Dviejų skaičių bendro kartotinio radimas. Mažiausias kartotinis (LCM)
Didžiausias bendras daliklis
2 apibrėžimas
Jei natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus $b$, tai $b$ vadinamas $a$ dalikliu, o skaičius $a$ vadinamas $b$ kartotiniu.
Tegul $a$ ir $b$ yra natūralieji skaičiai. Skaičius $c$ vadinamas bendruoju ir $a$, ir $b$ dalikliu.
Skaičių $a$ ir $b$ bendrųjų daliklių aibė yra baigtinė, nes nė vienas iš šių daliklių negali būti didesnis už $a$. Tai reiškia, kad tarp šių daliklių yra didžiausias, kuris vadinamas didžiausiu skaičių $a$ ir $b$ bendruoju dalikliu ir jam žymėti naudojamas užrašas:
$gcd \ (a; b) \ arba \ D \ (a; b) $
Norėdami rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį:
- Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.
1 pavyzdys
Raskite skaičių $121$ ir $132.$ gcd
242 USD=2\cdot 11\cdot 11$
132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pasirinkite skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą
242 USD=2\cdot 11\cdot 11$
132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.
$gcd=2\cdot 11=22$
2 pavyzdys
Raskite monomijų GCD 63 USD ir 81 USD.
Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai:
Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius
63 USD=3\cdot 3\cdot 7$
81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mes pasirenkame skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą
63 USD=3\cdot 3\cdot 7$
81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Raskime 2 veiksme rastų skaičių sandaugą. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.
$gcd=3\cdot 3=9$
Dviejų skaičių GCD galite rasti kitu būdu, naudodami skaičių daliklių rinkinį.
3 pavyzdys
Raskite skaičių $48$ ir $60$ gcd.
Sprendimas:
Raskite $48$ daliklių rinkinį: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Dabar suraskime $60$ daliklių rinkinį:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Raskime šių aibių sankirtą: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – šis rinkinys nustatys skaičių $48$ ir $60 bendrųjų daliklių aibę $. Didžiausias šio rinkinio elementas bus skaičius $12$. Taigi didžiausias bendras 48 USD ir 60 USD daliklis yra 12 USD.
NOC apibrėžimas
3 apibrėžimas
bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis$a$ ir $b$ yra natūralusis skaičius, kuris yra $a$ ir $b$ kartotinis.
Bendrieji skaičių kartotiniai yra skaičiai, kurie dalijasi iš originalo be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių $25$ ir $50$ bendrieji kartotiniai bus skaičiai $50,100,150,200$ ir t. t.
Mažiausias bendras kartotinis bus vadinamas mažiausiu bendruoju kartotiniu ir žymimas LCM$(a;b)$ arba K$(a;b).$
Norėdami rasti dviejų skaičių LCM, jums reikia:
- Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius
- Užrašykite veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus dalis, ir pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo skaičiaus dalis, o ne pirmajame
4 pavyzdys
Raskite skaičių $99 ir $77 LCM.
Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai
Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius
99 USD=3\cdot 3\cdot 11$
Užrašykite veiksnius, įtrauktus į pirmąjį
pridėti prie jų veiksnius, kurie yra antrojo dalis, o ne pirmajame
Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas mažiausias bendras kartotinis
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Skaičių daliklių sąrašų sudarymas dažnai užima daug laiko. Yra būdas rasti GCD, vadinamas Euklido algoritmu.
Teiginiai, kuriais grindžiamas Euklido algoritmas:
Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, o $a\vdots b$, tai $D(a;b)=b$
Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, tokie, kad $b
Naudodami $D(a;b)= D(a-b;b)$, galime nuosekliai mažinti nagrinėjamus skaičius, kol pasieksime skaičių porą, kad vienas iš jų dalytųsi iš kito. Tada mažesnis iš šių skaičių bus pageidaujamas didžiausias skaičių $a$ ir $b$ bendras daliklis.
GCD ir LCM savybės
- Bet kuris bendras $a$ ir $b$ kartotinis dalijasi iš K$(a;b)$
- Jei $a\vdots b$ , tai K$(a;b)=a$
Jei K$(a;b)=k$ ir $m$-natūralus skaičius, tai K$(am;bm)=km$
Jei $d$ yra bendras $a$ ir $b$ daliklis, tai K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jei $a\vdots c$ ir $b\vdots c$ , tai $\frac(ab)(c)$ yra bendras $a$ ir $b$ kartotinis
Bet kurių natūraliųjų skaičių $a$ ir $b$ lygybė
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Bet kuris bendras $a$ ir $b$ daliklis yra $D(a;b)$ daliklis
Didžiausias bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis yra pagrindinės aritmetinės sąvokos, leidžiančios veikti be pastangų paprastosios trupmenos. LCM ir dažniausiai naudojami kelių trupmenų bendram vardikliui rasti.
Pagrindinės sąvokos
Sveikojo skaičiaus X daliklis yra kitas sveikasis skaičius Y, iš kurio X dalijasi be liekanos. Pavyzdžiui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skaičiaus X kartotinis yra skaičius Y, kuris dalijasi iš X be liekanos. Pavyzdžiui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.
Bet kuriai skaičių porai galime rasti bendrus jų daliklius ir kartotinius. Pavyzdžiui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali turėti kelis daliklius ir kartotinius, todėl skaičiavimuose naudojamas didžiausias GCD daliklis ir mažiausias LCM kartotinis. .
Mažiausias daliklis neturi prasmės, nes bet kuriam skaičiui jis visada yra vienas. Didžiausias kartotinis taip pat neturi prasmės, nes kartotinių seka linkusi į begalybę.
GCD radimas
Yra daug būdų, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, iš kurių žinomiausi yra šie:
- nuoseklus daliklių surašymas, poros bendrųjų parinkimas ir didžiausio iš jų paieška;
- skaičių skaidymas į nedalomus veiksnius;
- Euklido algoritmas;
- dvejetainis algoritmas.
Šiandien val švietimo įstaigų populiariausi yra pirminio faktorizavimo metodai ir Euklido algoritmas. Pastaroji, savo ruožtu, naudojama sprendžiant diofantines lygtis: norint patikrinti lygtį, ar įmanoma ją išspręsti sveikaisiais skaičiais, reikia ieškoti GCD.
NOC radimas
Mažiausias bendras kartotinis taip pat tiksliai nustatomas kartotiniu išvardinimu arba faktorinizavimu į nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei didžiausias daliklis jau nustatytas. Skaičiams X ir Y LCM ir GCD yra susiję tokiu ryšiu:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Pavyzdžiui, jei gcd(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Akivaizdžiausias LCM panaudojimas yra rasti bendrą vardiklį, kuris yra mažiausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.
Kopirminiai skaičiai
Jei skaičių pora neturi bendrų daliklių, tada tokia pora vadinama koprime. Tokių porų GCM visada yra lygus vienetui, o remiantis daliklių ir kartotinių jungtimi, koprime GCM yra lygus jų sandaugai. Pavyzdžiui, skaičiai 25 ir 28 yra pirminiai, nes neturi bendrų daliklių, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka jų sandaugą. Bet kurie du nedalomi skaičiai visada bus pirminiai.
Bendras daliklis ir kelių skaičiuoklė
Naudodami mūsų skaičiuotuvą galite apskaičiuoti GCD ir LCM bet kokiam skaičių pasirinkimui. Bendrųjų daliklių ir kartotinių skaičiavimo užduotys yra 5, 6 klasių aritmetikoje, tačiau GCD ir LCM - pagrindinės sąvokos matematika ir naudojami skaičių teorijoje, planimetrijoje ir komunikacinėje algebroje.
Realaus gyvenimo pavyzdžiai
Bendras trupmenų vardiklis
Mažiausias bendras kartotinis naudojamas ieškant kelių trupmenų bendrąjį vardiklį. Tarkime, kad aritmetiniame uždavinyje reikia susumuoti 5 trupmenas:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Norint pridėti trupmenas, išraiška turi būti sumažinta iki bendro vardiklio, o tai sumažina iki LCM radimo problemos. Norėdami tai padaryti, skaičiuoklėje pasirinkite 5 skaičius ir atitinkamuose langeliuose įveskite vardiklio reikšmes. Programa apskaičiuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskaičiuoti papildomus koeficientus, kurie apibrėžiami kaip LCM ir vardiklio santykis. Taigi papildomi daugikliai atrodytų taip:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Po to visas trupmenas padauginame iš atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Mes galime lengvai pridėti tokias trupmenas ir gauti rezultatą 159/360. Sumažiname trupmeną 3 ir matome galutinį atsakymą – 53/120.
Tiesinių diofantinių lygčių sprendimas
Tiesinės diofantinės lygtys yra ax + by = d formos išraiškos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skaičius, tai lygtis gali būti išspręsta sveikaisiais skaičiais. Patikrinkime keletą lygčių, kad būtų galima rasti sveikojo skaičiaus sprendimą. Pirmiausia patikrinkite lygtį 150x + 8y = 37. Naudodami skaičiuotuvą randame gcd (150.8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18.5. Skaičius nėra sveikasis skaičius, todėl lygtis neturi sveikųjų skaičių šaknų.
Patikrinkime lygtį 1320x + 1760y = 10120. Skaičiuotuvu suraskite gcd(1320, 1760) = 440. Padalinkite 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveikąjį skaičių, todėl išsprendžiamoji Diofantinė koeficientas .
Išvada
GCD ir LCM vaidina svarbų vaidmenį skaičių teorijoje, o pačios sąvokos yra plačiai naudojamos įvairiose matematikos srityse. Naudokite mūsų skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte didžiausius bet kokio skaičių daliklius ir mažiausius kartotinius.
Mažiausias bendras dviejų skaičių kartotinis yra tiesiogiai susijęs su didžiausiu bendruoju tų skaičių dalikliu. Tai ryšys tarp GCD ir NOC apibrėžiamas tokia teorema.
Teorema.
Mažiausias bendras dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinis yra lygus a ir b sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro a ir b daliklio, tai yra, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Įrodymas.
Leisti M yra tam tikras skaičių a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi iš a, o pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, kad lygybė M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi iš b, tada a k dalijasi iš b.
Pažymėkite gcd(a, b) kaip d . Tada galime užrašyti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus pirminiai skaičiai. Todėl ankstesnėje pastraipoje gautą sąlygą, kad a k dalijasi iš b, galima performuluoti taip: a 1 d k dalijasi iš b 1 d , ir tai dėl dalumo savybių yra lygiavertė sąlygai, kad a 1 k dalijasi iš b 1 .
Taip pat turime užrašyti dvi svarbias nagrinėjamos teoremos pasekmes.
Dviejų skaičių bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip jų mažiausio bendro kartotiniai.
Tai tiesa, nes bet kuris bendras M skaičių a ir b kartotinis apibrėžiamas lygybe M=LCM(a, b) t kai kuriai sveikojo skaičiaus reikšmei t .
Mažiausias koprime bendras kartotinis teigiami skaičiai a ir b yra lygūs jų sandaugai.
Šio fakto priežastis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra pirminiai, tada gcd(a, b)=1 , todėl LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis
Mažiausio trijų ar daugiau skaičių bendro kartotinio radimas gali būti sumažintas iki dviejų skaičių LCM iš eilės. Kaip tai daroma, parodyta sekančioje teoremoje: a 1 , a 2 , …, a k sutampa su bendraisiais skaičių m k-1 kartotiniais, o a k , todėl sutampa su m k kartotiniais. O kadangi mažiausias teigiamas skaičiaus m k kartotinis yra pats skaičius m k, tai skaičių a 1 , a 2 , …, a k mažiausias bendras kartotinis yra m k .
Bibliografija.
- Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigoms.
- Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
- Mikhelovičius Sh.Kh. Skaičių teorija.
- Kulikovas L.Ya. ir kt.. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: Pamoka fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.
Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turėtumėte nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.
A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 15, 20, 25 ir tt gali būti laikomi 5 kartotiniais.
Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.
Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų be liekanos.
Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį
Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš visų šių skaičių.
Norėdami rasti NOC, galite naudoti kelis metodus.
Mažiems skaičiams patogu į eilutę įrašyti visus šių skaičių kartotinius, kol tarp jų bus rastas bendras. Įraše žymimi kartotiniai Didžioji raidė KAM.
Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis įrašas atliekamas taip:
LCM(4, 6) = 24
Jei skaičiai dideli, suraskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada LCM apskaičiavimui geriau naudoti kitą būdą.
Norint atlikti užduotį, reikia išskaidyti siūlomus skaičius į pirminius veiksnius.
Pirmiausia turite užrašyti didžiausio iš eilutės skaičių išplėtimą, o po juo - likusius.
Išplečiant kiekvieną skaičių gali būti skirtingų veiksnių.
Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.
Išplečiant mažesnį skaičių, reikėtų pabrėžti veiksnius, kurių nėra plėtojant pirmąjį. didelis skaičius ir tada pridėkite juos prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta deuce.
Dabar galime apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Taigi didesnio skaičiaus pirminių veiksnių ir antrojo skaičiaus veiksnių sandauga, neįtraukta į didesniojo skaičiaus skaidymą, bus mažiausias bendras kartotinis.
Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, visi jie turėtų būti išskaidyti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.
Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrą skaičių 16, 24, 36 kartotinį.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Taigi į didesnio skaičiaus faktorizaciją nebuvo įtraukti tik du dvejetai iš šešiolikos išskaidymo (vienas yra dvidešimt keturių išskaidymas).
Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus skaidymo.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.
Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių NOC būtų dvidešimt keturi.
Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi tų pačių daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.
Pavyzdžiui, LCM(10, 11) = 110.
Tęskime diskusiją apie mažiausią bendrąjį kartotinį, kurį pradėjome skyriuje LCM – Mažiausias bendrasis kartotinis, Apibrėžimas, Pavyzdžiai. Šioje temoje apžvelgsime būdus, kaip rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, analizuosime klausimą, kaip rasti neigiamo skaičiaus LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd
Mes jau nustatėme ryšį tarp mažiausio bendro kartotinio ir didžiausio bendro daliklio. Dabar sužinokime, kaip apibrėžti LCM per GCD. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tai padaryti teigiamiems skaičiams.
1 apibrėžimas
Mažiausią bendrą kartotinį galite rasti per didžiausią bendrą daliklį naudodami formulę LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
1 pavyzdys
Būtina rasti skaičių 126 ir 70 LCM.
Sprendimas
Paimkime a = 126 , b = 70 . Pakeiskite reikšmes formulėje, kad apskaičiuotumėte mažiausią bendrą kartotinį per didžiausią bendrą daliklį LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Suranda skaičių 70 ir 126 GCD. Tam mums reikia Euklido algoritmo: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , taigi gcd (126 , 70) = 14 .
Apskaičiuokime LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atsakymas: LCM (126, 70) = 630.
2 pavyzdys
Raskite skaičių 68 ir 34 nok.
Sprendimas
GCD viduje Ši byla Jį rasti lengva, nes 68 dalijasi iš 34. Apskaičiuokite mažiausią bendrą kartotinį naudodami formulę: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atsakymas: LCM(68, 34) = 68.
Šiame pavyzdyje naudojome taisyklę, leidžiančią rasti mažiausią bendrą teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinį: jei pirmasis skaičius dalijasi iš antrojo, tada šių skaičių LCM bus lygus pirmajam skaičiui.
LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Dabar pažiūrėkime, kaip rasti LCM, kuris yra pagrįstas skaičių skaidymu į pirminius veiksnius.
2 apibrėžimas
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turime atlikti kelis paprastus veiksmus:
- sudarome visų pirminių skaičių, kuriems reikia rasti LCM, sandaugą;
- iš jų gautų produktų neįtraukiame visų pagrindinių veiksnių;
- sandauga, gauta pašalinus bendruosius pirminius veiksnius, bus lygi duotųjų skaičių LCM.
Šis mažiausiojo bendro kartotinio radimo būdas pagrįstas lygybe LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jei pažvelgsite į formulę, paaiškės: skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, kurie dalyvauja šių dviejų skaičių plėtime, sandaugai. Šiuo atveju dviejų skaičių GCD yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių šių dviejų skaičių faktoriuose, sandaugai.
3 pavyzdys
Turime du skaičius 75 ir 210 . Mes galime juos išskirti taip: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Jei padarysite visų dviejų pradinių skaičių koeficientų sandaugą, gausite: 2 3 3 5 5 5 7.
Jei neįtrauksime faktorių, bendrų skaičiams 3 ir 5, gausime tokios formos sandaugą: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produktas bus mūsų LCM numeriams 75 ir 210.
4 pavyzdys
Raskite skaičių LCM 441 Ir 700 , išskaidydami abu skaičius į pirminius veiksnius.
Sprendimas
Raskime visus pirminius skaičių, pateiktų sąlygoje, veiksnius:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Gauname dvi skaičių grandines: 441 = 3 3 7 7 ir 700 = 2 2 5 5 7 .
Visų veiksnių, dalyvavusių didinant šiuos skaičius, sandauga atrodys taip: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Raskime bendrus veiksnius. Šis skaičius yra 7. Išskirkime jį iš bendras produktas: 2 2 3 3 5 5 7 7. Pasirodo, NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas: LCM (441, 700) = 44 100.
Pateiksime dar vieną metodo formuluotę, kaip rasti LCM, išskaidant skaičius į pirminius veiksnius.
3 apibrėžimas
Anksčiau iš bendro veiksnių, bendrų abiem skaičiams, skaičiaus neįtraukėme. Dabar darysime kitaip:
- Išskaidykime abu skaičius į pirminius veiksnius:
- prie pirmojo skaičiaus pirminių koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus;
- gauname sandaugą, kuri bus norimas dviejų skaičių LCM.
5 pavyzdys
Grįžkime prie skaičių 75 ir 210 , kurių LCM jau ieškojome viename iš ankstesnių pavyzdžių. Suskirstykime juos į paprastus veiksnius: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Į koeficientų sandaugą 3 , 5 ir 5 skaičius 75 pridėkite trūkstamus veiksnius 2 Ir 7 skaičiai 210 . Mes gauname: 2 3 5 5 7 . Tai yra skaičių 75 ir 210 LCM.
6 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti skaičių 84 ir 648 LCM.
Sprendimas
Išskaidykime skaičius iš sąlygos į pirminius veiksnius: 84 = 2 2 3 7 Ir 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Prie koeficientų sandaugos pridėkite 2 , 2 , 3 ir 7
skaičiai 84 trūksta koeficientų 2 , 3 , 3 ir
3
numeriai 648 . Gauname prekę 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Tai mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis.
Atsakymas: LCM (84 648) = 4536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Nepriklausomai nuo to, su kiek skaičių turime reikalų, mūsų veiksmų algoritmas visada bus toks pat: nuosekliai rasime dviejų skaičių LCM. Šiuo atveju yra teorema.
1 teorema
Tarkime, kad turime sveikuosius skaičius a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k iš šių skaičių randama nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k).
Dabar pažiūrėkime, kaip teorema gali būti taikoma konkrečioms problemoms spręsti.
7 pavyzdys
Turite apskaičiuoti mažiausią bendrą kartotinį iš keturių skaičių 140 , 9 , 54 ir 250 .
Sprendimas
Įveskime žymėjimą: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Pradėkime nuo apskaičiavimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Skaičių 140 ir 9 GCD apskaičiuokime naudodami Euklido algoritmą: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Gauname: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Todėl m 2 = 1 260 .
Dabar apskaičiuokime pagal tą patį algoritmą m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Skaičiuodami gauname m 3 = 3 780.
Mums belieka apskaičiuoti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Mes veikiame pagal tą patį algoritmą. Gauname m 4 \u003d 94 500.
Keturių skaičių LCM iš pavyzdinės sąlygos yra 94500 .
Atsakymas: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kaip matote, skaičiavimai yra paprasti, bet gana sudėtingi. Norėdami sutaupyti laiko, galite eiti kitu keliu.
4 apibrėžimas
Siūlome tokį veiksmų algoritmą:
- išskaidyti visus skaičius į pirminius veiksnius;
- prie pirmojo skaičiaus koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus sandaugos;
- pridėti trūkstamus trečiojo skaičiaus koeficientus į ankstesniame etape gautą sandaugą ir pan.;
- gauta sandauga bus mažiausias bendrasis visų skaičių iš sąlygos kartotinis.
8 pavyzdys
Reikia rasti penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Sprendimas
Išskaidykime visus penkis skaičius į pirminius koeficientus: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . pirminiai skaičiai, kuris yra skaičius 7 , negali būti įtrauktas į pirminius veiksnius. Tokie skaičiai sutampa su jų išskaidymu į pirminius veiksnius.
Dabar paimkime skaičiaus 84 pirminių koeficientų 2, 2, 3 ir 7 sandaugą ir pridėkime prie jų trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus. Mes išskaidėme skaičių 6 į 2 ir 3. Šie veiksniai jau yra pirmojo skaičiaus sandaugoje. Todėl mes juos praleidžiame.
Toliau pridedame trūkstamus daugiklius. Mes kreipiamės į skaičių 48, iš kurių pirminių koeficientų sandaugos paimame 2 ir 2. Tada pridedame paprastą koeficientą 7 iš ketvirto skaičiaus ir koeficientus 11 ir 13 iš penktojo skaičiaus. Gauname: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tai yra mažiausias bendras penkių pradinių skaičių kartotinis.
Atsakymas: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Norint rasti mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį, šie skaičiai pirmiausia turi būti pakeisti skaičiais su priešingu ženklu, o tada atlikti skaičiavimus pagal aukščiau pateiktus algoritmus.
9 pavyzdys
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ir LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tokie veiksmai yra leistini dėl to, kad jeigu būtų priimta, kad a Ir − a- priešingi skaičiai
tada kartotinių aibė a sutampa su skaičiaus kartotinių aibe − a.
10 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti neigiamų skaičių LCM − 145 Ir − 45 .
Sprendimas
Pakeiskime skaičius − 145 Ir − 45 į priešingus jų skaičius 145 Ir 45 . Dabar, naudodami algoritmą, apskaičiuojame LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, prieš tai nustatę GCD naudodami Euklido algoritmą.
Gauname, kad skaičių LCM − 145 ir − 45 lygus 1 305 .
Atsakymas: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
