rumah › Salun › Grigory Perelman membuktikan bahawa tidak ada Tuhan. Ahli matematik Perelman Yakov: sumbangan kepada sains

Grigory Perelman membuktikan bahawa tidak ada Tuhan. Ahli matematik Perelman Yakov: sumbangan kepada sains

« Cabaran Milenium”, diselesaikan oleh seorang genius matematik Rusia, berkaitan dengan asal usul Alam Semesta. Tidak setiap ahli matematik diberi untuk memahami intipati teka-teki ...

PERMAINAN MINDA

Sehingga baru-baru ini, matematik tidak menjanjikan kemuliaan atau kekayaan kepada "pendeta"nya. Mereka malah hadiah Nobel tidak memberi. Tiada pencalonan seperti itu. Malah, menurut legenda yang sangat popular, isteri Nobel pernah menipunya dengan seorang ahli matematik. Dan sebagai balasan, orang kaya itu telah melucutkan penghormatan dan wang hadiah kepada semua saudara perempuan mereka.

Keadaan berubah pada tahun 2000. Institut Matematik Tanah Liat swasta telah memilih tujuh daripada yang paling banyak tugas yang sukar dan berjanji untuk membayar satu juta dolar untuk setiap keputusan.

Ahli matematik dilayan dengan hormat. Pada tahun 2001, skrin juga mengeluarkan filem "A Beautiful Mind", watak utamanya adalah seorang ahli matematik.

Kini hanya orang yang jauh dari tamadun tidak sedar: satu daripada berjuta-juta yang dijanjikan - yang pertama - telah dianugerahkan. Hadiah itu diberikan kepada seorang warganegara Rusia, seorang penduduk St. Petersburg Grigory Perelman. Dia membuktikan tekaan Poincaré, teka-teki yang menentang sesiapa pun selama lebih 100 tahun dan yang, melalui usahanya, menjadi teorem.

Lelaki berjanggut kami yang comel berusia 44 tahun mengesat hidungnya ke seluruh dunia. Dan kini terus mengekalkannya - dunia - dalam ketegangan. Memandangkan tidak diketahui sama ada ahli matematik itu akan benar-benar layak mendapat satu juta dolar atau menolak. Orang awam yang progresif di banyak negara secara semula jadi gelisah. Sekurang-kurangnya akhbar dari semua benua mencatatkan tipu daya kewangan dan matematik.

Dan dengan latar belakang aktiviti yang menarik ini - meramal nasib dan berkongsi wang orang lain - makna pencapaian Perelman entah bagaimana hilang. Presiden Institut Tanah Liat, Jim Carlson, sudah tentu, menyatakan pada satu masa, mereka berkata, matlamat kumpulan hadiah- bukan mencari jawapan sebagai percubaan untuk menaikkan martabat sains matematik dan menarik minat golongan muda di dalamnya. Tetapi masih, apa gunanya?

Grisha pada masa mudanya - walaupun pada masa itu dia seorang yang jenius.

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Teka-teki, diselesaikan oleh jenius Rusia, mempengaruhi asas bahagian matematik yang dipanggil topologi. Ia - topologi - sering dipanggil "geometri pada kepingan getah." Ia berkaitan dengan hartanah bentuk geometri, yang dipelihara jika bentuknya diregangkan, dipintal, dibengkokkan. Dalam erti kata lain, ia cacat tanpa pecah, luka dan gam.

Topologi adalah penting untuk fizik matematik kerana ia membolehkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau menilainya tanpa dapat melihat bentuk ruang ini dari luar. Sebagai contoh, alam semesta kita.

Apabila menerangkan tekaan Poincare, mereka bermula seperti ini: bayangkan sfera dua dimensi - ambil cakera getah dan tariknya ke atas bola. Supaya lilitan cakera dikumpul pada satu titik. Begitu juga, sebagai contoh, anda boleh menarik beg galas sukan dengan kord. Hasilnya adalah sfera: bagi kita - tiga dimensi, tetapi dari sudut pandangan matematik - hanya dua dimensi.

Kemudian mereka menawarkan untuk menarik cakera yang sama pada donat. Nampaknya berkesan. Tetapi tepi cakera akan menumpu menjadi bulatan, yang tidak lagi boleh ditarik ke satu titik - ia akan memotong donat.

Seperti yang dia tulis dalam bukunya buku popular yang lain ahli matematik Rusia, Vladimir Uspensky, "Tidak seperti sfera dua dimensi, sfera tiga dimensi tidak boleh diakses oleh pemerhatian langsung kita, dan sukar untuk kita membayangkannya seperti halnya Vasily Ivanovich dari trinomial persegi anekdot yang terkenal."

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, sfera tiga dimensi ialah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya boleh ditarik ke satu titik oleh sejenis hipotesis "hiperkord".

Grigory Perelman: - Fikirkan, binomial Newton ...

Jules Henri Poincare mencadangkan ini pada tahun 1904. Kini Perelman telah meyakinkan semua orang yang memahami bahawa ahli topologi Perancis itu betul. Dan mengubah hipotesisnya menjadi teorem.

Buktinya membantu memahami bentuk alam semesta kita. Dan ia membolehkan kita dengan agak munasabah menganggap bahawa ia adalah sfera tiga dimensi yang sama.

Tetapi jika Alam Semesta adalah satu-satunya "angka" yang boleh dikurangkan ke satu titik, maka, mungkin, ia juga boleh diregangkan dari satu titik. Yang berfungsi sebagai pengesahan tidak langsung teori Big Bang, yang mendakwa bahawa Alam Semesta berasal hanya dari titik.

Ternyata Perelman, bersama Poincare, mengecewakan mereka yang dipanggil pencipta - penyokong permulaan ilahi Alam semesta. Dan mereka menumpahkan air ke atas kilang ahli fizik materialis.

Ahli matematik cerdik dari St. Petersburg, Grigory Perelman, yang menjadi terkenal di seluruh dunia kerana membuktikan sangkaan Poincaré, akhirnya menjelaskan penolakannya terhadap hadiah jutaan dolar yang diberikan untuk ini. Seperti yang dinyatakan " TVNZ", saintis tertutup itu mendedahkan dirinya dalam perbualan dengan seorang wartawan dan penerbit syarikat filem "President-Film", yang, dengan persetujuan Perelman, akan menembak filem "Formula of the Universe" mengenainya.

Alexander Zabrovsky bernasib baik kerana bercakap dengan ahli matematik yang hebat - dia meninggalkan Moscow ke Israel beberapa tahun lalu dan meneka terlebih dahulu untuk menghubungi ibu Grigory Yakovlevich melalui komuniti Yahudi St. Petersburg, setelah membantunya. Dia bercakap dengan anaknya, dan selepas perwatakan yang baik, dia bersetuju untuk mesyuarat. Ini benar-benar boleh dipanggil satu pencapaian - wartawan tidak dapat "menangkap" saintis itu, walaupun mereka menghabiskan hari duduk di pintu masuknya.

Seperti yang diberitahu oleh Zabrovsky kepada akhbar itu, Perelman memberi gambaran "seorang yang benar-benar waras, sihat, mencukupi dan normal": "Realistik, pragmatik dan waras, tetapi tidak tanpa sentimen dan keterujaan ... Semua yang dikaitkan dengannya dalam akhbar , seolah-olah dia "tidak waras", - mengarut sepenuhnya! Dia tahu apa yang dia mahukan, dan tahu bagaimana untuk mencapai matlamat. "

Filem itu, yang mana ahli matematik membuat hubungan dan bersetuju untuk membantu, bukan tentang dirinya sendiri, tetapi mengenai kerjasama dan konfrontasi tiga sekolah matematik dunia utama: Rusia, Cina dan Amerika, yang merupakan yang paling maju dalam laluan belajar. dan mengurus Alam Semesta.

Apabila ditanya mengapa Perelman menolak sejuta, dia menjawab:

"Saya tahu bagaimana untuk menguruskan Alam Semesta. Dan beritahu saya - mengapa saya perlu mengejar sejuta?"

Saintis itu tersinggung, kerana dia dipanggil dalam akhbar Rusia

Perelman menjelaskan bahawa dia tidak berkomunikasi dengan wartawan, kerana mereka tidak mementingkan sains, tetapi dengan isu peribadi dan domestik - dari alasan untuk menolak sejuta kepada persoalan memotong rambut dan kuku.

Secara khusus, dia tidak mahu menghubungi media Rusia kerana sikap tidak hormat terhadapnya. Sebagai contoh, dalam akhbar mereka memanggilnya Grisha, dan kebiasaan seperti itu menyinggung perasaan.

Grigory Perelman berkata sejak itu tahun sekolah biasa dengan apa yang dipanggil "latihan otak". Mengingati bagaimana, sebagai "delegasi" dari USSR, dia menerima pingat emas di Olimpik Matematik di Budapest, beliau berkata: “Kami cuba menyelesaikan masalah di mana kebolehan berfikir secara abstrak adalah syarat yang amat diperlukan.

