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도함수 5x 4. e의 x승 도함수와 지수 함수

거듭제곱 함수의 미분 공식 유도(x의 a 거듭제곱). x에서 근의 도함수가 고려됩니다. 고차 거듭제곱 함수의 도함수 공식. 파생 상품 계산의 예.

x의 a 거듭제곱은 a 곱하기 x의 a-1 거듭제곱입니다.
(1) .

x의 n제곱근의 m제곱의 도함수는 다음과 같습니다.
(2) .

거듭제곱 함수의 도함수 공식 유도

사례 x > 0

지수 a를 갖는 변수 x의 거듭제곱 함수를 고려하십시오.
(3) .
여기서 a는 임의의 실수입니다. 먼저 경우를 생각해 봅시다.

함수(3)의 도함수를 찾기 위해 거듭제곱 함수의 속성을 사용하고 다음 형식으로 변환합니다.
.

이제 다음을 적용하여 미분을 찾습니다.
;
.
여기 .

공식 (1)이 증명되었습니다.

x의 차수 n의 근을 차수 m으로 도함수에 대한 공식 유도

이제 다음 형식의 루트인 함수를 고려하십시오.
(4) .

도함수를 찾기 위해 근을 거듭제곱 함수로 변환합니다.
.
공식 (3)과 비교하면
.
그 다음에
.

공식 (1)에 의해 파생물을 찾습니다.
(1) ;
;
(2) .

실제로는 공식 (2)를 외울 필요가 없습니다. 먼저 근을 거듭제곱 함수로 변환한 다음 공식 (1)을 사용하여 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 편리합니다(페이지 끝의 예 참조).

경우 x = 0

이면 변수 x =의 값에 대해 지수 함수도 정의됩니다. 0 . x =에 대한 함수 (3)의 도함수를 찾아봅시다. 0 . 이를 위해 파생 상품의 정의를 사용합니다.
.

대체 x = 0 :
.
이 경우 미분이란 오른쪽 극한을 의미합니다.

그래서 우리는 다음을 찾았습니다.
.
이것으로부터 , 에서임을 알 수 있습니다.
에 , .
에 , .
이 결과는 또한 공식(1)에 의해 얻어진다:
(1) .
따라서 공식 (1)은 x =에도 유효합니다. 0 .

케이스 x< 0

함수 (3)을 다시 고려하십시오.
(3) .
상수 a의 일부 값에 대해서는 변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다. 즉, a를 유리수라 하자. 그런 다음 기약할 수 없는 분수로 나타낼 수 있습니다.
,
여기서 m과 n은 공약수가 없는 정수입니다.

n이 홀수이면 변수 x의 음수 값에 대해서도 지수 함수가 정의됩니다. 예를 들어, n = 3 m = 1 x의 세제곱근이 있습니다.
.
x 의 음수 값에 대해서도 정의됩니다.

정의되는 상수 a 의 합리적인 값에 대한 멱함수(3)의 도함수를 찾아봅시다. 이를 위해 다음 형식으로 x를 나타냅니다.
.
그 다음에 ,
.
미분의 부호에서 상수를 취하고 복소 함수의 미분 규칙을 적용하여 미분을 찾습니다.

.
여기 . 하지만
.
왜냐하면 , 그러면
.
그 다음에
.
즉, 공식 (1)은 다음에 대해서도 유효합니다.
(1) .

고차 파생 상품

이제 우리는 전력 함수의 고차 도함수를 찾습니다.
(3) .
우리는 이미 1차 미분을 찾았습니다.
.

미분의 부호에서 상수 a를 취하면 2차 미분을 찾습니다.
.
유사하게, 우리는 3차와 4차의 도함수를 찾습니다:
;

.

여기에서 그것은 분명하다 임의의 n차 도함수다음과 같은 형식이 있습니다.
.

그것을주의해라 a가 자연수인 경우, 이면 n차 미분은 상수입니다.
.
그런 다음 모든 후속 도함수는 0과 같습니다.
,
에 .

미분 예제

예

함수의 도함수를 찾으십시오.
.

해결책

근을 거듭제곱으로 변환해 봅시다:
;
.
그런 다음 원래 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
.

우리는 정도의 파생물을 찾습니다.
;
.
상수의 도함수는 0입니다.
.

미분 계산은 종종 다음에서 찾을 수 있습니다. 사용 과제. 이 페이지에는 미분을 찾기 위한 공식 목록이 포함되어 있습니다.

차별화 규칙

(k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
복잡한 함수의 도함수. y=F(u) 및 u=u(x)이면 함수 y=f(x)=F(u(x))를 x의 복소수 함수라고 합니다. y′(x)=Fu′⋅ ux′와 같습니다.
암시적 함수의 도함수입니다. 함수 y=f(x)는 F(x,f(x))≡0인 경우 관계 F(x,y)=0에 의해 주어진 암시적 함수라고 합니다.
역함수의 도함수. g(f(x))=x이면 함수 g(x)를 함수 y=f(x)의 역함수라고 합니다.
매개변수로 주어진 함수의 파생물. x와 y를 변수 t의 함수로 지정합니다: x=x(t), y=y(t). y=y(x)는 x∈ (a;b) 구간에서 방정식 x=x(t)가 t=t(x)로 표현되고 함수가 y=y(t(x))=y(x).
지수 함수의 도함수. 자연로그를 밑으로 대수를 취함으로써 구한다.

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애플리케이션

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첫 번째 수준

함수 미분. 종합 가이드 (2019)

언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 보십시오. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌지 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 향하고 수직으로 향하면 도로 라인은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 높이가 0인 일정 수준이며, 인생에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

그런 길을 따라 앞으로 나아가면서 우리도 위아래로 움직이고 있습니다. 인수가 변경되면(가로축을 따라 이동) 함수의 값이 변경됩니다(세로축을 따라 이동). 이제 우리 도로의 "경사도"를 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이 값은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변할까요? 실제로 도로의 다른 부분에서 (가로 좌표를 따라) 1km 앞으로 이동하면 (세로 좌표를 따라) 해수면에 따라 다른 수의 미터가 상승하거나 하강합니다.

진행 상황을 나타냅니다("델타 x" 읽기).

그리스 문자(델타)는 일반적으로 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 사용됩니다. 즉, 이것은 규모의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데? 맞습니다, 크기의 변화입니다.

중요: 표현식은 단일 엔티티, 하나의 변수입니다. "x"나 다른 문자에서 "델타"를 떼어내면 안 됩니다! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 앞으로, 수평으로, 계속 움직였습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈 때 우리는 더 높이 올라갑니다.

값을 계산하는 것은 쉽습니다. 처음에 우리가 높이에 있었고 이동 후 우리가 높이에 있었다면. 끝점이 시작점보다 낮은 것으로 판명되면 음수입니다. 이는 우리가 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

다시 "가파름": 이것은 단위 거리당 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

경로의 일부 구간에서 km 단위로 전진할 때 도로가 km 단위로 상승한다고 가정합니다. 그렇다면 이곳의 경사도는 같다. 그리고 도로가 m만큼 전진할 때 km만큼 가라앉는다면? 그러면 기울기가 같습니다.

이제 언덕 꼭대기를 고려하십시오. 섹션의 시작 부분에서 상단까지 0.5km, 끝 부분을 0.5km 후에 가져 가면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 불과 몇 마일 떨어진 곳에서 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 추정하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어 1m를 움직일 때의 높이 변화를 측정하면 훨씬 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 그러나이 정확도조차도 우리에게 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 빠져 나갈 수 있습니다. 그러면 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

안에 실생활가장 가까운 밀리미터까지의 거리를 측정하는 것으로 충분합니다. 그러나 수학자들은 항상 완벽을 추구합니다. 그래서 그 컨셉은 극소즉, 모듈로 값은 이름을 지정할 수 있는 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 당신은 말합니다: 1조분의 1! 얼마나 적게? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 더 작아집니다. 등등. 값이 무한히 작다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다. 이해하는 것이 매우 중요합니다 이 숫자는 0이 아닙니다!그러나 그것에 매우 가깝습니다. 으로 나눌 수 있음을 의미합니다.

