гэр › Хөдөлгүүр › Олон өнцөгтийн хэсгүүдийг барих. "Олон талт хэсгүүдийг бүтээх арга" сэдэвт судалгааны ажил

Олон өнцөгтийн хэсгүүдийг барих. "Олон талт хэсгүүдийг бүтээх арга" сэдэвт судалгааны ажил

Даалгавар өөрөө ихэвчлэн дараах байдлаар явагддаг. "хэсгийн дүрсийг байгалийн дүр төрхийг бий болгох". Мэдээжийн хэрэг, бид энэ асуултыг орхихгүй байхаар шийдсэн бөгөөд боломжтой бол ташуу хэсгийг хэрхэн яаж барьж байгааг тайлбарлахыг хичээсэн.

Ташуу хэсгийг хэрхэн яаж барьж байгааг тайлбарлахын тулд би хэдэн жишээ хэлье. Мэдээжийн хэрэг, би жишээнүүдийн нарийн төвөгтэй байдлыг аажмаар нэмэгдүүлж, анхан шатнаас эхлэх болно. Хэсгийн зургийн эдгээр жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсний дараа та үүнийг хэрхэн хийснийг ойлгож, сурах даалгавраа өөрөө биелүүлэх боломжтой болно гэж найдаж байна.

Дурын налуу хавтгайгаар 40x60x80 мм хэмжээтэй "тоосго" -ыг авч үзье. Зүсэх онгоц нь 1-2-3-4 цэгийн дагуу зүснэ. Энд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна.

Хэсгийн дүрсийн байгалийн хэлбэрийг бүтээх ажилд орцгооё.
1. Юуны өмнө зүсэлтийн тэнхлэгийг зуръя. Тэнхлэгийг огтлолын хавтгайтай параллель зурсан байх ёстой - үндсэн зураг дээр онгоцыг харуулсан шугамтай зэрэгцээ - ихэвчлэн үндсэн зураг дээр даалгавар тавьдаг. ташуу хэсэг барих(Цаашид би үндсэн үзэл бодлыг үргэлж дурдах болно, энэ нь сургалтын зураг дээр бараг үргэлж тохиолддог гэдгийг санаарай).
2. Тэнхлэг дээр бид хэсгийн уртыг хойш тавьдаг. Миний зурган дээр үүнийг L гэж тодорхойлсон. L хэмжээ нь үндсэн үзэмжээр тодорхойлогддог бөгөөд хэсэг нь тухайн хэсэгт орох цэгээс гарах цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна.
3. Түүнд перпендикуляр тэнхлэгт үүссэн хоёр цэгээс бид эдгээр цэгүүдэд зүсэлтийн өргөнийг хойш нь тавьдаг. Хэсэг рүү орох цэг болон хэсгээс гарах цэг дэх хэсгийн өргөнийг дээд талаас нь тодорхойлж болно. IN Энэ тохиолдолд 1-4 ба 2-3 сегмент хоёулаа 60 мм-тэй тэнцүү байна. Дээрх зурган дээрээс харахад хэсгийн ирмэг нь шулуун тул бид үүссэн хоёр сегментээ зүгээр л холбож, 1-2-3-4 тэгш өнцөгтийг авна. Энэ бол налуу хавтгайтай манай тоосгоны хэсгийн зургийн байгалийн дүр төрх юм.

Одоо нарийн ширийнээ яръя. 120x80x20 мм-ийн суурь дээр тоосго тавьж, зураг дээр хатууруулагч нэмнэ. Зургийн бүх дөрвөн элементийг (суурь, тоосго, хоёр хөшүүргээр) дамжуулж байхаар зүсэх хавтгайг зурцгаая. Доорх зурган дээр та энэ хэсгийн гурван үзэл бодол, бодит дүр төрхийг харж болно.

Энэ налуу хэсгийн байгалийн үзэмжийг бий болгохыг хичээцгээе. Хэсгийн тэнхлэгээс дахин эхэлье: үндсэн зураг дээр заасан огтлолын хавтгайтай параллель зур. Үүн дээр бид хэсгийн уртыг тусгаарлав A-E-тэй тэнцүү. А цэг нь тухайн хэсгийн хэсэг рүү орох цэг, тодорхой тохиолдолд уг хэсгийн суурь руу орох цэг юм. Суурийн цэгээс гарах цэг нь В цэг. Хэсгийн тэнхлэгт В цэгийг тэмдэглэе. Үүний нэгэн адил бид оролт-гаралтын цэгүүдийг ирмэг, "тоосго" болон хоёр дахь ирмэг хүртэл тэмдэглэнэ. Тэнхлэгт перпендикуляр А ба В цэгүүдээс бид суурийн өргөнтэй тэнцүү сегментүүдийг (тэнхлэгийн тал бүр дээр, 40, зөвхөн 80 мм) тусгаарлана. Холбох туйлын цэгүүд- бид тэгш өнцөгтийг олж авдаг бөгөөд энэ нь тухайн хэсгийн суурийн хэсгийн байгалийн үзэмж юм.

Одоо хэсгийн ирмэгийн хэсэг болох хэсэг хэсгийг барих цаг болжээ. В ба С цэгүүдээс бид чиглэл бүрт 5 мм-ийн перпендикуляруудыг салгана - бид 10 мм-ийн сегментийг авах болно. Хэт цэгүүдийг холбож, хавирганы хөндлөн огтлолыг авна.

C ба D цэгүүдээс бид "тоосго" -ын өргөнтэй тэнцэх перпендикуляр сегментүүдийг салгана - энэ хичээлийн эхний жишээтэй бүрэн төстэй.

D ба E цэгүүдийн перпендикуляруудыг хоёр дахь ирмэгийн өргөнтэй тэнцүү болгож, туйлын цэгүүдийг холбосноор бид түүний хэсгийн байгалийн дүр төрхийг олж авна.

Үүссэн хэсгийн бие даасан элементүүдийн хоорондох холбогчийг арчиж, ангаахай хийх хэвээр байна. Та иймэрхүү зүйлийг авах ёстой:

Хэрэв өгөгдсөн хэсгийн дагуу бид зургийг хуваавал дараах дүр төрхийг харах болно.

Алгоритмын тайлбарын уйтгартай догол мөрүүд таныг айлгахгүй гэж найдаж байна. Хэрэв та дээрх бүгдийг уншсан ч бүрэн ойлгоогүй байгаа бол хөндлөн огтлолыг хэрхэн зурах, Би танд гартаа цаас, харандаа авч, миний дараа бүх алхмуудыг давтахыг зөвлөж байна - энэ нь танд материалыг сурахад бараг 100% туслах болно.

Нэг удаа би энэ нийтлэлийг үргэлжлүүлнэ гэж амласан. Эцэст нь би та бүхэнд гэрийн даалгаврын түвшинд ойртсон хэсгийн ташуу хэсгийг алхам алхмаар бүтээх ажлыг танилцуулахад бэлэн байна. Түүнээс гадна, ташуу хэсгийг гурав дахь харагдацаар тодорхойлсон (ташуу хэсгийг зүүн талд тодорхойлсон)

эсвэлБидний утасны дугаарыг бичээд найзууддаа бидний тухай хэлээрэй - магадгүй хэн нэгэн зураг зурах арга хайж байгаа байх

эсвэлӨөрийн хуудас эсвэл блог дээрээ бидний хичээлийн талаар тэмдэглэл хийвэл өөр хэн нэгэн зургийг эзэмших боломжтой болно.

Тийм ээ, бүх зүйл сайхан байна, гэхдээ би ижил зүйлийг илүү төвөгтэй хэсэгт, жишээлбэл, ховил, конус хэлбэрийн нүхтэй хэрхэн хийхийг хармаар байна.

Баярлалаа. Гэхдээ тайралт дээр хатууруулагч нь ангаахай биш гэж үү?
Яг. Тэд бол ангаахай гаргадаггүй хүмүүс юм. Учир нь тэд ерөнхий дүрэмзүсэлт хийх. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь ихэвчлэн аксонометрийн төсөөлөлд зүсэлт хийх үед гарч ирдэг - изометр, диметр гэх мэт. Налуу хэсгүүдийг гүйцэтгэхдээ хөшүүрэгтэй холбоотой хэсгийг мөн сүүдэрлэдэг.

Баярлалаа маш хүртээмжтэй. Ташуу хэсгийг дээд талаас нь хийж болох уу, эсвэл зүүн талаас нь хийж болох уу, хэрэв тийм бол би хамгийн энгийн жишээг хармаар байна.

Ийм зүсэлт хийх боломжтой. Гэвч харамсалтай нь надад яг одоо жишээ алга. Бас өөр нэг байна сонирхолтой цэг: нэг талаас, тэнд шинэ зүйл байхгүй, гэхдээ нөгөө талаас практик дээр ийм хэсгүүдийг зурах нь үнэхээр хэцүү байдаг. Зарим шалтгааны улмаас бүх зүйл толгойд эргэлзэж эхэлдэг бөгөөд ихэнх оюутнууд хүндрэлтэй байдаг. Гэхдээ битгий бууж өг!

Тийм ээ, бүх зүйл сайхан байна, гэхдээ би ижил зүйл хэрхэн хийгдсэнийг харахыг хүсч байна, гэхдээ нүхтэй (давуу болон дамждаггүй), эс тэгвээс тэд хэзээ ч миний толгойд эллипс болж хувирдаггүй.

нарийн төвөгтэй асуудалд надад туслаач

Та энд бичсэн нь харамсалтай. Бид шуудангаар бичих болно - магадгүй бид бүх зүйлийг ярилцах цаг гаргаж болох юм.

Та сайн тайлбарлаж байна. Хэсгийн нэг тал нь хагас дугуй хэлбэртэй байвал яах вэ? Мөн хэсэг нь нүхтэй байдаг.

Илья, "Налуу хавтгайгаар цилиндрийн зүсэлт" дүрслэх геометрийн хэсгээс хичээлийг ашигла. Үүний тусламжтайгаар та нүхнүүд (үнэндээ тэд цилиндр юм) болон хагас дугуй талтай юу хийхээ олж мэдэх боломжтой.

Нийтлэл бичсэн зохиолчид баярлалаа!Товч бөгөөд ойлгомжтой.20 жилийн өмнө би өөрөө шинжлэх ухааны боржин чулууг хазаж байсан бол одоо хүүдээ тусалж байна. Би маш их мартсан, гэхдээ таны нийтлэл энэ сэдвийн талаархи үндсэн ойлголтыг өгсөн. Би цилиндрийн налуу хэсгийг авч үзэх болно)

Сэтгэгдэлээ нэмнэ үү.

Планиметрийн аксиомууд:

Төрөл бүрийн сурах бичгүүдэд шугам, хавтгайн шинж чанарыг аксиом, түүний үр дагавар, теорем, лемма гэх мэт хэлбэрээр янз бүрээр илэрхийлж болно. Сурах бичгийг авч үзье Pogorelov A.V.

Шулуун шугам нь онгоцыг хоёр хагас хавтгайд хуваана.

Аль ч хагас шугамаас өгөгдсөн хагас хавтгай хүртэлх өнцгийг өгөгдсөн цэгээс буулгаж болно градусын хэмжүүр, 180-аас бага 0 , зөвхөн нэг.

Ямар ч гурвалжин өгөгдсөн байрлалд өгөгдсөн хагас шугамтай тэнцүү гурвалжин бий.

Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель хавтгайд хамгийн ихдээ нэг шулуун зурж болно.

Стереометрийн аксиомууд:

Ямар ч хавтгай энэ хавтгайд хамаарах цэгүүд, энэ хавтгайд хамаарахгүй цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг.

Хэрэв хоёр өөр онгоц нийтлэг цэгтэй бол энэ цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцоно.

Хэрэв хоёр өөр шугам нь нийтлэг цэгтэй бол тэдгээрийн дундуур онгоц, үүнээс гадна зөвхөн нэгийг зурж болно.

Ямар ч шулуун, энэ шулуунд хамаарах цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг.

Дурын хоёр цэгээр дамжуулан та зөвхөн нэг шугам зурж болно.

Шулуун дээрх гурван цэгийн нэг нь нөгөө хоёрын дунд оршдог.

Сегмент бүр нь тэгээс илүү тодорхой урттай байдаг. Сегментийн урт нь түүний аль нэг цэгт хуваагдсан хэсгүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хавтгайд хамаарах шулуун шугам нь энэ хавтгайг хоёр хагас хавтгайд хуваана.

Өнцөг бүр нь тэгээс илүү тодорхой хэмжүүртэй байдаг. Шулуун өнцөг нь 180 байна 0 . Өнцгийн градусын хэмжүүр нь түүний талуудын хооронд дамжих аливаа цацрагт хуваагдсан өнцгийн градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхлэх цэгээс аль ч хагас шугам дээр та өгөгдсөн урттай сегментийг зөвхөн нэгийг нь тавьж болно.

Түүнийг агуулсан хавтгай дээрх хагас шугамаас өгөгдсөн хэмжигдэхүүн нь 180-аас бага өнцгийг өгөгдсөн хагас хавтгайд зурж болно. 0 , зөвхөн нэг.

Ямар ч гурвалжин байхаас үл хамааран өгөгдсөн хавтгайд тухайн хавтгайд өгөгдсөн хагас шугамтай харьцуулахад өгөгдсөн байршилд тэнцүү гурвалжин байна.

Хавтгайд өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй өгөгдсөн цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай хамгийн ихдээ нэг параллель шулуун зурж болно.

хөндлөн огтлол

Сансар огторгуйд хоёр дүрс, бидний хувьд, хавтгай ба олон өнцөгт нь дараахь харилцан зохицуулалттай байж болно: огтлолцохгүй, нэг цэг дээр огтлолцох, шулуун шугамаар огтлолцох ба онгоц нь олон өнцөгтийг дотор нь огтолж байна (Зураг 1). , мөн нэгэн зэрэг дараах тоонуудыг бүрдүүлнэ.

a) хоосон зураг ( огтлолцохгүй)

б) цэг

в) зүсэх

г) олон өнцөгт

Хэрэв олон өнцөгт ба хавтгайн огтлолцол дээр олон өнцөгт байвал энэ олон өнцөгт байнахавтгайтай олон өнцөгтийн огтлол гэж нэрлэдэг .

1-р зураг

Тодорхойлолт. хөндлөн огтлол орон зайн бие (жишээлбэл, полиэдрон) нь биеийг хавтгайтай огтлолцох үед олж авсан дүрс юм.

огтлох онгоц олон өнцөгт Хоёр талдаа өгөгдсөн олон өнцөгтийн цэгүүд байгаа дурын хавтгайг нэрлэе.

Онгоц нь олон өнцөгтийг дотоод хэсэгт нь огтолж байгаа тохиолдолд л бид авч үзэх болно. Энэ тохиолдолд энэ онгоцны олон талт нүүр тус бүртэй огтлолцох хэсэг нь тодорхой сегмент байх болно.

Хэрэв онгоцууд шулуун шугамаар огтлолцсон бол шулуун шугам гэж нэрлэдэгЭдгээр онгоцны нэгээс нөгөө онгоц руу.

Ерөнхий тохиолдолд олон өнцөгтийн зүсэгч хавтгай нь түүний нүүр тус бүрийн хавтгайг (мөн энэ олон өнцөгтийн бусад таслагч хавтгай) огтлолцдог. Энэ нь мөн олон өнцөгтийн ирмэгүүд байрлах шугам бүрийг огтолдог.

Таслагч хавтгай нь олон өнцөгтийн аль ч нүүрний хавтгайг огтолж буй шугамыг гэнэ.огтлох хавтгайг дагаж Энэ нүүрний хавтгай дээр, олон өнцөгтийн аль нэг ирмэгийг агуулсан шугамыг таслагч хавтгай огтлолцох цэгийг гэнэ.огтлох хавтгайг дагаж дээрэнэ шулуун шугам. Энэ цэг нь мөн зүсэх хавтгай дээрх шулуун шугамын ул мөр юм. Хэрэв зүсэх хавтгай нь олон талт гадаргуутай шууд огтлолцдог бол бид нүүрэн дээрх зүсэх онгоцны ул мөр, мөн үүнтэй адил тухай ярьж болно.олон өнцөгтийн ирмэг дээр зүсэх онгоцны ул мөр, өөрөөр хэлбэл огтлох хавтгай дээрх ирмэгийн ул мөр.

Шулуун шугам нь хоёр цэгээр өвөрмөц тодорхойлогддог тул өөр ямар ч хавтгай, ялангуяа олон өнцөгтийн аль ч нүүрний хавтгай дээрх таслагч хавтгайн ул мөрийг олохын тулд хавтгайн хоёр нийтлэг цэгийг байгуулахад хангалттай.

Таслагч хавтгайн ул мөрийг бүтээх, түүнчлэн энэ хавтгайгаар олон өнцөгтийн зүсэлтийг барихын тулд зөвхөн олон өнцөгт төдийгүй зүсэгч хавтгайг зааж өгөх шаардлагатай. Мөн огтлолын хавтгайг барих нь энэ онгоцны даалгавраас хамааран явагддаг. Хавтгай, ялангуяа таслагч хавтгайг тодорхойлох үндсэн аргууд нь дараах байдалтай байна.

нэг шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг;

шулуун шугам ба түүн дээр хэвтээгүй цэг;

хоёр зэрэгцээ шугам;

огтлолцсон хоёр шугам;

цэг ба хоёр огтлолцох шугам;

Таслах хавтгайг тодорхойлох өөр аргууд байдаг.

Тиймээс олон талт хэсгүүдийг барих бүх аргыг аргуудад хувааж болно.

Полиэдрийн хэсгүүдийг барих арга

Стереометрийн олон талт хэсгүүдийн аргыг барилгын асуудалд ашигладаг. Энэ нь олон өнцөгтийн хэсгийг барьж, хэсгийн төрлийг тодорхойлох чадвар дээр суурилдаг.

Олон талт хэсгүүдийг бүтээх гурван үндсэн арга байдаг.

Аксиоматик арга:

мөрдөх арга.

Хосолсон арга.

координатын арга.

Анхаарна уу ул мөрийн арга ба туслах хэсгүүдийн арга нь сорт юмХэсэг барих аксиоматик арга.

Мөн бид олон талт хэсгүүдийг барих дараах аргуудыг ялгаж салгаж болно.

өгөгдсөн хавтгайтай параллель өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар олон өнцөгтийн огтлолыг барих;

өгөгдсөн шугамаар өөр өгөгдсөн шугамтай параллель өнгөрөх хэсгийг барих;

өгөгдсөн хоёр хазайсан шугамтай параллель өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хэсгийг барих;

өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн шугамаар дамжин өнгөрөх хавтгайгаар олон өнцөгтийн хэсгийг барих;

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар олон өнцөгтийн огтлолыг барих.

Хэсэг барих аргуудыг бүрдүүлдэг гол үйлдлүүд нь шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийг олох, хоёр хавтгайн огтлолцох шугамыг барих, хавтгайд перпендикуляр хавтгайд параллель шулуун шугам барих явдал юм. Хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун шугамыг барихын тулд ихэвчлэн түүний хоёр цэгийг олж, тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татдаг. Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийг байгуулахын тулд өгөгдсөнтэй огтлолцох хавтгайн шулууныг ол. Дараа нь олсон шугамын өгөгдсөн шугамтай огтлолцох хэсэгт хүссэн цэгийг авна.

Бид тусад нь жагсаасан авч үзьеПолиэдрийн хэсгүүдийг барих аргууд:

мөрдөх арга.

мөрдөх арга нь стереометрийн аксиомууд дээр суурилдаг (ажиллагддаг) бөгөөд аргын мөн чанар нь туслах шугамыг барихад оршино, энэ нь зүсэх хавтгайг зургийн аль ч нүүрний хавтгайтай огтлолцох шугамын дүрс юм. Доод суурийн хавтгайтай огтлох хавтгай огтлолцох шугамын зургийг бүтээх нь хамгийн тохиромжтой. Энэ мөрогтлох онгоцны гол ул мөр гэж нэрлэдэг . Ул мөрийг ашиглан зургийн хажуугийн ирмэг эсвэл нүүрэн дээр байрлах зүсэх онгоцны цэгүүдийн зургийг бүтээхэд хялбар байдаг. Эдгээр цэгүүдийн зургийг тууштай холбосноор бид хүссэн хэсгийн зургийг олж авдаг.

Анхаарна уу таслагч хавтгайн үндсэн ул мөрийг бүтээхдээ дараах мэдэгдлийг ашиглана.

Хэрэв цэгүүд нь таслагч хавтгайд хамаарах бөгөөд нэг шулуун дээр хэвтэхгүй бол тэдгээрийн гол гэж сонгосон хавтгай дээрх проекц (төв эсвэл параллель) нь тус тус цэг болно. дараа нь харгалзах шугамын огтлолцлын цэгүүд, өөрөөр хэлбэл нэг шулуун дээр байрлах цэгүүд (Зураг 1, a, b).

зураг.1.а зураг.1.б

Энэ шугам нь огтлох онгоцны гол ул мөр юм. Цэгүүд гол мөр дээр байрладаг тул үүнийг байгуулахын тулд эдгээр гурван цэгийн хоёрыг олоход хангалттай.

Туслах хэсгүүдийн арга.

Полиэдрагийн хэсгүүдийг барих энэ арга нь хангалттай түгээмэл байдаг. Зүсэх онгоцны хүссэн ул мөр (эсвэл ул мөр) нь зургийн гадна байгаа тохиолдолд энэ арга нь тодорхой давуу талтай байдаг. Үүний зэрэгцээ, энэ аргыг ашиглан гүйцэтгэсэн барилга байгууламж нь ихэвчлэн "бөглөрдөг" байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд туслах хэсгүүдийн арга нь хамгийн оновчтой болж хувирдаг.

Хосолсон арга

Олон талт хэсгүүдийг бүтээх хосолсон аргын мөн чанар нь орон зай дахь шулуун ба хавтгайн параллелизмын теоремуудыг аксиоматик аргатай хослуулан хэрэглэх явдал юм.

Хэсэг барих координатын арга.

Координатын аргын мөн чанар нь хавтгайн тэгшитгэлээр өгөгдсөн ирмэгийн огтлолцлын цэгүүд эсвэл хөндлөн огтлолцсон хавтгай бүхий олон өнцөгтийн координатыг тооцоолох явдал юм. Хэсгийн хавтгайн тэгшитгэлийг асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тооцно.

Анхаарна уу Полиэдрон хэсгийг бүтээх энэ аргыг компьютерт ашиглах боломжтой, учир нь энэ нь их хэмжээний тооцоололтой холбоотой тул энэ аргыг компьютер ашиглан хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна.

Бидний гол ажил бол олон өнцөгтийн хэсгийг хавтгайгаар бүтээх явдал юм. эдгээр хоёр олонлогийн огтлолцлыг барихад.

Олон өнцөгтийн хэсгүүдийг барих

Юуны өмнө гүдгэр олон өнцөгтийн огтлол нь гүдгэр хавтгай олон өнцөгт гэдгийг бид тэмдэглэж, ерөнхий тохиолдолд оройнууд нь олон өнцөгтийн ирмэг ба хажуу талуудтай зүсэгч хавтгайн огтлолцох цэгүүд юм.

Хэсэг үүсгэх жишээ:

Хэсгийг тодорхойлох олон янзын арга байдаг. Эдгээрээс хамгийн түгээмэл нь огтлох хавтгайг нэг шулуун дээр хэвтдэггүй гурван цэгээр тодорхойлох арга юм.

Жишээ 1 ABCDA хайрцагны хувьд 1 Б 1 C 1 Д 1 . M, N, L цэгүүдийг дайран өнгөрөх хэсгийг байгуул.

Шийдэл:

АА хавтгайд байрлах M ба L цэгүүдийг холбоно 1 Д 1 Д.

ML (хэсэгт хамаарах) шугамыг А ирмэгтэй огтолно 1 Д 1 1 Д 1 D. X цэгийг авна 1 .

X1 цэг нь А ирмэг дээр байрладаг 1 Д 1 , улмаар онгоцууд А 1 Б 1 C 1 Д 1 , нэг хавтгайд байрлах N цэгтэй холбоно.

X 1 N нь А ирмэгийг огтолно 1 Б 1 К цэг дээр.

Нэг АА хавтгайд байрлах K ба M цэгүүдийг холбоно 1 Б 1 б.

Хэсгийн хавтгайг DD хавтгайтай огтлолцох шугамыг ол 1 C 1 C:

ML шугамыг (хэсэгт хамаарах) DD ирмэгтэй огтолно 1 , тэд АА нэг хавтгайд хэвтэж байна 1 Д 1 D, X цэгийг авна уу 2 .

KN (хэсэгт хамаарах) шугамыг D ирмэгтэй огтолцгооё 1 C 1 , тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна A 1 Б 1 C 1 Д 1 , бид X3 цэгийг авдаг;

X2 ба X3 цэгүүд нь DD хавтгайд байрладаг 1 C 1 C. X шугамыг зур 2 X 3 C ирмэгийг огтолж байгаа 1 T цэг дээр C, P цэг дээр DC ирмэг. Мөн ABCD хавтгайд байрлах L ба P цэгүүдийг холбоно.

Тиймээс, бидний хийсэн олон өнцөгтийн нүүрийг хавтгай огтолж буй бүх сегментүүд олдвол асуудал шийдэгдсэн гэж үзнэ. MKNTPL - хүссэн хэсэг.

Анхаарна уу. Зэрэгцээ хавтгайн өмчийг ашиглан хэсэг барих ижил ажлыг шийдэж болно.

Дээрхээс бид энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм (дүрэм) зохиож болно.

Полиэдрагийн хэсгүүдийг барих дүрэм:

Жишээ 2 ДЛ, М

Бид аксиоматик аргаар шийддэг.

Туслах хавтгай зурDKM, энэ нь AB ба ВС ирмэгийг E цэгээр огтолж,Ф(шийдлийн явцыг 2-р зурагт үзүүлэв). Энэ туслах хавтгай дээр огтлолын хавтгайн CM-ийн "мөр"-ийг байгуулъя, CM ба E-ийн огтлолцлын цэгийг олъё.Ф- цэг P. P цэг, түүнчлэнЛ, ABC хавтгайд байрладаг бөгөөд огтлолын хавтгай нь ABC хавтгайтай огтлолцох шулуун шугамыг зурах боломжтой (АВС хавтгай дахь хэсгийн "мөр").

Жишээ 3 MABCD пирамидын AB ба AD ирмэгүүд дээр бид P ба Q цэгүүдийг тус тус, эдгээр ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг, MC ирмэг дээр R цэгийг тогтооно. Пирамидын зүсэлтийг хавтгайгаар өнгөрч үзье. P, Q, R цэгүүдээр дамжуулан.

Шийдэл нь хосолсон аргаар явагдана:

1). PQR онгоцны гол ул мөр нь PQ шугам болох нь тодорхой байна.

2). MAC хавтгай PQ шулуунтай огтлолцох K цэгийг ол. K ба R цэгүүд нь PQR болон MAC хавтгайд хамаарна. Тиймээс KR шулуун шугамыг зурснаар бид эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг олж авна.

3). N=AC BD цэгийг олоод MN шулууныг зураад F=KR MN цэгийг олъё.

4). F цэг нийтлэг цэг PQR ба MDB онгоцууд, өөрөөр хэлбэл эдгээр онгоцууд нь F цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцоно. Үүний зэрэгцээ PQ нь ABD гурвалжны дунд шугам тул PQ нь BD-тэй параллель байна, өөрөөр хэлбэл PQ шулуун нь мөн адил байна. MDB хавтгайтай зэрэгцээ. Дараа нь PQ шулууныг дайран өнгөрөх PQR хавтгай нь MDB хавтгайг PQ шулуунтай параллель, өөрөөр хэлбэл BD шулуунтай параллель шугамын дагуу огтолно. Иймд MDB хавтгайд F цэгээр дамжин BD шулуунтай параллель шугам татна.

5). Цаашдын бүтээн байгуулалтууд зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Үүний үр дүнд бид шаардлагатай хэсэг болох PQD "RB" олон өнцөгтийг авдаг

Призмийн хэсгүүдийг авч үзье энгийн, өөрөөр хэлбэл логик сэтгэлгээний тав тухыг хангахын тулд кубын хэсгүүдийг авч үзье (Зураг 3.a):

Цагаан будаа. 3.а

Призмийн хажуугийн ирмэгүүдтэй параллель хавтгайн хэсгүүд нь параллелограммууд юм. Ялангуяа диагональ хэсгүүд нь параллелограммууд юм (Зураг 4).

Def. диагональ хэсэг призм нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн огтлол юм.

Призмийн диагональ огтлолын үр дүнд үүссэн олон өнцөгт нь параллелограмм юм. Диагональ хэсгүүдийн тооны талаархи асуултn-Өнцгийн призм нь диагональуудын тооны асуултаас илүү хэцүү байдаг. Суурийн диагональтай адил олон хэсэг байх болно. Гүдгэр призм нь суурин дээрээ гүдгэр олон өнцөгттэй байдаг бол гүдгэр призмийг бид мэднэn- диагональуудын өнцөг. Тиймээс бид диагональ хэсгүүдийн хоёр дахин олон диагональ хэсгүүдтэй гэж хэлж болно.

Жич: Зураг дээрх параллелепипедийн хэсгүүдийг барихдаа хэрвээ зүсэх хавтгай нь зарим сегментийн дагуу хоёр эсрэг талын нүүрийг огтолж байгаа бол эдгээр сегментүүд нь параллелепипедийн шинж чанараар параллель байна гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

Бид байнга асуудаг асуултуудын хариултыг өгдөг:

Кубын огтлолд ямар олон өнцөгтийг хавтгайгаар олж авдаг вэ?

"гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт".

Кубын хавтгай хөндлөн огтлол нь долоон өнцөгт үүсгэж чадах уу? Тэгээд найман өнцөгт үү?

"чадахгүй".

3) Хавтгайтай олон өнцөгтийн огтлолоор олж авсан олон өнцөгтийн хамгийн олон тал нь хэд вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Хамгийн том тооОлон өнцөгтийн талууд нь олон өнцөгтийн хэсэгт хавтгайгаар олдсон олон өнцөгтийн нүүрний тоотой тэнцүү байна. .

Жишээ 3 А призмийн хэсгийг байгуул 1 Б 1 C 1 Д 1 M, N, K гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцоор ABCD.

Призмийн гадаргуу дээрх M, N, K цэгүүдийн байршлыг авч үзье (Зураг 5).

Тохиолдолд авч үзье: Энэ тохиолдолд M1 = B1 байх нь ойлгомжтой.

Барилга:

Жишээ 4 ABCDA параллелепипедийн хэсгийг байгуул 1 Б 1 C 1 Д 1 M, N, P цэгүүдээр дамжин өнгөрөх онгоц (цэгүүдийг зураг дээр зааж өгсөн болно (Зураг 6)).

Шийдэл:

Цагаан будаа. 6

N ба P цэгүүд нь огтлолын хавтгайд ба параллелепипедийн доод суурийн хавтгайд байрладаг. Эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамыг байгуулъя. Энэ шугам нь параллелепипедийн суурийн хавтгай дээрх таслагч онгоцны ул мөр юм.

Параллелепипедийн AB тал байрлах шугамыг үргэлжлүүлье. AB ба NP шулуунууд S цэг дээр огтлолцоно. Энэ цэг нь огтлолын хавтгайд хамаарна.

М цэг нь мөн огтлолын хавтгайд хамаарах ба АА шулуунтай огтлолцдог тул 1 хэзээ нэгэн цагт x.

X ба N цэгүүд нь АА нүүрний нэг хавтгайд байрладаг 1 Д 1 D, тэдгээрийг холбож, XN шугамыг аваарай.

Параллелепипедийн нүүрний хавтгайнууд параллель байдаг тул А нүүрний M цэгээр шулуун шугам татах боломжтой. 1 Б 1 C 1 Д 1 NP шугамтай зэрэгцээ. Энэ шугам нь B талыг огтолно 1 ХАМТ 1 Y цэг дээр.

Үүний нэгэн адил бид XN шугамтай зэрэгцээ YZ шугамыг зурна. Бид Z-г P-тэй холбож, хүссэн хэсгийг авна - MYZPNX.

Пирамидын дээд хэсгийг дайран өнгөрч буй онгоцнуудын хэсгүүд нь гурвалжин юм. Ялангуяа диагональ хэсгүүд нь гурвалжин юм. Эдгээр нь пирамидын хоёр зэргэлдээ бус хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрч буй хавтгай хэсгүүд юм.

Жишээ 4 ABC пирамидын хэсгийг байгуулДK цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоц,Л, М.

Шийдэл:

Нэг жишээг өөрөөр шийдье. .

K цэгүүдийн хувьд гэж үзье.Л, ба М хэсэгKLNM(Зураг 7). -ээр тэмдэглээрэйФдөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцлын цэгKLNM. Шулуун шугам зурцгааяД.Ф.гэж тэмдэглэнэФ 1 түүний ABC нүүртэй огтлолцох цэг. ЦэгФ 1 AM ба SK шугамуудын огтлолцох цэгтэй давхцаж байна (Ф 1 нэгэн зэрэг AM онгоцуудад хамаарнаДТэгээдДSC). цэгФ 1 барихад хялбар. Дараа нь бид цэг байгуулнаФогтлолцох цэг болгонД.Ф. 1 ТэгээдБИ БОЛ. Дараа нь бид цэгийг олох болноН.

авч үзсэн арга гэж нэрлэдэгдотоод дизайны арга . (Бидний хэргийн хувьд бид ярьж байнатөвийн дизайны талаар. дөрвөн өнцөгтКISA нь дөрвөн өнцөгтийн төсөөлөл юмKMNLнэг цэгээсД. Энэ тохиолдолд диагональуудын огтлолцлын цэгKMNL- цэгФ- дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын огтлолцох цэг рүү очноКISA - цэгФ 1 .

Олон өнцөгтийн огтлолын талбай.

Олон өнцөгтийн хөндлөн огтлолын талбайг тооцоолох асуудлыг ихэвчлэн хэд хэдэн үе шаттайгаар шийддэг. Хэрэв асуудал нь тухайн хэсгийг барьсан (эсвэл огтлох хавтгайг зурсан гэх мэт) гэж хэлсэн бол шийдлийн эхний шатанд тухайн хэсэгт олж авсан зургийн хэлбэрийг олж мэдэх болно.

Хөндлөн огтлолын талбайг тооцоолох тохиромжтой томъёог сонгохын тулд үүнийг хийх ёстой. Хэсэгт олж авсан зургийн хэлбэрийг тодруулж, энэ зургийн талбайг тооцоолох томъёог сонгосны дараа шууд тооцооллын ажилд орно.

Зарим тохиолдолд, энэ хэсэгт олж авсан зургийн хэлбэрийг олж мэдээгүй бол теоремоос үүссэн томъёог ашиглан түүний талбайг нэн даруй тооцоолоход хялбар байх болно.

Олон өнцөгтийн ортогональ проекцын талбайн тухай теорем: Олон өнцөгтийн хавтгай дээрх ортогональ проекцын талбай нь түүний талбайн үржвэр ба олон өнцөгт ба проекцын хавтгай хоорондын өнцгийн косинустай тэнцүү байна: .

Хөндлөн огтлолын талбайг тооцоолох хүчинтэй томьёо нь: тухайн хэсэгт олж авсан зургийн ортогональ проекцын талбай нь хаана байна, энэ нь зүсэлтийн хавтгай ба дүрсийг харуулсан хавтгай хоорондын өнцөг юм. Ийм шийдлийн тусламжтайгаар тухайн хэсэгт олж авсан зургийн ортогональ проекцийг барьж, тооцоолох шаардлагатай.

Хэрэв асуудлын нөхцөл нь тухайн хэсгийг барих шаардлагатай бөгөөд олж авсан хэсгийн талбайг олох шаардлагатай гэж үзвэл эхний шатанд өгөгдсөн хэсгийг барьж, дараа нь мэдээжийн хэрэг хэлбэрийг тодорхойлох нь зүйтэй юм. хэсэгт олж авсан зураг гэх мэт.

Бид дараах баримтыг тэмдэглэж байна: гүдгэр олон талт хэсгүүдийн хэсгүүд баригдсан тул олон өнцөгт зүсэлт нь мөн гүдгэр байх тул түүний талбайг гурвалжинд хуваах замаар олж болно, өөрөөр хэлбэл огтлолын талбай нь талбайн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. бүрдсэн гурвалжингууд.

Даалгавар 1.

– зөв гурвалжин пирамидСуурийн тал нь өндөртэй тэнцүү ба Пирамидын зүсэлтийг хажуугийн дунд цэг нь цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар барьж, талбайг ол (Зураг 8).

Шийдэл.

Пирамидын хөндлөн огтлол нь гурвалжин юм. Түүний талбайг олъё.

Пирамидын суурь нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд цэг нь хажуугийн дунд цэг тул өндөр, дараа нь, .

Гурвалжны талбайг дараахь байдлаар олж болно.

Даалгавар 2.

Хажуугийн хавиргаэнгийн призм нь суурийн талтай тэнцүү байна. Нэг цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар призмийн хэсгүүдийг байгуулА, шугаманд перпендикуляр Хэрэв та призмийн үүссэн хэсгийн талбайг олвол.

Шийдэл.

Өгөгдсөн хэсгийг бүтээцгээе. Үүнийг цэвэр геометрийн үүднээс авч үзье, жишээлбэл, дараах байдлаар.

Өгөгдсөн шулуун ба өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайд бид энэ цэгээр дамжуулан шулуунтай перпендикуляр шугамыг зурна (Зураг 9). Энэ зорилгоор гурвалжинд байгаа баримтыг ашиглацгаая өөрөөр хэлбэл, түүний медиан нь мөн энэ гурвалжны өндөр юм. Тиймээс шулуун шугам.

Цэгээр дамжуулан бид шугаманд перпендикуляр өөр шугам зурдаг. Жишээлбэл, шулуун шугамаар дамжин өнгөрөх хавтгайд зурцгаая. Энэ шугам нь шугам гэдэг нь тодорхой

Тиймээс шугамд перпендикуляр хоёр огтлолцсон шугамыг байгуулав. Эдгээр шугамууд нь шулуунтай перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл таслагч хавтгай өгөгдсөн.

Энэ хавтгайгаар бид призмийн хэсгийг байгуулна. Шугам нь хавтгайтай параллель байгаа тул анхаарна уу. Дараа нь шугамыг дайран өнгөрөх онгоц нь шулуунтай параллель шугамын дагуу, өөрөөр хэлбэл шугамыг огтолно. Цэгээр шулуун шугам зурж, үүссэн цэгийг цэгээр холбоно.

Дөрвөлжин өгөгдсөн хэсэг. Түүний талбайг тодорхойлъё.

Дөрвөн өнцөгт нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл түүний талбай гэдэг нь тодорхой байна

будаа. 9

ЗУРАГ ДЭЭР ХЭСЭГ, ХЭСЭГ БАРИЛГАХ

Хэсгийн зургийг шаардлагатай проекц, зүсэлт, зүслэгийг дараалан нэмэх замаар үүсгэнэ. Эхний ээлжинд хэрэглэгчийн тодорхойлсон загвараар захиалгат харагдац бүтээгдэх ба загварын чиг баримжаа нь үндсэн үзвэрт хамгийн сайн тохирохоор тохируулагдана. Цаашилбал, энэ болон дараах төрлүүдэд шаардлагатай зүсэлт, хэсгүүдийг бий болгодог.

Үндсэн дүр төрхийг (урд талын харагдах байдал) тухайн хэсгийн хэлбэр, хэмжээсийн талаархи бүрэн санааг өгөх байдлаар сонгосон.

Зураг дээрх хэсгүүд

Зүсэх онгоцны байрлалаас хамааран дараахь төрлийн зүслэгийг ялгадаг.

A) хэрвээ огтлох хавтгай нь хэвтээ проекцын хавтгайтай параллель байвал хэвтээ;

B) босоо, хэрвээ огтлох хавтгай нь хэвтээ проекцын хавтгайд перпендикуляр байвал;

C) налуу - зүсэх хавтгай нь проекцын хавтгайд налуу байна.

Босоо хэсгүүдийг дараахь байдлаар хуваана.

· урд тал - зүсэх хавтгай нь урд талын проекцын хавтгайтай параллель байна;

· профиль - огтлох хавтгай нь профилын проекцын хавтгайтай параллель байна.
Таслах онгоцны тооноос хамааран зүсэлт нь:

· энгийн - нэг зүсэх онгоцтой (Зураг 107);

· цогцолбор - хоёр ба түүнээс дээш зүсэх онгоцтой (Зураг 108)
Стандарт нь дараахь төрлийн нарийн төвөгтэй зүслэгийг зааж өгдөг.

· шаталсан, таслагч онгоцууд параллель байх үед (Зураг 108 а) ба тасархай шугамууд - таслагч онгоцууд огтлолцох (Зураг 108 б)

Зураг.107 Энгийн зүсэлт

A) б)

Зураг.108 Цогцолбор зүсэлт

Зүсэлтийн тэмдэглэгээ

Энгийн хэсэгт зүсэгч хавтгай нь тухайн объектын тэгш хэмийн хавтгайтай давхцаж байгаа тохиолдолд уг хэсгийг заагаагүй болно (Зураг 107). Бусад бүх тохиолдолд хэсгүүдийг орос цагаан толгойн том үсгээр, А үсгээр, жишээлбэл, А-А-аар тэмдэглэнэ.

Зураг дээрх зүсэх онгоцны байрлалыг зүсэлтийн шугамаар - өтгөрүүлсэн задгай шугамаар зааж өгсөн болно. Нарийн төвөгтэй зүсэлтийн тусламжтайгаар зүсэлтийн шугамын гулзайлт дээр цус харвалт хийдэг. Харах чиглэлийг харуулсан сумыг эхний болон эцсийн цохилт дээр байрлуулж, сумнууд нь харвалтын гадна талын төгсгөлөөс 2-3 мм-ийн зайд байх ёстой. Харах чиглэлийг харуулсан сум бүрийн гадна талд ижил том үсгийг хэрэглэнэ.

Үүнтэй ижил товчлуурыг KOMPAS систем дэх зүсэлт, хэсгүүдийг тодорхойлоход ашигладаг Legend хуудсан дээр байрлах хэсгийн шугам (fig.109).

Зураг.109 Хэсгийн шугамын товчлуур

Хагас харагдацыг хагас хэсэг рүү холбох

Хэрэв харагдац ба хэсэг нь тэгш хэмтэй дүрсүүд байвал (Зураг 110) та үзэгдэх хэсгийн тал болон хэсгийн хагасыг хооронд нь холбож, тэгш хэмийн тэнхлэг болох зураастай нимгэн шугамаар тусгаарлаж болно. Хэсгийн хэсэг нь дүр төрхийг тухайн хэсгийн хэсгээс тусгаарлах тэгш хэмийн тэнхлэгийн баруун талд, эсвэл тэгш хэмийн тэнхлэгийн доор байрладаг. Харагдах байдал, хэсгийн холбогдсон хэсгүүдийн далд контурын шугамыг ихэвчлэн харуулдаггүй. Хэрэв харагдац ба зүсэлтийг тусгаарлах тэнхлэгийн шугам нь зарим шугамын проекцтой, жишээлбэл, нүүрэн талын дүрсийн ирмэгтэй давхцаж байвал дүрс ба зүсэлтийг тэгш хэмийн тэнхлэгийн зүүн талд зурсан цул долгионоор тусгаарлана. ирмэг нь дотоод гадаргуу дээр, эсвэл гадна талд байвал баруун талд байна.

Цагаан будаа. 110 Харагдах хэсэг болон хэсгийн холболт

Барилгын зүсэлт

Бид 111-р зурагт үзүүлсэн призмийн зургийг бүтээх жишээг ашиглан KOMPAS систем дэх хэсгүүдийн бүтцийг судлах болно.

Зургийн дараалал дараах байдалтай байна.

1. By өгөгдсөн хэмжээсүүдпризмийн хатуу загварыг бүтээцгээе (Зураг 109 б). Загварыг компьютерийн санах ойд "Призм" нэртэй файлд хадгалъя.

Зураг.112 Шугамын самбар

3. Профайлын хэсгийг барих (Зураг 113) шугам зурах хэсэг А-Атовчийг ашиглан үндсэн харагдац дээрТаслах шугам.

Зураг.113 Профайл хэсгийн барилгын ажил

Харах чиглэл болон тэмдэглэгээний текстийг дэлгэцийн доод хэсэгт байрлах командын тусламжтайгаар хяналтын самбар дээр сонгож болно (Зураг 114). Объект үүсгэх товчийг дарснаар хэсгийн шугамыг барьж дуусгана.

Зураг.114 Зүсэлт ба зүсэлт хийх командын удирдлагын самбар

4. Associative Views самбар дээр (Зураг 115) Cut line товчийг сонгоод дэлгэцэн дээр гарч ирэх хавхтай зүсэх шугамыг зааж өгнө. Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол (зүссэн шугамыг идэвхтэй харагдац дээр зурах ёстой), дараа нь зүссэн шугам улаан болж хувирна. А-А зүсэлтийн шугамыг зааж өгсний дараа дэлгэцэн дээр ерөнхий тэгш өнцөгт хэлбэртэй дүрс гарч ирнэ.

Зураг.115 Ассоциатив харах самбар

Property bar дээрх Cut/section шилжүүлэгчийн тусламжтайгаар зургийн төрлийг сонгоно - Cut (Зураг 116) болон харуулсан зүсэлтийн масштаб.

Зураг.116 Зүсэлт ба зүсэлт хийх командын удирдлагын самбар

Профайл хэсэг нь проекцын холболт болон стандарт тэмдэглэгээгээр автоматаар баригдана. Шаардлагатай бол проекцийн холболтыг унтраалгаар унтрааж болно Проекцийн холболт (Зураг 116).Үүсгэсэн хэсэгт (хэсэг) ашиглах ангаахай параметрүүдийг тохируулахын тулд Hatching таб дээрх удирдлагыг ашиглана уу.

Зураг.117 B-B хэвтээ хэсэг ба С-С хэсгийг барих

Хэрэв зүсэлтийг барихдаа сонгосон зүсэх хавтгай нь тухайн хэсгийн тэгш хэмийн хавтгайтай давхцаж байвал стандартын дагуу ийм зүсэлтийг заагаагүй болно. Гэхдээ хэрэв та зүгээр л хэсгийн тэмдэглэгээг арилгавал компьютерийн санах ойд байгаа харагдац болон хэсэг нь хоорондоо холбогдсон тул хэсэг бүхэлдээ устах болно. Тиймээс тэмдэглэгээг арилгахын тулд эхлээд үзэмж ба хэсэг хоорондын холболтыг устгах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хулганы зүүн товчийг дарж хэсгийг сонгоод дараа нь хулганы баруун товчийг дарж контекст цэсийг нээнэ үү, үүнээс Destroy view гэсэн зүйлийг сонгоно (Зураг 97). Хэсгийн тэмдгийг одоо устгаж болно.

5. Хэвтээ зүсэлт барихын тулд урд талын зураг дээрх нүхний доод хавтгайгаар B-B огтлолын шугам татъя. Урд талын харагдацыг эхлээд хулганы зүүн товчийг хоёр товшилтоор хийх ёстой. Дараа нь хэвтээ хэсэг баригдсан (Зураг 117).

6. Урд талын хэсгийг барихад үзэгдэх хэсэг болон хэсэг хэсэг нь нийцдэг, учир нь тэдгээр нь тэгш хэмтэй дүрсүүд юм. Призмийн гадна талын ирмэг нь харагдац ба зүсэлтийг тусгаарлах шугам руу чиглэсэн тул бид заагладаг. тэгш хэмийн тэнхлэгийн баруун талд зурсан хатуу нимгэн долгионт шугамын үзэмж ба зүсэлт, учир нь гадна хавирга. Товчлуур нь долгионтой шугам зурахад ашиглагддаг. For хайчлах шугамын хэв маягаар зурсан Геометрийн самбар дээр байрлах Безье муруй (Зураг 118). Безье муруй өнгөрөх цэгүүдийг дараалан зааж өгнө. Командын гүйцэтгэлийг дуусгахын тулд объект үүсгэх товчийг дарна уу.

Зураг.118 Завсарлагааны шугамын загварыг сонгох

Хэсэглэх

Хэсэг нь биетийг хавтгайгаар оюун ухаанаар задлах замаар олж авсан объектын дүрс юм. Хэсэг нь зөвхөн зүсэх хавтгайд юу байгааг харуулж байна.

Хэсэг үүссэн зүсэлтийн хавтгайн байрлалыг зураг дээр зүсэлтийн шугамаар зааж өгсөн болно.

Зурган дээрх байршлаас хамааран хэсгүүдийг сунгасан болон давхарласан гэж хуваана. Устгасан хэсгүүд нь ихэвчлэн зургийн чөлөөт талбар дээр байрладаг бөгөөд үндсэн шугамаар дүрслэгдсэн байдаг. Давхардсан хэсгүүдийг объектын зураг дээр шууд байрлуулж, нарийн шугамаар дүрсэлсэн (Зураг 119).

Зураг.119 Хэсэг барих

Өргөтгөсөн ташуу бүхий призмийн зураг зурах дарааллыг авч үзье Б-Б хэсэг(Зураг 117).

1. Харагдах байдал дээр хулганы зүүн товчийг давхар товшиж урд талын харагдах байдлыг идэвхжүүлж, товчлуураар зүсэлтийн шугам зурна. огтлох шугам . В-В гэсэн бичээсийн текстийг сонгоцгооё.

2. Хавх хэлбэрээр гарч ирэх Associative Views (Зураг 115) самбар дээр байрлах Cut line товчийг ашиглан таслах шугамыг заана уу. B-B онгоцууд. Property bar дээрх Cut/section свичийг ашиглан зургийн төрлийг сонгоно - Section (Зураг 116), харуулсан хэсгийн масштабыг Scale цонхноос сонгоно.

Баригдсан хэсэг нь проекцын харилцаанд байрладаг бөгөөд энэ нь зураг дээрх хөдөлгөөнийг хязгаарладаг боловч проекцын хамаарлыг товчлуурыг ашиглан унтрааж болно. проекцын холболт.

Дууссан зураг дээр зур төвийн шугамууд, шаардлагатай бол хэмжээсийг оруулна уу.

Олон өнцөгтийн хэсгүүдийг барих ажлыг гүйцэтгэдэг чухал газарахлах сургуулийн геометрийн хичээл болон янз бүрийн түвшний шалгалтанд. Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх нь стереоометрийн аксиомуудыг өөртөө шингээж авах, мэдлэг, ур чадварыг системчлэх, хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. орон зайн дүрслэлболон бүтээлч ур чадвар. Хэсэг барихтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд тулгарч буй бэрхшээлийг сайн мэддэг.

Аас бага насбид таналттай тулгарч байна. Бид талх, хиам болон бусад бүтээгдэхүүнийг огтолж, саваа эсвэл харандаагаар хутгаар таслав. Эдгээр бүх тохиолдолд таслагч онгоц нь хутганы хавтгай юм. Хэсэг (хэсэг хэсгүүд) нь өөр өөр байдаг.

Гүдгэр олон өнцөгтийн огтлол нь гүдгэр олон өнцөгт бөгөөд оройнууд нь олон өнцөгтийн ирмэгүүдтэй огтлолцох хавтгайн огтлолцох цэгүүд, талууд нь огтлох хавтгайтай огтлолцох шугамууд юм. нүүр царай.

Хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамыг барихын тулд эдгээр хавтгайн хоёр нийтлэг цэгийг олж, тэдгээрийн дундуур шугам татахад хангалттай. Энэ нь дараахь мэдэгдлүүд дээр үндэслэсэн болно.

1. шулуун шугамын хоёр цэг хавтгайд хамаарах бол шулуун бүхэлдээ энэ хавтгайд хамаарна;

2. хэрэв хоёр өөр хавтгай нийтлэг цэгтэй бол энэ цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцоно.

Би аль хэдийн хэлсэнчлэн олон талт хэсгүүдийн барилгыг стереометрийн аксиомууд ба шулуун ба хавтгайн параллелизмын теоремууд дээр үндэслэн хийж болно. Үүний зэрэгцээ олон талт хэлбэрийн хавтгай хэсгүүдийг барих тодорхой аргууд байдаг. Дараах гурван арга нь хамгийн үр дүнтэй байдаг.

мөрдөх арга

Дотоод дизайны арга

Хосолсон арга.

Геометрийн судалгаанд, ялангуяа түүний зургийг авч үзсэн хэсгүүдэд геометрийн хэлбэрүүд, геометрийн дүрсийн зургууд нь компьютерийн үзүүлэнг ашиглахад тусалдаг. Компьютерийн тусламжтайгаар геометрийн олон хичээлүүд илүү үзэгдэхүйц, динамик болдог. Аксиом, теорем, нотолгоо, бүтээх даалгавар, хэсэг байгуулах даалгавруудыг дэлгэцийн дэлгэцэн дээр дараалсан барилга байгууламжууд дагалдаж болно. Компьютерийн бүтээсэн зургийг хадгалж, бусад баримт бичигт буулгаж болно.

Би "Хэсэг барих" сэдвээр хэд хэдэн слайд үзүүлэхийг хүсч байна геометрийн биетүүд»

Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийг байгуулахын тулд өгөгдсөн шулууныг огтлолцох хавтгайн шулууныг ол. Дараа нь хүссэн цэг нь олсон шугамын өгөгдсөн шугамтай огтлолцох цэг юм. Үүнийг дараагийн слайдуудаас харцгаая.

Даалгавар 1.

DABC тетраэдрийн ирмэг дээр M ба N хоёр цэгийг тэмдэглэсэн; M GAD, N b DC. MN шулууны суурийн хавтгайтай огтлолцох цэгийг сонгоно.

Шийдэл: MN шулууны хавтгайтай огтлолцох цэгийг олохын тулд

суурь бид AC ба сегмент MN-ийг үргэлжлүүлнэ. Эдгээр шулуунуудын огтлолцох цэгийг X-ээр тэмдэглэцгээе. X цэг нь MN шулуун ба АС нүүрэнд хамаарах ба АС нь суурийн хавтгайд байрладаг нь X цэг нь суурийн хавтгайд мөн оршино гэсэн үг юм. . Иймд X цэг нь MN шулууны суурийн хавтгайтай огтлолцох цэг юм.

Хоёр дахь асуудлыг авч үзье. Үүнийг бага зэрэг төвөгтэй болгоё.

Даалгавар 2.

M ба N цэгүүдийн DABC тетраэдр өгөгдсөн бөгөөд энд M € DA, N C (DBC). MN шулууны ABC хавтгайтай огтлолцох цэгийг ол.

Шийдэл: MN шулууны ABC хавтгайтай огтлолцох цэг нь MN шулууныг агуулсан хавтгайд ба суурийн хавтгайд байх ёстой. Бид DN сегментийг DC ирмэгтэй огтлолцох цэг хүртэл үргэлжлүүлнэ. Бид E-ээр дамжин огтлолцох цэгийг тэмдэглэнэ. Бид AE ба MN шугамыг тэдгээрийн огтлолцлын цэг хүртэл үргэлжлүүлнэ. Тайлбар X. X цэг нь MN-д хамаарах тул MN шулууныг агуулсан хавтгай дээр, X нь AE-д, AE нь ABC хавтгайд байрладаг. Тэгэхээр X нь мөн ABC хавтгайд оршдог. Иймээс X нь MN шулуун ба ABC хавтгайн огтлолцох цэг юм.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар геометрийн дүрсүүдийн хэсгийг авч үзье.

Даалгавар 3

DABC тетраэдрийн AC, AD, DB ирмэг дээр M, N, P цэгүүдийг тэмдэглэв.Тетраэдрийн зүсэлтийг MNP хавтгайгаар байгуул.

Шийдэл: MNP хавтгай байгаа шулуун шугамыг байгуул. ABC нүүрний хавтгайг огтолж байна. М цэг нь эдгээр хавтгайн нийтлэг цэг юм. Өөр нэг нийтлэг цэгийг бий болгохын тулд бид AB ба NP сегментийг үргэлжлүүлнэ. Бид уулзварын цэгийг X-ээр тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь MNP ба ABC онгоцны хоёр дахь нийтлэг цэг болно. Тэгэхээр эдгээр онгоцууд MX шулуун шугамын дагуу огтлолцоно. MX BC ирмэгийг ямар нэг Е цэгт огтолдог. E нь MX дээр байрлах ба MX нь MNP хавтгайд хамаарах шулуун тул PE нь MNP-д хамаарах болно. Дөрвөн талт MNPE нь шаардлагатай хэсэг юм.

Даалгавар 4

ABCA1B1C1 шулуун призмийн огтлолыг бид P цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар байгуулна. , Q,R, R нь хамаарах ( АА 1C 1C), Рхарьяалагддаг IN 1C1,

Q нь AB-д харьяалагддаг

Шийдэл:Гурвуулаа P,Q,R цэгүүдөөр өөр нүүрэн дээр хэвтэж байгаа тул бид призмийн аль ч нүүртэй огтлолцох хавтгайн огтлолцлын шугамыг хараахан барьж чадахгүй байна. PR-ийн ABC-тэй огтлолцох цэгийг олъё. BC-д перпендикуляр PP1, АС-д перпендикуляр RR1 суурь хавтгай дээрх P ба R цэгүүдийн проекцуудыг олъё. P1R1 шугам нь PR шугамыг X цэгээр огтолж байна. X нь PR шугамын ABC хавтгайтай огтлолцох цэг юм. Энэ нь Q цэг шиг хүссэн K хавтгайд ба суурийн хавтгайд оршдог. XQ нь суурийн хавтгайтай K огтлолцох шулуун шугам юм. XQ нь АС-ийг K цэгээр огтолдог.Иймд KQ нь X хавтгайн ABC нүүртэй огтлолцох сегмент юм. K ба R нь X хавтгайд ба AA1C1C нүүрний хавтгайд байрладаг. KR шугамыг зурж, A1Q E-тэй огтлолцох цэгийг тэмдэглээрэй. KE нь X хавтгайн энэ нүүртэй огтлолцох шугам юм. BB1A1A нүүрний хавтгайтай X хавтгайн огтлолцлын шугамыг ол. KE нь Y цэг дээр A1A-тай огтлолцоно. QY шулуун нь таслагч хавтгайн AA1B1B хавтгайтай огтлолцох шугам юм. FPEKQ - хүссэн хэсэг.

Дүрмээр бол шоо дөрвөлжин хэсгүүдийг онгоцоор барих даалгавар нь жишээлбэл, пирамидын хэсгүүдийн даалгавраас илүү хялбар байдаг.

Хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд орвол бид хоёр цэгээр шулуун зурж болно. Шоо дөрвөлжин хэсгүүдийг барихдаа зүсэх онгоцны ул мөрийг бий болгох өөр нэг хувилбар боломжтой. Гурав дахь хавтгай нь параллель шулуун шугамын дагуу хоёр зэрэгцээ хавтгайг огтолж байгаа тул хэрэв аль нэгэнд нь шулуун шугам баригдсан бөгөөд нөгөө хэсэгт нь тухайн хэсэг дамжин өнгөрөх цэг байгаа бол бид шулуун шугамыг зурж болно. энэ цэг нь өгөгдсөн цэгтэй параллель байна.

Үүнийг анхаарч үзээрэй тодорхой жишээнүүдКубын хэсгүүдийг онгоцоор хэрхэн бүтээх.

1) А, С, М цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул.

Энэ төрлийн асуудлууд нь шоо дөрвөлжин хэсгүүдийг бүтээх бүх асуудлын хамгийн энгийн нь юм. А ба С цэгүүд нэг хавтгайд (ABC) оршдог тул бид тэдгээрийг дундуур нь зурж болно. Түүний ул мөр нь AC сегмент юм. Энэ нь үл үзэгдэх тул бид АС-ийг цус харвалтаар дүрсэлдэг. Үүний нэгэн адил бид нэг хавтгайд байрлах M ба C цэгүүдийг (CDD1), нэг хавтгайд байрлах А ба М цэгүүдийг (ADD1) холбоно. Гурвалжин ACM нь шаардлагатай хэсэг юм.

2) M, N, P цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул.

Энд зөвхөн M ба N цэгүүд нэг хавтгайд (ADD1) байх тул тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татаад MN (үл үзэгдэх) ул мөрийг авна. Шоогийн эсрэг талын нүүрнүүд зэрэгцээ хавтгайд байрладаг тул зүсэх хавтгай нь параллель шулуунуудын дагуу параллель хавтгай (ADD1) ба (BCC1) огтлолцоно. Бид аль хэдийн зэрэгцээ шугамуудын нэгийг барьсан - энэ бол MN.

P цэгээр бид MN-тэй параллель шугам татна. Энэ нь BB1 ирмэгийг S цэгээр огтолж байна. PS нь нүүрэн дээрх таслагч онгоцны ул мөр юм (BCC1).

Бид нэг хавтгайд (ABB1) байрлах M ба S цэгүүдээр шулуун шугам татдаг. MS ул мөрийг авсан (харагдахуйц).

Хавтгай (ABB1) ба (CDD1) нь зэрэгцээ байна. Хавтгайд (ABB1) аль хэдийн MS шугам байгаа тул хавтгайн N цэгээр (CDD1) бид MS-тэй параллель шугам татна. Энэ шугам нь D1C1 ирмэгийг L цэгээр огтолж байна. Түүний мөр нь NL (үл үзэгдэх) байна. P ба L цэгүүд нь нэг хавтгайд (A1B1C1) байрладаг тул бид тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татдаг.

Pentagon MNLPS нь шаардлагатай хэсэг юм.

3) M, N, P цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул.

M ба N цэгүүд нэг хавтгайд (BCC1) оршдог тул тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татах боломжтой. Бид MN (харагдахуйц) ул мөрийг авдаг. Хавтгай (BCC1) нь (ADD1) хавтгайтай параллель байх тул (ADD1) байрлах P цэгээр бид MN-тэй параллель шугам татна. Энэ нь E цэг дээр AD ирмэгийг огтолж байна. Бид PE (үл үзэгдэх) ул мөрийг авсан.

Нэг хавтгайд байрлах цэг, зэрэгцээ хавтгайд шулуун ба цэг байхгүй болсон. Тиймээс нэмэлт цэг авахын тулд аль хэдийн байгаа шугамуудын аль нэгийг үргэлжлүүлэх шаардлагатай.

Хэрэв бид MN шулууныг үргэлжлүүлбэл, энэ нь хавтгайд (BCC1) оршдог тул энэ хавтгайн аль нэг шулуунтай MN-ийн огтлолцох цэгийг хайх хэрэгтэй. CC1 ба B1C1-тэй огтлолцох цэгүүд аль хэдийн бий - эдгээр нь M ба N. BC ба BB1 шугамууд хэвээр байна. Бид BC ба MN-ийг K цэгийн огтлолцол хүртэл үргэлжлүүлнэ.К цэг нь ВС шулуун дээр байрлах бөгөөд энэ нь хавтгайд (ABC) харьяалагддаг тул түүгээр шугам болон энэ хавтгайд байрлах Е цэгийг зурж болно. Энэ нь CD ирмэгийг H цэгээр огтолдог. EH нь түүний ул мөр (үл үзэгдэх) юм. H ба N нь нэг хавтгайд (CDD1) оршдог тул тэдгээрийн дундуур шулуун шугам зурж болно. Бид HN (үл үзэгдэх) ул мөрийг авдаг.

Хавтгай (ABC) ба (A1B1C1) нь зэрэгцээ байна. Тэдний нэг нь EH шугамыг, нөгөө нь M цэгийг агуулж байна. Бид M-ээр дамжуулан EH-тэй параллель шугам зурж болно. Бид MF (харагдахуйц) ул мөрийг авдаг. Бид M ба F цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Зургаан өнцөгт MNHEPF нь шаардлагатай хэсэг юм.

Хэрэв бид MN шулууныг BB1-тэй хавтгайн өөр шугамтай (BCC1) огтлолцол хүртэл үргэлжлүүлбэл хавтгайд хамаарах G цэгийг (ABB1) авна. Энэ нь G ба P-ээр дамжуулан PF мөрийг зурах боломжтой гэсэн үг юм. Цаашилбал, бид зэрэгцээ хавтгайд байрлах цэгүүдээр шулуун шугам зурж, ижил үр дүнд хүрнэ.

PE шулуун шугамтай ажиллах нь ижил хөндлөн огтлолын MNHEPF-ийг өгдөг.

4) M, N, P цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул.

Энд бид нэг хавтгайд (A1B1C1) байрлах M ба N цэгүүдээр шулуун шугам зурж болно. Түүний ул мөр нь MN (харагдахуйц). Нэг хавтгайд эсвэл зэрэгцээ хавтгайд байрлах цэг байхгүй болсон.

Бид MN шугамыг үргэлжлүүлнэ. Энэ нь хавтгайд (A1B1C1) байрладаг тул энэ хавтгайн зөвхөн нэг шулуунтай огтлолцох боломжтой. A1D1 ба C1D1 - N ба M-тэй огтлолцох цэгүүд аль хэдийн бий. Энэ хавтгайн өөр хоёр шугам нь A1B1 ба B1C1 юм. A1B1 ба MN-ийн огтлолцох цэг нь S. Энэ нь A1B1 шулуун дээр байрлах тул хавтгайд (ABB1) хамаарах бөгөөд энэ нь түүгээр шулуун ба нэг хавтгайд орших P цэгийг зурж болно гэсэн үг юм. PS шугам нь AA1 ирмэгийг E цэгээр огтолж байна. PE нь түүний ул мөр (харагдахуйц) юм. Нэг хавтгайд (ADD1) байрлах N ба Е цэгүүдээр дамжуулан NE (үл үзэгдэх) шулуун шугам татах боломжтой. Хавтгайд NE шулуун (ADD1), үүнтэй параллель (BCC1) хавтгайд P цэг байна.Р цэгээр дамжуулан бид NE-тэй параллель PL шулууныг зурж болно. Энэ нь CC1 ирмэгийг L цэг дээр огтолж байна. PL нь энэ шугамын ул мөр (харагдахуйц) юм. M ба L цэгүүд нэг хавтгайд (CDD1) байрладаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дундуур шулуун шугам татах боломжтой гэсэн үг юм. Түүний ул мөр нь ML (үл үзэгдэх) юм. MLPEN таван өнцөгт нь шаардлагатай хэсэг юм.

NM шугамыг хоёр чиглэлд үргэлжлүүлж, түүний огтлолцох цэгүүдийг зөвхөн A1B1 шугамаар төдийгүй B1C1 шугамаар хайж олох боломжтой байсан бөгөөд энэ нь мөн хавтгайд (A1B1C1) байрладаг. Энэ тохиолдолд бид P цэгээр нэгэн зэрэг хоёр шулуун зурна: нэг нь хавтгайд (ABB1) P ба S цэгүүдээр, хоёр дахь нь (BCC1) P ба R цэгүүдээр дамжин өнгөрнө. Үүний дараа. , энэ нь нэг хавтгайд байрлах цэгүүдийг холбох хэвээр байна: M c L, E - N-тэй.