Dalam abstraksi dari logik matematik inilah titik utama senaman harian. Untuk mencari penyelesaian yang betul, adalah perlu untuk membayangkan "sekeping dunia".

Sebagai contoh tugas yang "sukar", beliau memetik perkara berikut: "Ingat lagenda alkitabiah tentang bagaimana Yesus Kristus berjalan di atas air, seperti di tanah kering. Jadi saya terpaksa mengira berapa cepat dia perlu bergerak melalui air supaya tidak terjatuh.

Sejak itu, Perelman telah menumpukan semua aktivitinya untuk mengkaji masalah mengkaji sifat-sifat ruang tiga dimensi Alam Semesta: "Ini sangat menarik. Saya cuba menerima keluasannya.

Saintis itu menulis disertasinya di bawah bimbingan Ahli Akademik Aleksandrov. "Topiknya mudah: 'Permukaan pelana dalam geometri Euclidean'. Bolehkah anda bayangkan permukaan yang sama saiz dan jarak tidak sekata antara satu sama lain pada infiniti? Kita perlu mengukur 'lubang' di antara mereka," jelas ahli matematik itu.

Apakah maksud penemuan Perelman, menakutkan perkhidmatan perisikan dunia

Pernyataan "Formula Alam Semesta" Poincare dipanggil kerana kepentingannya dalam kajian proses fizikal yang kompleks dalam teori alam semesta dan kerana ia memberikan jawapan kepada persoalan tentang bentuk Alam Semesta. Bukti ini akan memainkan peranan besar dalam pembangunan nanoteknologi."

"Saya belajar cara mengira lompang, bersama-sama dengan rakan sekerja saya, kita akan mempelajari mekanisme untuk mengisi "kosong" sosial dan ekonomi. "Kekosongan ada di mana-mana. Ia boleh dikira, dan ini memberikan peluang yang hebat ...

Menurut penerbitan itu, skala apa yang ditemui Grigory Yakovlevich, yang sebenarnya melangkah ke hadapan sains dunia hari ini, telah menjadikannya objek kepentingan berterusan perkhidmatan khas, bukan sahaja Rusia, tetapi juga asing.

Dia memahami beberapa pengetahuan super yang membantu memahami alam semesta. Dan di sini persoalan seperti ini timbul: "Apa yang akan berlaku jika pengetahuannya mendapati pelaksanaan praktikal?"

Sebenarnya, perkhidmatan rahsia perlu tahu - adakah Perelman, atau lebih tepatnya, pengetahuannya, ancaman kepada manusia? Lagipun, jika dengan bantuan pengetahuannya adalah mungkin untuk mengubah Alam Semesta menjadi satu titik, dan kemudian membukanya, maka kita boleh mati atau dilahirkan semula dalam kapasiti yang berbeza? Dan kemudian kita akan menjadi? Dan adakah kita perlu menguruskan alam semesta sama sekali?

DAN PADA MASA INI

Ibu genius: "Jangan tanya kami soalan tentang wang!"

Apabila diketahui bahawa ahli matematik itu telah dianugerahkan Hadiah Milenium, sekumpulan wartawan berkumpul di hadapan pintunya. Semua orang ingin mengucapkan tahniah secara peribadi kepada Perelman dan mengetahui sama ada dia akan mengambil jutanya yang sah.

Kami mengetuk pintu yang rapuh itu untuk masa yang lama (kalau kami boleh menggantikannya dengan wang premium), tetapi ahli matematik tidak membukanya. Tetapi ibunya dengan mudah memahami huruf "i" betul-betul dari lorong.

Kami tidak mahu bercakap dengan sesiapa dan tidak akan memberikan apa-apa wawancara, - jerit Lyubov Leibovna. - Dan jangan tanya kami soalan tentang anugerah dan wang ini.

Orang yang tinggal di pintu masuk yang sama sangat terkejut melihat minat yang tiba-tiba terhadap Perelman.

Adakah Grisha kita sudah berkahwin? salah seorang jiran ketawa kecil. - Oh, saya dapat anugerah. sekali lagi. Tidak, dia tidak akan menerimanya. Dia tidak memerlukan apa-apa sama sekali, hidup dengan sesen pun, tetapi gembira dengan caranya sendiri.

Mereka mengatakan bahawa pada malam sebelum ahli matematik dilihat dengan pakej penuh produk dari kedai. Dia sedang bersiap untuk "mengepung" dengan ibunya. Kali terakhir, apabila gembar-gembur mengenai anugerah itu bermula di akhbar, Perelman tidak meninggalkan apartmen selama tiga minggu.

DENGAN CARANYA

Untuk apa lagi mereka akan memberikan satu juta dolar ...

Pada tahun 1998, dengan dana jutawan Landon T. Clay, Institut Matematik Tanah Liat telah diasaskan di Cambridge (AS) untuk mempopularkan matematik. Pada 24 Mei 2000, pakar institut itu memilih tujuh masalah yang paling membingungkan, pada pendapat mereka. Dan mereka melantik satu juta dolar untuk setiap satu.

Senarai itu dinamakan .

1. Masalah tukang masak

Adalah perlu untuk menentukan sama ada pengesahan ketepatan penyelesaian masalah boleh lebih lama daripada mendapatkan penyelesaian itu sendiri. Tugas logik ini penting untuk pakar dalam kriptografi - penyulitan data.

2. Hipotesis Riemann

Terdapat apa yang dipanggil nombor perdana, seperti 2, 3, 5, 7, dsb., yang hanya boleh dibahagi dengan sendiri. Berapa jumlahnya tidak diketahui. Riemann percaya bahawa ini boleh ditentukan dan keteraturan pengedarannya boleh didapati. Sesiapa yang menemuinya juga akan menyediakan perkhidmatan kriptografi.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya berkaitan dengan menyelesaikan persamaan dengan tiga perkara yang tidak diketahui dinaikkan kepada kuasa. Kita perlu memikirkan cara untuk menyelesaikannya, tidak kira betapa sukarnya.

4. Hipotesis Hodge

Pada abad kedua puluh, ahli matematik menemui kaedah untuk mengkaji bentuk objek kompleks. Ideanya ialah menggunakan "bata" ringkas dan bukannya objek itu sendiri, yang dilekatkan bersama dan membentuk rupanya. Kita perlu membuktikan bahawa ini sentiasa boleh diterima.

5. Navier - persamaan Stokes

Ia bernilai mengingati mereka di dalam pesawat. Persamaan menerangkan arus udara yang mengekalkannya di udara. Sekarang persamaan diselesaikan lebih kurang, mengikut formula anggaran. Ia adalah perlu untuk mencari yang tepat dan membuktikan bahawa dalam ruang tiga dimensi terdapat penyelesaian persamaan, yang sentiasa benar.

6. Persamaan Yang-Mills

Terdapat hipotesis dalam dunia fizik: jika zarah asas mempunyai jisim, maka had bawahnya juga wujud. Tetapi yang mana satu tidak jelas. Anda perlu pergi kepadanya. Ini mungkin tugas yang paling sukar. Untuk menyelesaikannya, adalah perlu untuk mencipta "teori segala-galanya" - persamaan yang menggabungkan semua daya dan interaksi dalam alam semula jadi. Sesiapa yang berjaya pasti akan menerima Hadiah Nobel.

Pencapaian hebat terakhir bagi matematik tulen ialah bukti sangkaan Poincaré, yang dinyatakan pada tahun 1904 dan menyatakan: "setiap pancarongga tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas, padat tanpa sempadan, adalah homeomorfik kepada sfera S 3 "oleh Grigory Perelman dari St. Petersburg pada tahun 2002–2003.

Terdapat beberapa istilah dalam frasa ini yang akan saya cuba jelaskan sedemikian rupa sehingga makna umumnya menjadi jelas kepada bukan ahli matematik (saya menganggap bahawa pembaca telah selesai sekolah Menengah dan masih ingat sesuatu daripada matematik sekolah).

Mari kita mulakan dengan konsep homeomorphism, yang merupakan pusat dalam topologi. Secara umum, topologi sering ditakrifkan sebagai "geometri getah", iaitu, sebagai sains sifat imej geometri yang tidak berubah semasa ubah bentuk licin tanpa celah dan pelekatan, atau lebih tepat lagi, jika mungkin untuk mewujudkan satu-ke- satu dan satu-dengan-satu surat-menyurat antara dua objek .

Idea utama adalah paling mudah untuk dijelaskan menggunakan contoh klasik cawan dan bagel. Yang pertama boleh diubah menjadi yang kedua dengan ubah bentuk berterusan.

Angka-angka ini jelas menunjukkan bahawa mug adalah homeomorfik kepada donat, dan fakta ini benar untuk permukaannya (manifold dua dimensi, dipanggil torus) dan untuk badan berisi (manifold tiga dimensi dengan sempadan).

Marilah kita memberi tafsiran tentang istilah lain yang terdapat dalam rumusan hipotesis.

Manifold tiga dimensi tanpa sempadan. Ini adalah objek geometri, di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold ialah, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta sebarang set terbuka mata dalam R 3 , sebagai contoh, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, iaitu, menambah titik sempadannya (permukaan torus), maka kita sudah mendapat manifold dengan sempadan - titik sempadan tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk separuh daripada bola.
Bersambung. Konsep ketersambungan adalah yang paling mudah di sini. Pancarongga disambungkan jika ia terdiri daripada satu bahagian, atau, apa yang sama, mana-mana dua titiknya boleh disambungkan dengan garis berterusan yang tidak melebihi hadnya.
Bersambung sahaja. Pengertian keterkaitan tunggal adalah lebih rumit. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R 3 disambungkan secara ringkas (jalur elastik, yang dilekatkan secara sewenang-wenangnya pada permukaan epal, boleh dikecutkan oleh ubah bentuk licin ke satu titik tanpa mengoyakkan jalur elastik daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.
Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan sempadan: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Dimensi manifold ialah bilangan darjah kebebasan pada titik yang "hidup" di atasnya. Setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk cakera dengan dimensi yang sepadan, iaitu, selang garis dalam kes satu dimensi, bulatan pada satah dalam kes dua dimensi, bola dalam kes tiga dimensi , dsb. Dari sudut pandangan topologi, hanya terdapat dua manifold bersambung satu dimensi tanpa sempadan: ini ialah garisan dan bulatan. Daripada jumlah ini, hanya bulatan yang padat.

Contoh ruang yang bukan manifold ialah, sebagai contoh, sepasang garis bersilang - lagipun, pada titik persilangan dua garis, mana-mana kejiranan mempunyai bentuk salib, ia tidak mempunyai kejiranan yang akan itu sendiri hanyalah selang (dan semua titik lain mempunyai kejiranan sedemikian). Ahli matematik dalam kes sedemikian mengatakan bahawa kita sedang berurusan dengan manifold tunggal, yang mempunyai satu titik tunggal.

Manifold padat dua dimensi terkenal. Jika kita pertimbangkan sahaja berorientasikan manifold tanpa sempadan, kemudian dari sudut topologi mereka membentuk senarai yang mudah, walaupun tidak terhingga: dan sebagainya. Setiap manifold tersebut diperolehi daripada sfera dengan melekatkan beberapa pemegang, yang bilangannya dipanggil genus permukaan.

Rajah menunjukkan permukaan genus 0, 1, 2, dan 3. Bagaimanakah sfera menonjol daripada semua permukaan dalam senarai ini? Ternyata ia hanya disambungkan: pada sfera, mana-mana lengkung tertutup boleh dikontrak ke satu titik, dan pada mana-mana permukaan lain, ia sentiasa mungkin untuk menunjukkan lengkung yang tidak boleh dikontrak ke titik di sepanjang permukaan.

Adalah aneh bahawa manifold padat tiga dimensi tanpa sempadan juga boleh diklasifikasikan dalam erti kata tertentu, iaitu, disusun dalam senarai tertentu, walaupun tidak semudah dalam kes dua dimensi, tetapi mempunyai struktur yang agak kompleks. Walau bagaimanapun, sfera 3D S 3 menonjol dalam senarai ini dengan cara yang sama seperti sfera 2D dalam senarai di atas. Hakikat bahawa mana-mana lengkung pada S 3 menguncup ke satu titik adalah sama mudah untuk dibuktikan seperti dalam kes dua dimensi. Tetapi penegasan sebaliknya, iaitu, bahawa sifat ini adalah unik tepat untuk sfera, iaitu, bahawa terdapat lengkung yang tidak boleh dikontrak pada mana-mana manifold tiga dimensi yang lain, adalah sangat sukar dan betul-betul membentuk kandungan konjektur Poincare yang kita bicarakan. .

Adalah penting untuk memahami bahawa manifold boleh hidup sendiri, ia boleh dianggap sebagai objek bebas, tidak bersarang di mana-mana. (Bayangkan makhluk dua dimensi hidup di permukaan sfera biasa, tidak menyedari kewujudan dimensi ketiga.) Nasib baik, semua permukaan dua dimensi dari senarai di atas boleh dibenamkan dalam ruang R 3 biasa, yang menjadikan mereka lebih mudah untuk divisualisasikan. Untuk 3-sfera S 3 (dan secara umum untuk mana-mana 3-manifold padat tanpa sempadan) ini tidak lagi berlaku, jadi beberapa usaha diperlukan untuk memahami strukturnya.

nampaknya cara paling mudah untuk menerangkan struktur topologi sfera tiga dimensi S 3 adalah dengan bantuan pemadatan satu titik. Iaitu, sfera tiga dimensi S 3 ialah pemadatan satu titik bagi ruang tiga dimensi (tidak terhad) biasa R 3 .

Mari kita jelaskan pembinaan ini terlebih dahulu contoh mudah. Mari kita ambil garis lurus tak terhingga biasa (analog ruang satu dimensi) dan tambah satu titik "jauh tak terhingga" kepadanya, dengan mengandaikan bahawa apabila bergerak sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, akhirnya kita sampai ke tahap ini. Dari sudut topologi, tidak ada perbezaan antara garis tak terhingga dan segmen terbuka bersempadan (tanpa titik akhir). Segmen sedemikian boleh dibengkokkan secara berterusan dalam bentuk arka, mendekatkan hujungnya dan melekatkan titik yang hilang ke dalam persimpangan. Kami mendapat, jelas, bulatan - analog satu dimensi sfera.

Begitu juga, jika saya mengambil satah tak terhingga dan menambah satu titik pada tak terhingga, yang mana semua garis satah asal, yang melalui mana-mana arah, cenderung, maka kita mendapat sfera dua dimensi (biasa) S 2 . Prosedur ini boleh diperhatikan melalui unjuran stereografik, yang menetapkan kepada setiap titik P sfera, kecuali kutub utara N, titik tertentu satah P.

Oleh itu, sfera tanpa satu titik secara topologi adalah sama dengan satah, dan menambah satu titik mengubah satah menjadi sfera.

Pada dasarnya, pembinaan yang betul-betul sama boleh digunakan untuk sfera tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya untuk pelaksanaannya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak begitu mudah untuk digambarkan pada lukisan. Jadi saya akan mengehadkan diri saya penerangan secara lisan pemadatan satu titik ruang R 3 .

Bayangkan bahawa pada ruang fizikal kita (yang kita, mengikut Newton, anggap sebagai ruang Euclidean tanpa had dengan tiga koordinat x, y, z) mempunyai satu titik "pada infiniti" ditambah sedemikian rupa sehingga apabila bergerak sepanjang garis lurus dalam sebarang arah, anda anda jatuh (iaitu, setiap garis spatial menutup menjadi bulatan). Kemudian kita mendapat manifold tiga dimensi padat, iaitu, mengikut definisi, sfera S 3 .

Adalah mudah untuk melihat bahawa sfera S 3 hanya disambungkan. Sememangnya, mana-mana lengkung tertutup pada sfera ini boleh dianjak sedikit supaya ia tidak melalui titik tambahan. Kemudian kita mendapat lengkung dalam ruang biasa R 3 , yang mudah menguncup ke satu titik dengan cara homotheties, iaitu penguncupan berterusan dalam ketiga-tiga arah.

Untuk memahami bagaimana manifold S 3 berstruktur, adalah sangat berguna untuk mempertimbangkan pembahagiannya kepada dua tori pepejal. Jika torus pepejal diabaikan dari ruang R 3, maka sesuatu yang tidak begitu jelas kekal. Dan jika ruang itu dipadatkan menjadi sfera, maka pelengkap ini juga berubah menjadi torus pepejal. Iaitu, sfera S 3 dibahagikan kepada dua tori pepejal yang mempunyai sempadan yang sama - torus.

Berikut adalah cara ia boleh difahami. Mari kita benamkan torus dalam R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bulat, dan lukis garis menegak - paksi putaran donat ini. Kami melukis satah sewenang-wenang melalui paksi, ia akan memotong torus pepejal kami dalam dua bulatan yang ditunjukkan dalam rajah dalam warna hijau, dan bahagian tambahan pesawat itu dibahagikan kepada keluarga bulatan merah yang berterusan. Antaranya ialah paksi tengah, diserlahkan dengan lebih tebal, kerana dalam sfera S 3 garisan ditutup ke dalam bulatan. Gambar tiga dimensi diperoleh daripada gambar dua dimensi ini dengan berputar mengelilingi paksi. Satu set lengkap bulatan diputar kemudiannya akan mengisi badan tiga dimensi, homeomorfik kepada torus pepejal, hanya kelihatan luar biasa.

Malah, paksi tengah akan menjadi bulatan paksi di dalamnya, dan selebihnya akan memainkan peranan selari - bulatan yang membentuk torus pepejal biasa.

Untuk mempunyai sesuatu untuk membandingkan 3-sfera dengannya, saya akan memberikan satu lagi contoh 3-manifold padat, iaitu torus tiga dimensi. torus tiga dimensi boleh dibina seperti berikut. Mari kita ambil kubus tiga dimensi biasa sebagai bahan sumber:

Ia mempunyai tiga pasang muka: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Dalam setiap pasangan muka selari, kami mengenal pasti secara berpasangan mata yang diperolehi antara satu sama lain dengan memindahkan sepanjang tepi kubus. Iaitu, kita akan menganggap (secara abstrak semata-mata, tanpa menggunakan ubah bentuk fizikal) bahawa, sebagai contoh, A dan A "adalah titik yang sama, dan B dan B" juga adalah satu titik, tetapi berbeza daripada titik A. Semua titik dalaman bagi cube kita akan pertimbangkan seperti biasa. Kubus itu sendiri adalah manifold dengan sempadan, tetapi selepas gluing dilakukan, sempadan itu menutup dengan sendirinya dan hilang. Sesungguhnya, kejiranan titik A dan A" dalam kubus (ia terletak di sebelah kiri dan kanan muka berlorek) adalah separuh bola, yang, selepas melekatkan muka bersama-sama, bergabung menjadi bola keseluruhan, yang berfungsi sebagai kejiranan titik sepadan torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur 3-torus berdasarkan idea biasa tentang ruang fizikal, anda perlu memilih tiga arah yang saling berserenjang: ke hadapan, kiri dan atas - dan mempertimbangkan secara mental, seperti dalam cerita fiksyen sains, bahawa apabila bergerak dalam mana-mana arah ini, masa yang agak panjang, tetapi terhad, kita akan kembali ke titik permulaan, tetapi dari arah yang bertentangan. Ini juga merupakan "pemadatan ruang", tetapi bukan satu titik, digunakan lebih awal untuk membina sfera, tetapi lebih kompleks.

Terdapat laluan yang tidak boleh dikontrak pada 3-toros; sebagai contoh, ini ialah segmen AA" dalam rajah (pada torus ia menggambarkan laluan tertutup). Ia tidak boleh menguncup, kerana untuk sebarang ubah bentuk berterusan, titik A dan A" mesti bergerak di sepanjang muka mereka, kekal bertentangan dengan setiap satu. lain (jika tidak lengkung akan terbuka).

Oleh itu, kita melihat bahawa terdapat 3 manifold padat yang disambungkan dan tidak disambungkan secara ringkas. Perelman membuktikan bahawa manifold yang disambungkan secara ringkas adalah betul-betul satu.

Titik permulaan pembuktian ialah penggunaan apa yang dipanggil "aliran Ricci": kami mengambil 3-manifold padat yang disambungkan secara ringkas, memberikannya dengan geometri sewenang-wenangnya (iaitu, memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian mempertimbangkan evolusinya sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mencadangkan idea ini pada tahun 1981, berharap dengan evolusi ini manifold kita akan berubah menjadi sfera. Ternyata ini tidak benar - dalam kes tiga dimensi, aliran Ricci mampu merosakkan manifold, iaitu, menjadikannya manifold kecil (sesuatu dengan titik tunggal, seperti dalam contoh garis bersilang di atas). Perelman, dengan mengatasi kesukaran teknikal yang luar biasa, menggunakan radas berat persamaan pembezaan separa, berjaya meminda aliran Ricci berhampiran titik tunggal sedemikian rupa sehingga semasa evolusi topologi manifold tidak berubah, tidak ada titik tunggal, dan dalam akhirnya, ia bertukar menjadi sfera bulat. Tetapi adalah perlu untuk menjelaskan, akhirnya, apakah aliran Ricci ini. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman merujuk kepada perubahan dalam metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini agak sukar untuk dijelaskan, jadi saya akan menghadkan diri saya untuk menerangkan aliran Ricci "luaran" pada manifold satu dimensi yang tertanam dalam satah. .

Bayangkan lengkung tertutup licin pada satah Euclidean, pilih arah di atasnya, dan pertimbangkan pada setiap titik vektor tangen dengan panjang unit. Kemudian, apabila mengelilingi lengkung dalam arah yang dipilih, vektor ini akan berputar dengan beberapa halaju sudut, yang dipanggil kelengkungan. Di mana lengkung lebih curam, kelengkungan (dalam nilai mutlak) akan lebih besar, dan di mana ia lebih licin, kelengkungan akan menjadi kurang.

Kelengkungan akan dianggap positif jika vektor halaju berpusing ke arah bahagian dalam satah dibahagikan dengan lengkung kita kepada dua bahagian, dan negatif jika ia bertukar ke luar. Konvensyen ini adalah bebas daripada arah di mana lengkung dilalui. Pada titik infleksi di mana putaran berubah arah, kelengkungan akan menjadi 0. Contohnya, bulatan jejari 1 mempunyai kelengkungan positif malar 1 (diukur dalam radian).

Sekarang mari kita lupakan tentang vektor tangen dan lampirkan pada setiap titik lengkung, sebaliknya, vektor berserenjang dengannya, sama panjang dengan kelengkungan pada titik tertentu dan diarahkan ke dalam jika kelengkungan positif, dan ke luar jika ia negatif , dan kemudian kami akan memaksa setiap titik untuk bergerak ke arah vektor yang sepadan dengan kelajuan yang berkadar dengan panjangnya. Berikut adalah contoh:

Ternyata mana-mana lengkung tertutup pada satah berkelakuan dengan cara yang sama semasa evolusi sedemikian, iaitu, ia akhirnya bertukar menjadi bulatan. Ini adalah bukti analog satu dimensi konjektur Poincare menggunakan aliran Ricci (namun, kenyataan itu sendiri dalam kes ini sudah jelas, cuma kaedah pembuktian menggambarkan apa yang berlaku dalam dimensi 3).

Kesimpulannya, kami perhatikan bahawa hujah Perelman membuktikan bukan sahaja sangkaan Poincaré, tetapi juga sangkaan geometri Thurston yang lebih umum, yang dalam dalam erti kata tertentu menerangkan struktur semua 3-manifold padat secara umum. Tetapi subjek ini terletak di luar skop artikel asas ini.

Kerana kekurangan ruang, saya tidak akan bercakap tentang manifold tidak berorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak boleh dibenamkan dalam ruang tanpa persimpangan diri.

Institut Matematik Tanah Liat menganugerahkan Hadiah Milenium kepada Grigory Perelman, dengan itu secara rasmi mengiktiraf bukti sangkaan Poincaré, yang dilakukan oleh seorang ahli matematik Rusia, sebagai betul. Perlu diperhatikan bahawa dengan berbuat demikian, institut itu terpaksa melanggar peraturannya sendiri - menurut mereka, hanya seorang pengarang yang telah menerbitkan karyanya dalam jurnal semakan rakan sebaya boleh mendakwa menerima kira-kira satu juta dolar, ini adalah saiz hadiah. Karya Grigory Perelman tidak pernah dilihat secara rasmi - ia kekal sebagai satu set beberapa pracetak di tapak web arXiv.org (satu, dua dan tiga). Walau bagaimanapun, tidak begitu penting apa yang menyebabkan keputusan institut itu - penganugerahan Hadiah Milenium menamatkan sejarah lebih daripada 100 tahun.

Cawan, donat dan beberapa topologi

Sebelum mengetahui apa itu tekaan Poincaré, adalah perlu untuk memahami jenis cabang matematik - topologi - yang mana hipotesis ini tergolong. Topologi manifold berkaitan dengan sifat permukaan yang tidak berubah di bawah ubah bentuk tertentu. Mari kita jelaskan dengan contoh klasik. Katakan pembaca mempunyai donat dan cawan kosong di hadapannya. Dari sudut pandangan geometri dan akal sehat, ini adalah objek yang berbeza, jika hanya kerana anda tidak akan dapat minum kopi dari donat dengan semua keinginan anda.

Walau bagaimanapun, pakar topologi akan mengatakan bahawa cawan dan donat adalah perkara yang sama. Dan dia akan menerangkannya dengan cara ini: bayangkan bahawa cawan dan donat adalah permukaan yang berongga di dalam, diperbuat daripada bahan yang sangat elastik (ahli matematik akan mengatakan bahawa terdapat sepasang manifold dua dimensi padat). Mari kita jalankan eksperimen spekulatif: mula-mula kita tiup bahagian bawah cawan, dan kemudian pemegangnya, selepas itu ia akan berubah menjadi torus (beginilah bentuk donat dipanggil secara matematik). Anda boleh melihat bagaimana proses ini kelihatan.

Sudah tentu, pembaca yang ingin tahu mempunyai soalan: kerana permukaan boleh berkedut, bagaimana ia boleh dibezakan? Lagipun, sebagai contoh, ia secara intuitif jelas - tidak kira bagaimana anda membayangkan torus, anda tidak boleh mendapatkan sfera daripadanya tanpa jurang dan pelekat. Di sini apa yang dipanggil invarian memainkan peranan - ciri permukaan yang tidak berubah di bawah ubah bentuk - konsep yang diperlukan untuk penggubalan hipotesis Poincaré.

Akal sehat memberitahu kita bahawa lubang membezakan torus daripada sfera. Walau bagaimanapun, lubang adalah jauh dari konsep matematik, jadi ia perlu diformalkan. Ini dilakukan seperti berikut - bayangkan bahawa kita mempunyai benang elastik yang sangat nipis pada permukaan yang membentuk gelung (dalam eksperimen spekulatif ini, tidak seperti yang sebelumnya, kita menganggap permukaan itu sendiri sebagai pepejal). Kami akan menggerakkan gelung tanpa mengoyakkannya dari permukaan dan tanpa memecahkannya. Jika benang boleh menguncup kepada bulatan yang sangat kecil (hampir satu titik), maka gelung itu dikatakan boleh menguncup. Jika tidak, gelung dipanggil tidak boleh ditarik balik.

Kumpulan asas torus dilambangkan dengan n 1 (T 2). Kerana ia bukan remeh, lengan tetikus membentuk gelung yang tidak boleh ditarik balik. Kesedihan di wajah haiwan itu adalah hasil daripada kesedaran hakikat ini.

Oleh itu, adalah mudah untuk melihat bahawa mana-mana gelung pada sfera boleh dikontrak (anda boleh melihat bagaimana ia kelihatan lebih kurang), tetapi untuk torus ini tidak lagi berlaku: terdapat sebanyak dua gelung pada donat - satu diikat ke dalam lubang, dan yang lain memintas lubang "di sepanjang perimeter", - yang tidak boleh ditarik. Dalam gambar ini, contoh gelung tidak boleh dikontrak ditunjukkan dalam warna merah dan ungu masing-masing. Apabila terdapat gelung di permukaan, ahli matematik mengatakan bahawa "kumpulan asas pelbagai adalah bukan remeh", dan jika tidak ada gelung sedemikian, maka ia adalah remeh.

Sekarang, untuk merumuskan tekaan Poincare secara jujur, pembaca yang ingin tahu perlu bersabar sedikit lagi: kita perlu memikirkan apakah manifold tiga dimensi secara umum dan sfera tiga dimensi khususnya.

Mari kita kembali seketika ke permukaan yang kita bincangkan di atas. Setiap daripada mereka boleh dipotong menjadi kepingan kecil yang masing-masing akan hampir menyerupai sekeping pesawat. Oleh kerana satah hanya mempunyai dua dimensi, manifold juga dikatakan dua dimensi. Manifold tiga dimensi ialah permukaan yang boleh dipotong menjadi kepingan kecil, setiap satunya sangat serupa dengan sekeping ruang tiga dimensi biasa.

ketua" pelakon"Hipotesis ialah sfera tiga dimensi. Mungkin mustahil untuk membayangkan sfera tiga dimensi sebagai analog sfera biasa dalam ruang empat dimensi tanpa kehilangan fikiran anda. Walau bagaimanapun, agak mudah untuk menggambarkan objek ini, jadi untuk bercakap, "sebahagian" dengan agak mudah. Setiap orang yang melihat glob, mereka tahu bahawa sfera biasa boleh dilekatkan bersama dari utara dan hemisfera Selatan sepanjang khatulistiwa. Jadi, sfera tiga dimensi dilekatkan bersama dari dua bola (utara dan selatan) di sepanjang sfera, yang merupakan analog khatulistiwa.

Pada manifold tiga dimensi, seseorang boleh mempertimbangkan gelung yang sama yang kami ambil pada permukaan biasa. Jadi, konjektur Poincaré menyatakan: "Jika kumpulan asas manifold tiga dimensi adalah remeh, maka ia adalah homeomorfik kepada sfera." Frasa yang tidak dapat difahami "homeomorphic to a sfera" diterjemahkan ke dalam bahasa tidak formal bermaksud bahawa permukaan boleh diubah bentuk menjadi sfera.

Sedikit sejarah

Secara umumnya, dalam matematik adalah mungkin untuk merumuskan sejumlah besar pernyataan kompleks. Walau bagaimanapun, apakah yang menjadikan hipotesis ini atau itu hebat, membezakannya daripada yang lain? Cukup aneh, tetapi hipotesis yang hebat dibezakan oleh sejumlah besar bukti yang tidak betul, yang masing-masing mengandungi ralat besar - ketidaktepatan, yang sering membawa kepada kemunculan bahagian baru matematik.

Jadi, pada mulanya Henri Poincaré, yang, antara lain, dibezakan oleh keupayaan untuk membuat kesilapan yang cemerlang, merumuskan hipotesis dalam bentuk yang sedikit berbeza daripada yang kami tulis di atas. Beberapa waktu kemudian, dia memberikan contoh balas kepada pernyataannya, yang dikenali sebagai sfera 3 Poincaré homologi, dan pada tahun 1904 merumuskan satu tekaan yang sudah ada dalam bentuk moden. Ngomong-ngomong, baru-baru ini, saintis menyesuaikan sfera dalam astrofizik - ternyata Alam Semesta mungkin berubah menjadi Poincaré 3-sfera homolog.

Harus dikatakan bahawa hipotesis itu tidak menimbulkan keseronokan di kalangan rakan-rakan geometer. Begitu juga sehingga tahun 1934, apabila ahli matematik British John Henry Whitehead membentangkan versi bukti hipotesisnya. Tidak lama kemudian, bagaimanapun, dia sendiri mendapati kesilapan dalam penaakulan, yang kemudiannya membawa kepada kemunculan keseluruhan teori manifold Whitehead.

Selepas itu, kemuliaan tugas yang sangat sukar secara beransur-ansur berakar dalam hipotesis. Ramai ahli matematik yang hebat cuba mengatasinya. Contohnya, R.H.Bing dari Amerika, seorang ahli matematik yang (secara rasminya) mempunyai inisial yang ditulis dan bukannya nama dalam dokumen. Dia membuat beberapa percubaan yang tidak berjaya untuk membuktikan hipotesis, merumuskan kenyataannya sendiri semasa proses ini - apa yang dipanggil "property P conjecture" (Property P conjecture). Perlu diperhatikan bahawa kenyataan ini, yang dianggap oleh Bing sebagai perantaraan, ternyata hampir lebih rumit daripada bukti sangkaan Poincaré itu sendiri.

Terdapat di kalangan saintis dan orang yang berkorban untuk membuktikan perkara ini fakta matematik. Sebagai contoh, ahli matematik terkenal asal Yunani Christos Papakiriakopoulos. Selama lebih daripada sepuluh tahun, semasa bekerja di Princeton, dia tidak berjaya cuba membuktikan sangkaan itu. Dia meninggal dunia akibat kanser pada tahun 1976.

Perlu diperhatikan bahawa generalisasi tekaan Poincaré kepada manifold dimensi di atas tiga ternyata lebih mudah daripada yang asal - dimensi tambahan menjadikannya lebih mudah untuk memanipulasi manifold. Oleh itu, untuk manifold n-dimensi (apabila n sekurang-kurangnya 5), sangkaan itu telah dibuktikan oleh Stephen Smale pada tahun 1961. Untuk n = 4, tekaan telah dibuktikan dengan kaedah yang sama sekali berbeza daripada Smale pada tahun 1982 oleh Michael Friedman. Sebagai buktinya, yang terakhir menerima Pingat Fields - anugerah tertinggi untuk ahli matematik.

Kerja-kerja yang diterangkan jauh dari senarai penuh percubaan untuk menyelesaikan lebih daripada satu abad hipotesis. Dan walaupun setiap karya membawa kepada kemunculan keseluruhan arah dalam matematik dan boleh dianggap berjaya dan penting dalam pengertian ini, hanya Grigory Perelman Rusia berjaya akhirnya membuktikan sangkaan Poincaré.

Perelman dan bukti

Pada tahun 1992, Grigory Perelman, kemudian seorang pekerja Institut Matematik. Steklov, sampai ke kuliah Richard Hamilton. Ahli matematik Amerika itu bercakap tentang aliran Ricci - alat baru untuk mengkaji tekaan geometri Thurston - fakta dari mana tekaan Poincaré diperoleh sebagai akibat mudah. Aliran ini, dibina dalam erti kata dengan analogi dengan persamaan pemindahan haba, menyebabkan permukaan berubah bentuk dari semasa ke semasa dengan cara yang sama seperti kami mengubah bentuk permukaan dua dimensi pada permulaan artikel ini. Ternyata dalam beberapa kes hasil ubah bentuk sedemikian adalah objek yang strukturnya mudah difahami. Kesukaran utama ialah semasa ubah bentuk, singulariti dengan kelengkungan tak terhingga timbul, analog dari segi tertentu dengan lubang hitam dalam astrofizik.

