гэр › Төрөл бүрийн › Фрактал элементүүд. Сансрын судалгааны лаборатори

Фрактал элементүүд. Сансрын судалгааны лаборатори

70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 80-аад оны дунд үеэс математикч, программистуудын өдөр тутмын амьдралд бат бөх байршжээ. Фрактал гэдэг үг нь латин fractus-аас гаралтай бөгөөд орчуулгад хэлтэрхийнээс бүрдэх гэсэн утгатай. Үүнийг 1975 онд Бенуа Манделброт өөрийн судалж байсан жигд бус, гэхдээ өөртэйгөө төстэй бүтэцтэй болохыг санал болгосон. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Мандельбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онд ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф Гэхдээ зөвхөн бидний үед л тэдний бүтээлийг нэг системд нэгтгэх боломжтой байсан.
Өнөөдөр компьютер график дахь фракталуудын үүрэг нэлээд том байна. Тэд аврах ажилд ирдэг, жишээлбэл, хэд хэдэн коэффициентийн тусламжтайгаар маш нарийн төвөгтэй хэлбэрийн шугам, гадаргууг тодорхойлох шаардлагатай үед аврах ажилд ирдэг. Компьютер графикийн үүднээс авч үзвэл фрактал геометр нь хиймэл үүл, уулс, далайн гадаргууг бий болгоход зайлшгүй шаардлагатай. үнэндээ олдсон уушигны замЕвклидийн бус нарийн төвөгтэй объектуудын дүрслэл, тэдгээрийн дүрс нь байгалийнхтай маш төстэй юм.
Фракталуудын гол шинж чанаруудын нэг бол өөртэйгөө төстэй байдал юм. Маш их энгийн тохиолдолФракталын жижиг хэсэг нь бүхэл бүтэн фракталын талаархи мэдээллийг агуулдаг. Манделбротын өгсөн фракталын тодорхойлолт нь: "Фрактал гэдэг нь бүхэл бүтэнтэй ямар нэг байдлаар төстэй хэсгүүдээс бүрдэх бүтцийг хэлнэ".

Байгаа том тооФрактал гэж нэрлэгддэг математикийн объектууд (Сиерпинскийн гурвалжин, Кох цасан ширхгүүд, Пиано муруй, Манделбротын багц ба Лоренцын татагч). Фракталууд нь бодит ертөнцийн олон физик үзэгдэл, тогтоцыг маш нарийвчлалтай дүрсэлдэг: уулс, үүл, үймээн самуун (хуйгархай) урсгал, модны үндэс, мөчир, навч, цусны судаснууд нь энгийн геометрийн хэлбэрээс хол байдаг. Бенуа Манделброт "Байгалийн фрактал геометр" хэмээх үндсэн бүтээлдээ манай ертөнцийн фрактал мөн чанарын тухай анх удаа ярьсан.
Фрактал гэдэг нэр томъёог Бенуа Манделброт 1977 онд "Фрактал, хэлбэр, эмх замбараагүй байдал ба хэмжээс" хэмээх үндсэн бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Манделбротын хэлснээр, фрактал гэдэг үг нь латин fractus - бутархай, frangere - таслах гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд энэ нь фракталын мөн чанарыг "эвдэрсэн", жигд бус олонлог хэлбэрээр илэрхийлдэг.

Фракталуудын ангилал.

Төрөл бүрийн фракталуудыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн ангилалд хандах нь тохиромжтой. Фракталуудын гурван ангилал байдаг.

1. Геометрийн фракталууд.

Энэ ангийн фракталууд хамгийн тод харагдаж байна. Хоёр хэмжээст тохиолдолд тэдгээрийг генератор гэж нэрлэгддэг полилин (эсвэл гурван хэмжээст тохиолдолд гадаргуу) ашиглан олж авдаг. Алгоритмын нэг алхамд эвдэрсэн шугамыг бүрдүүлэгч сегмент бүрийг тохирох масштабаар тасархай шугам үүсгэгчээр солино. Энэхүү процедурын төгсгөлгүй давталтын үр дүнд геометрийн фракталыг олж авдаг.

Жишээлбэл, ийм фрактал объектуудын нэг болох Кох гурвалсан муруйг авч үзье.

Гурвалсан Кох муруйг байгуулах.

1 урттай шулуун шугамын хэрчмийг ав. Үүнийг нэрлэе үр. Үрийг 1/3 урттай гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, дунд хэсгийг нь хаяж, 1/3 урттай хоёр холбоос бүхий тасархай шугамаар солино.

Бид нийт 4/3 урттай 4 холбоосоос бүрдэх тасархай шугамыг авдаг. эхний үе.

Кох муруйн дараагийн үе рүү шилжихийн тулд холбоос бүрийн дунд хэсгийг хаяж, солих шаардлагатай. Үүний дагуу хоёр дахь үеийн урт нь 16/9, гурав дахь нь 64/27 байх болно. Хэрэв та энэ үйл явцыг хязгааргүй үргэлжлүүлбэл үр дүн нь гурвалсан Кох муруй болно.

Одоо ариун гурвалсан Кох муруйг авч үзээд яагаад фракталуудыг "мангас" гэж нэрлэснийг олж мэдье.

Нэгдүгээрт, энэ муруй нь ямар ч урттай байдаггүй - бидний харж байгаагаар үеийн тоогоор түүний урт нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Хоёрдугаарт, энэ муруйн шүргэгчийг бий болгох боломжгүй - түүний цэг бүр нь дериватив байхгүй гулзайлтын цэг юм - энэ муруй жигд биш юм.

Урт ба тэгш байдал нь муруйн үндсэн шинж чанар бөгөөд үүнийг Евклидийн геометр болон Лобачевский, Риманы геометрийн аль алинаар нь судалдаг. Уламжлалт аргуудын гурвалсан Кох муруй руу геометрийн шинжилгээхэрэглэх боломжгүй болсон тул Кох муруй нь мангас болж хувирав - уламжлалт геометрийн гөлгөр оршин суугчдын дунд "мангас" болжээ.

"Луу" Хартер-Хэтвейгийн бүтээн байгуулалт.

Өөр фрактал объект авахын тулд барилгын дүрмийг өөрчлөх шаардлагатай. Үүсгэх элементийг зөв өнцгөөр холбосон хоёр тэнцүү сегмент гэж үзье. Тэг үеийн үед бид нэгж сегментийг энэ үүсгэгч элементээр сольж, өнцөг нь дээд талд байна. Ийм орлуулалтын үед холбоосын дунд шилжилт үүсдэг гэж бид хэлж чадна. Барилга барих үед дараа үеийнхэндүрэм биелсэн: зүүн талын хамгийн эхний холбоосыг үүсгэгч элементээр сольсон бөгөөд ингэснээр холбоосын дунд хэсэг нь хөдөлгөөний чиглэлийн зүүн тийш шилжиж, дараагийн холбоосыг солих үед дунд цэгүүдийн шилжилтийн чиглэлүүд өөрчлөгдөнө. сегментүүдийн ээлж солигдох ёстой. Зураг дээр дээр дурдсан зарчмын дагуу баригдсан муруйн эхний хэдэн үе ба 11 дэх үеийг харуулав. Хязгааргүй рүү чиглэсэн n-тэй муруйг Хартер-Хэйтвей луу гэж нэрлэдэг.
Компьютерийн графикт мод, бутны зургийг авахдаа геометрийн фракталуудыг ашиглах шаардлагатай байдаг. Хоёр хэмжээст геометрийн фракталууд нь гурван хэмжээст бүтэц (объектын гадаргуу дээрх хэв маяг) үүсгэхэд ашиглагддаг.

2. Алгебрийн фракталууд

Энэ бол фракталуудын хамгийн том бүлэг юм. Тэдгээрийг n хэмжээст орон зайд шугаман бус процессуудыг ашиглан олж авдаг. Хоёр хэмжээст процессууд хамгийн их судлагдсан байдаг. Шугаман бус давталтын процессыг салангид динамик систем гэж тайлбарлахдаа эдгээр системийн онолын нэр томъёог ашиглаж болно: фазын хөрөг, тогтвортой төлөвийн процесс, татагч гэх мэт.
Шугаман бус динамик систем нь хэд хэдэн тогтвортой төлөвтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Динамик систем тодорхой тооны давталтын дараа өөрийгөө олох төлөв нь түүний анхны төлөвөөс хамаарна. Тиймээс тогтвортой төлөв бүр (эсвэл тэдний хэлснээр татагч) анхны төлөвүүдийн тодорхой хэсэгтэй байдаг бөгөөд үүнээс систем нь эцсийн төлөвт орох ёстой. Тиймээс системийн фазын орон зай нь татагчдыг татах хэсэгт хуваагддаг. Хэрэв фазын орон зай нь хоёр хэмжээст байвал таталцлын бүсүүдийг өөр өөр өнгөөр будах замаар энэ системийн өнгөт фазын хөрөг зургийг авах боломжтой (давталтын процесс). Өнгө сонгох алгоритмыг өөрчилснөөр та гоёмсог олон өнгийн хээ бүхий нарийн төвөгтэй фрактал хэв маягийг авах боломжтой. Математикчдын хувьд гэнэтийн зүйл бол анхдагч алгоритмуудыг ашиглан маш нарийн төвөгтэй бус бүтцийг бий болгох чадвар байв.

Манделбротын багц.

Жишээ болгон Mandelbrot багцыг авч үзье. Үүнийг бүтээх алгоритм нь маш энгийн бөгөөд энгийн давталтын илэрхийлэл дээр суурилдаг. Z = Z[i] * Z[i] + C, Хаана ЗиТэгээд Cнарийн төвөгтэй хувьсагч юм. Давталтыг тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин бүсээс эхлэх цэг бүрт гүйцэтгэдэг - цогц хавтгайн дэд хэсэг. хүртэл давтагдах үйл явц үргэлжилнэ Z[i]төв нь (0,0) цэг дээр байрладаг (энэ нь динамик системийн татагч хязгааргүй байна гэсэн үг), эсвэл хангалттай олон тооны давталтын дараа (жишээ нь) радиус 2-ын тойргоос цааш явахгүй. , 200-500) Z[i]тойргийн аль нэг цэгт нийлдэг. Энэ хугацаанд давталтын тооноос хамаарна Z[i]тойрог дотор үлдсэн бол та цэгийн өнгийг тохируулж болно C(Хэрэв Z[i]хангалттай олон тооны давталтын хувьд тойрог дотор үлдэж, давталтын процесс зогсох бөгөөд энэ растер цэг нь хараар будагдсан болно).

3. Стохастик фракталууд

Фракталуудын өөр нэг алдартай ангилал нь стохастик фракталууд бөгөөд түүний параметрүүдийн аль нэг нь давтагдах процесст санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдсөн тохиолдолд олж авдаг. Үүний үр дүнд байгалийнхтай маш төстэй объектууд үүсдэг - тэгш бус мод, эрэг орчмын шугам гэх мэт. Хоёр хэмжээст стохастик фракталуудыг газар нутаг, далайн гадаргууг загварчлахад ашигладаг.
Фракталуудын бусад ангилал байдаг, жишээлбэл, фракталуудыг детерминист (алгебрийн ба геометрийн) ба детерминист бус (стохастик) гэж хуваадаг.

Фракталуудын хэрэглээний тухай

Юуны өмнө, фрактал бол хамгийн энгийн томъёо, алгоритмын тусламжтайгаар ер бусын гоо үзэсгэлэн, нарийн төвөгтэй зургуудыг олж авдаг гайхалтай математикийн урлагийн салбар юм! Баригдсан зургуудын контур дээр навч, мод, цэцэг ихэвчлэн таамаглаж байна.

Фракталуудын хамгийн хүчирхэг хэрэглээний зарим нь оршдог компьютер график. Нэгдүгээрт, энэ нь зургийн фрактал шахалт, хоёрдугаарт, ландшафт, мод, ургамал барих, фрактал бүтэц бий болгох явдал юм. Орчин үеийн физик, механикууд фрактал биетүүдийн үйл ажиллагааг дөнгөж судалж эхэлж байна. Мэдээжийн хэрэг, фракталуудыг математикт шууд ашигладаг.
Фрактал дүрс шахах алгоритмын давуу тал нь багцалсан файлын хэмжээ маш бага, дүрсийг сэргээх хугацаа богино байдаг. Фрактаар багцалсан зургуудыг пикселийн харагдахгүйгээр томруулж болно. Гэхдээ шахах үйл явц удаан үргэлжилдэг, заримдаа хэдэн цаг үргэлжилдэг. Алдагдалтай фрактал багцлах алгоритм нь jpeg форматтай адил шахалтын түвшинг тохируулах боломжийг танд олгоно. Алгоритм нь зарим жижиг хэсгүүдтэй төстэй зургийн том хэсгүүдийг хайхад суурилдаг. Мөн зөвхөн аль хэсэг нь аль нь адилхан болохыг гаралтын файлд бичнэ. Шахахдаа дөрвөлжин сүлжээг ихэвчлэн ашигладаг (хэсэг нь дөрвөлжин хэлбэртэй) бөгөөд энэ нь зургийг сэргээхэд бага зэрэг өнцгийг үүсгэдэг, зургаан өнцөгт тор нь ийм сул талгүй байдаг.
Iterated нь фрактал болон "долгион" (jpeg гэх мэт) алдагдалгүй шахалтыг хослуулсан "Sting" зургийн шинэ форматыг боловсруулсан. Шинэ формат нь дараагийн өндөр чанартай масштабтай зураг үүсгэх боломжийг олгодог бөгөөд график файлын хэмжээ нь шахагдаагүй зургийн эзлэхүүний 15-20% байна.
Фракталууд уул, цэцэг, мод шиг харагдах хандлагыг зарим хүмүүс ашигладаг график редакторууд, жишээлбэл, 3D студи MAX-ын фрактал үүл, World Builder-ийн фрактал уулс. Фрактал мод, уулс, бүхэл бүтэн ландшафтуудыг өгсөн энгийн томъёонууд, програмчлахад хялбар бөгөөд ойртоход тус тусад нь гурвалжин, шоо болж хуваагддаггүй.
Математикт фрактал ашиглахыг үл тоомсорлож болохгүй. Олонлогийн онолд Канторын олонлог нь хаана ч байхгүй төгс нягт олонлогууд байдгийг нотолж байгаа бол хэмжүүрийн онолын хувьд өөртөө хамааралтай "Кантор шат" функц нь ганц хэмжүүрийн тархалтын функцийн сайн жишээ юм.
Механик, физикийн хувьд фракталуудыг ашигладаг өвөрмөц өмчбайгалийн олон объектын тоймыг давт. Фракталууд нь мод, уулын гадаргуу, ан цавыг шугамын сегмент эсвэл олон өнцөгт (ижил хэмжээний хадгалагдсан өгөгдөлтэй) ойролцоохоос илүү өндөр нарийвчлалтайгаар ойртуулах боломжийг олгодог. Фрактал загварууд нь байгалийн объектуудын нэгэн адил "барзгар" байдаг бөгөөд энэ шинж чанар нь загварт дур зоргоороо их хэмжээгээр нэмэгддэг. Фрактал дээр нэгэн төрлийн хэмжүүр байгаа нь интеграл, боломжит онолыг ашиглах, тэдгээрийг аль хэдийн судлагдсан тэгшитгэлд стандарт объектын оронд ашиглах боломжийг олгодог.
Фрактал хандлагын тусламжтайгаар эмх замбараагүй байдал нь цэнхэр эмх замбараагүй байдал байхаа больж, нарийн бүтэцтэй болно. Фрактал шинжлэх ухаан маш залуу хэвээр байгаа бөгөөд түүнийг маш их ирээдүй хүлээж байна. Фракталуудын гоо үзэсгэлэн нь барагдахгүй бөгөөд нүдийг баясгадаг, оюун санаанд жинхэнэ таашаал авчирдаг олон шилдэг бүтээлүүдийг бидэнд өгөх болно.

Фрактал бүтээх тухай

Дараалсан ойртох арга

Энэ зургийг харахад өөртэйгөө төстэй фрактал (энэ тохиолдолд Сиерпинскийн пирамид) хэрхэн баригдаж болохыг ойлгоход хэцүү биш юм. Бид ердийн пирамид (тетраэдр) авч, дунд хэсгийг нь (октаэдр) хайчилж, үр дүнд нь дөрвөн жижиг пирамид авах хэрэгтэй. Тэдгээрийн хамт бид ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг гэх мэт. Энэ бол арай гэнэн боловч ойлгомжтой тайлбар юм.

Аргын мөн чанарыг илүү нарийвчлан авч үзье. Зарим IFS систем байх болтугай, i.e. агшилтын зураглалын систем С=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (жишээ нь манай пирамидын хувьд зураглалууд S i (x)=1/2*x+o i, хаана o i байна. тетраэдрийн оройнууд, i=1,..,4). Дараа нь бид R n-д A 1 компакт багцыг сонгоно (бидний тохиолдолд бид тетраэдрийг сонгодог). Мөн бид индукцийн аргаар A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) олонлогуудын дарааллыг тодорхойлно. K нэмэгдэж буй A k олонлогууд нь системийн шаардлагатай татагчийг ойртуулдаг нь мэдэгдэж байна С.

Эдгээр давталт бүр нь татагч гэдгийг анхаарна уу давтагдсан функцүүдийн давтагдах систем(Англи хэл DigraphIFS, RIFSмөн түүнчлэн Графикаар удирдуулсан IFS) тул тэдгээрийг манай програмаар бүтээхэд хялбар байдаг.

Цэгээр эсвэл магадлалын аргаар барих

Энэ бол компьютер дээр хэрэгжүүлэх хамгийн хялбар арга юм. Энгийн болгохын тулд хавтгай өөрөө өөртөө хамааралтай багцын жишээг авч үзье. Тиймээс (С

) нь аффины агшилтын зарим систем юм. Зураглал С

төлөөлж болно: С

2х2 ба o хэмжээтэй тогтмол матриц

Хоёр хэмжээст вектор багана.

Эхний зураглалын S 1-ийн тогтмол цэгийг эхлэлийн цэг болгон авч үзье:
x:=o1;
Энд бид S 1 ,..,S m тогтмол агшилтын бүх цэгүүд фракталд хамаарах баримтыг ашигладаг. Дурын цэгийг эхлэлийн цэг болгон сонгож болох бөгөөд үүгээр үүсгэсэн цэгүүдийн дараалал нь фрактал болж багасах боловч дараа нь дэлгэц дээр хэд хэдэн нэмэлт цэг гарч ирнэ.
Дэлгэц дээрх одоогийн x=(x 1 ,x 2) цэгийг анхаарна уу:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Бид санамсаргүй байдлаар 1-ээс m хүртэлх j тоог сонгож, x цэгийн координатыг дахин тооцоолно.
j:=Санамсаргүй(м)+1;
x:=S j (x);
Бид 2-р алхам руу орно, эсвэл хэрэв бид хангалттай олон тооны давталт хийсэн бол бид зогсдог.

Анхаарна уу.Хэрэв S i зураглалын шахалтын коэффициентүүд өөр бол фрактал тэгш бус цэгүүдээр дүүрнэ. Хэрэв S i зураглал ижил төстэй байвал алгоритмыг бага зэрэг төвөгтэй болгосноор үүнээс зайлсхийх боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд алгоритмын 3-р алхамд 1-ээс m хүртэлх j тоог p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s магадлалаар сонгох шаардлагатай бөгөөд энд r i нь зураглалын S i агшилтын коэффициентийг илэрхийлнэ. , мөн s тоог (ижил төстэй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг) r 1 s +...+r m s =1 тэгшитгэлээс олно. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг жишээлбэл Ньютоны аргаар олж болно.

Фракталууд ба тэдгээрийн алгоритмуудын тухай

Фрактал нь латин хэлний "фрактус" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд орчуулгад хэлтэрхийнээс бүрдэх гэсэн утгатай бөгөөд холбогдох латин үйл үг "франгере" нь эвдэх, өөрөөр хэлбэл жигд бус хэлтэрхий үүсгэх гэсэн утгатай. 70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 80-аад оны дунд үеэс математикч, программистуудын өдөр тутмын амьдралд бат бөх байршжээ. Энэ нэр томъёог Бенуа Манделброт 1975 онд түүний судалж байсан жигд бус, гэхдээ өөртэйгөө төстэй бүтэцтэй холбоотой гэж санал болгосон. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" - "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онд ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан.

Тохируулга

Х.-О-ийн номонд санал болгосон алгоритмуудад зарим нэг залруулга хийе. Пэйтген ба П.Х.Рихтер "Фракталуудын гоо үзэсгэлэн" M. 1993, зөвхөн үсгийн алдааг арилгах, үйл явцыг ойлгоход хялбар болгох зорилгоор, учир нь тэдгээрийг судалсны дараа надад олон зүйл нууц хэвээр үлдсэн. Харамсалтай нь эдгээр "ойлгомжтой", "энгийн" алгоритмууд нь амьдралын хэв маягийг удирддаг.

Фракталуудыг бүтээх нь z \u003d z 2 + c санал хүсэлт бүхий нарийн төвөгтэй үйл явцын тодорхой шугаман бус функц дээр суурилдаг, учир нь z ба c нь нарийн төвөгтэй тоо, дараа нь z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, зайлшгүй шаардлагатай. илүү бодитой болохын тулд үүнийг x, y болгон задлах энгийн хүнонгоц:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Бүх хос (x, y) -аас бүрдэх хавтгайг тогтмол утгатай гэж үзэж болно p ба q, түүнчлэн динамикуудын хувьд. Эхний тохиолдолд онгоцны бүх цэгийг (x, y) хуулийн дагуу ангилж, давталтын процессоос гарахад шаардлагатай функцийн давталтын тооноос хамааран тэдгээрийг будах, эсвэл зөвшөөрөгдөх дээд хэмжээнд байх үед (хар) будахгүй байх. Давталтын тоо нэмэгдвэл бид Жулиа багцын дэлгэцийг авах болно. Хэрэв бид эсрэгээр анхны хос утгыг (x, y) тодорхойлж, түүний өнгөт хувь заяаг p ба q параметрүүдийн динамикаар өөрчлөгдөж буй утгуудын тусламжтайгаар ажиглавал бид Mandelbrot багц гэж нэрлэгддэг зургуудыг авах болно.

Фрактал будах алгоритмын талаархи асуултын талаар.

Ихэвчлэн багцын биеийг хар талбар хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг, гэхдээ хар өнгийг өөр өнгөөр сольж болох нь ойлгомжтой боловч энэ нь бас сонирхолгүй үр дүн юм. Бүх өнгөөр будсан багцын зургийг авах нь мөчлөгийн үйлдлүүдийг ашиглан шийдэх боломжгүй ажил юм. олонлогийн биеийг бүрдүүлж буй давталтын тоо нь боломжит дээд хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд үргэлж ижил байна. Багцыг будна уу өөр өөр өнгөгогцооноос гарах нөхцөлийг шалгасны үр дүнг (z_magnitude) өнгөний дугаар болгон эсвэл үүнтэй төстэй, гэхдээ бусад математик үйлдлүүдийн хамт ашиглаж болно.

"Фрактал микроскоп" -ын хэрэглээ

хилийн үзэгдлийг харуулах.

Татлагчид бол онгоцонд ноёрхлын төлөөх тэмцлийг удирдаж буй төвүүд юм. Татуулагчдын хооронд эргэлдэж буй хэв маягийг илэрхийлсэн хил байдаг. Олонлогийн хүрээнд авч үзэх цар хүрээг нэмэгдүүлснээр байгалийн ертөнцөд нийтлэг үзэгдэл болох детерминист эмх замбараагүй байдлын төлөв байдлыг тусгасан энгийн бус хэв маягийг олж авах боломжтой.

Газарзүйчдийн судалж буй объектууд нь маш нарийн зохион байгуулалттай хил хязгаар бүхий системийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор тэдгээрийг хэрэгжүүлэх нь хэцүү практик ажил болдог. Байгалийн цогцолборууд нь таталцлын үүрэг гүйцэтгэдэг өвөрмөц шинж чанартай байдаг бөгөөд тэдгээр нь холдох тусам тухайн нутаг дэвсгэрт нөлөөлөх хүчээ алддаг.

Мандельброт ба Жулиа багцын хувьд фрактал микроскоп ашиглан авч үзэх цар хүрээнээс үл хамааран ижил төстэй нарийн төвөгтэй хил хязгаарын үйл явц, үзэгдлийн талаархи ойлголтыг бий болгож, динамик, эмх замбараагүй мэт санагдах уулзалтанд мэргэжилтний ойлголтыг бэлтгэх боломжтой. Фрактал геометрийн мөн чанарыг ойлгохын тулд орон зай, цаг хугацааны байгалийн объект. Олон өнгийн өнгө, фрактал хөгжим оюутнуудын оюун санаанд гүн гүнзгий ул мөр үлдээх нь дамжиггүй.

Мянга мянган хэвлэл, асар том интернет эх сурвалжууд фракталуудад зориулагдсан байдаг ч компьютерийн шинжлэх ухаанаас хол байгаа олон мэргэжилтнүүдийн хувьд энэ нэр томъёо цоо шинэ юм шиг санагддаг. Фракталууд нь янз бүрийн мэдлэгийн чиглэлээр мэргэшсэн мэргэжилтнүүдийн сонирхдог объект болохын хувьд компьютерийн шинжлэх ухааны хичээлд зохих байр сууриа эзлэх ёстой.

Жишээ

SIERPINSKI GRID

Энэ бол Манделбротын фрактал хэмжээс ба давталтын тухай ойлголтыг боловсруулахдаа туршиж үзсэн фракталуудын нэг юм. Том гурвалжны дунд цэгүүдийг нийлүүлснээр үүссэн гурвалжнуудыг үндсэн гурвалжнаас нь таслан гурвалжин үүсгэн, илүү их нүх гаргадаг. Энэ тохиолдолд санаачлагч нь том гурвалжин бөгөөд загвар нь том хэмжээтэй төстэй гурвалжныг огтлох үйлдэл юм. Мөн та энгийн тетраэдр ашиглан жижиг тетраэдрүүдийг хайчилж авснаар гурвалжны 3D хувилбарыг авч болно. Ийм фракталын хэмжээ нь ln3/ln2 = 1.584962501.

олж авахын тулд Сиерпински хивс, дөрвөлжин авч, есөн квадрат болгон хувааж, дунд хэсгийг нь хайчилж ав. Бид үлдсэн хэсэг, жижиг квадратуудтай ижил зүйлийг хийх болно. Төгсгөлд нь талбайгүй, гэхдээ хязгааргүй холболттой хавтгай фрактал сүлжээ үүсдэг. Орон зайн хэлбэрийн хувьд Сиерпинскийн хөвөн нь дамжин өнгөрөх хэлбэрийн систем болж хувирдаг бөгөөд энэ нь дамжуулагч элемент бүрийг өөрийн төрлөөр байнга сольж байдаг. Энэ бүтэц нь ясны эд эсийн хэсэгтэй маш төстэй юм. Хэзээ нэгэн цагт ийм давтагдах бүтэц нь барилгын бүтцийн элемент болно. Тэдний статик ба динамикийг сайтар судлах хэрэгтэй гэж Манделброт үзэж байна.

KOCH муруй

Кох муруй нь хамгийн ердийн детерминист фракталуудын нэг юм. Үүнийг 19-р зуунд Германы математикч Хельге фон Кох зохион бүтээсэн бөгөөд тэрээр Георг Контор, Карл Вейерстрассе нарын бүтээлийг судалж байхдаа ер бусын зан авиртай зарим хачирхалтай муруйг дүрсэлсэн байдаг. Санаачлагч - шууд шугам. Генератор нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд түүний талууд нь том сегментийн уртын гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Эдгээр гурвалжингуудыг сегмент бүрийн дунд дахин дахин нэмдэг. Манделброт судалгаандаа Кохын муруйн талаар маш их туршилт хийж, Кохын арлууд, Кох загалмай, Кох цасан ширхгүүд, тэр ч байтугай тетраэдр ашиглан Кохын муруйн гурван хэмжээст дүрслэлийг гаргаж, нүүр болгонд нь жижиг тетраэдр нэмж оруулсан. Кох муруй нь ln4/ln3 = 1.261859507 хэмжээтэй байна.

Фрактал Манделброт

Энэ бол таны байнга хардаг Манделбротын багц БИШ. Манделбротын олонлог нь шугаман бус тэгшитгэл дээр суурилдаг бөгөөд нийлмэл фрактал юм. Энэ объект нь үүнтэй төстэй биш ч гэсэн энэ нь мөн Кох муруйн хувилбар юм. Санаачлагч болон үүсгэгч нь Кохын муруйн зарчим дээр тулгуурлан фрактал үүсгэхэд ашигладаг хүмүүсээс ялгаатай боловч санаа нь ижил хэвээр байна. Муруйн сегментэд тэгш талт гурвалжныг хавсаргахын оронд квадратыг дөрвөлжинд хавсаргана. Энэ фрактал нь давталт бүрт хуваарилагдсан зайны яг хагасыг эзэлдэг тул 3/2 = 1.5 энгийн фрактал хэмжээстэй байна.

ДАРЭРИЙН ПЕНТАГОН

Фрактал нь шахагдсан таван өнцөгт шиг харагддаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь таван өнцөгтийг санаачлагч болон ижил өнцөгт гурвалжнуудын тусламжтайгаар үүсгэгддэг бөгөөд хамгийн том тал ба хамгийн жижиг тал нь алтан харьцаа гэж нэрлэгддэг (1.618033989 эсвэл 1/(2cos72)) генераторын хувьд яг тэнцүү байна. . Эдгээр гурвалжныг таван өнцөгт бүрийн дундаас огтолж, нэг том дээр наасан 5 жижиг таван өнцөгт шиг хэлбэртэй болно.

Энэхүү фракталын хувилбарыг зургаан өнцөгтийг санаачлагч болгон ашиглаж болно. Энэ фракталыг Давидын од гэж нэрлэдэг бөгөөд Кохын цасан ширхгийн зургаан өнцөгт хувилбартай нэлээд төстэй юм. Дарер таван өнцөгтийн фрактал хэмжээс нь ln6/ln(1+g) бөгөөд g нь гурвалжны том талын уртыг жижиг талын урттай харьцуулсан харьцаа юм. Энэ тохиолдолд g нь Алтан харьцаа тул фрактал хэмжээ нь ойролцоогоор 1.86171596 байна. Давидын одны фрактал хэмжээ нь ln6/ln3 буюу 1.630929754.

Нарийн төвөгтэй фракталууд

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та аливаа нарийн төвөгтэй фракталын жижиг хэсгийг томруулж, дараа нь тухайн хэсгийн жижиг талбайд ижил зүйлийг хийвэл хоёр томруулалт нь бие биенээсээ эрс ялгаатай байх болно. Хоёр зураг нь нарийн ширийн зүйлээр маш төстэй байх боловч тэдгээр нь бүрэн ижил биш байх болно.

Зураг 1. Манделбротын багцын ойролцоолсон байдал

Жишээлбэл, энд үзүүлсэн Mandelbrot багцын зургуудыг харьцуулж үзээрэй, тэдгээрийн нэгийг нөгөөгийнхөө хэсгийг нэмэгдүүлэх замаар олж авсан болно. Таны харж байгаагаар тэдгээр нь огт ижил биш боловч хоёуланд нь хар тойрог харагдаж байгаа бөгөөд тэдгээрээс галын тэмтрүүлүүд өөр өөр чиглэлд явдаг. Манделбротын багцад эдгээр элементүүд нь буурч буй хувь хэмжээгээр хязгааргүй давтагдана.

Детерминист фракталууд нь шугаман, харин нийлмэл фракталууд нь шугаман биш байдаг. Шугаман бус учраас эдгээр фракталуудыг Мандельбротын шугаман бус алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэсэн зүйлээр үүсгэнэ. Сайн жишээнь Zn+1=ZnІ + C процесс бөгөөд энэ нь 2-р зэргийн Манделброт ба Жулиа олонлогийг байгуулахад ашигласан тэгшитгэл юм. Эдгээр математик тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нийлмэл болон төсөөллийн тоо орно. Тэгшитгэлийг нарийн төвөгтэй хавтгайд графикаар тайлбарлавал үр дүн нь шулуун шугамууд муруй болж хувирдаг хачирхалтай дүрс гарч ирдэг бөгөөд янз бүрийн масштабын түвшинд ижил төстэй эффектүүд гарч ирдэг, гэхдээ хэв гажилтгүй. Үүний зэрэгцээ бүхэл бүтэн зураг нь урьдчилан таамаглах аргагүй бөгөөд маш эмх замбараагүй юм.

Зургуудаас харахад нарийн төвөгтэй фракталууд нь үнэхээр нарийн төвөгтэй бөгөөд компьютерийн тусламжгүйгээр бүтээх боломжгүй юм. Өнгөлөг үр дүнд хүрэхийн тулд энэ компьютер нь математикийн хүчирхэг сопроцессор, өндөр нарийвчлалтай дэлгэцтэй байх ёстой. Детерминист фракталуудаас ялгаатай нь нийлмэл фракталуудыг 5-10 давталтаар тооцдоггүй. Компьютерийн дэлгэц дээрх бараг бүх цэгүүд нь тусдаа фракталтай адил юм. Математик боловсруулалтын явцад цэг бүрийг тусдаа загвар болгон авч үздэг. Цэг бүр нь тодорхой утгатай тохирч байна. Тэгшитгэлийг цэг бүрт суулгасан бөгөөд жишээлбэл, 1000 давталт хийдэг. Гэрийн компьютерт зөвшөөрөгдөх хугацааны интервалд харьцангуй гажиггүй дүрсийг авахын тулд нэг цэгийн хувьд 250 давталт хийх боломжтой.

Өнөөдөр бидний харж буй фракталуудын ихэнх нь сайхан өнгөтэй байдаг. Магадгүй фрактал зургууд маш том болсон байх гоо зүйн үнэ цэнэяг тэдний өнгөний схемийн улмаас. Тэгшитгэлийг тооцоолсны дараа компьютер үр дүнд дүн шинжилгээ хийнэ. Хэрэв үр дүн нь тогтвортой хэвээр байвал эсвэл тодорхой утгын орчим хэлбэлзэж байвал цэг нь ихэвчлэн хар өнгөтэй болно. Хэрэв нэг алхам дахь утга нь хязгааргүй байх хандлагатай байвал цэгийг өөр өнгөөр, магадгүй цэнхэр эсвэл улаан өнгөөр будна. Энэ процессын явцад компьютер бүх хөдөлгөөний хурдад өнгө өгдөг.

Ихэвчлэн хурдан хөдөлдөг цэгүүдийг улаанаар буддаг бол удааныг шар гэх мэтээр буддаг. хар цэгүүдмагадгүй хамгийн тогтвортой.

Нарийн төвөгтэй фракталууд нь хязгааргүй нарийн төвөгтэй боловч маш энгийн томъёогоор үүсгэгддэгээрээ детерминист фракталуудаас ялгаатай. Детерминист фракталуудад томъёо, тэгшитгэл хэрэггүй. Зүгээр л зургийн цаас аваад, та Sierpinski шигшүүрээр 3 эсвэл 4 удаа давталт хийх боломжтой. Үүнийг олон Жулиатай хийхийг хичээ! Английн эргийн шугамын уртыг хэмжих нь илүү хялбар!

МАНДЕРБРОТЫН СЭТГЭЛ

Зураг 2. Mandelbrot багц

Манделброт ба Жулиа олонлогууд нь нийлмэл фракталуудын дунд хамгийн түгээмэл хоёр нь байж магадгүй юм. Тэдгээрийг олон зүйлээс олж болно шинжлэх ухааны сэтгүүлүүд, номын хавтас, ил захидал, компьютерийн дэлгэц амраагч. Бенуа Манделбротын бүтээсэн Mandelbrot иж бүрдэл нь хүмүүсийн фрактал гэдэг үгийг сонссон анхны холбоо байж магадгүй юм. Гялалзсан мод, тойрог хэсгүүдтэй карттай төстэй энэхүү фрактал нь Zn+1=Zna+C энгийн томьёогоор үүсгэгдэх ба Z ба C нь нийлмэл тоо, а нь эерэг тоо юм.

Хамгийн их харагддаг Mandelbrot багц бол 2-р зэргийн Манделбротын олонлог юм, өөрөөр хэлбэл a=2. Манделбротын олонлог нь зөвхөн Zn+1=ZnІ+C биш, томьёоны экспонент нь ямар ч эерэг тоо байж болох фрактал байсан нь олон хүнийг төөрөгдүүлсэн. Энэ хуудсан дээр та a экспонентийн янз бүрийн утгуудын Манделбротын багцын жишээг харж байна.
Зураг 3. a=3.5 үед бөмбөлгүүдийн харагдах байдал

Z=Z*tg(Z+C) процесс бас алдартай. Шүргэх функцийг оруулсны ачаар алимтай төстэй талбайгаар хүрээлэгдсэн Манделбротын багцыг олж авав. Косинусын функцийг ашиглах үед агаарын бөмбөлөг эффектийг олж авдаг. Товчхондоо, янз бүрийн сайхан зургуудыг гаргахын тулд Mandelbrot багцыг өөрчлөх хязгааргүй олон арга бий.

ОЛОН ЖУЛИЯ

Гайхалтай нь Жулиа багцууд нь Манделбротын багцтай ижил томъёоны дагуу үүсдэг. Julia багцыг Францын математикч Гастон Жулиа зохион бүтээсэн бөгөөд түүний нэрээр уг багцыг нэрлэжээ. Манделброт ба Жулиа олонлогтой танилцсаны дараа гарч ирдэг хамгийн эхний асуулт бол "хэрэв хоёр фрактал хоёулаа ижил томъёогоор үүсгэгдсэн бол яагаад ийм ялгаатай байдаг вэ?" Эхлээд Жулиагийн багцын зургуудыг үзээрэй. Хачирхалтай нь Жулиагийн олон төрлийн багц байдаг. Өөр өөр эхлэлийн цэгүүдийг ашиглан фрактал зурахдаа (давталтын процессыг эхлүүлэхийн тулд) янз бүрийн зураг. Энэ нь зөвхөн Жулиа багцад хамаарна.

Зураг 4. Жулиа багц

Хэдийгээр энэ нь зураг дээр харагдахгүй байгаа ч Манделбротын фрактал нь үнэндээ хоорондоо холбогдсон Жулиа фракталуудын багц юм. Манделбротын олонлогийн цэг (эсвэл координат) бүр Жулиа фракталтай тохирч байна. Эдгээр цэгүүдийг Z=ZI+C тэгшитгэлийн анхны утга болгон ашиглан Жулиа багц үүсгэж болно. Гэхдээ энэ нь хэрэв та Манделбротын фрактал дээрх цэгийг сонгоод түүнийг өсгөх юм бол Жулиа фрактал авах боломжтой гэсэн үг биш юм. Эдгээр хоёр цэг нь ижил, гэхдээ зөвхөн математикийн утгаараа. Хэрэв бид энэ цэгийг авч, энэ томъёоны дагуу тооцоолвол Манделбротын фракталын тодорхой цэгт тохирох Жулиа фракталыг авч болно.

Төрөл бүрийн фракталуудыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн ангилалд хандах нь тохиромжтой.

2.1 Геометрийн фракталууд

Энэ ангийн фракталууд хамгийн тод харагдаж байна. Хоёр хэмжээст тохиолдолд тэдгээрийг полилин (эсвэл гурван хэмжээст тохиолдолд гадаргуу) ашиглан олж авдаг. генератор. Алгоритмын нэг алхамд эвдэрсэн шугамыг бүрдүүлэгч сегмент бүрийг тохирох масштабаар тасархай шугам үүсгэгчээр солино. Энэхүү процедурын төгсгөлгүй давталтын үр дүнд геометрийн фракталыг олж авдаг.

Зураг 1. Гурвалсан Кох муруйг байгуулах.

Эдгээр фрактал объектуудын нэг болох гурвалсан Кох муруйг авч үзье. Муруйг барих нь нэгж урттай сегментээс эхэлдэг (Зураг 1) - энэ нь Кох муруйны 0-р үе юм. Цаашилбал, холбоос бүрийг (тэг үеийн нэг сегмент) сольж байна generatrix, 1-р зурагт заасан n=1. Ийм орлуулалтын үр дүнд Кохын муруйн дараагийн үеийг олж авдаг. 1-р үеийн хувьд энэ нь тус бүр нь урттай дөрвөн шулуун холбоос бүхий муруй юм 1/3 . 3-р үеийг авахын тулд ижил үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг - холбоос бүрийг багасгасан хэлбэрийн элементээр сольсон. Тиймээс дараагийн үе бүрийг олж авахын тулд өмнөх үеийн бүх холбоосыг багасгасан хэлбэржүүлэгч элементээр солих шаардлагатай. Муруй n th үе ямар ч хязгаарлагдмал nдуудсан префрактал. Зураг 1-т муруйны таван үеийг харуулав. At nХязгааргүй рүү тэмүүлсэн Кох муруй нь фрактал объект болно.

Зураг 2. Хартер-Хэтвейгийн "луу"-ын бүтээн байгуулалт.

Өөр фрактал объект авахын тулд барилгын дүрмийг өөрчлөх шаардлагатай. Үүсгэх элементийг зөв өнцгөөр холбосон хоёр тэнцүү сегмент гэж үзье. Тэг үеийн үед бид нэгж сегментийг энэ үүсгэгч элементээр сольж, өнцөг нь дээд талд байна. Ийм орлуулалтын үед холбоосын дунд шилжилт үүсдэг гэж бид хэлж чадна. Дараагийн үеийг барьж байгуулахдаа дүрэм биелэгдэнэ: зүүн талын хамгийн эхний холбоосыг үүсгэгч элементээр сольж, холбоосын дунд хэсгийг хөдөлгөөний чиглэлийн зүүн тийш шилжүүлж, дараагийн холбоосыг солих үед сегментүүдийн дунд цэгүүдийн шилжилтийн чиглэлүүд ээлжлэн солигдох ёстой. Зураг 2-т дээр дурдсан зарчмын дагуу баригдсан муруйн эхний хэдэн үе ба 11 дэх үеийг харуулав. Хязгаарлалтын фрактал муруй (ат nхязгааргүйд тэмүүлэх) гэж нэрлэдэг Хартер-Хэтвей луу .

Компьютерийн графикт мод, бут, эрэг орчмын зургийг авахдаа геометрийн фракталуудыг ашиглах шаардлагатай байдаг. Хоёр хэмжээст геометрийн фракталууд нь эзэлхүүний бүтэц (объектийн гадаргуу дээрх хэв маяг) үүсгэхэд ашиглагддаг.

2.2 Алгебрийн фракталууд

Энэ бол фракталуудын хамгийн том бүлэг юм. Тэдгээрийг шугаман бус процессуудыг ашиглан олж авдаг n- хэмжээст орон зай. Хоёр хэмжээст процессууд хамгийн их судлагдсан байдаг. Шугаман бус давталтын процессыг салангид динамик систем гэж тайлбарлахдаа эдгээр системийн онолын нэр томъёог ашиглаж болно. үе шатны хөрөг зураг, тогтвортой байдал, татагчгэх мэт.

Шугаман бус динамик систем нь хэд хэдэн тогтвортой төлөвтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Динамик систем тодорхой тооны давталтын дараа өөрийгөө олох төлөв нь түүний анхны төлөвөөс хамаарна. Тиймээс тогтвортой төлөв бүр (эсвэл тэдний хэлснээр татагч) анхны төлөвүүдийн тодорхой хэсэгтэй байдаг бөгөөд үүнээс систем нь эцсийн төлөвт орох ёстой. Тиймээс системийн фазын орон зайг хуваана татах газруудтатагч. Хэрэв фазын орон зай нь хоёр хэмжээст байвал таталцлын бүсийг өөр өнгөөр будах замаар олж авах боломжтой өнгөт фазын хөрөг зурагэнэ систем (давтагдах үйл явц). Өнгө сонгох алгоритмыг өөрчилснөөр та гоёмсог олон өнгийн хээ бүхий нарийн төвөгтэй фрактал хэв маягийг авах боломжтой. Математикчдын хувьд гэнэтийн зүйл бол анхдагч алгоритмуудыг ашиглан маш нарийн төвөгтэй бус бүтцийг бий болгох чадвар байв.

Зураг 3. Mandelbrot багц.

Жишээ болгон Mandelbrot багцыг авч үзье (Зураг 3, 4-ийг үз). Үүнийг бүтээх алгоритм нь маш энгийн бөгөөд энгийн давталтын илэрхийлэл дээр суурилдаг.

З = З[i] * З[i]+ C,

Хаана Зби болон Cнарийн төвөгтэй хувьсагч юм. Эхлэх цэг бүрт давталт хийдэг Cтэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин талбай - цогц хавтгайн дэд хэсэг. хүртэл давтагдах үйл явц үргэлжилнэ З[i] нь төв нь (0,0) цэг дээр байрлах радиус 2-ын тойргоос цааш гарахгүй (энэ нь динамик системийн татагч хязгааргүй байна гэсэн үг) эсвэл хангалттай олон тооны давталтын дараа (жишээ нь, 200-500) З[i] тойргийн аль нэг цэгт нийлдэг. Энэ хугацаанд давталтын тооноос хамаарна З[i] тойрог дотор үлдсэн тул та цэгийн өнгийг тохируулж болно C(Хэрэв З[i] хангалттай олон тооны давталтуудын хувьд тойрог дотор үлдэж, давталтын процесс зогсох бөгөөд энэ растер цэг нь хараар будагдсан болно).

Зураг 4. 200 дахин томруулсан Mandelbrot багцын хүрээний хэсэг.

Дээрх алгоритм нь Mandelbrot олонлог гэж нэрлэгддэг ойролцоо утгыг өгдөг. Mandelbrot багц нь тухайн үеийн цэгүүдийг агуулдаг эцэс төгсгөлгүйдавталтын тоо хязгааргүйд хүрдэггүй (цэгүүд нь хар өнгөтэй). Олонлогийн хил хязгаарт хамаарах цэгүүд (энэ нь нийлмэл бүтэц үүсдэг) хязгаарлагдмал тооны давталтаар, олонлогийн гадна байрлах цэгүүд хэд хэдэн давталтын дараа хязгааргүйд очдог (цагаан дэвсгэр).

2.3 Стохастик фракталууд

Фракталуудын өөр нэг алдартай ангилал нь стохастик фракталууд бөгөөд түүний параметрүүдийн аль нэг нь давтагдах процесст санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдсөн тохиолдолд олж авдаг. Үүний үр дүнд байгалийнхтай маш төстэй объектууд үүсдэг - тэгш бус мод, эрэг орчмын шугам гэх мэт. 2D стохастик фракталуудыг газар нутаг, далайн гадаргуугийн загварчлалд ашигладаг.

Фракталуудын бусад ангилал байдаг, жишээлбэл, фракталуудыг детерминист (алгебрийн ба геометрийн) ба детерминист бус (стохастик) гэж хуваадаг.

фрактал

Фрактал (лат. фрактус- буталсан, хугарсан, хугарсан) - өөрөө ижил төстэй шинж чанартай геометрийн дүрс, өөрөөр хэлбэл энэ нь хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх бөгөөд тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй ижил төстэй байдаг.Математикийн хувьд фрактал гэж ойлгодог. Бутархай хэмжигдэхүүнтэй (Минковски эсвэл Хаусдорфын утгаараа) эсвэл топологиос өөр хэмжигдэхүүнтэй Евклидийн орон зай дахь цэгүүдийн багц. Фрактизм бол фракталуудыг судлах, эмхэтгэх бие даасан шинжлэх ухаан юм.

Өөрөөр хэлбэл, фракталууд нь бутархай хэмжээс бүхий геометрийн объект юм. Жишээлбэл, шугамын хэмжээ нь 1, талбай нь 2, эзэлхүүн нь 3. Фракталын хувьд хэмжээсийн утга нь 1-ээс 2-ын хооронд эсвэл 2-оос 3-ын хооронд байж болно. Жишээ нь, үрчгэр цаасны фрактал хэмжээ. бөмбөг ойролцоогоор 2.5 байна. Математикт фракталуудын хэмжээг тооцоолох тусгай цогц томъёо байдаг. Гуурсан хоолойн гуурс, модны навч, гарны судал, голын салсууд нь фракталууд юм. Энгийнээр хэлбэл, фрактал нь геометрийн дүрс бөгөөд тодорхой хэсэг нь дахин дахин давтагдаж, хэмжээ нь өөрчлөгддөг - энэ бол өөртэйгөө ижил төстэй байх зарчим юм. Фракталууд нь өөрсөдтэйгөө төстэй, бүх түвшинд (өөрөөр хэлбэл ямар ч масштабаар) өөртэйгөө төстэй байдаг. Олон төрлийн фракталууд байдаг. Зарчмын хувьд үүл ч бай, хүчилтөрөгчийн молекул ч бай бодит ертөнцөд байгаа бүх зүйл фрактал гэж маргаж болно.

"Эмх замбараагүй байдал" гэдэг үг нь урьдчилан тааварлах боломжгүй зүйлийг санал болгодог боловч үнэндээ эмх замбараагүй байдал нь нэлээд эмх цэгцтэй бөгөөд тодорхой хууль тогтоомжид захирагддаг. Эмх замбараагүй байдал, фракталуудыг судлах зорилго нь эхлээд харахад тааварлашгүй, бүрэн эмх замбараагүй мэт санагдаж болох хэв маягийг урьдчилан таамаглах явдал юм.

Энэхүү мэдлэгийн салбарын анхдагч нь Франц-Америкийн математикч, профессор Бенуа Б.Манделброт байв. 1960-аад оны дундуур тэрээр фрактал геометрийг боловсруулсан бөгөөд түүний зорилго нь хугарсан, үрчлээстэй, бүдэг бадаг дүрсийг шинжлэх явдал байв. Манделбротын багц (зураг дээр үзүүлсэн) нь "фрактал" гэдэг үгийг сонсоход хүн хамгийн анхны холбоо юм. Дашрамд хэлэхэд Манделброт Английн эргийн шугамын фрактал хэмжээсийг 1.25 гэж тодорхойлсон.

Фракталуудыг шинжлэх ухаанд улам бүр ашиглаж байна. Тэд дүрсэлдэг бодит ертөнцуламжлалт физик, математикаас ч илүү. Брауны хөдөлгөөн нь жишээлбэл, усанд түдгэлзсэн тоосны хэсгүүдийн санамсаргүй, эмх замбараагүй хөдөлгөөн юм. Энэ төрлийн хөдөлгөөн нь фрактал геометрийн хамгийн практик тал байж магадгүй юм. Санамсаргүй Brownian хөдөлгөөн нь их хэмжээний өгөгдөл, статистиктай холбоотой үзэгдлийг урьдчилан таамаглахад ашиглаж болох давтамжийн хариу үйлдэлтэй байдаг. Жишээлбэл, Манделброт ноосны үнийн өөрчлөлтийг Brownian хөдөлгөөнийг ашиглан урьдчилан таамагласан.

"Фрактал" гэдэг үгийг зөвхөн математикийн нэр томъёо болгон ашиглаж болохгүй. Хэвлэл, шинжлэх ухааны алдартай уран зохиол дахь фракталыг дараахь шинж чанаруудын аль нэгийг агуулсан дүрс гэж нэрлэж болно.

Энэ нь бүх хэмжүүрээр өчүүхэн бус бүтэцтэй. Энэ нь ердийн дүрсүүдээс (тойрог, эллипс, гөлгөр функцийн график гэх мэт) ялгаа юм: хэрэв бид ердийн дүрсийн жижиг хэсгийг маш том хэмжээгээр авч үзвэл энэ нь шулуун шугамын хэлтэрхий мэт харагдах болно. . Фракталын хувьд томруулах нь бүтцийг хялбарчлахад хүргэдэггүй тул бүх масштабаар бид адилхан төвөгтэй дүр зургийг харах болно.

Энэ нь өөртэйгөө төстэй эсвэл ойролцоогоор ижил төстэй байдаг.

Энэ нь бутархай хэмжигдэхүүнтэй эсвэл топологийн хэмжээсээс илүү хэмжигдэхүүнтэй байдаг.

Тооцоолоход фракталуудын хамгийн ашигтай хэрэглээ бол фрактал өгөгдлийг шахах явдал юм. Үүний зэрэгцээ зургууд нь ердийн аргаар хийгдсэнээс хамаагүй илүү шахагдсан байдаг - 600: 1 хүртэл. Фрактал шахалтын өөр нэг давуу тал нь томруулж үзэхэд зургийг эрс дордуулдаг пикселийн эффект байхгүй болно. Түүгээр ч зогсохгүй томруулсаны дараагаар шахагдсан зураг өмнөхөөсөө илүү сайхан харагддаг. Хязгааргүй нарийн төвөгтэй, үзэсгэлэнтэй фракталуудыг энгийн томъёогоор үүсгэж болохыг компьютерийн эрдэмтэд мэддэг. Кино үйлдвэр нь ландшафтын бодит элементүүдийг (үүл, чулуу, сүүдэр) бүтээхийн тулд фрактал график технологийг өргөнөөр ашигладаг.

Урсгал дахь турбулентийн судалгаа нь фракталд маш сайн зохицдог. Энэ нь нарийн төвөгтэй урсгалын динамикийг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог. Дөлийг мөн фрактал ашиглан загварчилж болно. Сүвэрхэг материал нь маш нарийн төвөгтэй геометртэй тул фрактал хэлбэрээр сайн дүрслэгдсэн байдаг. Мэдээллийг зайнаас дамжуулахын тулд фрактал хэлбэрийн антеннуудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь хэмжээ, жинг ихээхэн бууруулдаг. Фракталуудыг гадаргуугийн муруйлтыг тодорхойлоход ашигладаг. Тэгш бус гадаргуу нь хоёр өөр фракталын хослолоор тодорхойлогддог.

Байгаль дээрх олон объектууд эрэг, үүл, модны титэм, цасан ширхгүүд, цусны эргэлтийн систем, хүн, амьтны цулцангийн систем зэрэг фрактал шинж чанартай байдаг.

Фракталууд, ялангуяа онгоцонд, компьютерийн тусламжтайгаар бүтээхэд хялбар, гоо үзэсгэлэнг хослуулсанаараа алдартай.

Ер бусын шинж чанартай өөртэйгөө төстэй багцуудын анхны жишээнүүд 19-р зуунд гарч ирсэн (жишээлбэл, Болзано функц, Вейерштрассын функц, Канторын багц). "Фрактал" гэсэн нэр томъёог 1975 онд Бенуа Манделброт нэвтрүүлсэн бөгөөд 1977 онд "Байгалийн фрактал геометр" номоо хэвлүүлснээр өргөн алдаршсан.

Зүүн талд байгаа зурагт Darer Pentagon фракталыг энгийн жишээ болгон харуулсан бөгөөд энэ нь хоорондоо шахагдсан таван өнцөгт шиг харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ энэ нь таван өнцөгтийг санаачлагч болон ижил өнцөгт гурвалжнуудын тусламжтайгаар үүсгэгддэг бөгөөд хамгийн том тал ба хамгийн жижиг тал нь алтан харьцаа гэж нэрлэгддэг (1.618033989 эсвэл 1/(2cos72°))-тай яг тэнцүү байна. генератор. Эдгээр гурвалжныг таван өнцөгт бүрийн дундаас огтолж, нэг том дээр наасан 5 жижиг таван өнцөгт шиг хэлбэртэй болно.

Эмх замбараагүй байдлын онол нь нарийн төвөгтэй шугаман бус системүүдийг удамшлын хувьд урьдчилан таамаглах боломжгүй гэж хэлдэг боловч үүнтэй зэрэгцэн ийм урьдчилан таамаглах боломжгүй системийг илэрхийлэх арга нь яг тэгш байдалд биш, харин системийн зан үйлийн дүрслэлд - хачирхалтай татагчийн график дээр үнэн болдог гэж үздэг. фрактал шиг харагдаж байна. Тиймээс олон хүмүүсийн таамаглах боломжгүй гэж үздэг эмх замбараагүй байдлын онол нь хамгийн тогтворгүй системд ч гэсэн урьдчилан таамаглах шинжлэх ухаан болж хувирдаг. Динамик системийн сургаал нь энгийн тэгшитгэлүүд нь систем хэзээ ч тогтвортой байдалдаа эргэж орохгүй, нэгэн зэрэг тогтмол байдал үүсэхгүй тийм эмх замбараагүй зан үйлийг үүсгэж болохыг харуулж байна. Ихэнхдээ ийм системүүд нь үндсэн параметрийн тодорхой утга хүртэл хэвийн ажилладаг бөгөөд дараа нь цаашдын хөгжлийн хоёр боломж, дараа нь дөрөв, эцэст нь эмх замбараагүй багц боломжууд байдаг шилжилтийг мэдэрдэг.

Техникийн объектод тохиолддог үйл явцын схемүүд нь тодорхой тодорхойлогдсон фрактал бүтэцтэй байдаг. Техникийн хамгийн бага системийн (TS) бүтэц нь TS доторх үндсэн ба туслах гэсэн хоёр төрлийн процессын урсгалыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ хуваагдал бол нөхцөлт ба харьцангуй юм. Аливаа үйл явц нь туслах үйл явцтай холбоотой гол үйл явц байж болох ба "тэдний" дэмжих үйл явцтай холбоотой аливаа туслах процессыг гол гэж үзэж болно. Диаграм дээрх дугуйнууд нь "өөрийн" TS-ийг тусгайлан үүсгэх шаардлагагүй эдгээр үйл явцын урсгалыг хангах физик нөлөөг харуулж байна. Эдгээр үйл явц нь бодис, талбар, бодис, талбайн харилцан үйлчлэлийн үр дүн юм. Нарийвчилж хэлэхэд, физик нөлөөлөл нь тээврийн хэрэгсэл бөгөөд түүний зарчим нь бид нөлөөлж чадахгүй бөгөөд бид түүний бүтцэд хөндлөнгөөс оролцохыг хүсдэггүй эсвэл огтхон ч боломжгүй байдаг.

Диаграммд үзүүлсэн үндсэн процессын урсгал нь тэдгээрийг үүсгэдэг TS-ийн үндсэн процессууд болох гурван туслах процесс байгаагаар хангагдана. Шударга байдлын үүднээс бид хамгийн бага TS-ийг ажиллуулахын тулд гурван процесс хангалтгүй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. схем нь маш, маш хэтрүүлсэн байна.

Бүх зүйл диаграммд үзүүлсэн шиг энгийн биш юм. Ашигтай ( хүнд хэрэгтэй) процессыг 100% үр ашигтайгаар гүйцэтгэх боломжгүй. Сарнисан энерги нь халах, чичиргээ гэх мэт хортой үйл явцыг бий болгоход зарцуулагддаг. Үүний үр дүнд ашигтай үйл явцтай зэрэгцэн хор хөнөөлтэй үйл явц үүсдэг. "Муу" үйл явцыг "сайн" процессоор солих нь үргэлж боломжгүй байдаг тул системд хор хөнөөл учруулах үр дагаврыг нөхөхийн тулд шинэ процессуудыг зохион байгуулах шаардлагатай болдог. Ердийн жишээ бол үрэлтийн эсрэг тэмцэх хэрэгцээ бөгөөд энэ нь тосолгооны ухаалаг схемийг зохион байгуулах, үрэлтийн эсрэг үнэтэй материал ашиглах, эд анги, эд ангиудыг тослох, үе үе солиход цаг зарцуулах явдал юм.

Өөрчлөгдөж буй орчны зайлшгүй нөлөөлөл байгаатай холбогдуулан ашигтай үйл явцыг хянах шаардлагатай байж болно. Удирдлагыг автомат төхөөрөмжүүдийн тусламжтайгаар болон шууд хүнээр хийж болно. Үйл явцын диаграмм нь үнэндээ тусгай тушаалуудын багц юм, i.e. алгоритм. Тушаал бүрийн мөн чанар (тайлбар) нь нэг ашигтай үйл явц, дагалддаг хортой үйл явц, шаардлагатай хяналтын процессуудын нэгдэл юм. Ийм алгоритмд туслах процессуудын багц нь ердийн дэд программ бөгөөд энд бид бас фракталыг олдог. Дөрөвний нэг зууны өмнө бүтээсэн Р.Коллерын арга нь ердөө 12 хос функц (процесс) бүхий нэлээд хязгаарлагдмал багц бүхий системийг бий болгох боломжийг олгодог.

Математикийн ер бусын шинж чанартай өөртэйгөө төстэй багцууд

-аас эхлэн XIX сүүлзууны, математикт сонгодог шинжилгээний үүднээс эмгэг шинж чанартай өөртэй төстэй объектуудын жишээ байдаг. Үүнд дараахь зүйлс орно.

Cantor багц нь хаана ч байхгүй нягт, тоолж баршгүй төгс багц юм. Процедурыг өөрчилснөөр эерэг урттай хаана ч байхгүй нягт багцыг олж авах боломжтой.

Сиерпинскийн гурвалжин ("ширээний бүтээлэг") ба Сиерпински хивс нь онгоцонд суусан Канторын аналог юм.

Менгерийн хөвөн - гурван хэмжээст орон зайд тогтоосон Cantor-ийн аналог;

Weierstrass, van der Waerden нарын хаана ч ялгагдахгүй тасралтгүй функцийн жишээ.

Кох муруй - аль ч цэг дээр шүргэгчгүй, хязгааргүй урттай, өөрөө огтлолцдоггүй тасралтгүй муруй;

Пеано муруй нь квадратын бүх цэгийг дайран өнгөрөх тасралтгүй муруй юм.

Брауны бөөмийн траекторийг 1-р магадлалаар ялгах боломжгүй. Түүний Хаусдорфын хэмжээс нь хоёр юм

Фрактал муруй авах рекурсив процедур

Кох муруйг байгуулах

Хавтгайд фрактал муруйг олж авах энгийн рекурсив журам байдаг. Бид генератор гэж нэрлэгддэг хязгаарлагдмал тооны холбоос бүхий дурын тасархай шугамыг тодорхойлдог. Дараа нь бид сегмент бүрийг генератороор солино (илүү нарийвчлалтай, генератортой төстэй эвдэрсэн шугам). Үүссэн эвдэрсэн шугам дээр бид сегмент бүрийг генератороор дахин солино. Хязгааргүй болтол бид фрактал муруйг олж авна. Баруун талын зураг нь Кох муруйд зориулсан энэхүү процедурын эхний дөрвөн алхмыг харуулж байна.

Ийм муруйнуудын жишээ нь:

луу муруй,

Кох муруй (Кох цас),

Леви муруй,

Минковски муруй,

Хилберт муруй,

Эвдэрсэн (муруй) луу (Фрактал Хартер-Хэтвей),

Пеано муруй.

Үүнтэй төстэй аргыг ашиглан Пифагорын модыг олж авдаг.

Фракталууд агшилтын тогтсон цэгүүдийн зураглал

Өөртэйгөө төстэй шинж чанарыг математикийн хувьд дараах байдлаар хатуу илэрхийлж болно. Онгоцны агшилтын зураг гэж үзье. Хавтгайн бүх авсаархан (хаалттай ба хязгаарлагдмал) дэд олонлогийн багц дээр дараах зураглалыг авч үзье.

Зураглал нь Хаусдорф хэмжигдэхүүнтэй авсаархан олонлогийн агшилтын зураглал гэдгийг харуулж болно. Иймд Баначийн теоремоор энэхүү зураглал нь өвөрмөц тогтсон цэгтэй байна. Энэ тогтмол цэг нь бидний фрактал байх болно.

Дээр дурдсан фрактал муруйг олж авах рекурсив процедур нь энэ барилгын онцгой тохиолдол юм. Үүнд бүх зураглал нь ижил төстэй байдлын зураглал бөгөөд генераторын холбоосын тоо юм.

Сиерпинскийн гурвалжин ба зураглалын хувьд , нь жирийн гурвалжны орой дээр төвүүдтэй, 1/2 коэффициенттэй ижил хүйстэн юм. Сиерпинскийн гурвалжин зураглалын дор өөрөө болж хувирч байгааг харахад хялбар байдаг.

Хэрэв зураглал нь коэффициентүүдтэй ижил төстэй хувиргалттай бол фракталын хэмжээсийг (зарим нэмэлт техникийн нөхцөлд) тэгшитгэлийн шийдэл болгон тооцоолж болно. Тиймээс, Сиерпинскийн гурвалжны хувьд бид олж авна .

Баначийн ижил теоремын дагуу аливаа авсаархан олонлогоос эхлээд газрын зургийн давталтуудыг ашигласнаар бид фрактал руу нийлдэг (Хаусдорфын хэмжүүрийн утгаараа) авсаархан олонлогуудын дарааллыг олж авдаг.

Нарийн төвөгтэй динамик дахь фракталууд

Жулиа тавьсан

Жулиагийн өөр нэг багц

Фракталууд нь шугаман бус динамик системийг судлахад аяндаа үүсдэг. Хамгийн их судлагдсан тохиолдол бол динамик системийг олон гишүүнт эсвэл хавтгай дээрх комплекс хувьсагчийн голоморф функцийн давталтаар тодорхойлсон тохиолдол юм. Энэ чиглэлээр хийсэн анхны судалгаанууд нь 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд Фату, Жулиа нарын нэртэй холбоотой байдаг.

Болъё Ф(z) - олон гишүүнт, z 0 бол комплекс тоо юм. Дараах дарааллыг анхаарч үзээрэй. z 0 , z 1 =Ф(z 0), z 2 =Ф(Ф(z 0)) = Ф(z 1),z 3 =Ф(Ф(Ф(z 0)))=Ф(z 2), …

Бид энэ дарааллын зан төлөвийг сонирхож байна nхязгааргүйд руу. Энэ дараалал нь:

хязгааргүйд тэмүүлэх

туйлын төлөө хичээ

хязгаарт мөчлөгийн зан үйлийг харуулах, жишээлбэл: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

эмх замбараагүй авирлах, өөрөөр хэлбэл дурдсан гурван төрлийн зан авирыг харуулахгүй байх.

Үнэт зүйлсийн багц z 0 , үүний дараалал нь тодорхой нэг төрлийн зан төлөвийг харуулдаг, түүнчлэн өөр өөр төрлүүдийн хоорондох салаалсан цэгүүдийн багц нь ихэвчлэн фрактал шинж чанартай байдаг.

Тиймээс Жулиа олонлог нь олон гишүүнтийн салаалсан цэгүүдийн олонлог юм Ф(z)=z 2 +в(эсвэл бусад ижил төстэй функц), өөрөөр хэлбэл тэдгээр утгууд z 0 , үүний тулд дарааллын зан байдал ( z n) дур зоргоороо жижиг өөрчлөлтүүдээр эрс өөрчлөгдөж болно z 0 .

Фрактал олонлогийг олж авах өөр нэг сонголт бол олон гишүүнтэд параметр оруулах явдал юм Ф(z) ба дараалал нь байх параметрийн утгуудын багцыг харгалзан үзвэл ( z n) тогтсон хүний хувьд тодорхой зан үйлийг харуулдаг z 0 . Тиймээс Манделбротын олонлог нь ( z n) Учир нь Ф(z)=z 2 +вТэгээд z 0 нь хязгааргүйд ордоггүй.

Өөр алдартай жишээЭнэ төрлийн Ньютоны усан сангууд юм.

Харгалзах динамик системүүдийн үйлдлээс хамааран хавтгай цэгүүдийг будах замаар нарийн төвөгтэй динамик дээр суурилсан үзэсгэлэнтэй график дүрсийг бүтээх нь түгээмэл байдаг. Жишээлбэл, Mandelbrot багцыг нөхөхийн тулд та оролдлого хийх хурдаас хамааран цэгүүдийг өнгөөр будаж болно ( z n) хязгааргүй хүртэл (хамгийн бага тоо гэж тодорхойлсон n, хаана | z n| тогтмол их утгаас хэтэрсэн А.

Биоморфууд нь амьд организмтай төстэй нарийн төвөгтэй динамик дээр суурилсан фракталууд юм.

Стохастик фракталууд

Жулиа багц дээр үндэслэсэн санамсаргүй фрактал

Байгалийн объектууд ихэвчлэн фрактал хэлбэртэй байдаг. Тэдний загварчлалын хувьд стохастик (санамсаргүй) фракталуудыг ашиглаж болно. Стохастик фракталуудын жишээ:

хавтгай ба орон зайд броуны хөдөлгөөний замнал;

Хавтгай дээрх Брауны хөдөлгөөний траекторийн хил хязгаар. 2001 онд Лоулер, Шрамм, Вернер нар түүний хэмжээс нь 4/3 гэсэн Манделбротын таамаглалыг баталжээ.

Шрамм-Ловнерийн хувьсал нь статистикийн механикийн чухал хоёр хэмжээст загварт, жишээлбэл, Исинг загвар болон нэвтрэлтэд үүсдэг конформын инвариант фрактал муруй юм.

янз бүрийн төрлийн санамсаргүй фрактууд, өөрөөр хэлбэл алхам бүрт санамсаргүй параметрийг нэвтрүүлсэн рекурсив процедурыг ашиглан олж авсан фракталууд. Плазма бол ийм фракталыг компьютерийн графикт ашиглах жишээ юм.

Байгальд

Гуурсан хоолой ба гуурсан хоолойн урд талын зураг

гуурсан хоолойн мод

цусны судасны сүлжээ

Өргөдөл

Байгалийн шинжлэх ухаан

Физикийн хувьд фракталууд нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нарийн төвөгтэй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлах үед үүсдэг. Фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад, жишээлбэл, нефтийн химийн салбарт ашигладаг. Биологийн хувьд тэдгээрийг популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний тогтолцоог (цусны судасны систем) тодорхойлоход ашигладаг.

Радио инженерчлэл

фрактал антенууд

Антенны төхөөрөмжийн загварт фрактал геометрийг ашиглах аргыг анх Бостон хотын төвд амьдарч байсан Америкийн инженер Натан Коэн ашигласан бөгөөд байшин барилга дээр гаднах антен суурилуулахыг хориглодог байв. Натан хөнгөн цагаан тугалган цааснаас Кох муруй хэлбэртэй дүрс хайчилж, цаасан дээр нааж, дараа нь хүлээн авагчид хавсаргав. Коэн өөрийн компанийг байгуулж, тэдний цуврал үйлдвэрлэлийг эхлүүлсэн.

Компьютерийн шинжлэх ухаан

Зураг шахах

Үндсэн нийтлэл: Фрактал шахалтын алгоритм

фрактал мод

Фрактал ашиглан зураг шахах алгоритмууд байдаг. Эдгээр нь зургийн оронд энэ зураг (эсвэл үүнтэй ойролцоо) тогтсон цэг болох агшилтын газрын зургийг хадгалах боломжтой гэсэн санаан дээр суурилдаг. Энэ алгоритмын нэг хувилбарыг ашигласан [ эх сурвалж тодорхойгүй 895 хоног] нэвтэрхий толь бичгээ гаргахдаа Майкрософт гаргасан боловч эдгээр алгоритмууд өргөн хэрэглэгдэж байгаагүй.

Компьютерийн график

Өөр нэг фрактал мод

Фракталууд нь мод, бут, уулын ландшафт, далайн гадаргуу гэх мэт байгалийн объектуудын зургийг бүтээхэд компьютер графикт өргөн хэрэглэгддэг. Фрактал зураг үүсгэхэд ашигладаг олон програмууд байдаг, Fractal Generator (програм) -ыг үзнэ үү.

төвлөрсөн бус сүлжээнүүд

Нецүкүкүгийн IP хаяг хуваарилах систем нь сүлжээний зангилааны талаарх мэдээллийг нягт хадгалахын тулд фрактал мэдээллийг шахах зарчмыг ашигладаг. Нецүкүкү сүлжээний зангилаа бүр хөрш зэргэлдээх цэгүүдийн төлөв байдлын талаарх ердөө 4 KB мэдээлэл хадгалдаг бол аливаа шинэ зангилаа нь IP хаягийн хуваарилалтын төвлөрсөн зохицуулалт шаардлагагүйгээр ерөнхий сүлжээнд холбогддог бөгөөд энэ нь жишээлбэл, IP хаягийн хуваарилалтын хувьд ердийн зүйл юм. Интернет. Тиймээс фрактал мэдээллийг шахах зарчим нь бүрэн төвлөрсөн бус, улмаар бүх сүлжээний хамгийн тогтвортой ажиллагааг баталгаажуулдаг.

Фракталууд нь бараг зуун жилийн турш мэдэгдэж байсан бөгөөд сайн судлагдсан бөгөөд амьдралд олон тооны хэрэглээтэй байдаг. Энэ үзэгдэл нь маш энгийн санаан дээр суурилдаг: харьцангуй энгийн бүтцээс хуулбарлах, масштаблах гэсэн хоёр үйлдлийг ашиглан гоо үзэсгэлэн, олон янзын хязгааргүй тооны дүрсийг олж авах боломжтой.

Энэ үзэл баримтлалд хатуу тодорхойлолт байдаггүй. Тиймээс "фрактал" гэдэг үг нь математикийн нэр томъёо биш юм. Үүнийг ихэвчлэн дууддаг геометрийн дүрсДараах шинж чанаруудын нэг буюу хэд хэдэн шинж чанарыг хангасан:

ямар ч томрох үед нарийн төвөгтэй бүтэцтэй;
(ойролцоогоор) өөртэйгөө төстэй;
Хаусдорф (фрактал) хэмжигдэхүүнтэй бөгөөд энэ нь топологийн хэмжээнээс их байна;
рекурсив процедураар барьж болно.

19-20-р зууны төгсгөлд фракталуудыг судлах нь системчилсэн гэхээсээ илүү үе шаттай байсан, учир нь өмнөх математикчид голчлон судалж болох "сайн" объектуудыг судалдаг байв. нийтлэг аргуудба онолууд. 1872 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс хаана ч ялгах боломжгүй тасралтгүй функцийн жишээг бүтээжээ. Гэсэн хэдий ч түүний бүтэц нь бүхэлдээ хийсвэр бөгөөд ойлгоход хэцүү байв. Тиймээс 1904 онд Швед Хельге фон Кох хаана ч шүргэгчгүй тасралтгүй муруйг гаргаж ирсэн бөгөөд үүнийг зурахад маш энгийн байдаг. Энэ нь фрактал шинж чанартай болох нь тогтоогдсон. Энэ муруйн нэг өөрчлөлтийг Кох цасан ширхгүүд гэж нэрлэдэг.

Дүрүүдийн өөртэйгөө төстэй санааг Бенуа Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч Франц Пол Пьер Леви гаргаж авсан. 1938 онд түүний "Хавтгай ба орон зайн муруй ба бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх гадаргуу" гэсэн нийтлэл хэвлэгдсэн бөгөөд үүнд өөр нэг фрактал болох Леви С-муруйг дүрсэлсэн болно. Дээрх бүх фракталуудыг конструктив (геометрийн) фракталуудын нэг ангилалд хамааруулж болно.

Өөр нэг анги бол динамик (алгебрийн) фракталууд бөгөөд үүнд Mandelbrot олонлог багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судалгаанууд 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд Францын математикч Гастон Жулиа, Пьер Фату нарын нэрстэй холбоотой юм. 1918 онд Жулиагийн бүтээлийн бараг хоёр зуун хуудас хэвлэгдэн гарсан бөгөөд үүнд Жулиа олонлогууд - Манделбротын багцтай нягт холбоотой фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүлийг дүрсэлсэн нарийн төвөгтэй оновчтой функцүүдийн давталтуудад зориулагдсан болно. Энэхүү бүтээл нь Францын Академийн шагналаар шагнагдсан боловч нэг ч дүрслэл агуулаагүй тул нээсэн объектуудын гоо үзэсгэлэнг үнэлэх боломжгүй байв. Хэдийгээр энэ ажил нь Жулияг тухайн үеийн математикчдын дунд алдаршуулсан ч хурдан мартагдсан юм.

Зөвхөн хагас зуун жилийн дараа компьютер гарч ирснээр Жулиа, Фату хоёрын ажилд анхаарлаа хандуулав: тэд бол фракталуудын ертөнцийн баялаг, гоо үзэсгэлэнг харагдуулсан хүмүүс юм. Эцсийн эцэст, шаардлагатай тооны тооцоог гараар хийх боломжгүй тул Фату бид одоо Манделбротын багцын дүрс гэж мэддэг зургуудыг хэзээ ч харж чадахгүй. Үүний тулд компьютер ашигласан анхны хүн бол Бенуа Манделброт юм.

1982 онд Мандельбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд энэ номонд зохиолч тухайн үед байсан фракталуудын тухай бараг бүх мэдээллийг цуглуулж, системчилж, хялбар, хүртээмжтэй байдлаар толилуулжээ. Манделброт илтгэлдээ том томьёо, математикийн бүтцэд бус харин уншигчдын геометрийн зөн совин дээр гол анхаарлаа хандуулсан. Зохиогч нэг сэдэвт зохиолын шинжлэх ухааны бүрэлдэхүүн хэсгийг чадварлаг шингэлсэн компьютерийн зураг чимэглэл, түүхэн түүхийн ачаар ном нь бестселлер болж, фракталууд олон нийтэд танигдсан. Математикч бус хүмүүсийн дунд тэдний амжилтад хүрсэн нь ахлах сургуулийн сурагчид ч ойлгохуйц маш энгийн бүтэц, томъёоны тусламжтайгаар гайхалтай нарийн төвөгтэй байдал, гоо үзэсгэлэнгийн дүр төрхийг олж авдагтай холбоотой юм. Хувийн компьютерууд хангалттай хүчирхэг болоход урлагийн бүхэл бүтэн чиг хандлага гарч ирэв - фрактал зураг, бараг бүх компьютер эзэмшигч үүнийг хийж чадна. Одоо Интернет дээр та энэ сэдэвт зориулагдсан олон сайтыг хялбархан олох боломжтой.

NNN-ийн редакторууд санамсаргүйгээр маш их бүдэрсэн сонирхолтой материал, онолын элементүүдэд зориулсан xtsarx хэрэглэгчийн блогт танилцуулсан фракталуудба түүний практик хэрэглээ. Мэдэгдэж байгаагаар фракталуудын онол нь наносистемийн физик, химид чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Өргөн хүрээний уншигчдад хүртээмжтэй хэлээр толилуулж, олон тооны график, тэр ч байтугай видео материалаар дэмжигдсэн энэхүү хатуу материалд өөрсдийн хувь нэмрийг оруулсны дараа бид та бүхний анхааралд хүргэж байна. NNN-ийн уншигчдад энэ материал сонирхолтой байх болно гэж найдаж байна.

Байгаль үнэхээр нууцлаг тул түүнийг судлах тусам олон асуулт урган гарна... Шөнийн аянга - салаалсан урсацын цэнхэр "урсгал", цонхон дээрх жаварлаг хээ, цасан ширхгүүд, уулс, үүлс, модны холтос - энэ бүхэн ердийнхөөс давж гардаг. Евклидийн геометр. Арлын чулуу, хил хязгаарыг бид шугам, тойрог, гурвалжингаар дүрсэлж чадахгүй. Тэгээд энд бид аврахаар ирлээ фракталууд. Эдгээр танил танихгүй хүмүүс юу вэ?

"Микроскопоор тэр үүнийг бөөс дээрээс олж мэдсэн
Хазуулсан бөөс бөөс дээр амьдардаг;
Тэр бөөс дээр жижигхэн бөөс байдаг,
Ууртайгаар бөөс рүү шүдээ наана
Бүүрс, мөн хязгааргүй. Д.Свифт.

Жаахан түүх

Анхны санаанууд фрактал геометр 19-р зуунд үүссэн. Кантор энгийн рекурсив (давталт) процедурыг ашиглан шугамыг хоорондоо холбоогүй цэгүүдийн багц болгон хувиргасан (Канторын тоос гэж нэрлэдэг). Тэр шугамыг авч, төвийн гуравны нэгийг хасаад дараа нь үлдсэн сегментүүдтэй ижил зүйлийг давтав.

Цагаан будаа. 1. Peano муруй 1.2-5 давталт.

Пеано зурсан онцгой төрөлшугамууд. Пеано дараахь зүйлийг хийсэн: Эхний алхамд тэрээр шулуун шугам авч, анхны шугамын уртаас 3 дахин богино 9 сегментээр сольсон. Дараа нь тэр үүссэн шугамын сегмент бүртэй ижил зүйлийг хийв. Гэх мэтээр хязгааргүй. Түүний өвөрмөц байдал нь бүхэл бүтэн онгоцыг дүүргэдэгт оршдог. Хавтгайн цэг бүрийн хувьд Пеано шугамд хамаарах цэгийг олох боломжтой болох нь батлагдсан. Пеаногийн муруй, Канторын тоос нь энгийн геометрийн объектуудаас давсан. Тэдний хэмжээ тодорхойгүй байв.. Канторын тоос нь нэг хэмжээст шулуун шугамын үндсэн дээр баригдсан мэт санагдах боловч цэгүүдээс бүрддэг (хэмжээ 0). Мөн Peano муруй нь нэг хэмжээст шугамын үндсэн дээр баригдсан бөгөөд үр дүн нь хавтгай байв. Шинжлэх ухааны бусад олон салбарт дээр дурдсан (Брауны хөдөлгөөн, хувьцааны үнэ) гэх мэт хачирхалтай үр дүнд хүргэсэн асуудлууд гарч ирэв. Бидний хүн нэг бүр энэ процедурыг хийж чадна ...

Фракталуудын эцэг

20-р зууныг хүртэл ийм хачирхалтай объектуудын тухай мэдээлэл хуримтлагдаж, тэдгээрийг системчлэх оролдлого хийлгүйгээр бий болсон. Тэд авах хүртэл ийм байсан Бенуа Манделброт – орчин үеийн фрактал геометрийн эцэг ба фрактал гэдэг үг.

Цагаан будаа. 2. Бенуа Манделброт.

IBM-д математикийн шинжээчээр ажиллаж байхдаа тэрээр статистикийн тусламжтайгаар тайлбарлах боломжгүй электрон хэлхээний дуу чимээг судалжээ. Баримтуудыг аажмаар харьцуулж, тэрээр математикийн шинэ чиглэлийг нээсэн юм. фрактал геометр.

"Фрактал" гэсэн нэр томъёог 1975 онд Б.Манделброт нэвтрүүлсэн бөгөөд Манделбротын хэлснээр. фрактал(Латин "fractus" - бутархай, эвдэрсэн, эвдэрсэн) гэж нэрлэдэг бүхэл мэт хэсгүүдээс бүрдсэн бүтэц. Өөртэйгөө төстэй шинж чанар нь фракталуудыг сонгодог геометрийн объектуудаас эрс ялгадаг. Хугацаа өөртэйгөө төстэй байдалгэсэн үг объектын хамгийн жижиг хэмжээс болон макро масштабын аль алинд нь нарийн, давтагдах бүтэц байгаа эсэх.

Цагаан будаа. 3. "Фрактал" гэсэн ойлголтын тодорхойлолтод.

Өөртэйгөө төстэй байдлын жишээнүүд: Кох, Леви, Минковски муруй, Сиерпинскийн гурвалжин, Менгер хөвөн, Пифагорын мод гэх мэт.

Математикийн үүднээс авч үзвэл, фракталнь юуны түрүүнд, бутархай (завсрын, “бүхэл тоо биш”) хэмжигдэхүүнээр тохируулна. Гөлгөр Евклидийн шугам яг нэг хэмжээст орон зайг дүүргэж байхад фрактал муруй нь нэг хэмжээст орон зайг давж, хил хязгаарыг давж хоёр хэмжээст орон зайд нэвтэрдэг.Иймээс Кох муруйн фрактал хэмжээс нь 1-ээс 2-ын хооронд байх болно. Юуны өмнө, фрактал объект нь уртаа нарийн хэмжиж чадахгүй гэсэн үг юм! Эдгээр геометрийн фракталуудаас эхнийх нь маш сонирхолтой бөгөөд нэлээд алдартай - Кох цасан ширхгүүд.

Цагаан будаа. 4. "Фрактал" гэсэн ойлголтын тодорхойлолтод.

Энэ нь үндсэн дээр баригдсан тэгш талт гурвалжин. Мөр бүр нь анхны уртын 1/3-ийг 4 мөрөөр солино. Тиймээс давталт бүрт муруйны урт гуравны нэгээр нэмэгддэг. Хэрэв бид хязгааргүй олон давталт хийвэл бид фрактал - хязгааргүй урттай Кох цасан ширхгийг олж авна. Бидний хязгааргүй муруй хязгаарлагдмал талбайг хамардаг нь харагдаж байна. Евклидийн геометрийн арга, дүрстэй ижил зүйлийг хийхийг хичээ.
Кох цасан ширхгийн хэмжээ(цасан ширхэг 3 дахин ихсэхэд урт нь 4 дахин нэмэгдэнэ) D=log(4)/log(3)=1.2619.

Фракталын тухай

Фракталууд нь шинжлэх ухаан, технологийн салбарт улам олон хэрэглээг олж байна. Үүний гол шалтгаан нь тэд бодит ертөнцийг заримдаа уламжлалт физик, математикаас ч илүү сайн дүрсэлдэг. Байгаль дахь фрактал объектуудын жишээг та эцэс төгсгөлгүй өгч болно - эдгээр нь үүл, цасан ширхэг, уулс, цахилгаан цахих, эцэст нь цэцэгт байцаа юм. Фрактал нь байгалийн объект болох мөнхийн тасралтгүй хөдөлгөөн, шинэ формац, хөгжил юм.

Цагаан будаа. 5. Эдийн засаг дахь фракталууд.

Түүнээс гадна, Фракталууд нь төвлөрсөн бус компьютерийн сүлжээнд хэрэглэгдэхүүн олдог Тэгээд "фрактал антен" . Төрөл бүрийн стохастик (детерминист бус) "санамсаргүй" үйл явцыг загварчлахад маш сонирхолтой бөгөөд ирээдүйтэй зүйл бол "Браун фракталууд" гэж нэрлэгддэг. Нанотехнологийн хувьд фракталууд бас чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. , оноос хойш, улмаас тэдний шаталсан өөрийн зохион байгуулалт, олон наносистемүүд бүхэл бус хэмжээстэй байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь геометрийн, физик-химийн эсвэл функциональ шинж чанараараа фракталууд юм. Жишээлбэл, Химийн фрактал системийн гайхалтай жишээ бол "дендример" молекулууд юм. . Нэмж дурдахад, фрактал байдлын зарчим (өөрөө ижил төстэй, масштабтай бүтэц) нь системийн шаталсан бүтцийн тусгал бөгөөд иймээс наносистемийн бүтэц, шинж чанарыг тайлбарлах стандарт аргуудаас илүү ерөнхий бөгөөд түгээмэл байдаг.

Цагаан будаа. 6. "Дендример"-ийн молекулууд.

Цагаан будаа. 7. Архитектур, барилгын үйл явц дахь харилцааны график загвар. Микропроцессын үүднээс авч үзвэл харилцан үйлчлэлийн эхний түвшин.

Цагаан будаа. 8. Архитектур, барилгын үйл явц дахь харилцааны график загвар. Макропроцессуудын байрлал дахь харилцан үйлчлэлийн хоёр дахь түвшин (загварын хэсэг).

Цагаан будаа. 9. Архитектур, барилгын үйл явц дахь харилцааны график загвар. Макро процессын үүднээс авч үзвэл харилцан үйлчлэлийн хоёр дахь түвшин (бүх загвар)

Цагаан будаа. 10. График загварын хавтгай хөгжүүлэлт. Эхний гомеостатик төлөв.

Фрактал ба алтан харьцаа "Фрактал" 1-р хэсэг "Фракталууд" 2-р хэсэг "Фракталууд" 3-р хэсэг "Фракталууд" 4-р хэсэг "Фракталууд" 5-р хэсэг