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Encontre a área de uma figura plana. Integral definida

Passamos agora à consideração das aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. calculando a área de uma figura plana usando uma integral definida. Finalmente, todos aqueles que buscam significado na matemática superior - que o encontrem. Nunca se sabe. Na vida real, você terá que aproximar uma cabana de verão com funções elementares e encontrar sua área usando uma certa integral.

Para dominar o material com sucesso, você deve:

1) Entenda a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.

2) Saber aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular o integral definido. Forjar morno relações amigáveis com integrais definidas podem ser encontradas na página Integral definida. Exemplos de solução. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" envolve sempre a construção de um desenho, portanto, seu conhecimento e habilidades de desenho também serão uma questão urgente. No mínimo, deve-se ser capaz de construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole.

Vamos começar com um trapézio curvilíneo. Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada pelo gráfico de alguma função y = f(x), eixo BOI e linhas x = a; x = b.

A área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral

Qualquer integral definida (que exista) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de solução dissemos que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA. Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Considere a integral definida

integrando

define uma curva no plano (pode ser desenhada se desejado), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

, , , .

Esta é uma declaração de tarefa típica. O ponto mais importante da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um projeto, recomendo a seguinte ordem: inicialmenteé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas Então- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. A técnica de construção pontual pode ser encontrada em material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também encontra material muito útil em relação à nossa lição - como construir uma parábola rapidamente.

Neste problema, a solução pode ser assim.

Vamos fazer um desenho (observe que a equação y= 0 especifica o eixo BOI):

Não vamos chocar o trapézio curvilíneo, é óbvio aqui qual área em questão. A solução continua assim:

No segmento [-2; 1] gráfico de função y = x 2 + 2 localizados sobre o eixoBOI, É por isso:

Responder: .

Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz

consulte a palestra Integral definida. Exemplos de solução. Após a conclusão da tarefa, é sempre útil olhar para o desenho e descobrir se a resposta é real. EM este caso“A olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitadas, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não cabem na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 2

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas xy = 4, x = 2, x= 4 e eixo BOI.

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixoBOI?

Exemplo 3

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y = ex, x= 1 e eixos coordenados.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo BOI , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Os dois tipos de tarefas não devem ser confundidos:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana limitada por linhas y = 2x – x 2 , y = -x.

Solução: Primeiro você precisa fazer um desenho. Ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola y = 2x – x 2 e direto y = -x. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração a= 0, limite superior de integração b= 3. Muitas vezes é mais rentável e mais rápido construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são encontrados “por si mesmos”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda deve ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

Repetimos que na construção pontual, os limites de integração são frequentemente descobertos “automaticamente”.

E agora a fórmula de trabalho:

Se no segmento [ a; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está abaixo.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, de 2 x – x 2 deve ser subtraído - x.

A conclusão da solução pode ser assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola y = 2x – x 2 superior e reto y = -x de baixo.

No segmento 2 x – x 2 ≥ -x. Pela fórmula correspondente:

Responder: .

De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (ver exemplo nº 3) é caso especial fórmulas

desde o eixo BOIé dado pela equação y= 0, e o gráfico da função g(x) está localizado abaixo do eixo BOI, Que

E agora alguns exemplos para uma solução independente

Exemplo 5

Exemplo 6

Encontre a área de uma figura delimitada por linhas

Durante a resolução de problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos foram corretos, mas, por desatenção, ... encontrou a área da figura errada.

Exemplo 7

Vamos desenhar primeiro:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(observe atentamente a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, por desatenção, muitas vezes decidem que precisam encontrar a área da figura que está sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Realmente:

1) No segmento [-1; 1] acima do eixo BOI o gráfico é reto y = x+1;

2) No segmento acima do eixo BOI o gráfico da hipérbole está localizado y = (2/x).

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser somadas, portanto:

Responder:

Exemplo 8

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas

Vamos apresentar as equações na forma "escola"

e faça o desenho da linha:

Pode ser visto no desenho que nosso limite superior é “bom”: b = 1.

Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê?

Talvez, a=(-1/3)? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode muito bem acontecer que a=(-1/4). E se não acertarmos o gráfico?

Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites de integração.

Encontre os pontos de interseção dos gráficos

Para isso, resolvemos a equação:

Por isso, a=(-1/3).

A outra solução é trivial. O principal é não se confundir em substituições e sinais. Os cálculos aqui não são os mais fáceis. no segmento

, ,

de acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Na conclusão da lição, consideraremos duas tarefas mais difíceis.

Exemplo 9

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas

Solução: Desenhe esta figura no desenho.

Para desenho ponto a ponto, você precisa saber aparência sinusóides. Em geral, é útil conhecer os gráficos de todas as funções elementares, bem como alguns valores do seno. Eles podem ser encontrados na tabela de valores funções trigonométricas . Em alguns casos (por exemplo, neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.

Não há problemas com os limites de integração aqui, eles decorrem diretamente da condição:

- "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:

No segmento, o gráfico da função y= pecado 3 x localizado acima do eixo BOI, É por isso:

(1) Você pode ver como senos e cossenos são integrados em potências ímpares na lição Integrais de funções trigonométricas. Nós beliscamos um seno.

(2) Usamos a identidade trigonométrica básica na forma

(3) Vamos mudar a variável t= cos x, então: localizado acima do eixo , então:

Observação: observe como a integral da tangente no cubo é calculada, aqui a consequência da identidade trigonométrica básica é usada

Na verdade, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento da integral indefinida e definida. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" envolve sempre a construção de um desenho, então seus conhecimentos e habilidades de desenho serão uma questão muito mais relevante. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das principais funções elementares e, no mínimo, poder construir uma reta e uma hipérbole.

Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada por um eixo, linhas retas e um gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:

Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que exista) tem um significado geométrico muito bom.

Em termos de geometria, a integral definida é a ÁREA.

Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida. O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem quiser pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de tarefa típica. Primeiro e ponto crucial soluções - construindo um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (observe que a equação define o eixo):

No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, É por isso:

Responder:

Após a conclusão da tarefa, é sempre útil olhar para o desenho e descobrir se a resposta é real. Nesse caso, "a olho" contamos o número de células do desenho - bom, cerca de 9 serão digitadas, parece verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não cabem na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos coordenados.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo(ou pelo menos não superior determinado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .

Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de interseção da parábola e da reta. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .

É melhor não usar esse método, se possível..

É muito mais rentável e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são descobertos “por si só”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda deve ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura, gráfico limitado dessas funções e retas , , pode ser encontrado pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está abaixo.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

A conclusão da solução pode ser assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Exemplo 4

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Solução: Vamos fazer um desenho primeiro:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(observe atentamente a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, por desatenção, muitas vezes ocorre uma “falha” de que é preciso encontrar a área da figura que está sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas.

Realmente:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de reta;

2) No segmento acima do eixo está um gráfico de hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser somadas, portanto:

Como inserir fórmulas matemáticas no site?

Se você precisar adicionar uma ou duas fórmulas matemáticas a uma página da Web, a maneira mais fácil de fazer isso é conforme descrito no artigo: as fórmulas matemáticas são facilmente inseridas no site na forma de imagens que o Wolfram Alpha gera automaticamente. Além da simplicidade, esse método universal ajudará a melhorar a visibilidade do site nos mecanismos de pesquisa. Funciona há muito tempo (e acho que funcionará para sempre), mas está moralmente desatualizado.

Se você estiver constantemente usando fórmulas matemáticas em seu site, recomendo que você use MathJax, uma biblioteca JavaScript especial que exibe notação matemática em navegadores da Web usando marcação MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Existem duas maneiras de começar a usar o MathJax: (1) usando um código simples, você pode conectar rapidamente um script MathJax ao seu site, que será carregado automaticamente de um servidor remoto no momento certo (lista de servidores); (2) carregue o script MathJax de um servidor remoto para o seu servidor e conecte-o a todas as páginas do seu site. O segundo método é mais complexo e demorado e permitirá que você acelere o carregamento das páginas do seu site, e se o servidor MathJax pai ficar temporariamente indisponível por algum motivo, isso não afetará seu próprio site de forma alguma. Apesar dessas vantagens, optei pelo primeiro método, por ser mais simples, rápido e não exigir habilidades técnicas. Siga meu exemplo e em 5 minutos você poderá usar todos os recursos do MathJax em seu site.

Você pode conectar o script da biblioteca MathJax de um servidor remoto usando duas opções de código retiradas do site principal do MathJax ou da página de documentação:

Uma dessas opções de código precisa ser copiada e colada no código da sua página da web, de preferência entre as tags E ou logo após a tag . De acordo com a primeira opção, o MathJax carrega mais rápido e torna a página menos lenta. Mas a segunda opção rastreia e carrega automaticamente as versões mais recentes do MathJax. Se você inserir o primeiro código, ele precisará ser atualizado periodicamente. Se você colar o segundo código, as páginas carregarão mais lentamente, mas você não precisará monitorar constantemente as atualizações do MathJax.

A maneira mais fácil de conectar o MathJax é no Blogger ou WordPress: no painel de controle do site, adicione um widget projetado para inserir código JavaScript de terceiros, copie a primeira ou a segunda versão do código de carregamento acima e coloque o widget mais próximo de o início do modelo (aliás, isso não é necessário , pois o script MathJax é carregado de forma assíncrona). Isso é tudo. Agora aprenda a sintaxe de marcação MathML, LaTeX e ASCIIMathML e você estará pronto para incorporar fórmulas matemáticas em suas páginas da web.

Qualquer fractal é construído de acordo com uma determinada regra, que é aplicada consistentemente um número ilimitado de vezes. Cada um desses tempos é chamado de iteração.

O algoritmo iterativo para a construção de uma esponja Menger é bastante simples: o cubo original com lado 1 é dividido por planos paralelos às suas faces em 27 cubos iguais. Um cubo central e 6 cubos adjacentes a ele ao longo das faces são removidos dele. Acontece um conjunto composto por 20 cubos menores restantes. Fazendo o mesmo com cada um desses cubos, obtemos um conjunto composto por 400 cubos menores. Continuando esse processo indefinidamente, obtemos a esponja Menger.

Começamos a considerar o processo real de cálculo da integral dupla e nos familiarizamos com seu significado geométrico.

A integral dupla é numericamente igual à área de uma figura plana (região de integração). Esse forma mais simples integral dupla quando a função de duas variáveis é igual a uma: .

Consideremos primeiro o problema em visão geral. Agora você ficará surpreso com o quão simples é realmente! Vamos calcular a área de uma figura plana delimitada por linhas. Por definição, assumimos que no intervalo . A área desta figura é numericamente igual a:

Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a primeira maneira de contornar a área:

Por isso:

E imediatamente um truque técnico importante: integrais iteradas podem ser consideradas separadamente. Primeiro a integral interna, depois a integral externa. Este método é altamente recomendado para iniciantes no tópico bules.

1) Calcule a integral interna, enquanto a integração é realizada sobre a variável "y":

A integral indefinida aqui é a mais simples, e então a fórmula banal de Newton-Leibniz é usada, com a única diferença que os limites de integração não são números, mas funções. Primeiro, substituímos o limite superior no “y” (função antiderivada), depois o limite inferior

2) O resultado obtido no primeiro parágrafo deve ser substituído na integral externa:

Uma notação mais compacta para toda a solução se parece com isso:

A fórmula resultante - esta é exatamente a fórmula de trabalho para calcular a área de uma figura plana usando a integral definida "comum"! Ver lição Calculando a área usando uma integral definida, lá está ela a cada passo!

Aquilo é, o problema de calcular a área usando uma integral dupla pouco diferente do problema de encontrar a área usando uma integral definida! Na verdade, eles são um e o mesmo!

Assim, nenhuma dificuldade deve surgir! Não vou considerar muitos exemplos, já que você, de fato, encontrou esse problema repetidamente.

Exemplo 9

Solução: Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de passagem da região:

Aqui e abaixo, não vou entrar em como atravessar uma área porque o primeiro parágrafo foi muito detalhado.

Por isso:

Como já observei, é melhor para iniciantes calcular integrais iterados separadamente, seguirei o mesmo método:

1) Primeiro, usando a fórmula de Newton-Leibniz, lidamos com a integral interna:

2) O resultado obtido na primeira etapa é substituído na integral externa:

O ponto 2 é, na verdade, encontrar a área de uma figura plana usando uma integral definida.

Responder:

Aqui está uma tarefa tão estúpida e ingênua.

Um exemplo curioso para uma solução independente:

Exemplo 10

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana limitada pelas linhas , ,

Amostra Amostra finalizando a solução no final da lição.

Nos Exemplos 9-10, é muito mais lucrativo usar a primeira forma de contornar a área, os leitores curiosos, aliás, podem alterar a ordem do desvio e calcular as áreas da segunda forma. Se você não cometer um erro, então, naturalmente, os mesmos valores de área serão obtidos.

Mas, em alguns casos, a segunda maneira de contornar a área é mais eficaz e, para concluir o curso do jovem nerd, vejamos mais alguns exemplos sobre o assunto:

Exemplo 11

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas.

Solução: estamos ansiosos por duas parábolas com uma brisa que estão de lado. Não há necessidade de sorrir, coisas semelhantes em integrais múltiplas são frequentemente encontradas.

Qual é a maneira mais fácil de fazer um desenho?

Vamos representar a parábola como duas funções:
- ramo superior e - ramo inferior.

Da mesma forma, imagine uma parábola como uma parte superior e inferior galhos.

Em seguida, unidades de plotagem ponto a ponto, resultando em uma figura tão bizarra:

A área da figura é calculada usando a integral dupla de acordo com a fórmula:

O que acontece se escolhermos a primeira maneira de contornar a área? Primeiro, esta área terá que ser dividida em duas partes. E em segundo lugar, observaremos esta triste imagem: . As integrais, claro, não são de nível supercomplexo, mas ... existe um velho ditado matemático: quem é amigo das raízes, não precisa de compensação.

Portanto, do equívoco que se dá na condição, expressamos as funções inversas:

funções inversas V este exemplo têm a vantagem de definir imediatamente toda a parábola sem folhas, bolotas, galhos e raízes.

De acordo com o segundo método, a travessia da área será a seguinte:

Por isso:

Como dizem, sinta a diferença.

1) Lidamos com a integral interna:

Substituímos o resultado na integral externa:

A integração sobre a variável "y" não deve ser embaraçosa, se houvesse uma letra "zyu" - seria ótimo integrar sobre ela. Embora quem leu o segundo parágrafo da lição Como calcular o volume de um corpo de revolução, ele não sente mais o menor constrangimento com a integração sobre "y".

Preste atenção também ao primeiro passo: o integrando é par e o segmento de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, o segmento pode ser reduzido pela metade e o resultado pode ser dobrado. esta técnica comentado em detalhes na aula Métodos eficazes cálculo de uma integral definida.

O que adicionar…. Todos!

Responder:

Para testar sua técnica de integração, você pode tentar calcular . A resposta deve ser exatamente a mesma.

Exemplo 12

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas

Este é um exemplo faça-você-mesmo. É interessante notar que se você tentar usar a primeira forma de contornar a área, a figura não será mais dividida em duas, mas em três partes! E, consequentemente, obtemos três pares de integrais iterados. As vezes acontece.

A master class chegou ao fim e é hora de passar para o nível de grande mestre - Como calcular a integral dupla? Exemplos de solução. Vou tentar não ser tão maníaco no segundo artigo =)

Eu te desejo sucesso!

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução: Desenhe uma área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de passagem da região:

Por isso:
Vamos passar para funções inversas:

Por isso:
Responder:

Exemplo 4:Solução: Vamos passar para as funções diretas:

Vamos executar o desenho:

Vamos mudar a ordem de passagem da área:

Responder:

Solução.

O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho.

Vamos fazer um desenho:

A equação y=0 define o eixo x;

- x=-2 E x=1 - reta, paralela ao eixo OU;

- y \u003d x 2 +2 - uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, com um vértice no ponto (0;2).

Comente. Para construir uma parábola, basta encontrar os pontos de sua interseção com os eixos coordenados, ou seja, colocando x=0 encontre a intersecção com o eixo OU e decidir o apropriado Equação quadrática, encontre a intersecção com o eixo Oh .

O vértice de uma parábola pode ser encontrado usando as fórmulas:

Você pode desenhar linhas e ponto por ponto.

No intervalo [-2;1] o gráfico da função y=x 2 +2 localizado sobre o eixo Boi , É por isso:

Responder: S \u003d 9 unidades quadradas

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo Oh?

b) Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=-e x , x=1 e eixos coordenados.

Solução.

Vamos fazer um desenho.

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo Oh , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Responder: S=(e-1) unidade quadrada" 1,72 unidade quadrada

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior.

Com) Encontre a área de uma figura plana limitada por linhas y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Solução.

Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola e direto Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica.

Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração a=0 , o limite superior de integração b=3 .

Construímos as retas dadas: 1. Parábola - vértice no ponto (1;1); interseção do eixo Oh - pontos(0;0) e (0;2). 2. Linha reta - a bissetriz dos 2º e 4º ângulos coordenados. E agora Atenção! Se no segmento [ a;b] alguma função contínua f(x) maior ou igual a alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula: .

E não importa onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas é importante qual gráfico está MAIS ALTO (em relação a outro gráfico) e qual está ABAIXO. No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

É possível construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são encontrados "por si mesmos". No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda deve ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais).