hjem › Diverse › Logg 1 til base 4. Definisjon av logaritmen og dens egenskaper: teori og problemløsning

Logg 1 til base 4. Definisjon av logaritmen og dens egenskaper: teori og problemløsning

Et av elementene i primitiv nivåalgebra er logaritmen. Navnet kommer fra gresk språk fra ordet «tall» eller «potens» og betyr i hvilken grad tallet i basen må heves for å finne det endelige tallet.

Typer logaritmer

log a b – logaritme av tallet b til base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b - desimal logaritme (logaritme til grunntall 10, a = 10);
ln b – naturlig logaritme (logaritme til grunntall e, a = e).

Hvordan løse logaritmer?

Logaritmen av b til base a er en eksponent som krever at b heves til base a. Det oppnådde resultatet uttales slik: "logaritme av b til base a." Løsningen på logaritmiske problemer er at du må bestemme den gitte potensen i tall fra de angitte tallene. Det er noen grunnleggende regler for å bestemme eller løse logaritmen, samt konvertere selve notasjonen. Ved å bruke dem løses logaritmiske ligninger, derivater blir funnet, integraler løses og mange andre operasjoner utføres. I utgangspunktet er løsningen på selve logaritmen dens forenklede notasjon. Nedenfor er de grunnleggende formlene og egenskapene:

For enhver a ; a > 0; a ≠ 1 og for enhver x ; y > 0.

a log a b = b – grunnleggende logaritmisk identitet
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , for k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – formel for å flytte til en ny base
log a x = 1/log x a

Hvordan løse logaritmer - trinnvise instruksjoner for løsning

Skriv først ned den nødvendige ligningen.

Merk: hvis grunnlogaritmen er 10, blir oppføringen forkortet, noe som resulterer i en desimallogaritme. Hvis det er et naturlig tall e, skriver vi det ned og reduserer det til en naturlig logaritme. Dette betyr at resultatet av alle logaritmer er potensen som grunntallet heves til for å oppnå tallet b.

Direkte ligger løsningen i å beregne denne graden. Før du løser et uttrykk med en logaritme, må det forenkles i henhold til regelen, det vil si å bruke formler. Du finner hovedidentitetene ved å gå litt tilbake i artikkelen.

Legge til og subtrahere logaritmer med to forskjellige tall, men med samme grunntall, erstatt med én logaritme med produktet eller divisjonen av tallene b og c, henholdsvis. I dette tilfellet kan du bruke formelen for å flytte til en annen base (se ovenfor).

Hvis du bruker uttrykk for å forenkle en logaritme, er det noen begrensninger å vurdere. Og det vil si: basen til logaritmen a er bare et positivt tall, men ikke lik en. Tallet b, som a, må være større enn null.

Det er tilfeller hvor du ved å forenkle et uttrykk ikke vil kunne beregne logaritmen numerisk. Det hender at et slikt uttrykk ikke gir mening, fordi mange krefter er irrasjonelle tall. Under denne betingelsen, la potensen til tallet være en logaritme.

hovedegenskaper.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite og eksakt verdi utstillere, og fødselsdatoen til Leo Tolstoj.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å merke det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

jeg tenker å siste eksempel avklaring nødvendig. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet til logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimal logaritme, flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Se også:

Logaritmen til b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Resten av de eksotiske egenskapene kan utledes gjennom matematiske manipulasjoner med disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanlige logaritmene er de der basen til og med er ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme hvis base er en eksponent (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er betegnet med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integral- eller antiderivertelogaritmen bestemmes av forholdet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg gi bare noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

Et tilsynelatende komplekst uttrykk forenkles til å danne ved hjelp av en rekke regler

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Første nivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din til et annet like viktig emne - logaritmiske ulikheter ...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet til logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, graf, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, potensserieutvidelse og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall er gitt.

Definisjon

Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funksjonen y = ln x.

Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen speilbilde i forhold til den rette linjen y = x.

Den naturlige logaritmen er definert for positive verdier av variabelen x. Den øker monotont i sitt definisjonsdomene.

Ved x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞).

Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Enhver potensfunksjon x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon

Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene til den naturlige logaritmen er presentert i tabellen.

ln x verdier

ln 1 = 0

Grunnleggende formler for naturlige logaritmer

Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:

Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".

Invers funksjon

Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.

Hvis da

Hvis da.

Derivat ln x

Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Integralet beregnes ved integrasjon av deler:
.
Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall

Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z:
.
La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r og argumentasjon φ :
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
det vil være det samme tallet for forskjellige n.

Derfor er den naturlige logaritmen, som funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Utvidelse av Power-serien

Når utvidelsen finner sted:

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

\(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)

La oss forklare det enklere. For eksempel er \(\log_(2)(8)\) lik potensen som \(2\) må heves til for å få \(8\). Fra dette er det klart at \(\log_(2)(8)=3\).

Eksempler:	\(\log_(5)(25)=2\)	fordi \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	fordi \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	fordi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument og basis for logaritmen

Enhver logaritme har følgende "anatomi":

Argumentet til en logaritme skrives vanligvis på nivået, og basen skrives i trukket skrift nærmere logaritmetegnet. Og denne oppføringen lyder slik: "logaritme av tjuefem til base fem."

Hvordan beregne logaritme?

For å beregne logaritmen må du svare på spørsmålet: til hvilken potens skal basen heves for å få argumentet?

For eksempel, beregn logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Til hvilken kraft må \(4\) heves for å få \(16\)? Tydeligvis den andre. Derfor:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Til hvilken styrke må \(\sqrt(5)\) heves for å få \(1\)? Hvilken kraft gjør noen nummer én? Null, selvfølgelig!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Til hvilken makt må \(\sqrt(7)\) heves for å oppnå \(\sqrt(7)\)? For det første er ethvert tall i første potens lik seg selv.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Til hvilken makt må \(3\) heves for å oppnå \(\sqrt(3)\)? Fra vi vet at det er en brøkkraft, som betyr Kvadratrot er potensen til \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Eksempel : Beregn logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Løsning :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Vi må finne verdien av logaritmen, la oss betegne den som x. La oss nå bruke definisjonen av en logaritme: \(\log_(a)(c)=b\) \(\venstrepil\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Hva forbinder \(4\sqrt(2)\) og \(8\)? To, fordi begge tallene kan representeres av toere: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Til venstre bruker vi egenskapene til graden: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) og \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Grunnlaget er like, vi går videre til likestilling av indikatorer
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliser begge sider av ligningen med \(\frac(2)(5)\)
		Den resulterende roten er verdien av logaritmen

Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Hvorfor ble logaritmen oppfunnet?

For å forstå dette, la oss løse ligningen: \(3^(x)=9\). Bare match \(x\) for å få ligningen til å fungere. Selvfølgelig \(x=2\).

Løs nå ligningen: \(3^(x)=8\).Hva er x lik? Det er poenget.

De smarteste vil si: "X er litt mindre enn to." Hvordan skal man egentlig skrive dette tallet? For å svare på dette spørsmålet ble logaritmen oppfunnet. Takket være ham kan svaret her skrives som \(x=\log_(3)(8)\).

Jeg vil understreke at \(\log_(3)(8)\), liker enhver logaritme er bare et tall. Ja, det ser uvanlig ut, men det er kort. For hvis vi ønsket å skrive det som en desimal, ville det sett slik ut: \(1.892789260714.....\)

Eksempel : Løs ligningen \(4^(5x-4)=10\)

Løsning :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) og \(10\) kan ikke bringes til samme base. Dette betyr at du ikke kan klare deg uten en logaritme. La oss bruke definisjonen av logaritme: \(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		La oss snu ligningen slik at X er til venstre
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Før oss. La oss flytte \(4\) til høyre. Og ikke vær redd for logaritmen, behandle det som et vanlig tall.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Del ligningen med 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Dette er roten vår. Ja, det ser uvanlig ut, men de velger ikke svaret.

Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimal og naturlige logaritmer

Som angitt i definisjonen av en logaritme, kan basen være et hvilket som helst positivt tall bortsett fra ett \((a>0, a\neq1)\). Og blant alle mulige baser er det to som forekommer så ofte at en spesiell kort notasjon ble oppfunnet for logaritmer med dem:

Naturlig logaritme: en logaritme hvis grunntall er Eulers tall \(e\) (lik ca. \(2,7182818…\)), og logaritmen skrives som \(\ln(a)\).

Det er, \(\ln(a)\) er det samme som \(\log_(e)(a)\)

Desimallogaritme: En logaritme hvis grunntall er 10 skrives \(\lg(a)\).

Det er, \(\lg(a)\) er det samme som \(\log_(10)(a)\), hvor \(a\) er et tall.

Grunnleggende logaritmisk identitet

Logaritmer har mange egenskaper. En av dem kalles "Basic Logarithmic Identity" og ser slik ut:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Denne egenskapen følger direkte av definisjonen. La oss se nøyaktig hvordan denne formelen ble til.

La oss huske kort notat definisjoner av logaritme:

hvis \(a^(b)=c\), så \(\log_(a)(c)=b\)

Det vil si at \(b\) er det samme som \(\log_(a)(c)\). Da kan vi skrive \(\log_(a)(c)\) i stedet for \(b\) i formelen \(a^(b)=c\). Det viste seg at \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den logaritmiske hovedidentiteten.

Du kan finne andre egenskaper ved logaritmer. Med deres hjelp kan du forenkle og beregne verdiene til uttrykk med logaritmer, som er vanskelige å beregne direkte.

Eksempel : Finn verdien til uttrykket \(36^(\log_(6)(5))\)

Løsning :

Svar : \(25\)

Hvordan skrive et tall som en logaritme?

Som nevnt ovenfor er enhver logaritme bare et tall. Det motsatte er også sant: ethvert tall kan skrives som en logaritme. For eksempel vet vi at \(\log_(2)(4)\) er lik to. Så i stedet for to kan du skrive \(\log_(2)(4)\).

Men \(\log_(3)(9)\) er også lik \(2\), noe som betyr at vi også kan skrive \(2=\log_(3)(9)\) . På samme måte med \(\log_(5)(25)\), og med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vil si, viser det seg

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Hvis vi trenger det, kan vi altså skrive to som en logaritme med hvilken som helst base hvor som helst (det være seg i en likning, i et uttrykk eller i en ulikhet) - vi skriver ganske enkelt grunntallet opphøyd som et argument.

Det er det samme med trippelen – den kan skrives som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \)... Her skriver vi basen i kuben som et argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Og med fire:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Og med minus én:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Og med en tredjedel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Ethvert tall \(a\) kan representeres som en logaritme med grunntallet \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Eksempel : Finn betydningen av uttrykket \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Løsning :

Svar : \(1\)

I forhold til

oppgaven med å finne hvilket som helst av de tre tallene fra de to andre gitte kan settes. Hvis a og deretter N er gitt, blir de funnet ved eksponentiering. Hvis N og deretter a gis ved å ta roten av graden x (eller heve den til potensen). Tenk nå på tilfellet når vi, gitt a og N, må finne x.

La tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lik en: .

Definisjon. Logaritmen av tallet N til grunntallet a er eksponenten som a må heves til for å få tallet N; logaritmen er betegnet med

Således, i likhet (26.1) er eksponenten funnet som logaritmen av N til base a. Innlegg

har samme betydning. Likhet (26.1) kalles noen ganger hovedidentiteten til logaritmeteorien; i virkeligheten uttrykker det definisjonen av begrepet logaritme. Av denne definisjonen Grunnlaget for logaritmen a er alltid positiv og forskjellig fra enhet; det logaritmiske tallet N er positivt. Negative tall og null har ingen logaritmer. Det kan bevises at ethvert tall med en gitt base har en veldefinert logaritme. Derfor innebærer likhet. Merk at betingelsen er avgjørende her; ellers ville konklusjonen ikke være berettiget, siden likheten er sann for alle verdier av x og y.

Eksempel 1. Finn

Løsning. For å få et tall, må du heve grunntallet 2 til potensen Derfor.

Du kan gjøre notater når du løser slike eksempler i følgende skjema:

Eksempel 2. Finn .

Løsning. Vi har

I eksempel 1 og 2 fant vi enkelt ønsket logaritme ved å representere logaritmetallet som en potens av grunntallet med en rasjonell eksponent. I det generelle tilfellet, for eksempel for etc., kan dette ikke gjøres, siden logaritmen har en irrasjonell verdi. La oss ta hensyn til ett problem knyttet til denne uttalelsen. I avsnitt 12 ga vi konseptet om muligheten for å bestemme en hvilken som helst reell grad av en gitt positivt tall. Dette var nødvendig for innføringen av logaritmer, som generelt sett kan være irrasjonelle tall.

La oss se på noen egenskaper ved logaritmer.

Egenskap 1. Hvis tallet og grunntallet er like, så er logaritmen lik én, og omvendt, hvis logaritmen er lik én, så er tallet og grunntallet like.

Bevis. La Ved definisjonen av en logaritme har vi og hvorfra

Omvendt, la Then per definisjon

Egenskap 2. Logaritmen av en til en hvilken som helst grunntall er lik null.

Bevis. Per definisjon av en logaritme (nullpotensen til enhver positiv base er lik én, se (10.1)). Herfra

Q.E.D.

Det motsatte utsagnet er også sant: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .

Før du formulerer den neste egenskapen til logaritmer, la oss bli enige om å si at to tall a og b ligger på samme side av det tredje tallet c hvis de begge er større enn c eller mindre enn c. Hvis ett av disse tallene er større enn c, og det andre er mindre enn c, vil vi si at de ligger på hver sin side av c.

Egenskap 3. Hvis tallet og grunntallet ligger på samme side av en, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grunntallet ligger på motsatte sider av én, er logaritmen negativ.

Beviset for egenskap 3 er basert på det faktum at potensen til a er større enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er positiv eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er negativ. En potens er mindre enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er negativ eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er positiv.

Det er fire saker å vurdere:

Vi vil begrense oss til å analysere den første av dem; leseren vil vurdere resten på egen hånd.

La da eksponenten i likhet verken være negativ eller lik null, derfor er den positiv, dvs. som kreves for å bli bevist.

Eksempel 3. Finn ut hvilke av logaritmene nedenfor som er positive og hvilke som er negative:

Løsning, a) siden tallet 15 og basen 12 er plassert på samme side av en;

b) siden 1000 og 2 er plassert på den ene siden av enheten; i dette tilfellet er det ikke viktig at grunntallet er større enn det logaritmiske tallet;

c) siden 3.1 og 0.8 ligger på motsatte sider av enheten;

G); Hvorfor?

d) ; Hvorfor?

Følgende egenskaper 4-6 kalles ofte logaritmeringsreglene: de tillater, ved å kjenne logaritmene til noen tall, å finne logaritmene til deres produkt, kvotient og grad av hvert av dem.

Egenskap 4 (produktlogaritmeregel). Logaritmen av produktet av flere positive tall til en gitt base er lik summen av logaritmene til disse tallene til samme grunntall.

Bevis. La de gitte tallene være positive.

For logaritmen til produktet deres skriver vi likheten (26.1) som definerer logaritmen:

Herfra finner vi

Ved å sammenligne eksponentene til det første og siste uttrykket får vi den nødvendige likheten:

Merk at tilstanden er essensiell; logaritmen til produktet av to negative tall gir mening, men i dette tilfellet får vi

Generelt, hvis produktet av flere faktorer er positivt, er logaritmen lik summen av logaritmene til de absolutte verdiene til disse faktorene.

Egenskap 5 (regel for å ta logaritmer av kvotienter). Logaritmen til en kvotient av positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren, tatt til samme base. Bevis. Vi finner konsekvent

Q.E.D.

Egenskap 6 (potenslogaritmeregel). Logaritmen av potensen til ethvert positivt tall er lik logaritmen til det tallet multiplisert med eksponenten.

Bevis. La oss skrive igjen hovedidentiteten (26.1) for nummeret:

Q.E.D.

Konsekvens. Logaritmen til en rot av et positivt tall er lik logaritmen til radikalet delt på eksponenten til roten:

Gyldigheten av denne konsekvensen kan bevises ved å forestille seg hvordan og bruke egenskap 6.

Eksempel 4. Ta logaritmen til å basere a:

a) (det antas at alle verdier b, c, d, e er positive);

b) (det antas at ).

Løsning, a) Det er praktisk å gå til brøkpotenser i dette uttrykket:

Basert på likheter (26.5)-(26.7), kan vi nå skrive:

Vi legger merke til at enklere operasjoner utføres på logaritmene til tallene enn på tallene i seg selv: når tall multipliseres, blir logaritmene deres lagt til, når de divideres, trekkes de fra osv.

Det er derfor logaritmer brukes i beregningspraksis (se avsnitt 29).

Den inverse handlingen til logaritmen kalles potensering, nemlig: potensering er handlingen som tallet i seg selv blir funnet fra en gitt logaritme av et tall. Potensering er i hovedsak ikke noen spesiell handling: det kommer ned til å heve en base til en makt ( lik logaritmen tall). Begrepet "potensiale" kan betraktes som synonymt med begrepet "eksponentiering".

Ved potensiering må du bruke reglene invers til logaritmeringsreglene: erstatt summen av logaritmene med logaritmen til produktet, forskjellen av logaritmene med logaritmen til kvotienten osv. Spesielt hvis det er en faktor foran av logaritmens fortegn, så må det under potensieringen overføres til eksponentgradene under logaritmens fortegn.

Eksempel 5. Finn N hvis det er kjent at

Løsning. I forbindelse med den nettopp nevnte potenseringsregelen vil vi overføre faktorene 2/3 og 1/3 som står foran logaritmenes tegn på høyre side av denne likheten til eksponenter under disse logaritmenes fortegn; vi får

Nå erstatter vi forskjellen av logaritmer med logaritmen til kvotienten:

for å få den siste brøken i denne likhetskjeden, frigjorde vi den forrige brøken fra irrasjonalitet i nevneren (klausul 25).

Egenskap 7. Hvis grunntallet er større enn én, så har det største tallet en større logaritme (og det minste har en mindre), hvis grunntallet er mindre enn én, så har det største tallet en mindre logaritme (og det mindre en har en større).

Denne egenskapen er også formulert som en regel for å ta logaritmer av ulikheter, hvor begge sider er positive:

Når du logaritmer ulikheter til en grunntall som er større enn én, beholdes tegnet på ulikhet, og når du logaritmer til en grunntall mindre enn én, endres tegnet på ulikhet til det motsatte (se også avsnitt 80).

Beviset er basert på egenskapene 5 og 3. Tenk på tilfellet når If , then og, med logaritmer, får vi

(a og N/M ligger på samme side av enheten). Herfra