Hem › Diverse › Hitta arean av en plan figur. Definitiv integral

Hitta arean av en plan figur. Definitiv integral

Vi övergår nu till övervägandet av tillämpningar av integralkalkylen. I den här lektionen kommer vi att analysera en typisk och vanligaste uppgift. beräkna arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral. Till sist, alla de som söker mening i högre matematik - må de finna den. Du vet aldrig. I det verkliga livet måste du approximera en sommarstuga med elementära funktioner och hitta dess område med hjälp av en viss integral.

För att framgångsrikt bemästra materialet måste du:

1) Förstå den obestämda integralen åtminstone på en mellannivå. Därför bör dummies först läsa lektionen Inte.

2) Kunna tillämpa Newton-Leibniz formel och beräkna den bestämda integralen. Smida varmt vänskapliga relationer med bestämda integraler finns på sidan Definitiv integral. Exempel på lösningar. Uppgiften "beräkna arean med hjälp av en bestämd integral" innebär alltid konstruktion av en ritning, därför kommer dina kunskaper och ritfärdigheter också att vara en akut fråga. Som ett minimum måste man kunna bygga en rak linje, en parabel och en hyperbel.

Låt oss börja med en kurvlinjär trapets. En kurvlinjär trapets är en platt figur som begränsas av grafen för någon funktion y = f(x), axel OXE och linjer x = a; x = b.

Arean av en kurvlinjär trapets är numeriskt lika med en viss integral

Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse. På lektionen Definitiv integral. Exempel på lösningar vi sa att en bestämd integral är ett tal. Och nu är det dags att konstatera en annan användbart faktum. Ur geometrins synvinkel är den bestämda integralen AREA. Det är, den bestämda integralen (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur. Betrakta den bestämda integralen

Integrand

definierar en kurva på planet (den kan ritas om så önskas), och den bestämda integralen i sig är numeriskt lika med arean för den motsvarande kurvlinjära trapetsen.

Exempel 1

, , , .

Detta är en typisk uppgiftsbeskrivning. Den viktigaste punkten i beslutet är konstruktionen av en ritning. Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.

När du bygger en ritning rekommenderar jag följande ordning: i början det är bättre att konstruera alla linjer (om några) och endast Sedan- paraboler, hyperbler, grafer för andra funktioner. Tekniken för punktvis konstruktion finns i referensmaterial Grafer och egenskaper hos elementära funktioner. Där kan du också hitta material som är mycket användbart i relation till vår lektion – hur man snabbt bygger en parabel.

I det här problemet kan lösningen se ut så här.

Låt oss göra en ritning (observera att ekvationen y= 0 anger axeln OXE):

Vi kommer inte att kläcka den kurvlinjära trapetsen, det är uppenbart här vilket område i fråga. Lösningen fortsätter så här:

På intervallet [-2; 1] funktionsdiagram y = x 2 + 2 ligger över axelnOXE, Det är därför:

Svar: .

Som har svårt att beräkna den bestämda integralen och tillämpa Newton-Leibniz formel

hänvisa till föreläsningen Definitiv integral. Exempel på lösningar. När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet"Med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.

Exempel 2

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer xy = 4, x = 2, x= 4 och axel OXE.

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axelnOXE?

Exempel 3

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y = ex, x= 1 och koordinataxlar.

Lösning: Låt oss göra en ritning:

Om en kurvlinjär trapets helt under axeln OXE , då kan dess area hittas med formeln:

I detta fall:

Uppmärksamhet! De två typerna av uppgifter bör inte förväxlas:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4

Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Lösning: Först måste du göra en ritning. När vi konstruerar en ritning i områdesproblem är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter. Hitta parabelns skärningspunkter y = 2x – x 2 och rak y = -x. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:

Så den nedre gränsen för integration a= 0, övre gräns för integration b= 3. Det är ofta mer lönsamt och snabbare att konstruera linjer punkt för punkt, medan integrationens gränser upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella). Vi återgår till vår uppgift: det är mer rationellt att först konstruera en rät linje och först sedan en parabel. Låt oss göra en ritning:

Vi upprepar att i punktvis konstruktion upptäcks gränserna för integrationen oftast "automatiskt".

Och nu arbetsformeln:

Om på intervallet [ a; b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln:

Här är det inte längre nödvändigt att tänka var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det spelar roll vilket diagram som är OVAN(i förhållande till en annan graf), och vilken är UNDER.

I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln placerad ovanför den räta linjen, och därför från 2 x – x 2 måste subtraheras - x.

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade siffran begränsas av en parabel y = 2x – x 2 topp och rak y = -x underifrån.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. Enligt motsvarande formel:

Svar: .

Faktum är att skolformeln för arean av en kurvlinjär trapets i det nedre halvplanet (se exempel nr 3) är specialfall formler

Sedan axeln OXE ges av ekvationen y= 0, och grafen för funktionen g(x) ligger under axeln OXE, Den där

Och nu ett par exempel för en oberoende lösning

Exempel 5

Exempel 6

Hitta arean av en figur avgränsad av linjer

I samband med att lösa problem för att beräkna arean med hjälp av en viss integral inträffar ibland en rolig incident. Ritningen gjordes korrekt, beräkningarna var korrekta, men på grund av ouppmärksamhet ... hittade området för fel figur.

Exempel 7

Låt oss rita först:

Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått.(titta noga på skicket - hur siffran är begränsad!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, bestämmer de ofta att de måste hitta området för figuren som är skuggad i grönt!

Det här exemplet är också användbart eftersom området för figuren i det beräknas med två bestämda integraler. Verkligen:

1) På segmentet [-1; 1] ovanför axeln OXE grafen är rak y = x+1;

2) På segmentet ovanför axeln OXE grafen för hyperbeln är lokaliserad y = (2/x).

Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:

Svar:

Exempel 8

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer

Låt oss presentera ekvationerna i formen "skola".

och gör en linjeritning:

Det kan ses av ritningen att vår övre gräns är "bra": b = 1.

Men vad är den nedre gränsen? Det är tydligt att detta inte är ett heltal, men vad?

Kanske, a=(-1/3)? Men var finns garantin att ritningen är gjord med perfekt noggrannhet, det kan det mycket väl visa sig a=(-1/4). Tänk om vi inte fick grafen rätt alls?

I sådana fall måste man lägga ytterligare tid och förfina gränserna för integration analytiskt.

Hitta skärningspunkterna för graferna

För att göra detta löser vi ekvationen:

Därav, a=(-1/3).

Den ytterligare lösningen är trivial. Det viktigaste är att inte bli förvirrad i byten och tecken. Beräkningarna här är inte de lättaste. På segmentet

, ,

enligt motsvarande formel:

Svar:

Som avslutning på lektionen kommer vi att överväga två uppgifter som är svårare.

Exempel 9

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer

Lösning: Rita denna figur på ritningen.

För punkt-för-punkt-ritning behöver du veta utseende sinusoider. I allmänhet är det användbart att känna till graferna för alla elementära funktioner, såväl som vissa värden för sinus. De finns i värdetabellen trigonometriska funktioner . I vissa fall (till exempel i detta fall) är det tillåtet att konstruera en schematisk ritning, på vilken grafer och integrationsgränser måste visas i princip korrekt.

Det finns inga problem med integrationsgränserna här, de följer direkt av villkoret:

- "x" ändras från noll till "pi". Vi fattar ett ytterligare beslut:

På segmentet, grafen för funktionen y= synd 3 x ligger ovanför axeln OXE, Det är därför:

(1) Du kan se hur sinus och cosinus är integrerade i udda potenser i lektionen Integraler av trigonometriska funktioner. Vi nyper bort en sinus.

(2) Vi använder den grundläggande trigonometriska identiteten i formuläret

(3) Låt oss ändra variabeln t= cos x, sedan: ligger ovanför axeln , så:

Notera: notera hur integralen av tangenten i kuben tas, här används konsekvensen av den grundläggande trigonometriska identiteten

I själva verket, för att hitta området för en figur, behöver du inte så mycket kunskap om den obestämda och bestämda integralen. Uppgiften "beräkna arean med hjälp av en bestämd integral" innebär alltid konstruktion av en ritning, så dina kunskaper och ritfärdigheter kommer att vara en mycket mer relevant fråga. I detta avseende är det användbart att uppdatera minnet av graferna för de viktigaste elementära funktionerna, och åtminstone kunna bygga en rak linje och en hyperbel.

En kurvlinjär trapets är en platt figur som begränsas av en axel, räta linjer och en graf över en kontinuerlig funktion på ett segment som inte ändrar tecken på detta intervall. Låt denna figur lokaliseras inte mindre abskissa:

Sedan arean av en kurvlinjär trapets är numeriskt lika med en viss integral. Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse.

När det gäller geometri är den bestämda integralen AREA.

Det är, den bestämda integralen (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur. Tänk till exempel på den bestämda integralen . Integranden definierar en kurva på planet som är belägen ovanför axeln (de som vill kan slutföra ritningen), och den bestämda integralen i sig är numeriskt lika med arean av motsvarande kurvlinjära trapets.

Exempel 1

Detta är en typisk uppgiftsbeskrivning. Först och avgörande punkt lösningar - bygga en ritning. Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.

I det här problemet kan lösningen se ut så här.
Låt oss rita (observera att ekvationen definierar axeln):

På segmentet finns grafen för funktionen över axeln, Det är därför:

Svar:

När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar helt klart inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.

Exempel 3

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer och koordinataxlar.

Lösning: Låt oss rita:

Om den kurvlinjära trapetsen är belägen under axeln(eller åtminstone inte högre given axel), kan dess area hittas med formeln:

I detta fall:

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4

Hitta arean av en platt figur avgränsad av linjer, .

Lösning: Först måste du slutföra ritningen. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:

Därför den nedre gränsen för integration, den övre gränsen för integration.

Det är bäst att inte använda denna metod om möjligt..

Det är mycket mer lönsamt och snabbare att bygga linjerna punkt för punkt, medan gränserna för integrationen upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella). Och vi kommer också att överväga ett sådant exempel.

Vi återgår till vår uppgift: det är mer rationellt att först konstruera en rät linje och först sedan en parabel. Låt oss göra en ritning:

Och nu arbetsformeln: Om det finns någon kontinuerlig funktion på intervallet större än eller lika med någon kontinuerlig funktion, sedan arean av figuren, diagrambegränsad av dessa funktioner och räta linjer , , kan hittas med formeln:

Här är det inte längre nödvändigt att tänka var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, och grovt sett, det spelar roll vilket diagram som är OVAN(i förhållande till en annan graf), och vilken är UNDER.

I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.
På segmentet enligt motsvarande formel:

Svar:

Exempel 4

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna , , , .

Lösning: Låt oss göra en ritning först:

Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått.(titta noga på skicket - hur siffran är begränsad!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, uppstår ofta ett "glitch", att du måste hitta området på figuren som är skuggad i grönt!

Det här exemplet är också användbart eftersom området för figuren i det beräknas med två bestämda integraler.

Verkligen:

1) På segmentet ovanför axeln finns en rät linjegraf;

2) På segmentet ovanför axeln finns en hyperbelgraf.

Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:

Hur infogar man matematiska formler på webbplatsen?

Om du någon gång behöver lägga till en eller två matematiska formler till en webbsida, är det enklaste sättet att göra detta enligt beskrivningen i artikeln: matematiska formler infogas enkelt på webbplatsen i form av bilder som Wolfram Alpha automatiskt genererar. Förutom enkelhet kommer denna universella metod att bidra till att förbättra webbplatsens synlighet i sökmotorer. Det har fungerat länge (och jag tror att det kommer att fungera för alltid), men det är moraliskt förlegat.

Om du ständigt använder matematiska formler på din webbplats rekommenderar jag att du använder MathJax, ett speciellt JavaScript-bibliotek som visar matematisk notation i webbläsare som använder MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.

Det finns två sätt att börja använda MathJax: (1) med en enkel kod kan du snabbt ansluta ett MathJax-skript till din webbplats, som automatiskt kommer att laddas från en fjärrserver vid rätt tidpunkt (lista över servrar); (2) ladda upp MathJax-skriptet från en fjärrserver till din server och anslut det till alla sidor på din webbplats. Den andra metoden är mer komplex och tidskrävande och gör att du kan påskynda laddningen av sidorna på din webbplats, och om den överordnade MathJax-servern blir tillfälligt otillgänglig av någon anledning kommer detta inte att påverka din egen webbplats på något sätt. Trots dessa fördelar valde jag den första metoden, eftersom den är enklare, snabbare och inte kräver tekniska färdigheter. Följ mitt exempel, och inom 5 minuter kommer du att kunna använda alla funktioner i MathJax på din webbplats.

Du kan ansluta MathJax biblioteksskript från en fjärrserver med två kodalternativ hämtade från MathJax huvudwebbplats eller från dokumentationssidan:

Ett av dessa kodalternativ måste kopieras och klistras in i koden på din webbsida, helst mellan taggarna Och eller direkt efter taggen . Enligt det första alternativet laddas MathJax snabbare och saktar ner sidan mindre. Men det andra alternativet spårar och laddar automatiskt de senaste versionerna av MathJax. Om du sätter in den första koden kommer den att behöva uppdateras med jämna mellanrum. Om du klistrar in den andra koden kommer sidorna att laddas långsammare, men du behöver inte ständigt övervaka MathJax-uppdateringar.

Det enklaste sättet att ansluta MathJax är i Blogger eller WordPress: i webbplatsens kontrollpanel, lägg till en widget som är utformad för att infoga JavaScript-kod från tredje part, kopiera den första eller andra versionen av laddningskoden ovan till den och placera widgeten närmare början av mallen (förresten, detta är inte alls nödvändigt eftersom MathJax-skriptet laddas asynkront). Det är allt. Lär dig nu MathML-, LaTeX- och ASCIIMathML-markeringssyntaxen och du är redo att bädda in matematiska formler på dina webbsidor.

Varje fraktal är byggd enligt en viss regel, som konsekvent tillämpas ett obegränsat antal gånger. Varje sådan tidpunkt kallas en iteration.

Den iterativa algoritmen för att konstruera en Menger-svamp är ganska enkel: den ursprungliga kuben med sida 1 delas av plan parallella med dess ytor i 27 lika stora kuber. En central kub och 6 kuber intill den längs ytorna tas bort från den. Det visar sig en uppsättning bestående av 20 återstående mindre kuber. Om vi gör samma sak med var och en av dessa kuber får vi ett set bestående av 400 mindre kuber. Om vi fortsätter denna process på obestämd tid får vi Menger-svampen.

Vi börjar överväga den faktiska processen för att beräkna dubbelintegralen och bekanta oss med dess geometriska betydelse.

Dubbelintegralen är numeriskt lika med arean av en platt figur (integrationsregion). Detta enklaste formen dubbelintegral när funktionen av två variabler är lika med en: .

Låt oss först överväga problemet allmän syn. Nu kommer du att bli förvånad över hur enkelt det verkligen är! Låt oss beräkna arean av en platt figur avgränsad av linjer. För visshetens skull antar vi att på intervallet . Arean av denna figur är numeriskt lika med:

Låt oss avbilda området på ritningen:

Låt oss välja det första sättet att kringgå området:

Således:

Och omedelbart ett viktigt tekniskt knep: itererade integraler kan betraktas separat. Först den inre integralen, sedan den yttre integralen. Denna metod rekommenderas starkt för nybörjare i ämnet tekannor.

1) Beräkna den interna integralen, medan integrationen utförs över variabeln "y":

Den obestämda integralen här är den enklaste, och då används den banala Newton-Leibniz-formeln, med den enda skillnaden att gränserna för integration är inte siffror, utan funktioner. Först ersatte vi den övre gränsen med "y" (antiderivativ funktion), sedan den nedre gränsen

2) Resultatet som erhålls i första stycket måste ersättas med den externa integralen:

En mer kompakt notation för hela lösningen ser ut så här:

Den resulterande formeln - detta är exakt arbetsformeln för att beräkna arean av en platt figur med den "vanliga" bestämda integralen! Se lektion Beräknar area med hjälp av en bestämd integral, där är hon vid varje tur!

Det är, problemet med att beräkna arean med hjälp av en dubbelintegral lite annorlunda från problemet med att hitta området med hjälp av en bestämd integral! Faktum är att de är en och samma!

Följaktligen bör inga svårigheter uppstå! Jag kommer inte att överväga särskilt många exempel, eftersom du faktiskt har stött på detta problem upprepade gånger.

Exempel 9

Lösning: Låt oss avbilda området på ritningen:

Låt oss välja följande ordningsföljd för regionen:

Här och nedan kommer jag inte gå in på hur man korsar ett område eftersom det första stycket var väldigt detaljerat.

Således:

Som jag redan har noterat är det bättre för nybörjare att beräkna itererade integraler separat, jag kommer att följa samma metod:

1) Först, med hjälp av Newton-Leibniz-formeln, behandlar vi den interna integralen:

2) Resultatet som erhålls i det första steget ersätts med den yttre integralen:

Punkt 2 är faktiskt att hitta arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral.

Svar:

Här är en så dum och naiv uppgift.

Ett nyfiket exempel på en oberoende lösning:

Exempel 10

Använd den dubbla integralen och beräkna arean av en plan figur som begränsas av linjerna , ,

Prov Prov slutföra lösningen i slutet av lektionen.

I exemplen 9-10 är det mycket mer lönsamt att använda det första sättet att kringgå området, nyfikna läsare kan förresten ändra ordningen på förbifarten och beräkna ytorna på det andra sättet. Om du inte gör ett misstag kan du naturligtvis få samma områdesvärden.

Men i vissa fall är det andra sättet att kringgå området mer effektivt, och som avslutning på den unga nördens kurs, låt oss titta på ytterligare ett par exempel på detta ämne:

Exempel 11

Med hjälp av den dubbla integralen, beräkna arean av en plan figur avgränsad av linjer.

Lösning: vi ser fram emot två paraboler med en bris som ligger på sidan. Du behöver inte le, liknande saker i flera integraler stöter ofta på.

Vad är det enklaste sättet att göra en ritning?

Låt oss representera parabeln som två funktioner:
- övre gren och - nedre gren.

På samma sätt, föreställ dig en parabel som en övre och nedre grenar.

Därefter, punkt för punkt plottning, vilket resulterar i en sådan bisarr figur:

Arean av figuren beräknas med hjälp av dubbelintegralen enligt formeln:

Vad händer om vi väljer det första sättet att kringgå området? Först måste detta område delas upp i två delar. Och för det andra kommer vi att observera denna sorgliga bild: . Integraler är naturligtvis inte av en superkomplex nivå, men ... det finns ett gammalt matematiskt talesätt: den som är vän med rötterna behöver ingen kvittning.

Därför, från det missförstånd som ges i villkoret, uttrycker vi de omvända funktionerna:

Omvända funktioner V detta exempel har fördelen att de omedelbart sätter hela parabeln utan några löv, ekollon, grenar och rötter.

Enligt den andra metoden kommer områdesövergången att vara som följer:

Således:

Som de säger, känn skillnaden.

1) Vi behandlar den interna integralen:

Vi ersätter resultatet med den yttre integralen:

Integration över variabeln "y" borde inte vara pinsamt, om det fanns en bokstav "zyu" - det skulle vara bra att integrera över den. Fast vem läste andra stycket i lektionen Hur man beräknar volymen av en rotationskropp, han upplever inte längre det minsta pinsamt med integration över "y".

Var också uppmärksam på det första steget: integranden är jämn och integrationssegmentet är symmetriskt omkring noll. Därför kan segmentet halveras, och resultatet kan fördubblas. Denna teknik kommenterade i detalj i lektionen Effektiva metoder beräkning av en bestämd integral.

Vad ska man lägga till…. Allt!

Svar:

För att testa din integrationsteknik kan du försöka räkna . Svaret borde vara exakt detsamma.

Exempel 12

Med hjälp av den dubbla integralen, beräkna arean av en plan figur avgränsad av linjer

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Det är intressant att notera att om du försöker använda det första sättet att kringgå området, kommer figuren inte längre att delas upp i två, utan i tre delar! Och följaktligen får vi tre par itererade integraler. Det händer ibland.

Mästarklassen har kommit till sitt slut, och det är dags att gå vidare till stormästarnivån - Hur beräknar man dubbelintegralen? Lösningsexempel. Jag ska försöka att inte vara så manisk i den andra artikeln =)

Jag önskar er framgång!

Lösningar och svar:

Exempel 2:Lösning: Rita ett område på ritningen:

Låt oss välja följande ordningsföljd för regionen:

Således:
Låt oss gå vidare till omvända funktioner:

Således:
Svar:

Exempel 4:Lösning: Låt oss gå vidare till direkta funktioner:

Låt oss utföra ritningen:

Låt oss ändra ordningen för att korsa området:

Svar:

Lösning.

Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning.

Låt oss göra en ritning:

Ekvationen y=0 ställer in x-axeln;

- x=-2 Och x=1 - rakt, parallellt med axeln OU;

- y \u003d x 2 +2 - en parabel vars grenar är riktade uppåt, med en vertex i punkten (0;2).

Kommentar. För att konstruera en parabel räcker det att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna, d.v.s. sätta x=0 hitta skärningspunkten med axeln OU och bestämma lämpligt andragradsekvation, hitta skärningspunkten med axeln Åh .

Spetsen på en parabel kan hittas med formlerna:

Du kan rita linjer och punkt för punkt.

På intervallet [-2;1] grafen för funktionen y=x2+2 belägen över axeln Oxe , Det är därför:

Svar: S \u003d 9 kvadratenheter

Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axeln Åh?

b) Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=-e x , x=1 och koordinataxlar.

Lösning.

Låt oss göra en ritning.

Om en kurvlinjär trapets helt under axeln Åh , då kan dess area hittas med formeln:

Svar: S=(e-1) kvm enhet" 1,72 kvm enhet

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet.

Med) Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lösning.

Först måste du göra en ritning. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Hitta parabelns skärningspunkter och direkt Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt.

Vi löser ekvationen:

Så den nedre gränsen för integration a=0 , den övre gränsen för integration b=3 .

Vi bygger de givna linjerna: 1. Parabel - vertex vid punkten (1;1); axelskärning Åh - poäng (0;0) och (0;2). 2. Rak linje - bisektrisen för 2:a och 4:e koordinatvinklarna. Och nu OBS! Om på intervallet [ a;b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln: .

Och det spelar ingen roll var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det är viktigt vilket diagram som är HÖGRE (i förhållande till ett annat diagram), och vilket som är UNDER. I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Det är möjligt att konstruera linjer punkt för punkt, medan integrationens gränser upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella).