ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

ഈ പ്രവർത്തനം സങ്കലനം-വ്യവകലനത്തേക്കാൾ വളരെ മനോഹരമാണ്! കാരണം ഇത് എളുപ്പമാണ്. ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകളും (ഇത് ഫലത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററും) ഡിനോമിനേറ്ററുകളും (ഇത് ഡിനോമിനേറ്ററായിരിക്കും) ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതാണ്:

ഉദാഹരണത്തിന്:

എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ദയവായി ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിനായി നോക്കരുത്! അത് ഇവിടെ വേണ്ട...

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫ്ലിപ്പുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് രണ്ടാമത്തേത്(ഇത് പ്രധാനമാണ്!) ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി അവയെ ഗുണിക്കുക, അതായത്:

ഉദാഹരണത്തിന്:

പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉള്ള ഗുണനമോ വിഭജനമോ പിടിക്കപ്പെട്ടാൽ, കുഴപ്പമില്ല. സങ്കലനം പോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഹൈസ്കൂളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും മൂന്ന്-നില (അല്ലെങ്കിൽ നാല്-നില!) ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടിവരും. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ എങ്ങനെ മാന്യമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം? അതെ, വളരെ എളുപ്പമാണ്! രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ വിഭജനം ഉപയോഗിക്കുക:

എന്നാൽ ഡിവിഷൻ ഓർഡറിനെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്! ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് ഇവിടെ വളരെ പ്രധാനമാണ്! തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ 4:2 അല്ലെങ്കിൽ 2:4 ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കില്ല. എന്നാൽ മൂന്ന് നിലകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയിൽ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ (ഇടത് വശത്തുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ):

രണ്ടാമത്തേതിൽ (വലതുവശത്തുള്ള ആവിഷ്കാരം):

വ്യത്യാസം അനുഭവിക്കു? 4 ഉം 1/9 ഉം!

വിഭജനത്തിന്റെ ക്രമം എന്താണ്? അല്ലെങ്കിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ, അല്ലെങ്കിൽ (ഇവിടെ പോലെ) തിരശ്ചീനമായ ഡാഷുകളുടെ ദൈർഘ്യം. ഒരു കണ്ണ് വികസിപ്പിക്കുക. കൂടാതെ ബ്രാക്കറ്റുകളോ ഡാഷുകളോ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇതുപോലെ:

പിന്നെ ഹരിക്കുക-ഗുണിക്കുക ക്രമത്തിൽ, ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്!

കൂടാതെ വളരെ ലളിതവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ മറ്റൊരു ട്രിക്ക്. ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ, ഇത് നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും! നമുക്ക് യൂണിറ്റിനെ ഏതെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 13/15 കൊണ്ട്:

ഷോട്ട് മറിഞ്ഞു! അത് എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു. 1 നെ ഏതെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫലം അതേ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, വിപരീതം മാത്രം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും അത്രയേയുള്ളൂ. കാര്യം വളരെ ലളിതമാണ്, പക്ഷേ ആവശ്യത്തിലധികം പിശകുകൾ നൽകുന്നു. കുറിപ്പ് പ്രായോഗിക ഉപദേശം, അവർ (പിശകുകൾ) കുറവായിരിക്കും!

പ്രായോഗിക നുറുങ്ങുകൾ:

1. ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം കൃത്യതയും ശ്രദ്ധയുമാണ്! ഇത് സാധാരണ വാക്കുകളല്ല, ആശംസകളല്ല! ഇത് കഠിനമായ ആവശ്യമാണ്! പരീക്ഷയുടെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ജോലിയായി, ഏകാഗ്രതയോടും വ്യക്തതയോടും കൂടി ചെയ്യുക. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ കണക്കുകൂട്ടുമ്പോൾ കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതിനേക്കാൾ രണ്ട് അധിക വരികൾ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്.

2. ഉള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾഭിന്നസംഖ്യകൾ - സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് പോകുക.

3. ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും സ്റ്റോപ്പിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

4. രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെയുള്ള വിഭജനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൾട്ടി-ലെവൽ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ സാധാരണമായവയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ വിഭജനത്തിന്റെ ക്രമം പിന്തുടരുന്നു!).

5. നമ്മൾ യൂണിറ്റിനെ നമ്മുടെ മനസ്സിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി വിഭജിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കേണ്ട ജോലികൾ ഇതാ. എല്ലാ ജോലികൾക്കും ശേഷം ഉത്തരങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഈ വിഷയത്തിന്റെ മെറ്റീരിയലുകളും പ്രായോഗിക ഉപദേശവും ഉപയോഗിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ഉദാഹരണങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കാനാകുമെന്ന് കണക്കാക്കുക. ആദ്യമായി! ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ! ഒപ്പം ശരിയായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക...

ശരിയായ ഉത്തരം ഓർക്കുക രണ്ടാമത്തെ (പ്രത്യേകിച്ച് മൂന്നാമത്തെ) സമയം മുതൽ ലഭിച്ചത് - കണക്കാക്കില്ല!അത്രമേൽ കഠിനമായ ജീവിതം.

അതിനാൽ, പരീക്ഷാ മോഡിൽ പരിഹരിക്കുക ! ഇത് പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പാണ്, വഴിയിൽ. ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഹരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ എല്ലാം തീരുമാനിച്ചു - ആദ്യം മുതൽ അവസാനം വരെ ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പരിശോധിച്ചു. എന്നാൽ മാത്രം പിന്നെഉത്തരങ്ങൾ നോക്കൂ.

കണക്കാക്കുക:

നീ തീരുമാനിച്ചോ?

നിങ്ങളുടേതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഉത്തരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു. പ്രലോഭനത്തിൽ നിന്ന് അകന്ന് ഒരു കുഴപ്പത്തിലാണ് ഞാൻ അവ പ്രത്യേകമായി എഴുതിയത്, സംസാരിക്കാൻ ... ഇവിടെ അവ, ഉത്തരങ്ങൾ, ഒരു അർദ്ധവിരാമത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു. എല്ലാം ശരിയാണെങ്കിൽ - നിങ്ങൾക്ക് സന്തോഷം! ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രാഥമിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നിങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നമല്ല! നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും. അല്ലെങ്കിൽ...

അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ഒരേസമയം.) അറിവില്ലായ്മയും (അല്ലെങ്കിൽ) ശ്രദ്ധക്കുറവും. പക്ഷേ ഇത് പരിഹരിക്കാവുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

ഗുണനം സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

പ്ലേറ്റിൽ ഒരു ആപ്പിളിന്റെ $\frac(1)(3)$ ഭാഗം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. അതിന്റെ $\frac(1)(2)$ ഭാഗം നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. $\frac(1)(3)$, $\frac(1)(2)$ എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലമാണ് ആവശ്യമായ ഭാഗം. രണ്ട് പൊതു ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്.

രണ്ട് പൊതു ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം, ഗുണിച്ച ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഉദാഹരണം 1

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ $\frac(3)(7)$, $\frac(5)(11)$ എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണന നിയമം നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

ഉത്തരം:$\frac(15)(77)$

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലമായി റദ്ദാക്കാവുന്നതോ അനുചിതമായതോ ആയ ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ലളിതമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 2

ഭിന്നസംഖ്യകൾ $\frac(3)(8)$, $\frac(1)(9)$ എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കുറയ്ക്കാവുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു (ഡിവിഷന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ $3$. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും $3$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

ഹ്രസ്വ പരിഹാരം:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

ഉത്തരം:$\frac(1)(24).$

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും കുറയ്ക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുശേഷം ആവർത്തിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ കുറയുകയും ഫലം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

$\frac(6)(75)$, $\frac(15)(24)$ എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

വ്യക്തമായും, ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും $2$, $3$, $5$ എന്നിങ്ങനെ ജോഡികളായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ലളിതമായ ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

ഉത്തരം:$\frac(1)(20).$

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതിൽ ന്യൂമറേറ്റർ ഗുണിച്ച ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഗുണിച്ച ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമാണ്:

ഇവിടെ $\frac(a)(b)$ എന്നത് ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, $n$ എന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണം 4

$\frac(3)(17)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ $4$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

ഉത്തരം:$\frac(12)(17).$

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സങ്കോചത്തിനോ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കോ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലം പരിശോധിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്.

