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로그 1 밑 4. 로그의 정의 및 속성: 이론 및 문제 해결

기본 수준 대수학의 요소 중 하나는 로그입니다. 에서 유래한 이름 그리스 어"숫자"또는 "힘"이라는 단어에서 최종 숫자를 찾기 위해 밑면에서 숫자를 올리는 데 필요한 힘을 의미합니다.

로그의 종류

log a b는 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그입니다(a > 0, a ≠ 1, b > 0).
lg b - 십진수 로그(로그 밑수 10, a = 10);
ln b - 자연 로그(대수 밑 e, a = e).

대수를 푸는 방법?

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 지수이므로 밑수 a를 숫자 b로 올려야 합니다. 결과는 다음과 같이 발음됩니다: "a의 밑수에 대한 b의 로그". 대수 문제에 대한 해결책은 지정된 숫자로 숫자로 주어진 차수를 결정해야 한다는 것입니다. 표기법 자체를 변환할 뿐만 아니라 로그를 결정하거나 풀기 위한 몇 가지 기본 규칙이 있습니다. 이를 사용하여 대수 방정식을 풀고 미분을 구하고 적분을 풀고 다른 많은 작업을 수행합니다. 기본적으로 로그 자체에 대한 솔루션은 단순화된 표기법입니다. 다음은 주요 수식 및 속성입니다.

모든 a에 대해 ; a > 0; a ≠ 1 및 모든 x에 대해 ; y > 0.

로그 a b = b - 기본 대수 항등식
로그 1 = 0
로그 a = 1
로그 a (x y ) = 로그 a x + 로그 a y
log a x/y = log a x – log a y
로그 a 1/x = -로그 x
로그 a x p = p 로그 x
log a k x = 1/k log a x , for k ≠ 0
로그 a x = 로그 a c x c
log a x \u003d log b x / log b a-새 기본으로의 전환 공식
로그 x = 1/로그 x

대수 해결 방법 - 해결을 위한 단계별 지침

먼저 필요한 방정식을 적어 둡니다.

참고: 기본 로그가 10이면 레코드가 줄어들고 십진수 로그를 얻습니다. 자연수 e가 있으면 기록하여 자연 로그로 줄입니다. 그것은 모든 로그의 결과가 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올리는 거듭제곱이라는 것을 의미합니다.

직접적으로 해결책은 이 정도의 계산에 있습니다. 로그로 식을 풀기 전에 규칙에 따라, 즉 수식을 사용하여 단순화해야 합니다. 기사에서 조금 돌아가서 주요 정체성을 찾을 수 있습니다.

두 개의 로그를 더하고 빼기 다양한 숫자, 그러나 동일한 밑수를 사용하여 각각 숫자 b와 c의 곱 또는 나눗셈으로 하나의 로그로 바꿉니다. 이 경우 전환 공식을 다른 베이스에 적용할 수 있습니다(위 참조).

로그를 단순화하기 위해 표현식을 사용하는 경우 알아야 할 몇 가지 제한 사항이 있습니다. 즉, 로그 a의 밑은 양수일 뿐 1과 같지는 않습니다. 숫자 b는 a와 마찬가지로 0보다 커야 합니다.

표현을 단순화하면 로그를 숫자 형식으로 계산할 수 없는 경우가 있습니다. 많은 정도가 비합리적인 숫자이기 때문에 그러한 표현은 의미가 없습니다. 이 조건에서 숫자의 거듭제곱은 로그로 둡니다.

기본 속성.

logax + logay = log(xy);
logax - logay = log(x:y).

같은 근거

log6 4 + log6 9.

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다.

대수 해결의 예

로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 로그가 관찰되는 경우 의미가 있습니다: a > 0, a ≠ 1, x >

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

새로운 재단으로의 전환

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

또한보십시오:

로그의 기본 속성

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지수는 2.718281828… 지수를 기억하기 위해 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7이고 Leo Tolstoy의 출생 연도의 두 배입니다.

로그의 기본 속성

이 규칙을 알면 알게 될 것입니다. 정확한 값출품자 및 Leo Tolstoy의 생년월일.

로그의 예

식의 로그를 취하십시오

예 1
ㅏ). x=10ac^2(a>0, c>0).

속성 3,5로 계산

4. 어디 .

예 2 x if 찾기

예 3. 대수 값을 지정하자

log(x)를 계산하면

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이 규칙을 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(logax 및 logay)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = log(xy);
logax - logay = log(x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이 공식은 계산에 도움이 됩니다. 대수식개별 부분이 고려되지 않은 경우에도 마찬가지입니다("대수란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log3 135 − log3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3 135 - log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

쉽게 볼 수 있습니다 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론, 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log7 496.

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다: 16 = 24; 49 = 72. 우리는:

나는 생각한다 마지막 예설명이 필요합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다.

로그의 공식. 로그는 솔루션의 예입니다.

그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모의 숫자는 log2 7입니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 동일한 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log5 16 log2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log225 = log252 = 2log25;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 없애자 십진 로그, 새 기지로 이동:

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

실제로, 이 정도의 숫자 b가 숫자 a를 제공하는 정도로 숫자 b를 올리면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

logaa = 1입니다. 한 번만 기억하십시오: 해당 밑수 자체에서 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

또한보십시오:

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 식을 나타냅니다. 대수를 계산한다는 것은 등식이 참인 거듭제곱 x()를 찾는 것을 의미합니다.

로그의 기본 속성

위의 속성은 기본적으로 거의 모든 문제와 예제가 로그를 기반으로 해결되기 때문에 알아야 합니다. 나머지 이국적인 속성은 다음 공식을 사용하여 수학적 조작으로 파생될 수 있습니다.

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대수(3.4)의 합과 차에 대한 공식을 계산할 때 매우 자주 발생합니다. 나머지는 다소 복잡하지만 여러 작업에서 복잡한 표현식을 단순화하고 해당 값을 계산하는 데 없어서는 안 될 요소입니다.

로그의 일반적인 경우

상용 로그 중 일부는 밑이 10, 지수 또는 듀스인 로그입니다.
밑이 10인 로그는 일반적으로 밑이 10인 로그라고 하며 간단히 lg(x)로 표시됩니다.

기록에 기본이 적혀 있지 않다는 것을 기록을 보면 알 수 있다. 예를 들어

자연 로그는 지수(ln(x)로 표시)를 기준으로 하는 로그입니다.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하기 위해 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7이고 Leo Tolstoy의 출생 연도의 두 배입니다. 이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

그리고 또 다른 중요한 밑이 2인 로그는

함수 로그의 도함수는 1을 변수로 나눈 값과 같습니다.

적분 또는 역도함수 로그는 종속성에 의해 결정됩니다.

위의 자료는 로그 및 로그와 관련된 다양한 문제를 해결하는 데 충분합니다. 자료를 이해하기 위해 다음에서 몇 가지 일반적인 예만 들겠습니다. 학교 커리큘럼그리고 대학.

로그의 예

식의 로그를 취하십시오

예 1
ㅏ). x=10ac^2(a>0, c>0).

속성 3,5로 계산

2.
로그의 차이 속성에 의해, 우리는

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우리가 찾은 속성 3.5 사용

4. 어디 .

일련의 규칙을 사용하여 복잡해 보이는 표현을 다음과 같은 형식으로 단순화합니다.

대수 값 찾기

예 2 x if 찾기

해결책. 계산을 위해 속성 5와 13을 마지막 항까지 적용합니다.

기록으로 교체하고 애도

밑이 같기 때문에 식을 동일시합니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그의 값을 주어 보자

log(x)를 계산하면

솔루션: 변수의 로그를 취하여 항의 합을 통해 로그를 작성합니다.

이것은 로그와 그 속성에 대한 지식의 시작일뿐입니다. 계산을 연습하고 실용적인 기술을 강화하십시오. 곧 대수 방정식을 풀기 위해 습득한 지식이 필요합니다. 이러한 방정식을 푸는 기본 방법을 연구한 후에는 똑같이 중요한 또 다른 주제인 대수 부등식에 대한 지식을 확장할 것입니다.

로그의 기본 속성

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(logax 및 logay)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = log(xy);
logax - logay = log(x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

일. 식의 값을 찾으십시오: log6 4 + log6 9.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log3 135 − log3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3 135 - log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론, 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log7 496.

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다: 16 = 24; 49 = 72. 우리는:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다. 그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

새로운 재단으로의 전환

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log5 16 log2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log225 = log252 = 2log25;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑으로 이동하여 십진수 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

logaa = 1입니다. 한 번만 기억하십시오: 해당 밑수 자체에서 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

자연 로그, 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 도함수, 적분, 멱급수의 확장 및 복소수를 통한 함수 ln x의 표현의 주요 속성이 제공됩니다.

정의

자연 로그함수 y = ln x, 지수의 역수 x \u003d e y , 이는 숫자 e의 밑수에 대한 로그입니다. ln x = 로그 e x.

자연 로그는 도함수가 가장 간단한 형식을 갖기 때문에 수학에서 널리 사용됩니다. (lnx)' = 1/x.

기반을 둔 정의, 자연 로그의 밑은 숫자입니다 이자형:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

함수 y =의 그래프 ln x.

자연 로그의 그래프(함수 y = ln x)는 지수 플롯에서 얻습니다. 미러 이미지직선 y = x 를 기준으로 합니다.

자연 로그는 x의 양수 값에 대해 정의됩니다. 정의 영역에서 단조롭게 증가합니다.

x로 → 0 자연 로그의 극한은 마이너스 무한대(- ∞ )입니다.

x → + ∞이므로 자연 로그의 극한은 플러스 무한대( + ∞ )입니다. 큰 x의 경우 로그가 다소 느리게 증가합니다. 양의 지수 a를 갖는 모든 거듭제곱 함수 x a는 로그보다 빠르게 증가합니다.

자연 로그의 속성

정의 영역, 값 집합, 극값, 증가, 감소

자연 로그는 단조롭게 증가하는 함수이므로 극값이 없습니다. 자연 로그의 주요 속성은 표에 나와 있습니다.

ln x 값

로그 1 = 0

자연 로그의 기본 공식

역함수의 정의에서 발생하는 공식:

로그의 주요 속성과 그 결과

기본 교체 공식

모든 로그는 기본 변경 공식을 사용하여 자연 로그로 표현할 수 있습니다.

이러한 공식의 증명은 "로그" 섹션에 나와 있습니다.

역함수

자연 로그의 역수는 지수입니다.

그렇다면

그렇다면 .

미분 ln x

자연 로그의 도함수:
.
모듈로 x의 자연 로그의 도함수:
.
n차 도함수:
.
수식 유도 > > >

완전한

적분은 부품별 적분으로 계산됩니다.
.
그래서,

복소수 표현

복잡한 변수 z의 함수를 고려하십시오.
.
복잡한 변수를 표현하자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 인수 φ :
.
로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는
.
인수 φ는 고유하게 정의되지 않습니다. 우리가 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 다른 n에 대해 같은 숫자가 됩니다.

따라서 복소 변수의 함수인 자연 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

멱급수 확장

의 경우 확장이 수행됩니다.

참조:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 고등 교육 기관 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

쉽게 설명해보자. 예를 들어 \(\log_(2)(8)\)은 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명합니다.

예:	\(\log_(5)(25)=2\)	왜냐하면 \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	왜냐하면 \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	왜냐하면 \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준으로 작성되며 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽힙니다. "25의 밑이 5인 로그."

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻기 위해 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻기 위해 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻기 위해 \(\sqrt(5)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 숫자를 단위로 만드는 정도는 얼마입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)을 얻기 위해 \(\sqrt(7)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 정도의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻기 위해 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 즉, 제곱근정도 \(\frac(1)(2)\) 입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		대수 값을 찾아야 합니다. x로 표시해 봅시다. 이제 로그의 정의를 사용합시다: \(\log_(a)(c)=b\) \(\왼쪽 화살표\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\)와 \(8\)을 연결하는 것은 무엇입니까? 둘, 두 숫자 모두 2로 나타낼 수 있기 때문입니다. \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		왼쪽에서 차수 속성을 사용합니다: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) 및 \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		기본이 동일합니다. 지표의 평등을 진행합니다.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		방정식의 양변에 \(\frac(2)(5)\)를 곱합니다.
		결과 근은 로그 값입니다.

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었을까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\). x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 약간 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 쓰여질까요? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기에 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

\(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 10진수로 나타내면 다음과 같을 것입니다. \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 풀기 \(4^(5x-4)=10\)

해결책 :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\)와 \(10\)은 같은 밑으로 줄일 수 없습니다. 그래서 여기서 로그 없이는 할 수 없습니다. 로그의 정의를 사용합시다: \(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		x가 왼쪽에 오도록 방정식을 뒤집습니다.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		우리 앞에. \(4\)를 오른쪽으로 이동합니다. 로그를 두려워하지 말고 일반 숫자처럼 다루십시오.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		방정식을 5로 나눕니다.
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		여기 우리의 뿌리가 있습니다. 예, 비정상적으로 보이지만 답변이 선택되지 않았습니다.

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

십진수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이 밑은 \((a>0, a\neq1)\)을 제외한 모든 양수가 될 수 있습니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서, 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 그들과 함께 로그에 대해 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다:

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 같음)인 로그이고 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 같습니다.

십진수 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 씁니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 같습니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 대수 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 대수 항등식"이라고 하며 다음과 같습니다.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 생겼는지 봅시다.

기억하자 짧은 메모로그 정의:

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉 \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그런 다음 공식 \(a^(b)=c\) 에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. 그것은 \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 대수 항등식으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 숫자는 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 \(\log_(2)(4)\)가 2라는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 2개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 이라고 쓸 수도 있습니다. 마찬가지로 \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등이 있습니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 임의의 밑을 사용하여 둘을 로그로 작성할 수 있습니다(방정식, 표현식, 부등식에서도). 우리는 단지 제곱 밑을 인수로 씁니다.

삼중도 마찬가지입니다. \(\log_(2)(8)\) 또는 \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기서 우리는 큐브의 밑을 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 1/3로:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)

관련하여

주어진 다른 두 숫자에서 세 숫자 중 하나를 찾는 작업을 설정할 수 있습니다. a가 주어지면 N은 지수화에 의해 발견됩니다. N이 주어지면 x의 근을 추출(또는 지수화)하여 a를 찾습니다. 이제 a와 N이 주어졌을 때 x를 찾아야 하는 경우를 고려하십시오.

숫자 N을 양수로 설정합니다. 숫자 a는 양수이며 1과 같지 않습니다.

정의. 밑수 a에 대한 숫자 N의 로그는 숫자 N을 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다. 로그는 다음과 같이 표시됩니다.

따라서 평등(26.1)에서 지수는 밑수 a에 대한 N의 로그로 발견됩니다. 항목

같은 의미를 가지고 있습니다. 평등(26.1)은 때때로 대수 이론의 기본 정체성이라고 불립니다. 사실, 그것은 대수 개념의 정의를 표현합니다. 에 의해 이 정의로그 a의 밑은 항상 양수이며 1과 다릅니다. 로그 가능 숫자 N은 양수입니다. 음수와 0에는 로그가 없습니다. 주어진 밑을 가진 모든 숫자는 잘 정의된 로그를 가짐을 증명할 수 있습니다. 그러므로 평등은 . 여기서 조건은 필수적입니다. 그렇지 않으면 x와 y의 모든 값에 대해 평등이 적용되므로 결론이 정당화되지 않습니다.

예 1. 찾기

해결책. 숫자를 얻으려면 밑수 2를 거듭제곱해야 합니다.

이러한 예제를 풀 때 다음과 같은 형식으로 기록할 수 있습니다.

예 2. 찾기 .

해결책. 우리는

예제 1과 2에서는 대수 가능한 숫자를 유리수 지수를 사용하여 밑의 정도로 나타내어 원하는 로그를 쉽게 찾았습니다. 예를 들어 등의 일반적인 경우에는 로그가 비합리적인 값을 가지므로 수행할 수 없습니다. 이 진술과 관련된 한 가지 질문에 주의를 기울이자. 섹션 12에서 우리는 주어진 어떤 실제 힘을 정의할 수 있는 가능성의 개념을 소개했습니다. 정수. 이것은 일반적으로 무리수가 될 수 있는 로그의 도입에 필요했습니다.

로그의 몇 가지 속성을 고려하십시오.

속성 1. 수와 밑이 같으면 로그가 1이고, 반대로 로그가 1이면 수와 밑이 같습니다.

증거. 대수의 정의에 따라 우리는

반대로 Let Then 정의에 따라

속성 2. 모든 밑수에 대한 단위의 로그는 0과 같습니다.

증거. 로그의 정의에 따라(모든 양의 밑의 영승은 1과 같습니다. (10.1) 참조). 여기에서

Q.E.D.

반대 진술도 참입니다: if , then N = 1. 사실, 우리는 .

로그의 다음 속성을 언급하기 전에 두 숫자 a와 b가 둘 다 c보다 크거나 c보다 작으면 세 번째 숫자 c의 같은 쪽에 있다고 말하는 데 동의합시다. 이 숫자 중 하나가 c보다 크고 다른 하나가 c보다 작으면 c의 반대편에 있다고 말합니다.

속성 3. 숫자와 밑이 1의 같은 쪽에 있으면 로그는 양수입니다. 숫자와 밑이 단위의 반대쪽에 있으면 로그는 음수입니다.

속성 3의 증명은 밑이 1보다 크고 지수가 양수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 음수인 경우 a의 차수가 1보다 크다는 사실을 기반으로 합니다. 밑이 1보다 크고 지수가 음수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 양수이면 차수가 1보다 작습니다.

고려해야 할 네 가지 경우가 있습니다.

우리는 그들 중 첫 번째 분석에 자신을 한정하고 독자는 나머지를 스스로 고려할 것입니다.

평등 지수는 음수도 아니고 0도 아니므로 양수입니다. 즉, 증명해야했습니다.

예 3. 다음 로그 중 어느 것이 양수이고 어느 것이 음수인지 알아보십시오.

해결책, a) 숫자 15와 밑면 12가 유닛의 같은 쪽에 위치하기 때문에;

b) , 1000과 2가 유닛의 같은 쪽에 위치하기 때문에; 동시에 밑이 대수보다 클 필요는 없습니다.

c) 3.1과 0.8은 단일성의 반대편에 있기 때문에;

G) ; 왜?

e) ; 왜?

다음 속성 4-6은 종종 로그 규칙이라고합니다. 일부 숫자의 로그를 알면 제품의 로그, 몫, 정도를 찾을 수 있습니다.

속성 4(곱의 로그에 대한 규칙). 주어진 밑에서 여러 양수 곱의 로그는 같은 밑에서 이러한 숫자의 로그의 합과 같습니다.

증거. 양수를 지정하십시오.

제품의 로그에 대해 로그를 정의하는 등식(26.1)을 씁니다.

여기에서 우리는

첫 번째 표현식과 마지막 표현식의 지수를 비교하여 필요한 동등성을 얻습니다.

조건은 필수입니다. 두 음수의 곱의 로그는 의미가 있지만 이 경우에는 다음을 얻습니다.

일반적으로 여러 요소의 곱이 양수이면 로그는 이러한 요소 모듈의 로그 합계와 같습니다.

속성 5(몫 대수 규칙). 양수 몫의 로그는 피제수의 로그와 제수 사이의 차이와 같습니다. 증거. 지속적으로 찾기

Q.E.D.

속성 6(도의 로그 규칙). 임의의 양수 거듭제곱의 로그는 해당 숫자의 로그 곱하기 지수와 같습니다.

증거. 우리는 숫자에 대한 기본 식별(26.1)을 다시 작성합니다.

Q.E.D.

결과. 양수 근의 로그는 근의 지수로 나눈 근 숫자의 로그와 같습니다:

방법을 제시하고 속성 6을 사용하여 이 추론의 타당성을 증명할 수 있습니다.

예 4. 밑이 a인 로그:

a) (모든 값 b, c, d, e는 양수라고 가정합니다);

b) (라고 가정).

해결책, a) 이 표현을 분수 거듭제곱으로 전달하는 것이 편리합니다.

등식 (26.5)-(26.7)을 기반으로 이제 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

우리는 숫자 자체보다 숫자의 대수에서 더 간단한 연산이 수행됨을 알 수 있습니다.

이것이 계산 연습에서 로그가 사용된 이유입니다(섹션 29 참조).

대수에 반대되는 동작을 강화(potentiation)라고 합니다. 즉, 강화는 이 숫자 자체가 주어진 숫자의 로그에 의해 발견되는 동작입니다. 본질적으로 강화는 특별한 행동이 아닙니다. 로그와 같음숫자). "강화"라는 용어는 "지수화"라는 용어와 동의어로 간주될 수 있습니다.

강화할 때 대수 규칙에 반대되는 규칙을 사용해야 합니다. 로그의 합을 곱의 로그로, 로그의 차이를 몫의 로그로 대체하는 등의 규칙이 특히 있습니다. 대수 부호 앞의 모든 요소는 강화하는 동안 대수 부호 아래의 지표 각도로 전송되어야 합니다.

예 5. 알고 있는 경우 N 찾기

해결책. 방금 언급한 강화 규칙과 관련하여 이 등식의 오른쪽에 있는 로그 부호 앞에 있는 인수 2/3 및 1/3은 이러한 로그 부호 아래의 지수로 전송됩니다. 우리는 얻는다

이제 로그의 차이를 몫의 로그로 바꿉니다.

이 등식 사슬에서 마지막 분수를 얻기 위해 우리는 분모의 비합리성에서 이전 분수를 해방했습니다(섹션 25).

속성 7. 밑이 1보다 크면 큰 수는 큰 로그를 가지며(작을수록 작은 로그), 밑이 1보다 작으면 큰 수는 작은 로그를 갖습니다(그리고 작은 것은 작은 것입니다). 하나는 더 큰 것을 가지고 있습니다).

이 속성은 또한 부등식의 로그에 대한 규칙으로 공식화되며 두 부분 모두 양수입니다.

밑이 1보다 큰 부등식의 로그를 취하면 부등호가 유지되고 밑이 1보다 작은 대수를 취하면 부등식의 부호가 반전됩니다(항목 80 참조).

증명은 속성 5와 3을 기반으로 합니다. If , then 및 대수를 취하는 경우를 고려하면 다음을 얻습니다.

(a와 N/M은 단일성의 같은 편에 있습니다). 여기에서

사례 a는 독자가 스스로 알아낼 것입니다.