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몬티홀 패러독스 설명. Monty Hall Paradox는 마음이 약한 사람을 위한 논리 퍼즐이 아닙니다.

Monty Hall Paradox라고 불리는 그녀를 만났고, 와우 다르게 해결했습니다. 즉, 이것이 의사 역설임을 증명했습니다..

친구들이여, 나는 이 역설(내가 옳다면 가짜 역설)에 대한 나의 반박에 대한 비판을 들으면 기뻐할 것입니다. 그런 다음 내 논리가 절름발이임을 직접 눈으로 확인하고 나 자신을 사상가로 생각하지 않고 활동 유형을보다 서정적 인 것으로 바꾸는 것에 대해 생각할 것입니다. o). 그래서 여기 작업 내용이 있습니다. 제안된 해결책과 나의 반박은 아래와 같습니다.

당신이 세 개의 문 앞에 있는 게임의 참가자가 되었다고 상상해 보십시오. 정직하기로 소문난 호스트는 한 문 뒤에 자동차를, 다른 두 문 뒤에 염소를 두었습니다. 어떤 문 뒤에 무엇이 있는지에 대한 정보가 없습니다.

진행자는 다음과 같이 말합니다. “먼저 문 중 하나를 선택해야 합니다. 그 후 나머지 문 중 하나를 열겠습니다. 그 뒤에 염소가 있습니다. 그런 다음 원래 선택을 변경하고 처음에 선택한 문 대신 나머지 닫힌 문을 선택하도록 제안합니다. 내 조언을 따라 다른 문을 선택하거나 원래 선택을 확인할 수 있습니다. 그 후에 내가 네가 선택한 문을 열리니 그 문 뒤에 있는 것을 네가 이기리라.”

당신은 3번 문을 선택합니다. 진행자는 1번 문을 열고 그 뒤에 염소가 있음을 보여줍니다. 그런 다음 호스트는 2번 문을 선택하라고 요청합니다.

그의 조언을 따른다면 차를 얻을 확률이 높아질까요?
몬티 홀 패러독스는 확률 이론의 잘 알려진 문제 중 하나이며, 그 해결책은 언뜻 보기에 상식과 모순됩니다.
이 문제를 해결할 때 일반적으로 다음과 같이 추론합니다. 호스트가 염소가있는 문을 열면 자동차는 나머지 두 문 중 하나만 뒤에있을 수 있습니다. 플레이어는 아무 것도 받을 수 없기 때문에 추가 정보자동차가 어떤 문 뒤에 있는지에 대해 각 문 뒤에서 자동차를 찾을 확률은 동일하며 문의 초기 선택을 변경해도 플레이어에게 이점이 없습니다. 그러나 이러한 추론은 올바르지 않습니다.
호스트가 항상 어떤 문이 뒤에 있는지 알고 있고, 항상 염소가 있는 나머지 문을 열고, 항상 플레이어에게 선택을 바꾸라고 촉구한다면, 자동차가 플레이어가 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고, , 따라서 자동차가 나머지 문 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 따라서 초기 선택을 변경하면 플레이어가 자동차를 획득할 확률이 두 배가 됩니다. 이 결론은 대부분의 사람들이 상황에 대한 직관적인 인식과 모순되며, 이것이 설명된 문제를 몬티홀 패러독스라고 부르는 이유입니다.

기회는 변하지 않을 것 같습니다. 역설이 없습니다.

그 이유는 다음과 같습니다. 첫 번째 및 두 번째 문 선택은 다음과 같습니다. 독립적인이벤트. 이것은 동전을 두 번 던지는 것과 같습니다. 두 번째로 떨어지는 것은 첫 번째로 떨어진 것과 전혀 관련이 없습니다.

그래서 여기 : 염소와 함께 문을 연 후 플레이어는 자신을 찾습니다 새로운 상황문이 2개이고 자동차나 염소를 선택할 확률이 1/2일 때.

다시 한번: 세 개의 문 중 하나를 연 후 나머지 문 뒤에 자동차가 있을 확률, 2/3와 같지 않음, 왜냐하면 2/3는 자동차가 2개의 문 뒤에 있을 확률입니다. 이 확률을 열리지 않은 문과 열려 있는 문에 귀속시키는 것은 올바르지 않습니다. 전에문이 열리는 것은 그런 확률의 정렬이지만, ~ 후에하나의 문을 열면 이 모든 확률은 무효, 때문에 상황이 바뀌었으므로 새로운 확률 계산이 필요합니다., 어느 보통 사람들선택의 변화에서 아무것도 바뀌지 않을 것이라고 대답하면서 올바르게 수행되었습니다.

부록: 1) 추론:

a) 선택한 문 뒤에서 차를 찾을 확률은 1/3이고,

b) 자동차가 선택되지 않은 두 개의 다른 문 뒤에 있을 확률, 2/3,

c) 때문에 호스트가 염소와 함께 문을 열면 2/3의 확률이 전적으로 선택되지 않은(그리고 열리지 않은) 문으로 이동합니다.

따라서 1/3의 확률이 2/3이 되도록 선택을 다른 문으로 변경해야 합니다. 사실이 아니라 거짓입니다. 즉, 단락 "c"에서, 처음에 확률 2/3은 열려 있지 않은 나머지 2개를 포함하여 임의의 두 개의 문과 관련되기 때문에 하나의 문이 열렸으므로 이 확률은 열리지 않은 2개 사이에 균등하게 나누어집니다. 확률은 동일하며 다른 문을 선택해도 증가하지 않습니다.

2) 임의의 사건이 2개 이상일 경우 조건부 확률을 계산하고 각 사건별로 확률을 따로 계산한 다음 2개 이상의 사건이 공동으로 발생할 확률을 계산한다. 여기서 처음에는 추측할 확률이 1/3이었는데 차가 선택한 문 뒤에 있는 것이 아니라 열리지 않은 다른 문 뒤에 있을 확률을 계산하기 위해 조건부 확률이지만 2에서 1인 단순 확률을 계산해야 합니다. 1/2.

3) 따라서 이것은 역설이 아니라 오류입니다! (2009년 11월 19일)

부록 2: 어제 나는 가장 간단한 설명을 생각해 냈습니다. 재선택 전략이 여전히 더 유리함(역설은 사실입니다!): 첫 번째 선택의 경우 두 마리의 염소가 있기 때문에 염소에 타는 것이 차에 타는 것보다 2배 더 많으므로 두 번째 선택에서는 선택을 변경해야 합니다. 너무 뻔해요 :o)

또는 다른 말로하면 차에 표시하지 않고 염소를 거부해야하며 발표자조차도 염소를 여는 데 도움이됩니다. 그리고 게임이 시작될 때 3/2의 확률로 플레이어도 성공할 것이므로 염소를 거부하면 선택을 변경해야합니다. 그리고 그것은 또한 갑자기 매우 명백해졌습니다 :o)

그래서 지금까지 제가 쓴 모든 것은 사이비 반박이었습니다. 음, 여기 당신이 좀 더 겸손해야 하고, 다른 사람의 관점을 존중해야 하며, 결정이 논리적이라는 당신의 논리의 확신을 신뢰하지 말아야 한다는 사실에 대한 또 다른 예가 있습니다.

1963년 12월, 미국 텔레비전 채널 NBC는 처음으로 Let's Make a Deal("Let's make a deal!") 프로그램을 방영했습니다. 여기서 참가자들은 스튜디오의 청중 중에서 선발되어 서로 그리고 호스트와 흥정을 하고 연주했습니다. 작은 게임또는 질문에 대한 답을 추측하십시오. 방송이 끝나면 참가자들은 '오늘의 거래'를 할 수 있었다. 그들 앞에는 세 개의 문이 있었는데 그 중 하나 뒤에는 최우수상 (예 : 자동차)이 있고 다른 두 개 뒤에는 덜 가치 있거나 완전히 터무니없는 선물 (예 : 살아있는 염소)이 있다는 것이 알려졌습니다. . 플레이어가 선택을 한 후 프로그램 진행자인 Monty Hall은 남은 두 개의 문 중 하나를 열어 그 뒤에는 상품이 없음을 보여주고 참가자가 우승할 수 있는 기회를 갖게 된 것을 기쁘게 생각하도록 했습니다.

1975년 UCLA 과학자 스티브 셀빈(Steve Selvin)은 그 순간 참가자가 상 없이 문을 연 후 선택을 바꾸라는 요청을 받으면 어떻게 되는지 물었습니다. 이 경우 플레이어가 상품을 받을 확률이 변경됩니까? 그렇다면 어떤 방향으로 변경됩니까? 그는 문제의 형태로 해당 질문을 The American Statistician ( "American Statistician")과 Monty Hall 자신에게 보냈고 다소 호기심 많은 대답을했습니다. 이 답변에도 불구하고 (또는 아마도 그것 때문에) 문제는 "Monty Hall 문제"라는 이름으로 유명해졌습니다.

1990년 Parade Magazine에 발표된 이 문제의 가장 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

“당신이 다음 중 하나를 선택해야 하는 게임의 참가자가 되었다고 상상해 보십시오. 세 개의 문. 문 중 하나 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 예를 들어 1번과 같은 문 중 하나를 선택하면 차가 어디에 있고 염소가 어디에 있는지 알고 있는 호스트가 나머지 문 중 하나(예: 3번)를 엽니다. 그 뒤에 염소가 있습니다. 그런 다음 선택을 변경하고 2번 문을 선택하겠느냐고 묻습니다. 호스트의 제안을 수락하고 선택을 변경하면 자동차 당첨 확률이 높아질까요?

출판 후 문제가 잘못 공식화되었다는 것이 즉시 분명해졌습니다. 모든 조건이 규정되지는 않았습니다. 예를 들어 진행자는 "지옥 같은 몬티" 전략을 따를 수 있습니다. 플레이어가 첫 번째 이동에서 자동차를 선택한 경우에만 선택을 변경하도록 제안합니다. 분명히 초기 선택을 변경하면 그러한 상황에서 손실이 보장됩니다.

가장 인기있는 것은 추가 조건의 문제입니다. 게임 참가자는 다음 규칙을 미리 알고 있습니다.

자동차는 3개의 문 뒤에 똑같이 놓일 가능성이 있습니다.
어쨌든 호스트는 염소와 함께 문을 열고 (플레이어가 선택한 것은 아님) 플레이어에게 선택을 변경하도록 제안해야합니다.
리더가 두 개의 문 중 어떤 문을 열지 선택할 수 있는 경우 동일한 확률로 둘 중 하나를 선택합니다.

단서

같은 경우에 다른 문을 선택한 사람들을 고려하십시오(즉, 상품이 예를 들어 1번 문 뒤에 있을 때). 선택을 바꾸면 누가 혜택을 받고 누가 그렇지 않을까요?

해결책

툴팁에 제안된 대로 다른 선택을 한 사람들을 고려하십시오. 상품이 1번 문 뒤에 있고 2번과 3번 문 뒤에 염소가 있다고 가정해 봅시다. 여섯 사람이 있고 두 사람이 각 문을 선택했고 각 쌍에서 한 사람은 이후에 결정을 변경했고 다른 한 사람은 변경하지 않았다고 가정합니다.