ഉദാഹരണം 5

$\frac(7)(15)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ $3$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ എന്ന സംഖ്യയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

ഫലം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. നമുക്ക് മുഴുവൻ ഭാഗവും എടുക്കാം:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

ഹ്രസ്വ പരിഹാരം:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

ന്യൂമറേറ്ററിലെയും ഡിനോമിനേറ്ററിലെയും സംഖ്യകളെ അവയുടെ വികാസം ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റി ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാനും സാധിച്ചു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

ഉത്തരം:$1\frac(2)(5).$

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

വിഭജന പ്രവർത്തനം ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീതമാണ്, അതിന്റെ ഫലം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതിലൂടെ നിങ്ങൾ അറിയാവുന്ന ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രശസ്തമായ പ്രവൃത്തിരണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

രണ്ട് പൊതു ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം:വ്യക്തമായും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

ഉത്തരം:$1\frac(5)(9).$

§ 87. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന് നിരവധി സമാനതകളുണ്ട്. നൽകിയിരിക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ (നിബന്ധനകൾ) ഒരു സംഖ്യയായി (തുക) സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, അതിൽ എല്ലാ യൂണിറ്റുകളും പദങ്ങളുടെ യൂണിറ്റുകളുടെ ഭിന്നസംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കും:

1. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

1. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: 1 / 5 + 2 / 5 .

സെഗ്‌മെന്റ് AB (ചിത്രം 17) എടുക്കുക, അതിനെ ഒരു യൂണിറ്റായി എടുത്ത് അതിനെ 5 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക, തുടർന്ന് ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഭാഗം എസി സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 1/5 നും അതേ സെഗ്‌മെന്റ് സിഡിയുടെ ഭാഗത്തിനും തുല്യമായിരിക്കും. 2/5 എബിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

AD സെഗ്‌മെന്റ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് 3/5 AB ന് തുല്യമായിരിക്കും എന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും; എന്നാൽ സെഗ്മെന്റ് AD എന്നത് AC, CD എന്നീ സെഗ്മെന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് എഴുതാം:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ഈ നിബന്ധനകളും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുകയും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പദങ്ങളുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ലഭിച്ചതായും ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നതായും നാം കാണുന്നു.

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും: ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും അതേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുകയും വേണം.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാം: 3/4 + 3/8 ആദ്യം അവ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ലിങ്ക് 6/8 + 3/8 എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞില്ല; കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ അത് ഇവിടെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്.

അതിനാൽ, വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം, അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒപ്പിടുകയും വേണം.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക (അനുബന്ധ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഞങ്ങൾ അധിക ഘടകങ്ങൾ എഴുതും):

3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ ചേർക്കാം: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

നമുക്ക് ആദ്യം നമ്മുടെ സംഖ്യകളുടെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് വീണ്ടും എഴുതാം:

ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങളും ക്രമത്തിൽ ചേർക്കുക:

§ 88. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനം പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനം പോലെ തന്നെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ട് പദങ്ങളുടെയും അവയിലൊന്നിന്റെയും ആകെത്തുക നൽകിയാൽ, മറ്റൊരു പദം കണ്ടെത്തുന്ന ഒരു പ്രവർത്തനമാണിത്. നമുക്ക് മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:

1. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.
2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.
3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

1. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

13 / 15 - 4 / 15

നമുക്ക് സെഗ്മെന്റ് AB (ചിത്രം 18) എടുക്കാം, അതിനെ ഒരു യൂണിറ്റായി എടുത്ത് 15 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക; അപ്പോൾ ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ എസി ഭാഗം എബിയുടെ 1/15 ആയിരിക്കും, അതേ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ എഡി ഭാഗം 13/15 എബിയുമായി യോജിക്കും. 4/15 AB ന് തുല്യമായ മറ്റൊരു സെഗ്മെന്റ് ED മാറ്റിവെക്കാം.

നമുക്ക് 13/15 ൽ നിന്ന് 4/15 കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡ്രോയിംഗിൽ, സെഗ്‌മെന്റ് ED സെഗ്‌മെന്റ് എഡിയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. തൽഫലമായി, സെഗ്‌മെന്റ് എഇ നിലനിൽക്കും, അത് സെഗ്‌മെന്റ് എബിയുടെ 9/15 ആണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കിയ ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നത് വ്യത്യാസത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറച്ചാൽ ലഭിച്ചുവെന്നും ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി നിലനിൽക്കുമെന്നും.

അതിനാൽ, ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൈനിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് സബ്ട്രഹെൻഡിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും അതേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുകയും വേണം.

2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഉദാഹരണം. 3/4 - 5/8

ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ലിങ്ക് 6 / 8 - 5 / 8 വ്യക്തതയ്ക്കായി ഇവിടെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഭാവിയിൽ ഇത് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം, തുടർന്ന് സബ്‌ട്രാഹെൻഡിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ മൈനിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും അവയുടെ വ്യത്യാസത്തിന് കീഴിൽ പൊതുവായ ഛേദത്തിൽ ഒപ്പിടുകയും വേണം.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഉദാഹരണം. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

മൈനുവിന്റെയും സബ്‌ട്രാഹെൻഡിന്റെയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങൾ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

ഞങ്ങൾ ഒരു മൊത്തത്തിൽ നിന്ന് മൊത്തവും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു അംശവും കുറച്ചു. എന്നാൽ സബ്‌ട്രാഹെൻഡിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം മൈനുവിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ കേസുകളുണ്ട്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ കുറച്ചതിന്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു യൂണിറ്റ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളായി അതിനെ വിഭജിച്ച് കുറച്ചതിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തേക്ക് ചേർക്കുക. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ കുറയ്ക്കൽ നടപ്പിലാക്കും:

§ 89. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കും:

1. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
2. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തൽ.
3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.
6. താൽപ്പര്യം എന്ന ആശയം.
7. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ശതമാനം കണ്ടെത്തൽ. നമുക്ക് അവ ക്രമമായി പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ അർത്ഥമുണ്ട്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ (ഗുണനം) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ (ഗുണനം) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരേ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതിൽ ഓരോ പദവും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഗുണനത്തിന് തുല്യവുമാണ്.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 1/9 നെ 7 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ ചെയ്യാം:

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രവർത്തനം ചുരുക്കിയതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഫലം ലഭിച്ചു. അതിനാൽ,

ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരിഗണന കാണിക്കുന്നത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ എത്ര തവണ വേണമെങ്കിലും വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ഭിന്നസംഖ്യയിലെ വർദ്ധനവ് ഒന്നുകിൽ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ വർദ്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് കൈവരിക്കുന്നതിനാൽ

അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ , അങ്ങനെ ഒരു വിഭജനം സാധ്യമാണെങ്കിൽ നമുക്ക് ഒന്നുകിൽ ന്യൂമറേറ്ററിനെ പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ അത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് നിയമം ലഭിക്കും:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഗുണിച്ച് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ അതേപടി വിടേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ സാധ്യമെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൊണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഹരിച്ച്, ന്യൂമറേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക.

ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

2. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തൽ.തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ കണക്കാക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ട നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ട്. ഈ ടാസ്‌ക്കുകളും മറ്റുള്ളവയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം, അവ ചില വസ്തുക്കളുടെയോ അളവെടുപ്പിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെയോ എണ്ണം നൽകുന്നു എന്നതാണ്, ഈ സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഇവിടെ ഒരു നിശ്ചിത ഭിന്നസംഖ്യയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. മനസ്സിലാക്കൽ സുഗമമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും, തുടർന്ന് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി അവതരിപ്പിക്കും.

ടാസ്ക് 1.എനിക്ക് 60 റൂബിൾസ് ഉണ്ടായിരുന്നു; ഈ പണത്തിന്റെ 1/3 പുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങാൻ ഞാൻ ചെലവഴിച്ചു. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില എത്രയാണ്?

ടാസ്ക് 2.എ, ബി നഗരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള 300 കിലോമീറ്ററിന് തുല്യമായ ദൂരം ട്രെയിൻ മറികടക്കണം. ആ ദൂരത്തിന്റെ 2/3 അവൻ ഇതിനകം പിന്നിട്ടു കഴിഞ്ഞു. ഇത് എത്ര കിലോമീറ്ററാണ്?

ടാസ്ക് 3.ഗ്രാമത്തിൽ 400 വീടുകളുണ്ട്, അവയിൽ 3/4 ഇഷ്ടികയും ബാക്കിയുള്ളവ മരവുമാണ്. എത്ര ഇഷ്ടിക വീടുകൾ ഉണ്ട്?