무한히 작은 것의 반대 개념은 무한히 큰 것()입니다. 부등식을 연구할 때 이미 접했을 것입니다. 이 숫자는 모듈러스에서 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 나오면 2를 곱하면 더 많은 숫자가 나옵니다. 그리고 무한은 일어나는 것 이상입니다. 사실 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다.

이제 우리 길로 돌아갑니다. 이상적으로 계산된 기울기는 경로의 무한히 작은 세그먼트에 대해 계산된 기울기입니다.

무한히 작은 변위로 인해 높이 변화도 무한히 작을 것입니다. 그러나 무한히 작다는 것이 0과 같지 않다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 예를 들어 무한소를 서로 나누면 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값이 다른 값보다 정확히 두 배 클 수 있습니다.

왜이 모든? 길, 가파름 ... 우리는 집회를가는 것이 아니라 수학을 배우고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증분에서 함수 증분 대 인수 증분의 비율입니다.

증가수학에서는 변화를 변화라고 합니다. 축을 따라 이동할 때 인수 ()가 얼마나 변경되었는지 호출됩니다. 인수 증분거리만큼 축을 따라 앞으로 이동할 때 함수(높이)가 얼마나 변경되었는지로 표시됩니다. 기능 증분표시되어 있습니다.

따라서 함수의 도함수는 when과의 관계입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단의 획만 사용하거나 간단하게 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로의 비유에서와 같이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고 감소하면 음수입니다.

그러나 미분은 0과 같습니까? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로에서 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 실제로 높이는 전혀 변하지 않습니다. 따라서 도함수: 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증분은 어떤 경우에도 0이기 때문입니다.

언덕 위의 예를 들어보겠습니다. 끝의 높이가 동일하게, 즉 세그먼트가 축에 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 세그먼트는 부정확한 측정의 신호입니다. 세그먼트를 자체와 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 무한히 작아질 것입니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝의 높이 차이는 0입니다 (경향이 없지만 같음). 따라서 미분

이것은 다음과 같이 이해할 수 있습니다. 우리가 맨 위에 서 있을 때 왼쪽 또는 오른쪽으로 약간 이동해도 키가 무시할 정도로 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 상단 왼쪽으로 기능이 증가하고 오른쪽으로 감소합니다. 앞서 살펴본 바와 같이 함수가 증가하면 도함수는 양수이고 감소하면 음수입니다. 그러나 점프하지 않고 부드럽게 변경됩니다 (도로가 어디에서나 경사를 급격히 변경하지 않기 때문에). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 기능이 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 될 것입니다.

밸리(함수가 왼쪽에서 감소하고 오른쪽에서 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더.

따라서 인수를 값으로 변경합니다. 우리는 어떤 가치에서 변화합니까? 그(논쟁)는 이제 무엇이 되었습니까? 우리는 어떤 지점을 선택할 수 있으며 이제 우리는 그 지점에서 춤을 출 것입니다.

좌표가 있는 점을 고려하십시오. 함수의 값은 같습니다. 그런 다음 동일한 증가를 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 무엇입니까? 인수가 있는 곳에 함수가 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 사항 없음: 이것은 여전히 기능이 변경된 양입니다.

증분 찾기 연습:

인수의 증분이 같은 지점에서 함수의 증분을 찾으십시오.
한 지점의 함수도 마찬가지입니다.

솔루션:

안에 다른 점인수의 증가가 같으면 함수의 증가가 달라집니다. 이것은 각 지점의 파생물이 고유하다는 것을 의미합니다 (우리는 처음에 이것을 논의했습니다-다른 지점에서 도로의 가파른 정도가 다릅니다). 따라서 미분을 작성할 때 다음과 같은 시점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적, 맞죠?)인 함수라고 합니다.

그리고 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 미분을 찾아봅시다. 미분의 정의를 기억하십시오.

따라서 인수가 에서 로 변경됩니다. 기능 증분이란 무엇입니까?

증분입니다. 그러나 어느 시점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

미분은 다음과 같습니다.

의 파생물은 다음과 같습니다.

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오: .

이제 그것을 기억합시다. 즉, 증분 값은 무시할 수 있습니다. 무한히 작아서 다른 용어의 배경에 대해 중요하지 않기 때문입니다.

따라서 다른 규칙이 있습니다.

c) 우리는 논리적 시리즈를 계속합니다: .

이 표현은 여러 가지 방법으로 단순화할 수 있습니다. 합계 큐브의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 큐브 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수로 분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 해보십시오.

그래서 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 기억합시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 대권력에 대해 유사한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있음이 밝혀졌습니다.

(2)

다음과 같은 단어로 규칙을 공식화할 수 있습니다.

나중에 이 규칙을 증명할 것입니다(거의 맨 마지막에). 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 파생물 찾기:

(두 가지 방법으로 : 공식과 미분의 정의 사용 - 함수의 증분을 계산하여);

. 믿거나 말거나 이것은 파워 함수입니다. “어때요? 그리고 학위는 어디에 있습니까?”, 주제“”를 기억하십시오!
예, 예, 루트도 정도이며 분수입니다.
그래서 우리의 제곱근지수가 있는 정도일 뿐입니다.
.
우리는 최근에 배운 공식을 사용하여 도함수를 찾고 있습니다.
이 시점에서 다시 불분명 해지면 ""주제를 반복하십시오 !!! (마이너스 지표가 있는 정도)
. 이제 지수:
그리고 이제 정의를 통해(아직 잊으셨나요?):
;
.
이제 평소와 같이 다음을 포함하는 용어를 무시합니다.
.
. 이전 사례의 조합: .

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학의 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

때 표현.

연구소의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 시험을 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않을 때 그래프의 지점에 구멍이 뚫린 것을 볼 수 있습니다. 그러나 가치에 가까울수록 기능에 가까워지는 것이 바로 '노력'입니다.

또한 계산기로 이 규칙을 확인할 수 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 가져 가십시오. 아직 시험에 있지 않습니다.

그럼 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 우리는 작을수록 더 가까운 의미관계.

a) 함수를 고려하십시오. 평소와 같이 증분을 찾습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꾸자. 이를 위해 다음 공식을 사용합니다(주제 "" 기억).

이제 미분:

대체합시다: . 그렇다면 무한히 작기 때문에 그것은 또한 무한히 작습니다: . for 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그리고 이제 우리는 표현으로 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 무한히 작은 값을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 다음 규칙을 얻습니다. 사인의 도함수는 코사인과 같습니다.:

이들은 기본("테이블") 파생 상품입니다. 다음은 하나의 목록에 있습니다.

나중에 우리는 그것들에 몇 가지를 더 추가할 것이지만, 이것들은 가장 자주 사용되기 때문에 가장 중요합니다.

관행:

한 지점에서 함수의 도함수를 찾으십시오.
함수의 미분을 찾으십시오.

솔루션:

먼저 우리는에서 미분을 찾습니다 일반적인 견해, 그런 다음 해당 값을 대체합니다.
;
.
여기에 거듭제곱 함수와 비슷한 것이 있습니다. 그녀를 데리러 가자
일반 보기:
.
이제 공식을 사용할 수 있습니다.
.
.
. 에에에에에에에에에에에에에에…

좋아요, 당신 말이 맞아요. 우리는 아직 그런 파생 상품을 찾는 방법을 모릅니다. 여기에는 여러 유형의 기능이 조합되어 있습니다. 그들과 함께 작업하려면 몇 가지 규칙을 더 배워야 합니다.

지수 및 자연 로그.

수학에는 그러한 함수가 있으며, 그 미분은 함수 자체의 값과 동일합니다. 지수함수라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 밑수(상수)는 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 그것은 "Euler 수"라고 불리며 문자로 표시되는 이유입니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기가 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며, 이를 위해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

무엇과 같습니까? 물론, .

자연 로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

함수의 미분을 찾으십시오.
함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 출품자 및 자연 로그- 함수는 도함수 측면에서 고유하게 단순합니다. 지수함수와 대수함수는 다른 밑수를 가지므로 미분법칙을 거친 후에 나중에 분석할 다른 도함수를 갖게 됩니다.

차별화 규칙

어떤 규칙? 또 새로운 용어, 또?!...

분화도함수를 찾는 과정입니다.

오직 모든 것. 이 과정을 다른 말로 하면? proizvodnovanie가 아니라... 수학의 미분을 함수의 증분이라고 합니다. 이 용어는 라틴어 Differentia - 차이에서 유래합니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 유도할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 함수를 사용합니다. 증분에 대한 공식도 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

If-일부 상수 (상수), 그러면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다. .

그것을 증명합시다. 시키거나 더 쉽게.

예.

함수의 도함수 찾기:

그 시점에;
그 시점에;
그 시점에;
그 시점에.

솔루션:

(도함수는 모든 지점에서 동일합니다. 선형 함수, 기억하다?);

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새 기능을 도입하고 증분을 찾습니다.

유도체:

예:

함수의 미분 찾기 및;
한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

솔루션:

지수 함수의 도함수

이제 귀하의 지식은 지수뿐만 아니라 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 무엇인지 잊으셨습니까?).

그래서 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 가져와 보겠습니다.

이를 위해 우리는 간단한 규칙: . 그 다음에:

글쎄요. 이제 도함수를 찾으려고 노력하고 이 함수가 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.

일어난?

여기에서 자신을 확인하십시오.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만 변수가 아닌 숫자 일 뿐인 요소 만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수 찾기:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수없는 숫자 일뿐입니다. 즉 더 이상 적을 방법이 없습니다 간단한 양식. 따라서 답안에는 이 형태로 남겨둔다.

대수 함수의 도함수

여기서도 비슷합니다: 여러분은 이미 자연 로그의 도함수를 알고 있습니다:

따라서 밑이 다른 로그에서 임의의 것을 찾으려면, 예를 들면 다음과 같습니다.

이 로그를 밑으로 가져와야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 이 공식을 기억하시기 바랍니다.

대신 지금 만 작성합니다.

분모는 상수(변수가 없는 상수)로 밝혀졌습니다. 미분은 매우 간단합니다.

지수 함수와 대수 함수의 도함수는 시험에서 거의 찾을 수 없지만 알고 있는 것이 불필요하지는 않습니다.

복잡한 함수의 도함수.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 대수도 아니고 아크 탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어려워 보이더라도 "로그" 항목을 읽으면 모든 것이 해결될 것입니다).

작은 컨베이어를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고 두 번째는 리본으로 묶습니다. 리본으로 싸서 묶은 초콜릿 바입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 순서로 반대 단계를 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 그들은 우리에게 숫자(초콜릿)를 주고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 당신은 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수로 첫 번째 작업을 직접 수행한 다음 첫 번째 결과로 발생한 다른 두 번째 작업을 수행합니다.

우리는 동일한 작업을 역순으로 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 중요한 기능복잡한 기능: 작업 순서를 변경하면 기능이 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예의 경우 .

두 번째 예: (동일). .

우리가 수행하는 마지막 작업은 "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름이며 간단한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).

어떤 기능이 외부이고 어떤 기능이 내부인지 스스로 결정하십시오.

답변:내부 함수와 외부 함수의 분리는 변수 변경과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

먼저 어떤 조치를 취할까요? 먼저 사인을 계산한 다음 큐브로 올립니다. 따라서 외부 기능이 아닌 내부 기능입니다.
그리고 원래 기능은 그들의 구성입니다: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿을 추출하겠습니다. 파생 상품을 찾으십시오. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예의 경우 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화하겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

모든 것이 간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금까지 줄이려고 하지 마세요! 코사인 아래에서 아무 것도 꺼내지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

여기에 3단계 복합 기능이 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 이미 그 자체로 복합 기능이고 우리는 여전히 그로부터 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 래퍼에 넣습니다). 서류 가방에 리본 포함). 그러나 두려워할 이유는 없습니다. 어쨌든 이 기능을 평소와 같은 순서로 "언패킹"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별한 다음 괄호 안의 표현만 구별합니다. 그런 다음 모두 곱합니다.

이러한 경우 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다.

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능이 더 "외부적"이 됩니다. 작업 순서 - 이전과 동일:

여기서 중첩은 일반적으로 4단계입니다. 행동 방침을 결정합시다.

1. 급진적 표현. .

2. 뿌리. .

3. 부비동. .

4. 광장. .

5. 종합:

유도체. 메인에 대해 간단히

함수 미분- 인수의 극미한 증분으로 함수 증분 대 인수 증분의 비율:

기본 파생 상품:

차별화 규칙:

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

합계의 미분:

파생 제품:

몫의 미분:

복잡한 함수의 도함수:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

우리는 "내부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
우리는 "외부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
첫 번째와 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

날짜: 2014년 11월 20일

파생 상품이란 무엇입니까?

파생 테이블.

미분은 고등 수학의 주요 개념 중 하나입니다. 이 강의에서는 이 개념을 소개합니다. 엄격한 수학적 공식과 증명없이 친해지자.

이 소개를 통해 다음을 수행할 수 있습니다.

파생물을 사용하여 간단한 작업의 본질을 이해합니다.

가장 성공적으로 해결 어려운 작업;

더 심각한 파생 수업을 준비하십시오.

첫째, 즐거운 놀라움입니다.

미분의 엄격한 정의는 극한 이론에 근거하고 있으며, 그 일은 다소 복잡합니다. 속상해. 그러나 일반적으로 파생 상품의 실제 적용에는 그렇게 광범위하고 깊은 지식이 필요하지 않습니다!

학교와 대학에서 대부분의 과제를 성공적으로 완료하려면 몇 가지 용어- 작업을 이해하고 몇 가지 규칙- 그것을 해결하기 위해. 그리고 그게 다야. 이것은 나를 행복하게 만든다.

한 번 알아볼까요?)

용어 및 명칭.

초등 수학에는 많은 수학적 연산이 있습니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 지수, 로그 등 이러한 연산에 연산을 하나 더 추가하면 초등수학의 수준이 높아진다. 이것 새로운 작업~라고 불리는 분화.이 작업의 정의와 의미는 별도의 단원에서 설명합니다.

여기서 미분은 함수에 대한 수학적 연산이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 우리는 어떤 기능이든 취하여 특정 규칙에 따라 변형합니다. 결과는 새로운 기능. 이 새 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 유도체.

분화- 함수에 대한 조치.

유도체이 조치의 결과입니다.

예를 들어, 합집합더한 결과입니다. 또는 사적인나눗셈의 결과다.

용어를 알면 최소한 작업을 이해할 수 있습니다.) 표현은 다음과 같습니다. 함수의 파생물을 찾으십시오. 미분을 취하십시오; 기능을 차별화; 미분 계산등등. 이게 다야 같은.물론 미분(미분)을 찾는 것이 작업을 해결하는 단계 중 하나일 뿐인 더 복잡한 작업이 있습니다.

도함수는 함수 바로 위의 대시로 표시됩니다. 이와 같이: 와이"또는 에프"(엑스)또는 성)등등.

읽다 y 스트로크, x의 ef 스트로크, te의 es 스트로크,잘 알겠지...)

소수는 특정 함수의 도함수를 나타낼 수도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. (2x+3)", (엑스 3 )" , (싱크스)"등. 종종 도함수는 미분을 사용하여 표시되지만 이 단원에서는 그러한 표기법을 고려하지 않습니다.

작업을 이해하는 법을 배웠다고 가정합니다. 해결 방법을 배우기 위해 남은 것이 없습니다.) 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 미분을 찾는 것은 특정 규칙에 따라 기능을 변환합니다.이러한 규칙은 놀랍게도 거의 없습니다.

함수의 도함수를 찾으려면 세 가지만 알면 됩니다. 모든 차별화가 기반이 되는 세 가지 기둥. 세 마리의 고래는 다음과 같습니다.

1. 미분표(미분 공식).

3. 복소 함수의 도함수.

순서대로 시작합시다. 이번 시간에는 미분표에 대해 알아보겠습니다.

파생 테이블.

세상은 무한한 수의 기능을 가지고 있습니다. 이 세트 중에는 가장 중요한 기능이 있습니다. 실용적인 응용 프로그램. 이러한 기능은 자연의 모든 법칙에 있습니다. 벽돌에서와 같이 이러한 기능에서 다른 모든 기능을 구성할 수 있습니다. 이 함수 클래스는 기본 기능.선형, 이차, 쌍곡선 등 학교에서 공부하는 함수입니다.

"처음부터" 기능의 차별화, 즉 미분의 정의와 한계 이론을 기반으로 - 다소 시간이 많이 걸리는 일입니다. 그리고 수학자도 사람입니다. 예, 예!) 그래서 그들은 그들의 삶(그리고 우리)을 단순화했습니다. 그들은 우리보다 먼저 기본 함수의 도함수를 계산했습니다. 결과는 모든 것이 준비된 미분표입니다.)

가장 인기 있는 기능을 위한 플레이트입니다. 왼쪽 - 기본 기능, 오른쪽 - 파생물.

	기능 와이	함수 y의 도함수 와이"
1	C(상수)	씨" = 0
2	엑스	엑스" = 1
3	xn(n은 임의의 숫자)	(xn)" = nxn-1
	× 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	죄 x	(싱크스)" = 코스엑스
	코사인 x	(코사인 x)" = - 죄 x
	tg x
	ctg x
5	아크사인 x
	아르코스 x
	arctg x
	arcctg x
4	ㅏ엑스
4	이자형엑스
5	통나무 ㅏ엑스
5	ln x ( a = 전자)

이 미분표에서 함수의 세 번째 그룹에 주의를 기울일 것을 권장합니다. 거듭제곱 함수의 도함수는 가장 일반적인 공식은 아니지만 가장 일반적인 공식 중 하나입니다! 힌트가 명확합니까?) 네, 미분표를 외우는 것이 바람직합니다. 그건 그렇고, 이것은 보이는 것만 큼 어렵지 않습니다. 더 많은 예제를 풀려고 하면 테이블 자체가 기억될 것입니다!)

아시다시피 파생 상품의 표 값을 찾는 것이 가장 어려운 작업은 아닙니다. 따라서 이러한 작업에는 매우 자주 추가 칩이 있습니다. 작업 공식화 또는 테이블에없는 원래 기능에서 ...

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. 함수 y = x의 도함수 구하기 3

테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 그러나 거듭제곱 함수(세 번째 그룹)의 일반적인 도함수가 있습니다. 우리의 경우 n=3입니다. 따라서 n 대신 트리플을 대체하고 결과를 신중하게 기록합니다.

(엑스 3) " = 3x 3-1 = 3배 2

그게 전부입니다.

답변: Y" = 3배 2

2. 점 x = 0에서 함수 y = sinx의 도함수 값을 찾습니다.

이 작업은 먼저 사인의 도함수를 찾은 다음 값을 대체해야 함을 의미합니다. x = 0이 동일한 파생물에. 그 순서에요!그렇지 않으면 원래 함수에 즉시 0을 대체하는 일이 발생합니다 ... 원래 함수의 값이 아니라 값을 찾도록 요청받습니다. 그것의 파생물.도함수는 이미 새로운 함수입니다.

플레이트에서 사인과 해당 파생물을 찾습니다.

y" = (sinx)" = cosx

미분에 0을 대입합니다.

y"(0) = cos 0 = 1

이것이 답이 될 것입니다.

3. 기능을 차별화합니다.