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당신 앞에는 세 개의 문이 있습니다. 몬티 홀의 역설 - 선택 확률 증가에 대한 설명

복권에 대해

이 게임은 오랫동안 대량 캐릭터를 획득했으며 현대 생활. 그리고 복권이 그 기능을 점점 더 확장하고 있지만 많은 사람들은 여전히 복권을 단지 부자가 되는 방법으로 보고 있습니다. 자유롭지 않고 신뢰할 수 없습니다. 한편, 잭 런던의 영웅 중 한 명이 지적했듯이, 도박사실을 고려할 수밖에 없습니다. 사람들은 때때로 운이 좋습니다.

사건의 수학. 확률 이론의 역사

알렉산더 부페토프

진행자 물리 및 수리과학 박사 강의 녹취록 및 영상녹화 연구원 Steklov Institute of Mathematics, 선임 연구원, IPTP RAS, 교수, 수학 교수, 고등 경제 대학, 연구 책임자 내셔널 센터 과학적 연구 2014년 2월 6일 Polit.ru 공개 강의 시리즈의 일부로 Alexander Bufetov가 프랑스(CNRS)에서 발표했습니다.

규칙성의 환상: 무작위성이 부자연스러워 보이는 이유

무작위, 규칙 및 불가능에 대한 우리의 생각은 종종 통계 및 확률 이론의 데이터와 다릅니다. "불완전한 기회. 우연이 우리의 삶을 지배하는 방법” 미국의 물리학자이자 과학 대중화자인 Leonard Mlodinov는 무작위 알고리즘이 왜 그렇게 이상하게 보이는지, iPod에서 노래를 “무작위로” 섞는 것이 무엇인지, 그리고 무엇이 주식 분석가의 성공을 결정하는지에 대해 이야기합니다. Theories and Practices는 책에서 발췌한 내용을 출판합니다.

결정론

결정론은 일반적인 과학적 개념이며 철학세계에서 발생하는 모든 현상과 과정의 인과 관계, 패턴, 유전적 연결, 상호 작용 및 조건에 대해.

신은 통계이다

University of California at Berkeley의 통계학과 교수인 Deborah Nolan은 학생들에게 언뜻 보기에 매우 이상한 작업을 하도록 요청합니다. 첫 번째 그룹은 동전을 100번 던져 결과를 기록해야 합니다: 앞면 또는 뒷면. 두 번째는 그녀가 동전을 던지고 있다고 상상하고 수백 개의 "가상"결과 목록을 작성해야 합니다.

결정론이란 무엇인가

시스템의 초기 조건을 알면 자연 법칙을 사용하여 시스템의 최종 상태를 예측할 수 있습니다.

까다로운 신부 문제

Huseyn-Zade S. M.

제논의 역설

우주의 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 수 있습니까? 고대 그리스 철학자 Elea의 Zeno는 운동이 전혀 수행 될 수 없다고 믿었지만 어떻게 주장 했습니까? Colm Keller는 Zeno의 유명한 역설을 해결하는 방법에 대해 이야기합니다.

무한 집합의 역설

무한한 수의 객실이 있는 호텔을 상상해 보십시오. 무한한 수의 미래 손님을 태우고 버스가 도착합니다. 그러나 그것들을 모두 배치하는 것은 그리 쉬운 일이 아닙니다. 이것은 끝없는 번거 로움이며 손님은 끝없이 피곤합니다. 그리고 작업에 대처하지 못하면 무한한 돈을 잃을 수 있습니다! 무엇을 해야 합니까?

부모의 키에 대한 아이의 키 의존성

젊은 부모는 물론 자녀가 성인이 되었을 때 키가 얼마나 되는지 알고 싶어합니다. 수학적 통계는 아버지와 어머니의 키만을 기준으로 자녀의 키를 대략적으로 추정하는 간단한 선형 관계를 제공할 수 있으며 이러한 추정의 정확성을 나타낼 수도 있습니다.

몬티 홀 역설은 아마도 확률 이론에서 가장 유명한 역설일 것입니다. 예를 들어 세 명의 죄수의 역설과 같은 많은 변형이 있습니다. 그리고 이 역설에 대한 많은 해석과 설명이 있습니다. 그러나 여기서 나는 형식적인 설명뿐만 아니라 몬티 홀과 그와 같은 다른 사람들의 역설에서 일어나는 일의 "물리적" 기초를 보여주고 싶습니다.

고전적인 표현은 다음과 같습니다.

“당신은 게임에 있습니다. 당신 앞에는 세 개의 문이 있습니다. 그들 중 하나는 상을 받았습니다. 호스트는 상품이 어디에 있는지 추측하도록 초대합니다. 당신은 (무작위로) 문 중 하나를 가리킵니다.

몬티 홀 패러독스의 공식화

호스트는 상품이 실제로 어디에 있는지 알고 있습니다. 그는 당신이 보여준 그 문을 열지 않습니다. 그러나 그것은 당신을 위해 나머지 문 중 하나를 더 열어주고 그 뒤에는 상금이 없습니다. 문제는 선택을 변경해야 합니까, 아니면 같은 결정을 유지해야 합니까?

선택만 바꾸면 당첨 확률이 높아진다는 사실이 밝혀졌습니다!

상황의 역설은 명백합니다. 일어나는 모든 일은 무작위인 것 같습니다. 당신이 마음을 바꾸든 말든 그것은 중요하지 않습니다. 하지만 그렇지 않습니다.

이 역설의 본질에 대한 "물리적" 설명

처음에는 수학적 미묘함에 들어 가지 말고 단순히 편견없이 상황을 살펴 보겠습니다.

이 게임에서는 먼저만 하면 됩니다. 무작위 선택. 그러면 호스트가 알려줍니다. 추가 정보 , 당첨 확률을 높일 수 있습니다.

진행자는 추가 정보를 어떻게 제공합니까? 매우 간단합니다. 열리니 참고하세요 전혀문.

단순함을 위해(여기에는 교활한 요소가 있지만) 좀 더 가능성 있는 상황을 고려해 보겠습니다. 상금이 없는 문을 가리켰습니다. 그런 다음 나머지 문 중 하나 뒤에 상품이 있습니다. 있다. 즉, 리더는 선택의 여지가 없습니다. 그것은 매우 특정한 문을 엽니다. (당신은 하나를 가리켰고, 다른 하나 뒤에 상품이 있고, 호스트가 열 수 있는 문이 하나만 남아 있습니다.)

그가 당신이 사용할 수 있는 정보를 주는 것은 바로 이 의미 있는 선택의 순간입니다.

안에 이 경우, 정보의 사용은 결정을 변경하는 것입니다.

그건 그렇고, 당신의 두 번째 선택은 이미 너무 우연이 아닌(또는 오히려 첫 번째 선택만큼 무작위가 아님). 결국 닫힌 문 중에서 선택하면 하나는 이미 열려 있고 자의적이지 않은.

사실, 이미 이러한 논쟁 후에, 당신은 생각을 바꾸는 것이 더 낫다는 느낌을 가질 수 있습니다. 정말 그렇습니다. 좀 더 정식으로 보여드리겠습니다.

몬티홀 패러독스에 대한 좀 더 형식적인 설명

사실 첫 번째 무작위 선택은 모든 문을 두 그룹으로 나눕니다. 선택한 문 뒤에 상금은 1/3의 확률로, 다른 두 개 뒤에는 2/3의 확률로 있습니다. 이제 호스트가 변경합니다. 그는 두 번째 그룹에서 하나의 문을 엽니다. 이제 전체 2/3 확률은 두 문 그룹의 닫힌 문에만 적용됩니다.

이제 마음을 바꾸는 것이 더 유익하다는 것이 분명합니다.

물론, 당신은 여전히 잃을 기회가 있습니다.

그러나 선택을 변경하면 당첨 확률이 높아집니다.

몬티 홀 패러독스

몬티홀 패러독스는 (어떤 사람들에 따르면) 상식에 반하는 해결책인 확률론적 문제입니다. 작업 구성:

세 개의 문 중 하나를 선택해야 하는 게임의 참가자가 되었다고 상상해 보십시오. 문 중 하나 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 문 뒤에는 염소가 있습니다.
예를 들어 1번과 같은 문 중 하나를 선택하면 차가 어디에 있고 염소가 어디에 있는지 알고 있는 호스트가 나머지 문 중 하나(예: 3번)를 엽니다. 그 뒤에 염소가 있습니다.

몬티홀 패러독스. 역대 가장 부정확한 수학

그런 다음 그는 선택을 변경하고 2번 문을 선택하고 싶은지 묻습니다.
호스트의 제안을 수락하고 선택을 변경하면 자동차 당첨 확률이 높아질까요?

문제를 풀 때 두 가지 선택이 독립적이라고 잘못 가정하는 경우가 많기 때문에 선택이 바뀌어도 확률은 변하지 않을 것입니다. 실제로는 그렇지 않습니다. Bayes 공식을 기억하거나 아래 시뮬레이션 결과를 보면 알 수 있습니다.

여기: "전략 1" - 선택을 변경하지 마십시오. "전략 2" - 선택을 변경하십시오. 이론적으로 문이 3개인 경우의 확률분포는 33.(3)%와 66.(6)%이다. 수치 시뮬레이션은 유사한 결과를 제공해야 합니다.

연결

몬티 홀 패러독스-상식에 모순되는 해결책에서 확률 이론 섹션의 작업.

기원[편집 | 위키 텍스트 편집]

1963년 말 방영된 새로운 토크쇼"Let 's Make a Deal"( "Let 's make a deal")이라는 제목이 붙었습니다. 퀴즈의 시나리오에 따르면 청중의 시청자는 정답에 대한 상을 받았으며 새로운 베팅을 통해 곱할 기회가 있지만 기존 상금을 걸었습니다. 쇼의 창시자는 스테판 하토스(Stefan Hatosu)와 몬티 홀(Monty Hall)이었으며, 후자는 수년 동안 영구 호스트가 되었습니다.

참가자들의 과제 중 하나는 세 개의 문 중 하나 뒤에 있는 대상을 그리는 것이었습니다. 나머지 두 명에게는 인센티브 상품이 있었고 발표자는 위치 순서를 알고있었습니다. 참가자는 쇼에서 얻은 모든 상금을 베팅하여 우승 문을 결정해야 했습니다.

추측자가 숫자를 결정했을 때 호스트는 인센티브 상이있는 나머지 문 중 하나를 열고 플레이어에게 원래 선택한 문을 변경하도록 제안했습니다.

제형[편집 | 위키 텍스트 편집]

특정 문제로 역설은 1975년 Steve Selvin에 의해 처음 제기되었는데, 그는 The American Statistician과 주최자인 Monty Hall에 다음과 같은 질문을 제출했습니다. 그의 선택? 이 사건 이후 '몬티홀 패러독스'라는 개념이 등장했다.

1990년 Paradox Magazine(매거진 "Parade")에 가장 일반적인 역설 버전이 다음과 같은 예와 함께 게재되었습니다.

“세 개의 문 중 하나를 우선적으로 선택해야 하는 TV 게임에 나오는 자신을 상상해보세요. 두 문 뒤에 염소가 있고 세 번째 문 뒤에 자동차가 있습니다. 예를 들어 승리의 문이 1번이라고 가정하고 선택을 하면 호스트는 나머지 2개의 문 중 하나, 예를 들어 3번을 열고 그 뒤에 염소가 있습니다. 그런 다음 선택한 문을 다른 문으로 변경할 기회가 주어집니까? 1번 문에서 2번 문으로 선택을 변경하여 자동차 당첨 확률을 높일 수 있습니까?”

이 문구는 단순화된 버전입니다. 자동차가 어디에 있는지 정확히 알고 참가자를 잃는 데 관심이 있는 호스트의 영향 요소가 남아 있습니다.

문제가 순전히 수학적이 되기 위해서는 인센티브 상금으로 문을 여는 것과 초기 선택을 변경할 수 있는 능력을 통합 조건으로 도입하여 인적 요소를 제거해야 합니다.

솔루션[편집 | 위키 텍스트 편집]

얼핏 확률을 비교할 때 문 번호를 변경해도 아무런 이점이 없기 때문입니다. 세 가지 옵션 모두 승률이 1/3입니다(3개의 문 각각에서 약 33.33%). 동시에, 문 중 하나를 여는 것은 나머지 두 개의 기회에 영향을 미치지 않으며, 그 기회는 1/2에서 1/2(나머지 두 개의 문 각각에 대해 50%)가 됩니다. 이 판단은 플레이어의 문 선택과 호스트의 문 선택이 서로 영향을 미치지 않는 두 개의 독립적인 이벤트라는 가정에 기반합니다. 실제로 전체 이벤트 시퀀스를 전체적으로 고려할 필요가 있습니다. 확률론에 따르면 게임 시작부터 끝까지 처음 선택한 문이 나올 확률은 변함없이 1/3(약 33.33%)이고 나머지 2개의 문은 총 1/3 + 1이다. /3 = 2/3(약 66.66%). 나머지 2개의 문 중 하나가 열리면 그 확률은 0%가 되고(그 뒤에 인센티브 상금이 숨겨져 있음) 결과적으로 선택되지 않은 문이 닫힐 확률은 66.66%가 됩니다. 원래의 두 배.

선택 결과를 더 쉽게 이해할 수 있도록 옵션 수가 더 많은 대체 상황(예: 천 개)을 고려할 수 있습니다. 당첨 옵션을 선택할 확률은 1/1000(0.1%)입니다. 나머지 999개의 선택지 중에서 998개의 잘못된 문이 이후에 열리면 999개의 선택지 중 하나가 선택되지 않은 나머지 문이 선택되지 않은 확률보다 더 높다는 것이 명백해집니다. 처음에 선택된 단 하나.

언급[편집 | 위키 텍스트 편집]

"Twenty-one"(Robert Luketich의 영화), "Kluttyop"(Sergei Lukyanenko의 소설), TV 시리즈 "4isla"(TV 시리즈), "The Mysterious Nighttime Killing of a a a Dog"(Mark Haddon의 소설), "XKCD"(만화책), MythBusters(TV 쇼).

참조[편집 | 위키 텍스트 편집]

이미지에서는 당초 제안한 3개의 문 중에서 닫힌 문 2개 중 하나를 선택하는 과정을

조합론의 문제에 대한 솔루션의 예

조합론모두가 접하는 과학이다 일상 생활: 수업을 청소하기 위해 3명의 수행자를 선택하는 방법 또는 주어진 글자에서 단어를 만드는 방법의 수.

일반적으로 조합론을 사용하면 특정 조건에 따라 주어진 개체(동일하거나 다른)에서 얼마나 많은 다른 조합을 만들 수 있는지 계산할 수 있습니다.

과학으로서 조합론은 16세기에 생겨났고 이제 모든 학생(종종 남학생까지)이 그것을 연구합니다. 그들은 순열, 배치, 조합(반복 유무에 관계없이)의 개념으로 공부를 시작합니다. 아래에서 이러한 주제에 대한 문제를 찾을 수 있습니다. 조합론의 가장 유명한 규칙은 일반적인 조합 문제에서 가장 자주 사용되는 합과 곱의 규칙입니다.

아래에서 일반적인 작업을 처리하는 데 도움이 되는 조합 개념 및 규칙에 대한 솔루션이 있는 작업의 몇 가지 예를 찾을 수 있습니다. 작업에 어려움이 있으면 조합 테스트를 주문하십시오.

온라인 솔루션이 있는 조합론의 문제

작업 1.엄마에게는 사과 2개와 배 3개가 있습니다. 5일 연속으로 매일 과일을 하나씩 나눠준다. 얼마나 많은 방법으로 이것을 할 수 있습니까?

조합론 1의 문제 풀이(pdf, 35Kb)

작업 2.기업은 성별에 관계없이 한 전문 분야에서 여성 4명, 남성 6명, 직원 3명에게 일을 제공할 수 있습니다. 지원자가 14명(여성 6명, 남성 8명)인 경우 공석을 채우는 방법은 몇 가지입니까?

조합론 2의 문제 풀이(pdf, 39Kb)

작업 3.여객 열차에는 9개의 객차가 있습니다. 4명이 기차에 모두 다른 차를 타고 여행한다면 몇 가지 방법으로 기차에 앉을 수 있습니까?

조합론 3의 문제 해결(pdf, 33Kb)

작업 4.그룹에는 9명이 있습니다. 하위 그룹에 최소 2명이 포함된 경우 몇 개의 서로 다른 하위 그룹을 구성할 수 있습니까?

조합론 4의 문제 풀이(pdf, 34Kb)

작업 5. 20명으로 구성된 한 조를 3개 팀으로 나누어 첫 번째 팀은 3명, 두 번째 팀은 5명, 세 번째 팀은 12명으로 구성해야 합니다.

조합론 5의 문제 풀이(pdf, 37Kb)

작업 6.팀에 참가하기 위해 코치는 10명의 소년 중 5명을 선택합니다. 만약 2명의 소년이 팀에 포함되어야 한다면 그는 몇 가지 방법으로 팀을 구성할 수 있습니까?

솔루션 6의 조합 문제(pdf, 33Kb)

작업 7. 15명의 체스 선수들이 체스 토너먼트에 참가했고, 그들 각자는 서로 한 게임만 했습니다. 이번 대회에서 몇 경기를 치렀습니까?

솔루션 7의 조합 문제(pdf, 37Kb)

작업 8.각 분수가 2를 포함하도록 숫자 3, 5, 7, 11, 13, 17에서 얼마나 많은 다른 분수를 만들 수 있습니까? 다양한 숫자? 그것들 중 몇 개가 고유 분수가 될까요?

솔루션 8의 조합 문제(pdf, 32Kb)

작업 9. Horus와 Institute라는 단어의 글자를 재배열하면 몇 개의 단어를 얻을 수 있습니까?

솔루션 9의 조합 문제(pdf, 32Kb)

작업 10. 1에서 1,000,000까지 어떤 숫자가 더 큽니까?

솔루션 10의 조합 문제(pdf, 39Kb)

준비된 예

조합론에서 해결된 문제가 필요하십니까? 가이드에서 찾기:

확률 이론의 문제에 대한 다른 솔루션

어떤 은행가가 세 개의 닫힌 상자 중 하나를 선택하라고 제안한다고 상상해 보십시오. 그들 중 하나는 50 센트, 다른 하나는 1 달러, 세 번째는 10,000 달러입니다. 어느 쪽을 선택하든 상품으로 받게 됩니다.

상자 번호 1이라고 말하면서 무작위로 선택합니다. 그런 다음 은행가 (물론 모든 것이 어디에 있는지 알고 있음)가 눈앞에서 1 달러 상자를 연 다음 (이것이 2 번이라고 가정 해 보겠습니다) 처음 선택한 상자 번호를 변경하도록 제안합니다. 1번부터 3번까지.

마음을 바꿔야 할까요? 이렇게 하면 10,000을 얻을 확률이 높아집니까?

이것은 Monty Hall의 역설입니다. 확률 이론의 문제로, 그 해결책은 언뜻보기에 상식과 모순됩니다. 사람들은 1975년부터 이 문제에 대해 머리를 긁적였습니다.

이 패러독스는 인기 있는 미국 TV 쇼 Let's Make a Deal의 진행자 이름을 따서 명명되었습니다. 이 TV 쇼는 비슷한 규칙을 가지고 있었고 참가자들만이 문을 선택했고 그 중 두 개는 염소를 숨기고 있었고 세 번째는 캐딜락이었습니다.

대부분의 플레이어는 두 개의 닫힌 문이 있고 그 중 하나 뒤에 Cadillac이 있으면 그것을 얻을 확률은 50-50이라고 추론했습니다. 분명히 호스트가 하나의 문을 열고 마음을 바꾸라고 초대하면 그는 시작하다 새로운 게임. 마음이 바뀌든 아니든 기회는 여전히 50%입니다. 그래서 맞죠?

그렇지 않다는 것이 밝혀졌습니다. 사실 마음을 바꾸면 성공 가능성이 두 배로 높아집니다. 왜?

이 답변에 대한 가장 간단한 설명은 다음 고려 사항입니다. 선택을 변경하지 않고 차를 얻으려면 플레이어는 차가 서있는 문을 즉시 추측해야합니다. 이 확률은 1/3입니다. 플레이어가 처음에 뒤에 염소가 있는 문을 쳤다면(그리고 이 이벤트의 확률은 2/3입니다. 왜냐하면 두 마리의 염소와 한 대의 차가 있기 때문입니다), 그는 확실히 마음을 바꾸어 차를 이길 수 있습니다. 그리고 염소 한 마리가 남아 있고 호스트는 염소와 함께 이미 문을 열었습니다.

따라서 선택을 변경하지 않고 플레이어는 초기 승률 1/3을 유지하고 초기 선택을 변경할 때 플레이어는 처음에 정확하게 추측하지 못한 나머지 확률의 두 배를 유리하게 만듭니다.

또한 두 이벤트를 서로 바꿔서 직관적으로 설명할 수 있습니다. 첫 번째 이벤트는 문을 바꾸기로 한 플레이어의 결정이고 두 번째 이벤트는 추가 문을 여는 것입니다. 여분의 문을 여는 것은 플레이어에게 어떤 것도 주지 않기 때문에 허용됩니다. 새로운 정보(이 문서 참조 문서). 그러면 문제는 다음 공식으로 축소될 수 있습니다. 첫 번째 순간에 플레이어는 문을 두 그룹으로 나눕니다. 첫 번째 그룹에는 하나의 문(선택한 문)이 있고 두 번째 그룹에는 두 개의 문이 남아 있습니다. 다음 순간에 플레이어는 그룹을 선택합니다. 첫 번째 그룹의 승리 확률은 1/3이고 두 번째 그룹의 경우 2/3입니다. 플레이어는 두 번째 그룹을 선택합니다. 두 번째 그룹에서는 두 문을 모두 열 수 있습니다. 하나는 호스트가 열고 두 번째는 플레이어가 직접 엽니다.

"가장 이해하기 쉬운"설명을 해보자. 문제 재구성: 정직한 호스트는 플레이어에게 세 개의 문 중 하나 뒤에 자동차가 있다고 알리고 먼저 문 중 하나를 가리킨 다음 두 가지 행동 중 하나를 선택하라고 제안합니다. 이전 공식에서는 "선택을 변경하지 마십시오"라고 합니다.) 또는 다른 두 개를 엽니다(이전 표현에서는 "선택 변경"일 뿐입니다. 생각해 보십시오. 이것이 이해의 열쇠입니다!). 이 경우 자동차를 얻을 확률이 두 배 높기 때문에 플레이어가 두 가지 행동 중 두 번째 행동을 선택할 것이 분명합니다. 그리고 호스트가 "염소를 보여주었습니다"라는 행동을 선택하기 전에도 도움이되지 않고 선택을 방해하지 않는 작은 것은 두 문 중 하나 뒤에 항상 염소가 있고 호스트는 언제든지 그것을 확실히 보여줄 것이기 때문입니다. 게임 중에 플레이어가 이 염소를 타고 볼 수 없도록 합니다. 플레이어가 두 번째 행동을 선택한 경우 플레이어의 임무는 두 개의 문 중 하나를 직접 열고 다른 문을 여는 수고를 덜어준 호스트에게 "감사합니다"라고 말하는 것입니다. 글쎄, 또는 더 쉽습니다. 수십 명의 플레이어와 비슷한 절차를 수행하는 호스트의 관점에서 이러한 상황을 상상해 봅시다. 그는 문 뒤에 무엇이 있는지 완벽하게 알고 있기 때문에 평균적으로 세 가지 중 두 가지 경우에 플레이어가 "잘못된"문을 선택했음을 미리 알 수 있습니다. 따라서 그에게는 첫 번째 문을 연 후 선택을 변경하는 것이 올바른 전략이라는 역설이 없습니다. 결국 세 가지 중 두 가지 경우에 플레이어는 새 차를 타고 스튜디오를 떠날 것입니다.

마지막으로 가장 "순진한" 증명입니다. 자신의 선택을 고수하는 사람을 "고집쟁이"라고 하고 지도자의 지시를 따르는 사람을 "세심한 사람"이라고 합니다. 그런 다음 완고한 사람은 처음에 차를 추측하면 (1/3), 세심한 사람은 처음 놓치고 염소를 쳤다면 (2/3) 승리합니다. 결국, 이 경우에만 그는 차가 있는 문을 가리킬 것입니다.

쇼의 프로듀서이자 호스트인 몬티 홀(Monty Hall) 거래를하자 1963년부터 1991년까지.

1990년 미국 잡지 Parade에 이 문제와 해결책이 실렸습니다. 이 출판물은 많은 독자들이 과학 학위를 가진 독자들로부터 분노한 리뷰를 불러 일으켰습니다.

주요 불만 사항은 문제의 모든 조건이 지정되지 않았으며 뉘앙스가 결과에 영향을 미칠 수 있다는 것입니다. 예를 들어 호스트는 플레이어가 첫 번째 이동에서 자동차를 선택한 경우에만 결정을 변경하도록 제안할 수 있습니다. 분명히 그러한 상황에서 초기 선택을 변경하면 손실이 보장됩니다.

그러나 Monty Hall TV 쇼가 존재하는 동안 마음을 바꾼 사람들은 두 배 더 자주 승리했습니다.

마음을 바꾼 30명의 선수 중 Cadillac이 18명, 즉 60%를 이겼습니다.

선택권이 남은 30명의 선수 중 Cadillac이 11명, 즉 약 36%를 이겼습니다.

따라서 아무리 비논리적으로 보일지라도 결정에 주어진 추론은 실제로 확인됩니다.

문 수 증가

무슨 일이 일어나고 있는지의 본질을 더 쉽게 이해하기 위해 플레이어가 자신 앞에 세 개의 문이 아니라 예를 들어 100 개의 문을 보는 경우를 고려할 수 있습니다. 동시에 한 문 뒤에 자동차가 있고 다른 99개 문 뒤에는 염소가 있습니다. 플레이어는 문 중 하나를 선택하지만 99%의 경우 염소가 있는 문을 선택하고 자동차가 있는 문을 즉시 선택할 가능성은 매우 적습니다. 1%입니다. 그 후 호스트는 염소가 있는 98개의 문을 열고 플레이어에게 나머지 문을 선택하도록 요청합니다. 이 경우 플레이어가 즉시 올바른 문을 선택할 가능성이 매우 적기 때문에 99%의 경우 자동차는 이 남은 문 뒤에 있을 것입니다. 이 상황에서 합리적으로 생각하는 플레이어는 항상 리더의 제안을 수락해야 합니다.

증가된 문 수를 고려할 때 다음과 같은 질문이 자주 발생합니다. 원래 문제에서 리더가 세 개 중 하나의 문을 열면(즉, 총문), 왜 우리는 100개의 문이 있을 때 호스트가 33개가 아닌 98개의 염소가 있는 문을 열 것이라고 가정해야 합니까? 이러한 고려는 일반적으로 Monty Hall의 역설이 상황에 대한 직관적 인식과 충돌하는 중요한 이유 중 하나입니다. 98개의 문을 여는 것이 맞다고 가정하면 필수 조건임무는 중재자가 제공하는 플레이어에 대한 대안이 하나뿐인 것입니다. 따라서 작업이 비슷해지려면 문이 4개인 경우에는 리더가 2개의 문을, 5개의 경우에는 3개 등의 방식으로 문을 열지 않고 항상 1개의 문이 열리지 않도록 해야 합니다. 플레이어가 처음에 선택한 퍼실리테이터가 더 적은 수의 문을 열면 작업은 더 이상 원래 Monty Hall 작업과 유사하지 않습니다.

문이 많은 경우 호스트가 하나의 문을 닫지 않고 여러 문을 닫고 플레이어에게 그 중 하나를 선택하도록 제안하더라도 초기 선택을 변경할 때 플레이어가 차를 얻을 확률은 그렇게 크게는 아니지만 여전히 증가합니다. 예를 들어 플레이어가 100개의 문 중 하나를 선택한 다음 진행자가 나머지 문 중 하나만 열어 플레이어가 선택을 변경하도록 하는 상황을 생각해 보십시오. 동시에 자동차가 원래 플레이어가 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/100으로 동일하게 유지되며 나머지 문에 대해서는 기회가 변경됩니다. 자동차가 나머지 문 중 하나 뒤에 있을 총 확률( 99/100)은 이제 99개의 문이 아닌 98개의 문에 배포됩니다. 따라서 각 문 뒤에서 자동차를 찾을 확률은 1/100이 아니라 99/9800이 됩니다. 증가 확률은 약 1%입니다.

나무 가능한 해결책각 결과의 확률을 보여주는 플레이어와 호스트 더 공식적으로 게임의 시나리오는 의사 결정 트리를 사용하여 설명할 수 있습니다. 처음 두 경우에서 플레이어가 염소가 있는 문 뒤에 있는 문을 처음 선택했을 때 선택을 바꾸면 승리하게 됩니다. 마지막 두 경우에서 플레이어가 차가 있는 문을 처음 선택했을 때 선택을 변경하면 손실이 발생합니다.

그래도 이해가 안되면 공식에 침을 뱉고 그냥모든 것을 통계적으로 확인하십시오. 또 다른 가능한 설명:

선택한 문을 매번 변경하는 전략을 가진 플레이어는 처음에 자동차가 있는 문을 선택하는 경우에만 패배합니다.
첫 번째 시도에서 자동차를 선택할 확률은 3분의 1(또는 33%)이므로 플레이어가 선택을 변경하면 자동차를 선택하지 않을 확률도 3분의 1(또는 33%)입니다.
이것은 문을 바꾸는 전략을 사용한 플레이어가 66% 또는 2 대 3의 확률로 승리한다는 것을 의미합니다.
이렇게 하면 매번 선택을 바꾸지 않는 전략을 가진 플레이어가 이길 확률이 두 배가 됩니다.

아직도 믿지 않습니까? 1번 문을 선택했다고 가정해 보겠습니다. 여기 모두 있습니다 가능한 옵션이 경우 일어날 수 있는 일.

"거짓말에는 세 종류가 있다. 노골적인 거짓말그리고 통계. 마크 트웨인이 영국 수상 벤저민 디즈레일리의 말이라고 생각하는 이 문구는 수학 법칙에 대한 대다수의 태도를 잘 반영합니다. 실제로 확률 이론은 때때로 놀라운 사실, 언뜻 믿기 힘들지만 그럼에도 불구하고 과학에 의해 확인되었습니다. "이론과 실습"은 가장 유명한 역설을 회상했습니다.

몬티홀 문제

교활한 MIT 교수가 영화 Twenty-One에서 학생들에게 제안한 것이 바로 이 과제였습니다. 정답을 주는 것 주인공라스베가스에서 카지노를 이기는 뛰어난 젊은 수학자 팀에 합류합니다.

고전적인 문구는 다음과 같습니다. 두 개의 문 뒤에는 염소가 있고 하나 뒤에는 주요 상품 인 자동차가 있으며 발표자는 상품의 위치를 알고 있습니다. 플레이어가 선택을 한 후 진행자는 염소가 있는 나머지 문 중 하나를 열고 플레이어에게 마음을 바꾸도록 초대합니다. 플레이어가 동의해야 합니까, 아니면 원래 선택을 유지하는 것이 더 낫습니까?”

일반적인 추론은 다음과 같습니다. 호스트가 문 중 하나를 열고 염소를 보여준 후 플레이어는 두 개의 문 중에서 선택해야 합니다. 자동차가 그들 중 하나 뒤에 있으므로 추측할 확률은 ½입니다. 따라서 차이가 없습니다. 선택을 변경하거나 변경하지 마십시오. 그럼에도 불구하고 확률 이론에 따르면 결정을 변경하면 승률을 높일 수 있습니다. 이것이 왜 그런지 봅시다.

이를 위해 한 단계 뒤로 돌아가 보겠습니다. 우리가 초기 선택을 한 순간, 우리는 문을 두 부분으로 나눴습니다: 우리가 선택한 부분과 나머지 두 부분. 분명히 자동차가 "우리" 문 뒤에 숨어 있을 확률은 각각 ⅓입니다. 자동차는 나머지 두 문 중 하나 뒤에 있으며 확률은 ⅔입니다. 진행자가 이 문 중 하나 뒤에 염소가 있다고 표시하면 이 ⅔의 기회가 두 번째 문에 있음이 밝혀졌습니다. 그리고 이것은 플레이어의 선택을 두 개의 문으로 줄입니다. 그 중 하나 뒤에는 (처음에 선택된) 자동차가 ⅓의 확률로 있고 다른 하나 뒤에는 ⅔의 확률이 있습니다. 선택은 분명해집니다. 물론 처음부터 플레이어가 자동차로 문을 선택할 수 있다는 사실을 부정하지는 않습니다.

세 죄수의 임무

Three Prisoners Paradox는 Monty Hall의 문제와 유사하지만 더 극적인 설정에서 작업이 발생합니다. 세 명의 수감자(A, B, C)가 사형을 선고받고 독방에 감금된다. 주지사는 그들 중 하나를 무작위로 선택하고 그에게 사면을 부여합니다. 소장은 세 사람 중 누구를 사면할지 알고 있지만 비밀로 하라는 지시를 받습니다. 죄수 A는 교도관에게 "B가 사면되면 C가 처형될 것이라고 말하라. .만일 둘 다 처형당했지만 나에게 자비가 있다면 동전을 던지고 이 두 이름 중 아무거나 말하십시오. 소장은 죄수 B를 처형하겠다고 하는데 죄수 A는 기뻐해야 할까요?

예, 보일 것입니다. 결국 이 정보를 받기 전에는 죄수 A의 사망 확률이 ⅔였는데, 지금은 다른 두 죄수 중 한 명이 처형될 것이라는 사실을 알고 있기 때문에 자신의 처형 확률이 ½로 줄었다는 뜻이다. 그러나 사실 수감자 A는 새로운 것을 배우지 않았습니다. 그가 사면되지 않으면 다른 수감자의 이름을 듣게 될 것이며 남은 두 명 중 한 명은 처형 될 것임을 이미 알고있었습니다. 그가 운이 좋고 처형이 취소되면 그는 듣게 될 것입니다. 임의의 이름 B 또는 C. 따라서 그의 구원 기회는 어떤 식으로도 변하지 않았습니다.

이제 남은 죄수 중 한 명이 죄수 A의 질문과 받은 답변에 대해 알게 되었다고 상상해 보십시오. 이것은 사면 가능성에 대한 그의 생각을 바꿀 것입니다.

죄수 B가 그 대화를 엿듣게 된다면 자신이 반드시 처형될 것이라는 사실을 알게 될 것입니다. 그리고 죄수가 B라면 그의 사면 확률은 ⅔입니다. 왜 그런 일이 일어났습니까? 죄수 A는 아무런 정보도 받지 못했고 사면 가능성은 아직 1/3이다. 죄수 B는 사면되지 않을 것이며 그의 기회는 0입니다. 이것은 세 번째 죄수가 풀려날 확률이 ⅔라는 것을 의미합니다.

두 봉투의 역설

이 역설은 수학자 Martin Gardner 덕분에 알려졌으며 다음과 같이 공식화됩니다. 독립적으로 봉투를 열고 돈을 세고 나면 교환할 수 있습니다. 봉투가 같기 때문에 적은 양의 봉투를 받을 확률이 ½입니다. 당신이 봉투를 열었고 그 안에 10달러가 들어 있었다고 가정해 봅시다. 따라서 친구의 봉투에는 5달러 또는 20달러가 포함될 가능성이 동일할 수 있습니다. 교환하기로 결정하면 최종 금액, 즉 평균값에 대한 수학적 기대치를 계산할 수 있습니다. 1/2x$5+1/2x20=$12.5입니다. 따라서 교환은 귀하에게 유익합니다. 그리고 아마도 당신의 친구는 정확히 같은 방식으로 논쟁할 것입니다. 그러나 그 교환이 두 사람 모두에게 유익할 수 없다는 것은 명백합니다. 실수는 무엇입니까?

역설은 봉투를 열 때까지 확률이 공정하게 작동한다는 것입니다. 실제로 봉투에서 X를 찾을 확률은 50%이고 봉투에서 2X를 찾을 확률은 50%입니다. 그리고 상식에 따르면 당신이 가진 금액에 대한 정보는 두 번째 봉투의 내용물에 영향을 줄 수 없습니다.

그러나 봉투를 열 자마자 상황이 극적으로 바뀝니다 (이 역설은 관찰자의 존재 자체가 상황에 영향을 미치는 슈뢰딩거의 고양이 이야기와 다소 유사합니다). 사실 역설의 조건을 따르기 위해서는 두 번째 봉투에서 당신의 것보다 크거나 작은 양을 찾을 확률이 같아야 합니다. 그러나 0에서 무한대까지 이 합계의 모든 값은 동일하게 가능합니다. 그리고 가능한 가능성의 수가 동일하게 존재한다면 그것들을 더하면 무한대가 됩니다. 그리고 이것은 불가능합니다.

명확성을 위해 봉투에서 1센트를 찾았다고 상상할 수 있습니다. 분명히 두 번째 봉투에는 금액의 절반이 포함될 수 없습니다.

현재도 역설 해소를 위한 논의가 계속되고 있다는 점이 흥미롭다. 동시에 내부에서 역설을 설명하고 발전시키려는 시도가 이루어지고 있습니다. 최선의 전략그러한 상황에서의 행동. 특히 Thomas Cover 교수는 직관적인 기대에 따라 봉투를 변경하거나 변경하지 않는 전략 형성에 대한 독창적인 접근 방식을 제안했습니다. 당신이 봉투를 열고 그 안에 10달러가 들어 있다고 가정해 봅시다. 그리고 봉투에 예를 들어 1,000달러가 포함되어 있으면 예상을 뛰어넘는 금액이면 변경할 필요가 없습니다. 이 직관적인 전략은 두 개의 봉투를 정기적으로 선택하도록 제안되는 경우 지속적으로 봉투를 변경하는 전략보다 총 상금을 늘릴 수 있는 기회를 제공합니다.

소년과 소녀의 역설

이 역설은 또한 Martin Gardner에 의해 제안되었으며 다음과 같이 공식화됩니다. “Smith에게는 두 자녀가 있습니다. 적어도 한 아이는 소년입니다. 둘째도 남자아이일 확률은?

작업은 간단 해 보입니다. 그러나 이해하기 시작하면 흥미로운 상황이 드러납니다. 다른 아이의 성별 확률을 계산하는 방법에 따라 정답이 달라집니다.

옵션 1

두 자녀가 있는 가정에서 가능한 모든 조합을 고려하십시오.

소녀/소녀

소녀 소년

소년/소녀

소년/소년

소녀/소녀 옵션은 문제의 조건에 따라 우리에게 적합하지 않습니다. 따라서 Mr. Smith의 가족에 대해 세 가지 가능성이 있는 옵션이 있습니다. 즉, 다른 자녀도 아들일 확률은 1/3입니다. 이것은 처음에 Gardner 자신이 제시한 답변이었습니다.

옵션 2

스미스 씨가 아들과 함께 길을 걷고 있을 때 길에서 만난다고 상상해 봅시다. 두 번째 아이도 남자아이일 확률은 얼마입니까? 두 번째 자녀의 성별은 첫 번째 자녀의 성별과 무관하므로 명백하고 올바른 대답은 ½입니다.

아무것도 바뀌지 않은 것 같기 때문에 왜 이런 일이 발생합니까?

그것은 모두 확률 계산 문제에 접근하는 방법에 달려 있습니다. 첫 번째 경우에는 Smith 제품군의 가능한 모든 변형을 고려했습니다. 두 번째에서 우리는 "남자아이가 한 명 있어야 한다"는 의무 조건에 해당하는 모든 가족을 고려했습니다. 두 번째 아이의 성별 확률 계산은 이 조건(확률 이론에서는 "조건부 확률"이라고 함)으로 수행되어 첫 번째와 다른 결과가 나왔습니다.

1963년 12월 미국 TV 채널에서 NBC처음 공개된 프로그램 거래를하자("Let's Make a Deal!"), 스튜디오의 관객들 중에서 선발된 참가자들이 서로 그리고 호스트와 흥정을 하고 작은 게임또는 질문에 대한 답을 추측하십시오. 방송이 끝나면 참가자들은 '오늘의 거래'를 할 수 있었다. 그들 앞에는 세 개의 문이 있었는데 그 중 하나 뒤에는 최우수상 (예 : 자동차)이 있고 다른 두 개 뒤에는 덜 가치 있거나 완전히 터무니없는 선물 (예 : 살아있는 염소)이 있다는 것이 알려졌습니다. . 플레이어가 선택을 한 후 프로그램 진행자인 Monty Hall은 남은 두 개의 문 중 하나를 열어 그 뒤에는 상품이 없음을 보여주고 참가자가 우승할 수 있는 기회를 갖게 된 것을 기쁘게 생각하도록 했습니다.

1975년 UCLA 과학자 스티브 셀빈(Steve Selvin)은 그 순간 참가자가 상 없이 문을 연 후 선택을 바꾸라는 요청을 받으면 어떻게 되는지 물었습니다. 이 경우 플레이어가 상품을 받을 확률이 변경됩니까? 그렇다면 어떤 방향으로 변경됩니까? 그는 관련 질문을 저널에 이슈로 제출했습니다. 미국 통계학자( "The American Statistician"), 그리고 다소 호기심 많은 대답을 한 Monty Hall 자신에게도. 이 답변에도 불구하고 (또는 아마도 그것 때문에) 문제는 "Monty Hall 문제"라는 이름으로 유명해졌습니다.

일

당신은 Monty Hall 쇼에 참가자로 참여했고 마지막 순간에 염소와 함께 문을 열었을 때 호스트는 당신의 선택을 바꾸라고 제안했습니다. 귀하의 결정(동의 여부)이 승리 가능성에 영향을 미칩니까?

단서

같은 경우에 다른 문을 선택한 사람들을 고려하십시오(즉, 상품이 예를 들어 1번 문 뒤에 있을 때). 선택을 바꾸면 누가 혜택을 받고 누가 그렇지 않을까요?

해결책

툴팁에 제안된 대로 다른 선택을 한 사람들을 고려하십시오. 상품이 1번 문 뒤에 있고 2번과 3번 문 뒤에 염소가 있다고 가정해 봅시다. 여섯 사람이 있고 두 사람이 각 문을 선택했고 각 쌍에서 한 사람은 이후에 결정을 변경했고 다른 한 사람은 변경하지 않았다고 가정합니다.

1 번 문을 선택한 호스트는 자신의 취향에 따라 두 개의 문 중 하나를 여는 반면, 이에 관계없이 선택을 변경하지 않고 초기 선택을 변경 한 사람이 차를 받게됩니다. 상품 없이 남게 됩니다. 이제 2번 문과 3번 문을 선택한 사람들을 살펴보겠습니다. 1번 문 뒤에 자동차가 있기 때문에 호스트는 문을 열 수 없으므로 선택의 여지가 없습니다. 그는 그들을 위해 각각 3번 문과 2번 문을 엽니다. 동시에 각 쌍의 결정을 변경 한 사람은 결과적으로 상품을 선택하고 변경하지 않은 사람은 아무것도 남지 않습니다. 따라서 마음을 바꾸는 세 사람 중 두 사람은 상을 받고 한 사람은 염소를 받게 되며, 원래 선택을 변경하지 않은 세 사람 중 한 사람만이 상을 받게 됩니다.

자동차가 문 #2 또는 #3 뒤에 있는 경우 결과는 동일하고 특정 승자만 변경된다는 점에 유의해야 합니다. 따라서 처음에 각 문이 동일한 확률로 선택되었다고 가정하면 선택을 변경한 사람이 상금을 두 배 더 자주 얻습니다. 즉, 이 경우 당첨 확률이 더 큽니다.

수학적 확률론의 관점에서 이 문제를 살펴보자. 우리는 각 문에 대한 초기 선택의 확률과 자동차의 각 문 뒤에 있을 확률이 같다고 가정합니다. 또한 리더가 두 개의 문을 열 수 있을 때 동일한 확률로 각 문을 선택하도록 예약하는 것이 유용합니다. 그런 다음 첫 번째 결정 후 상품이 선택한 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고 다른 두 문 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 동시에 호스트가 두 개의 "선택되지 않은" 문 중 하나를 연 후 2/3의 전체 확률이 나머지 문 중 하나에만 떨어지므로 결정을 변경할 수 있는 기반이 만들어지고 승률이 높아집니다. 2배로. 물론 특정 경우에 어떤 식 으로든 보장하지는 않지만 반복적으로 실험을 반복하면 더 성공적인 결과를 얻을 수 있습니다.

후기

Monty Hall 문제는 이 문제의 공식이 처음으로 알려진 것이 아닙니다. 특히 1959년 Martin Gardner가 저널에 발표한 사이언티픽 아메리칸다음 공식을 사용하는 유사한 문제 "약 3명의 죄수"(Three Prisoners 문제): " 세 명의 수감자 중 한 명은 사면해야 하고 두 명은 처형해야 합니다. 죄수 A는 교도관을 설득하여 처형될 다른 두 사람 중 한 사람의 이름을 말하게 하고(두 사람 모두 처형되는 경우) B라는 이름을 받은 후 자신의 구원 가능성이 낮아졌다고 생각합니다. 1/3이지만 1/2. 동시에 수감자 C는 자신의 탈출 확률이 2/3가 되었다고 주장하지만, A에게는 아무 변화가 없다. 어느 것이 맞습니까?»

그러나 Gardner는 1889년 그의 확률 계산에서 프랑스 수학자 Joseph Bertrand(영국인 Bertrand Russell과 혼동하지 말 것!)가 비슷한 문제를 제시한 이후 처음이 아닙니다(Bertrand의 상자 역설 참조). 세 개의 상자가 있고 각 상자에는 두 개의 동전이 들어 있습니다. 첫 번째 상자에는 금화 두 개, 두 번째 상자에는 은화 두 개, 세 번째 상자에는 서로 다른 두 개의 동전이 들어 있습니다. 무작위로 선택된 상자에서 동전이 무작위로 뽑혔고 금으로 판명되었습니다. 상자에 남아있는 동전이 금일 확률은?»

세 가지 문제에 대한 솔루션을 모두 이해한다면 아이디어의 유사성을 쉽게 알 수 있습니다. 수학적으로 이들 모두는 조건부 확률, 즉 사건 B가 발생한 것으로 알려진 경우 사건 A의 확률이라는 개념으로 통합됩니다. 가장 간단한 예: 일반 주사위를 굴릴 확률은 1/6입니다. 그러나 굴린 숫자가 홀수인 경우 이미 1일 확률은 1/3입니다. 언급된 다른 두 가지 문제와 마찬가지로 Monty Hall 문제는 조건부 확률을 주의해서 다루어야 함을 보여줍니다.

이러한 문제는 종종 역설이라고도합니다. Monty Hall의 역설, Bertrand의 상자 역설 (후자는 당시 존재했던 확률 개념의 모호성을 증명 한 동일한 책에 제공된 실제 Bertrand의 역설과 혼동해서는 안됩니다)- 약간의 모순을 암시합니다(예를 들어, "거짓말쟁이의 역설"에서 "이 진술은 거짓입니다"라는 문구는 배제된 중간의 법칙과 모순됩니다). 그러나 이 경우 엄밀한 주장과 모순이 없다. 그러나 분명한 모순이 있다. 여론"또는 단순히 문제에 대한 "명백한 해결책"입니다. 실제로 대부분의 사람들은 문제를 바라보며 문 중 하나를 연 후 나머지 두 개의 닫힌 문 뒤에 있는 상품을 찾을 확률이 1/2이라고 믿습니다. 그렇게 함으로써 그들은 마음을 바꾸는 데 동의하든 동의하지 않든 차이가 없다고 주장합니다. 더군다나 많은 사람들이 자세한 해결책을 들어도 이것 외에는 답을 이해하기 어렵다고 합니다.

1963년 12월, 미국 텔레비전 채널 NBC는 처음으로 스튜디오의 청중 중에서 선발된 참가자들이 서로 그리고 진행자와 흥정을 하는 프로그램 Let's Make a Deal("Let's make a deal!") 프로그램을 방영했습니다. 게임을 하거나 단순히 질문에 대한 답을 추측했습니다. 방송이 끝나면 참가자들은 '오늘의 거래'를 할 수 있었다. 그들 앞에는 세 개의 문이 있었는데 그 중 하나 뒤에는 최우수상 (예 : 자동차)이 있고 다른 두 개 뒤에는 덜 가치 있거나 완전히 터무니없는 선물 (예 : 살아있는 염소)이 있다는 것이 알려졌습니다. . 플레이어가 선택을 한 후 프로그램 진행자인 Monty Hall은 남은 두 개의 문 중 하나를 열어 그 뒤에는 상품이 없음을 보여주고 참가자가 우승할 수 있는 기회를 갖게 된 것을 기쁘게 생각하도록 했습니다.

1975년 UCLA 과학자 스티브 셀빈(Steve Selvin)은 그 순간 참가자가 상 없이 문을 연 후 선택을 바꾸라는 요청을 받으면 어떻게 되는지 물었습니다. 이 경우 플레이어가 상품을 받을 확률이 변경됩니까? 그렇다면 어떤 방향으로 변경됩니까? 그는 문제의 형태로 해당 질문을 The American Statistician ( "American Statistician")과 Monty Hall 자신에게 보냈고 다소 호기심 많은 대답을했습니다. 이 답변에도 불구하고 (또는 아마도 그것 때문에) 문제는 "Monty Hall 문제"라는 이름으로 유명해졌습니다.

1990년 Parade Magazine에 발표된 이 문제의 가장 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

“당신이 세 개의 문 중 하나를 선택해야 하는 게임의 참가자가 되었다고 상상해 보십시오. 문 중 하나 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 예를 들어 1번과 같은 문 중 하나를 선택하면 차가 어디에 있고 염소가 어디에 있는지 알고 있는 호스트가 나머지 문 중 하나(예: 3번)를 엽니다. 그 뒤에 염소가 있습니다. 그런 다음 선택을 변경하고 2번 문을 선택하겠느냐고 묻습니다. 호스트의 제안을 수락하고 선택을 변경하면 자동차 당첨 확률이 높아질까요?

출판 후 문제가 잘못 공식화되었다는 것이 즉시 분명해졌습니다. 모든 조건이 규정되지는 않았습니다. 예를 들어 진행자는 "지옥 같은 몬티" 전략을 따를 수 있습니다. 플레이어가 첫 번째 이동에서 자동차를 선택한 경우에만 선택을 변경하도록 제안합니다. 분명히 초기 선택을 변경하면 그러한 상황에서 손실이 보장됩니다.

가장 인기있는 것은 추가 조건의 문제입니다. 게임 참가자는 다음 규칙을 미리 알고 있습니다.

자동차는 3개의 문 뒤에 똑같이 놓일 가능성이 있습니다.
어쨌든 호스트는 염소와 함께 문을 열고 (플레이어가 선택한 것은 아님) 플레이어에게 선택을 변경하도록 제안해야합니다.
리더가 두 개의 문 중 어떤 문을 열지 선택할 수 있는 경우 동일한 확률로 둘 중 하나를 선택합니다.

단서

해결책

후기

Monty Hall 문제는 이 문제의 공식이 처음으로 알려진 것이 아닙니다. 특히 1959년 Martin Gardner는 Scientific American에 비슷한 문제 "about three prisoners"(Three Prisoners problem)를 다음과 같은 문구로 발표했습니다. 죄수 A는 교도관을 설득하여 처형될 다른 두 사람 중 한 사람의 이름을 말하게 하고(두 사람 모두 처형되는 경우) B라는 이름을 받은 후 자신의 구원 가능성이 낮아졌다고 생각합니다. 1/3이지만 1/2. 동시에 수감자 C는 자신의 탈출 확률이 2/3가 되었다고 주장하지만, A에게는 아무 변화가 없다. 어느 쪽이 맞습니까?"

그러나 Gardner는 1889년 그의 확률 계산에서 프랑스 수학자 Joseph Bertrand(영국인 Bertrand Russell과 혼동하지 말 것!)가 비슷한 문제를 제시한 이후 처음이 아닙니다(Bertrand의 상자 역설 참조). 세 개의 상자에는 각각 두 개의 동전이 들어 있습니다. 첫 번째 상자에는 금화 두 개, 두 번째 상자에는 은화 두 개, 세 번째 상자에는 다른 두 개의 동전이 들어 있습니다.

세 가지 문제에 대한 솔루션을 모두 이해한다면 아이디어의 유사성을 쉽게 알 수 있습니다. 수학적으로 이들 모두는 조건부 확률, 즉 사건 B가 발생한 것으로 알려진 경우 사건 A의 확률이라는 개념으로 통합됩니다. 가장 간단한 예: 유닛이 일반 주사위에서 떨어질 확률은 1/6입니다. 그러나 굴린 숫자가 홀수인 경우 이미 1일 확률은 1/3입니다. 언급된 다른 두 가지 문제와 마찬가지로 Monty Hall 문제는 조건부 확률을 주의해서 다루어야 함을 보여줍니다.

이러한 문제는 종종 역설이라고도합니다. Monty Hall의 역설, Bertrand의 상자 역설 (후자는 당시 존재했던 확률 개념의 모호성을 증명 한 동일한 책에 제공된 실제 Bertrand의 역설과 혼동해서는 안됩니다)- 약간의 모순을 암시합니다(예를 들어, "거짓말쟁이의 역설"에서 "이 진술은 거짓입니다"라는 문구는 배제된 중간의 법칙과 모순됩니다). 그러나 이 경우 엄밀한 주장과 모순이 없다. 그러나 "여론"이나 단순히 문제의 "명백한 해결책"과는 분명한 모순이 있습니다. 실제로 대부분의 사람들은 문제를 바라보며 문 중 하나를 연 후 나머지 두 개의 닫힌 문 뒤에 있는 상품을 찾을 확률이 1/2이라고 믿습니다. 그렇게 함으로써 그들은 마음을 바꾸는 데 동의하든 동의하지 않든 차이가 없다고 주장합니다. 더군다나 많은 사람들이 자세한 해결책을 들어도 이것 외에는 답을 이해하기 어렵다고 합니다.

Steve Selwyn에 대한 Monty Hall의 답변

스티브 셀빈 씨,
생물 통계학 조교수,
캘리포니아 대학교 버클리.

친애하는 스티브,

American Statistical에서 문제를 보내주셔서 감사합니다.

나는 대학에서 통계학을 공부하지 않았지만 숫자를 조작하고 싶다면 숫자가 항상 나에게 유리하게 사용될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 귀하의 추론은 한 가지 필수 상황을 고려하지 않습니다. 첫 번째 상자가 비어 있으면 참가자는 더 이상 자신의 선택을 변경할 수 없습니다. 따라서 확률은 동일하게 유지됩니다. 3분의 1, 맞죠? 물론 상자 중 하나가 비어 있으면 기회가 50/50이되지 않고 동일하게 유지됩니다. 참가자에게는 하나의 상자를 제거함으로써 더 많은 기회를 얻는 것 같습니다. 별말씀을요. 그에 대한 2 대 1은 그대로 남아 있습니다. 그리고 갑자기 내 쇼에 오더라도 규칙은 동일하게 유지됩니다. 선택 후 상자를 변경하지 마십시오.