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമ്മൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ചിലത് ഇതാ. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നാണ് അവയെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നത്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം 1. 60 റൂബിൾസിൽ നിന്ന്. ഞാൻ 1/3 പുസ്തകങ്ങൾക്കായി ചെലവഴിച്ചു; അതിനാൽ, പുസ്തകങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ 60 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പ്രശ്നം 2 പരിഹാരം. 300 കിലോമീറ്ററിൽ 2/3 നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം. 300-ന്റെ ആദ്യ 1/3 കണക്കാക്കുക; 300 കിലോമീറ്ററിനെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ഇത് നേടുന്നത്:

300: 3 = 100 (അത് 300 ന്റെ 1/3 ആണ്).

300 ന്റെ മൂന്നിൽ രണ്ട് ഭാഗം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ ഇരട്ടിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

100 x 2 = 200 (അത് 300 ന്റെ 2/3 ആണ്).

പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം 3.ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഇഷ്ടിക വീടുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് 400-ൽ 3/4 ആണ്. ആദ്യം നമുക്ക് 400-ൽ 1/4 കണ്ടെത്താം,

400: 4 = 100 (അത് 400 ന്റെ 1/4 ആണ്).

400 ന്റെ മുക്കാൽ ഭാഗം കണക്കാക്കാൻ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ മൂന്നിരട്ടിയാക്കണം, അതായത്, 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

100 x 3 = 300 (അത് 400 ന്റെ 3/4 ആണ്).

ഈ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും:

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും വേണം.

3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

നേരത്തെ (§ 26) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരേ പദങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി മനസ്സിലാക്കണമെന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). ഈ ഖണ്ഡികയിൽ (ഖണ്ഡിക 1) ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഈ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായ സമാന പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരേ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഗുണനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. ഇവിടെ നമ്മൾ അത്തരത്തിലുള്ളവയെ കാണും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗുണനം: 9 2/3. ഗുണനത്തിന്റെ മുൻ നിർവചനം ഈ കേസിൽ ബാധകമല്ല എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്. തുല്യ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് നമുക്ക് അത്തരം ഗുണനത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാണ്.

ഇക്കാരണത്താൽ, ഗുണനത്തിന് ഒരു പുതിയ നിർവചനം നൽകേണ്ടിവരും, അതായത്, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്താണ് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത്, ഈ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കണം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ അർത്ഥം ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്: ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ (ഗുണനം) ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (ഗുണനം) എന്നാൽ ഗുണിതത്തിന്റെ ഈ അംശം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

അതായത്, 9 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒമ്പത് യൂണിറ്റുകളുടെ 2/3 കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു; അതിനാൽ നമ്മൾ 6-ൽ അവസാനിക്കുമെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ രസകരവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്തുകൊണ്ട് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, തുല്യ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതും ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതും പോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരേ പദത്തെ "ഗുണനം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു?

മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനവും (പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമ്പർ പലതവണ ആവർത്തിക്കുന്നു) പുതിയ പ്രവർത്തനവും (ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നത്) ഏകതാനമായ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നതിനാലാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. ഏകതാനമായ ചോദ്യങ്ങളോ ടാസ്ക്കുകളോ ഒരേ പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന പരിഗണനകളിൽ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ മുന്നോട്ട് പോകുന്നത് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഇത് മനസിലാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക: “1 മീറ്റർ തുണിയുടെ വില 50 റുബിളാണ്. 4 മീറ്റർ അത്തരം തുണിയുടെ വില എത്രയാണ്?

റൂബിളുകളുടെ എണ്ണം (50) മീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം (4), അതായത് 50 x 4 = 200 (റൂബിൾസ്) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത്.

നമുക്ക് അതേ പ്രശ്നം എടുക്കാം, എന്നാൽ അതിൽ തുണിയുടെ അളവ് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ നമ്പറായി പ്രകടിപ്പിക്കും: “1 മീറ്റർ തുണിയുടെ വില 50 റുബിളാണ്. 3/4 മീറ്റർ അത്തരം തുണിയുടെ വില എത്രയാണ്?

റൂബിളുകളുടെ എണ്ണം (50) മീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം (3/4) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം മാറ്റാതെ തന്നെ നിങ്ങൾക്ക് അതിലെ അക്കങ്ങൾ പലതവണ മാറ്റാനും കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, 9/10 മീ അല്ലെങ്കിൽ 2 3/10 മീ മുതലായവ എടുക്കുക.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഉള്ളടക്കമുള്ളതും അക്കങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ളതുമായതിനാൽ, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഒരേ വാക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു - ഗുണനം.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് എങ്ങനെയാണ്?

അവസാന പ്രശ്നത്തിൽ നേരിട്ട സംഖ്യകൾ എടുക്കാം:

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, 50-ൽ 3/4 കണ്ടെത്തണം. ആദ്യം നമ്മൾ 50-ൽ 1/4, തുടർന്ന് 3/4 എന്നിവ കണ്ടെത്തണം.

50-ൽ 1/4 എന്നത് 50/4 ആണ്;

50-ൽ 3/4 ആണ്.

അതുകൊണ്ട്.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: 12 5 / 8 = ?

12/8 എന്നത് 12/8 ആണ്,

12 എന്ന സംഖ്യയുടെ 5/8 ആണ്.

അതിനാൽ,

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് നിയമം ലഭിക്കും:

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഗുണിച്ച് ഈ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ ആക്കുകയും തന്നിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററായി ഒപ്പിടുകയും വേണം.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ നിയമം എഴുതുന്നു:

ഈ നിയമം തികച്ചും വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ നിയമത്തെ § 38-ൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ഗുണനം നടത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ ചെയ്യണം (സാധ്യമെങ്കിൽ) വെട്ടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ അർത്ഥമുണ്ട്, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഗുണനത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് (ഗുണനം).

അതായത്, 3/4 നെ 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (പകുതി) അർത്ഥമാക്കുന്നത് 3/4 ന്റെ പകുതി കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 3/4 തവണ 5/7. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ 3/4 ൽ നിന്ന് 5/7 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ആദ്യം 1/7 / 3/4, തുടർന്ന് 5/7 എന്നിവ കണ്ടെത്തുക

3/4 ന്റെ 1/7 ഇതുപോലെ പ്രകടിപ്പിക്കും:

5/7 സംഖ്യകൾ 3/4 ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

അങ്ങനെ,

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 5/8 തവണ 4/9.

5/8 ന്റെ 1/9 ആണ്,

4/9 സംഖ്യകൾ 5/8 ആണ്.

അങ്ങനെ,

ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം മനസ്സിലാക്കാം:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ന്യൂമറേറ്ററും, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്ററും രണ്ടാമത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ആക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇതാണ് ചട്ടം പൊതുവായ കാഴ്ചഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഗുണിക്കുമ്പോൾ, (സാധ്യമെങ്കിൽ) കുറയ്ക്കാൻ അത് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഈ സാഹചര്യം സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗുണിതം, അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനം, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും മിക്സഡ് സംഖ്യകളായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉദാഹരണത്തിന്, മിശ്രിത സംഖ്യകൾ: 2 1/2, 3 1/5 എന്നിവ ഗുണിക്കുക. ഞങ്ങൾ അവ ഓരോന്നും അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന നിയമമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കും:

ഭരണം.മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി പരിവർത്തനം ചെയ്യണം, തുടർന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന നിയമം അനുസരിച്ച് ഗുണിക്കുക.

കുറിപ്പ്.ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, വിതരണ നിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഗുണനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടത്താം:

6. താൽപ്പര്യം എന്ന ആശയം.പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോഴും വിവിധ പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോഴും ഞങ്ങൾ എല്ലാത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ പല അളവുകളും അവയ്‌ക്കായി സ്വാഭാവികമായ ഉപവിഭാഗങ്ങളല്ല, മറിച്ച് അംഗീകരിക്കുന്നുവെന്ന കാര്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റൂബിളിന്റെ നൂറിലൊന്ന് (1/100) എടുക്കാം, അത് ഒരു ചില്ലിക്കാശും, ഇരുനൂറിലൊന്ന് 2 കോപെക്കുകളും, മുന്നൂറിലൊന്ന് 3 കോപെക്കുകളും ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് റൂബിളിന്റെ 1/10 എടുക്കാം, അത് "10 കോപെക്കുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പൈസ ആയിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് റൂബിളിന്റെ നാലിലൊന്ന് എടുക്കാം, അതായത് 25 കോപെക്കുകൾ, പകുതി റൂബിൾ, അതായത് 50 കോപെക്കുകൾ (അമ്പത് കോപെക്കുകൾ). എന്നാൽ അവ പ്രായോഗികമായി എടുക്കുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, 2/7 റൂബിൾ എടുക്കുക, കാരണം റൂബിൾ ഏഴിലൊന്നായി വിഭജിച്ചിട്ടില്ല.

ഭാരം അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റ്, അതായത്, കിലോഗ്രാം, ഒന്നാമതായി, ദശാംശ ഉപവിഭാഗങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 1/10 കിലോ, അല്ലെങ്കിൽ 100 ​​ഗ്രാം. കൂടാതെ ഒരു കിലോഗ്രാമിന്റെ 1/6, 1/11, 1/ 13 അസാധാരണമാണ്.

പൊതുവേ, ഞങ്ങളുടെ (മെട്രിക്) അളവുകൾ ദശാംശമാണ് കൂടാതെ ദശാംശ ഉപവിഭാഗങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, അളവുകൾ ഉപവിഭജനത്തിന്റെ ഒരേ (യൂണിഫോം) രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദവും വൈവിധ്യമാർന്ന കേസുകളിൽ സൗകര്യപ്രദവുമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത്രയും ന്യായമായ വിഭജനം "നൂറിൽ" വിഭജനമാണെന്ന് നിരവധി വർഷത്തെ അനുഭവങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. മനുഷ്യ പരിശീലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വൈവിധ്യമാർന്ന മേഖലകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില മുൻ വിലയുടെ 12/100 കുറഞ്ഞു.

ഉദാഹരണം. പുസ്തകത്തിന്റെ മുൻ വില 10 റൂബിൾ ആണ്. അവൾ 1 റൂബിൾ കുറഞ്ഞു. 20 kop.

2. സേവിംഗ്‌സ് ബാങ്കുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് വർഷത്തിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്ന തുകയുടെ 2/100 നൽകും.

ഉദാഹരണം. 500 റുബിളുകൾ ക്യാഷ് ഡെസ്കിൽ ഇടുന്നു, ഈ തുകയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം വർഷത്തിൽ 10 റുബിളാണ്.

3. ഒരു സ്കൂളിലെ ബിരുദധാരികളുടെ എണ്ണം മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ 5/100 ആയിരുന്നു.

ഉദാഹരണം 1,200 വിദ്യാർത്ഥികൾ മാത്രമാണ് സ്കൂളിൽ പഠിച്ചത്, അവരിൽ 60 പേർ സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടി.

ഒരു സംഖ്യയുടെ നൂറിലൊന്നിനെ ശതമാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു..

"ശതമാനം" എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ നിന്ന് കടമെടുത്തതാണ്, അതിന്റെ മൂല "സെന്റ്" എന്നാൽ നൂറ് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. പ്രീപോസിഷനോടൊപ്പം (പ്രോ സെന്റം), ഈ വാക്കിന്റെ അർത്ഥം "നൂറിന്" എന്നാണ്. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം ആദ്യം എന്നതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു പുരാതന റോം"ഓരോ നൂറിനും" കടക്കാരൻ കടക്കാരന് നൽകിയ പണമായിരുന്നു പലിശ. "സെന്റ്" എന്ന വാക്ക് അത്തരം പരിചിതമായ വാക്കുകളിൽ കേൾക്കുന്നു: സെന്റർ (നൂറ് കിലോഗ്രാം), സെന്റീമീറ്റർ (അവർ സെന്റീമീറ്റർ എന്ന് പറയുന്നു).

ഉദാഹരണത്തിന്, കഴിഞ്ഞ മാസത്തിൽ പ്ലാന്റ് ഉൽപ്പാദിപ്പിച്ച എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും 1/100 ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുന്നതിനുപകരം, ഞങ്ങൾ ഇത് പറയും: കഴിഞ്ഞ മാസത്തിൽ പ്ലാന്റ് നിരസിച്ചതിന്റെ ഒരു ശതമാനം ഉൽപ്പാദിപ്പിച്ചു. പറയുന്നതിനുപകരം: പ്ലാന്റ് സ്ഥാപിത പദ്ധതിയേക്കാൾ 4/100 കൂടുതൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, ഞങ്ങൾ പറയും: പ്ലാന്റ് പ്ലാൻ 4 ശതമാനം കവിഞ്ഞു.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില മുൻ വിലയേക്കാൾ 12 ശതമാനം കുറഞ്ഞു.

2. സേവിംഗ്‌സ് ബാങ്കുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് സേവിംഗിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്ന തുകയുടെ 2 ശതമാനം പ്രതിവർഷം നൽകുന്നു.

3. ഒരു സ്കൂളിലെ ബിരുദധാരികളുടെ എണ്ണം സ്കൂളിലെ മുഴുവൻ വിദ്യാർത്ഥികളുടെയും 5 ശതമാനമായിരുന്നു.

അക്ഷരം ചുരുക്കാൻ, "ശതമാനം" എന്ന വാക്കിന് പകരം% ചിഹ്നം എഴുതുന്നത് പതിവാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, % ചിഹ്നം സാധാരണയായി കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, ഇത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിലും അന്തിമ ഫലത്തിലും എഴുതാം. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഈ ഐക്കണിനൊപ്പം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്ക് പകരം 100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ദിഷ്ട ഐക്കൺ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്:

നേരെമറിച്ച്, 100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് പകരം സൂചിപ്പിച്ച ഐക്കൺ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എഴുതാൻ നിങ്ങൾ ശീലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

7. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ശതമാനം കണ്ടെത്തൽ.

ടാസ്ക് 1. 200 ക്യുബിക് മീറ്ററാണ് സ്‌കൂളിന് ലഭിച്ചത്. m വിറക്, ബിർച്ച് വിറക് 30% വരും. എത്ര ബിർച്ച് മരം ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം, ബിർച്ച് വിറക് സ്കൂളിൽ വിതരണം ചെയ്ത വിറകിന്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമായിരുന്നു, ഈ ഭാഗം 30/100 ന്റെ അംശമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു അംശം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതലയാണ് ഞങ്ങൾ നേരിടുന്നത്. അത് പരിഹരിക്കാൻ, നമ്മൾ 200 നെ 30 / 100 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം (ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ജോലികൾ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്.).

അതിനാൽ 200 ന്റെ 30% 60 ന് തുല്യമാണ്.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ നേരിടുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ 30 / 100 10 ആയി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഈ കുറവ് നടപ്പിലാക്കാൻ സാധിക്കും; പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം മാറില്ല.

ടാസ്ക് 2.വിവിധ പ്രായത്തിലുള്ള 300 കുട്ടികളാണ് ക്യാമ്പിൽ ഉണ്ടായിരുന്നത്. 11 വയസ്സുള്ള കുട്ടികൾ 21%, 12 വയസ്സുള്ള കുട്ടികൾ 61%, ഒടുവിൽ 13 വയസ്സുള്ളവർ 18% എന്നിങ്ങനെയാണ്. ഓരോ പ്രായത്തിലുമുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ക്യാമ്പിൽ ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, 11 വയസ്സ്, പിന്നെ 12 വയസ്സ്, ഒടുവിൽ 13 വയസ്സ് പ്രായമുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുക.

അതിനാൽ, ഇവിടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം മൂന്ന് തവണ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം:

1) 11 വയസ്സ് പ്രായമുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ?

2) 12 വയസ്സുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

3) 13 വയസ്സുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ച ശേഷം, കണ്ടെത്തിയ അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്; അവയുടെ ആകെത്തുക 300 ആയിരിക്കണം:

63 + 183 + 54 = 300

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശതമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 100 ആണെന്ന വസ്തുതയും നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം:

21% + 61% + 18% = 100%

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് മൊത്തം എണ്ണംക്യാമ്പിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന കുട്ടികളെ 100% എടുത്തു.

3 a da cha 3.തൊഴിലാളിക്ക് പ്രതിമാസം 1,200 റൂബിൾ ലഭിച്ചു. ഇതിൽ 65% ഭക്ഷണത്തിനും 6% അപ്പാർട്ട്മെന്റിനും ചൂടാക്കലിനും 4% ഗ്യാസ്, വൈദ്യുതി, റേഡിയോ എന്നിവയ്ക്കും 10% സാംസ്കാരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കും 15% ലാഭിച്ചു. ചുമതലയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആവശ്യങ്ങൾക്കായി എത്ര പണം ചെലവഴിച്ചു?

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ 1,200 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു അംശം 5 തവണ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് അത് ചെയ്യാം.

1) ഭക്ഷണത്തിനായി എത്ര പണം ചെലവഴിക്കുന്നു? ഈ ചെലവ് എല്ലാ വരുമാനത്തിന്റെയും 65% ആണെന്ന് ടാസ്‌ക് പറയുന്നു, അതായത് 1,200 എന്ന സംഖ്യയുടെ 65/100. നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താം:

2) ചൂടാക്കൽ ഉള്ള ഒരു അപ്പാർട്ട്മെന്റിന് എത്ര പണം നൽകി? മുമ്പത്തേതുപോലെ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

3) ഗ്യാസ്, വൈദ്യുതി, റേഡിയോ എന്നിവയ്ക്കായി നിങ്ങൾ എത്ര പണം നൽകി?

4) സാംസ്കാരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി എത്ര പണം ചെലവഴിക്കുന്നു?

5) തൊഴിലാളി എത്ര പണം ലാഭിച്ചു?

സ്ഥിരീകരണത്തിനായി, ഈ 5 ചോദ്യങ്ങളിൽ കാണുന്ന അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. തുക 1,200 റൂബിൾസ് ആയിരിക്കണം. എല്ലാ വരുമാനവും 100% ആയി കണക്കാക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശതമാനങ്ങൾ ചേർത്ത് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഞങ്ങൾ മൂന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. ഈ ജോലികൾ വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ചാണെങ്കിലും (സ്കൂളിലേക്കുള്ള വിറക് വിതരണം, വ്യത്യസ്ത പ്രായത്തിലുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം, തൊഴിലാളിയുടെ ചെലവുകൾ), അവ അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിച്ചു. എല്ലാ ജോലികളിലും തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏതാനും ശതമാനം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായതിനാലാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്.

§ 90. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കും:

1. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.
2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക
3. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ.
4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.
5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.
6. അംശം നൽകിയ ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തൽ.
7. ഒരു സംഖ്യ അതിന്റെ ശതമാനമനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് അവ ക്രമമായി പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വിഭാഗത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഡിവിഷൻ എന്നത് രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ (ഡിവിഡന്റ്) ഗുണനവും ഈ ഘടകങ്ങളിലൊന്നും (ഡിവൈസർ) മറ്റൊരു ഘടകം കണ്ടെത്തുന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വകുപ്പിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ. വിഭജനത്തിന്റെ രണ്ട് കേസുകൾ ഞങ്ങൾ അവിടെ കണ്ടു: ബാക്കിയില്ലാത്ത വിഭജനം, അല്ലെങ്കിൽ "മുഴുവൻ" (150: 10 = 15), ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം (100: 9 = 11 ഉം ബാക്കിയുള്ളതിൽ 1 ഉം). അതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ, കൃത്യമായ വിഭജനം എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, കാരണം ഡിവിഡന്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും വിഭജനത്തിന്റെയും പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഉൽപ്പന്നമല്ല. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനം അവതരിപ്പിച്ചതിന് ശേഷം, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ഏത് സാഹചര്യവും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം ഒഴിവാക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണത്തിന്, 7-നെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം, ഉൽപ്പന്ന സമയം 12 ആകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. ഈ സംഖ്യ 7/12 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, കാരണം 7/12 12 = 7. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 14: 25 = 14/25 കാരണം 14/25 25 = 14.

അങ്ങനെ, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ലാഭവിഹിതത്തിന് തുല്യമാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ വിഭജനമാണ്.

2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

ഭിന്നസംഖ്യ 6/7 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭജനത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവിടെ ഉൽപ്പന്നവും (6/7) ഘടകവും (3) ഉണ്ട്; 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഘടകം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ഈ ജോലി 6/7. വ്യക്തമായും, ഇത് ഈ ഉൽപ്പന്നത്തേക്കാൾ മൂന്നിരട്ടി ചെറുതായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം, 6/7 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കുക എന്നതായിരുന്നു നമ്മുടെ മുമ്പിലുള്ള ചുമതല.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൂട്ടുന്നതിലൂടെയോ ചെയ്യാമെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

IN ഈ കാര്യംന്യൂമറേറ്റർ 6 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതിനാൽ ന്യൂമറേറ്റർ 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കണം.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 5/8 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ന്യൂമറേറ്റർ 5 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് നിയമം പ്രസ്താവിക്കാം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയെ ആ പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്(സാധ്യമെങ്കിൽ), ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതേ ന്യൂമറേറ്റർ വിടുക.

3. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ.

5 നെ 1 / 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്, 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഉൽപ്പന്നം 5 നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും, ഈ സംഖ്യ 5-ൽ കൂടുതലായിരിക്കണം, കാരണം 1/2 ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, ഒരു സംഖ്യയെ ശരിയായ അംശം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഉൽപ്പന്നം ഗുണനത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമ്മുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: 5: 1 / 2 = എക്സ് , അതിനാൽ x 1 / 2 \u003d 5.

അത്തരമൊരു സംഖ്യ നാം കണ്ടെത്തണം എക്സ് , ഇത് 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 5 ലഭിക്കും. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയെ 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഈ സംഖ്യയുടെ 1/2 കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനാൽ, അജ്ഞാത സംഖ്യയുടെ 1/2 എക്സ് 5 ആണ്, മുഴുവൻ സംഖ്യയും എക്സ് ഇരട്ടി, അതായത് 5 2 \u003d 10.

അതിനാൽ 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിഗണിക്കാം. 6 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം ഡ്രോയിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള ഫലം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം (ചിത്രം 19).

ചിത്രം.19

ചില യൂണിറ്റുകളുടെ 6 ന് തുല്യമായ AB സെഗ്മെന്റ് വരച്ച് ഓരോ യൂണിറ്റിനെയും 3 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. ഓരോ യൂണിറ്റിലും, AB മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റിലെ മൂന്നിലൊന്ന് (3/3) 6 മടങ്ങ് വലുതാണ്, അതായത്. ഉദാ. 18/3. ചെറിയ ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു 18 ലഭിച്ച സെഗ്മെന്റുകൾ 2; 9 സെഗ്‌മെന്റുകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഇതിനർത്ഥം 2/3 ഭിന്നസംഖ്യ 9 തവണ b യൂണിറ്റുകളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, 2/3 ഭിന്നസംഖ്യ 6 പൂർണ്ണസംഖ്യയേക്കാൾ 9 മടങ്ങ് കുറവാണ്. അതിനാൽ,

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഇല്ലാതെ ഈ ഫലം എങ്ങനെ നേടാം? ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വാദിക്കും: 6 നെ 2 / 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, 6 ൽ 2/3 എത്ര തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം നമുക്ക് നോക്കാം: 1/3 എത്ര തവണ 6-ൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? ഒരു മുഴുവൻ യൂണിറ്റിലും - 3 മൂന്നിലൊന്ന്, 6 യൂണിറ്റുകളിൽ - 6 മടങ്ങ് കൂടുതൽ, അതായത് 18 മൂന്നിലൊന്ന്; ഈ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ, നമ്മൾ 6 നെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. അതിനാൽ, 1/3 എന്നത് b യൂണിറ്റുകളിൽ 18 തവണയും 2/3 എന്നത് b യൂണിറ്റുകളിൽ 18 തവണയല്ല, മറിച്ച് പകുതിയോളം തവണയും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് 18: 2 = 9 അതിനാൽ, 6 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്തു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ലഭിക്കും. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് നിങ്ങൾ ഈ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്ററാക്കി, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിയമം എഴുതുന്നു:

ഈ നിയമം തികച്ചും വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ നിയമത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അത് § 38 ൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതേ ഫോർമുല അവിടെയും ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

3/4-നെ 3/8 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിഭജനത്തിന്റെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യയെ എന്താണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? 3/4 ഭിന്നസംഖ്യയിൽ 3/8 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ എത്ര തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഇത് ഉത്തരം നൽകും. ഈ പ്രശ്നം മനസിലാക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (ചിത്രം 20).

സെഗ്മെന്റ് എബി എടുത്ത് ഒരു യൂണിറ്റായി എടുത്ത് 4 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അത്തരം 3 ഭാഗങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക. സെഗ്‌മെന്റ് എസി സെഗ്‌മെന്റ് എബിയുടെ 3/4 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ നാല് പ്രാരംഭ സെഗ്‌മെന്റുകൾ പകുതിയായി വിഭജിക്കാം, തുടർന്ന് സെഗ്‌മെന്റ് AB 8 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടും, അത്തരം ഓരോ ഭാഗവും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 1/8 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഞങ്ങൾ അത്തരം 3 സെഗ്‌മെന്റുകളെ ആർക്കുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും AD, DC എന്നിവ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 3/8 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഡ്രോയിംഗ് കാണിക്കുന്നത് 3/8 ന് തുല്യമായ സെഗ്‌മെന്റ് 3/4 ന് തുല്യമായ സെഗ്‌മെന്റിൽ കൃത്യമായി 2 തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; അതിനാൽ, വിഭജനത്തിന്റെ ഫലം ഇതുപോലെ എഴുതാം:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിഗണിക്കാം. 15/16 നെ 3/32 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

നമുക്ക് ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യാം: 3/32 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 15/16 ന് തുല്യമായ ഒരു ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

15 / 16: 3 / 32 = എക്സ്

3 / 32 എക്സ് = 15 / 16

3/32 അജ്ഞാത നമ്പർ എക്സ് 15/16 ഉണ്ടാക്കുക

1/32 അജ്ഞാത നമ്പർ എക്സ് ആണ്,

32/32 നമ്പറുകൾ എക്സ് മേക്ക് അപ്പ് .

അതിനാൽ,

അങ്ങനെ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്ററും രണ്ടാമത്തേത് ഡിനോമിനേറ്റർ.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നിയമം എഴുതാം:

വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.

മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവ ആദ്യം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റണം, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി വിഭജിക്കണം. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുക:

ഇനി നമുക്ക് വിഭജിക്കാം:

അങ്ങനെ, മിശ്രിത സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുകയും ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് വിഭജിക്കുകയും വേണം.

6. അംശം നൽകിയ ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ വിവിധ ജോലികൾക്കിടയിൽ, ചിലപ്പോൾ അജ്ഞാത സംഖ്യയുടെ ചില ഭാഗങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകുകയും ഈ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന് വിപരീതമായിരിക്കും ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം; അവിടെ ഒരു സംഖ്യ നൽകി, ഈ സംഖ്യയുടെ കുറച്ച് ഭാഗം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഇവിടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഈ സംഖ്യ തന്നെ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ ഈ ആശയം കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും.

ടാസ്ക് 1.ആദ്യ ദിവസം, ഗ്ലേസിയറുകൾ 50 ജാലകങ്ങൾ തിളങ്ങി, ഇത് നിർമ്മിച്ച വീടിന്റെ എല്ലാ ജാലകങ്ങളുടെയും 1/3 ആണ്. ഈ വീട്ടിൽ എത്ര ജനലുകൾ ഉണ്ട്?

പരിഹാരം. 50 ഗ്ലേസ്ഡ് വിൻഡോകൾ വീടിന്റെ എല്ലാ ജാലകങ്ങളുടെയും 1/3 ആണെന്ന് പ്രശ്നം പറയുന്നു, അതായത് മൊത്തത്തിൽ 3 മടങ്ങ് കൂടുതൽ വിൻഡോകൾ ഉണ്ട്, അതായത്.

വീടിന് 150 ജനാലകളുണ്ടായിരുന്നു.

ടാസ്ക് 2. 1500 കിലോ മാവ് കടയിൽ വിറ്റു, അതായത് കടയിലെ മൊത്തം മാവിന്റെ 3/8. സ്റ്റോറിന്റെ പ്രാഥമിക മാവ് എന്തായിരുന്നു?

പരിഹാരം.വിറ്റ 1,500 കിലോഗ്രാം മാവ് മൊത്തം സ്റ്റോക്കിന്റെ 3/8 ആണെന്ന് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം; ഇതിനർത്ഥം ഈ സ്റ്റോക്കിന്റെ 1/8 3 മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും, അതായത്, ഇത് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ 1500 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1,500: 3 = 500 (അത് സ്റ്റോക്കിന്റെ 1/8 ആണ്).

വ്യക്തമായും, മുഴുവൻ സ്റ്റോക്കും 8 മടങ്ങ് വലുതായിരിക്കും. അതിനാൽ,

500 8 \u003d 4,000 (കിലോഗ്രാം).

4,000 കിലോഗ്രാം മാവ് സ്റ്റോറിൽ ആദ്യം വിതരണം ചെയ്തു.

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഗണനയിൽ നിന്ന്, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഊഹിക്കാവുന്നതാണ്.

ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്താൽ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ മൂല്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതിയാകും, ഫലം ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ, അവസാനത്തേതിൽ നിന്ന് നന്നായി കാണുന്നതുപോലെ, രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളാൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു: വിഭജനം (ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ), ഗുണനം (മുഴുവൻ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ).

എന്നിരുന്നാലും, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം ഞങ്ങൾ പഠിച്ച ശേഷം, മുകളിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജനം.

ഉദാഹരണത്തിന്, അവസാന ടാസ്ക്ക് ഇതുപോലുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

ഭാവിയിൽ, ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൽ പരിഹരിക്കും - വിഭജനം.

7. ഒരു സംഖ്യ അതിന്റെ ശതമാനമനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

ഈ ടാസ്ക്കുകളിൽ, ഈ സംഖ്യയുടെ കുറച്ച് ശതമാനം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് നിങ്ങൾ ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ടാസ്ക് 1.ഈ വർഷത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, എനിക്ക് സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ നിന്ന് 60 റൂബിൾസ് ലഭിച്ചു. ഒരു വർഷം മുമ്പ് ഞാൻ സമ്പാദ്യത്തിൽ നിക്ഷേപിച്ച തുകയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം. ഞാൻ സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ എത്ര പണം ഇട്ടു? (ക്യാഷ് ഓഫീസുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് പ്രതിവർഷം വരുമാനത്തിന്റെ 2% നൽകുന്നു.)

ഒരു നിശ്ചിത തുക ഞാൻ ഒരു സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ ഇട്ടു ഒരു വർഷം അവിടെ കിടന്നു എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം. ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം, എനിക്ക് അവളിൽ നിന്ന് 60 റൂബിൾസ് ലഭിച്ചു. വരുമാനം, അത് ഞാൻ ഇട്ട പണത്തിന്റെ 2/100 ആണ്. ഞാൻ എത്ര പണം നിക്ഷേപിച്ചു?

അതിനാൽ, ഈ പണത്തിന്റെ ഭാഗം രണ്ട് തരത്തിൽ (റൂബിളുകളിലും ഭിന്നസംഖ്യകളിലും) പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ, ഇതുവരെ അറിയപ്പെടാത്ത തുക മുഴുവനായി കണ്ടെത്തണം. ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നമാണിത്. ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ വിഭജനം വഴി പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, 3,000 റുബിളുകൾ സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ ഇട്ടു.

ടാസ്ക് 2.രണ്ടാഴ്ചകൊണ്ട് 512 ടൺ മത്സ്യം തയ്യാറാക്കിയ മത്സ്യത്തൊഴിലാളികൾ പ്രതിമാസ പദ്ധതി 64% പൂർത്തീകരിച്ചു. എന്തായിരുന്നു അവരുടെ പ്ലാൻ?

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, മത്സ്യത്തൊഴിലാളികൾ പദ്ധതിയുടെ ഒരു ഭാഗം പൂർത്തിയാക്കിയതായി അറിയാം. ഈ ഭാഗം 512 ടണ്ണിന് തുല്യമാണ്, ഇത് പദ്ധതിയുടെ 64% ആണ്. പ്ലാൻ അനുസരിച്ച് എത്ര ടൺ മത്സ്യം വിളവെടുക്കണം, ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്തുന്നതിലായിരിക്കും.

അത്തരം ജോലികൾ വിഭജിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, പ്ലാൻ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ 800 ടൺ മത്സ്യം തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ടാസ്ക് 3.ട്രെയിൻ റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്ക് പോയി. 276-ാം കിലോമീറ്റർ പിന്നിട്ടപ്പോൾ, യാത്രക്കാരിലൊരാൾ അതുവഴി പോയ കണ്ടക്ടറോട് അവർ ഇതിനകം എത്ര യാത്ര ചെയ്തുവെന്ന് ചോദിച്ചു. ഇതിന് കണ്ടക്ടർ മറുപടി പറഞ്ഞു: "മുഴുവൻ യാത്രയുടെ 30% ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പൂർത്തിയാക്കി." റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്കുള്ള ദൂരം എന്താണ്?

റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്കുള്ള യാത്രയുടെ 30% 276 കിലോമീറ്ററാണെന്ന് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. ഈ നഗരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള മുഴുവൻ ദൂരവും നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ഈ ഭാഗത്തിന്, മുഴുവൻ കണ്ടെത്തുക:

§ 91. പരസ്പര സംഖ്യകൾ. വിഭജനത്തെ ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യ 2/3 എടുത്ത് ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്തേക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കുക, നമുക്ക് 3/2 ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അംശം ലഭിച്ചു, ഇതിന്റെ പരസ്പരബന്ധം.

തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന്റെ പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്തും ഡിനോമിനേറ്റർ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്തും ഇടേണ്ടതുണ്ട്. ഈ രീതിയിൽ, നമുക്ക് ഏതെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്:

3/4, വിപരീതം 4/3; 5/6, വിപരീതം 6/5

ആദ്യത്തേതിന്റെ സംഖ്യ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ആദ്യത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ സംഖ്യയുമാണ് എന്ന ഗുണമുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു. പരസ്പരം വിപരീതം.

ഇനി നമുക്ക് 1/2 ന്റെ റിപ്രോക്കൽ ഏത് അംശമായിരിക്കും എന്ന് ചിന്തിക്കാം. വ്യക്തമായും, ഇത് 2 / 1 ആയിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ വെറും 2 ആയിരിക്കും. ഇതിന്റെ പരസ്പരബന്ധം നോക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ലഭിച്ചു. ഈ കേസ് ഒറ്റപ്പെട്ടതല്ല; നേരെമറിച്ച്, 1 (ഒന്ന്) സംഖ്യയുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും പരസ്പര സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്:

1 / 3, വിപരീതം 3; 1/5, വിപരീതം 5

പരസ്പര സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമായി കണ്ടുമുട്ടിയതിനാൽ, ഭാവിയിൽ ഞങ്ങൾ പരസ്പര സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് പരസ്പര സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്.

ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ പരസ്‌പരം എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കായി, ഇത് ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു: നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഡിനോമിനേറ്റർ ഇടേണ്ടതുണ്ട്. അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ പരസ്പര സംഖ്യ ലഭിക്കും, കാരണം ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും 1 ന്റെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അതിനാൽ, 7 ന്റെ പരസ്പര സംഖ്യ 1 / 7 ആയിരിക്കും, കാരണം 7 \u003d 7 / 1; 10 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് 10 = 10/1 മുതൽ വിപരീതം 1/10 ആണ്

ഈ ആശയം മറ്റൊരു രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം: തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ പരസ്‌പരം ഒന്നായി ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും നൽകിയ നമ്പർ . ഈ പ്രസ്താവന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്. തീർച്ചയായും, 5/9 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പരസ്പരമുള്ള ഒരു സംഖ്യ എഴുതാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് 1 എടുത്ത് അതിനെ 5/9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത്.

ഇനി ഒന്ന് ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാം സ്വത്ത്പരസ്പരമുള്ള പരസ്പര സംഖ്യകൾ, അത് ഞങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും: പരസ്പരമുള്ള പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.തീർച്ചയായും:

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരസ്പര ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും. നമുക്ക് 8 ന്റെ പരസ്പരവിരുദ്ധം കണ്ടെത്താം.

അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ് , പിന്നെ 8 എക്സ് = 1, അതിനാൽ എക്സ് = 1/8 . നമുക്ക് മറ്റൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്താം, 7/12 ന്റെ വിപരീതം, അതിനെ ഒരു അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുക എക്സ് , പിന്നെ 7/12 എക്സ് = 1, അതിനാൽ എക്സ് = 1:7 / 12 അല്ലെങ്കിൽ എക്സ് = 12 / 7 .

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ചെറുതായി സപ്ലിമെന്റ് ചെയ്യുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു.

ഞങ്ങൾ 6 എന്ന സംഖ്യയെ 3/5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യുന്നു:

എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി നൽകിയിരിക്കുന്നതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക: .

മുമ്പത്തേതുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം പ്രത്യേകം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത് എന്ന ചോദ്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല: 6 നെ 3/5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്നോ 6 നെ 5/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിൽ നിന്നോ. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് പറയാം ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഡിവിഡന്റിനെ ഹരിച്ചിന്റെ പരസ്പര സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മാറ്റാം.

ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ഈ നിഗമനത്തെ പൂർണ്ണമായും സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ടോ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ടോ ശരിയായി ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ നിയമങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകളുടെ ഗുണനവും ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഗുണനവും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:
ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററുമായി ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഛേദത്തെ രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ തവണ 3)(7 \ തവണ 3) = \frac(4)(7)\\\)

ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 ആയി കുറഞ്ഞു.

ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കുക.

നമുക്ക് ഭരണത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം ഏത് സംഖ്യയെയും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

ഗുണനത്തിന് ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക.ഉദാഹരണം:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.

മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ഓരോ മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യയെയും തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം, തുടർന്ന് ഗുണന നിയമം ഉപയോഗിക്കണം. ന്യൂമറേറ്റർ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനം.

a≠0,b≠0 നൽകിയിട്ടുള്ള \(\bf \frac(b)(a)\) ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ് \(\bf \frac(a)(b)\).
ഭിന്നസംഖ്യകൾ \(\b \frac(a)(b)\) ഒപ്പം \(\bf \frac(b)(a)\) എന്നിവയെ പരസ്പരവിരുദ്ധങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം 1 ആണ്.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

ഉദാഹരണം:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾ:
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഗുണനമാണ്, ഡിനോമിനേറ്ററിനൊപ്പം ഡിനോമിനേറ്റർ. മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് ഗുണിക്കുകയും വേണം.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: അവ സമാനമാണോ അല്ലയോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഗുണനഫലം ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം, ഡിനോമിനേറ്ററിനൊപ്പം ഡിനോമിനേറ്ററും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് ഗുണനം സംഭവിക്കുന്നു.

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഗുണന നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം #1:
ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക: a) \(\frac(8)(9) \time \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

പരിഹാരം:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( ചുവപ്പ്) (5))(3 \ തവണ \നിറം(ചുവപ്പ്) (5) \ തവണ 13) = \frac(4)(39)\)

ഉദാഹരണം #2:
ഒരു സംഖ്യയുടെയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലം കണക്കാക്കുക: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

പരിഹാരം:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

ഉദാഹരണം #3:
\(\frac(1)(3)\) എന്നതിന്റെ പരസ്പരവിരുദ്ധം എഴുതുക?
ഉത്തരം: \(\frac(3)(1) = 3\)

ഉദാഹരണം #4:
രണ്ട് പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കണക്കാക്കുക: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

പരിഹാരം:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

ഉദാഹരണം #5:
പരസ്പരം വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ആകാം:
a) രണ്ട് ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യകളും;
ബി) ഒരേസമയം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ;
c) ഒരേ സമയം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ?

പരിഹാരം:
a) ആദ്യ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കാം. അംശം \(\frac(2)(3)\) ഉചിതമാണ്, അതിന്റെ റെസിപ്രോക്കൽ \(\frac(3)(2)\) - ഒരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. ഉത്തരം: ഇല്ല.

b) ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ എണ്ണലുകളിലും, ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ ഒരേ സമയം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന വ്യവസ്ഥ നിറവേറ്റുന്ന ചില സംഖ്യകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(3)(3)\) ആണ്, അതിന്റെ പരസ്പരവിരുദ്ധം \(\frac(3)(3)\) ആണ്. നമുക്ക് രണ്ട് അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. ഉത്തരം: ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ അല്ല.

സി) എണ്ണുമ്പോൾ നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 3, .... നമ്മൾ \(3 = \frac(3)(1)\) എന്ന സംഖ്യ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ പരസ്പരവിരുദ്ധം \(\frac(1)(3)\) ആയിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(1)(3)\) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ല. നമ്മൾ എല്ലാ സംഖ്യകളിലൂടെയും പോയാൽ, 1 ഒഴികെ, പരസ്പരമുള്ളത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. നമ്മൾ സംഖ്യ 1 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിപരീതം \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) ആയിരിക്കും. = 1\). നമ്പർ 1 ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: ഈ സംഖ്യ 1 ആണെങ്കിൽ അവ ഒരു കേസിൽ മാത്രമേ ഒരേസമയം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാകൂ.

ഉദാഹരണം #6:
മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നടപ്പിലാക്കുക: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

പരിഹാരം:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

ഉദാഹരണം #7:
രണ്ട് പരസ്പര സംഖ്യകൾ ഒരേസമയം മിക്സഡ് സംഖ്യകളാകുമോ?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് ഒരു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ എടുക്കാം \(1\frac(1)(2)\), അതിന്റെ പരസ്‌പരം കണ്ടെത്തുക, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ അതിനെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . അതിന്റെ റെസിപ്രോക്കൽ \(\frac(2)(3)\) ന് തുല്യമായിരിക്കും. അംശം \(\frac(2)(3)\) ഒരു ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: രണ്ട് പരസ്പര വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ സമയം മിക്സഡ് സംഖ്യകളാകാൻ കഴിയില്ല.

ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ എലിയയിലെ സെനോ തന്റെ പ്രസിദ്ധമായ അപ്പോറിയകൾ രൂപപ്പെടുത്തി, അതിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസും ആമയും" ആണ്. ഇത് എങ്ങനെ മുഴങ്ങുന്നുവെന്ന് ഇതാ:

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം അടി പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അക്കില്ലസ് ഈ ദൂരം ഓടുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. പ്രക്രിയ അനിശ്ചിതമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജനീസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഗിൽബെർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയകളായി കണക്കാക്കി. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ഇപ്പോൾ ചർച്ചകൾ തുടരുന്നു, വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് സാർവത്രികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സെനോ തന്റെ അപ്പോറിയയിൽ മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് പകരം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, ആപ്ലിക്കേഷന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾഅളവ് ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തിയുടെ പ്രയോഗം നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ ജഡത്വത്താൽ, സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പരസ്പര ബന്ധത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഭൗതികമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ സമയം മന്ദഗതിയിലായതായി തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ പരിചിതമായ യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ഓടുന്നു. അതിന്റെ പാതയുടെ ഓരോ തുടർന്നുള്ള സെഗ്‌മെന്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ "അനന്തം" എന്ന ആശയം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "അക്കില്ലസ് അനന്തമായി ആമയെ മറികടക്കും" എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാകും.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, പരസ്പര മൂല്യങ്ങളിലേക്ക് മാറരുത്. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അടുത്ത സമയ ഇടവേളയിൽ, ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായി, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറ് അടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ പരിഹാരമല്ല. പ്രകാശവേഗത്തിന്റെ അതിരുകടക്കാനാവാത്തതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീന്റെ പ്രസ്താവന, സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസും ആമയും" പോലെയാണ്. ഈ പ്രശ്നം പഠിക്കാനും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യാനും പരിഹരിക്കാനും ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിയും കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ മറ്റൊരു രസകരമായ അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസംഇത് വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷത്തിലും പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിലെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിലകൊള്ളുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും, അത് വാസ്തവത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട മറ്റൊരു കാര്യമുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിന്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന്, അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. കാറിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിന്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ അവ ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല. കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ് വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകൾഒരു സമയത്ത് ഇടം, പക്ഷേ അവയിൽ നിന്നുള്ള ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ് (സ്വാഭാവികമായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി അധിക ഡാറ്റ ഇപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും). ഞാൻ പ്രത്യേകമായി ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും രണ്ട് വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, അവ പര്യവേക്ഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നതിനാൽ അവ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "സെറ്റിന് രണ്ട് സമാന ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധത്തിന്റെ യുക്തി യുക്തിബോധമുള്ള ആളുകൾക്ക് ഒരിക്കലും മനസ്സിലാകില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് മനസ്സ് വിട്ടുനിൽക്കുന്ന സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും തലമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിന്റെ പരീക്ഷണങ്ങൾക്കിടെ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിൽ കയറിയിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തന്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ ഒളിച്ചാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രം നന്നായി പഠിച്ച ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കാഷ് ഡെസ്കിൽ ഇരുന്നു, ശമ്പളം നൽകുന്നു. ഇവിടെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ പണത്തിനായി നമ്മുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ അവനു മുഴുവൻ തുകയും കണക്കാക്കുകയും അത് ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളാക്കി വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിന്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവന്റെ "ഗണിത ശമ്പള സെറ്റ്" നൽകുന്നു. ഒരേ മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഗണം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ബാക്കി ബില്ലുകൾ അയാൾക്ക് ലഭിക്കൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രം വിശദീകരിക്കുന്നു. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" കൂടാതെ, അതേ മൂല്യമുള്ള നോട്ടുകളിൽ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പ് നൽകാൻ തുടങ്ങും വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾബില്ലുകൾ, അതായത് അവയെ സമാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കുന്നു - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭ്രാന്തമായി ഭൗതികശാസ്ത്രം ഓർക്കും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള അഴുക്കുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോ നാണയത്തിനും ആറ്റങ്ങളുടെ ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ക്രമീകരണവും അദ്വിതീയമാണ് ...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉണ്ട് താൽപ്പര്യം ചോദിക്കുക: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിന്റെ മൂലകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും അതിനപ്പുറത്തുള്ള അതിർത്തി എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു ലൈൻ നിലവിലില്ല - എല്ലാം ജമാന്മാരാണ് തീരുമാനിക്കുന്നത്, ഇവിടെ ശാസ്ത്രം അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയുള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഒരേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ നമുക്ക് ധാരാളം ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ സമയം ഒരേ ഘടകങ്ങൾ ഒരു കൂട്ടവും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. എത്ര ശരിയാണ്? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷുള്ളർ തന്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ഒരു ട്രംപ് എയ്‌സ് എടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് സിദ്ധാന്തവുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു ടാംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിനായി അവർ ജമാന്മാരാണ്, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന താൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ, ടാസ്ക് ഇതുപോലെയാണ്: "ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക." ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് പ്രാഥമികമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യുമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ നമ്പർ ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. ലഭിച്ച ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വെവ്വേറെ നമ്പറുകളുള്ള നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് പ്രതീകങ്ങൾ അക്കങ്ങളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ അത് ഗണിതമാണ്.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാരുടെ "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 12345 എന്ന വലിയ സംഖ്യയിൽ, എന്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘട്ടവും പരിഗണിക്കില്ല, ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം ചെയ്തു. ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെന്റിമീറ്ററിലും കണ്ടെത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നതുപോലെയാണ്.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലെയും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ഒരു ചോദ്യം: ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്തതിനെ ഗണിതത്തിൽ എങ്ങനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക്, എനിക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, ഇല്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിന്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾഅവയെ താരതമ്യം ചെയ്ത ശേഷം, അതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം സംഖ്യയുടെ മൂല്യം, ഉപയോഗിച്ച അളവിന്റെ യൂണിറ്റ്, ആരാണ് ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കാത്തത്.

വാതിലിൽ ഒപ്പിടുക വാതിൽ തുറന്ന് പറയുന്നു:

ഓ! ഇത് സ്ത്രീകളുടെ വിശ്രമമുറിയല്ലേ?
- യുവതി! സ്വർഗ്ഗാരോഹണം ചെയ്യുമ്പോൾ ആത്മാക്കളുടെ അനിശ്ചിതത്വ വിശുദ്ധി പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പരീക്ഷണശാലയാണിത്! മുകളിൽ നിംബസ്, മുകളിലേക്ക് അമ്പ്. വേറെ ഏത് ടോയ്‌ലറ്റ്?

സ്ത്രീ... മുകളിൽ ഒരു വലയവും താഴേക്കുള്ള അമ്പും പുരുഷനാണ്.

അത്തരമൊരു ഡിസൈൻ ആർട്ട് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിൽ ദിവസത്തിൽ പല തവണ മിന്നിമറയുന്നുണ്ടെങ്കിൽ,

നിങ്ങളുടെ കാറിൽ പെട്ടെന്ന് ഒരു വിചിത്ര ഐക്കൺ കണ്ടെത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല:

വ്യക്തിപരമായി, മലമൂത്രവിസർജ്ജനം നടത്തുന്ന ഒരാളിൽ മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി കാണാൻ ഞാൻ സ്വയം ശ്രമിക്കുന്നു (ഒരു ചിത്രം) (നിരവധി ചിത്രങ്ങളുടെ രചന: മൈനസ് ചിഹ്നം, നമ്പർ നാല്, ഡിഗ്രി പദവി). ഈ പെൺകുട്ടിയെ ഭൗതികശാസ്ത്രം അറിയാത്ത ഒരു വിഡ്ഢിയായി ഞാൻ കണക്കാക്കുന്നില്ല. അവൾക്ക് ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകളുടെ ധാരണയുടെ ഒരു ആർക്ക് സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് മാത്രമേയുള്ളൂ. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം.

1A എന്നത് "മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "വൺ എ" അല്ല. ഇതാണ് "പൂപ്പിംഗ് മാൻ" അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സാഡെസിമൽ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിലെ "ഇരുപത്തിയാറ്" സംഖ്യ. ഈ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിരന്തരം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആളുകൾ അക്കവും അക്ഷരവും ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നമായി യാന്ത്രികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.