Selepas kuliah, Perelman menghampiri Hamilton. Dia kemudian berkata bahawa Richard dengan senang hati mengejutkannya: "Dia tersenyum dan sangat sabar. Dia juga memberitahu saya beberapa fakta yang diterbitkan hanya beberapa tahun kemudian. Dia melakukan ini tanpa teragak-agak. Keterbukaan dan kebaikannya membuat saya kagum. Saya tidak boleh mengatakannya. bahawa kebanyakan ahli matematik moden berkelakuan seperti ini."

Selepas perjalanan ke Amerika Syarikat, Perelman kembali ke Rusia, di mana dia mula bekerja untuk menyelesaikan masalah singulariti aliran Ricci dan membuktikan hipotesis geometrisasi (dan tidak sama sekali pada hipotesis Poincaré) secara rahsia. Tidak hairanlah kemunculan pracetak pertama Perelman pada 11 November 2002 mengejutkan komuniti matematik. Selepas beberapa lama, beberapa karya lagi muncul.

Selepas itu, Perelman menarik diri daripada perbincangan bukti malah, kata mereka, berhenti membuat matematik. Dia tidak mengganggu gaya hidup menyendiri walaupun pada tahun 2006, apabila dia dianugerahkan Fields Medal, anugerah paling berprestij untuk ahli matematik. Tidak masuk akal untuk membincangkan sebab-sebab kelakuan pengarang ini - seorang jenius mempunyai hak untuk berkelakuan aneh (contohnya, berada di Amerika, Perelman tidak memotong kukunya, membenarkan mereka berkembang dengan bebas).

Walau apa pun, bukti Perelman menjalani kehidupannya sendiri: tiga cetakan awal menghantui ahli matematik moden. Keputusan pertama untuk menguji idea ahli matematik Rusia muncul pada tahun 2006 - ahli geometer utama Bruce Kleiner dan John Lott dari Universiti Michigan menerbitkan pracetak kerja sendiri, lebih seperti buku dalam saiz - 213 muka surat. Dalam karya ini, para saintis memeriksa dengan teliti semua pengiraan Perelman, menjelaskan secara terperinci pelbagai pernyataan yang hanya ditunjukkan secara ringkas dalam karya ahli matematik Rusia. Keputusan penyelidik adalah tegas: buktinya betul-betul betul.

Satu giliran yang tidak dijangka dalam cerita ini datang pada bulan Julai tahun yang sama. Dalam jurnal Jurnal Matematik Asia Artikel oleh ahli matematik China Xiping Zhu dan Huaidong Cao bertajuk "A Complete Proof of the Thurston Geometrization Conjecture and the Poincaré Conjecture" muncul. Dalam rangka kerja ini, keputusan Perelman dianggap penting, berguna, tetapi hanya pertengahan. kerja ini menyebabkan kejutan di kalangan pakar di Barat, tetapi menerima ulasan yang sangat baik di Timur. Khususnya, hasilnya disokong oleh Shintan Yau - salah seorang pengasas teori Calabi-Yau, yang meletakkan asas untuk teori rentetan - serta guru Cao dan Ju. Secara kebetulan, Yau yang merupakan ketua pengarang majalah itu. Jurnal Matematik Asia di mana karya itu diterbitkan.

Selepas itu, ahli matematik mula mengembara ke seluruh dunia dengan kuliah popular, bercakap tentang pencapaian ahli matematik Cina. Akibatnya, terdapat bahaya bahawa tidak lama lagi keputusan Perelman dan juga Hamilton akan diturunkan ke latar belakang. Ini telah berlaku lebih daripada sekali dalam sejarah matematik - banyak teorem yang mengandungi nama ahli matematik tertentu telah dicipta oleh orang yang sama sekali berbeza.

Walau bagaimanapun, ini tidak berlaku dan mungkin tidak akan berlaku sekarang. Penyampaian Anugerah Tanah Liat kepada Perelman (walaupun dia enggan) diperkukuh untuk selama-lamanya kesedaran awam fakta: Ahli matematik Rusia Grigory Perelman membuktikan sangkaan Poincaré. Tidak kira bahawa sebenarnya dia membuktikan fakta yang lebih umum, mengembangkan sepanjang jalan teori ketunggalan Ricci yang sama sekali baru mengalir. Walaupun begitu. Anugerah itu telah menemui seorang wira.

Foto oleh N. Chetverikova Pencapaian hebat terakhir matematik tulen ialah bukti sangkaan Poincaré, yang dinyatakan pada tahun 1904 dan menyatakan: "setiap pancarongga tiga dimensi yang disambungkan, disambungkan secara ringkas, padat tanpa sempadan, adalah homeomorfik kepada sfera S 3 " oleh Grigory Perelman dari St. Petersburg pada 2002-2003.

Terdapat beberapa istilah dalam frasa ini, yang akan saya cuba jelaskan sedemikian rupa sehingga makna umumnya menjadi jelas kepada bukan ahli matematik (saya menganggap bahawa pembaca telah lulus dari sekolah menengah dan masih mengingati sesuatu dari matematik sekolah).

Idea utama adalah paling mudah untuk dijelaskan menggunakan contoh klasik cawan dan bagel. Yang pertama boleh ditukar menjadi yang kedua dengan ubah bentuk berterusan: Angka-angka ini jelas menunjukkan bahawa mug adalah homeomorfik kepada donat, dan fakta ini benar untuk permukaannya (manifold dua dimensi, dipanggil torus) dan untuk badan berisi ( manifold tiga dimensi dengan sempadan).

Marilah kita memberi tafsiran tentang istilah lain yang terdapat dalam rumusan hipotesis.

1. Pancarongga tiga dimensi tanpa sempadan. Ini adalah objek geometri, di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold ialah, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta sebarang set titik terbuka dalam R 3 , contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, iaitu, menambah titik sempadannya (permukaan torus), maka kita sudah mendapat manifold dengan sempadan - titik sempadan tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk daripada separuh bola.

2. Bersambung. Konsep ketersambungan adalah yang paling mudah di sini. Pancarongga disambungkan jika ia terdiri daripada satu bahagian, atau, sesuatu yang sama, mana-mana dua titiknya boleh disambungkan dengan garis berterusan yang tidak melebihi hadnya.

3. Hanya disambungkan. Pengertian keterkaitan tunggal adalah lebih rumit. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R 3 disambungkan secara ringkas (jalur elastik, yang dilekatkan secara sewenang-wenangnya pada permukaan epal, boleh dikecutkan oleh ubah bentuk licin ke satu titik tanpa mengoyakkan jalur elastik daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.

4. Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan sempadan: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Manifold padat dua dimensi terkenal. Jika kita pertimbangkan sahaja berorientasikan 1 manifold tanpa sempadan, kemudian dari sudut topologi mereka membentuk senarai yang mudah, walaupun tidak terhingga: dan sebagainya. Setiap manifold tersebut diperolehi daripada sfera dengan melekatkan beberapa pemegang, yang bilangannya dipanggil genus permukaan.

1 Kerana kekurangan ruang, saya tidak akan bercakap tentang manifold tidak berorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak boleh dibenamkan dalam ruang tanpa persimpangan diri.

Nampaknya, cara paling mudah untuk menerangkan struktur topologi sfera tiga dimensi S 3 adalah dengan bantuan pemadatan satu titik. Iaitu, sfera tiga dimensi S 3 ialah pemadatan satu titik bagi ruang tiga dimensi (tidak terhad) biasa R 3 .

Mari kita jelaskan pembinaan ini terlebih dahulu dengan contoh mudah. Mari kita ambil garis lurus tak terhingga biasa (analog ruang satu dimensi) dan tambah satu titik "jauh tak terhingga" kepadanya, dengan mengandaikan bahawa apabila bergerak sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, akhirnya kita sampai ke tahap ini. Dari sudut topologi, tidak ada perbezaan antara garis tak terhingga dan segmen terbuka bersempadan (tanpa titik akhir). Segmen sedemikian boleh dibengkokkan secara berterusan dalam bentuk arka, mendekatkan hujungnya dan melekatkan titik yang hilang ke dalam persimpangan. Kami memperoleh, jelas, bulatan - analog satu dimensi sfera.

Begitu juga, jika saya mengambil satah tak terhingga dan menambah satu titik pada tak terhingga, yang mana semua garis satah asal, yang melalui mana-mana arah, cenderung, maka kita mendapat sfera dua dimensi (biasa) S 2 . Prosedur ini boleh diperhatikan menggunakan unjuran stereografik, yang memberikan kepada setiap titik P sfera, kecuali kutub utara N, titik tertentu satah P ":

Oleh itu, sfera tanpa satu titik secara topologi adalah sama dengan satah, dan menambah satu titik mengubah satah menjadi sfera.

Pada dasarnya, pembinaan yang betul-betul sama boleh digunakan untuk sfera tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya untuk pelaksanaannya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak begitu mudah untuk digambarkan pada lukisan. Oleh itu, saya menghadkan diri saya kepada penerangan lisan tentang pemadatan satu titik ruang R 3 .

Berikut adalah cara ia boleh difahami. Mari kita benamkan torus dalam R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bulat, dan lukis garis menegak - paksi putaran donat ini. Lukis satah sewenang-wenangnya melalui paksi, ia akan bersilang torus pepejal kami di sepanjang dua bulatan yang ditunjukkan dalam warna hijau dalam rajah, dan bahagian tambahan satah dibahagikan kepada keluarga bulatan merah yang berterusan. Antaranya ialah paksi tengah, diserlahkan dengan lebih tebal, kerana dalam sfera S 3 garisan ditutup ke dalam bulatan. Gambar tiga dimensi diperoleh daripada gambar dua dimensi ini dengan berputar mengelilingi paksi. Satu set lengkap bulatan diputar kemudiannya akan mengisi badan tiga dimensi, homeomorfik kepada torus pepejal, hanya kelihatan luar biasa.

Malah, paksi tengah akan menjadi bulatan paksi di dalamnya, dan selebihnya akan memainkan peranan selari - bulatan yang membentuk torus pepejal biasa.

Ia mempunyai tiga pasang muka: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Dalam setiap pasangan muka selari, kami mengenal pasti secara berpasangan mata yang diperolehi antara satu sama lain dengan memindahkan sepanjang tepi kubus. Iaitu, kita akan menganggap (secara abstrak semata-mata, tanpa menggunakan ubah bentuk fizikal) bahawa, sebagai contoh, A dan A "adalah titik yang sama, dan B dan B" juga adalah satu titik, tetapi berbeza daripada titik A. Semua titik dalaman bagi cube kita akan pertimbangkan seperti biasa. Kiub itu sendiri adalah manifold dengan tepi, tetapi selepas gluing selesai, tepi menutup sendiri dan hilang. Sesungguhnya, kejiranan titik A dan A" dalam kubus (ia terletak di sebelah kiri dan kanan muka berlorek) adalah separuh bola, yang, selepas melekatkan muka bersama-sama, bergabung menjadi bola keseluruhan, yang berfungsi sebagai kejiranan titik sepadan torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur 3-torus berdasarkan idea biasa tentang ruang fizikal, anda perlu memilih tiga arah yang saling berserenjang: ke hadapan, kiri dan atas - dan secara mental mempertimbangkan, seperti dalam cerita fiksyen sains, bahawa apabila bergerak dalam mana-mana arah ini, masa yang agak panjang, tetapi terhad , kita akan kembali ke titik permulaan, tetapi dari arah yang bertentangan. Ini juga merupakan "pemadatan ruang", tetapi bukan satu titik, digunakan sebelum ini untuk membina sfera, tetapi lebih kompleks.

Idea awal pembuktian adalah menggunakan apa yang dipanggil "aliran Ricci": kami mengambil 3-manifold padat yang disambungkan secara ringkas, memberikannya dengan geometri sewenang-wenangnya (iaitu, memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian pertimbangkan evolusinya sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mencadangkan idea ini pada tahun 1981, berharap dengan evolusi ini manifold kita akan berubah menjadi sfera. Ternyata ini tidak benar - dalam kes tiga dimensi, aliran Ricci mampu merosakkan manifold, iaitu, menjadikannya manifold kecil (sesuatu dengan titik tunggal, seperti dalam contoh garis bersilang di atas). Perelman, dengan mengatasi kesukaran teknikal yang luar biasa, menggunakan radas berat persamaan pembezaan separa, berjaya meminda aliran Ricci berhampiran titik tunggal sedemikian rupa sehingga semasa evolusi topologi manifold tidak berubah, tidak ada titik tunggal, dan dalam hujungnya bertukar menjadi bulatan bulat . Tetapi akhirnya kita mesti menjelaskan apakah aliran Ricci ini. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman merujuk kepada perubahan dalam metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini agak sukar untuk dijelaskan, jadi saya akan menghadkan diri saya untuk menerangkan aliran Ricci "luaran" pada manifold satu dimensi yang tertanam dalam satah. .

Kelengkungan akan dianggap positif jika vektor halaju berpusing ke arah bahagian dalam satah dibahagikan dengan lengkung kita kepada dua bahagian, dan negatif jika ia bertukar ke luar. Konvensyen ini tidak bergantung pada arah di mana lengkung dilalui. Pada titik infleksi di mana putaran berubah arah, kelengkungan akan menjadi 0. Contohnya, bulatan jejari 1 mempunyai kelengkungan positif malar 1 (diukur dalam radian).

Ternyata mana-mana lengkung tertutup dalam satah berkelakuan dengan cara yang sama semasa evolusi sedemikian, iaitu, ia akhirnya bertukar menjadi bulatan. Ini adalah bukti analog satu dimensi konjektur Poincare menggunakan aliran Ricci (namun, kenyataan itu sendiri dalam kes ini sudah jelas, cuma kaedah pembuktian menggambarkan apa yang berlaku dalam dimensi 3).

Sebagai kesimpulan, kami perhatikan bahawa hujah Perelman membuktikan bukan sahaja tekaan Poincaré, tetapi juga tekaan geometri Thurston yang lebih umum, yang dalam erti kata tertentu menerangkan struktur semua 3-manifold padat secara umum. Tetapi subjek ini terletak di luar skop artikel asas ini.

Sergey Duzhin,
Doktor Fizik dan Matematik Sains,
senior Penyelidik
cawangan St. Petersburg
Institut Matematik Akademi Sains Rusia

Teorem Poincaré ialah formula matematik bagi "Alam Semesta". Grigory Perelman. Bahagian 1 (dari siri " Lelaki sejati dalam sains")

Henri Poincare (1854-1912), salah seorang ahli matematik terhebat, pada tahun 1904 merumuskan idea terkenal tentang sfera tiga dimensi yang cacat dan, dalam bentuk nota birai kecil yang diletakkan di penghujung artikel 65 halaman pada isu yang sama sekali berbeza, menulis beberapa baris tekaan yang agak aneh dengan kata-kata: "Nah, soalan ini boleh membawa kita terlalu jauh" ...

Marcus Du Sotoy dari Universiti Oxford percaya bahawa teorem Poincaré ialah "ini masalah pusat matematik dan fizik, cuba memahami bentuk apa Mungkin Alam semesta Susah sangat nak dekat dengan dia."

Sekali seminggu, Grigory Perelman pergi ke Princeton untuk mengambil bahagian dalam seminar di Institut Kajian Lanjutan. Pada seminar itu, salah seorang ahli matematik Universiti Harvard menjawab soalan Perelman: "Teori William Thurston (1946-2012, ahli matematik, bekerja dalam bidang" Geometri dan topologi tiga dimensi "), dipanggil hipotesis geometrisasi, menerangkan semua kemungkinan permukaan tiga dimensi dan merupakan satu langkah ke hadapan berbanding dengan hipotesis Poincaré. Jika anda membuktikan andaian William Thurston, maka sangkaan Poincare akan membuka semua pintunya kepada anda dan banyak lagi penyelesaiannya akan mengubah keseluruhan landskap topologi sains moden».

Enam universiti terkemuka Amerika pada Mac 2003 menjemput Perelman untuk membaca siri syarahan yang menerangkan kerjanya. Pada April 2003, Perelman membuat lawatan saintifik. Kuliahnya menjadi acara ilmiah yang luar biasa. John Ball (pengerusi Kesatuan Matematik Antarabangsa), Andrew Wiles (ahli matematik, bekerja dalam bidang aritmetik lengkung eliptik, membuktikan teorem Fermat pada tahun 1994), John Nash (ahli matematik yang bekerja dalam bidang teori permainan dan geometri pembezaan) datang ke Princeton untuk mendengarnya.

Grigory Perelman berjaya menyelesaikan salah satu daripada tujuh tugas milenium Dan huraikan secara matematik yang dipanggil formula alam semesta, untuk membuktikan sangkaan Poincaré. Fikiran yang paling terang memperjuangkan hipotesis ini selama lebih daripada 100 tahun, dan untuk buktinya komuniti matematik dunia (Institut Matematik Tanah Liat) menjanjikan $ 1 juta. Ia dibentangkan pada 8 Jun 2010. Grigory Perelman tidak muncul di atasnya , dan komuniti matematik dunia " rahang jatuh."

Pada tahun 2006, untuk menyelesaikan tekaan Poincaré, ahli matematik telah dianugerahkan anugerah matematik tertinggi - Hadiah Fields (Pingat Lapangan). John Ball secara peribadi melawat St. Petersburg untuk memujuknya menerima anugerah itu. Dia enggan menerimanya dengan kata-kata: "Masyarakat hampir tidak dapat menilai kerja saya dengan serius."

“Hadiah Fields (dan pingat) dianugerahkan sekali setiap 4 tahun pada setiap kongres matematik antarabangsa kepada saintis muda (bawah 40 tahun) yang telah memberikan sumbangan besar kepada pembangunan matematik. Sebagai tambahan kepada pingat, penerima anugerah dianugerahkan 15,000 dolar Kanada ($13,000).”

