bf \frac(b)(a)\), purché a≠0,b≠0.
Le frazioni \(\bf \frac(a)(b)\) e \(\bf \frac(b)(a)\) sono chiamate reciproche. Il prodotto delle frazioni reciproche è 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Esempio:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Domande correlate:
Come moltiplicare una frazione per una frazione?
Risposta: il prodotto delle frazioni ordinarie è la moltiplicazione del numeratore con il numeratore, del denominatore con il denominatore. Per ottenere il prodotto di frazioni miste, devi convertirle in una frazione impropria e moltiplicare secondo le regole.
Come moltiplicare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: non importa se sono uguali o denominatori diversi per le frazioni, la moltiplicazione avviene secondo la regola di trovare il prodotto del numeratore con il numeratore, il denominatore con il denominatore.
Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto devi convertire la frazione mista in una frazione impropria e poi trovare il prodotto secondo le regole della moltiplicazione.
Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore.
Esempio 1:
Calcolare il prodotto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Soluzione:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rosso) (5))(3 \times \color(rosso) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Esempio #2:
Calcola il prodotto di un numero per una frazione: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Soluzione:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Esempio #3:
Scrivi il reciproco di \(\frac(1)(3)\)?
Risposta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Esempio #4:
Calcolare il prodotto di due frazioni reciproche: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Soluzione:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Esempio #5:
Le frazioni mutuamente inverse possono essere:
a) entrambe le frazioni proprie;
b) frazioni simultaneamente improprie;
c) numeri naturali allo stesso tempo?
Soluzione:
a) Usiamo un esempio per rispondere alla prima domanda. La frazione \(\frac(2)(3)\) è propria, il suo reciproco sarà uguale a \(\frac(3)(2)\) - una frazione impropria. Risposta: no.
b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere allo stesso tempo una frazione impropria. Ad esempio, la frazione impropria è \(\frac(3)(3)\) , il suo reciproco è \(\frac(3)(3)\). Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni, quando il numeratore e il denominatore sono uguali.
c) i numeri naturali sono i numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, .... Se prendiamo il numero \(3 = \frac(3)(1)\), allora il suo reciproco sarà \(\frac(1)(3)\). La frazione \(\frac(1)(3)\) non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, allora il suo reciproco sarà \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo numero è 1.
Esempio #6:
Esegui il prodotto di frazioni miste: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Soluzione:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Esempio #7:
Due numeri reciproci possono essere contemporaneamente numeri misti?
Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista \(1\frac(1)(2)\), troviamo il suo reciproco, per questo lo traduciamo in una frazione impropria \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Il suo reciproco sarà uguale a \(\frac(2)(3)\) . La frazione \(\frac(2)(3)\) è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri misti contemporaneamente.
Nel V secolo aC, l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia "Achille e la tartaruga". Ecco come suona:Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi dietro di essa. Durante il tempo in cui Achille percorre questa distanza, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà percorso cento passi, la tartaruga ne farà altri dieci, e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento è diventato uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Tutti, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che " ... le discussioni continuano attualmente, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione universalmente accettata al problema ..."[Wikipedia," Aporie di Zenone "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.
Dal punto di vista della matematica, Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dal valore a. Questa transizione implica l'applicazione invece di costanti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico di applicazione unità variabili la misura o non è ancora sviluppata, oppure non è stata applicata all'aporia di Zenone. L'applicazione della nostra logica abituale ci conduce in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo costanti unità di tempo al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più superare la tartaruga.
Se capovolgiamo la logica a cui siamo abituati, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore al precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, sarebbe corretto dire "Achille supererà infinitamente rapidamente la tartaruga".
Come evitare questa trappola logica? Rimani in unità di tempo costanti e non passare a valori reciproci. Nella lingua di Zenone, sembra così:
Nel tempo che impiega Achille a fare mille passi, la tartaruga striscia cento passi nella stessa direzione. Durante il prossimo intervallo di tempo, uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento passi. Ora Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L'affermazione di Einstein sull'insormontabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non in numeri infinitamente grandi, ma in unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.
In questa aporia paradosso logico si supera in modo molto semplice: basta chiarire che in ogni momento la freccia volante si ferma in diversi punti dello spazio, che, di fatto, è movimento. C'è un altro punto da notare qui. Da una fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma non possono essere utilizzate per determinare la distanza. Per determinare la distanza dall'auto, sono necessarie due fotografie scattate da punti diversi spazio in un determinato momento, ma è impossibile determinare da essi il fatto del movimento (naturalmente sono ancora necessari dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà). Quello che voglio sottolineare in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono due cose diverse che non devono essere confuse in quanto offrono diverse opportunità di esplorazione.
Mercoledì 4 luglio 2018
Molto bene le differenze tra set e multiset sono descritte in Wikipedia. Noi guardiamo.
Come puoi vedere, "l'insieme non può avere due elementi identici", ma se ci sono elementi identici nell'insieme, tale insieme è chiamato "multiinsieme". Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una tale logica di assurdità. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie addestrate, in cui la mente è assente dalla parola "completamente". I matematici agiscono come normali istruttori, predicandoci le loro idee assurde.
C'era una volta, gli ingegneri che hanno costruito il ponte erano su una barca sotto il ponte durante i test del ponte. Se il ponte crollava, il mediocre ingegnere moriva sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte poteva sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.
Per quanto i matematici si nascondano dietro la frase "badatemi, sono in casa", o meglio "la matematica studia concetti astratti", c'è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente con la realtà. Questo cordone ombelicale è denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.
Abbiamo studiato matematica molto bene e ora siamo seduti alla cassa a pagare gli stipendi. Qui un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, in cui mettiamo banconote dello stesso taglio. Quindi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo "stipendio matematico". Spieghiamo la matematica che riceverà il resto delle fatture solo quando dimostrerà che l'insieme senza elementi identici non è uguale all'insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.
Prima di tutto funzionerà la logica dei deputati: "puoi applicarla agli altri, ma non a me!" Inoltre, inizieremo ad assicurarci che ci sono banconote della stessa denominazione numeri diversi fatture, il che significa che non possono essere considerati elementi identici. Bene, contiamo lo stipendio in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico ricorderà freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi per ogni moneta è unica ...
E ora ho di più interesse Chiedi: dov'è il confine oltre il quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza qui non è nemmeno vicina.
Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa area di campo. L'area dei campi è la stessa, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se consideriamo i nomi degli stessi stadi, otteniamo molto, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme allo stesso tempo. Quanto giusto? E qui il matematico-sciamano-shuller tira fuori un asso di briscola dalla manica e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso, ci convincerà che ha ragione.
Per capire come gli sciamani moderni operano con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò, senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".
Domenica 18 marzo 2018
La somma delle cifre di un numero è una danza di sciamani con un tamburello, che non ha nulla a che fare con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma sono sciamani per questo, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente moriranno.
Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. Non esiste una formula in matematica con la quale puoi trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri e, nel linguaggio della matematica, il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo in modo elementare.
Scopriamo cosa e come facciamo per trovare la somma delle cifre di un dato numero. E quindi, diciamo che abbiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.
1. Annotare il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo grafico numerico. Questa non è un'operazione matematica.
2. Tagliamo un'immagine ricevuta in più immagini contenenti numeri separati. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.
3. Converti i singoli caratteri grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.
4. Somma i numeri risultanti. Questa è matematica.
La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i "corsi di taglio e cucito" degli sciamani usati dai matematici. Ma non è tutto.
Dal punto di vista della matematica, non importa in quale sistema numerico scriviamo il numero. Quindi, dentro sistemi diversi calcolando, la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. Con un numero elevato di 12345, non voglio ingannarmi, considera il numero 26 dell'articolo su. Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non considereremo ogni passaggio al microscopio, lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.
Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici, la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se trovare l'area di un rettangolo in metri e centimetri ti desse risultati completamente diversi.
Lo zero in tutti i sistemi numerici ha lo stesso aspetto e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che . Una domanda per i matematici: come si indica in matematica ciò che non è un numero? Cosa, per i matematici, non esiste altro che numeri? Per gli sciamani posso permetterlo, ma per gli scienziati no. La realtà non è fatta solo di numeri.
Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con unità di misura diverse. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averli confrontati, allora non ha nulla a che fare con la matematica.
Cos'è la vera matematica? Questo è quando il risultato di un'azione matematica non dipende dal valore del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.
OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per studiare la santità indefinita delle anime all'ascensione al cielo! Nimbus in alto e freccia in alto. Quale altro gabinetto?
Femmina... Un'aureola in alto e una freccia in basso sono maschi.
Se hai una tale opera d'arte di design che lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,
Quindi non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua auto:
Personalmente, mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (un'immagine) (composizione di più immagini: segno meno, numero quattro, designazione dei gradi). E non considero una sciocca questa ragazza che non conosce la fisica. Ha solo uno stereotipo ad arco della percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.
1A non è "meno quattro gradi" o "uno a". Questo è "pooping man" o il numero "ventisei" nel sistema numerico esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente in questo sistema numerico percepiscono automaticamente il numero e la lettera come un unico simbolo grafico.