1 번 문을 선택한 호스트는 자신의 취향에 따라 두 개의 문 중 하나를 여는 반면, 이에 관계없이 선택을 변경하지 않고 초기 선택을 변경 한 사람이 차를 받게됩니다. 상품 없이 남게 됩니다. 이제 2번 문과 3번 문을 선택한 사람들을 살펴보겠습니다. 1번 문 뒤에 자동차가 있기 때문에 호스트는 문을 열 수 없으므로 선택의 여지가 없습니다. 그는 그들을 위해 각각 3번 문과 2번 문을 엽니다. 동시에 각 쌍의 결정을 변경 한 사람은 결과적으로 상품을 선택하고 변경하지 않은 사람은 아무것도 남지 않습니다. 따라서 마음을 바꾸는 세 사람 중 두 사람은 상을 받고 한 사람은 염소를 받게 되며, 원래 선택을 변경하지 않은 세 사람 중 한 사람만이 상을 받게 됩니다.

자동차가 문 #2 또는 #3 뒤에 있는 경우 결과는 동일하고 특정 승자만 변경된다는 점에 유의해야 합니다. 따라서 처음에 각 문이 동일한 확률로 선택되었다고 가정하면 선택을 변경한 사람이 상금을 두 배 더 자주 얻습니다. 즉, 이 경우 당첨 확률이 더 큽니다.

수학적 확률론의 관점에서 이 문제를 살펴보자. 우리는 각 문에 대한 초기 선택의 확률과 자동차의 각 문 뒤에 있을 확률이 같다고 가정합니다. 또한 리더가 두 개의 문을 열 수 있을 때 동일한 확률로 각 문을 선택하도록 예약하는 것이 유용합니다. 그런 다음 첫 번째 결정 후 상품이 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고 다른 두 문 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 동시에 호스트가 두 개의 "선택되지 않은" 문 중 하나를 연 후 2/3의 전체 확률이 나머지 문 중 하나에만 떨어지므로 결정을 변경할 수 있는 기반이 만들어지고 승률이 높아집니다. 2배로. 물론 특정 경우에 어떤 식 으로든 보장하지는 않지만 반복적으로 실험을 반복하면 더 성공적인 결과를 얻을 수 있습니다.

후기

Monty Hall 문제는 이 문제의 공식이 처음으로 알려진 것이 아닙니다. 특히 1959년 Martin Gardner는 Scientific American에 비슷한 문제 "about three prisoners"(Three Prisoners problem)를 다음과 같은 문구로 발표했습니다. 죄수 A는 교도관을 설득하여 처형될 다른 두 사람 중 한 사람의 이름을 말하게 하고(두 사람 모두 처형되는 경우) B라는 이름을 받은 후 자신의 구원 가능성이 낮아졌다고 생각합니다. 1/3이지만 1/2. 동시에 수감자 C는 자신의 탈출 확률이 2/3가 되었다고 주장하지만, A에게는 아무 변화가 없다. 어느 쪽이 맞습니까?"

그러나 Gardner는 1889년 그의 확률 계산에서 프랑스 수학자 Joseph Bertrand(영국인 Bertrand Russell과 혼동하지 말 것!)가 비슷한 문제를 제시한 이후 처음이 아닙니다(Bertrand의 상자 역설 참조). 세 개의 상자에는 각각 두 개의 동전이 들어 있습니다. 첫 번째 상자에는 금화 두 개, 두 번째 상자에는 은화 두 개, 세 번째 상자에는 다른 두 개의 동전이 들어 있습니다.

세 가지 문제에 대한 솔루션을 모두 이해한다면 아이디어의 유사성을 쉽게 알 수 있습니다. 수학적으로 이들 모두는 조건부 확률, 즉 사건 B가 발생한 것으로 알려진 경우 사건 A의 확률이라는 개념으로 통합됩니다. 가장 간단한 예: 일반 주사위를 굴릴 확률은 1/6입니다. 그러나 굴린 숫자가 홀수인 경우 이미 1일 확률은 1/3입니다. 언급된 다른 두 가지 문제와 마찬가지로 Monty Hall 문제는 조건부 확률을 주의해서 다루어야 함을 보여줍니다.

이러한 문제는 종종 역설이라고도합니다. Monty Hall의 역설, Bertrand의 상자 역설 (후자는 당시 존재했던 확률 개념의 모호성을 증명 한 동일한 책에 제공된 실제 Bertrand의 역설과 혼동해서는 안됩니다)- 약간의 모순을 암시합니다(예를 들어, "거짓말쟁이의 역설"에서 "이 진술은 거짓입니다"라는 문구는 배제된 중간의 법칙과 모순됩니다). 안에 이 경우그러나 엄격한 진술에는 모순이 없습니다. 그러나 분명한 모순이 있다. 여론"또는 단순히 문제에 대한 "명백한 해결책"입니다. 실제로 대부분의 사람들은 문제를 바라보며 문 중 하나를 연 후 나머지 두 개의 닫힌 문 뒤에 있는 상품을 찾을 확률이 1/2이라고 믿습니다. 그렇게 함으로써 그들은 마음을 바꾸는 데 동의하든 동의하지 않든 차이가 없다고 주장합니다. 더군다나 많은 사람들이 자세한 해결책을 들어도 이것 외에는 답을 이해하기 어렵다고 합니다.

Steve Selwyn에 대한 Monty Hall의 답변

스티브 셀빈 씨,
생물 통계학 조교수,
캘리포니아 대학교 버클리.

친애하는 스티브,

American Statistical에서 문제를 보내주셔서 감사합니다.

나는 대학에서 통계학을 공부하지 않았지만 숫자를 조작하고 싶다면 숫자가 항상 나에게 유리하게 사용될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 귀하의 추론은 한 가지 필수 상황을 고려하지 않습니다. 첫 번째 상자가 비어 있으면 참가자는 더 이상 자신의 선택을 변경할 수 없습니다. 따라서 확률은 동일하게 유지됩니다. 3분의 1, 맞죠? 물론 상자 중 하나가 비어 있으면 기회가 50/50이되지 않고 동일하게 유지됩니다. 참가자에게는 하나의 상자를 제거함으로써 더 많은 기회를 얻는 것 같습니다. 별말씀을요. 그에 대한 2 대 1은 그대로 남아 있습니다. 그리고 갑자기 내 쇼에 오더라도 규칙은 동일하게 유지됩니다. 선택 후 상자를 변경하지 마십시오.

세 개의 문 중 하나를 선택해야 하는 게임의 참가자가 되었다고 상상해 보십시오. 문 중 하나 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 예를 들어 1번과 같은 문 중 하나를 선택하면 차가 어디에 있고 염소가 어디에 있는지 알고 있는 호스트가 나머지 문 중 하나(예: 3번)를 엽니다. 그 뒤에 염소가 있습니다. 그런 다음 선택을 변경하고 2번 문을 선택하겠느냐고 묻습니다. 호스트의 제안을 수락하고 선택을 변경하면 자동차 당첨 확률이 높아질까요?

해결책.이 문제에는 어떤 역설도 포함되어 있지 않다는 점에 즉시 주목합시다. 일반 작업( 첫 번째 수준)을 조건부 확률의 정의에서 따르는 Bayes 공식으로 변환합니다.

베이즈 공식

이벤트를 A로 표시하면 차를 얻었습니다.

우리는 두 가지 가설을 제시합니다. H 1 - 문을 바꾸지 않고 H 2 - 문을 바꿉니다.

P(H 1)= 1/3 - 선험적 (선험적 - 실험 전에 호스트가 아직 문을 열지 않았다는 의미) 당신이 문을 바꾸고 있다는 가설의 확률.

P H1 (A) - 첫 번째 가설 H 1이 발생한 경우 차가 있는 문을 추측할 조건부 확률

P H2 (A) - 두 번째 가설 H 2가 발생한 경우 차가 있는 문을 추측할 조건부 확률

가설 H 1이 발생한 경우 사건 A의 확률을 구하십시오(문을 바꾸지 않은 경우 자동차를 획득할 확률).

가설 H 2가 발생한 경우 사건 A의 확률을 구하십시오(문을 바꾸면 자동차를 얻을 확률).

따라서 참가자는 초기 선택을 변경해야 합니다. 이 경우 당첨 확률은 2 ⁄ 와 같습니다.

몬티 홀 역설의 통계적 검증

여기: "전략 1" - 선택을 변경하지 마십시오. "전략 2" - 선택을 변경하십시오. 이론적으로 문이 3개인 경우의 확률분포는 33.(3)%와 66.(6)%이다. 수치 시뮬레이션은 유사한 결과를 제공해야 합니다.

확률 이론은 수학자 자신을 혼란스럽게 할 준비가 된 수학의 한 분야입니다. 이 과학의 나머지 정확하고 흔들리지 않는 교리와 달리 이 영역은 기이함과 부정확성으로 가득 차 있습니다. 이른바 몬티 홀의 역설이라는 새로운 단락이 최근에 이 섹션에 추가되었습니다. 이것은 일반적으로 과제이지만 일반적인 학교 나 대학과는 완전히 다른 방식으로 해결됩니다.

기원 이야기

먼 1975년 이후로 사람들은 몬티 홀 패러독스에 대해 골똘히 생각해 왔습니다. 그러나 1963 년부터 시작할 가치가 있습니다. 그때 "거래를 합시다"라는 의미의 TV 쇼가 화면에 나타났습니다. 그 호스트는 시청자에게 때때로 풀 수없는 퍼즐을 던진 몬티 홀이었습니다. 가장 눈에 띄는 것 중 하나는 그가 1975년에 제시한 문제였습니다. 이 문제는 수학적 확률 이론과 그 틀에 맞는 역설의 일부가 되었습니다. 또한 주목할 가치가 있습니다. 이 현상과학자들의 격렬한 토론과 가혹한 비판의 원인이었습니다. 몬티 홀 역설은 1990년 Parade 잡지에 실렸고 그 이후로 더 많이 논의되고 논쟁 적 이슈모든 시대와 민족. 글쎄, 이제 우리는 공식화와 해석으로 직접 돌아갑니다.

문제 설명

이 역설에 대한 많은 해석이 있지만 프로그램 자체에 표시된 고전적인 해석을 제시하기로 결정했습니다. 그래서 당신 앞에 세 개의 문이 있습니다. 그들 중 하나 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 개 뒤에는 각각 염소 한 마리씩 있습니다. 호스트는 문 중 하나를 선택하도록 초대하고 1번에서 멈춘다고 가정해 보겠습니다. 지금까지 첫 번째 문 뒤에 무엇이 있는지 알지 못합니다. 세 번째 문을 열고 염소가 있음을 보여주기 때문입니다. 그 뒤에. 그러므로 당신은 지는 선택지를 숨기는 문을 선택하지 않았기 때문에 아직 지는 것이 아닙니다. 따라서 자동차를 얻을 확률이 높아집니다.

하지만 호스트는 마음을 바꾸라고 제안합니다. 당신 앞에는 이미 두 개의 문이 있습니다. 하나 뒤에는 염소가 있고 다른 하나 뒤에는 탐내는 상이 있습니다. 이것이 바로 문제의 핵심입니다. 두 문 중 어느 쪽을 선택하든 확률은 50대 50인 것 같지만 사실 생각을 바꾸면 당첨될 확률이 더 높아진다. 어때?

이 게임에서 첫 번째 선택은 무작위입니다. 세 개의 문 중 어느 문 뒤에 상품이 숨겨져 있는지 원격으로 추측할 수도 없으므로 무작위로 첫 번째 문을 가리킵니다. 차례로 리더는 모든 것이 어디에 있는지 알고 있습니다. 그는 상금이 있는 문, 당신이 가리킨 문, 그리고 상금이 없는 세 번째 문을 가지고 있는데, 그가 당신에게 첫 번째 단서로 여는 것입니다. 두 번째 힌트는 선택을 변경하려는 그의 제안 자체에 있습니다.

이제 더 이상 셋 중 하나를 무작위로 선택하지 않고 마음을 바꿔 원하는 상을 받을 수도 있습니다. 차가 실제로 그가 선택한 문 뒤에 있지 않고 다른 문 뒤에 있다는 믿음을 사람에게주는 것은 호스트의 제안입니다. 사실, 당신은 여전히 무작위로 선택해야하지만 (3 개가 아닌 2 개에서) 승리의 기회가 증가하기 때문에 이것은 역설의 전체 본질입니다. 통계에 따르면 마음을 바꾼 30명의 선수 중 18명이 차를 얻었고 이것은 60%입니다. 그리고 결정을 변경하지 않은 동일한 30명 중 11명, 즉 36%입니다.

숫자로 해석

이제 몬티 홀 패러독스를 더 주자 정확한 정의. 플레이어의 첫 번째 선택은 문을 두 그룹으로 나눕니다. 상품이 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고 남아 있는 문 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 그런 다음 호스트는 두 번째 그룹의 문 중 하나를 엽니다. 따라서 그는 남은 확률인 2/3을 모두 당신이 선택하지 않았고 그가 열지 않은 하나의 문으로 옮깁니다. 그러한 계산 후에 마음을 바꾸는 것이 더 유리할 것이라는 것은 논리적입니다. 그러나 동시에 여전히 잃을 기회가 있음을 기억하는 것이 중요합니다. 때로는 발표자가 교활합니다. 처음에는 올바른 상을 수상한 문을 찌르고 자발적으로 거부 할 수 있기 때문입니다.

우리는 정확한 과학으로서의 수학이 상식과 밀접한 관련이 있다는 사실에 모두 익숙합니다. 여기서는 단어, 정확한 공식, 모호한 생각, 좌표가 아니라 상대적인 데이터가 아닌 숫자가 작업을 수행합니다. 하지만 그녀 새 섹션확률 이론이라고 불리는 것은 친숙한 패턴 전체를 날려 버렸습니다. 이 영역의 작업은 상식의 틀에 맞지 않으며 모든 공식과 계산과 완전히 모순되는 것 같습니다. 아래에서 우리는 위에서 설명한 것과 공통점이 있는 확률 이론의 다른 역설에 익숙해질 것을 제안합니다.

소년과 소녀의 역설

언뜻보기에이 작업은 터무니 없지만 수학적 공식을 엄격히 준수하며 두 가지 솔루션이 있습니다. 그래서 어떤 남자에게 두 자녀가 있습니다. 그들 중 하나는 소년이어야합니다. 두 번째가 남자아이일 확률은?

옵션 1.우리는 가족 내 두 자녀의 모든 조합을 고려합니다.

소녀/소녀.
소녀 소년.
소년/소녀.
소년/소년.

첫 번째 조합은 분명히 우리에게 적합하지 않으므로 마지막 세 개를 기준으로 두 번째 아이가 작은 사람이 될 확률은 1/3입니다.

옵션 2.실제로 그러한 경우를 상상하고 분수와 공식을 버리고 지구상에 성별이 두 개뿐이라는 사실에 근거하여 두 번째 아이가 소년이 될 확률은 1/2입니다.

이 경험은 통계가 얼마나 유명하게 조작될 수 있는지를 보여줍니다. 그래서 "잠자는 숲속의 미녀"는 수면제를 주사하고 동전을 던집니다. 머리가 나오면 그녀는 깨어나고 실험은 종료된다. 꼬리가 빠지면 그녀를 깨우고 즉시 두 번째 주사를하고 그녀는 깨어 난 것을 잊고 두 번째 날에만 다시 깨어납니다. 완전히 깨어 난 후 "아름다움"은 그녀가 눈을 뜬 날이나 동전이 떨어질 확률이 무엇인지 모릅니다. 첫 번째 솔루션에 따르면 뒷면(또는 앞면)이 나올 확률은 1/2입니다. 두 번째 옵션의 본질은 실험을 1000 번 수행하면 독수리의 경우 "아름다움"이 500 번 깨어나고 드물게 1000 번 깨어날 것이라는 것입니다. 이제 꼬리를 얻을 확률은 2/3.

몬티 홀 패러독스는 확률 이론의 잘 알려진 문제 중 하나이며, 그 해결책은 언뜻 보기에 상식과 모순됩니다. 이 문제는 미국 TV 쇼 Let's Make a Deal을 기반으로 하는 가상 게임의 설명으로 공식화되었으며 이 쇼의 호스트 이름을 따서 명명되었습니다. 1990년 Parade Magazine에 발표된 이 문제의 가장 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

이 문제 공식이 가장 잘 알려져 있지만 문제의 일부 중요한 조건을 정의하지 않은 상태로 남겨두기 때문에 다소 문제가 있습니다. 다음은 더 완전한 진술입니다.

이 문제를 해결할 때 일반적으로 다음과 같이 추론합니다. 호스트가 염소가있는 문을 열면 자동차는 나머지 두 문 중 하나만 뒤에있을 수 있습니다. 플레이어는 자동차가 뒤에 있는 문에 대한 추가 정보를 얻을 수 없기 때문에 각 문 뒤에서 자동차를 찾을 확률은 동일하며 문의 초기 선택을 변경해도 플레이어에게 이점이 없습니다. 그러나 이러한 추론은 올바르지 않습니다. 호스트가 항상 어떤 문이 뒤에 있는지 알고 있고, 항상 염소가 있는 나머지 문을 열고, 항상 플레이어에게 선택을 바꾸라고 촉구한다면, 자동차가 플레이어가 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고, , 따라서 자동차가 나머지 문 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 따라서 초기 선택을 변경하면 플레이어가 자동차를 획득할 확률이 두 배가 됩니다. 이 결론은 대부분의 사람들이 상황에 대한 직관적인 인식과 모순되며, 이것이 설명된 문제를 몬티홀 패러독스라고 부르는 이유입니다.

구두 결정

이 문제에 대한 정답은 다음과 같습니다. 예, 플레이어가 호스트의 조언을 따르고 초기 선택을 변경하면 자동차 당첨 확률이 두 배가 됩니다.

이 답변에 대한 가장 간단한 설명은 다음 고려 사항입니다. 선택을 변경하지 않고 차를 얻으려면 플레이어는 차가 서있는 문을 즉시 추측해야합니다. 이 확률은 1/3입니다. 플레이어가 처음에 뒤에 염소가 있는 문을 쳤다면(그리고 이 이벤트의 확률은 2/3입니다. 왜냐하면 두 마리의 염소와 한 대의 차가 있기 때문입니다), 그는 확실히 마음을 바꾸어 차를 이길 수 있습니다. 그리고 염소 한 마리가 남아 있고 호스트는 염소와 함께 이미 문을 열었습니다.

따라서 선택을 변경하지 않고 플레이어는 초기 승률 1/3을 유지하고 초기 선택을 변경할 때 플레이어는 처음에 정확하게 추측하지 못한 나머지 확률의 두 배를 유리하게 만듭니다.

또한 두 이벤트를 서로 바꿔서 직관적으로 설명할 수 있습니다. 첫 번째 이벤트는 문을 바꾸기로 한 플레이어의 결정이고 두 번째 이벤트는 추가 문을 여는 것입니다. 여분의 문을 여는 것은 플레이어에게 어떤 것도 주지 않기 때문에 허용됩니다. 새로운 정보(이 문서 참조 문서).

그러면 문제는 다음 공식으로 축소될 수 있습니다. 첫 번째 순간에 플레이어는 문을 두 그룹으로 나눕니다. 첫 번째 그룹에는 하나의 문(선택한 문)이 있고 두 번째 그룹에는 두 개의 문이 남아 있습니다. 다음 순간에 플레이어는 그룹을 선택합니다. 첫 번째 그룹의 승리 확률은 1/3이고 두 번째 그룹의 경우 2/3입니다. 플레이어는 두 번째 그룹을 선택합니다. 두 번째 그룹에서는 두 문을 모두 열 수 있습니다. 하나는 호스트가 열고 두 번째는 플레이어가 직접 엽니다.

"가장 이해하기 쉬운"설명을 해보자. 문제 재구성: 정직한 호스트는 플레이어에게 세 개의 문 중 하나 뒤에 자동차가 있다고 알리고 먼저 문 중 하나를 가리키도록 초대한 다음 두 가지 작업 중 하나를 선택합니다. 이전 공식에서는 "선택을 변경하지 마십시오"라고 합니다.) 또는 다른 두 개를 엽니다(이전 공식에서는 "선택 변경"일 뿐입니다. 이것이 이해의 열쇠라고 생각하십시오!). 이 경우 자동차를 얻을 확률이 두 배 높기 때문에 플레이어가 두 가지 행동 중 두 번째 행동을 선택할 것이 분명합니다. 그리고 행동을 선택하기 전에도 리더가 "염소를 보여줬다"는 작은 것은 도움이되지 않으며 선택을 방해하지 않습니다. 두 문 중 하나 뒤에는 항상 염소가 있고 리더는 어떤 코스에서든 확실히 보여줄 것이기 때문입니다. 그래서 플레이어는 이 염소를 타고 지켜볼 수 없습니다. 두 번째 행동을 선택한 경우 플레이어의 임무는 두 문 중 하나를 직접 열고 다른 문을 여는 수고를 덜어준 호스트에게 "감사합니다"라고 말하는 것입니다. 글쎄, 또는 더 쉽습니다. 수십 명의 플레이어와 비슷한 절차를 수행하는 호스트의 관점에서 이러한 상황을 상상해 봅시다. 그는 문 뒤에 무엇이 있는지 완벽하게 알고 있기 때문에 평균적으로 세 가지 중 두 가지 경우에 플레이어가 "잘못된"문을 선택했음을 미리 봅니다. 따라서 그에게는 올바른 전략이 첫 번째 문을 연 후 선택을 변경하는 것이라는 역설이 없습니다. 결국 세 가지 중 동일한 두 가지 경우에 플레이어는 스튜디오를 떠날 것입니다. 새차.

마지막으로 가장 "순진한" 증명입니다. 자신의 선택을 고수하는 사람을 "고집쟁이"라고 하고 지도자의 지시를 따르는 사람을 "세심한 사람"이라고 합니다. 그런 다음 완고한 사람은 처음에 차를 추측하면 (1/3), 세심한 사람은 처음 놓치고 염소를 쳤다면 (2/3) 승리합니다. 결국, 이 경우에만 그는 차가 있는 문을 가리킬 것입니다.

이해의 열쇠

이 현상을 설명하는 단순함에도 불구하고, 많은 사람들은 플레이어가 자신의 선택을 바꾸더라도 승률이 변하지 않는다고 직관적으로 믿고 있습니다. 일반적으로 승리 확률을 변경할 수 없다는 사실은 예를 들어 동전을 던질 때 발생하는 것처럼 확률을 계산할 때 과거에 발생한 이벤트가 중요하지 않다는 사실에 의해 동기 부여됩니다. 이전에 머리나 꼬리가 몇 번이나 빠졌는지에 의존하지 않습니다. 따라서 많은 사람들은 플레이어가 두 문 중 한 문을 선택하는 순간 과거에는 세 문 중 한 문을 선택하는 것이 더 이상 중요하지 않으며 선택을 변경할 때 자동차 당첨 확률이 동일하다고 생각합니다. , 원래 선택을 남깁니다.

그러나 이러한 고려 사항은 동전 던지기의 경우에 해당되지만 모든 게임에 적용되는 것은 아닙니다. 이 경우 주인이 문을 여는 것은 무시해야 한다. 플레이어는 본질적으로 처음 선택한 문 하나와 다른 두 문 중에서 선택합니다. 그 중 하나를 여는 것은 플레이어의 주의를 분산시키는 역할만 합니다. 자동차 한 대와 염소 두 마리가 있는 것으로 알려져 있습니다. 플레이어가 문 중 하나를 처음 선택하면 게임의 가능한 결과를 두 그룹으로 나눕니다. 자동차가 플레이어가 선택한 문 뒤에 있거나(확률이 1/3) 다른 두 개 중 하나 뒤에 있습니다(확률이 1/3). 2/3)입니다. 동시에, 어쨌든 나머지 두 문 중 하나 뒤에 염소가 있다는 것은 이미 알려져 있으며, 이 문을 열면 호스트는 플레이어가 선택한 문 뒤에 무엇이 있는지에 대한 추가 정보를 플레이어에게 제공하지 않습니다. 플레이어. 따라서 리더가 염소와 함께 문을 여는 것은 자동차가 나머지 문 중 하나 뒤에 있을 확률(2/3)을 변경하지 않습니다. 그리고 이미 문호 개방플레이어가 선택하지 않으면 자동차가 나머지 닫힌 문 뒤에 있는 경우 이 모든 확률이 집중됩니다.

보다 직관적인 추론: 플레이어가 "선택 변경" 전략에 따라 행동하게 하십시오. 그런 다음 그는 처음에 차를 선택한 경우에만 잃을 것입니다. 그리고 이것의 확률은 1/3입니다. 따라서 승률은 1-1/3=2/3입니다. 플레이어가 "선택을 변경하지 마십시오" 전략에 따라 행동하면 처음에 차를 선택한 경우에만 승리합니다. 그리고 이것의 확률은 1/3입니다.

수십 명의 플레이어와 비슷한 절차를 수행하는 호스트의 관점에서 이러한 상황을 상상해 봅시다. 그는 문 뒤에 무엇이 있는지 완벽하게 알고 있기 때문에 평균적으로 세 가지 중 두 가지 경우에 플레이어가 "잘못된"문을 선택했음을 미리 봅니다. 따라서 그에게는 첫 번째 문을 연 후 선택을 변경하는 것이 올바른 전략이라는 역설이 없습니다. 결국 세 가지 중 두 가지 경우에 플레이어는 새 차를 타고 스튜디오를 떠날 것입니다.

이 문제에 대한 해결책을 이해하기 어려운 또 다른 일반적인 이유는 종종 사람들이 약간 다른 게임을 상상하기 때문입니다. 호스트가 염소와 함께 문을 열고 플레이어가 선택을 변경하도록 제안할지 여부를 미리 알 수 없습니다. 이 경우 플레이어는 호스트의 전술을 알지 못하며(즉, 본질적으로 게임의 모든 규칙을 알지 못함) 만들 수 없습니다. 최적의 선택. 예를 들어, 진행자가 플레이어가 처음에 자동차가 있는 문을 선택한 경우에만 옵션 변경을 제안하는 경우 플레이어는 항상 원래 결정을 변경하지 않고 그대로 두어야 합니다. 그렇기 때문에 Monty Hall 문제의 정확한 공식을 염두에 두는 것이 중요합니다. (이 옵션을 사용하면 다른 전략을 가진 리더가 문 사이의 모든 확률을 달성할 수 있습니다. 일반적인(평균) 경우에는 1/2 x 1/2입니다.)

문 수 증가

무슨 일이 일어나고 있는지의 본질을 더 쉽게 이해하기 위해 플레이어가 자신 앞에 세 개의 문이 아니라 예를 들어 100 개의 문을 보는 경우를 고려할 수 있습니다. 동시에 한 문 뒤에 자동차가 있고 다른 99개 문 뒤에는 염소가 있습니다. 플레이어는 문 중 하나를 선택하지만 99%의 경우 염소가 있는 문을 선택하고 자동차가 있는 문을 즉시 선택할 가능성은 매우 적습니다. 1%입니다. 그 후 호스트는 염소가 있는 98개의 문을 열고 플레이어에게 나머지 문을 선택하도록 요청합니다. 이 경우 플레이어가 즉시 올바른 문을 선택할 가능성이 매우 적기 때문에 99%의 경우 자동차는 이 남은 문 뒤에 있을 것입니다. 이 상황에서 합리적으로 생각하는 플레이어는 항상 리더의 제안을 수락해야 합니다.

증가된 문 수를 고려할 때 다음과 같은 질문이 자주 발생합니다. 원래 문제에서 리더가 세 개 중 하나의 문을 열면(즉, 총문), 왜 우리는 100개의 문이 있을 때 호스트가 33개가 아닌 98개의 염소가 있는 문을 열 것이라고 가정해야 합니까? 이러한 고려는 일반적으로 Monty Hall의 역설이 상황에 대한 직관적 인식과 충돌하는 중요한 이유 중 하나입니다. 98개의 문을 여는 것이 맞다고 가정하면 필수 조건임무는 중재자가 제공하는 플레이어에 대한 대안이 하나뿐인 것입니다. 따라서 작업이 비슷해지려면 문이 4개인 경우에는 리더가 2개의 문을, 5개의 경우에는 3개 등의 방식으로 문을 열지 않고 항상 1개의 문이 열리지 않도록 해야 합니다. 플레이어가 처음에 선택한 퍼실리테이터가 더 적은 수의 문을 열면 작업은 더 이상 원래 Monty Hall 작업과 유사하지 않습니다.

문이 많은 경우 호스트가 하나의 문을 닫지 않고 여러 문을 닫고 플레이어에게 그 중 하나를 선택하도록 제안하더라도 초기 선택을 변경할 때 플레이어가 차를 얻을 확률은 그렇게 크게는 아니지만 여전히 증가합니다. 예를 들어 플레이어가 100개의 문 중 하나를 선택한 다음 진행자가 나머지 문 중 하나만 열어 플레이어가 선택을 변경하도록 하는 상황을 생각해 보십시오. 동시에 자동차가 원래 플레이어가 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/100으로 동일하게 유지되며 나머지 문에 대해서는 기회가 변경됩니다. 자동차가 나머지 문 중 하나 뒤에 있을 총 확률( 99/100)은 이제 99개의 문이 아닌 98개의 문에 배포됩니다. 따라서 각 문 뒤에서 자동차를 찾을 확률은 1/100이 아니라 99/9800이 됩니다. 증가 확률은 약 0.01%입니다.

의사 결정 트리

나무 가능한 해결책각 결과의 확률을 보여주는 플레이어 및 호스트

보다 공식적으로 게임 시나리오는 의사 결정 트리를 사용하여 설명할 수 있습니다.

처음 두 경우에서 플레이어가 염소가 있는 문 뒤에 있는 문을 처음 선택했을 때 선택을 바꾸면 승리하게 됩니다. 마지막 두 경우에서 플레이어가 차가 있는 문을 처음 선택했을 때 선택을 변경하면 손실이 발생합니다.

선택의 변화가 승리로 이어질 총 확률은 처음 두 결과의 확률의 합과 같습니다.

따라서 선택을 바꾸지 않는 것이 승리로 이어질 확률은

유사한 실험 수행

원래 선택을 변경하면 평균 3번 중 2번의 승리를 거둘 수 있는 쉬운 방법이 있습니다. 이렇게 하려면 다음을 사용하여 Monty Hall 문제에 설명된 게임을 시뮬레이션할 수 있습니다. 카드 놀이. 한 사람 (카드 배포)은 주요 Monty Hall 역할을하고 두 번째 사람은 플레이어 역할을합니다. 게임을 위해 세 장의 카드를 가져옵니다. 그 중 하나는 자동차가있는 문 (예 : 스페이드 에이스)을 묘사하고 다른 두 장 (예 : 두 개의 빨간색 듀스)은 염소가있는 문입니다.

호스트는 세 장의 카드를 뒤집어 놓고 플레이어에게 카드 중 하나를 가져 가도록 초대합니다. 플레이어가 카드를 선택한 후 리더는 남은 두 장의 카드를 보고 빨간색 듀스를 공개합니다. 그 후 플레이어와 리더가 남긴 카드를 열고 플레이어가 선택한 카드가 스페이드 에이스이면 플레이어가 선택을 변경하지 않으면 옵션에 유리한 점수가 기록되고 다음과 같은 경우 플레이어는 레드 듀스를 가지고 있고 리더는 스페이드 에이스를 가지고 있으며 플레이어가 선택을 변경할 때 옵션에 유리한 점수를 얻습니다. 우리가 그러한 게임 라운드를 많이 플레이하면 두 옵션에 유리한 포인트 사이의 비율은 이러한 옵션의 확률 비율을 상당히 잘 반영합니다. 이 경우 초기 선택 변경에 찬성하는 점수가 약 두 배인 것으로 나타났습니다.

이러한 실험은 선택을 변경할 때 이길 확률이 두 배로 높아질 뿐만 아니라 왜 이런 일이 발생하는지 잘 보여줍니다. 플레이어가 자신을 위해 카드를 선택한 순간 스페이드 에이스가 손에 있는지 여부는 이미 결정되었습니다. 리더가 카드 중 하나를 더 열면 상황이 바뀌지 않습니다. 플레이어는 이미 카드를 손에 들고 있으며 리더의 행동에 관계없이 그대로 유지됩니다. 플레이어가 스페이드 에이스를 선택할 확률 세 장의 카드는 분명히 1/3이므로 선택하지 않을 확률(그리고 플레이어가 원래 선택을 변경하면 승리함)은 2/3입니다.

언급하다

영화 Twenty-one에서 교사 Miki Rosa는 주인공 Ben에게 세 개의 문 뒤에 스쿠터 두 대와 자동차 한 대가 있는 퍼즐을 풀도록 도전합니다. 첫 번째 선택 후 Miki는 선택을 변경할 것을 제안합니다. Ben은 자신의 결정에 동의하고 수학적으로 정당화합니다. 그래서 그는 Miki의 팀을 위해 비자발적으로 테스트를 통과했습니다.

Sergei Lukyanenko의 소설 "Nedotepa"에서 주인공은 이 기술을 사용하여 마차를 얻고 여행을 계속할 수 있는 기회를 얻습니다.

텔레비전 시리즈 4isla(시즌 1 "Man Hunt"의 에피소드 13)에서 주인공 중 한 명인 Charlie Epps는 대중적인 수학 강의에서 몬티 홀 패러독스를 마커 보드를 사용하여 명확하게 설명합니다. 뒷면페인트 칠한 염소와 자동차입니다. Charlie는 선택을 변경하여 차를 찾습니다. 그러나 전환 전략의 이점은 통계적이며 올바르게 설명하려면 일련의 실험을 실행해야 하는 반면 그는 한 번의 실험만 실행한다는 점에 유의해야 합니다.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146