Dalam rumusan asalnya, tekaan Poincaré berbunyi seperti berikut: "Setiap pancarongga tiga dimensi padat ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi." Diterjemahkan ke dalam bahasa biasa, ini bermakna bahawa mana-mana objek tiga dimensi, sebagai contoh, kaca, boleh diubah menjadi bola dengan ubah bentuk sahaja, iaitu, ia tidak perlu dipotong atau dilekatkan. Dengan kata lain, Poincaré mencadangkan itu ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandungi bilangan dimensi yang lebih besar, dan Perelman 100 tahun kemudian membuktikannya secara matematik.

Ungkapan Grigory Perelman tentang teorem Poincaré mengenai transformasi jirim ke keadaan lain, bentuk adalah serupa dengan pengetahuan yang dinyatakan dalam buku Anastasia Novykh "Sensei IV": jarum". Serta keupayaan untuk mengawal bahan Alam Semesta melalui transformasi yang diperkenalkan oleh Pemerhati daripada mengawal dimensi di atas keenam (dari 7 hingga 72 inklusif) (laporkan topik "FIZIK ALLATRA PRIMER" "Grid Ezoosmik").

Grigory Perelman dibezakan oleh penjimatan hidup, keterukan keperluan etika untuk dirinya sendiri dan untuk orang lain. Melihat dia, seseorang mendapat perasaan bahawa dia sahaja tinggal badan sama dengan semua sezaman yang lain angkasa lepas, A Secara rohani dalam beberapa yang lain, di mana pun untuk $1 juta jangan pergi yang paling "tidak bersalah" berkompromi dengan hati nurani. Dan apakah jenis ruang ini, dan adakah mungkin untuk melihatnya dari sudut mata anda? ..

Kepentingan luar biasa hipotesis yang dikemukakan kira-kira satu abad yang lalu oleh ahli matematik Poincaré menyangkut struktur tiga dimensi dan elemen utama penyelidikan kontemporari asas alam semesta. Teka-teki ini, menurut pakar dari Institut Tanah Liat, adalah salah satu daripada tujuh asas penting untuk pembangunan matematik masa depan.

Perelman, menolak pingat dan hadiah, bertanya: “Mengapa saya memerlukannya? Mereka sama sekali tidak berguna kepada saya. Semua orang faham bahawa jika buktinya betul, maka tiada pengiktirafan lain diperlukan. Sehingga saya timbul syak wasangka, saya mempunyai pilihan sama ada untuk bercakap lantang tentang perpecahan komuniti matematik secara keseluruhan, disebabkan tahap moralnya yang rendah, atau tidak berkata apa-apa dan membiarkan diri saya dilayan seperti lembu. Sekarang, apabila saya menjadi lebih curiga, saya tidak boleh kekal sebagai lembu dan terus berdiam diri, jadi saya hanya boleh pergi.

Untuk melakukan matematik moden, anda perlu mempunyai minda yang benar-benar murni, tanpa sedikit pun campuran yang menghancurkannya, mengelirukan, menggantikan nilai, dan menerima anugerah ini bermakna menunjukkan kelemahan. Ahli sains yang ideal hanya terlibat dalam sains, tidak mempedulikan apa-apa lagi (kuasa dan modal), dia mesti mempunyai fikiran yang murni, dan bagi Perelman tidak ada kepentingan yang lebih besar daripada hidup mengikut cita-cita ini. Adakah keseluruhan idea dengan berjuta-juta ini berguna untuk matematik, dan adakah saintis sebenar memerlukan insentif sedemikian? Dan keinginan modal untuk membeli dan menundukkan segala-galanya di dunia ini tidak menghina? Atau anda boleh menjual kesuciannya untuk sejuta? Wang, tidak kira berapa banyak yang ada, adalah setara kebenaran Jiwa? Lagipun, kita berhadapan dengan penilaian apriori tentang masalah yang tidak sepatutnya ada kaitan dengan wang, bukan?! Untuk membuat semua ini sesuatu seperti lotto-juta, atau tote, bermakna untuk memanjakan perpecahan saintifik, dan sememangnya masyarakat manusia secara keseluruhannya(Lihat laporan "FIZIK ALLATRA PRIMORDIAL" dan dalam buku "AllatRa" 50 halaman terakhir tentang cara membina masyarakat kreatif). DAN tunai(tenaga), yang ahli perniagaan bersedia untuk menyumbang kepada sains, jika perlu menggunakannya, maka ia betul, atau sesuatu, tanpa memalukan Semangat Perkhidmatan Sejati, apa sahaja yang boleh dikatakan, setara monetari yang tidak ternilai: “ Apa itu satu juta, dibandingkan, dengan kesucian, atau Keagungan sfera tersebut (tentang dimensi alam semesta global dan tentang dunia rohani lihat buku"AllatRa" dan laporan"FIZIK ALLATRA PRIMORDIAL"), di mana tidak dapat menembusi walaupun manusia imaginasi (fikiran)?! Apa itu sejuta langit berbintang untuk masa?

Marilah kita memberi tafsiran bagi istilah yang tinggal yang terdapat dalam rumusan hipotesis:

Topologi - (daripada bahasa Yunani topos - tempat dan logos - pengajaran) - satu cabang matematik yang mengkaji sifat topologi rajah, i.e. sifat yang tidak berubah di bawah sebarang ubah bentuk yang dihasilkan tanpa ketakselanjaran dan pelekatan (lebih tepat, di bawah pemetaan satu-satu dan berterusan). Contoh sifat topologi rajah ialah dimensi, bilangan lengkung yang mengikat kawasan tertentu, dan sebagainya. Jadi, bulatan, elips, kontur segi empat sama mempunyai sifat topologi yang sama, kerana garisan ini boleh diubah bentuk satu sama lain mengikut cara yang diterangkan di atas; pada masa yang sama, cincin dan bulatan mempunyai sifat topologi yang berbeza: bulatan dibatasi oleh satu kontur, dan cincin dengan dua.

Homeomorfisme (Greek ομοιο - serupa, μορφη - bentuk) ialah korespondensi satu-dengan-satu antara dua ruang topologi, di mana kedua-dua pemetaan songsang yang ditakrifkan oleh korespondensi ini adalah berterusan. Pemetaan ini dipanggil homeomorphic atau pemetaan topologi, serta homeomorphism, dan ruang dikatakan tergolong dalam jenis topologi yang sama dipanggil homeomorphic, atau setara topologi.

Manifold tiga dimensi tanpa sempadan. Ini adalah objek geometri, di mana setiap titik mempunyai kejiranan dalam bentuk bola tiga dimensi. Contoh 3-manifold ialah, pertama, keseluruhan ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R3 , serta sebarang set titik terbuka dalam R3 , contohnya, bahagian dalam torus pepejal (donut). Jika kita menganggap torus pepejal tertutup, i.e. Jika kita menambah titik sempadannya (permukaan torus), maka kita akan mendapat manifold dengan sempadan - titik sempadan tidak mempunyai kejiranan dalam bentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk separuh bola.

Torus pepejal (torus pepejal) ialah homeomorfik badan geometri kepada hasil cakera dua dimensi dan bulatan D2 * S1. Secara tidak formal, torus pepejal ialah donat, manakala torus hanyalah permukaannya (ruang berongga roda).

Bersambung sahaja. Ini bermakna bahawa sebarang lengkung tertutup berterusan yang terletak sepenuhnya dalam manifold tertentu boleh dikontrak dengan lancar ke satu titik tanpa meninggalkan manifold ini. Sebagai contoh, sfera dua dimensi biasa dalam R3 disambungkan secara ringkas (jalur anjal, yang digunakan secara sewenang-wenangnya pada permukaan epal, boleh dikontrak ke satu titik dengan ubah bentuk yang licin tanpa mengeluarkan jalur anjal daripada epal). Sebaliknya, bulatan dan torus tidak hanya disambungkan.

Padat. Manifold adalah padat jika mana-mana imej homeomorfiknya mempunyai dimensi sempadan. Sebagai contoh, selang terbuka pada garisan (semua titik segmen kecuali hujungnya) tidak padat, kerana ia boleh terus dilanjutkan ke garisan tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan hujung) ialah manifold padat dengan sempadan: untuk sebarang ubah bentuk berterusan, hujung pergi ke beberapa titik tertentu, dan keseluruhan segmen mesti masuk ke lengkung terikat yang menghubungkan titik-titik ini.

Akan bersambung...

Ilnaz Basharov

kesusasteraan:

– Laporkan "FIZIK ALLATRA UTAMA" kumpulan saintis antarabangsa Pergerakan Awam Antarabangsa ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yang baru. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yang baru. A., "Sensei-IV", K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doktor Fizik dan Matematik Sci., Penyelidik Kanan, Cawangan St. Petersburg Institut Matematik Akademi Sains Rusia

Popular dalam kategori: