บ้าน › เบ็ดเตล็ด › หาพื้นที่ของรูประนาบ. อินทิกรัลแน่นอน

หาพื้นที่ของรูประนาบ. อินทิกรัลแน่นอน

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน. สุดท้ายนี้ ขอให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขอให้พวกเขาพบมัน คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณกระท่อมฤดูร้อนที่มีฟังก์ชันพื้นฐานและค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางอย่าง

ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจอินทิกรัลไม่จำกัดอย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ หล่ออบอุ่น มิตรไมตรีด้วยอินทิกรัลที่แน่นอนสามารถพบได้ในหน้า อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน. งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาเร่งด่วนเช่นกัน อย่างน้อยที่สุดต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว

อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชันเราบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวอีก ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์. จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA. นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต. พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัล

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนจะเท่ากับตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเฉพาะ แล้ว- พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ สามารถดูเทคนิคการสร้างแบบ pointwise ได้ใน วัสดุอ้างอิง กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้

มาวาดรูปกัน (สังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเป็นพื้นที่ใด ในคำถาม. วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:

ในช่วง [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 อยู่ เหนือแกนวัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน. หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ใน กรณีนี้"ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น xy = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ไข: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ใต้เพลาอย่างสมบูรณ์ วัว จากนั้นหาพื้นที่ได้จากสูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้นจากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด ค้นหาจุดตัดของพาราโบลา ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x. สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการรวม ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. การสร้างเส้นทีละจุดมักให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่า ในขณะที่พบขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

เราขอย้ำอีกครั้งว่าในการก่อสร้างตามจุดนั้น ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในช่วง [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ช(x) จากนั้นพื้นที่ของรูปที่สอดคล้องกันสามารถพบได้โดยสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – xต้องลบ 2 - x.

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 บนและตรง ย = -xจากด้านล่าง.

ในส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x. ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างหมายเลข 3) คือ กรณีพิเศษสูตร

ตั้งแต่แกน วัวถูกกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ช(x) อยู่ใต้แกน วัว, ที่

และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

ในการแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางครั้งเหตุการณ์ตลกก็เกิดขึ้น การวาดภาพถูกต้องการคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

มาวาดกันก่อน:

ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากความไม่ตั้งใจ พวกเขามักตัดสินใจว่าต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงา เป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว จริงหรือ:

1) ในส่วนของ [-1; 1] เหนือเพลา วัวกราฟเป็นเส้นตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเพอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดเส้น:

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่ที่ไหนจะรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ มันอาจจะกลายเป็นอย่างนั้น ก=(-1/4). จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย

ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับแต่งขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์

ค้นหาจุดตัดของกราฟ

ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ในส่วนของ

, ,

ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ในตอนท้ายของบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: วาดรูปนี้ในรูปวาด

สำหรับการวาดทีละจุดคุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัส โดยทั่วไปแล้ว การทราบกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดรวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ . ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงในหลักการอย่างถูกต้อง

ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข:

- "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย=บาป3 xอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณสามารถดูได้ว่าไซน์และโคไซน์รวมกันเป็นเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียนนี้ ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เราหยิกหนึ่งไซน์

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในแบบฟอร์ม

(3) ให้เราเปลี่ยนตัวแปร ที= คอส xแล้ว: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

บันทึก:สังเกตวิธีการนำอินทิกรัลของแทนเจนต์ในลูกบาศก์มาใช้ ผลที่ตามมาของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้

ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น ในเรื่องนี้จะเป็นประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรงและไฮเปอร์โบลาได้

สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงโค้งคือตัวเลขแบนๆ ที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก

ในแง่ของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือพื้นที่.

นั่นคือ,อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องทางเรขาคณิตกับพื้นที่ของรูปบางส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ครั้งแรกและ จุดสำคัญวิธีแก้ปัญหา - การสร้างรูปวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ:

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เซลล์ 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนมากสุดหนึ่งโหล หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

สารละลาย:มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด มาหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม

หากเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้.

การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างแบบเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางส่วน จากนั้นพื้นที่ของรูป แผนภูมิจำกัดของฟังก์ชันและเส้นตรงเหล่านี้ , , หาได้จากสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขนั้นอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

สารละลาย: มาวาดรูปกันก่อน:

ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติมักเกิด "ความผิดพลาด" เนื่องจากความไม่ตั้งใจซึ่งคุณต้องหาพื้นที่ของตัวเลขที่แรเงาด้วยสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว

จริงหรือ:

1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

จะใส่สูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ได้อย่างไร?

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บ วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือดังที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถแทรกลงในไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่ Wolfram Alpha สร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีการสากลนี้จะช่วยปรับปรุงการมองเห็นไซต์ในเครื่องมือค้นหา มันทำงานมานานแล้ว (และฉันคิดว่ามันจะใช้ได้ตลอดไป) แต่มันล้าสมัยทางศีลธรรม

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) ใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายชื่อเซิร์ฟเวอร์) (2) อัปโหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในไซต์ของคุณ วิธีที่สองนั้นซับซ้อนและใช้เวลานานกว่า และจะช่วยให้คุณสามารถโหลดหน้าเว็บของไซต์ของคุณได้เร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์หลัก MathJax ไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ การดำเนินการนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณแต่อย่างใด แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะด้านเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และภายใน 5 นาที คุณจะสามารถใช้คุณลักษณะทั้งหมดของ MathJax บนไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลโดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์หลัก MathJax หรือจากหน้าเอกสาร:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก และหรือหลังแท็ก . ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องมีการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางโค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบการอัปเดตของ MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมของไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดด้านบน และวางวิดเจ็ตให้ใกล้กับ จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมด ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณก็พร้อมที่จะฝังสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ถูกสร้างขึ้นตามกฎบางอย่าง ซึ่งใช้อย่างต่อเนื่องโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งเรียกว่าการวนซ้ำ

ขั้นตอนวิธีวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์เดิมที่มีด้าน 1 ถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่าๆ กัน หนึ่งลูกบาศก์กลางและ 6 ลูกบาศก์ที่อยู่ติดกับใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน กลายเป็นชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กที่เหลืออีก 20 ลูก ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์เหล่านี้ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูก ดำเนินขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้ฟองน้ำ Menger

เราเริ่มพิจารณากระบวนการที่แท้จริงของการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าและทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของมัน

ปริพันธ์สองเท่าเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของตัวเลขแบน (พื้นที่ของการรวม) นี้ รูปแบบที่ง่ายที่สุดอินทิกรัลสองเท่าเมื่อฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาปัญหาใน ปริทัศน์. ตอนนี้คุณจะประหลาดใจว่ามันง่ายจริงๆ! ลองคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น เพื่อความแน่นอน เราถือว่าในช่วงเวลานั้น พื้นที่ของรูปนี้มีค่าเท่ากับ:

อธิบายพื้นที่ในรูปวาด:

เลือกวิธีแรกในการเลี่ยงพื้นที่:

ดังนั้น:

และเคล็ดลับทางเทคนิคที่สำคัญทันที: ปริพันธ์แบบวนซ้ำสามารถแยกพิจารณาได้. อันดับแรกคืออินทิกรัลภายใน จากนั้นจึงอินทิกรัลภายนอก วิธีนี้ขอแนะนำสำหรับผู้เริ่มต้นในหัวข้อกาน้ำชา

1) คำนวณอินทิกรัลภายในในขณะที่ทำการอินทิกรัลผ่านตัวแปร "y":

อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนที่นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด จากนั้นจึงใช้สูตรซ้ำๆ ของนิวตัน-ไลบ์นิซ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ขีดจำกัดของการรวมไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน. ขั้นแรก เราแทนขีดจำกัดบนลงใน "y" (ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์) แล้วตามด้วยขีดจำกัดล่าง

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในวรรคแรกจะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

สัญกรณ์ที่กะทัดรัดยิ่งขึ้นสำหรับโซลูชันทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:

สูตรผลลัพธ์ - นี่คือสูตรการทำงานสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลแน่นอน "ธรรมดา"! ดูบทเรียน การคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน, เธออยู่ที่นั่นทุกเทิร์น!

นั่นคือ, ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลสองเท่า แตกต่างกันเล็กน้อยจากโจทย์การหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลแน่นอน!ในความเป็นจริงพวกเขาเป็นหนึ่งเดียวกัน!

ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น! ฉันจะไม่พิจารณาตัวอย่างมากมายเนื่องจากคุณประสบปัญหานี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 9

สารละลาย:อธิบายพื้นที่ในรูปวาด:

เลือกลำดับการเดินทางผ่านภูมิภาคต่อไปนี้:

ที่นี่และด้านล่าง ฉันจะไม่พูดถึงวิธีการสำรวจพื้นที่เนื่องจากย่อหน้าแรกมีรายละเอียดมาก

ดังนั้น:

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว เป็นการดีกว่าสำหรับผู้เริ่มต้นในการคำนวณอินทิกรัลวนซ้ำแยกกัน ฉันจะใช้วิธีเดียวกัน:

1) อันดับแรก ใช้สูตร Newton-Leibniz เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

2) ผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นตอนแรกจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

จุดที่ 2 คือการหาพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

คำตอบ:

นี่เป็นงานที่โง่และไร้เดียงสา

ตัวอย่างที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

ตัวอย่าง ตัวอย่างจบการแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน

ในตัวอย่างที่ 9-10 วิธีแรกในการเลี่ยงพื้นที่นั้นให้ผลกำไรมากกว่ามาก ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นสามารถเปลี่ยนลำดับของบายพาสและคำนวณพื้นที่ด้วยวิธีที่สองได้ หากคุณไม่ได้ทำผิดพลาดตามธรรมชาติจะได้รับค่าพื้นที่เดียวกัน

แต่ในบางกรณี วิธีที่สองในการเลี่ยงพื้นที่นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า และโดยสรุปของหลักสูตรเด็กเนิร์ด เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างในหัวข้อนี้:

ตัวอย่างที่ 11

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

สารละลาย:เรากำลังรอคอยพาราโบลาสองอันพร้อมสายลมที่พัดอยู่เคียงข้างกัน ไม่จำเป็นต้องยิ้ม มักจะพบสิ่งที่คล้ายกันในปริพันธ์หลายตัว

วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดภาพคืออะไร?

แทนพาราโบลาเป็นสองฟังก์ชัน:
- กิ่งบนและ - กิ่งล่าง.

ในทำนองเดียวกัน ลองนึกภาพพาราโบลาเป็นด้านบนและด้านล่าง สาขา

ถัดไป ไดรฟ์วางแผนแบบจุดต่อจุด ทำให้เกิดตัวเลขที่แปลกประหลาดดังกล่าว:

พื้นที่ของรูปคำนวณโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าตามสูตร:

จะเกิดอะไรขึ้นหากเราเลือกทางเลี่ยงพื้นที่เป็นทางแรก? ประการแรก พื้นที่นี้จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วน และประการที่สองเราจะเห็นภาพที่น่าเศร้านี้: . แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ได้อยู่ในระดับที่ซับซ้อนมาก แต่ ... มีคำพูดทางคณิตศาสตร์แบบเก่า: ใครก็ตามที่เป็นมิตรกับรากไม่จำเป็นต้องมีการหักกลบลบหนี้

ดังนั้น จากความเข้าใจผิดที่ระบุในเงื่อนไข เราจึงแสดงฟังก์ชันผกผัน:

ฟังก์ชันผกผันวี ตัวอย่างนี้มีข้อได้เปรียบตรงที่พวกเขาตั้งพาราโบลาทั้งหมดทันทีโดยไม่มีใบ ลูกโอ๊ก กิ่งก้านและรากใดๆ

ตามวิธีที่ 2 การสำรวจพื้นที่จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น:

อย่างที่พวกเขาพูด รู้สึกถึงความแตกต่าง

1) เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

เราแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลภายนอก:

การบูรณาการเหนือตัวแปร "y" ไม่ควรเป็นเรื่องน่าอายหากมีตัวอักษร "zyu" - การรวมเข้าด้วยกันจะเป็นการดี แม้ว่าจะอ่านย่อหน้าที่สองของบทเรียน วิธีการคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติเขาไม่ประสบกับความลำบากใจแม้แต่น้อยอีกต่อไปกับการผสานรวมกับ "y"

ให้ความสนใจกับขั้นตอนแรกด้วย: อินทิกแรนด์มีค่าเท่ากัน และเซ็กเมนต์การอินทิเกรตจะสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นสามารถแบ่งส่วนออกได้ครึ่งหนึ่งและผลลัพธ์ที่ได้จะเพิ่มเป็นสองเท่า เทคนิคนี้แสดงความคิดเห็นโดยละเอียดในบทเรียน วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน.

จะเพิ่มอะไร…. ทั้งหมด!

คำตอบ:

หากต้องการทดสอบเทคนิคการผสานรวมของคุณ คุณสามารถลองคำนวณได้ . คำตอบควรจะเหมือนกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 12

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณพยายามใช้วิธีแรกในการเลี่ยงพื้นที่ ตัวเลขจะไม่ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนอีกต่อไป แต่ออกเป็นสามส่วน! ดังนั้นเราจึงได้รับอินทิกรัลวนซ้ำสามคู่ บางครั้งมันเกิดขึ้น

มาสเตอร์คลาสสิ้นสุดลงแล้ว และถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับปรมาจารย์แล้ว - วิธีการคำนวณอินทิกรัลสองเท่า? ตัวอย่างโซลูชัน. ฉันจะพยายามไม่คลั่งไคล้ในบทความที่สอง =)

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย: วาดพื้นที่ บนภาพวาด:

เลือกลำดับการเดินทางผ่านภูมิภาคต่อไปนี้:

ดังนั้น:
ไปที่ฟังก์ชันผกผันกัน:

ดังนั้น:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: ไปที่ฟังก์ชั่นโดยตรงกันเถอะ:

มาดำเนินการวาดภาพ:

มาเปลี่ยนลำดับการเดินทางในพื้นที่กัน:

คำตอบ:

ก)

สารละลาย.

ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด.

มาวาดรูปกันเถอะ:

สมการ y=0 กำหนดแกน x;

- x=-2 และ x=1 - ตรงขนานกับแกน อู๋;

- y \u003d x 2 +2 - พาราโบลาที่มีกิ่งชี้ขึ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;2)

ความคิดเห็นในการสร้างพาราโบลา ก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดตัดกับแกนพิกัด เช่น วาง x=0 หาจุดตัดกับแกน อู๋ และตัดสินใจเลือกตามความเหมาะสม สมการกำลังสองค้นหาจุดตัดกับแกน โอ้ .

สามารถหาจุดยอดของพาราโบลาได้โดยใช้สูตร:

คุณสามารถวาดเส้นและชี้ทีละจุด

ในช่วง [-2;1] กราฟของฟังก์ชัน y=x 2 +2 ตั้งอยู่ เหนือแกน วัว นั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: ส \u003d 9 ตารางหน่วย

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา โอ้?

ข)คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=-e x , x=1 และแกนพิกัด

สารละลาย.

มาวาดรูปกันเถอะ

ถ้าเป็นเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ใต้เพลาอย่างสมบูรณ์ โอ้ , จากนั้นหาพื้นที่ได้จากสูตร:

คำตอบ: S=(e-1) ตร. ยูนิต" 1.72 ตร. ยูนิต

ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง

กับ)ค้นหาพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x

สารละลาย.

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด ค้นหาจุดตัดของพาราโบลา และโดยตรง สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์

เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการรวม ก=0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข=3 .

เราสร้างเส้นที่กำหนด: 1. พาราโบลา - จุดสุดยอดที่จุด (1;1); จุดตัดแกน โอ้ -คะแนน(0;0) และ (0;2) 2. เส้นตรง - แบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่ 2 และ 4 และตอนนี้ เรียน! หากอยู่ในช่วง [ ก;ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x)มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก(x)จากนั้นพื้นที่ของรูปที่สอดคล้องกันสามารถพบได้ในสูตร: .

และไม่สำคัญว่าตัวเลขจะอยู่ที่ใด - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่สิ่งสำคัญคือแผนภูมิใดสูงกว่า (เทียบกับแผนภูมิอื่น) และแผนภูมิใดต่ำกว่า ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

เป็นไปได้ที่จะสร้างเส้นทีละจุด ในขณะที่พบขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ)